О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала
Построена система уравнений для третьих и четвертых моментов пульсаций скорости и температуры твердой фазы.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Промышленная теплотехника |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61263 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала / Б.Б. Рохман // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 4. — С. 32-38. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-61263 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-612632014-04-30T03:01:17Z О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала Рохман, Б.Б. Тепло- и массообменные процессы Построена система уравнений для третьих и четвертых моментов пульсаций скорости и температуры твердой фазы. Побудовано систему рівнянь для третіх і четвертих моментів пульсацій швидкості й температури твердої фази. We constructed a system of the equations for the third and fourth moments of fluctuations of velocity and temperature of a solid phase. 2007 Article О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала / Б.Б. Рохман // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 4. — С. 32-38. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0204-3602 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61263 532.529: 532.517.4 ru Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы |
| spellingShingle |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Рохман, Б.Б. О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала Промышленная теплотехника |
| description |
Построена система уравнений для третьих и четвертых моментов пульсаций скорости и температуры твердой фазы. |
| format |
Article |
| author |
Рохман, Б.Б. |
| author_facet |
Рохман, Б.Б. |
| author_sort |
Рохман, Б.Б. |
| title |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| title_short |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| title_full |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| title_fullStr |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| title_full_unstemmed |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| title_sort |
о третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала |
| publisher |
Інститут технічної теплофізики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Тепло- и массообменные процессы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61263 |
| citation_txt |
О третьих и четвертых моментах пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы на стабилизированном участке осесимметричного канала / Б.Б. Рохман // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 4. — С. 32-38. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Промышленная теплотехника |
| work_keys_str_mv |
AT rohmanbb otretʹihičetvertyhmomentahpulʹsacijskorostiitemperaturydispersnojfazynastabilizirovannomučastkeosesimmetričnogokanala |
| first_indexed |
2025-07-05T12:15:18Z |
| last_indexed |
2025-07-05T12:15:18Z |
| _version_ |
1836809159754907648 |
| fulltext |
Основные трудности, возникающие при раз;
работке методов расчета дисперсных неизотер;
мических турбулентных течений, связаны с не;
обходимостью решения двух теоретических
проблем, состоящих в определении степени во;
влечения частиц в пульсационное движение
сплошной среды и в замыкании системы осред;
ненных уравнений сохранения импульса и энер;
гии твердой фазы. В отличие от ламинарного
случая, система осредненных дифференциаль;
ных уравнений движения и теплообмена дис;
персной фазы, полученная в результате примене;
ния процедуры Рейнольдса к актуальным
уравнениям сохранения массы, импульса и энер;
32 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Побудовано систему рівнянь для
третіх і четвертих моментів пульсацій
швидкості й температури твердої фази.
Замикання рівнянь для четвертих мо0
ментів провадиться на основі представ0
лень п’ятих моментів у вигляді суми до0
бутків других та третіх моментів, що
дозволило одержати з рівнянь для чет0
вертих моментів алгебраїчні співвідно0
шення, що виражають четверті моменти
через другі й треті кореляції і їхні похідні,
тобто отриманий замкнутий опис руху й
теплопереносу частинок на рівні рівнянь
для третіх моментів.
Построена система уравнений для
третьих и четвертых моментов пульса0
ций скорости и температуры твердой
фазы. Замыкание уравнений для чет0
вертых корреляций производилось на
основе представлений пятых моментов
в виде суммы произведений вторых и
третьих моментов, что позволило полу0
чить из уравнений для четвертых мо0
ментов алгебраические соотношения,
выражающие четвертые моменты через
вторые и третьи корреляции и их произ0
водные, т.е. получено замкнутое описа0
ние движения и теплопереноса частиц
на уровне уравнений для третьих мо0
ментов.
We constructed a system of the equa0
tions for the third and fourth moments of
fluctuations of velocity and temperature of
a solid phase. Closure of the equations was
made for the fourth correlations on the
basis of representations of the fifth
moments as the sum of products of the
second and third moments that has
allowed to receive from the equations for
the fourth moments the algebraic relations
expressing the fourth moments through
the second both third correlations and their
derivatives, i.e. the closed description of
the particles movement and heat transfer
at a level of the equations for the third
moments is received.
