О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами
An axisymmetric problem on two parallel coaxial cracks of torsion in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated by use of the approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for highly elastic materials with Barte...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6263 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 59-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6263 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62632010-02-23T12:01:12Z О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами Богданов, В.Л. Механіка An axisymmetric problem on two parallel coaxial cracks of torsion in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated by use of the approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for highly elastic materials with Bartenev–Khazanovich and Treloar elastic potentials. The dependence of the stress intensity factors on the initial stresses and geometric parameters of the problem is analyzed. 2008 Article О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 59-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6263 539.375 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Богданов, В.Л. О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| description |
An axisymmetric problem on two parallel coaxial cracks of torsion in an infinite material with initial stresses acting along cracks is investigated by use of the approaches of the three-dimensional linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for highly elastic materials with Bartenev–Khazanovich and Treloar elastic potentials. The dependence of the stress intensity factors on the initial stresses and geometric parameters of the problem is analyzed. |
| format |
Article |
| author |
Богданов, В.Л. |
| author_facet |
Богданов, В.Л. |
| author_sort |
Богданов, В.Л. |
| title |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| title_short |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| title_full |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| title_fullStr |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| title_full_unstemmed |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| title_sort |
о кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6263 |
| citation_txt |
О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соосными трещинами / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 59-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovvl okručeniipredvaritelʹnonaprâžennogomaterialasdvumâparallelʹnymisoosnymitreŝinami |
| first_indexed |
2025-07-02T09:12:47Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:12:47Z |
| _version_ |
1836525884755935232 |
| fulltext |
УДК 539.375
© 2008
В.Л. Богданов
О кручении предварительно напряженного материала
с двумя параллельными соосными трещинами
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
An axisymmetric problem on two parallel coaxial cracks of torsion in an infinite material with
initial stresses acting along cracks is investigated by use of the approaches of the three-dimensio-
nal linearized mechanics of solids. Numerical results are obtained for highly elastic materials
with Bartenev–Khazanovich and Treloar elastic potentials. The dependence of the stress intensi-
ty factors on the initial stresses and geometric parameters of the problem is analyzed.
Задача о кручении неограниченного упругого тела, ослабленного двумя соосными круго-
выми трещинами, в случае отсутствия начальных напряжений решена в работах [1, 2].
В [3–5] для исследования задач механики разрушения материалов при действии начальных
напряжений, направленных вдоль поверхностей трещин, был предложен подход в рамках
трехмерной линеаризированной механики деформируемого твердого тела и рассмотрен ряд
статических и динамических задач для изолированных (свободных) трещин. Детальный
обзор работ, выполненных в рамках указанного подхода, приведен в [6, 7]. В частности,
в работах [8, 9] получены решения, соответственно, для предварительно напряженного по-
лупространства с приповерхностной трещиной кручения и для предварительно напряжен-
ного пространства с периодической системой соосных трещин кручения.
Отметим также, что в [10] в линеаризированной постановке рассмотрен случай нагруже-
ния неограниченного тела с двумя параллельными соосными дискообразными трещинами
сжимающими усилиями, направленными вдоль плоскостей трещин, когда поверхности тре-
щин свободны от напряжений. В этом случае начало разрушения связывается с локальной
потерей устойчивости материала в окрестности трещин, вызванной сжимающими усилиями.
В настоящей статье, следуя подходам [3–5], рассматривается задача о кручении беско-
нечного материала с начальными напряжениями, содержащего две параллельные соосные
круговые трещины. Задача исследуется в общей форме для сжимаемых и несжимаемых
материалов. Численные результаты приводятся для некоторых типов высокоэластических
материалов.
1. Рассмотрим неограниченное тело, ослабленное двумя одинаковыми дискообразными
трещинами радиуса a, занимающими области y3 = 0 и y3 = −2h, 0 < r < a (yj , j = 1, 2, 3 —
лагранжевые координаты начального деформируемого состояния, а r, θ, y3 — получаемые
из них цилиндрические координаты).
