p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств

Дана робота присвячена вивченню спощуючих властивостей дифеоморфiзмов дотичних розшарувань першого порядку, якi iндукованi голоморфно-проективними дифеоморфiзмами баз. Базисними многовидами є келерови простори, а дотичнi розшарування розглядаються як афiннозв’язнi простори iз зв’язнiстю повного лiфт...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Зубрилин, К.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6281
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств / К.М. Зубрилин // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 132-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6281
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62812010-02-23T12:00:43Z p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств Зубрилин, К.М. Геометрія, топологія та їх застосування Дана робота присвячена вивченню спощуючих властивостей дифеоморфiзмов дотичних розшарувань першого порядку, якi iндукованi голоморфно-проективними дифеоморфiзмами баз. Базисними многовидами є келерови простори, а дотичнi розшарування розглядаються як афiннозв’язнi простори iз зв’язнiстю повного лiфта. Данная работа посвящена изучению уплощающих свойств диффеоморфизмов касательных расслоений первого порядка, которые индуцированы голоморфно-проективными диффеоморфизмами баз. Базисными многообразиями являются келеровы пространства, а касательные расслоения рассматриваются как аффинно-связные пространства со связностью полного лифта. The given paper is devoted to studying of flattening properties of diffeomorphisms of tangent bundles of the first order which are induced by holomorphically projective diffeomorphisms of bases. Basic manifolds are K¨ahlerian spaces, and tangent bundles are considered as affine connection spaces with connection of the complete lift. 2006 Article p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств / К.М. Зубрилин // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 132-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6281 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Зубрилин, К.М. p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
description	Дана робота присвячена вивченню спощуючих властивостей дифеоморфiзмов дотичних розшарувань першого порядку, якi iндукованi голоморфно-проективними дифеоморфiзмами баз. Базисними многовидами є келерови простори, а дотичнi розшарування розглядаються як афiннозв’язнi простори iз зв’язнiстю повного лiфта.
format	Article
author	Зубрилин, К.М.
author_facet	Зубрилин, К.М.
author_sort	Зубрилин, К.М.
title	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
title_short	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
title_full	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
title_fullStr	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
title_full_unstemmed	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
title_sort	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6281