УДК 532.529: 532.517.4
РОХМАН Б. Б.
ОАО “Киевский институт “Энергопроект”
О ТРЕТЬИХ И ЧЕТВЕРТЫХ МОМЕНТАХ ПУЛЬСАЦИЙ
СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ НА
СТАБИЛИЗИРОВАННОМ УЧАСТКЕ
ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КАНАЛА
c – теплоемкость;
F – сила;
r, z, ϕ – радиальная, продольная и трансверсаль;
ная координаты;
t – температура;
u, v, w – осредненные составляющие вектора ско;
рости;
α – суммарный коэффициент лучистого и кон;
вективного теплообмена между газом и час;
тицей;
β – истинная объемная концентрация частиц;
δ – диаметр частицы;
η – кинематическая вязкость;
ρ – плотность;
τ – время динамической релаксации;
ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 – коэффициенты.
Индексы нижние:
a – величина относится к силе аэродинамическо;
го сопротивления частицы;
g – величина относится к газу;
p – величина относится к частицам;
t – величина относится к пульсациям.
Индексы верхние:
′ – величина относится к пульсационной состав;
ляющей при временном осреднении;
< > – величина относится к осреднению по времени.
гии, незамкнута, так как кроме средних значений
скорости, температуры и т.д. здесь присутствуют
вторые корреляционные моменты пульсацион;
ных характеристик дисперсного потока (
, и т.д.), обусловленные вовлечением ча;
стиц в турбулентное движение среды. В настоя;
щее время наиболее широкое распространение
получили три подхода к определению вторых мо;
ментов пульсаций скорости и температуры
дисперсной фазы. В рамках первого подхода
турбулентные напряжения и пульсационный
теплоперенос в твердой фазе вычисляются через
рейнольдсовы напряжения и турбулентный теп;
ловой поток в несущей среде. В рамках второго
(подхода) направления вычисление пульсацион;
ных характеристик дисперсного потока состоит в
использовании градиентного подхода (гипотеза
Буссинеска), согласно которому вторые моменты
(например: ( , ) пропорциональ;
ны градиентам искомых величин (аксиальной
скорости и температуре частицы). При таком
подходе возникает необходимость в определении
коэффициентов пропорциональности (коэффи;
циентов турбулентной вязкости и теплопровод;
ности “газа” частиц), что порождает множество
гипотез турбулентности и, как следствие, приво;
дит к погрешностям результатов вычислений.
Наряду с локально;равновесными алгебраичес;
кими моделями описания турбулентного перено;
са импульса и энергии в дисперсной фазе все
большее распространение начинают находить
дифференциальные (нелокальные) модели, ос;
нованные на построении уравнений переноса
искомых корреляций. При таком подходе в диф;
ференциальных уравнениях для вторых момен;
тов будут присутствовать третьи моменты, а урав;
нения переноса третьих моментов будут
содержать четвертые моменты, и т.д. Поэтому,
чтобы получить замкнутую систему уравнений,
этот процесс на каком;то этапе следует “обо;
рвать”, вводя определенные замыкающие соот;
ношения. В [1] корреляционные моменты
определяются из уравнений
переноса самих корреляций. При этом третьи
моменты пульсаций скорости частиц рассчиты;
вались на основании гипотезы Буссинеска (на;
пример: ). В [2;4]
были получены уравнения для третьих моментов
пульсационных характеристик дисперсной фазы.
При этом замыкание упомянутых уравнений
производится на основе гипотезы Миллионщи;
кова, предполагающей равенство нулю кумму;
лянтов четвертого порядка и представляющей
четвертые моменты в виде суммы произведений
вторых моментов. Такой подход позволяет полу;
чить из уравнений для третьих моментов алгебра;
ические соотношения, выражающие корреляции
третьего порядка через вторые моменты и их гра;
диенты. Таким образом получается замкнутое
описание движения и телопереноса частиц на
уровне уравнений для вторых моментов.
