Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений
An axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated with the use of approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for a highl...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6099 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 52-60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6099 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-60992010-02-17T12:01:06Z Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений Богданов, В.Л. Механіка An axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated with the use of approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich elastic potential. The dependence of the stress intensity factors on the initial stresses, physical-mechanical characteristics of the materials, and geometrical parameters of the problem is analyzed. 2008 Article Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 52-60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6099 539.375 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Богданов, В.Л. Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| description |
An axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated with the use of approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich elastic potential. The dependence of the stress intensity factors on the initial stresses, physical-mechanical characteristics of the materials, and geometrical parameters of the problem is analyzed. |
| format |
Article |
| author |
Богданов, В.Л. |
| author_facet |
Богданов, В.Л. |
| author_sort |
Богданов, В.Л. |
| title |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| title_short |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| title_full |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| title_fullStr |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| title_sort |
напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6099 |
| citation_txt |
Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нормального отрыва при действии начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 52-60. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovvl naprâžennoesostoânieuprugogotelasdvumâsoosnymikrugovymitreŝinaminormalʹnogootryvapridejstviinačalʹnyhnaprâženij |
| first_indexed |
2025-07-02T09:06:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:06:09Z |
| _version_ |
1836525467461484544 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.375
© 2008
В.Л. Богданов
Напряженное состояние упругого тела с двумя
соосными круговыми трещинами нормального отрыва
при действии начальных напряжений
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
An axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture
in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated with the use
of approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are
obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich elastic potential. The
dependence of the stress intensity factors on the initial stresses, physical-mechanical characteri-
stics of the materials, and geometrical parameters of the problem is analyzed.
В статье рассмотрена осесимметричная задача о взаимодействии двух соосных параллель-
ных дискообразных трещин в бесконечном материале с начальными напряжениями, на-
правленными параллельно плоскостям трещин. В соответствии с терминологией, приня-
той в [1, 2], указанная задача относится к неклассическим проблемам механики разру-
шения, поскольку ее нельзя адекватно описать в рамках классической линейной механи-
ки трещин. Это связано с тем, что из решения соответствующей задачи линейной теории
упругости получаем, что составляющие нагрузки, направленные параллельно плоскостям
трещин, не входят в выражения для коэффициентов интенсивности напряжений и вели-
чин раскрытия трещин и, следовательно, не учитываются в классических критериях раз-
рушения.
В [1, 3, 4] для исследования указанных классов задач был предложен подход в рамках
трехмерной линеаризированной механики деформируемого твердого тела. При этом сфор-
мулированный в указанных работах критерий хрупкого разрушения материалов с началь-
ными напряжениями является аналогом соответствующего критерия Гриффитса–Ирвина.
Ранее с использованием указанного подхода решены отдельные классы задач, которые обна-
ружили новые механические эффекты, связанные с влиянием напряжений, действующих
вдоль трещин [1, 5–8].
Задача исследована в общем виде для сжимаемых и несжимаемых высокоэластиче-
ских материалов с различными формами упругих потенциалов и с помощью интеграль-
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Рис. 1 Рис. 2
ных преобразований Ханкеля сведена к системе парных интегральных уравнений, а за-
тем к разрешающей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Получены
представления коэффициентов интенсивности напряжений. Для несжимаемых упругих ма-
териалов, описываемых потенциалом Бартенева–Хазановича, численно проанализирована
зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от начальных напряжений, физи-
ко-механических характеристик материалов и геометрических параметров задачи.
1. Постановка задачи. Рассмотрим неограниченное пространство, содержащее две
соосные трещины одинакового радиуса a, расположенные в параллельных плоскостях y3 = 0
и y3 = −2h с центрами на оси Oy3 (рис. 1). Здесь применяются координаты начального
деформируемого состояния, которые связаны с лагранжевыми координатами естественного
(недеформированного) состояния соотношениями
yj = λjxj; λj = const (j = 1, 2, 3),
где λj — обусловленные начальными напряжениями коэффициенты удлинения (укороче-
ния) вдоль координатных осей, определяющие перемещения в начальном состоянии.