citation_txt	p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств / К.М. Зубрилин // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 132-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT zubrilinkm pgeodezičeskiediffeomorfizmykasatelʹnyhrassloenijinducirovannyegolomorfnoproektivnymidiffeomorfizmamikelerovyhprostranstv
first_indexed	2025-07-02T09:13:19Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:19Z
_version_	1836525918860869632
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 132-162 К.М. Зубрилин Одесский Национальный Университет им. И. И. Мечникова, Институт Математики, Экономики, Механики E-mail: zubrilin@rambler.ru p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств Дана робота присвячена вивченню спощуючих властивостей дифео- морфiзмов дотичних розшарувань першого порядку, якi iндукованi голоморфно-проективними дифеоморфiзмами баз. Базисними много- видами є келерови простори, а дотичнi розшарування розглядаються як афiннозв’язнi простори iз зв’язнiстю повного лiфта. Данная работа посвящена изучению уплощающих свойств диффео- морфизмов касательных расслоений первого порядка, которые инду- цированы голоморфно-проективными диффеоморфизмами баз. Базис- ными многообразиями являются келеровы пространства, а касатель- ные расслоения рассматриваются как аффинно-связные пространства со связностью полного лифта. The given paper is devoted to studying of flattening properties of dif- feomorphisms of tangent bundles of the first order which are induced by holomorphically projective diffeomorphisms of bases. Basic manifolds are Kählerian spaces, and tangent bundles are considered as affine connection spaces with connection of the complete lift. c© К.М. Зубрилин, 2006 p-геодезические диффеоморфизмы 133 1. Введение Изучению уплощающих свойств дифференцируемых отображений посвящено несколько работ. В работе [1] с точки зрения теории р-геодезических отоб- ражений исследованы диффеоморфизмы касательных расслоений первого и второго порядка, индуцированые геодезическими (проективными) диффеоморфизмами ба- зисных многообразий. Расслоения наделенны полными лифтами аффинных связностей на базах. Группы Ли та- ких преобразований рассмотрены в работе [2] . В работе [3] изучены уплощающие свойства преобразо- ваний касательного расслоения первого порядка, индуци- рованые конциркулярными преобразованиями базы. Ба- зисным многообразием является (псевдо)риманово пространство, а касательное расслоение наделено полным лифтом аффинной связности. Здесь же обнаружены опре- деленные геометрические особенности групп Ли таких пре- образований в рамках теории р-геодезических отображе- ний. Уплощающие свойства сечений касательного расслое- ния первого порядка относительно связности полного лиф- та выявлены в работе [4]. Данная работа посвящена изучению уплощающих свойств диффеоморфизмов касательных расслоений пер- вого порядка, которые индуцированы голоморфно-проек- тивными диффеоморфизмами баз. Базисными многообра- зиями являются келеровы пространства, а касательные расслоения рассматриваются как аффинно-связные про- странства со связностью полного лифта. Основные определения второго пункта взяты из [2] и [3]. Теорема этого пункта показывает, что изучение упло- щающих свойств диффеоморфизмов сводится к