Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ
Рассмотрены основы ренормализационных групповых методов и их применение к исследованию турбулентности. Установлена возможность реализации эффекта отрицательной турбулентной вязкости. Предложены методы теории неустойчивости применительно к процессам ДИВЭ. Представлены приложения принципа ДИВЭ к пробл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Промышленная теплотехника |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61405 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ / А.А. Долинский, А.А. Авраменко, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 3. — С. 5-13. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-61405 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-614052014-05-06T03:00:58Z Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ Долинский, А.А. Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Тепло- и массообменные процессы Рассмотрены основы ренормализационных групповых методов и их применение к исследованию турбулентности. Установлена возможность реализации эффекта отрицательной турбулентной вязкости. Предложены методы теории неустойчивости применительно к процессам ДИВЭ. Представлены приложения принципа ДИВЭ к проблемам решения различных задач. Розглянуто основи ренормалізаційних групових методів та їх застосування для дослідження турбулентності. Встановлена можливість реалізації ефекту від’ємної турбулентної в’язкості. Запропоновано методи теорії нестійкості стосовно процесів ДІВЕ. Подано приклади використання принципу ДІВЕ при розв’язку різних задач. The fundamentals and of renormalization group methods and applications of these methods to turbulence are considered. It is shown possibility of realization of negative turbulent viscosity. The methods of the instability theory are proposed as application to DIIE processes. Application of DIIE principle to different problems is presented. 2006 Article Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ / А.А. Долинский, А.А. Авраменко, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 3. — С. 5-13. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0204-3602 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61405 532.517.4 ru Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы |
| spellingShingle |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Долинский, А.А. Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ Промышленная теплотехника |
| description |
Рассмотрены основы ренормализационных групповых методов и их применение к исследованию турбулентности. Установлена возможность реализации эффекта отрицательной турбулентной вязкости. Предложены методы теории неустойчивости применительно к процессам ДИВЭ. Представлены приложения принципа ДИВЭ к проблемам решения различных задач. |
| format |
Article |
| author |
Долинский, А.А. Авраменко, А.А. Басок, Б.И. |
| author_facet |
Долинский, А.А. Авраменко, А.А. Басок, Б.И. |
| author_sort |
Долинский, А.А. |
| title |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ |
| title_short |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ |
| title_full |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ |
| title_fullStr |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ |
| title_full_unstemmed |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ |
| title_sort |
дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. часть ii. методы ренормализационной группы. неустойчивость процессов дивэ |
| publisher |
Інститут технічної теплофізики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Тепло- и массообменные процессы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61405 |
| citation_txt |
Дискретно-импульсный ввод и трансформация энергии – новый подход к воздействию на многофакторные системы. Часть II. Методы ренормализационной группы. Неустойчивость процессов ДИВЭ / А.А. Долинский, А.А. Авраменко, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 3. — С. 5-13. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Промышленная теплотехника |
| work_keys_str_mv |
AT dolinskijaa diskretnoimpulʹsnyjvvoditransformaciâénergiinovyjpodhodkvozdejstviûnamnogofaktornyesistemyčastʹiimetodyrenormalizacionnojgruppyneustojčivostʹprocessovdivé AT avramenkoaa diskretnoimpulʹsnyjvvoditransformaciâénergiinovyjpodhodkvozdejstviûnamnogofaktornyesistemyčastʹiimetodyrenormalizacionnojgruppyneustojčivostʹprocessovdivé AT basokbi diskretnoimpulʹsnyjvvoditransformaciâénergiinovyjpodhodkvozdejstviûnamnogofaktornyesistemyčastʹiimetodyrenormalizacionnojgruppyneustojčivostʹprocessovdivé |
| first_indexed |
2025-07-05T12:26:30Z |
| last_indexed |
2025-07-05T12:26:30Z |
| _version_ |
1836809863654539264 |
| fulltext |
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3 5
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Розглянуто основи ренормалізаційних
групових методів та їх застосування для
дослідження турбулентності. Встанов�
лена можливість реалізації ефекту
від’ємної турбулентної в’язкості. Запро�
поновано методи теорії нестійкості сто�
совно процесів ДІВЕ. Подано приклади
використання принципу ДІВЕ при
розв’язку різних задач.