В настоящей работе в рамках эйлерова подхо;
да, т.е. в рамках так называемых двухжидкостных
моделей, корреляции четвертого порядка пульса;
ций скорости и температуры дисперсной фазы,
фигурирующие в уравнениях для третьих момен;
тов, находятся из уравнений переноса самих кор;
реляций. При этом пятые моменты, присутству;
ющие в этих уравнениях, представляются как
суммы произведений вторых и третьих момен;
тов. Это позволило получить из уравнений для
четвертых моментов алгебраические соотноше;
ния, выражающие четвертые моменты через вто;
рые и третьи корреляции и их производные. В от;
личие от моделей, описанных в [2;4], здесь
получается замкнутое описание движения и те;
лопереноса частиц на уровне уравнений для тре;
тьих моментов.
В работе [4] в приближении узкого канала на
участке стабилизированного движения восходя;
щего дисперсного потока ( , vp = 0, vg = 0)
была получена стационарная осесимметричная
система осредненных дифференциальных урав;
нений переноса третьих моментов ,
, . Приведем эти уравнения:
; ;(1)
α
ψ = +
ρ δ τ1
3 1
p p
c
′ ′ ′< >< >
′ ′+ = −ψ < >
2
2
1
p p p
p p
t v w
t v
r
′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − +
∂ ∂
2 2
( ) ( )
2
p p p p p p
v r t v t v r v
r r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > ∂ < >
+ − −
∂ ∂
3 3 2
( )
2 2
p p p p p p p
r t v v t t v w
r r r r
′ ′< >2
p p
t w′ ′< >2
p p
t v
′ ′ ′< >
p p p
t w v
∂ ∂ =/ 0z
′ ′ ′ ′ ′< >= −η ∂ < > ∂/
p p p tp p p
v v v v v r
′ ′ ′ ′< > < >,
p p p p
v v w w
′ ′< >
p p
t v′ ′< >
p p
u v
′ ′< >
p p
t v
′ ′< >
p p
u v
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4 33
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
; (2)
;
. (3)
В уравнениях (1);(3) фигурируют четвертые
корреляционные моменты , ,
, для которых, как упомина;
лось выше, необходимо получить свои уравнения
переноса. Проиллюстрируем вывод этих уравне;
ний на примере уравнения для третьего момента
.
В работах [2, 4] были получены уравнения
пульсационного движения (вдоль радиальной и
трансверсальной оси) и энергии в дисперсной
фазе. В приближении пограничного слоя на уча;
стке стабилизированного течения газовзвеси с
учетом осевой симметрии задачи ( ) эти
уравнения могут быть представлены в виде:
; (4)
, (5)
где
; ; (6)
. (7)
Умножим уравнение (5) на величину , а
уравнение (7) – на , а затем сложим полу;
ченные уравнения:
. (8)
Далее умножим пульсационное уравнение (8) на
величину , а уравнение (4) – на , после
чего просуммируем эти уравнения. Преобразуем
полученное уравнение с помощью выражения (6) и
пульсационного уравнения неразрывности, пред;
варительно умноженного на величину .
Затем в итоговом уравнении произведем осредне;
ние. Пренебрегая смешанными корреляционными
моментами (газ;частица), запишем уравнение пе;
реноса искомой величины :
;
. (9)
⎛ ⎞α
ψ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ρ δ τ⎝ ⎠
4
1
3
2
p p
c
′ ′ ′ ′< >< >
′ ′ ′+ = −ψ < >
2
2
4
p p p p
p p p
w t w v
t w v
r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − +
∂ ∂
2 2
( ) ( )
2
p p p p p p p p
w v r t v t w v r v
r r r r
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
−
∂
2
( )
2
p p p p
t v r w v
r r
′ ′ ′ ′ ′< > < > ∂
− + −
∂
3 3
2
p p p p p p
t v w w v t
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > < >< >
+ − −
∂
3 3 2
( )
2 2 2
p p p p p p p p p p
r t w v t w v w v t v
r r r r
′ ′ ′< >2
p p p
t w v
′ ′ ′2
/ 2
p p p
t w v
′ ′ ′
p p p
t w v′2
/ 2
p
v
ϕ′ ′ α ′ ′ ′ ′= + −
ρ β ρ δ
6
( )
a p
g p p p
p p p
F t
t w t w
c
′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > ∂ < >
− − =
∂ ∂
( ) ( )
p p p p p p
t r w v w r t v
r r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > ∂
′ ′ ′+ − + −
∂ ∂
p p p p p p p p p
p p p
t w t w v t w v t
v w v
r r r r
pw′
pt ′
′ ′ ′∂ ∂ ∂ < > α′ ′ ′ ′+ − = −
∂ ∂ ∂ ρ δ
( ) 6
( )
p p p p
p p g p
p p
t t r t v
v v t t
r r r r c
ϕ
ρ β
′ ′ ′= −
τ
( )
p
a g p
F w w
ρ β
′ ′ ′= −
τ
( )
p
ar g p
F v v
