Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур

We describe projective structures on a line in terms of solutions of the Schrödinger equation. We give a detailed classification of projective geometrical quantities and find the algebras of their differential invariants.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Коновенко, Н.Г., Лычагин, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6267
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 10-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6267
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62672010-02-25T10:33:48Z Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. Математика We describe projective structures on a line in terms of solutions of the Schrödinger equation. We give a detailed classification of projective geometrical quantities and find the algebras of their differential invariants. 2008 Article Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 10-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6267 517.956.4 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
description	We describe projective structures on a line in terms of solutions of the Schrödinger equation. We give a detailed classification of projective geometrical quantities and find the algebras of their differential invariants.
format	Article
author	Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В.
author_facet	Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В.
author_sort	Коновенко, Н.Г.
title	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
title_short	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
title_full	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
title_fullStr	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
title_full_unstemmed	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
title_sort	дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6267
citation_txt	Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 10-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT konovenkong differencialʹnyeinvariantynestandartnyhproektivnyhstruktur AT lyčaginvv differencialʹnyeinvariantynestandartnyhproektivnyhstruktur
first_indexed	2025-07-02T09:12:57Z
last_indexed	2025-07-02T09:12:57Z
_version_	1836525895461896192
fulltext	10. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – 39, № 3. – С. 657–702. 11. Дiльний В.М. Про еквiвалентнiсть деяких умов для вагових просторiв Гардi // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 9. – С. 1257–1263. 12. Винницкий Б. В., Дильный В.Н. Об обобщении теоремы Берлинга–Лакса // Мат. заметки. – 2006. – 79, № 3. – С. 362–368. Надiйшло до редакцiї 16.04.2008Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iм. Iвана Франка УДК 517.956.4 © 2008 Н.Г. Коновенко, В.В. Лычагин Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко) We describe projective structures on a line in terms of solutions of the Schrödinger equation. We give a detailed classification of projective geometrical quantities and find the algebras of their differential invariants. 1. Проективные структуры и sl2-действия. Проективная структура на прямой R зада- ется атласом, функции перехода в некотором суть проективные (=дробно-линейные) пре- образования прямой [1]. Стандартная проективная структура индуцируется вложением R в RP 1 как аффинной части. Алгебра Ли симметрий стандартной структуры изоморфна sl2(R) и порождена векторными полями: A = ∂x, B = x2∂x, H = 2x∂x. C другой сторо- ны, в силу теоремы Софуса Ли [2], любое представление ρ : sl2(R) → D(R) алгебры Ли sl2 в алгебре Ли D(R) векторных полей на R локально эквивалентно стандартному. Поэтому проективную структуру можно рассматривать как представление ρ : sl2(R) → D(R). В даль- нейшем мы обозначаем через A, B, H базис Шевалле в sl2(R), где [A,B] = H, [H,A] = −2A, [H,B] = 2B, а также его образ в векторных полях при представлении ρ. Теорема 1. Каждое представление sl2(R) в D(R) имеет вид A = ±f2(x)∂x, B = ±g2(x)∂x, H = 2f(x)g(x)∂x, (1) где f(x) и g(x) — фундаментальная система решений уравнения Шредингера y′′ + W (x)y = 0 c вронскианом, равным единице, f(x)g′(x) − f ′(x)g(x) = 1. Отметим, что представления (1), отвечающие разному выбору знаков, эквивалентны и переводятся друг в друга преобразованием: x 7→ −x, f 7→ −f , g 7→ g. В дальнейшем мы рассматриваем только представления (1), отвечающее +, и обозна- чаем их через ρW f,g, соответствующую проективную структуру мы обозначаем через ImW . 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11 Потенциал W уравнения Шредингера, отвечающий представлению ρ, связан с ним естест- венным образом. А именно, пусть e1, e2, e3 произвольный базис в алгебре Ли sl2(R) и пусть соответствующие представлению ρ векторные поля имеют вид e1 = f1(x)∂x, e2 = f2(x)∂x, e3 = f3(x)∂x, где x — аффинная координата на R. Обозначим через 〈f1, . . . , fr〉 вронскиан функций f1, . . . , fr и пусть w1 = 〈f1〉, w2 = 〈f1, f2〉, w3 = 〈f1, f2, f3〉, тогда W = 1 4 [L, x](1), (2) где L — дифференциальный оператор 3-го порядка [3]: L = w3 w2 ◦ ∂x ◦ w2 2 w3w1 ◦ ∂x ◦ w2 1 w2 ◦ ∂x ◦ 1 w1 . 