Рассмотрены основы ренормализа�
ционных групповых методов и их приме�
нение к исследованию турбулентности.
Установлена возможность реализации
эффекта отрицательной турбулентной
вязкости. Предложены методы теории
неустойчивости применительно к про�
цессам ДИВЭ. Представлены приложе�
ния принципа ДИВЭ к проблемам реше�
ния различных задач.
The fundamentals and of renormaliza�
tion group methods and applications of
these methods to turbulence are consid�
ered. It is shown possibility of realization of
negative turbulent viscosity. The methods
of the instability theory are proposed as
application to DIIE processes. Application
of DIIE principle to different problems is
presented.
УДК 532.517.4
ДОЛИНСКИЙ А.А., АВРАМЕНКО А.А., БАСОК Б.И.
Институт технической теплофизики НАН Украины
ДИСКРЕТНО�ИМПУЛЬСНЫЙ ВВОД И ТРАНСФОРМАЦИЯ
ЭНЕРГИИ – НОВЫЙ ПОДХОД К ВОЗДЕЙСТВИЮ НА
МНОГОФАКТОРНЫЕ СИСТЕМЫ. ЧАСТЬ II.
МЕТОДЫ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ ДИВЭ
С – константа;
d – размерность пространства;
E – энергетический спектр турбулентности,
энергия;
Н – гамильтониан;
k – кинетическая энергия турбулентности;
l – масштаб турбулентности;
p – обобщенный импульс, давление;
q – обобщенная координата;
Re – число Рейнольдса;
t – время;
u – скорость;
v – инфинитезимальный генератор;
– возмущающие (пульсационные) ком;
поненты скоростей;
– низко; и высокомодовая составляющие
скорости;
– декартовы координаты;
ε – скорость диссипации;
ε* – показатель степенного поведения корреля;
ционной функции случайных сил;
κ – волновое число;
– вектор волнового числа;
μt – динамический коэффициент турбулентной
вязкости;
v – кинематический коэффициент вязкости;
vt – кинематический коэффициент турбулентной
вязкости;
ρ – плотность;
σ – инкремент возмущений;
ω – частота.
Индексы:
rev – граница действия обратного каскадного ме;
ханизма Ричардсона;
t – турбулентные параметры;
Σ – эффективные параметры;
0 – начало процедуры ренормализации.
Сокращения:
ДИВЭ – дискретно;импульсный ввод энергии;
DIA – аппроксимации прямого взаимодей;
ствия;
DNS – прямое численное моделирование;
LES – крупномасштабное моделирование;
POD – соответствующая ортогональная декомпо;
зиция;
RNG – ренормализационная группа.κ
zyx ,,
<> uu ,
v, ′′u
Ренормализационно
групповые
методы
Как отмечалось в [1], методы ренормализаци;
онной группы (ренормгруппы, RNG – renormal;
ization group) были первоначально развиты в
квантовой теории поля. Затем эти методы успеш;
но использовались для анализа критических явле;
ний при фазовых переходах второго рода в [2;5].
Истоки ренормгруппового подхода лежат в эв;
ристических построениях Каданоффа. Он вы;
двинул идею, объясняющую автомодельность
(подобие) некоторых термодинамических соот;
ношений при масштабных преобразованиях сис;
темы. Согласно этой идее, если система может
быть охарактеризована гамильтонианом, то для
его определения можно использовать метод ре;
нормализационной группы. В соответствии с
этим методом сначала определяется гамильтони;
ан взаимодействия Н0 двух узлов, отделенных
расстоянием L. Затем находится эффективный
гамильтониан Н1 блока размером 2L. Далее про;
цесс укрупнения в расчете гамильтониана про;
должается и, таким образом, на п;ом шаге нахо;
дится гамильтониан Нп для области размером
2пL. Если итерационные преобразования ведут к
результату
Hn = Hn+1, (1)
где Нп+1 = g(Нп), то Нп = НN является фиксиро;
ванной точкой, которая соответствует критичес;
кой точке в теории фазовых переходов второго
рода. Из (1) следует, что в этой точке необходи;
мость в дальнейшем итерационном масштабирова;
нии отпадает, т. е. гамильтониан будет инвариантом
при дальнейших масштабных преобразованиях.
