Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода

Рассмотрены базовый и градиентный итерационно-вариационные алгоритмы аппроксимации функций двух переменных в виде билинейного ряда и их применение для решения интегральных уравнений Фредгольма II рода методом вырожденных ядер....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Верлань, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2013
Назва видання:	Электронное моделирование
Теми:	Математические методы и модели
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61866
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 73-80. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-61866
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-618662014-05-14T03:01:41Z Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода Верлань, Д.А. Математические методы и модели Рассмотрены базовый и градиентный итерационно-вариационные алгоритмы аппроксимации функций двух переменных в виде билинейного ряда и их применение для решения интегральных уравнений Фредгольма II рода методом вырожденных ядер. Розглянуто базовий і градієнтний ітераційно-варіаційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних у вигляді білінійного ряду та їх застосування для розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма II роду методом вироджених ядер. The article investigates the basic and gradient iteration-variational algorithms to approximate the function of two variables in a form of a bilinear series, as well as their application to the solution of the Fredholm integral equations of the second kind by the method of degenerate kernels. 2013 Article Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 73-80. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61866 519.6 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Верлань, Д.А. Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода Электронное моделирование
description	Рассмотрены базовый и градиентный итерационно-вариационные алгоритмы аппроксимации функций двух переменных в виде билинейного ряда и их применение для решения интегральных уравнений Фредгольма II рода методом вырожденных ядер.
format	Article
author	Верлань, Д.А.
author_facet	Верлань, Д.А.
author_sort	Верлань, Д.А.
title	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода
title_short	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода
title_full	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода
title_fullStr	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода
title_full_unstemmed	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода
title_sort	градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений фредгольма ii рода
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математические методы и модели
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61866
citation_txt	Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 73-80. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT verlanʹda gradientnyjalgoritmbilinejnojapproksimaciiâderprirešeniiintegralʹnyhuravnenijfredgolʹmaiiroda
first_indexed	2025-07-05T12:48:05Z
last_indexed	2025-07-05T12:48:05Z
_version_	1836811221068677120