Предполагаем, что в теле действуют одинаковые начальные напряжения вдоль осей Oy1,
Oy2, реализующие однородное начальное напряженно-деформированное состояние:
S0
33 = 0, S0
11 = S0
22 = const 6= 0, u0
m = λ−1
m (λm − 1)ym,
λj = const, λ1 = λ2 6= λ3,
(1)
где S0
ij — компоненты симметричного тензора напряжений, отнесенные к единице площади
тела в недеформированном (естественном) состоянии; u0
m — компоненты вектора переме-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 59
щений в начальном состоянии; λj — обусловленные начальными напряжениями коэффици-
енты удлинения (укорочения) вдоль координатных осей. Кроме того, будем использовать
такие обозначения: Q′
ij — компоненты несимметричного тензора напряжений, отнесенные к
единице площади тела в начальном (вызванном начальными напряжениями S0
ij) состоянии;
uj — компоненты соответствующего им вектора перемещений в возмущенном состоянии.
В [4] для случая однородного начального состояния (1) построены представления общих
решений линеаризированных уравнений равновесия через гармонические потенциальные
функции. В случае, когда к поверхностям трещин приложены антисимметрично относи-
тельно плоскостей трещин касательные окружные нагрузки, с учетом осесимметричности
задачи, отличными от нуля будут лишь компоненты вектора перемещений uθ и тензора
напряжений Q′
3θ, причем они не зависят от окружной координаты θ. При этом указанные
представления общих решений принимают вид:
ur = 0; uθ =
∂ϕ3
∂r
; u3 = 0;
Q′
3r = 0; Q′
3θ = C44
∂2ϕ3
∂r∂y3
= C44n
−1/2
3
∂2ϕ3
∂r∂z3
; Q′
33 = 0, z3 ≡ n
−1/2
3 y3.
(2)
Здесь величины C44, n3 определяются выбором модели материала и зависят от начальных
напряжений [4], а потенциальная функция ϕ3 удовлетворяет уравнению Лапласа
(
∂
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
3
)
ϕ3(r, z3) = 0. (3)
Предполагая, что напряженное состояние симметрично относительно плоскости y3 = −h,
равноудаленной от трещин, можем переформулировать исходную задачу к задаче для по-
лупространства y3 > −h с одной трещиной с таким условием симметрии на его плоской
границе:
uθ(r, y3) = 0; y3 = −h, 0 6 r < ∞. (4)
Предполагаем далее, что к поверхности трещины приложена антисимметрично относи-
тельно плоскости трещины касательная окружная нагрузка
Q′
3θ(r, y3) = −τ(r); y3 = 0, 0 6 r < a. (5)
Таким образом, исходная задача сводится к интегрированию уравнения (3) с граничными
условиями относительно функции ϕ3(r, z3), следующими из условий (4), (5) с учетом пред-
ставлений (2).
Условно разобьем полупространство y3 > −h на две подобласти: полупространство y3 >
> 0 и слой −h 6 y3 6 0, обозначив соответствующие им величины индексами “1” и “2”. На
границе указанных областей вне трещины должны выполняться условия непрерывности
напряжений и перемещений. Тогда можем переформулировать граничные условия задачи
в виде:
u
(2)
θ (r, y3) = 0; y3 = −h, 0 6 r < ∞; (6)
Q′(1)
3θ (r, y3) = Q′(2)
3θ (r, y3); y3 = 0, 0 6 r < ∞; (7)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
u
(1)
θ (r, y3) = u
(2)
θ (r, y3); y3 = 0, a < r < ∞; (8)
Q′(2)
3θ (r, y3) = −τ(r); y3 = 0, 0 6 r 6 a. (9)
Кроме того, компоненты тензора напряжений и вектора перемещений должны затухать
при y3 → ∞.
2. Выразим гармоническую потенциальную функцию ϕ3(r, z3), фигурирующую в пред-
ставлениях общих решений (2), в каждой из областей “1” та “2” в виде интегральных ра-
зложений Ханкеля нулевого порядка по r:
ϕ
(1)
3 (r, z3) =
∞∫
0
C(λ)e−λz3J0(λr)
dλ
λ
;
ϕ
(2)
3 (r, z3) =
∞∫
0
[C1(λ) ch λ(z3 + h3) + C2(λ) sh λ(z3 + h3)]J0(λr)
∂λ
sh λh3
,
(10)
где h3 = hn
−1/2
3 .