ϕ′′ ′ ′∂ ∂ < >
′ ′ ′ ′ ′+ − − < >=
∂ ∂ ρ β
( )1 1 ap p p
p p p p p
p
Fw r v w
v w v w v
r r r r r
′ ′ ′∂ ∂ < > ′
′ ′ ′ ′ ′− − + < >=
∂ ∂ ρ β
( )1 1p p p ar
p p p p p
p
v r v v F
v w w w w
r r r r r
∂ ∂ϕ =/ 0
′ ′ ′< >2
p p p
t w v
′ ′< >3
p p
t w′ ′ ′< >2
p p p
t w v
′ ′< >3
p p
t v′ ′ ′< >2
p p p
t w v
α
ψ = +
ρ δ τ2
6 2
p p
c
′ ′ ′−ψ < >
2
p p p
t w v
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
− =
∂
( )
p p p p
w v r t v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − −
∂ ∂
2
( ) ( )
p p p p p p p
t w r v t v r w v
r r r r
′ ′ ′ ′< >< >
−p p p p
t v w v
r
′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >
+ + −
2 2
p p p p p p
t w w t w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > ∂ < >
+ − +
∂ ∂
2 2 3
( )
p p p p p p p p
r t w v v w t t w
r r r r
′ ′ ′< > ∂ < >
′ ′− = −ψ < >
∂
2
2
1
( )
2
p p p
p p
w r t v
t w
r r
∂
′ ′< > −
∂
2
2
p
p p
t
w v
r
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
− +
∂
( )
p p p p
t w r w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > < >< >
+ − −
∂
2 2
( )
2
p p p p p p p p p p
r t w v t w v t w w v
r r r r
34 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Подобным образом могут быть получены
уравнения переноса для остальных искомых кор;
реляций. Приведем эти уравнения:
;
; (10)
; (11)
. (12)
Уравнения (9);(12) содержат пятые моменты,
которые подобно [5] могут быть представлены в
виде суммы произведений корреляций второго и
третьего порядков. С учетом этого указанные
уравнения преобразуются к виду:
; (13)
; (14)
; (15)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎤< >< > < >< > ∂
+ + ⎥
∂ ⎥⎦
2 2
3
2
p p p p p p p p
w t w v v w v t
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− − +
2 3
3
p p p p p p p
w v t w t v w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ + −
2 2
2
p p p p p p p p
v t w v t v w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
+ + +
∂ ∂
2 2
2 2
p p p p p p p p
w v t v t v w v
r r
′ ′ ′ ′⎡< > ∂ < >
′ ′ ′< >= − +⎢
ψ ∂⎢⎣
2
2
4
1 p p p p
p p p
v t w v
t w v
r
′ ′ ⎤< > ∂
+ ⎥
∂ ⎥⎦
2
p p p
w v t
r
′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< > ∂
− + +
∂
3 2 2
2 2
p p p p p p
w t w v w t
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ − −
2 2 2
p p p p p p p
w v t v w t w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ + +
2 2
p p p p p p p p
v t w w v t w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
+ + +
∂ ∂
2
2
p p p p p p p p p
w v t w v t v v w
r r
′ ′ ′⎡< > ∂ < >
′ ′ ′< >= − +⎢
ψ ∂⎢⎣
2 2
2
4
1
2
p p p
p p p
v t w
t w v
r
′ ′ ′ ⎤< >< >
+ ⎥
⎥⎦
2 2
p p p
t v w
r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− − +
2
2
p p p p p p p p p
w v t w v w v t v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >< >
+ + − −
∂ ∂
3 2 2 2 2
3
p p p p p p p p
t v v v t v t w
r r r
′ ′ ′⎡< > ∂ < >
′ ′< >= − +⎢
ψ ∂⎢⎣
2 2
3
3
1 p p p
p p
v t v
t v
r
′ ′ ′< > ∂ < >
′ ′− = −ψ < >
∂
3
3
3
( )
3
p p p
p p
w r t v
t w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > ∂ < >
+ − −
∂ ∂
3 2
( )
3
p p p p p p p
w v t t w r w v
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > < >< >
+ − +
∂
3 3 2
( )
3
p p p p p p p p p p
r t w v t w v t w w v
r r r r
′ ′ ′−ψ < >2
4 p p p
t w v
′ ′ ′< > ∂ < >
− =
∂
2 2
( )
2
p p p
t w r v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − −
∂ ∂
2
( ) ( )
2
p p p p p p p p p
t w v r w v w v r t v
r r r r
′ ′< > ∂
+ −
∂
2 2
2
p p p
w v t
r
′ ′ ′ ′ ′< > < >< >
− +
4 2 2
2 2
p p p p p
t w t w w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > < >< >
+ − −
∂
2 2 2 2
( )
2
p p p p p p p p p p p
r t w v t w v t w v w v
r r r r
α
ψ = +
ρ δ τ3
2 1
p p
c
′ ′ ′< > ∂ < >
′ ′− = −ψ < >
∂
3
3
3
( )
3
p p p
p p
v r t v
t v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < > ∂ < >
+ − −
∂
2 2 2 2
( )
p p p p p p
t v w t v r v
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′∂ < > < > ∂ < >
+ − +
∂ ∂
4 4 2 2
( )
3 3
p p p p p p p