Если состояние физической системы предста;
вить точкой в многомерном пространстве, коор;
динаты которого есть силы взаимодействия, то
масштабные преобразования будут перемещать
эту точку. Таким образом, действие ренормгруп;
пы должно переместить систему по траектории в
соответствии с последовательностью масштаб;
ных операций, играющих роль времени. Резуль;
тирующая фиксированная точка определяется
решением уравнения
g(HN) = HN, (2)
т. е. последующие преобразования не перемеща;
ют данную точку, она остается неподвижной
(фиксированной). Уравнение (2) представляет
собой функциональное уравнение ренормализа;
ционной группы. На основании этого уравнения
можно получить дифференциальное уравнение
ренормализационной группы или уравнение
Гелл;Мэнн–Лоу [6].
Ренормализационно;групповые методы ока;
зались очень плодотворны при изучении фазо;
вых переходов второго рода, т. е. фазовых перехо;
дов, при которых вторые производные
химического потенциала претерпевают разрыв.
Примерами таких переходов служат ферромаг;
нитные переходы в металлах и сплавах; фазовые
переходы, при которых меняются диэлектричес;
кие свойства вещества; переход гелия в его сверх;
текучую модификацию – гелий II; переход ме;
таллов и сплавов в сверхпроводящее состояние.
Последний тип переходов особенно интересен
для теплофизики в связи с открытием высоко;
температурных сверхпроводников. Кроме того,
ренормализационно;групповые методы могут
быть использованы при исследовании переходов
«порядок;беспорядок» [4], которые характерны
для нанопроцессов. Метод ренормгруппы позво;
ляет исследовать не только статические системы,
но и динамические, т.е. исследовать зависящие
от времени явления вблизи критических точек.
Ренормгрупповые исследования
турбулентности. Эффект отрицательной
турбулентной вязкости
Подобная процедура RNG используется и при
изучении процессов турбулентности на основе
ренормгруппового подхода. Такой подход очень
важен при моделировании процессов ДИВЭ. От;
метим, что процессы ДИВЭ носят ярко выражен;
ный турбулентный характер, это позволяет рав;
номерно;дискретно распределять энергию в
пространстве, что является одним из основных
исходных требований ДИВЭ. При этом на фор;
мирование поля турбулентности оказывает влия;
ние большое количество различных факторов:
нестационарность (периодическая и монотон;
ная); многофазность потока; силовые поля раз;
личной природы (центробежные, магнитные,
6 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
гравитационные и т. д.); неизотермичность; сжи;
маемость; градиенты давления и т. д. Используе;
мые до недавнего времени модели турбулентнос;
ти учитывали все перечисленные факторы
введением эмпирических коэффициентов. Эти
модели строились, как правило, эмпирическим
путем. Использование ренормгруппового подхо;
да позволило преодолеть указанные трудности и
уйти от эмпиричных подходов при построении
моделей турбулентности. Изложим кратко ос;
новные идеи ренормгруппового подхода к изуче;
нию турбулентности.
В работе [7] впервые была использована ре;
нормализационная техника для описания турбу;
лентности, возбуждаемой статистически задавае;
мой случайной силой. Было показано, что
использование метода ренормогруппы в крупно;
масштабном пределе позволяет найти также и
амплитудные числовые коэффициенты, которые
являются универсальными константами, т. е. не
зависят от характеристик системы в области
больших волновых чисел и, в частности, от моле;
кулярной вязкости. В последствии значительный
вклад в развитие данного направления в исследо;
вании турбулентности внесли Яхот и Оржег [8].
Для того чтобы рассматривать процессы в про;
странстве волновых чисел, необходимо и частоты
“перевести” в это пространство. Это можно сде;
лать с помощью комплексного преобразования
Фурье
,
где – вектор координаты точки, κс представля;
ет собой величину ультрафиолетового обрезания
в пространстве волновых чисел. Вводится допу;
щение, что моды скорости исчезают при κс > κ.