fulltext	ÓÄÊ 519.6 Ä.À. Âåðëàíü, àñïèðàíò Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ò. Øåâ÷åíêî (Óêðàèíà, 03127, Êèåâ, ïðîñï. Àêàäåìèêà Ãëóøêîâà, 4ä, òåë. (+38) 0632779797, dmitriverlan@gmail.com) Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì áèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäåð ïðè ðåøåíèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà II ðîäà Ðàññìîòðåíû áàçîâûé è ãðàäèåíòíûé èòåðàöèîííî-âàðèàöèîííûå àëãîðèòìû àïïðîêñè- ìàöèè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ â âèäå áèëèíåéíîãî ðÿäà è èõ ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà II ðîäà ìåòîäîì âûðîæäåííûõ ÿäåð. Ðîçãëÿíóòî áàçîâèé ³ ãðàä³ºíòíèé ³òåðàö³éíî-âàð³àö³éí³ àëãîðèòìè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ ó âèãëÿä³ á³ë³í³éíîãî ðÿäó òà ¿õ çàñòîñóâàííÿ äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü Ôðåäãîëüìà II ðîäó ìåòîäîì âèðîäæåíèõ ÿäåð. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: àïïðîêñèìàöèÿ, àëãîðèòì, âûðîæäåííîå ÿäðî, èíòåãðàëüíîå óðàâ- íåíèå. Îäíèì èç àêòóàëüíûõ íàïðàâëåíèé ðàçâèòèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ è àëãî- ðèòìîâ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ èõ îðèåíòèðîâàíèå íà ýôôåêòèâíóþ êîìïüþòåðíóþ ðåàëèçàöèþ. Â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ýòî îòíî- ñèòñÿ ê óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà, ÷èñëåííîå ðåøåíèå êîòîðûõ òðåáóåò ó÷åòà òàêîé îñîáåííîñòè êàê íàëè÷èå ïîñòîÿííûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðî- âàíèÿ (â îòëè÷èå îò óðàâíåíèé òèïà Âîëüòåððû). Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äèíàìèêè òàêèå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþò âðåìåííîé èíòåð- âàë, íà êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ïîèñê ðåøåíèÿ è èñêëþ÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ïî ïðèíöèïó «øàã çà øàãîì». Èçâåñòíûì àíàëîãîì òàêîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëü- íûå óðàâíåíèÿ, êðàåâûå óñëîâèÿ êîòîðûõ ïðèâîäÿò ê òàêîé æå îñîáåííîñ- òè ïðè ñðàâíåíèè ñ çàäà÷åé Êîøè. Ïðåîäîëåòü âîçíèêàþùèå òðóäíîñòè ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà âûðîæäåííûõ (ðàçäåëÿþùèõñÿ) ÿäåð, êîòîðûé â íàñòîÿùåå âðåìÿ åùå íå ïîëó÷èë øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ. Ýòîò ìåòîä äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ýêîíîìíûå âû÷èñëèòåëüíûå ñõåìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ, íî åãî ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 73 � Ä.À. Âåðëàíü, 2013 ïðèìåíåíèå ñâÿçàíî ñ îãðàíè÷åíèÿìè, îáóñëîâëåííûìè êîíêðåòíûì âè- äîì ÿäðà, ò.å. ÿäðî äîëæíî áûòü âûðîæäåííûì, ïðåäñòàâëåííûì â âèäå îïðåäåëåííîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé, ÷òî äîâîëüíî ðåä- êî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå. Â ñâÿçè ñ ýòèì êîìïüþòåðíî ðåàëèçîâàííûé âàðèàíò ìåòîäà âûðîæäåííûõ ÿäåð äîëæåí ñîäåðæàòü ýôôåêòèâíûé ÷èñ- ëåííûé àëãîðèòì àïïðîêñèìàöèè ÿäåð êàê ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ. Èñïîëüçóåìûå â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ [1] îñíîâàíû, êàê ïðàâèëî, íà àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ðàçëîæåíèÿ èñõîäíîé ôóíêöèè â êîíå÷íûå ðÿäû èëè ñîñòîÿò â ïðåäâàðèòåëüíîì âûáîðå ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ñ ïîñëåäóþùèì îïòèìèçàöèîííûì îïðåäåëåíèåì ñîîòâåòñòâóþ- ùèõ êîýôôèöèåíòîâ âëèÿíèÿ. Ïîëó÷åííûé íàáîð êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ïðèãîäåí äëÿ àïïðîêñèìàöèè øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ. Äëÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ àïïðîêñèìàöèè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî èõ êîëè- ÷åñòâî. Ïðè