Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)

We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Юрчук, І.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schlagworte:	Геометрія, топологія та їх застосування
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6276
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6276
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62762010-02-23T12:00:47Z Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) Юрчук, І.А. Геометрія, топологія та їх застосування We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants. 2006 Article Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6276 uk Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Юрчук, І.А. Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
description	We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants.
format	Article
author	Юрчук, І.А.
author_facet	Юрчук, І.А.
author_sort	Юрчук, І.А.
title	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
title_short	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
title_full	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
title_fullStr	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
title_full_unstemmed	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
title_sort	топологічна еквівалентність функцій з класу f(d²)
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6276
citation_txt	Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT ûrčukía topologíčnaekvívalentnístʹfunkcíjzklasufd2
first_indexed	2025-07-02T09:13:05Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:05Z
_version_	1836525904322363392
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 474-486 I.А.Юрчук Київський нацiональний унiверситет iм.Т.Шевченка, Київ E-mail: iyurch@ukr.net Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) We construct the combinatorial invariant of functions from a F (D2) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants. Ключовi слова: pseudoharmonic functions, a topological equivalence Вступ Проблемi дослiдження умов топологiчної еквiвалентно- стi функцiй присвяченi роботи [1,2,5,6,9–13,19] та iн. Вiд- мiтимо, що переважна бiльшiсть розв’язкiв топологiчних задач такого типу, зводиться до дослiдження комбiнатор- них об’єктiв. Для прикладу, у роботi [12] автори, вивчаю- чи проблему класифiкацiї полiв Морса-Смейла на замкне- них двовимiрних многовидах, будують спiн графи, iзомор- фiзм яких є необхiдною та достатньою умовою топологiч- ної еквiвалентностi полiв. У роботах Арнольда [1, 11] при класифiкацiї M–морсифiкацiй та бiфуркацiй виникає та- кий комбiнаторний об’єкт, як змiї (перестановки спецiаль- ного типу). В данiй роботi будемо розглядати неперервнi функцiї, якi заданi на одиничному диску D2 ⊂ C i задовольняють умовам: c© I. А.Юрчук, 2006 Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 475 • звуження цих функцiй на границю диску ∂D2 є не- перервнi функцiї з скiнченим числом локальних екс- тремумiв (максимумiв та мiнiмумiв); • у внутрiшностi диску цi функцiї мають скiнчене число критичних точок, якi є сiдлами (локальне представлення функцiї в околi сiдла з точнiстю до неперервної замiни координат має наступний виг- ляд f = Rezn + const, де z = x+ iy). Позначимо цей клас функцiй через F (D2). Даний клас функцiй спiвпадає з класом псевдогармонiчних функцiй, що заданi на D2 [4, 7, 14–18]. Основна мета роботи – побудувати iнварiант функцiй з класу F (D2) та знайти необхiднi та достатнi умови їх топологiчної еквiвалентностi. 