r t v v t t w v
r r r r
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4 35
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
. (16)
Подставляя (13);(16) в уравнения (1);(3), по;
лучим окончательный вид уравнений переноса
третьих моментов.
Уравнение переноса величины :
. (17)
Уравнение переноса величины :
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ + −
ψ ψ
2
2 2
4 4
p p p p p p p p p
w v t w v w v t v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < >< >
+ + +
ψ ∂ ψ
2 2 2
2
4 4
2
p p p p p p p
t v w v v t w
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
+ + +
ψ ∂ ψ ∂
2 2
4 4
2
p p p p p p p p
v t w w v t w v
r r r r
′ ′ ′⎛ ⎞< >< > ∂∂ ′− + < > +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2 2
3
3
2 2
p p p p
p
t v w t
v
r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< >∂
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠
2
3
2
p p p p
w v t v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< > < >< >⎛ ⎞∂ ∂
+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂ ψ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2
3 3
2
p p p p p p p p
v t w w v t w v
r r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞< > ∂ < > < > ∂∂ ∂
− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ψ ∂ ∂ ψ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2 2
3 3
6 2
p p p p p
r t v v r v t
r r r r r r
′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2 2
3
2
p p p
r v t v
r r r
>′′< 2 ppvt
′ ′ ′< > ∂ < >
′ ′− = −ψ < >
∂
2
2
1
( )
2
p p p
p p
w r t v
t w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂
− + −
∂ ∂
2
( )
2
p p p p p p p
t w r w v w v t
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < >< >
− − −
ψ ∂
2
4
p p p p p p p
w v t t w w v
r r r
′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< > ∂
+ − −
ψ ψ ∂
3 2 2
2
4 4
2 2
p p p p p p
w t w v w t
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− + +
ψ ψ
2 2 2
2 2
4 4
p p p p p p p
w v t v w t w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− − −
ψ ψ
2 2
2 2
4 4
p p p p p p p p
v t w w v t w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − −
ψ ∂ ψ ∂
2
4 4
2
p p p p p p p p p
w v t w v t v w v
r r r r
′ ′ ′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < > ∂ < >∂
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂ ψ ∂⎝ ⎠
2 2 2
4 4
2 2
p p p p p p
r w v t v t w
r r r r r
′ ′⎛ ⎞< >< > ∂∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2 2
4
4
p p p
r v w t
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞< >< > < >< >∂ ∂
+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ψ ∂ ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 3
4 4
4
p p p p p p
w t w w t w
r r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< >∂
− +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠
2
4
2
p p p p
t v w v
r r
′ ′ ′ ′ ′< >< >⎛ ⎞∂
− −⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠4
2
p p p p p
w v t w v
r r
′ ′ ′⎞ ⎛ ⎞< >< >∂
− −⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟∂ ψ⎠ ⎝ ⎠
2 2
4
2
p p p
v t w
r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2
4
4
p p p p
r t v w v
r r r
′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < >⎛ ⎞∂
− −⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠4
2
p p p p p
r w v t w v
r r r
′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2 2
4
4
p p p
r v t w
r r r
′ ′< >2
p p
t w
′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎤< >< > < > < > ∂
+ + ⎥
∂ ⎥⎦
3 2
p p p p p p p
w t v w v w t
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < >< >
+ + +
∂
3 2
2
3
p p p p p p p
t v w w v t w
r r
′ ′ ′ ′⎡< > ∂ < >
′ ′< >= − +⎢
ψ ∂⎢⎣
2
3
3
1 p p p p
p p
w v t w
t w
r
36 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
. (18)
Уравнение переноса величины :
. (19)
В уравнениях (17);(19) фигурируют вторые
( , , , , ) и
третьи моменты ( , ,
, ), которые могут быть оп;
ределены согласно [2, 4].