Условия (6), (7), заданные на всей области y3 = const, приводят к двум соотношениям,
связывающим три неизвестные функции C(λ), C1(λ) и C2(λ). Оставшиеся условия (8), (9)
приводят к системе парных интегральных уравнений:
∞∫
0
[1 + g(λ)]A(λ)J1(λr)λdλ =
2τ(r)
C44n
−1/2
3
(r 6 a);
∞∫
0
AJ1(λr) dλ = 0 (r > a),
(11)
где
A(λ) =
eλh3
shλh3
C2(λ); C(λ) = − ch λh3C2(λ); C1(λ) = 0; g(λ) = e−2λh3 . (12)
Будем решать систему парных интегральных уравнений (11) методом подстановки [11],
в соответствии с ним выбираем решение в виде, который позволяет тождественно удовлет-
ворить последнее уравнение в (11), а именно:
A(λ) =
√
πλ
2
a∫
0
√
tω(t)J3/2(λt) dt = −λ−1
[
ω(a) sin λa −
a∫
0
t−1 sin λtω̃(t) dt
]
, (13)
где ω(t) — неизвестная функция, непрерывная вместе со своей первой производной на ин-
тервале [0, a], а ω̃(t) ≡ d
dt
[tω(t)].
Тогда, подставляя представление (13) в первое уравнение (11) после некоторых пре-
образований получим соотношение
r∫
0
ω̃(t)
dt√
r2 − t2
= −
√
π
2
r
∞∫
0
g(λ)
[ a∫
0
√
tω(t)J3/2(λt) dt
]
λ3/2J1(λr) dλ +
2rτ(r)
C44n
−1/2
3
. (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 61
Используя подстановку t = r sin θ и принимая во внимание, что уравнение Шлемильха
вида
π/2∫
0
f(r sin θ) dθ = N(r), 0 6 r 6 a
имеет решение [11]
f(x) =
2
π
[
N(0) + x
π/2∫
0
N ′(x sin θ) dθ
]
, 0 6 x 6 a,
из (14) получаем разрешающее интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое
в обезразмеренной форме имеет вид
f(ξ) +
1
π
1∫
0
f(η)K(ξ, η)dη =
4
π
ξ
π/2∫
0
q′(ξ sin θ)dθ, 0 6 ξ 6 1, . . . , 0 6 η 6 1, (15)
где
f(ξ) ≡ a−1ω̃(aξ) = a−1 d
dξ
[ξω(aξ)], q(ξ) ≡ ξτ(ξ)
C44n
−1/2
3
. (16)
Ядро интегрального уравнения (15) имеет вид
K(ξ, η) = 8β3ξ
2
[
1
(4β2
3 + ξ2 + η2)2 − 4ξ2η2
− 1
(4β2
3 + ξ2 + 1)2 − 4ξ2
]
,
β3 ≡ h
a
n
−1/2
3 .
(17)
Таким образом, решая интегральное уравнение Фредгольма второго рода (15) и исполь-
зуя соотношения (16), (13), (12) и (10), из представлений (2) можем получить распределение
напряжений и перемещений в материале.
3. Используя соотношения (2), (10), (12) и (13), получим выражения для компонент
тензора напряжений в плоскости трещины y3 = 0 при r > 0:
Q′(2)
33 (r, 0) = 0; Q′(2)
3r (r, 0) = 0;
Q′(2)
3θ =
1
2
C44n
−1/2
3
aω(a)
r
√
r2 − a2
+
1
2
C44n
−1/2
3
{
−1
r
a∫
0
ω̃(t)√
r2 − t2
dt −
−
√
π
2
∞∫
0
√
λe−2λh3
[ a∫
0
√
tω(t)J3/2(λt) dt
]
J1(λr)λdλ
}
.
(18)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Аналогично классическому случаю [12] будем определять коэффициенты интенсивности
напряжений (КИН) как коэффициенты при особенностях в компонентах напряжений возле
края трещины:
KI = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
33(r, 0),
KII = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
3r(r, 0),
KIII = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
3θ(r, 0).
(19)
Из анализа последнего выражения в (18) следует, что при r → +a
Q′(2)
3θ ∼ 1
2
C44n
−1/2
3
aω(a)
r
√
r2 − a2
. (20)
Тогда из (19) находим
KI = 0, KII = 0, KIII =
1
2
C44n
−1/2
3
√
π
a
√
a
a∫
0
ω̃(t) dt. (21)
Переходя в (21) к безразмерным переменным и функциям, получаем
KI = 0, KII = 0, KIII =
1
2
C44n
−1/2
3
√
πa
1∫
0
f(η) dη, (22)
где функция f(η) определяется из интегрального уравнения (15).