1. Основнi означення. Нехай f деяка функцiя з класу F (D2). Надалi, ми бу- демо розглядати орiєнтованi диски та гомеоморфiзми, що зберiгають орiєнтацiю. Вiдомо [8, c.254], якщо E1, E2 – диски i h : ∂E1 → ∂E2– гомеоморфiзм, то iснує гомео- морфiзм H : E1 → E2 такий, що H\|∂E1 = h. Означення 1.1. Двi неперервнi функцiї f, g : D2 → R на- зиваються топологiчно еквiвалентними, якщо iснують гомеоморфiзми h1 : D2 → D2 та h2 : R → R такi, що f = h−1 2 ◦ g ◦ h1. Нагадаємо, що точка (x0, y0) ∈ IntD2 гладкої функцiї f називається критичною, якщо f ′ x(x0, y0) = f ′ y(x0, y0) = 0. Число c називається критичним (регулярним) значенням функцiї f , якщо множина рiвня f−1(c) мiстить критичнi точки функцiї ( не мiстить критичних точок функцiї та 476 I.А.Юрчук гомеоморфна незв’язному об’єднанню вiдрiзкiв, якi пере- тинаються з границею ∂D2 лише по своїх кiнцях). Вiдомо, що лiнiями рiвня критичного значення функцiї з класу F (D2) є дерева (взагалi кажучи незв’язнi) [14, c.430]. Означення 1.2. Значення c називається квазiрегуляр- ним значенням функцiї f , якщо воно не є нi регулярним, нi критичним. Зауваження 1.1. Iз означень випливає, що лiнiї рiвня квазiрегулярного значення мiстять лише граничнi кри- тичнi точки, а лiнiї рiвня критичного, як критичнi, так i граничнi критичнi точки. Згiдно Теореми 4.1 [17, c.28] для довiльної граничної критичної точки iснує канонiчний гомеоморфiзм її околу на напiвдиск з центром в данiй точцi i скiнченим числом променiв, що виходять з нього. Для довiльної граничної критичної точки x число областей, на якi розбито напiв- диск, бiльше 2. Вiдмiтимо ту особливiсть, що у випадку, коли число областей непарне, то областi, якi прилягають до границi ∂D2, мають один i той самий знак. Звiдки вип- ливає, що точка x є локальним екстремумом функцiї f \|∂D2. Зрозумiло, що у випадку мiнуса дана точка є локальним максимумом, а у випадку плюса – мiнiмумом. Той факт, що число граничних критичних точок скiн- чене, випливає з рiвностi Морса [4, с.50], яка має вигляд 2 − ν = m− S − s, де ν – число граничних кривих областi (в нашому випадку ν = 1), m – число локальних мiнiмумiв на границi ∂D2, S та s – числа критичних точок та граничних критичних то- чок, кожна з яких враховується зi своїм степенем. Пiд сте- пенем (граничної) критичної точки розумiють число m−1, Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 477 Рис. 1. У випадку a) точка є регулярною, а у випадку b) – локальним максимумом функцiї f \|∂D2 . де m – це число секторiв зi знаком мiнус, на якi розбито її канонiчний окiл. Зауважимо, що у випадку, коли гранична критична точ- ка є локальним мiнiмумом, в рiвностi Морса її враховуємо лише раз, як граничну критичну точку з вiдповiдним їй степенем. 