изучению 134 К. М. Зубрилин уплощающих свойств произвольной геодезической кривой относительно специальной связности-захвата аффинной связности. В третьем пункте рассматриваются голоморфно-проек- тивные диффеоморфизмы келеровых пространств. Опре- деления и основные результаты взяты из [5]. Рассмотрены геометрические свойства аналитически- планарных кри- вых с точки зрения теории p-геодезических кривых. Изу- чены уплощающие свойства голоморфно-проективных диффеоморфизмов. Четвертый пункт является ключевым. Здесь приводит- ся вспомогательная лемма, которая используется для на- хождения кривизн произвольной геодезической кривой в касательном расслоении первого порядка относительно за- хвата аффинной связности. Отсюда уже получается основ- ная теорема об уплощающих свойствах диффеоморфизма касательных расслоений со связностью горизонтального лифта, который индуцирован голоморфно-проективным диффеоморфизмом баз. Определения и основные свойства лифтов взяты из [7]. 2. р-геодезические отображения Приведем необходимые сведения из теории р-геодези- ческих отображений. Рассмотрим гладкое многообразие M с аффинной связ- ностью ∇ без кручений. Пусть C гладкая кривая в M и γ : (a, b) → M ее параметризация, причём ξ — поле ка- сательных векторов вдоль C , ξ1 = ∇γξ — поле векторов 1-ой кривизны вдоль C , ξq = ∇γξq−1 — поле векторов q-ой кривизны вдоль C . p-геодезические диффеоморфизмы 135 Определение 1. Говорят, что кривая C в точке x = γ (t0) имеет уплощение q-го порядка, если в точке x век- торы ξ, ξ1, ..., ξq−1 линейно независимы, а векторы ξ, ξ1, ..., ξq−1, ξq линейно зависимы. Если кривая C в каждой своей точке имеет уплощение p-го порядка, то она называется p-геодезической кривой. Точка x = γ (t0) кривой C называется граничной точ- кой уплощения, если в каждой окрестности точки x есть хотя бы одна точка кривой C , в которой порядок уплоще- ния отличается от порядка уплощения в точке x. Учиты- вая свойства внешнего произведения, получим, что точка x кривой C имеет уплощение p-го порядка тогда и только тогда, когда в точке x выполняются условия: (103) ξ ∧ ξ1 ∧ ... ∧ ξp−1 6= 0, ξ ∧ ξ1 ∧ ... ∧ ξp−1 ∧ ξp = 0. Значит, что бы кривая C была p-геодезической необходимо и достаточно выполнения условий (103) вдоль кривой C . С другой стороны, из свойств линейной зависимости и линейной независимости векторов следует, что вдоль p- геодезической кривой C должно выполнятся равенство: (104) ξp = α0ξ + α1ξ1 + ... + αp−1ξp−1 где α0, α1, ... , αp−1 — некоторые функции, определённые вдоль кривой C . Рассматривая ξ, ξ1, ... , ξp−1, ξp - как дифференциаль- ные операторы от параметра t, а функции α0, α1, ... , αp−1 — как функции от параметра t, равенство (104) представ- ляет собой дифференциальное уравнение p-геодезической кривой C . Пусть (M,∇) и (M̄, ∇̄) аффинно-связные пространства. Определение 2. Диффеоморфизм µ : M → M̄ двух аф- финно-связных пространств без кручения называется p- геодезическим, если для каждой геодезической кривой C 136 К. М. Зубрилин в M , её образ C̄ = µ(C ) является кривой, каждая точка которой имеет уплощение порядка q 6 p. Число q зави- сит как от выбора кривой C , так