О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами
New special formules for the mean current, effective voltage, and power in the ac curcuit with controlled diodes are deduced.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6106 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 96-105. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6106 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-61062010-02-17T12:01:06Z О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами Божко, А.Е. Енергетика New special formules for the mean current, effective voltage, and power in the ac curcuit with controlled diodes are deduced. 2008 Article О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 96-105. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6106 621.318.576.4 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Енергетика Енергетика |
| spellingShingle |
Енергетика Енергетика Божко, А.Е. О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| description |
New special formules for the mean current, effective voltage, and power in the ac curcuit with controlled diodes are deduced. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| title_short |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| title_full |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| title_fullStr |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| title_full_unstemmed |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| title_sort |
о выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Енергетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6106 |
| citation_txt |
О выводе особой формулы мощности в электрической цепи переменного тока с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 96-105. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae ovyvodeosobojformulymoŝnostivélektričeskojcepiperemennogotokasupravlâemymidiodami |
| first_indexed |
2025-07-02T09:06:26Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:06:26Z |
| _version_ |
1836525485577732096 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2008
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.318.576.4
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О выводе особой формулы мощности в электрической
цепи переменного тока с управляемыми диодами
New special formules for the mean current, effective voltage, and power in the ac curcuit with
controlled diodes are deduced.
Электрические цепи с управляемыми диодами (тиристорами, симисторами) широко при-
меняются в различных областях промышленности [1–3]. Регулировка тока в этих цепях
осуществляется с помощью изменения угла открывания управляемого диода. Такое регу-
лирование величины тока осуществляется как в цепях постоянного (рис. 1, б ), так и пере-
менного (рис. 1, в) токов. На рис. 1 приведены кривые изменения синусоидального напря-
жения U = Ua sin ωt (см. рис. 1, а), где Ua — амплитуда; ω — круговая частота (ω = 2πf ,
f — частота, Гц); t — время; ϕ — угол открывания тиристора.
Однофазные схемы цепей постоянного и переменного токов с тиристорами приведены
на рис. 2, а, б, соответственно, где D1, D2 — диоды; Т1, Т2 — тиристоры; zн — сопротивле-
ние нагрузки; Uн — напряжение на zн. Схеме рис. 2, а соответствуют кривые тока рис. 1, б,
а схеме рис. 2, б — рис. 1, в. Как видно из рис. 1, б, в, при включении тиристора (угол ϕ)
напряжение на нагрузке (zн) возникает скачком величиной Ua sin ϕ. В зависимости от хара-
ктера нагрузки (активной, индуктивной, емкостной, смешанной) нарастание тока i(t) в цепи
может быть скачком в активной нагрузке i = Ua sinϕ/Rн или, в соответствии с переходным
процессом в цепи, при других видах нагрузки. В зависимости от угла ϕ меняется вели-
чина среднего напряжения на zн (цепь постоянного и переменного токов) и эффективного
напряжения (цепь переменного тока).
Известно [4], что электрическая энергия цепи We =
t
∫
0
P (t)dt, где P (t) = UэфIэф cos Ψ —
мощность цепи; Uэф, Iэф — эффективные значения напряжения и тока соответственно;
Ψ — сдвиг фаз между U(t) и i(t). Ниже рассмотрим цепь с активной нагрузкой. В этом
случае Ψ = 0. Мощность P (t) будем определять на переменном токе по формуле
P (t) = Uэф(t)Icp, (1)
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Рис. 1
Рис. 2
где Icp — среднее значение тока, идущего по активному сопротивлению нагрузки Rн; Icp
определяется мгновенными значениями токов в цепи, возникающих после открывания ти-
ристоров (см. рис. 1 б, в) в каждый полупериод переменного напряжения U(t). Ток в цепи
в каждый момент (t = 0) открывания тиристора выразим
i(0) = Ia1(t) sin ϕ, (2)
где
Ia =
Ua
Rн
; 1(t) =
{
1, t > 0
0, t < 0
}
— единичная скачкообразная функция.
Как видим из (2), ток i(t) при угле ϕ изменяется скачком, а это значит, что и напряжение
на нагрузке Rн изменяется скачком и имеет форму тока. В соответствии с результатами,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 97
полученными в работах [5, 6], выражение Ia sin(ωt + ϕ) и Ua sin(ωt + ϕ) можно представить
в виде особого (сингуларисного) разложения
i(t) = Ia(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Iak cos ωkt,
U(t) = Ua(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
(3)
где α — коэффициент затухания;
n
∑
k=1
Uak = Ua;
n
∑
k=1
Uak
Rн
= Iak; Ua1 =
Ua
π
; Ia =
Ua
Rн
; Uak =
Ua1
k
; ωk = kω1.