Предполагаем, что в теле действуют одинаковые начальные напряжения вдоль осей Oy1,
Oy2, реализующие однородное начальное напряженно-деформированное состояние:
S0
33 = 0, S0
11 = S0
22 = const 6= 0,
λj = const, λ1 = λ2 6= λ3,
(1)
где S0
ij — компоненты симметричного тензора напряжений, отнесенные к единице площа-
ди тела в недеформированном (естественном) состоянии. Кроме того, будем использовать
такие обозначения: Q′
ij — компоненты несимметричного тензора напряжений, отнесенные
к единице площади тела в начальном (вызванном начальными напряжениями S0
ij) состоя-
нии; uj — компоненты соответствующего им вектора перемещений.
В [1] для случая однородного начального состояния (1) построены представления общих
решений линеаризированных уравнений равновесия через гармонические потенциальные
функции; при этом вид этих представлений зависит от корней характеристического урав-
нения. Так, в случае равных корней характеристического уравнения указанные престав-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 53
ления в круговой цилиндрической системе координат (r, θ, y3), получаемой из декартовой
(y1, y2, y3), для осесимметричной задачи имеют вид
u3 = n
−1/2
1 (m1 −m2 + 1)F − n
−1/2
1 m1Φ − n
−1/2
1 m1z1
∂F
∂z1
;
ur = −∂ϕ
∂r
− z1
∂F
∂r
; uθ = 0;
Q′
33 = C44
[
(d1l1 − d2l2)
∂F
∂z1
− d1l1
∂Φ
∂z1
− d1l1z1
∂2F
∂z2
1
]
;
Q′
3r = C44
{
n
−1/2
1
∂
∂r
[(d1 − d2)F − d1Φ] − n
−1/2
1 d1z1
∂2F
∂r∂z1
}
; Q′
3θ = 0; Φ ≡ ∂ϕ
∂z1
.
(2)
Величины C44, ni, mi, li, di (i = 1, 2) определяются выбором модели материала [1],
а функции ϕ, F , Φ являются гармоническими.
В рассматриваемом случае двух параллельных соосных дискообразных трещин при
двухосном равномерном нагружении вдоль плоскостей этих трещин имеет место симметрия
геометрической и силовой схем задачи относительно плоскости y3 = −h. Поэтому исходная
задача для пространства с двумя трещинами может быть переформулирована к задаче
для полупространства с одной трещиной. Рассматривая, для определенности, верхнее по-
лупространство y3 > −h, имеем следующие граничные условия на берегах трещины и на
границе полупространства:
Q′
33 = −σ(r), Q′
3r = 0 (y3 = ±0, 0 6 r 6 a); (3)
u3 = 0, Q′
3r = 0 (y3 = −h, 0 6 r <∞). (4)
Условно разобьем полупространство y3 > −h на две подобласти: полупространство y3 >
> 0 и слой −h 6 y3 6 0, обозначив соответствующие им величины индексами “1” и “2”. На
границе указанных областей вне трещины должны выполняться условия непрерывности