Это равносильно предположению, что влияние
отбрасываемых при этом мелкомасштабных мод
сводится к замене коэффициента молекулярной
вязкости v0 (индекс “0” в молекулярной вязкости
используется, чтобы выделить этот параметр, так
как с него начнется процедура перенормировки)
на некоторое, зависящее от параметра обреза;
ния, перенормированное значение v0 = v0(κс).
В результате процедуры нормализации получе;
но следующее уравнение для турбулетной вязкости
, (3)
где D0 – коэффициент пропорциональности в за;
коне случайной силы, а
.
Для исключения D0 и κс из (3) существует несколь;
ко способов [9]. После исключения получаем вы;
ражение для турбулентной вязкости через k и ε.
Аналогично может быть получено ренормали;
зационное уравнение, описывающие перенос
теплоты или пассивного скаляра. Процедура пе;
ренормировки приводит к дифференциальному
уравнению для турбулентного числа Прандтля.
Кратко охарактеризуем ренормализационную
процедуру уравнений переноса. Упрощенно её
можно представить следующим образом:
.
Для конкретности показана схема для поля ско;
ростей. Однако аналогичные схемы имеют место
для полей температуры, кинетической энергии
турбулентности, скорости её диссипации и т. д.
Приведенная схема показывает, что первона;
чальное поле (в данном случае поле скоростей)
разлагается на быструю и медленную составляю;
щие. Медленную часть можно интерпретиро;
вать как осредненную скорость основного тече;
ния, а быструю – как турбулентные пульсации.
При ренормализации воздействие турбулентных
пульсаций на процессы переноса замещается
введением перенормированного коэффициента
переноса (в данном случае введением ренорма;
лизованной вязкости). Таким образом, в резуль;
тирующих уравнениях остаются RNG;коэффи;
циент переноса и медленная составляющая поля.
Еще один пример приложения принципа
ДИВЭ – это сушка в пористых средах. Здесь так;
же могут реализовываться различные режимы те;
чения. До недавнего времени модели турбулентно;
сти для пористых сред строились исключительно
на эмпирическом уровне. В работах [10, 11] мо;
( )
/ 2
2
/ 2
d
dS
d
π=
Γ( )
1
2 2
d
d
A
d
−=
+( )
,
2
d
d d d
S
A A=
π
1/3
*
0
3
*
c
t dA D
−ε⎛ ⎞κν = ⎜ ⎟ε⎝ ⎠
x
( )
( ) ( )1
1
U , exp x
2 c
d
n nd
u d d i i t+ κ≤κ
= κ ω κ ω κ⋅ − ω
π ∫ ∫
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3 7
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
дель турбулентности для потоков в пористых сре;
дах была получена с использованием ренормгруп;
повой техники. Причем в работе [10] форхайме;
ровский нелинейный член гидродинамического
сопротивления рассматривался как величина, не;
подверженная турбулентным возмущениям, а в
[11] форхаймеровский член также подвергался ре;
нормализации.
В работе [12] была сделана попытка модифи;
цировать выражение для турбулентной вязкости
с учетом ультрафиолетовой части спектра. Ре;
зультаты этих исследований показали, что суще;
ствует возможность проявления эффекта отрица;
тельной турбулентной вязкости. В работе [13]
такая возможность интерпретируется как реверс
механизма передачи энергии Ричардсона, т.е.
при отрицательной турбулентной вязкости энер;
гия передается от беспорядочного пульсацион;
ного движения к упорядоченному осредненному.
Исследования, выполненные в [14], показывают,
что существуют два диапазона в волновом прост;
ранстве – прямой и обратный перенос энергии
турбулентности (рис. 1).
Границей существования этих диапазонов яв;
ляется точка κ = κrev. При κ > κrev превалирует об;
ратный механизм, и энергия передается от мень;
ших вихрей к большим. При этом не исключается
возможность одновременной реализации в этом
диапазоне и прямого каскада, который сопро;
вождается диссипацией энергии. Однако он явно
не проявляется на фоне обратного каскада. При
κ < κrev реализуется лишь прямой перенос энер;
гии. Следовательно, энергия, которая передается
от меньших масштабов к большим, доходит до
области κ = κrev и затем, минуя зону κ ∈ [0, κrev],
передается к основному течению. Таким обра;
зом, перенос энергии носит нелокальный гисте;
резисный характер.