Вывод
Полученная система уравнений переноса тре;
тьих и четвертых моментов пульсаций скорости и
температуры частиц в анизотропном поле энергии
хаотического движения твердой фазы на участке
стабилизированного течения газовзвеси позволя;
ет более точно, по сравнению с существующими
моделями, рассчитать пульсационные характери;
стики неизотермического дисперсного потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кондратьев Л. В. Модель и численное ис;
следование турбулентного течения газовзвеси в
′ ′ ′< >
p p p
v v w′ ′ ′< >
p p p
v w w
′ ′ ′< >
p p p
w w w′ ′ ′< >
p p p
v v v
′ ′< >
p p
t w′ ′< >
p p
t v′< >2
p
w′ ′< >
p p
w v′< >2
p
v
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
′ ′ ′− = −ψ < >
∂ 2
( )
p p p p
p p p
w v r t v
t w v
r r
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
− −
∂
( )
p p p p
t v r w v
r r
′ ′ ′ ′ ′< >< > ∂ < >
′ ′− − < > −
∂
2
( )
p p p p p
p p
t v w v r v
t w
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< > ∂
− − −
ψ ψ ∂
2 2
2
4 4
3
2
p p p p p p p p
w t w v v w v t
r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ + −
ψ ψ
2 3
2 2
4 4
3
p p p p p p p
w v t w t v w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− − +
ψ ψ
2 2
2 2
4 4
2
p p p p p p p p
v t w v t v v w
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< > ∂ < > < > ∂ < >
− − −
ψ ∂ ψ ∂
2 2
4 4
2 2
p p p p p p p p
w v t v t v v w
r r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < > ∂ < >
+ − −
ψ ∂
2 2
4
p p p p p p p
t w w v t w v
r r r
′ ′ ′< >< > ∂
+ +
ψ ∂
2
3
p p p p
w v w t
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
+ + +
ψ ψ
2 3
2 2
3 3
2
p p p p p p p
w v t w t v w
r r
′ ′ ′< > ∂ < >
+
ψ ∂
3
3
3
p p p
t v w
r r
′ ′ ′ ′< > ∂ < >
+ +
ψ ∂
2
3
p p p p
w v t w
r r
′ ′ ′⎛ ⎞< >< > ∂ ∂∂ ′ ′− + < > +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂ ∂⎝ ⎠
2
2
4
3
2
p p p p p
p p
r v w v t t
v w
r r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠
2
4
p p p p
w t w v
r r
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞< >< > < >< >∂ ∂
+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ψ ∂ ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3
4 4
3 p p p p p p p
w v t w t v w
r r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< >∂
− +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠
2
4
2
p p p p
t v v w
r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< >< >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ⎝ ⎠
2
4
p p p p
v t w v
r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2
4
2
p p p p
r t v v w
r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2
4
2
p p p p
r w v t v
r r r
′ ′ ′ ′⎛ ⎞< > ∂ < >∂
− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ψ ∂⎝ ⎠
2
4
p p p p
r v t w v
r r r
>′′′< ppp vwt
′ ′ ′< >< >
′ ′+ = −ψ < >
2
2
1
p p p
p p
t v w
t v
r
′ ′ ′ ′< > ∂ < > ∂ < >
′ ′− − < > +
∂ ∂
2 2
( ) ( )
2
p p p p
p p
v r t v r v
t v
r r r r
′ ′ ′ ′< >< > ∂ < > ∂
+ + −
ψ ∂ ψ ∂
2 2 2
4 4
2
p p p p p p
v w t w v t
r r r r
′ ′ ′ ′ ′ ′< >< > < >< >
− − +
ψ ψ
2 2 3
2 2
4 4
2
p p p p p p
w t w w t w
r r
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4 37
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
трубе. Автореф. дисс. канд. физ.;мат. наук. – Л.,
1989. – 18 с.