перемещений и напряжений:
u
(1)
3 = u
(2)
3 , u(1)
r = u(2)
r (y3 = 0, a < r <∞); (5)
Q
′(1)
33 = Q
′(2)
33 , Q
′(1)
3r = Q
′(2)
3r (y3 = 0, a < r <∞). (6)
Учитывая совместно граничные условия (3), (4) и условия непрерывности (5), (6), по-
лучаем формулировку граничных условий задачи в виде:
u
(2)
3 = 0, Q
′(2)
3r = 0 (y3 = −h, 0 6 r <∞); (7)
u
(1)
3 = u
(2)
3 , u(1)
r = u(2)
r (y3 = 0, a < r <∞); (8)
Q
′(1)
33 = Q
′(2)
33 , Q
′(1)
3r = Q
′(2)
3r (y3 = 0, 0 6 r <∞); (9)
Q
′(2)
33 = −σ(r), Q
′(2)
3r = 0 (y3 = 0, 0 6 r 6 a). (10)
2. Парные интегральные уравнения. Интегральные уравнения Фредгольма
второго рода. Выразим гармонические функции, фигурирующие в представлениях общих
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
решений (3), в каждой из областей “1” та “2” в виде интегральных разложений Ханкеля
нулевого порядка по координате r:
ϕ(1)(r, z1) = −
∞
∫
0
B(λ)e−λz1J0(λr)
dλ
λ
; F (1)(r, z1) =
∞
∫
0
A(λ)e−λz1J0(λr) dλ;
Φ(1)(r, z1) =
∞
∫
0
B(λ)e−λz1J0(λr) dλ;
ϕ(2)(r, z1) =
∞
∫
0
[D1(λ) sh λ(z1 + h1) +D2(λ) ch λ(z1 + h1)]J0(λr)
∂λ
λ shλh1
;
F (2)(r, z1) =
∞
∫
0
[C1(λ) ch λ(z1 + h1) + C2(λ) shλ(z1 + h1)]J0(λr)
∂λ
shλh1
,
(11)
где h1 = hn
−1/2
1 .
Условия (7), (9), заданные на всей области y3 = const, позволяют выразить неизвестные
функцииA(λ), B(λ), C1(λ), D1(λ) через функции C2(λ), D2(λ):
A(λ) =
1
k
[(µ1 − k1) cth µ1 + (µ1 − k2)]C2(λ) +
1
k
(1 + cth µ1)D2(λ);
C1(λ) = 0; D1(λ) = µ1C2(λ);
B(λ) =
1
k
[k1(µ1 − k2) cth µ1 + k2(µ1 − k1)]C2(λ) +
1
k
(k1 + k2 cthµ1)D2(λ),
(12)
где k1 = 1 − d2l2
d1l1
, k2 = 1 − d2
d1
, k = k1 − k2 =
d2(l1 − l2)
d1l1
, µ1 = λh1.
Из условий (8), (10) получаем систему парных интегральных уравнений:
∞
∫
0
{[
1 +
(
2µ1
k
+ 1
)
e−2µ1
]
X1 −
2µ1
k
e−2µ1X2
}
J0(λr)λdλ =
2σ(r)
C44d1l1
(r 6 a);
∞
∫
0
{
2µ1
k
e−2µ1X1 −
[
1 +
(
2µ1
k
− 1
)
e−2µ1
]
X2
}
J1(λr)λdλ = 0 (r 6 a);
∞
∫
0
X1J0(λr) dλ = 0 (r > a),
∞
∫
0
X2J1(λr) dλ = 0 (r > a),
(13)
где
X1 ≡ [(µ1 − k1)C2(λ) +D2(λ)](1 + cthµ1);
X2 ≡ [(µ1 − k2)C2(λ) +D2(λ)](1 + cthµ1).
(14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 55
Будем решать систему парных интегральных уравнений (13) методом подстановки [9].
В соответствии с ним, будем выбирать решение в виде, который позволяет тождественно
удовлетворить два последних уравнения в (13), а именно:
X1 =
a
∫
0
ϕ(t) sin λtdt; X2 =
√
πλ
2
a
∫
0
√
tψ(t)J3/2(λt) dt, (15)
где ϕ(t), ψ(t) — неизвестные функции, непрерывные вместе со своими первыми производ-
ными на интервале [0, a].