2. Комбiнаторний iнварiант та умови топологiчної еквiвалентностi функцiй з класу F (D2). Нагадаємо означення графу Кронрода–Рiба. Нехай M гладкий компактний многовид. Розглянемо де- яку гладку функцiю f : M → R iз скiнченим числом кри- тичних точок. Далi, означимо як шар зв’язну компоненту поверхнi рiвня f−1(a), де a ∈ R. Тодi, многовид M є об’єд- нанням всiх шарiв функцiї f . Введемо вiдношення еквi- валентностi, як властивiсть точки належати одному ша- ру. Отримана фактор множина гомеоморфна скiнченому графу, який назвемо графом Кронрода - Рiба i позначимо через ΓK−R(f). 478 I.А.Юрчук Зауважимо, що побудова графу Кронрода - Рiба для многовиду з краєм є питання вiдкрите, а оскiльки функцiї з класу F (D2) визначенi на диску, то виникає необхiднiсть ввести iнший iнварiант. Опишемо побудову комбiнаторної дiаграми, що вiд- повiдає деякiй функцiї f з класу F (D2): 1) Розглянемо граф Кронрода-Рiба ΓK−R(f \|∂D2), що вiдповiдає звуженню функцiї f на границю ∂D2. Вiн iзоморфний колу з парним числом вершин, сте- пiнь яких рiвний 2. 2) Нехай ai – критичнi значення функцiї, а cj – ква- зiрегулярнi. Додамо до ΓK−R(f \|∂D2) тi компоненти зв’язностi множин f−1(a1) ∪ . . . ∪ f −1(ak) ∪ f −1(c1) ∪ f −1(c2) ∪ . . . ∪ f −1(cl), лiнiй рiвня, якi мiстять критичнi та граничнi кри- тичнi точки. Зрозумiло, що в цьому випадку на гра- фi Кронрода-Рiба ΓK−R(f \|∂D2) з’являться новi вер- шини. Позначимо через P (f) = ΓK−R(f \|∂D2) ⋃ i f̂−1(ai) ⋃ j f̂−1(cj), де f̂−1(ai) ⊂ f−1(ai), f̂ −1(cj) ⊂ f−1(cj) – компонен- ти з’язностi множин рiвня, що мiстять критичнi та граничнi критичнi точки. 3) Встановимо на вершинах комбiнаторної дiаграми P (f) частковий порядок за правилом: v1 ≶ v2 ⇐⇒ f(x1) ≶ f(x2), де v1, v2 ∈ P (f), x1, x2 точки, що вiд- повiдають вершинам v1, v2. Вершини, в яких функ- цiя приймає однаковi значення, будемо вважати не- порiвнюваними. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 479 Оскiльки, дане вiдношення часткового порядку антире- флексивне, антисиметричне i транзитивне, то встановле- ний частковий порядок є строгим [3, c.36]. Зауважимо, що скориставшись гомеоморфiзмом число- вої осi, значення функцiї в локальних екстремумах функцiї f \|∂D2 будемо вважати цiлими, а критичнi та квазiрегуляр- нi – дробовими. Отже, конструкцiю P (f) разом iз строгим частковим по- рядком будемо називати комбiнаторною дiаграмою функ- цiї f з класу F (D2). I згiдно побудови, P (f) – це скiнчений граф iз заданим строгим частковим порядком на верши- нах, степiнь яких бiльший одиницi. Рис. 1. Дiаграма деякої функцiї з класу F (D2). Зауважимо, що пiд графом ми розумiємо топологiчний граф (CW - комплекс з 0 та 1 – вимiрними клiтинами, де 0−вимiрнi клiтини – вершини дерева, а 1−вимiрнi – реб- ра). Нагадаємо декiлька означень. Двi вершини v1 та v2 480 I.А.Юрчук деякого графа G називаються сумiжними, якщо вони є кiнцевими вершинами одного i того ж ребра. Вiдображен- ня φ графа G ⊂ R3 в R2 називається вкладенням, якщо φ(x) та φ(y) з’єднанi вiдрiзком в R2 тодi i тiльки тодi, ко- ли x та y з’єднанi ребром в G i жоднi два вiдкритi вiдрiзки в R 2 не мають спiльних точок. Зауважимо, що при вкладеннi φ в околi кожної верши- ни φ(v), де v ∈ G, виникає циклiчний порядок ребер ei (вершин vi), що їй iнцидентнi (сумiжнi з нею). Означення 2.1. Cr– пiдграфом дiаграми P (f) назвемо де- який пiдграф q(f), який задовольняє умовам: • q(f) – простий цикл; • довiльна пара сумiжних вершин vi, vi+1 ∈ q(f) є порiвнянною. Нехай v деяка вершина дiаграми P (f), а {vi}, i = 1, k, – множина сумiжних з нею вершин. Тодi, iснують