и от выбора точки на ней, а число p фиксировано и является наибольшим из всех q. p-геодезический диффеоморфизм (на себя) π : M → M называется p-геодезическим конечным преобразованием аффинно-связного пространства (M,∇). Исходя из определения 1, следует, что геометрически p-геодезические диффеоморфизмы характеризуются тем, что они геодезические кривые преобразуют в кривые, ко- торые на отдельных участках (дугах) являются q-геодези- ческими кривыми, причём q 6 p. Чтобы определить порядок уплощения диффеоморфиз- ма µ : M → M̄ по определению, необходимо для каждой геодезической кривой C в M найти наибольший из поряд- ков уплощения точек кривой образа C̄ = µ(C ). Затем из найденных чисел выбрать наибольшее. Это и будет поря- док уплощения диффеоморфизма µ. Нахождение порядков уплощения точек кривой образа C̄ можно свести к нахождению порядков уплощения соот- ветствующих точек геодезической кривой C относитель- но специальной связности на многообразии M — захвата аффинной связности ∇̄ обратным диффеоморфизмом µ−1 (см. [6] стр. 189, §30, роз 3). Захват аффинной связности ∇̄ диффеоморфизмом µ−1 определяется как аффинная связность ∇̃ на многообразии M правилом ∇̃XY = µ−1 ∗ ( ∇̄µ∗Xµ∗Y ) , для произвольных векторных полей X, Y ∈ X(M). Имеет место следующая p-геодезические диффеоморфизмы 137 Теорема 1. Пусть µ : M → M̄ диффеоморфизм мно- гообразий, ∇̄ — аффинная связность на M̄ , ∇̃ — захват связности ∇̄ диффеоморфизмом µ−1, C — гладкая кривая в M , и C̄ = µ(C ) — кривая образ в M̄ . Для того, чтобы кривая C в произвольной точке x ∈ C имела уплощение порядка k относительно захвата ∇̃, необходимо и достаточно, что бы порядок уплощения кривой образа C̄ в соответствующей точке µ(x) был ра- вен k. Таким образом, порядок уплощения диффеоморфизма µ : M → M̄ равен наибольшему из порядков уплощения точек всех геодезических кривых в M . Эти порядки упло- щения находятся относительно аффинной связности за- хвата. Нетрудно показать, что правило P (X, Y ) = ∇̃XY −∇XY , где X, Y ∈ X(M), определяет тензорное поле P ∈ T0 2(M). Это тензорное поле тесно связано с тензором аффинной деформации H диффеоморфизма µ (см. [6] стр. 153, §23, роз. 3) равенством µ∗(P (X, Y )) = H(X, Y ). По этой при- чине, тензорное поле P так же будем называть тензором аффинной деформации диффеоморфизма µ. Тогда для произвольного гладкого векторного поля χ, заданного вдоль гладкой кривой C , справедливо равенство (105) ∇̃tχ = ∇tχ + P (ξ, χ), где ξ — поле касательных векторов к кривой C . Это равен- ство можно использовать для нахождения кривизн ξ̃1, ξ̃2, ... геодезической кривой C относительно аффинной связ- ности захвата ∇̃. Если геодезическая кривая отнесена к каноническому параметру, то ∇tξ = 0. С учетом этого по- лучим ξ̃1 = ∇̃tξ = ∇tξ + P (ξ, ξ) = P (ξ, ξ), 138 К. М. Зубрилин ξ̃2 =∇̃tξ̃1 = ∇tξ̃1 + P (ξ, ξ̃1) = ∇tP (ξ, ξ) + P (ξ, P (ξ, ξ)) = =∇P (ξ, ξ, ξ) + P (∇tξ, ξ) + P (ξ,∇tξ) + P (ξ, P (ξ, ξ)) = =∇P (ξ, ξ, ξ) + P (ξ, P (ξ, ξ)), и так дальше. 