Тогда, учитывая, что для r < a, выполняются соотношения
∞
∫
0
X1(λ)J0(λr)λdλ = r−1 d
dr
r
∫
0
tϕ(t)
dt√
r2 − t2
,
∞
∫
0
X2(λ)J1(λr)λdλ = r−1 d
dr
r
∫
0
tψ(t)
dt√
r2 − t2
,
из первых двух уравнений (14) можем получить соотношения
r
∫
0
tϕ(t)
dt√
r2 − t2
= −r
∞
∫
0
(
2µ1
k
+ 1
)
e−2µ1X1(λ)J1(λr) dλ+
+ r
∞
∫
0
2µ1
k
e−2µ1X2(λ)J1(λr) dλ+
r
∫
0
2ρσ(ρ)
C44d1l1
dρ;
r
∫
0
d
dt
[tψ(t)]
dt√
r2 − t2
= r
∞
∫
0
2µ1
k
e−2µ1X1(λ)J1(λr)λdλ−
− r
∞
∫
0
(
2µ1
k
− 1
)
e−2µ1X2(λ)J1(λr)λdλ.
(16)
Используя подстановку t = r sin θ и принимая во внимание, что уравнение Шлемильха
вида
π/2
∫
0
f(r sin θ) dθ = N(r), 0 6 r 6 a имеет решение [9] f(x) =
2
π
[
N(0)+x
π/2
∫
0
N ′(x sin θ) dθ
]
,
0 6 x 6 a, из (16) получаем систему двух интегральных уравнения Фредгольма второго
рода, которые в обезразмеренной форме имеют вид
f(ξ) +
2
π
1
∫
0
f(η)K11(ξ, η) dη +
2
π
1
∫
0
g(η)K12(ξ, η) dη =
4
π
π/2
∫
0
ξ sin θ
C44d1l1
t(ξ sin θ) dθ;
g(ξ) +
2
π
1
∫
0
f(η)K21(ξ, η) dη +
2
π
1
∫
0
g(η)K22(ξ, η) dη = 0,
(17)
где f(ξ) ≡ a−1ϕ(aξ), g(ξ) ≡ a−1 d
dξ
[ξψ(aξ)], t(ξ) ≡ σ(aξ).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Ядра интегральных уравнений (17) имеют вид
K11(ξ, η) = I1(2β1, η) −
2β1
k
I2(2β1, η);
K12(ξ, η) =
2β1
k
[
I1(2β1, 1) −
1
η
I1(2β1, η)
]
; K21(ξ, η) = −2β1
k
ξI3(2β1, η);
K22(ξ, η) = ξ
{[
I1(2β1, 1) −
1
η
I1(2β1, η)
]
− 2β1
k
[
I2(2β1, 1) −
1
η
I2(2β1, η)
]}
,
(18)
где
I1(β, η) =
β
2ξη(ζ2 − 1)
; I2(β, η) = I1(β, η)
[
4ζI1(β, η) −
1
β
]
;
I3(β, η) = 4I2
1 (β, η)
[
2(3ζ2 + 1)I1(β, η) −
3ζ
β
]
, ζ =
β2 + ξ2 + η2
2ξη
,
β = ha−1, β1 = βn
−1/2
1 .
Таким образом, решая интегральные уравнения Фредгольма второго рода (17) и используя
соотношения (15), (14), (12) и (11), из представлений (2) можем получить распределение
напряжений и перемещений в материале.
3. Коэффициенты интенсивности напряжений. Используя соотношения (2), (11),
(14) и (15), получим выражения для компонент тензора напряжений в плоскости трещины:
Q
′(2)
33 (r, 0)=−1
2
C44d1l1
[ a
∫
0
ϕ(t)dt
∞
∫
0
sinλtJ0(λr)λdλ+
a
∫
0
ϕ(t)dt
∞
∫
0
(
2µ1
k
+1
)
e−2µ1×
× sinλtJ0(λr)λdλ+
a
∫
0
d
dt
(tψ(t))dt
∞
∫
0
2µ1
k
e−2µ1(a−1 sinλa−t−1 sinλt)J0(λr) dλ
]
;
Q
′(2)
3r (r, 0) =
1
2
C44d1n
−1/2
1
[
√
πλ
2
a
∫
0
√
tψ(t) dt
∞
∫
0
sinλtJ3/2(λt)J0(λr)λdλ+
+
√
πλ
2
a
∫
0
√
tψ(t) dt
∞
∫
0
(
2µ1
k
− 1
)
e−2µ1J3/2(λt)J1(λr)λdλ−
−
a
∫
0
ϕ(t)dt
∞
∫
0
2µ1
k
e−2µ1
]
sinλtJ1(λr)λdλ; Q
′(2)
3θ = 0.