точки x та xi, що належать диску D2 i вiдповiдають вершинам v та vi. Позначимо через Xi - множину точок, що вiдповiда- ють ребру e(v, vi) (зрозумiло, що множиниXi гомеоморфнi вiдрiзку) i Xi ∈ D2. Розглянемо такi випадки: Випадок 1: x ∈ IntD2. Тодi f(x) = f(xi) = a, де i = 1, k, a - деяке критичне значення. Тому вершини v,v1, v2, . . . , vk є непорiвнюваними мiж собою. Оскiльки, лiнiєю рiвня кри- тичного значення a є скiнченне дерево, то всi його вершини є непорiвнюваними. Випадок 2: x ∈ ∂D2. В даному випадку точка x є або ре- гулярною, або локальним екстремумом функцiї f \|∂D2, яка є неперервною та монотонно зростаючою (спадною) мiж сусiднiми локальними екстремумами. Тому, серед множин Xi iснують такi, що функцiя на них монотонно зростає Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 481 (спадає). Оскiльки, коло є замкненою жордановою кри- вою, то таких множин в точностi двi Xj та Xk кiнцями яких є точки xj та xk. Звiдки випливає, що серед вершин {vi} iснує в точностi двi вершини vj та vk, якi є порiвнян- ними з вершиною v. Оскiльки для кожної з вершин vj та vk iснує в точностi двi вершини, якi є порiвнянними з нею, то данi вершини утворять цикл. Зрозумiло, що вершина v разом з вершинами vj та vk належить q(f)–циклу. З того, що дiаграма P (f) побудована за деякою функ- цiєю з класу F (f), випливає декiлька її властивостей. Основнi властивостi дiаграми P (f): C1) iснує Cr-пiдграф q(f) ∈ P (f); C2) P (f) \ q(f) = ⋃ i Ψi, Ψj ⋂ Ψi = ∅, де i 6= j, Ψi – дерева такi, що для кожного iндексу i довiльнi двi вершини v′, v′′ ∈ Ψi є непорiвнянними; C3) пiдмножина q′ ⊂ q(f) така, що q′ = ⋃ i (P (f) \ Ψi) мiстить лише вершини степеня 2; C4) iснує вкладення ψ : P (f) → D2 таке, що ψ(P (f)) ⊂ D2, ψ(q(f)) = ∂D2, ψ(P (f) \ q(f)) ⊂ IntD2; C5) множина D2 \ ψ(P (f)) складається з незв’язного об’єднання множин θi таких, що ∂θi мiстить одну або двi граничнi дуги ∂D2; C6) для ∀v ∈ P (f) \ q(f) справедливо deg(v) = 2s ≥ 4. Справедливiсть C1 та C2 випливає з наведених вище мiр- кувань. Причому, з умов C1 та C2 слiдує єдинiсть Cr- пiдграфу q(f). Для доведення C3 необхiдно розглянути множину ⋃ i (P (f) \ Ψi) 482 I.А.Юрчук i скористатись тим, що дiаграма P (f) = ΓK−R(f \|∂D2) ⋃ i Ψi, де через Ψi позначено компоненти зв’язностi множин f̂−1(ai) (f̂−1(cj)) лiнiй рiвня, якi мiстять критичнi та гра- ничнi критичнi точки. А граф ΓK−R(f \|∂D2) мiстить згiдно побудови лише вершини валентностi 2. Зауважимо, що C4 випливає з того, що P (f) дiаграма функцiї f , яка задана на D2. Слiд також вiдмiтити, що C5 є наслiдком C2 i C4. Причому, ∂θi мiстить одну дугу ∂D2, якщо iснує єдиний iндекс k такий, що ψ(Ψk) ⋂ ∂θi 6= ∅, i ∂θi мiстить двi дуги ∂D2 у випадку, коли iснують iндекси k1 та k2 такi, що ψ(Ψk1 ) ⋂ ∂θi 6= ∅ i ψ(Ψk2 ) ⋂ ∂θi 6= ∅ . Тодi, як iснування трьох i бiльше iндексiв виключено, ос- кiльки у IntD2 з’являться критичнi точки, що не є сiдла- ми, а це не можливо. Лема 2.1. Якщо P (f) ⊂ R3 дiаграма деякої функцiї f ∈ F (D2), то вкладення ψ таке, що ψ(P (f)) ⊂ D2, ψ(q(f)) = ∂D2 i ψ(P (f) \ q(f)) ⊂ IntD2 єдине з точнiстю до гомео- морфiзму диску D2 на себе. Доведення. Доведемо єднiсть такого вкладення ψ методом вiд супротивного. Припустимо, що iснує два вкладення ψ1, ψ2 такi, що ψ1(P (f)), ψ2(P (f)) ⊂ D2 i ψ1 