Концепция процессов с отрицательным зна;
чением коэффициентов турбулентного переноса
может быть положена в основу возможности реа;
лизации принципа ДИВЭ. Для этого требуется
создать необходимые условия для реверса кас;
кадного механизма Ричардсона. Т.е. создать та;
кие условия, при которых энергия, подводимая к
системе извне, будет передаваться к высоким
гармоникам турбулентных пульсаций, а затем, в
соответствии с реализацией обратного механиз;
ма Ричардсона, к энергосодержащим когерент;
ным структурам. Это позволит добиться равно;
мерного распределения энергии по всему
рабочему объему и использовать ее наилучшим
образом.
Кроме рассмотренного выше подхода, сущест;
вуют и другие виды ренормализационного ана;
лиза турбулентности. Например, в работах [15,
16] развит ренормгрупповой подход на основе
полевой формулировки.
Процессы ДИВЭ как процессы
неустойчивости
Существенной чертой принципа ДИВЭ являет;
ся высокая степень нестационарности процессов,
что обусловлено дискретно;импульсным характе;
ром подвода энергии к системе. Протекания та;
ких процессов с математической точки зрения
часто можно охарактеризовать дельта;функцией
Дирака или функцией Хевисайда (step function).
К таким процессам относятся процессы взрыв;
ного образования зародышей вскипающих пу;
зырьков и гидродинамических каверн, их схло;
пывание, эффекты образования кумулятивных
микроструй и др. Данные процессы, учитывая
резкие изменения параметров состояния в ко;
роткие промежутки времени, можно рассматри;
вать как процессы смены устойчивых состояний
существования системы, т.е. использовать для
8 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рис. 1. Распределение энергетического спектра
(1) и турбулентной вязкости (2) в волновом про�
странстве.
них концепции теории неустойчивости. При
этом методы теории неустойчивости можно рас;
сматривать как предел описания существенно
нестационарных процессов ДИВЭ. При таком
подходе методы теории неустойчивости позво;
ляют найти характерные точки развития сис;
темы, которые не всегда можно установить на
основе численного исследования динамики си;
стемы, например, начальный критический ра;
диус парового пузырька, радиус начала осцил;
ляций и т. д.
Поведение некоторых элементов ДИВЭ (па;
ровой пузырек, каверна) описывается автоном;
ными системами дифференциальных уравнений.
Такая система эволюционирует в пространстве
состояний (фазовом пространстве) переменных
по траектории, которая задается конкретными
начальными условиями. Для данной системы су;
ществуют различные разновидности устойчивых
и неустойчивых аттракторов, таких как: стацио;
нарное состояние, предельный цикл, странный
(стохастический) аттрактор. Об устойчивости си;
стемы можно судить по собственным значениям
матрицы взаимодействия (матрица Якоби) βk.
Если ℜe {βk} > 0, то стационарное состояние не;
устойчиво. При пересечении траекторией мни;
мой оси фазовой плоскости, когда ℑm{βk} ≠ 0,
возникает осциллирующая неустойчивость –
происходит бифуркация Хопфа (или бифуркация
рождения предельного цикла) – переход от неус;
тойчивого фокуса (стационарного состояния) к
предельному циклу.
Если размерность динамической системы пре;
вышает два, то для такой системы существует ве;
роятность возникновения еще одного типа неус;
тойчивости (рис. 2) – странного аттрактора [17].
На рис. 3 изображены проекции на плоскости
X–Y и Z–X траекторий системы Лоренца в про;
странстве состояний. “Хаотическое” поведение
системы, представленное на рис. 3, лишь одно из
многих в богатом спектре мод хаоса.
Анализ устойчивости автономных систем поз;
волил изучить особенности поведения парового
пузырька. На основе нелинейной модели были
исследованы монотонная и осциллирующая не;
устойчивости парового пузырька как рабочего
элемента ДИВЭ. В результате проведенного ана;
лиза выявлен характер влияния на неустойчи;
вость парового пузырька различных физических
параметров. Это позволило глубже понять меха;
низмы, влияющие на различные виды неустой;
чивости. Были определены области устойчивых и
неустойчивых решений системы уравнений, ко;
торая описывает динамику пузырька. В частнос;
ти, в [18] были обнаружены режимы осциллиру;
ющей неустойчивости, которым соответсвует
бифуркация Хопфа (рис. 3).