(19)
Аналогично классическому случаю [10]; будем определять коэффициенты интенсивно-
сти напряжений как коэффициенты при особенностях в компонентах напряжений возле
края трещины:
KI = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
33(r, 0), KI = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
3r(r, 0),
KIII = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
3θ(r, 0).
(20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 57
Из анализа выражений (19) следует, что при r → +a
Q
′(2)
33 (r, 0) ∼ 1
2
C44d1l1
ϕ(a)√
r2 − a2
;
Q
′(2)
3r (r, 0) ∼ −1
2
C44d1n
−1/2
1
aψ(a)
r
√
r2 − a2
,
(21)
т. е. порядок особенности в распределении напряжений возле края трещины нормального
отрыва в теле с начальными напряжениями совпадает с порядком особенности, полученным
при исследовании аналогичной задачи в линейной механики хрупкого разрушения [10].
Тогда из (20) получаем
KI =
1
2
C44d1l1
√
π
a
ϕ(a), KII =
1
2
C44d1n
−1/2
1
√
π
a
ψ(a), KIII = 0. (22)
Переходя в (22) к безразмерным переменным и функциям, находим
KI =
1
2
C44d1l1
√
πaf(1), KII = −1
2
C44d1n
−1/2
1
√
πa
1
∫
0
g(η) dη, KIII = 0, (23)
где функции f и g определяются из (17).
Из соотношений (23) видим, что взаимовлияние параллельных трещин приводит к тому,
что для случая трещины нормального отрыва коэффициент интенсивности напряжений KII
отличен от нуля (для одной изолированной трещины в пространстве KII = 0 [1]). Кроме
того, оба коэффициента интенсивности напряжений KI и KII зависят от начальных напря-
жений S0
11 = S0
22 (или удлинений λ1 = λ2), а также от расстояния между трещинами 2h
(или 2β), поскольку решения f(ξ) и g(ξ) уравнений (17) зависят от этих параметров.
Рассмотрим предельный случай расположения трещин, когда расстояние между ними
стремится к бесконечности. Из выражений для ядер интегральных уравнений (18) следует,
что при β → ∞ все ядра в пределе обращаются в нуль.
Тогда из уравнений (17) имеем граничные значения для функций и g:
lim
β→∞
f(ξ) ≡ f∞(ξ) =
4
π
π/2
∫
0
ξ sin θ
C44d1l1
t(ξ sin θ) dθ, lim
β→∞
g(ξ) ≡ g∞(ξ) = 0. (24)
Подставляя соотношения (24) в представления (22), (23), получаем следующие значения
коэффициентов интенсивности напряжений для предельного случая расположения трещин
при β → ∞:
K∞
I = 2
√
a
π
1
∫
0
ηt(η)
dη
√
1 − η2
=
2√
πa
a
∫
0
tσ(t)
dt√
a2 − t2
; K∞
II = 0, K∞
III = 0, (25)
которые полностью совпадают (при принятых обозначениях) со значениями коэффициентов
интенсивности напряжений, полученными в задаче об изолированной трещине нормального
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Рис. 3
отрыва в бесконечном материале с начальными напряжениями [1] и без начальных напря-
жений [10]. В частности, для случая равномерного растягивающего нагружения на берегах
трещины σ(r) = σ = const из (25) получаем
K∞
I = 2σ
√
a
π
; K∞
II = 0; K∞
III = 0. (26)
4. Пример численного исследования. Для численного исследования интегральных
уравнений Фредгольма второго рода (17) используется метод Бубнова–Галеркина с выбо-
ром в качестве системы координатных функций системы степенных функций. Численное
интегрирование осуществляется по квадратурным формулам Гаусса. Предполагается, что
на берегах трещин действует равномерная нормальная нагрузка в виде σ(r) = σ0 = const.