2. Эквивалентность проективных структур. Пусть представления ρW f,g и ρW̃ f̃ ,g̃ опре- делены на интервалах U и V и пусть t и s суть ограничения аффинной координаты x на U и V соответственно. Пусть α : U → V , сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, и T = (α−1)∗(t) ∈ C∞(V ). Теорема 2. Диффеоморфизм α : U → V переводит представление ρW f,g в ρW̃ f̃ ,g̃ , т. е. ρW̃ f̃ ,g̃ = = α∗ · ρW f,g, тогда и только тогда, когда f̃ = τ · (α−1)∗(f), g̃ = τ · (α−1)∗(g), (3) и W̃ = τ−4 · (α−1)∗(W ) − τ−1τ ′′, (4) где τ(s) = (T ′(s))−1/2. Эта теорема показывает, что если решения уравнения Шредингера f(x) понимать как (−1/2)-формы, w = f(x)(dx)−1/2, то преобразование (3) на пространствах решений эквива- лентно естественному преобразованию форм w 7→ (α−1)∗(w) при диффеоморфизмах. Следствие 1. Каждое ненулевое решение τ(s) уравнения Шредингера τ ′′ + W̃ · τ = 0 на интервале V определяет эквивалентность проективной структуры ImW̃ стандарт- ной Im0. Следствие 2. Если W < 0 на замкнутом интервале [a, b], то проективная структу- ра ImW эквивалентна стандартной на (a, b). Следствие 3. Если W > (π/(b − a))2 на замкнутом интервале [a, b], то проективная структура ImW не эквивалентна стандартной на (a, b). П р и м е р 1 . Проективные структуры ImW , где W = λx−4, λ > 0, на любом как угодно малом интервале (0, a), a > 0, не эквивалентны стандартной. 3. Проективные величины. Расслоение проективных геометрических величин для за- данной структуры ImW — это однородное расслоение π : E → R, в которое поднято действие ρW f,g алгебры Ли sl2(R) [4]. Мы рассмотрим 1-мерные расслоения π : R 2 → R, π : (x, u) → x, и обозначим через A, B, H поднятия векторных полей A, B, H в расслоение π. Теорема 3. В области, где A 6= 0, поднятие представления ρW f,g реализуется одной из следующих форм: A = f2(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) , B = g2(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) , H = 2f(x)g(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) , (5) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 11 A = f2(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) , B = g2(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) + 2ϕ ϕu ( g(x) f(x) + cϕ ) ∂u, H = 2f(x)g(x) ( ∂x − ϕx ϕu ∂u ) + 2ϕ ϕu ∂u, (6) где ϕ = ϕ(x, u) — гладкая функция и ϕu 6= 0, c ∈ R. Геометрические величины (т. е. сечения расслоения π), sl2-действия на которых опре- делены (5) и (6), мы будем относить к классу TW ϕ , RW ϕ , если c 6= 0, и SW ϕ , если c = 0, соответственно. Отметим, что диффеоморфизм α, переводящий представления ρW f,g в ρW̃ f̃ ,g̃ , допуска- ет естественное поднятие до изоморфизма α расслоений геометрических величин, если α∗(ϕ̃) = ϕ. 4. Алгебры дифференциальных инвариантов. Пусть π : R 2 → R — расслоения про- ективных геометрических величин класса RW ϕ , SW ϕ , или TW ϕ . Гладкая функция F ∈ C∞(Jkπ) на расслоении k-джетов πk : Jk(π) → R называется дифференциальным инвариантом по- рядка 6 k для заданного класса геометрических величин [4, 5], если A (k) (F ) = B (k) (F ) = = H (k) (F ) = 0, где через A (k) , B (k) , H (k) обозначены продолжения векторных полей A, B, H в пространство k-джетов. Теорема 4. В области, где A 6= 0, алгебры дифференциальных инвариантов проектив- ных геометрических величин порождены следующим образом: 1. Класс TW ϕ : дифференциальными инвариантами нулевого и 3-го порядков J0 = ϕ, J3 = ϕÂ3(ϕ) − 3 2 (Â2(ϕ))2 (Â(ϕ))4 и производными Трессе DkJ3 DJk 0 [5]. 2. Класс SW ϕ : дифференциальным инвариантом 2-го порядка J2 = ϕÂ2ϕ − 1 2 (Â(ϕ))2 и инвариантными производными ∇(k)(J2), где ∇ = ϕ · Â. 3. Класс RW ϕ : дифференциальным инвариантом 2-го порядка J2 = ϕÂ2(ϕ) − 2(Â(ϕ))2 + 6βÂ(ϕ) − 4β2 (β − Â(ϕ))3/2 и инвариантными производными ∇(k)(J2), где ∇ = ϕ/ √ β − Â(ϕ)Â, β = −1/(2c). Здесь через Â обозначена полная производная вдоль векторного поля A [6]. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11 1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Моск- ва, Наука, 1985. – 304 c. 2. Lie S. Klassifikation und Integration von gewöhnlichen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten I, II // Math. Ann. – 1988. – 32. – P. 213–281. 3. Kushner A., Lychagin V., Roubtsov V. Contact geometry and non-linear differential equations. – Cam- bridge: Cambridge University Press, 2007. – 496 p. 4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциаль- ной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // Геометрия-1. Т. 28. – Москва, 1988. – 289 c. 5. Tresse A. Sur les invariants differentiels des groupes continus de transformations // Acta Math. – 1894. – 18. – P. 1–88. 6. Красильщик И.С., Лычагин В. В., Виноградов А. В. Введение в геометрию нелинейных дифференци- альных уравнений. – Москва: Наука, 1986. – 336 c. Поступило в редакцию 03.04.2008Одесская национальная академия пищевых технологий УДК 517.51 © 2008 Ю.С. Лiнчук Про один клас iнтегро-диференцiальних операторних рiвнянь вiдносно узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) We describe solutions of a class of integro-differential operator equations which contain the generalized differentiation and integration. An analog of Delsartes–Lions’s formula for the representation of solutions of such equations is obtained. Нехай G — довiльна область комплексної площини. Через H(G) позначимо простiр усiх аналiтичних у G функцiй, що надiлений топологiєю компактної збiжностi [1], а символом L(H(G)) — множину всiх лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторi H(G). Нехай D — оператор диференцiювання, а у випадку, коли область G є зiрковою вiднос- но початку координат, через J позначимо оператор iнтегрування, який дiє за правилом (J f)(z) = z∫ 0 f(t) dt. У класичнiй працi Ж. Дельсарта i Ж.Л. Лiонса [2] у класi L(H(C)) дослiджувалося операторне рiвняння DnT = TDn, (1) де n — фiксоване натуральне число. Зокрема, у [2] стверджувалося, що загальний розв’язок рiвняння (1) можна подати у виглядi T = n−1∑ k=0 TkP k, (2) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 13

Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур

Institution

Ähnliche Einträge