Если динамика системы описывается систе;
мой уравнений в гамильтоновой форме или в ав;
тономной форме, то в соответствии с принципом
максимума Понтрягина можно найти оптималь;
ное по быстродействию управление, которое
позволяет при прочих равных условиях увели;
чить скорость протекания процесса до максиму;
ма [19]. Используя этот принцип, можно опти;
мизировать протекание процессов ДИВЭ в
зависимости от конкретной задачи.
До сих пор рассматривались процессы, дина;
мика которых описывается автономными систе;
мами уравнений. Однако в реальных технологиях
ДИВЭ для описания процессов необходимо ис;
пользовать полные уравнения Навье;Стокса и
Фурье;Кирхгоффа, причем учитывать при этом
многофакторность воздействия различных воз;
мущений, которые могут оказывать сильное вли;
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3 9
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рис. 2. Странный аттрактор [17], X, Y, Z –
решение системы Лоренца: X – амплитуда функ�
ции тока, Y, Z – амплитуды температур.
яние на характер протекания процессов ДИВЭ.
Следовательно, в этом случае необходимо ис;
пользовать иные методы теории неустойчивости.
По своей идеологии эти методы, как и методы,
используемые при исследовании автономных си;
стем, являются методами возмущений. При этом
сложилось два подхода: энергетический метод и
метод малых (линейных) возмущений. Энергети;
ческий метод представляет собой нелинейный
метод, когда учитываются малые квадратичные
величины. Он реализуется путем вычисления во
времени изменения энергии возмущающего дви;
жения. Суть энергетического метода заключается
в сравнении генерации турбулентной энергии и
ее диссипации. Точка потери устойчивости соот;
ветствует ситуации, при которой диссипация
турбулентной энергии равна генерации. Этот ме;
тод не получил широкого распространения из;за
низкой точности и произвольности выбора воз;
мущающих функций.
В случае применения метода малых (линей;
ных) возмущений суммарные поля скоростей,
температуры и других исследуемых величин зада;
ются в виде невозмущенного начального поля
какой;либо величины, на которое накладывается
возмущение. В различных задачах неустойчивос;
ти используются различные формы возмущаю;
щих функций. Выбор формы этих функций мож;
но осуществить на основе подалгебры сдвигов
алгебры Ли симметрий полной системы невозму;
щенных уравнений. В случае трехмерного тече;
ния данная подалгебра имеет простой вид
. (4)
Эта подалгебра может генерировать различные
формы волноподобных функций. В самом общем
случае из (4) можно получить автомодельную пе;
ременную вида
, (5)
где коэффициенты при переменных могут быть
комплексными величинами. В зависимости от
размерности задачи и того, каким образом зада;
ется вид возмущающей амплитуды, форма авто;
модельной переменной (5) может быть модифи;
цирована.
Обычно форма возмущающей функции зада;
ется в виде
,
где А – амплитуда возмущающей функции, а F –
“волновая” составляющая, которая сокращается
( )( , , ,z) ( , , ,z)ps t x y A t x y F= η
z
( , , ,z) zx yt x y x y tη = κ + κ + κ − σ
10 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
а б
Рис. 3. Неустойчивый предельный цикл: а – проекции в фазовой плоскости , , ; б – проекции в
плоскости , . Безразмерные величины , , � радиус пузырька, скорость его
изменения, давление.
pϑRϑR
pϑR
в процессе преобразований уравнений для воз;
мущающих величин. Вид амплитуды выбирается
в виде функции тех переменных, которые не вхо;
дят в автомодельную переменную (5). Обычно
амплитуда задается как функция одной из коор;
динат или времени. Следовательно, все осталь;
ные переменные включаются в η. Иногда ампли;
туда задается константой и это значит, что все
четыре аргумента входят в волновую функцию F.
Таким образом функции А и F как бы дополняют
друг друга, а независимые аргументы могут пере;
ходить из одной функции в другую без наруше;
ния автомодельности. Это обусловлено незави;
симостью симметрий сдвига аргументов в
подалгебре (4).