Рассмотрим в качестве примера высокоэластический несжимаемый материал с потенци-
алом Бартенева–Хазановича [11]. Параметры, входящие в (2), для этого материала приведе-
ны в [8]. На рис. 2 для задачи о материале с начальными напряжениями в виде (1) приведена
зависимость соотношений коэффициентов интенсивности напряжений KI/K
∞
I (где K∞
I —
коэффициент интенсивности напряжений для изолированной трещины в бесконечном ма-
териале, определяемый по формуле (26)) от значений параметра начального укорочения
(удлинения) λ1, обусловленного действием начальных напряжений сжатия — растяжения
S0
11 (λ1 < 1 — начальное сжатие, λ1 > 1 — начальное растяжение), для различных зна-
чений безразмерного полурасстояния между трещинами β = ha−1. Как видим, начальные
напряжения оказывают значительное влияние на коэффициенты интенсивности напряже-
ний. На рис. 3 дана зависимость соотношений −KII/K
∞
I от значений λ1. Как видим из
этих рисунков, наблюдается асимптотическое поведение значений KI/K
∞
I и −KII/K
∞
I при
стремлении параметра укорочения λ1 < 1 к значениям, соответствующим симметричной
форме потери устойчивости материала с двумя параллельными соосными трещинами при
сжатии вдоль трещин (см. [12]).
Рис. 4, а, б иллюстрируют, соответственно, зависимости соотношений KI/K
∞
I и −KII/
/K∞
I от безразмерного полурасстояния между трещинами β для разных значений λ1. Из
рисунков видим, что при возрастании расстояния между трещинами значения коэффициен-
тов интенсивности напряжений для двух соосных трещин нормального отрыва стремятся
к значениям, полученным в задаче об изолированной трещине в бесконечном материале.
Отметим также, что аналогично результатам, полученным в задаче о двух соосных трещи-
нах в бесконечном теле в рамках линейной механики разрушения [9], взаимовлияние трещин
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 59
Рис. 4
в линеаризированной задаче приводит к снижению (особенно существенному для малых
значений β) значений KI по сравнению с K∞
I , получаемым для изолированной трещины.
1. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук. думка,
1991. – 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ.
ред. А.Н. Гузя. Т. 2).
2. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 456 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти
кн. / (Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 4, Кн. 1).
3. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
ДАН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085–1088.
4. Guz A.N. On the development of brittle-fracture mechanics of materials with initial stress // Int. Appl.
Mech. – 1996. – 32, No 4. – P. 316–323.
5. Guz A.N., Dyshel’ M. Sh., Nazarenko V.M. Fracture and stability of materials and structural members
with cracks: Approaches and results // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 12. – P. 1323–1359.
6. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V. L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 2007. – 48. – P. 285–303.
7. Nazarenko V.M., Bogdanov V.L., Altenbach H. Influence of initial stress on fracture of a halfspace contai-
ning a penny-shaped crack under radial shear // Int. J. Frac. – 2000. – 104. – P. 275–289.
8. Богданов В.Л. О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при
действии направленных вдоль них начальных напряжений // Доп. НАН України. – 2008. – № 9. –
С. 54–60.
9. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
10. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three dimensional crack problems. – Leyden: Noordhoff,
1975. – Vol. 2. – 452 p.
11. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров //
Высокомол. соединения. – 1960. – 2, № 1. – С. 21–28.
12. Guz A.N., Knukh V. I., Nazarenko V.M. Compressive failure of materials with two parallel cracks: small
and large deformation // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 1989. – 11. – P. 213–223.
Надiйшло до редакцiї 11.06.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
|