Заметим, что при t = 0 i(0) = Ia sin ϕ, U(0) = Ua sin ϕ; t = ∞ i(∞) = Ia sin(ωt + ϕ),
U(∞) = Ua sin(ωt + ϕ). При α = ∞ i(t) = Ia sin(ωt + ϕ), U(t) = Ua sin(ωt + ϕ), т. е. выраже-
ния (3) соответствуют классическим величинам. При учете в данном исследовании приня-
того разложения скачкообразной функции (3) для определения мощности цепи P (t) необ-
ходимо определить Uэф и Icp. В данном случае
Icp =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
i(t)dt =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
[
Ia(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + sin ϕ
n
∑
k=1
2
Tk
Uakℓ
−αt cos ωkt
]
dt, (4)
Uэф =
[
1
T
T
∫
0
U2(t)dt
]1/2
=
=
{
1
T
T
∫
0
[
Ua(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + sinϕ
n
∑
k=1
2
Tk
Uakℓ
−αt cos ωkt
]2
dt
}1/2
(5)
и тогда с учетом (4), (5) мощность в цепи с управляемыми тиристорами при активной
нагрузке записывается выражением
P (t) =
{
1
T
T
∫
0
[
Ua(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]2
dt
}1/2
×
×
{
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
[
Ia(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
dt
}
. (6)
Для окончательного результата в (6) вычислим интегралы (4) и (5) методом по частям [7].
Решение задачи будем осуществлять последовательно: вначале определим Icp из (4), а затем
Uэф из (5). Подынтегральные выражения в (4) и (5) состоят из нескольких слагаемых (со
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
своими знаками ±). Поэтому будем вычислять интегралы отдельных слагаемых, а затем
индивидуальные результаты суммировать. Итак, перейдем к выражению (4)
Icp1 =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Ia sin ωtdt = −2Ia
Tω
cos ωt
∣
∣
∣
∣
T/2
ϕ/π
=
Ia
π
(1 + cos ϕ),
Icp2 = − 2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Iaℓ
−αt sin(ωt + ϕ)dt.
(7)
При вычислении Icp2 методом по частям вначале вводим обозначения
U1 = ℓ−αt, U ′
1 = −αℓ−αt; υ′
1 = sin(ωt + ϕ), υ1 = − 1
ω
cos(ωt + ϕ),
а затем
U2 = ℓ−αt, U ′
2 = −αℓ−αt; υ′
2 = cos(ωt + ϕ), υ2 = − 1
ω
sin(ωt + ϕ)
и используем тригонометрические преобразования [7]
cos(ωt + ϕ) = cos ωt cos ϕ − sin ωt sinϕ;
sin(ωt + ϕ) = sinωt cos ϕ + cos ωt sinϕ.
В результате
Icp2 = − ω2Ia
(α2 + ω2)π
[
ℓ−απ/ω
(
cos ϕ +
α
ω
sinϕ
)
− 1
]
, (8)
Icp3 =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
(
sin ϕ
n
∑
k=1
Uakℓ
−αt cos ωkt
)
dt. (9)
Подынтегральное выражение в (9) состоит из n слагаемых sin ϕUakℓ
−αt cos ωkt, k = 1, n.