При изучении неустойчивости различных
процессов ДИВЭ необходим учет различных со;
путствующих факторов. Чаще всего следует учи;
тывать неравномерность распределения физиче;
ских свойств среды в занимаемом объеме. В
случае неоднородности плотности среды возму;
щающие скорости удобно ввести с использова;
нием плотности в качестве весового коэффици;
ента. Такой подход аналогичен подходу Фавра к
осреднению турбулентных сжимаемых течений.
Это позволяет ввести удовлетворяющую уравне;
нию неразрывности функцию тока для пульса;
ционных составляющих скорости в виде:
.(6)
После подстановки выражений (6) в уравнения
Навье–Стокса с последующей линеаризацией и
обезразмериванием получаем аналог уравнения
Орра–Зоммерфельда [20].
На основе описанного подхода исследована
неустойчивость гидродинамических процессов,
протекающих при реализации некоторых техно;
логий ДИВЭ.
Еще один характерный пример процессов
ДИВЭ – это процессы, происходящие в порис;
тых средах, где также важно знать критерии поте;
ри устойчивости потока. В работе [21] проведен
анализ устойчивости потока в пористой среде с
учетом линейного члена Дарси и нелинейного
члена Форхаймера. Проведенные расчеты пока;
зали, что сильное влияние на устойчивость тече;
ния оказывает форма невозмущенного профиля
скорости – чем более заполненный профиль, тем
устойчивее поток. Это согласуется с первой тео;
ремой Рэлея об устойчивости течения, согласно
которой профили скорости, имеющие точку пе;
региба, неустойчивы [22].
Учет нелинейности слабо влияет на значения
критерия устойчивости. Этот факт подтвержден
вычислениями, проведенными в работе [23].
То же касается и значений критериев центробеж;
ной неустойчивости [24]. Следовательно, при на;
хождении критериев неустойчивости различной
природы можно ограничиваться линейным при;
ближением. Этот вывод особенно актуален для
исследования процессов центробежной неустой;
чивости в роторно;пульсационных аппаратах,
принцип работы которых основан на идеологии
ДИВЭ.
В последнее время предпринимаются попыт;
ки создания альтернативных методов расчета
процессов перехода в гидродинамике. Один из
таких методов основан на ренормгрупповом под;
ходе. К сожалению, ощутимых результатов упо;
мянутый подход пока не принес из;за математи;
ческих трудностей.
Еще один подход – это подход, когда произво;
дится верификация численных решений полных
уравнений. В этом случае возмущения вносятся в
численную схему решения, и затем прослежива;
ется поведение этих возмущений. По характеру
поведения и направлению распространения воз;
мущений отслеживается время и положение, где
исследуемый процесс теряет устойчивость. К
прямым численным методам исследования неус;
тойчивости можно отнести также метод прямого
численного моделирования (DNS – direct nume;
rical simulation) и метод соответствующей ортого;
нальной декомпозиции (POD – proper orthogonal
decomposition), основанный на процедуре Карху;
нена;Лоеве. Эти методы часто используются при
моделировании турбулентных течений и подроб;
нее будут рассмотрены далее. Однако они также
позволяют установить особенности переходных
режимов. Полезными могут оказаться методы
крупномасштабного моделирования (LES – large
eddy simulation), по крайней мере при моделиро;
вани внезапного перехода к турбулентному тече;
нию.
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3 11
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
12 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Р
ис
.
5.
М
ет
од
ы
т
ео
ри
и
не
ус
т
ой
чи
во
ст
и.
В отличие от линейных методов возмущения,
которые хорошо описывают только начальную
(линейную) стадию перехода, численные методы
могут корректно описать все этапы переходного
режима течения. Иерархия современных методов
теории неустойчивости представлена на рис. 5.
ЛИТЕРАТУРА
1. Долинский А.А., Авраменко А.А., Басок Б.И.
Дискретно;импульсный ввод и трансформация
энергии – новый подход к воздействию на мно;
гофакторные системы. Часть I. Классический
анализ методам теории групп // Промышленная
теплотехника. – 2006. – 28, № 2. – C. 7–13.