2. Рохман Б.Б. Об уравнениях переноса кор;
реляционных моментов пульсаций скоростей
дисперсной фазы на стабилизированном участ;
ке осесимметричного двухфазного потока.
Часть I // Пром. теплотехника. – 2005. – Т. 27,
№ 3. – С. 9;16.
3. Зайчик Л.И. Об уравнениях для функции
плотности вероятности скорости частиц в неод;
нородном турбулентном поле // МЖГ. – 1996. –
№2. – С. 117;124.
4. Рохман Б.Б., Шамис Л.Б., Матвейчук А.С.
О корреляционных моментах пульсаций скоро;
сти и температуры дисперсной фазы на участке
стабилизированного течения двухфазного пото;
ка // Пром. теплотехника. – 2007. – Т. 29, №2. –
С. 16;22.
5. Hanjalic K., Launder B. E. A Reynolds stress
model of turbulence and its application to thin shear
flows // J. Fluid. Mech. – 1972. – 52, № 4. – P. 609;
638.
Получено 03.11.2005 г.
38 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 4
ТЕПЛО0 И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Розглянуто процеси тепломасопере0
носу, що відбуваються при епітаксії
структур методом імпульсного охолод0
ження насиченого розчину0розплаву з
урахуванням шару технологічного газу
між підкладкою та теплопоглиначем. От0
римано залежності часу появлення та
величини максимуму переохолодження
на фронті кристалізації від технологічних
параметрів процесу. Показано, що об0
ласть оптимального використання дано0
го методу – субмікронні шари, що мають
товщину меншу ніж 100…200 нм.
Рассмотрены процессы тепломассо0
переноса, происходящие при эпитаксии
структур методом импульсного охлаж0
дения насыщенного раствора0расплава
с учетом слоя технологического газа
между подложкой и теплопоглотителем.
Получены зависимости времени появ0
ления и величины максимума переох0
лаждения на фронте кристаллизации от
технологических параметров процесса.
Показано, что область оптимального при0
менения данного метода – субмикронные
слои толщиной менее 100…200 нм.
Heat0mass transfer processes at epi0
taxy by the method of pulse cooling of sat0
urated solution0melt with consideration of
technological gas layer between substrate
and heat absorber are examined. Value
and appearance time of maximum super0
cooling dependences on technological
parameters are obtained. It is shown,
that optimum use area of this method is
submicron layers with width less than
1000200 nm.
УДК 536.24:532.785
АНДРОНОВА Е.В., БАГАНОВ Е.А., КУРАК В.В.
Херсонский национальный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
ПРИ ЖИДКОФАЗНОЙ ЭПИТАКСИИ СОЕДИНЕНИЙ А3В5
МЕТОДОМ ИМПУЛЬСНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
НАСЫЩЕННОГО РАСТВОРА0РАСПЛАВА
a1, а2 – размеры пластин в направлении х;
b1, b2 – размеры пластин в направлении y;
Bi – критерий Био;
cA, cG, cН, cМ, cS – теплоемкость теплопоглотите;
ля, графита, водорода, раство;
ра;расплава и подложки;
D – коэффициент диффузии атомов растворен;
ного вещества в расплаве;
EС – энтальпия кристаллизации;
Gr – число Грасгофа;
jC – поток кристаллизующегося вещества;
m – наклон линии ликвидус;
N(z, t) – концентрация неравновесных атомов
растворенного вещества;
Nu – число Нуссельта;
Pr – число Прандтля;
|