Поэтому вычислим интеграл, соответствующий (9) для каждого k-го слагаемого, а затем
все полученные результаты просуммируем. Итак,
Icp3k =
2
T
T
∫
ϕ/ω
sin ϕUakℓ
−αt(cos ωkt) dt (10)
вычисляется методом по частям [7]. Заметим, что частота ω может не равняться частоте
ωk, k = 1, n, а это значит, что T 6= Tk = 2π/ωk. К тому же, если считать, что каждое
включение тиристора при ϕ/ω вызывает индивидуальное изменение тока в цепи со скачком
Ua sin ϕ/Rн = i(ϕ/ω), то можно при вычислении интеграла (10) считать, что ток i(ϕ/ω)
возникает при t = 0. В этом случае в соответствии с (3) в момент включения тиристора
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 99
Uk = Uak, т. е. cos(ωkt = 0) = 1. И тогда среднее значение тока Icpk должно определяться
выражением
Icp3k =
2 sin ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
Iakℓ
−αt(cos ωkt)dt. (11)
При вычислении (11) c использованием метода по частям введем обозначения: вначале
U1k = ℓ−αt, U ′
1k = −αℓ−αt, υ′
1k = cos ωkt, υ1k =
1
ωk
sin ωkt,
затем
U2k = ℓ−αt, U ′
2k = −αℓ−αt, υ′
2k = sinωkt, υ2k = −cos ωkt
ωk
и тогда получим
Icp3k =
Iakω
2
k sinϕ
π(α2 + ω2
k)
ℓ−απ/(2ωk)(1 − ℓ−2πα/ωk). (12)
В свою очередь суммарное
Icp3 =
sin ϕ
π
n
∑
k=1
Iakω
2
k
α2 + ω2
k
ℓ−απ/(2ωk)(1 − ℓ−2απ/ωk). (13)
Таким образом, средний ток в цепи определяется выражением (7) + (8) + (13)
Icp =
Ia
π
[
(1 + cos ϕ) − ω2
α2 + ω2
ℓ−απ/ω
(
cos ϕ +
α
ω
sin ϕ − 1
)]
+
+
sin ϕ
π
n
∑
k=1
Iakω
2
k
α2 + ω2
k
ℓ−απ/(2ωk)(1 − ℓ−2απ/ωk). (14)
Заметим, что при ϕ = 0 скачка тока i(t) нет, этот ток в цепи i(t) = Ia(sin ωt + ϕ) =
= (Ua/Rн) sin(ωt+ϕ). В этом случае Icp = 2Ua/π. Это классическая формула [4]. Проверим
с этой точки зрения выражение (14). Слагаемые Icp1 = 2Ua/π, Icp2 = 0, Icp3 = 0. То есть
выражение (14) при ϕ = 0 соответствует классической формуле среднего значения тока.
Далее при α = ∞ Icp = (Ia/π)(1 + cos ϕ), т. е. также (14) соответствует классическому
выражению Icp [4].
Перейдем к вычислению интегралов в выражении (5). Прежде всего, в (5) подынте-
гральное выражение представим в развернутом виде
U2
эф =
1
T
T
∫
0
{
U2
a (1 − ℓ−αt)2 sin2(ωt + ϕ) + ℓ−2αt(sin ϕ)2
(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)2
+
+ 2Ua(1 − ℓ−αt)[sin(ωt + ϕ)]
(
ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)}
dt. (15)
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
В (15) имеем под интегралом три слагаемых Uэф1,3, каждое из которых также состоит из
ряда слагаемых. Вычислим в отдельности каждое из этих слагаемых
U2
эф1 =
1
T
T
∫
0
[U2
a (1 − ℓ−αt)2 sin2(ωt + ϕ)]dt,
U2
эф2 =
sin2 ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt
(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)2
dt,
U2
эф3 =
2Ua sinϕ
T
T
∫
0
{
(1 − ℓ−αt)[sin(ωt + ϕ)]ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
}
dt.
(16)
При вычислении (16) к рассмотренным ранее тригонометрическим преобразованиям [7]
применим
sin2 α =
1
2
(1 − cos 2α), cos2 α =
1
2
(1 + cos 2α),
sin α cos β =
1
2
[sin(α − β) + sin(α + β)], cos α cos β =
1
2
[cos(α − β) + cos(α + β)].
В нашем случае
sin2(ωt + ϕ) =
1
2
[1 − cos(2ωt + 2ϕ)] =
1
2
− 1
2
(cos 2ωt cos 2ϕ − sin 2ωt sin 2ϕ);
cos2(ωt + ϕ) =
1
2
[1 + cos(2ωt + 2ϕ)] =
1
2
+
1
2
(cos 2ωt cos 2ϕ − sin 2ωt sin 2ϕ);
(cos ωkt) cos ωlt =
1
2
[cos(ωk − ωl)t + cos(ωk + ωl)t];
sin(ωt + ϕ) cos ωkt =
1
2
{sin[(ωk − ωl)t + ϕ] + sin[(ω − ωk)t + ϕ]}.
(17)
Итак,
U2
эф1 =
U2
a
T
T
∫
0
sin2(ωt + ϕ)dt − 2U2
a
T
T
∫
0
ℓ−αt sin2(ωt + ϕ)dt +
U2
a
T
T
∫
0
ℓ−2αt sin2(ωt + ϕ)dt =
= U2
эф11 + U2
эф12 + U2
эф13.
В свою очередь,
U2
эф11 =
U2
a
T
T
∫
0
sin2(ωt + ϕ)dt =
U2
a
2
(
1 − 1
π
sin 2ϕ
)
, (18)
U2
эф12 =
−2U2
a
T
T
∫
0
ℓ−αt sin2(ωt + ϕ) =
=
U2
aω
π
[
ω
4ω2 + α2
(
α
2ω
cos 2ϕ − sin 2ϕ
)
− α
2ω
]
(1 − ℓ−2απ/ω). (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 101
Далее вычислим
U2
эф13 =
U2
a
T
T
∫
0
ℓ−2αt sin2(ωt + ϕ) dt. (20)
Вычисление (20) подобно вычислению U2
эф12 и поэтому запишем сразу результат
U2
эф13 =
U2
aω
2π
[
ω
4(ω2 + α2)
(
α
ω
cos 2ϕ − sin 2ϕ
)
− α
ω
]
(1 − ℓ−4απ/ω). (21)
В итоге U2
эф1 = (18) + (19), т. е.