ýòîì ðåçóëüòàòîì àïïðîêñèìàöèè ÿâëÿþòñÿ çàâèñèìîñòè, êîòî- ðûå ìîãóò ñîäåðæàòü çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, ÷òî ÷àñòî çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåò âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò àëãîðèòìû àïïðîêñèìàöèè ôóíê- öèé äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîçâîëÿþùèå ÷èñëåííî ôîðìèðîâàòü êîîðäèíàò- íûå ôóíêöèè, ôîðìà êîòîðûõ ñâîéñòâåííà ëèøü äàííîé êîíêðåòíîé çàäà- ÷å àïïðîêñèìàöèè è îáåñïå÷èâàåò íåçíà÷èòåëüíîå èõ êîëè÷åñòâî. Äëÿ ëþáîé äðóãîé àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè íàáîð êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé òàêæå áóäåò äðóãèì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå âàðèàíòû àëãîðèòìîâ, ðåàëè- çóþùèõ äàííûé ïîäõîä. Áàçîâûé èòåðàöèîííî-âàðèàöèîííûé àëãîðèòì [2]. Áóäåì ðàñ- ñìàòðèâàòü çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ â ñëåäóþùåì âèäå. Ïóñòü çàäàíà èíòåãðèðóåìàÿ â êâàäðàòå [ , ]a x s b� � ôóíêöèÿ K x s( , ). Íåîáõîäèìî àïïðîêñèìèðîâàòü åå áèëèíåéíîé ñóììîé K x s x s i l i i( , ) ( ) ( )� � � 1 � � (1) ïðè óñëîâèè ìèíèìóìà êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà � � � � � � �� a b a b i l i iK x s x s dxds( , ) ( ) ( ) min 1 2 � � . (2) Ïðîöåññ àïïðîêñèìàöèè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîñëåäîâàòåëüíî íà- õîäèì ñëàãàåìûå ñóììû (1). Ïåðâîå ñëàãàåìîå, � �1 1( ) ( )x s , ôîðìèðóåòñÿ Ä.À. Âåðëàíü 74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1 òàê: çàäàåì íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå � 1 0( ) ( )s ôóíêöèè � 1 ( )s è íàõîäèì íà- ÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå � 1 0( ) ( )s äëÿ � 1 ( )x : � � �� 1 0 1 1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )) s K x s s ds s ds a b a b � � � , (3) ãäå K x s K x s1( , ) ( , )� . Çàòåì îïðåäåëÿåì � � �� 1 1 1 1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )) s K x s x dx x dx a b a b � � � . (4) Íàèáîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå � � 1 1 j jx s( ) ( ) ê K x s1( , ) îïðåäåëÿåì èòåðà- öèîííî èç âûðàæåíèé � � �� i j a b i i j a b i j x K x s s ds s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )) � � � 2 , (5) � � �� i j a b i i j a b i j s K x s x dx x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )) � � � 2 , (6) ãäå i — íîìåð ñëàãàåìîãî ñóììû; j — íîìåð øàãà èòåðàöèè. Èòåðàöèîí- íûé ïðîöåññ (5), (6) ïðîäîëæàåòñÿ äî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé � � � i j i jx x( ) ( )( ) ( ) � 1 , � � � i j i js s( ) ( )( ) ( ) � 1 , (7) ãäå � — ïîêàçàòåëü çàäàííîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé �1( )x è �1( )s . Çàòåì òàêóþ æå ïðîöåäóðó âûïîëíÿåì äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé K x s K x s x si i i i� � 1( , ) ( , ) ( ) ( )� � , (8) Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì áèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäåð ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 75 èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (5) è (6) äî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (7). Âåñü èòåðàöèîí- íî-âàðèàöèîííûé ïðîöåññ (3)—(8) ïðîäîëæàåòñÿ äî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ K x s x s i l i i( , ) ( ) ( ) � � � 1 � � � apr , (9) ãäå � apr — çàäàííûé ïîêàçàòåëü òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå (1), ñ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðóþùåå èñõîäíóþ ôóíêöèþ K x s( , ). Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì. Äëÿ óñêîðåíèÿ ïðîöåññà àïïðîêñèìàöèè ãëàäêèõ ôóíêöèé K x s( , ) [3] öåëåñîîáðàçíî âìåñòî òðàäèöèîííîãî êðèòå- ðèÿ îïòèìàëüíîñòè ïðèáëèæåíèÿ (2) ðàññìîòðåòü ôóíêöèîíàë, ó÷èòûâàþ- ùèé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ (ãðàäèåíòû) ôóíêöèè K x s( , ) ïî ïåðåìåííûì x è s. Â ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå g a b a b i l i iK x s x s dxds� � � � � � �� ( , ) ( ) ( ) 1 2 � � � � � � � � � � �� n K x s x s dxds a b a b x i l i i( , ) ( ) ( ) 1 2 � � � � � � � � � � �� m K x s x s dxds a b a b s i l i i( , ) ( ) ( ) min 1 2 � � , (10) ãäå n è m — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ïðè ñëàãàåìûõ, ó÷èòûâàþùèõ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ ñîîòâåòñòâåííî ïî x è s. Çíà÷åíèÿ n è m âûáèðàåì (îïðåäå- ëÿåì) ëèáî íà îñíîâå àïðèîðíûõ äàííûõ î ôóíêöèè K x s( , ), ëèáî â ïðîöåññå ïîñëåäóþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïðèðàâíèâàíèå ê íóëþ ëåâîé ÷àñòè ôóíêöèîíàëà (9) (èäåàëüíûé ñëó- ÷àé àïïðîêñèìàöèè) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå ýêâèâàëåíòíûõ ïðå- îáðàçîâàíèé îïðåäåëÿþùåå âûðàæåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìûõ çíà÷å- íèé � i x( ) â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ �� a x n s ds x m s ds s dsi a b i i a b i a b i( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )� � � � � � � � � �� a b x xxK x s mK x s nK x s ds( ( , ) ( , ) ( , )) (11) Ä.À. Âåðëàíü 76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1 ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè � � � � � �� ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) a K a s ds s ds b K b s ds a b x a b i a b s a b i s ds� � ( ) (12) è àíàëîãè÷íîãî óðàâíåíèÿ äëÿ � i s( ), �� i a b i i a b i a b i s m x ds s m x dx x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � �� a b s ssK x s nK x s mK dx( ( , ) ( , ) , (13) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè � � � � � �� i a b x a b i i a b s a K a s ds s ds ab K b s ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ds s ds a b i� � ( ) . (14) Ðåøåíèå óðàâíåíèé (11) è (13) ïðèâîäèò ê ïîëó÷åíèþ èñêîìûõ ôóíê- öèé � i j x( ) ( ) è � i j s( ) ( ), à èñïîëüçîâàíèå âûðàæåíèé (7)—(9) ïîçâîëÿåò ïîëó- ÷èòü èñêîìîå ïðèáëèæåíèå. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî äàííàÿ ïðîöåäóðà òðåáóåò ìíîãîêðàòíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðî- âàíèÿ. Ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê áîëüøèì ïîãðåø- íîñòÿì, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ è ê íåâîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà ñ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ. Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë è ïîâûøåíèÿ óñòîé÷èâîñòè âû÷èñ- ëåíèé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âûðàæåíèÿìè �� i i a x n s ds( ) ( ) , nK x sxx�� ( , )â (11) è �� i i a s m x ds( ) ( ) , m K x sss�� ( , ) â (13), ÷òî âïîëíå îïðàâäàíî ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n è m. Òîãäà èç (11) è (13) ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíûå âûðàæåíèÿ â ÿâíîì âèäå äëÿ i l� 0, : Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì áèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäåð ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 77 � � � i j a b i i j x i j a b x K x s s mK x s