3. Голоморфно - проективные диффеоморфизмы Определение 3. Структурой келерова пространства на многообразии M называется пара (g, F ) состоящая из метрического тензора g на M , и аффинора F на M , удо- влетворяющего условиям (1) Выполняется равенство F 2 = εδ, где δ — единичный аффинор на M и ε = ±1. (2) Для любых векторных полей X, Y ∈ X(M) выпол- няется равенство g(X, FY ) + g(FX, Y ) = 0. (3) Выполняется равенство ∇F = 0, где ∇ — аффинная связность метрического тензо- ра g. Многообразие M с фиксированной структурой келеро- ва пространства (g, F ) называется келеровым простран- ством. Ясно, что (M, g) является римановым простран- ством. При ε = −1 келерово пространство называется эл- липтическим, а при ε = 1 — гиперболическим. p-геодезические диффеоморфизмы 139 Определение 4. Кривая C келерова пространства (M, g, F ) называется аналитически-планарной (Т. Отсу- ки, Я. Таширо), если при параллельном перенесении ка- сательного вектора вдоль этой кривой, он лежит в дву- мерной площадке, образованной этим вектором и сопря- женным с ним. С точки зрения теории р-геодезический кривых, анали- тически - планарная кривая характеризуется как кривая, которая в каждой своей точке имеет уплощение порядка не выше второго. Определение 5. Диффеоморфизм µ : M → M̄ келе- рова пространства (M, g, F ) на келерово пространство (M̄, ḡ, F̄ ) называется голоморфно- проективным, если все аналитически-планарные кривые пространства M пере- ходят в аналитически-планарные кривые пространства M̄ . В [5] найдены необходимые и достаточные условия голо- морфно-проективного диффеоморфизма келеровых про- странств. Именно, в общей по диффеоморфизму системе координат, в соответствующих точках выполняются усло- вия F̄ h i = F h i , Γ̄h ij = Γh ij + βiδ h j +βjδ h i + εβīδ h j̄ + εβj̄δ h ī , (106) где β — некоторый ковектор на M , βī = βαF α i , δh ī = F h i , Γh ij (соотв. Γ̄h ij) — компоненты связности Леви-Чивитты ∇ (соотв. ∇̄) отвечающей метрике g (соотв. ḡ). Пусть ∇̃ — захват аффинной связности ∇̄ обратным диффеоморфизмом µ−1 (см. [6]). Тогда равенство (106) 140 К. М. Зубрилин можно записать в инвариантной форме (107) ∇̃XY = ∇XY + β(X)δ(Y ) + β(Y )δ(X)+ + εβ̄(X)F (Y ) + εβ̄(Y )F (X), где β̄ = β ◦ F — ковекторное поле, сопряженное ковек- торному полю β, X и Y произвольные векторные поля на M . Отсюда получим тензор аффинной деформации P голо- морфно- проективного диффеоморфизма µ : M → M̄ (108) P (X, Y ) = β(X)δ(Y ) + β(Y )δ(X)+ + εβ̄(X)F (Y ) + εβ̄(Y )F (X). Выясним уплощающие свойства голоморфно-проектив- ного диффеоморфизма. Теорема 2. Голоморфно-проективный диффеоморфизм келеровых пространств, описываемый уравнением µ∗F = F̄ , P (X, Y ) = β(X)δ(Y ) + β(Y )δ(X)+ + εβ̄(X)F (Y ) + εβ̄(Y )F (X), обладает следующими уплощающими свойствами: (1) При β = 0 голоморфно-проективный диффеомор- физм является аффинным диффеоморфизмом. (2) В общем случае, при β 6= 0, голоморфно-проектив- ный диффеоморфизм является 2-геодезическим диффеоморфизмом. Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем в келеровом простран- стве M произвольную геодезическую кривую C отнесен- ную к каноническому параметру t. Тогда ∇tξ = 0, где ξ — p-геодезические диффеоморфизмы 141 поле касательных векторов геодезической кривой C . Най- дем кривизны кривой C относительно аффинной связно- сти ∇̃. Поле первой кривизны ξ̃1 = 2β(ξ)δ(ξ) + 2εβ̄(ξ)F (ξ). Находим поле второй кривизны ξ̃2 = ∇̃tξ̃1 = ∇tξ̃1 + P (ξ, ξ̃1). Поскольку β(F (ξ)) = (β ◦ F )(ξ) = β̄(ξ), F (F (ξ)) = F 2(ξ) = εδ(ξ) и β̄(F (ξ)) = (β ◦ F )(F (ξ)) = β(F 2(ξ)) = εβ(ξ), то P (ξ, ξ̃1) = ( 4β(ξ)2 + 4εβ̄(ξ) 2 ) δ(ξ) + 8εβ(ξ)β̄(ξ)F (ξ). Отсюда находим ξ̃2 =2 ( (∇β)(ξ, ξ) + 2β(ξ)2 + 2εβ̄(ξ) 2 ) δ(ξ)+ + 2ε ( (∇β̄)(ξ, ξ) + 4β(ξ)β̄(ξ) ) F (ξ). Из полученных выражений для векторов кривизн, будем иметь (109) ξ ∧ ξ̃1 = 2εβ̄(ξ) δ(ξ) ∧ F (ξ), ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 = 0. Равенства (109) завершают доказательство теоремы. 4. Диффеоморфизмы, индуцированные голоморфно -проективными диффеоморфизмами баз Будем предпологать, что касательные расслоения явля- ются аффинно связными пространствами (T (M),∇C) и (T (M̄), ∇̄C) со связностями полных лифтов ∇C и ∇̄C со- ответственно (см. [7]). Теорема 3. Пусть µ : M → M̄ диффеоморфизм много- образия M на аффинно-связное пространство (M̄, ∇̄), ∇̃ 142 К. М. Зубрилин — захват аффинной связности ∇̄ обратным диффеомор- физмом µ−1, и µ∗ : T (M) → T (M̄) индуцированный диф- феоморфизм касательных расслоений. Тогда захват ˜̄∇C полного лифта ∇̄C индуцированным диффеоморфизмом µ−1 ∗ совпадает с лифтом ∇̃C захвата ∇̃. Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению захвата, для произвольных векторных полей X, Y ∈ X(M), выполня- ются равенства ∇̃XY = µ−1 ∗ ( ∇̄µ∗Xµ∗Y ) , и ˜̄∇C XCY C = (µ∗) −1 ∗ ( ∇̄C (µ∗)∗XC (µ∗)∗Y C ) . По свойствам полного лифта для произвольных вектор- ных полей X, Y , Z на M выполняются равенства (µ∗)∗X C = (µ∗X)C, (µ∗)∗Y C = (µ∗Y )C , (µ∗) −1 ∗ ZC = (µ−1 ∗ Z)C . Учитывая это, получим ˜̄∇C XCY C = (µ∗) −1 ∗ ( ∇̄C (µ∗X)C (µ∗Y )C ) = = (µ∗) −1 ∗ ( ∇̄µ∗Xµ∗Y )C = = ( µ−1 ∗ ( ∇̄µ∗Xµ∗Y ))C = ( ∇̃XY )C = ∇̃C XCY C , что влечет равенство ˜̄∇C = ∇̃C . Теорема доказана. Теорема 4. Полный лифт P C тензора аффинной де- формации P диффеоморфизма µ : M → M̄ является тен- зором аффинной деформации P̃ индуцированного диффео- морфизма µ∗ : T (M) → T (M̄). p-геодезические диффеоморфизмы 143 Д о к а з а т е л ь с т в о получается непосредственно из определений и предыдущей теоремы. Для произвольных векторных полей X, Y ∈ X(M) получим P̃ ( XC , Y C ) = ˜̄∇C XCY C −∇C XCY C = ∇̃C XCY C −∇C XCY C = = ( ∇̃XY )C − (∇XY )C = ( ∇̃XY −∇XY )C = = (P (X, Y ))C = P C ( XC , Y C ) , что влечет требуемое. Теперь перейдем к изучению уплощающих свойств диф- феоморфизмов касательных расслоений первого порядка, индуцированных голоморфно-проективными диффеомор- физмами келеровых пространств. Пусть всюду в этом пункте µ : M → M̄ голоморфно- проективный диффеоморфизм келеровых пространств (M, g, F ) и (M̄, ḡ, F̄ ), P — тензор аффинной деформации диффеоморфизма µ. Тогда, в силу теоремы 4, полный лифт P C является тензором аффинной деформации P̃ ин- дуцированного диффеоморфизма µ∗ : T (M) → T (M̄). Для произвольных векторных полей X и Y на M , используя свойства лифтов, находим P̃ (XC , Y C) =P C(XC , Y C) = P (X, Y )C = = βC(XC)δV (Y C) + βV (XC)δ(Y C) + + βC(Y C)δV (XC) + βV (Y C)δ(XC) + + εβ̄C(XC)F V (Y C) + εβ̄V (XC)F C(Y C) + + εβ̄C(Y C)F V (XC) + εβ̄V (Y C)F C(XC). Для нахождения кривизн нам понадобиться следующая лемма. 