U2
эф1 =
U2
a
T
(
1− 1
π
sin 2ϕ
)
+
U2
aω
π
[
ω
4ω2+α2
(
α
2ω
cos 2ϕ−sin 2ϕ
)
− α
2ω
]
(1−ℓ−2απ/ω)+
+
U2
aω
2π
[
ω
4(ω2 + α2)
(
α
ω
cos 2ϕ − sin 2ϕ
)
− α
ω
]
(1 − ℓ−4απ/ω). (22)
Вычислим U2
эф2. Вначале раскроем это выражение более подробно в виде
U2
эф2 =
sin2 ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt
[
n
∑
k=1
(Uak cos ωkt)
2 + 2
Cn2
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal(cos ωkt) cos ωlt
]
dt =
=
sin2 ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt
{
n
∑
k=1
U2
ak
2
(1 + cos 2ωkt) +
Cn2
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal[cos(ωk − ωl)t +
+ cos(ωk + ωl)t]
}
dt. (23)
Из (23) видно, что U2
эф2 состоит из слагаемых
U2
эф2 =
sin2 ϕ
2T
T
∫
0
(
ℓ−2αt
n
∑
k=1
U2
ak
)
dt, U2
эф22 =
sin2 ϕ
2T
T
∫
0
ℓ−2αt
(
n
∑
k=1
Uak cos 2ωkt
)
dt,
U2
эф23 =
sin2 ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt
n
∑
k=1
UakUal[cos(ωk − ωl)t]dt,
U2
эф24 =
sin2 ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal[cos(ωk + ωl)t]dt.
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Вследствие того, что в этих выражениях имеется сумма гармоник, вначале вычис-
лим интегралы для k-й гармоники и для отдельных произведений с UakUal cos(ωk − ωl)t
и UakUal cos(ωk + ωl)t, а затем определим суммы полученных результатов
U2
эф21k =
sin2 ϕ
2Tk
T
∫
0
ℓ−2αtU2
akdt = −sin2 ϕ
4αTk
U2
akℓ
−2αt
∣
∣
∣
∣
Tk
0
=
U2
akωk sin2 ϕ
8απ
(1 − ℓ−4απ/ωk). (24)
Для вычисления U2
эф2sk, s = 2,3,4, как и прежде, используем метод вычисления интегралов
по частям и формулы (17)
U2
эф22k =
sin2 ϕ
2Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−2αtUak cos 2ωktdt =
= −U2
ak sin2 ϕ
32απωk
(
1 +
1
16α2ω2
k
)−1
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk), (25)
U2
эф23k =
sin2 ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−2αtUakUal cos(ωk − ωl)dt =
= − UakUal sin
2 ϕ
16απ(ωk − ωl)
[
1 +
1
16α2(ωk − ωl)2
]−1
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk), (26)
U2
эф24k =
sin2 ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−2αtUakUal cos(ωk + ωl)dt =
= − UakUal sin
2 ϕ
16απ(ωk + ωl)
[
1 +
1
16α2(ωk + ωl)2
]−1
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk). (27)
На основании (24), (25), (26), (27) запишем выражение для U2
эф2 в виде
U2
эф2 =
sin2 ϕ
8απ
n
∑
k=1
U2
akωk(1 − ℓ−4απ/ωk) −
− sin2 ϕ
32απ
n
∑
k=1
U2
ak
ωk
(
1 +
1
16α2ω2
k
)−1
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk) −
− sin2 ϕ
16απ
C2
n
∑
k=1
l=1
l 6=k
UakUal
(ωk − ωl)
(
1 +
1
16α2(ωk − ωl)2
)−1
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk) −
− sin2 ϕ
16απ
C2
n
∑
k=1
l=1
l 6=k
UakUal
(ωk + ωl)
(
1 +
1
16α2(ωk + ωl)2
)−1
ℓ−
αT
k
2 (1 − ℓ−2αTk). (28)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 103
Перейдем к определению U2
эф3, представленного в (16). Здесь также вначале будем вычис-
лять U2
эф3k для k-й гармоники
U2
эф3k =
2Ua sin ϕ
T
T
∫
0
Uakℓ
−αt sin(ωt+ϕ) cos ωktdt− 2Ua sin ϕ
T
T
∫
0
Uakℓ−αt sin(ωt+ϕ) ×
× cos ωkt =
UaUak sin ϕ
T
T
∫
0
ℓ−αt sin[(ω − ωk)t + ϕ]dt +
UaUak sin ϕ
T
×
×
T
∫
0
ℓ−αt sin[(ω + ωk)t + ϕ]dt − UaUak sinϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt sin[(ωk − ωl) + ϕ]dt−
−UakUak sin ϕ
T
T
∫
0
ℓ−2αt sin[(ω + ωk) + ϕ]dt. (29)
На основании (29) U2
эф3k = U2
эф3k1 + U2
эф3k2 − U2
эф3k3 − U2
эф3k4
U2
эф3k1 =
UaUak sin ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−αt sin[(ω − ωk)t + ϕ]dt,
U2
эф3k2 =
UaUak sin ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−αt sin[(ω + ωk)t + ϕ]dt,
U2
эф3k3 =
−UaUak sin ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−2αt sin[(ω − ωk)t + ϕ]dt,
U2
эф3k4 =
−UaUak sin ϕ
Tk
5Tk/4
∫
Tk/4
ℓ−2αt sin[(ω + ωk)t + ϕ]dt.