Из последнего соотношения (22) видим, что КИН KIII зависит от начальных напря-
жений S0
11 = S0
22 (или удлинений λ1 = λ2), а также от расстояния между трещинами 2h
(или 2β), поскольку величины C44, n3, а также решение f(ξ) уравнения (15) зависят от
этих параметров.
Рассмотрим предельный случай расположения трещин, когда расстояние между ними
стремится к бесконечности. Из выражений для ядер интегрального уравнения (15) следует,
что при β → ∞ ядро в пределе обращается в нуль.
Тогда из уравнения (15) имеем граничное значение для функции :
lim
β→∞
f(ξ) ≡ f∞(ξ) =
4
π
ξ
π/2∫
0
q′(ξ sin θ) dθ. (23)
Подставляя соотношение (23) в представления (21), (22), получаем следующие значения
КИН для предельного случая расположения трещин при β → ∞:
K∞
I = 0, K∞
II = 0, K∞
III = 2
√
a
π
1∫
0
η2τ(η)dη√
1 − η2
=
2
a
√
πa
a∫
0
t2τ(t) dt√
a2 − t2
, (24)
которые полностью совпадают (при принятых обозначениях) со значениями КИН, получен-
ными в задаче о кручении изолированной трещины в бесконечном материале с начальными
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 63
Рис. 1
напряжениями [3] и без начальных напряжений [12]. В частности, для случая равномерной
касательной окружной нагрузки на берегах трещины τ(r) = τ0 = const из (24) получаем
K∞
I = 0, K∞
II = 0, K∞
III =
τ0
2
√
πa. (25)
4. Для численного исследования интегральных уравнений Фредгольма второго рода (15)
используется метод Бубнова–Галеркина с выбором в качестве системы координатных фун-
кций системы степенных функций. Численное интегрирование осуществляется по квадра-
турным формулам Гаусса. Предполагается, что на берегах трещин действует равномерная
касательная окружная нагрузка в виде τ(r) = τ0 = const. Отметим, что при численном
исследовании диапазон изменений сжимающих начальных усилий S0
11 (и соответствующих
им параметров укорочения λ1 < 1) необходимо ограничить критическими значениями пара-
метров λ∗
1, по достижении которых происходит локальная потеря устойчивости материала
в окрестности двух параллельных соосных трещин (см. [10]).
Материал с потенциалом Бартенева–Хазановича [13] (высокоэластический
несжимаемый материал). Параметры, входящие в (2), для этого материала имеют зна-
чения: C44 = 2µλ−2
1 (1+λ3
1)
−1; n3 = 2λ−6
1 (λ−3
1 +1)−1 (здесь µ — постоянная материала). Для
данного материала критические значения параметра укорочения λ∗
1, при которых наступа-
ет локальная неустойчивость материала, рассчитанные в координатах начального состоя-
ния, приведены в табл. 1. На рис. 1, а дана зависимость соотношений КИН KIII/K
∞
III (где
K∞
III — КИН для изолированной трещины в бесконечном материале, определяемый по фор-
муле (25)) от значений параметра начального укорочения (удлинения) λ1, обусловленного
действием начальных напряжений сжатия — растяжения S0
11 (λ1 < 1 — начальное сжатие;
λ1 > 1 — начальное растяжение), для различных значений безразмерного расстояния ме-
жду трещинами β = ha−1. Как видим, начальные напряжения оказывают существенное
влияние на КИН.
Таблица 1
β 0,0625 0,125 0,25 0,5 1,0 2,0 10,0 ∞
λ
∗
1 0,992 0,965 0,911 0,833 0,758 0,712 0,694 0,693
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Таблица 2
β 0,0625 0,125 0,25 0,5 1,0 2,0 10,0 ∞
λ
∗
1 0,992 0,964 0,910 0,829 0,751 0,697 0,667 0,666
Рис. 2
Рис. 1, б иллюстрирует зависимость соотношений KIII/K
∞
III от безразмерного рассто-
яния между трещинами β для разных значений λ1 (сплошная линия — λ1 = 0,9, пунктир-
ная — λ1 = 1,0, штрих-пунктирная — λ1 = 1,1, пунктирная — λ1 = 1,5). Как видим, взаи-
модействие двух параллельных соосных трещин приводит к снижению значений КИН KIII
по сравнению со значениями КИН K∞
III , полученными для случая одной трещины, т. е.,
к упрочнению материала. Аналогичный результат был получен и в задаче о двух соосных
трещинах в материале без начальных напряжений [2]. Кроме того, из этого рисунка ви-
дим, что при возрастании расстояния между трещинами значения КИН для двух соосных
трещин кручения стремятся к значениям, получаемым в случае изолированной трещины
кручения в бесконечном материале.