6= ψ2. Позначимо через Θ (Θ′) множину D2 \ψ1(P (f)) (D2 \ψ2(P (f)). Згiдно C5 мно- жина Θ (Θ′) є незв’язним об’єднанням скiнченої кiлькостi пiдмножин θi (θ′j). Не обмежуючи загальностi, розглянемо цикл вершин {vi} дiаграми P (f) разом з ребрами, що їм Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 483 iнцидентнi, образи яких при вкладеннi ψ1 обмежують де- яку однозв’язну область θi, а при вкладеннi ψ2 — область θ′j , яка не є однозв’язною. Припустимо, що θ′j = θ̃′1 ⋃ θ̃′2, θ̃′1 ⋂ θ̃′2 = ∅. Це означає, що серед вершин {vi} iснує дея- ка вершина V така, що циклiчний порядок вершин ψ1(Vi) не дорiвнює циклiчному порядку ψ2(Vi), де Vi сумiжнi з V . Нехай вершини Vk та Vj , якi є сумiжними з V та на- лежать циклу {vi}, i такi, що ψ1(Vk) та ψ1(Vj) є сусiднiми в циклiчному порядку ψ1(Vi), а пару вершини ψ2(Vk) та ψ2(Vj) розбиває деяка вершина ψ2(Vr) ∈ ψ2(P (f)). Оскiль- ки справедливе C5, то цикл {ψ2(vi)} мiстить вершини пiд- графу ψ2(q(f)). Вершина ψ2(Vr) не може належати мно- жинi {ψ2(vi)} \ ψ2(q(f)), оскiльки з’явиться цикл. Розгля- немо випадок, коли ψ2(Vr) спiвпадає з однiєю з вершин множини ψ2({vi} \ ({vi} \ q(f))) ⊃ q′. Проте, це суперечить C3 (дана множина мiстить лише вершини степеня 2). Отже, ψ−1 2 (Vr) /∈ {vi}, що не мож- ливо. � Теорема 2.1. Двi функцiї f i g з класу F (D2) є топо- логiчно еквiвалентними тодi i лише тодi, коли iснує iзо- морфiзм комбiнаторних дiаграм ϕ : P (f) → P (g), який зберiгає строгий частковий порядок, що заданий на них. Доведення. Необхiднiсть. Нехай двi функцiї f : D2 → R i g : D2 → R з класу F (D2) топологiчно еквiвалентнi. Тодi iснують гомеоморфiзми h1 : D2 → D2 i h2 : R → R такi, що f = h−1 2 ◦ g ◦ h1. Для даних функцiй iснують комбiнаторнi дiаграми P (f) та P (g), на яких виникає строгий частковий порядок, який вiдповiдає функцiям f та g. Згiдно Леми 2.1 для P (f) та P (g) iснують єдинi вкладення ψ1 та ψ2 такi, що ψ1(P (f)) ⊂ D2 i ψ2(P (g)) ⊂ D2. Тодi, покладемо ϕ = 484 I.А.Юрчук ψ−1 2 ◦ h1 ◦ ψ1. Зрозумiло, що ϕ : P (f) → P (g) є шуканий iзоморфiзм дiаграм. Достатнiсть. Нехай задано двi неперервнi функцiї f : D2 → R i g : D2 → R, з класу F (D2) i P (f), P (g) вiдповiднi їм дiаграми такi, що iснує iзоморфiзм ϕ : P (f) → P (g), який зберiгає строгий частковий порядок (якщо v → v′, v ∈ P (f), v′ ∈ P (g), то deg(v) = deg(v′)). Зрозумiло, що iзоморфiзм ϕ переводить локальнi максимуми (мiнiмуми) функцiї f \|S1 в локальнi максимуми (мiнiмуми) функцiї g\|S1 i зберiгає значення функцiй в них. Згiдно C1 для кожної з дiаграм iснують пiдграфи q(f) та q(g) i ϕ : q(f) → q(g). Використаємо iзоморфiзм ϕ для побудови гомеоморфiзму h1 границi диску ∂D2 в себе так, щоб для функцiй f \|∂D2 i g\|∂D2 було справедливо f \|∂D2 = g\|∂D2 ◦ h1. Розглянемо дiаграми P (f) ∈ R 3 та P (g) ∈ R 3, згiдно Ле- ми 2.1 для P (f) та P (g) iснують єдинi вкладення ψ1 та ψ2 такi, що ψ1(P (f)) ⊂ D2, ψ2(P (g)) ⊂ D2. Згiдно C5, мно- жина Θ = D2 \ ψ1(P (f)) (Θ′ = D2 \ ψ2(P (g))) є незв’язним об’єднанням скiнченої кiлькостi пiдмножин θi (θ′j), зами- кання кожної з них гомеоморфне замкненому диску. За побудовою гомеоморфiзм h1 = ψ2 ◦ ϕ ◦ ψ−1 1 задано на гра- ницях цих пiдмножин θi (θ′j), тому для гомеоморфiзму h1 iснує продовження з границь множин θi (θ′j) в їх внутрiш- нiсть, щоб мала мiсце рiвнiсть f = g ◦ h1. � На рисунку 3 зображенi дiаграми двох функцiй з класу F (D2), якi мають два локальних мiнiмуми та два локаль- них максимуми на ∂D2 i одну граничну критичну точку. Проте, цi двi функцiї не є топологiчно еквiвалентними. Я щиро вдячна В. В. Шарку за постановку задачi, а та- кож I. Власенку, С. Максименку, Є. Полуляху за кориснi обговорення та iнтерес до роботи. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 485 Рис. 2. Дiаграми двох топологiчно не еквiва- лентних функцiй з класу F (D2). Лiтература [1] Арнольд В.И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бернулли, Эй- лера и Спрингера групп Кокстера: УМН., 1992. – Vol. 47, №1(283). – С. 3-45. [2] Максименко С.И. Класификация m – функций на поверхностях//УМЖ– Т.51,№8(1999)–С.1129-1135. [3] Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Общая алгебра. Т.1/ под. ред. Скорнякова Л.А.– М.:Наука, 1990 – 592c. [4] Морс М. Топологические методы теории фукций комплексного пере- менного/ под. ред. Маркушевич А.И.– М:1951. – 247c. [5] Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирова- ние особеностей.// Новые результаты в теории топологической клас- сификации интегрируемых систем.- М.:Наука, 1994, труды МИРАН, т.205 – С.131-140 [6] Пришляк А.О. Классификация трехмерных градиентно-подобных ди- намических систем Морса-Смейла // Тр. Инст. Мат. АНУ, Киев, 1998,- С.35-39. [7] Стоилов С. Лекции о топологических прнципах теории аналитических функций.– М.: Наука, 1964. – 228 с. [8] Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные груп- пы:Пер. с англ. /Под ред. О.Я.Виро. – М.:Наука,1988. – 688с. 486 [9] Шарко В.В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях// Укр.мат.жур – 2003. –Т.55,№5 – С.687-700. [10] Шарко В.В. Функции Морса на некомпактных поверхностях. – Український математичний конгресс. – 2000. – С.56-64. [11] Arnold V.I. Bernoulli – Euler updown numbers, associated with function singularities, their combinatorics and a mathematics //Duke Math.Journ. – 1991.– 63. №2. – Pp.537–555. [12] Bolsinov A.V., Oshemkov A.A., Sharko V.V. On classification of flows on manifolds.I // Methods of Functional Analysis and Topology, 1996.– Vol.2,no.2 – Pp.51-60 [13] Bolsinov A. V., Fomenko A. T. Exact topological classification of Hamiltonian flows on smooth two-dimensional surfaces //(Russian summary) Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. – 235 (1996) [14] Boothby W.M. The topology of regular curve families with multiple saddle points.//Amer.J.Math. – 1951.– 73. – Pp.405–438. [15] Jenkins J.A, Morse M. Contour equivalent pseudoharmonic functions and pseudoconjugates//Amer.J.Math. – 1952.– 74. – Pp.23-51. [16] Kaplan. W. Topology of level curves of harmonic functions//Transactions of Amer.Math.Society– vol.63 №3(1948)– Pp.514-522. [17] Morse M. The topology of pseudo-harmonic functions//Duke Math.J.– 1946.–13.– Pp.21-42. [18] Morse.M., Jenkins.J. The existence of pseudoconjugates on Riemann surfaces //Fund.Math. – 1952.– 39. – Pp.269–287. [19] Prishlyak A. O. Regular functions on closed three-dimensional manifolds.//Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki – 2003, no. 8 – Pp.21–24

Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)

Institution

Ähnliche Einträge