s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) � � �� ( ( ) ( )) , ( ) ( )� � i j i js s ds2 (15) � � � i j a b i i j s i j a b s K x s x nK x s x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) � � �� ( ( ) ( )) . ( ) ( )� � i j i jx x dx2 (16) Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (15) è (16) íå òîëüêî áîëåå óäîáíû äëÿ âû÷èñëåíèé, íî è ïðè çàìåíå èìè âûðàæåíèé (5) è (6) â áàçîâîì àëãîðèòìå çàâåðøàþò ïîñòðîåíèå íîâîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî óñêîðèòü âû÷èñëèòåëüíûé ïðî- öåññ è óìåíüøèòü ÷èñëî ñëàãàåìûõ àïïðîêñèìèðóþùåãî ðÿäà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ïðèâåäåííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèè K x s x s( , ) sin ( )� (ðèñ. 1, ñì. âêëåéêó) â êâàäðàòå[ , ]0 � �x s � ñ òî÷íîñòüþ� apr � 0 1 5, ,� � 0 1 4, è øàãîì h �0 01, . Äëÿ âûïîëíåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ èñïîëü- çóåòñÿ ñðåäà MATLAB ñ ðàçðàáîòàííûìè ìîäóëÿìè, ðåàëèçóþùèìè àëãî- ðèòìû àïïðîêñèìàöèè. Ïîñðåäñòâîì áàçîâîãî àëãîðèòìà ïîëó÷åí àïïðîêñèìèðóþùèé ðÿä èç âîñüìè ñëàãàåìûõ çà 90,8 ñ. Ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà ïîëó÷åí ðÿä èç ñåìè ñëàãàåìûõ çà 24,5 ñ ïðè n m� �005, . Äàííûå ðåçóëüòàòû ñâè- äåòåëüñòâóþò î ðàáîòîñïîñîáíîñòè àëãîðèòìîâ è ïîäòâåðæäàþò îæèäàåìûå ñâîéñòâà ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà. Ãðàôèêè ôóíêöèé ïîãðåøíîñòè áàçîâîãî è ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2 (ñì. âêëåéêó). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà II ðîäà. Ðàññìîòðèì ìåòîä âûðîæ- äåííûõ ÿäåð [4] ïðèìåíèòåëüíî ê ðåøåíèþ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà II ðîäà y x f x K x s y s ds a b ( ) ( ) ( , ) ( )� �� . (17) Åñëè ÿäðî èìååò âèä (1), òî óðàâíåíèå (17) ïðèíèìàåò âèä y x f x x s y s dsi i l i a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� 1 . (18) Ä.À. Âåðëàíü 78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1 Åñëè ïîëîæèòü c s y s dsi i a b � � � ( ) ( ) , d x s dsij j i a b � � � �( ) ( ) , f s f s dsi i a b � � � ( ) ( ) , òî ìîæíî ñôîðìèðîâàòü àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî íåèçâåñò- íûõ ci : c d c fi ij i i l i � � � 1 , èëè áîëåå ïîäðîáíî ( ) , ( ) . 1 1 11 1 1 1 1 1 � � d c d c f d c d c f l l l ll l l � � � � � (19) Ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ ci èç ñèñòåìû (19) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18) ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå âûðàæåíèÿ y x f x c xi i i l ( ) ( ) ( )� � � � � 1 , êîòîðîå óäîáíî èñïîëüçîâàòü êàê â êà÷åñòâå àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâ- ëåíèÿ, òàê è ïðè âûïîëíåíèè âû÷èñëeíèé. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà âûðîæäåíûõ ÿäåð ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåíûõ âûøå àëãîðèìîâ àïðîêñèìàöèè ÿäðà ìîæíî ðàññìîòðåòü íà ïðèìåðå ðåøå- íèÿ óðàâíåíèÿ y x e x x x x e x x xsy sx( ) sin cos sin ( )� � � � � � � � � � � � � � � 1 12 2 ds 0 � � (20) (òî÷íîå ðåøåíèå e x ), ïðåäâàðèòåëüíî àïïðîêñèìèðîâàâ ôóíêöèþ K x s xs( , ) sin� . Â òàáëèöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (20) òðåìÿ ìåòîäàìè ñ øàãîì h � 001, íà îòðåçêå [ , ]0 � . Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì áèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäåð ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 79 Ìåòîä Âðåìÿ, çàòðà÷åííîå íà ðåøåíèå, ñ Ìàêñèìàëüíàÿ àáñîëþòíàÿ îøèáêà Êâàäðàòóðíûé ìåòîä òðàïåöèé 0,0482 0,0011 Âûðîæäåííûõ ÿäåð ñ áàçîâîé àïïðîêñèìàöèåé 0,0117 0,00072967 Âûðîæäåííûõ ÿäåð ñ ãðàäèåíòíîé àïïðîêñèìàöèåé 0,0021 0,00072916 Âûâîäû Ïðèìåíåíèå ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ àïïðîêñèìàöèè ÿäåð èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé êàê ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü ýôôåê- òèâíîñòü è ðàñøèðèòü îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà âûðîæäåííûõ ÿäåð. Ïðèìåíåíèå ãðàäèåíòíîãî ïðèíöèïà ê ôîðìèðîâàíèþ ôóíêöèîíàëà òî÷- íîñòíîé îïòèìèçàöèè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè áèëèíåéíûì ðÿäîì ïðèâî- äèò ê ïîñòðîåíèþ àëãîðèòìà àïïðîêñèìàöèè ñ ãèáêèì ó÷åòîì ñâîéñòâ èñõîäíîé ôóíêöèè è âîçìîæíîñòüþ óñêîðåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåñ- ñà, à òàêæå ìèíèìèçàöèè ÷èñëà êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé, íàáîð êîòîðûõ îòíîñèòñÿ ëèøü ê êîíêðåòíîé àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè. Ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùèå ðàññìîòðåííûå àëãîðèòìû ïðèáëèæåíèÿ, ìîãóò áûòü âêëþ- ÷åíû â ñóùåñòâóþùèå òèïîâûå ñðåäñòâà êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, òðåáóþùèõ âûñîêîé ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé ïðè ðåøå- íèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (îáðàáîòêà ñèãíàëîâ, óïðàâëåíèå, äèàãíîñ- òèêà è äð.) ýòàï àïïðîêñèìàöèè ÿäðà äîëæåí áûòü ïðåäâàðèòåëüíûì, ÷òî íå ïðîòèâîðå÷èò ñóùåñòâóþùèì òåõíîëîãèÿì ðàçðàáîòêè ñðåäñòâ îáðà- áîòêè ñèãíàëîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. The article investigates the basic and gradient iteration-variational algorithms to approximate the function of two variables in a form of a bilinear series, as well as their application to the solution of the Fredholm integral equations of the second kind by the method of degenerate kernels. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áåðåçèí È.Ñ., Æèäêîâ Í.Ï. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé. Ò. 2. — Ì. : Ôèçìàòãèç, 1962. — 640 ñ. 2. Âåðëàíü Ä.À. ²òåðàö³éí³ àëãîðèòìè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ//Çá. «Ìàòåìà- òè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ». Ñåð. Òåõí³÷í³ íàóêè. Âèï. 2. — Êàì’ÿíåöü- Ïîä³ëüñüê: Êàì’ÿíåöü-Ïîä³ëüñüêèé íàö³îíàëüíèé óí-ò ³ì. ²âàíà Îã³ºíêà, 2009. — Ñ. 24—32. 3. Âàñèëüåâ Ô.Ï. Ëåêöèè ïî ìåòîäàì ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì. : èçä-âî ÌÃÓ, 1974. — 374 ñ. 4. Ìàíæèðîâ À.Â., Ïîëÿíèí À.Ä. Ñïðàâî÷íèê ïî èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì: Ìåòîäû ðåøåíèÿ. — Ì. : «Ôàêòîðèàë Ïðåññ», 2000. — 384 ñ. Ïîñòóïèëà 15.11.12 ÂÅÐËÀÍÜ Äìèòðèé Àíàòîëüåâè÷, àñïèðàíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ò. Øåâ÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èë â 2011 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé è ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ä.À. Âåðëàíü 80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1 0 0 �1,0 1,0 �0,5 0 k x s( , ) 0,5 1 1 2 3 4 x s 3 2 Ðèñ. 1. Àïïðîêñèìèðóåìàÿ ôóíêöèÿ sin ( )xs 0 0 �4 �2 2 4 0 1 1 2 2 3 3 x á s k x s k x s( , ) 1 ( , )� � 10 �6 Ðèñ. 2. Ôóíêöèÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè äëÿ áàçîâîãî (à) è ãðàäèåíò- íîãî (á) àëãîðèòìîâ 0 0 �4 �2 2 4 0 1 1 2 2 3 3 x a s k x s k x s( , ) 1 ( , )� � 10 �7 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма II рода

Репозитарії

Схожі ресурси