Материал с потенциалом Трелоара [14] (высокоэластический несжимаемый
материал). Параметры, входящие в (2), для этого материала имеют значения: C44 =
= 2C10λ
−4
1 ; n3 = λ−6
1 (C10 — постоянная материала). Критические значения параметра
укорочения λ∗
1, при которых наступает локальная неустойчивость материала с потенциа-
лом Трелоара, рассчитанные в координатах начального состояния, приведены в табл. 2.
Рис. 2 иллюстрирует зависимость соотношений KIII/K
∞
III от параметра начального нагру-
жения λ1 для разных значений β. Из приведенной зависимости можно сделать выводы
о влиянии на КИН начальных напряжений и о взаимовлиянии двух трещин, аналогичные
приведенным для материала с потенциалом Бартенева–Хазановича.
1. Уфлянд Я.С. Некоторые задачи о кручении упругих тел, ослабленных соосными круговыми щелями /
Концентрация напряжений. Вып. 3. – Львов, 1971. – С. 177–181.
2. Pasha M.L. Axially symmetric stress distributions in elastic solids containing penny-shaped cracks under
torsion // J. of Appl. Mech. Trans. ASME. – 1975. – 42, No 4. – P. 896–897.
3. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085–1088.
4. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук.
думка, 1983. – 296 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 65
5. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук. думка,
1991. – 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ.
ред. А.Н. Гузя. Т. 2).
6. Guz A.N., Dyshel’ M. Sh., Nazarenko V.M. Fracture and stability of materials and structural members
with cracks: Approaches and results // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 12. – P. 1323–1359.
7. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V. L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 2007. – 48. – P. 285–303.
8. Гузь А.Н., Назаренко В.М., Никонов В.А. Кручение полупространства с начальными напряжения-
ми, содержащего приповерхностную дискообразную трещину // Прикл. механика. – 1991. – 27, № 10. –
С. 24–30.
9. Богданов В.Л. Кручення попередньо напруженого тiла з перiодичною системою спiввiсних дископо-
дiбних трiщин // Машинознавство. – 2008. – № 4. – С. 3–7.
10. Guz A.N., Knukh V. I., Nazarenko V.M. Compressive failure of materials with two parallel cracks: small
and large deformation // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 1989. – 11. – P. 213–223.
11. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
12. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three dimensional crack problems. – Leyden: Netherlands
Noordhoff Intern. Publ., 1975. – Vol. 2. – 452 p.
13. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров //
Высокомолекул. соединения. – 1960. – 2, № 1. – С. 21–28.
14. Treloar L. R.G. Large elastic deformations in rubber-like materials. – Madrid: IUTAM Colloquium, 1955. –
P. 208–217.
Поступило в редакцию 12.06.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 531.36
© 2008
В.С. Денисенко
Устойчивость нечетких импульсных систем
Такаги–Сугено: метод линейных матричных неравенств
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The Lyapunov stability of impulsive Takagi-Sugeno fuzzy systems is considered. The sufficient
conditions of stability for impulsive fuzzy systems are derived on the basis of Lyapunov’s direct
method. They can be easily expressed as a system of linear matrix inequalities.
Нечеткие модели Такаги–Сугено(Т-С) — это нелинейные системы, способные аппроксими-
ровать широкий класс сложных или нелинейных систем с помощью “если-то” правил [1],
которые описывают локально-линейную динамику всей системы. Одним из достаточно раз-
работанных методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линей-
ных матричных неравенств (LMI-метод), который впервые был использован для анализа
устойчивости однородных непрерывных [2] и дискретных [3] нечетких систем. Для сис-
тем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием этот метод развит в ра-
боте [4]. Удобство LMI-метода обусловлено его численной реализацией в интегрированной
среде MATLAB.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
|