2. Wilson К.G. Renormalization group and criti;
cal phenomena and the Kondo problem // Phys. Rev.
B. – 1971. – 4. – Р. 3174–3187.
3. Wilson К.G. The renormalization group:
Critical phenomena and the Kondo problem // Rev.
Mod. Phys. – 1975. – № 4. – Р. 773–840.
4. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализацион;
ная группа и –разложение. – М.: Мир, 1975. –
256 с.
5. Ма Ш. Современная теория критических
явлений. – М.: Мир, 1980. – 312 с.
6. Коллинз Дж. Перенормировка: Введение в
теорию перенормировок, ренормализационной
группы и операторных разложений. – М.: Мир,
1988. – 367 с.
7. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. Large;
distance and longtime properties of a randomly
stirred fluid // Phys. Rev. А. – 1977. – 16, № 2. –
P. 732–749.
8. Yakhot V, Orszag S.A. Renormalization group
analysis of turbulence. I. Basic theory // J. Sci.
Соmp. – 1986. – 1. – № 1. – Р. 3–51.
9. Авраменко А.А., Басок Б.И., Кузнецов А.В.
Групповые методы в теплофизике. – Киев: На;
укова думка, 2003. – 484 с.
10. Авраменко А.А. Ренормализационный ана;
лиз турбулентности в пористых средах // Промы;
шленная теплотехника. – 2004. – 26. – № 1. –
C. 11–21.
11. Avramenko A.A., Kuznetsov A.V.
Renormalization Group Model of Macroscopic
Turbulence in Porous Media // Transport in Porous
Media. – 2006. – 63. – Р. 175;193.
12. Авраменко А.А. Ренормгрупповые формулы
для турбулентной вязкости и температуропроводно;
сти с учетом экспоненциального затухания энерге;
тического спектра в ультрафиолетовом диапазоне //
Доповіді НАН України. – 2002. – № 1. – С. 91–95.
13. Старр В. Физика явлений с отрицатель;
ной вязкостью. – М.: Мир, 1971. – 260 с.
14. Долинский А.А., Авраменко А.А., Басок Б.И.,
Тыринов А. И. Ренормгрупповой подход к опреде;
лению отрицательной турбулентной вязкости //
Доповіді НАН України. – 2005. – № 10. – С. 90–93.
15. Теодорович Э.В. Явления турбулентного пе;
реноса и метод ренормализационной группы //
Прикладная математика и механика. – 1988. –
52. – № 2. – С. 218–224.
16. Canuto V.M., Dubovikov M.S. A new approach
to turbulence // Int. J. Modern Phys. – 1997. – 12. –
№ 18. – P. 3121–3152.
17. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow //
J. Atmos. Sci. – 1963. – 20. – P. 130–147.
18. Авраменко А.А., Сорокина Т.В. Неустойчи;
вость парового пузыря // Промышленная тепло;
техника. – 2005. – 27. – №6. – C. 12–15.
19. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкре0
лидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. ; М.: Наука, 1983. – 392 с.
20. Авраменко А.А., Басок Б.И., Сорокина Т.В.
Неустойчивость Орра;Зоммерфельда двухфазно;
го потока // Доповіді НАН України. – 2004. – 6. –
С. 92;95.
21. Avramenko A.A., Kuznetsov A.V., Basok B.I.,
Blinov D.G. Investigation of stability of a laminar flow
in a parallel;plate channel filled with a fluid saturated
porous medium // Phys. Fluids. – 2005. – 17. –
P. 094102;1 ; 094102;6.
22. Lord Rayleigh. On the stability of certain fluid
motion // Proc. London Math. Soc. – 1880. – 11. –
P. 57–68.
23. Струминский В.В., Скоблев Б.Ю. Нелиней;
ная нейтральная кривая для течения Пуазейля //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252. – № 3. –
С. 566–570.
24. Аврамеко А.А. Теплообмен и гидродинами;
ка около вогнутых поверхностей с вторичными те;
чениями: Автореферат дисс. ... докт. техн. наук. –
Киев, 1997. – 34 с.
Получено 22.02.2006 г.
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 3 13
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
|