(30)
Определим в отдельности каждое из этих (30) U2
эф3ks, s = 1,4. Вычисление интегралов в (30)
также осуществим методом по частям. Во избежание громоздкости вычислений представим
окончательные результаты
U2
эф3k1 =
UaUak sinϕ
Tk(ω − ωk)
ℓ−αTk/4(1 − ℓ−αTk)
(
α cos ϕ
ω − ωk
− sinϕ
)[
1 +
α2
(ω − ωk)2
]−1
, (31)
U2
эф3k2 =
UaUak sinϕ
Tk(ω + ωk)
ℓ−αTk/4(1 − ℓ−αTk)
(
α cos ϕ
ω + ωk
− sinϕ
)[
1 +
α2
(ω + ωk)2
]−1
, (32)
U2
эф3k3 =
UaUak sinϕ
Tk(ω − ωk)
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk)
(
sinϕ − 2α cos ϕ
ω − ωk
)[
1 +
4α2
(ω − ωk)2
]−1
, (33)
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
U2
эф3k4 =
UaUak sinϕ
Tk(ω + ωk)
ℓ−αTk/2(1 − ℓ−2αTk)
(
sinϕ − 2α cos ϕ
ω+ωk
)[
1+
4α2
(ω + ωk)2
]−1
. (34)
Таким образом,
U2
эф3 =
n
∑
k=1
(31) + (32) + (33) + (34), (35)
а общее эффективное напряжение в цепи равно (1)
Uэф = [(22) + (28) + (35)]1/2. (36)
При ϕ = 0 выражение (36) принимает вид Uэф(ϕ = 0) = Ua/
√
2, т. е. соответствует класси-
ческой формуле [4]. При α = ∞, ϕ = 0 Uэф = Ua/
√
2.
На основании проведенных вычислений Icp и Uэф в рассмотренных электроцепях мо-
щность цепи с управляемыми тиристорами записывается в виде
P = (36) × (14). (37)
При ϕ = 0 (37) принимает вид
P =
2Ia
π
Ua√
2
. (38)
Выражение (38) является классическим. При α = ∞, ϕ = 0 P = (38). При α = ∞, ϕ 6= 0
P =
Ia
π
(1 + cos ϕ)
Ua√
2
(
1 − 1
π
sin 2ϕ
)1/2
, (39)
т. е. (39) отражает выражение мощности в цепи с управляемыми тиристорами в соответ-
ствии с обычными расчетами.
Как видим, сингуларисное разложение скачкообразной функции, используемое в данной
работе, несмотря на свою громоздкость, точно отражает электрические величины в цепи
и при α = ∞ переходит к классическому виду.
1. Брухман С.С., Трофимов Н.А. Тиристорные переключатели переменного тока. – Москва: Энергия,
1969. – 64 с.
2. Евсеев Ю.А., Крылов С.С. Симисторы и их применение в бытовой электроаппаратуре. – Москва:
Энергоатомиздат, 1999. – 120 с.
3. Энергетическая электроника: Справ. пособие / Под ред. В.А. Лабунцова. – Москва: Энергоатоми-
здат, 1987. – 461 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
5. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Украи-
ны. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
6. Божко А. Е. Новая трактовка переходных процессов в электрических цепях переменного тока // Там
само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
Поступило в редакцию 27.07.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 105
|