144 К. М. Зубрилин Лемма 1. Пусть вдоль геодезической кривой C , от- несенной к каноническому параметру t, задано векторное поле χ вида χ = a · δ(ξ) + b · δV (ξ) + c · F C(ξ) + d · F V (ξ), где ξ — поле касательных векторов к кривой C , а функции a, b, c и d определяются правилом: существуют такие тензорные поля R, R̄ ∈ T0 r(M), что a = 2RV (ξ, ..., ξ), b = 2RC(ξ, ..., ξ), c = 2εR̄V (ξ, ..., ξ), d = 2εR̄C(ξ, ..., ξ). Тогда ковариантная производная ∇̃C t χ имеет вид ∇̃C t χ = a′ · δ(ξ) + b′ · δV (ξ) + c′ · F C(ξ) + d′ · F V (ξ), где функции a′, b′, c′ и d′ определяются правилом: a′ = 2R′V (ξ, ..., ξ), b′ = 2R′C(ξ, ..., ξ), c′ = 2εR̄′ V (ξ, ..., ξ), d′ = 2εR̄′ C (ξ, ..., ξ), а тензорные поля R′, R̄′ ∈ T0 r+1(M) имеют вид R′ = ∇R +2R⊗β +2εR̄⊗ β̄, R̄′ = ∇R̄ +2R̄⊗β +2R⊗ β̄. Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 3, если ∇̃ за- хват аффинной связности ∇̄ обратным диффеоморфиз- мом µ−1, то полный лифт ∇̃C является захватом полного лифта ∇̄C индуцированным диффеоморфизмом µ−1 ∗ . То- гда, ковариантная производная векторного поля χ, отно- сительно связности полного лифта ∇̃C , определяется ра- венством ∇̃C t χ = ∇C t + P̃ (ξ, χ), p-геодезические диффеоморфизмы 145 где P̃ (ξ, χ) = βC(ξ)δV (χ) + βV (ξ)δ(χ) + βC(χ)δV (ξ)+ + βV (χ)δ(ξ) + εβ̄C(ξ)F V (χ) + εβ̄V (ξ)F C(χ)+ + εβ̄C(χ)F V (ξ) + εβ̄V (χ)F C(ξ). Тогда с одной стороны ∇C t χ =∇C t a · δ(ξ) + a · ∇Cδ(ξ, ξ) + a · δ(∇C t ξ)+ + ∇C t b · δV (ξ) + b · ∇CδV (ξ, ξ) + b · δV (∇C t ξ)+ + ∇C t c · F C(ξ) + c · ∇CF C(ξ, ξ) + c · F C(∇C t ξ)+ + ∇C t d · F V (ξ) + d · ∇CF V (ξ, ξ) + d · F V (∇C t ξ). Поскольку геодезическая кривая C отнесена к канониче- скому параметру t, то ∇C t ξ = 0. Кроме того, в силу свойств лифтов, получим ∇Cδ = 0, ∇CδV = (∇δ)V = 0, ∇CF C = (∇F )C = 0, ∇CF V = (∇F )V = 0. Тогда будем иметь (110) ∇C t χ = ∇C t a · δ(ξ) + ∇C t b · δV (ξ)+ + ∇C t c · F C(ξ) + ∇C t d · F V (ξ). С другой стороны, поскольку δV δ = δV , δV δV = 0, δV F C = (δF )V = F V , δV F V = 0 то (111) δV (χ) = aδV (ξ) + cF V (ξ). Аналогично (112) δ(χ) = aδ(ξ) + bδV (ξ) + cF C(ξ) + dF V (ξ). 146 К. М. Зубрилин По свойству лифтов βV ◦ δV = 0, βV ◦F C = (β ◦F )V = β̄V = 0, βV ◦F V = 0, имеем (113) βV (χ) = aβV (ξ) + cβ̄V (ξ). По свойству лифтов βC ◦ δV = βV , βC ◦ F C = (β ◦ F )C = β̄C, βC ◦ F V = (β ◦ F )V = β̄V , имеем (114) βC(χ) = aβC(ξ) + bβV (ξ) + cβ̄C(ξ) + dβ̄V (ξ). По свойствам лифтов F V δV = 0, F V F C = (F F )V = εδV , F V F V = 0, имеем (115) F V (χ) = aF V (ξ) + cεδV (ξ). По свойствам лифтов F CδV = (Fδ)V = F V , F CF C = (F F )C = εδ, F CF V = (F F )V = εδV , имеем (116) F C(χ) = aF C(ξ) + bF V (ξ) + cεδ(ξ) + dεδV (ξ). Учитывая свойства лифтов β̄C ◦ δV = β̄V , β̄C ◦ F C = (β̄ ◦ F )C = εβC, β̄C ◦ F V = (β̄ ◦ F )V = εβV , получим (117) β̄C(χ) = aβ̄C(ξ) + bβ̄V (ξ) + cεβC(ξ) + dεβV (ξ). p-геодезические диффеоморфизмы 147 По свойствам лифтов β̄V ◦δV = 0, β̄V ◦F C = (β̄ ◦F )V = εβV , β̄V ◦F V = 0, имеем (118) β̄V (χ) = aβ̄V (ξ) + cεβV (ξ). Из равенств (111), (112), (113), (114), (115), (116), (117) и (118), будем иметь (119) P̃ (ξ, χ) = ( 2aβV (ξ) + 2cβ̄V (ξ) ) δ(ξ)+ + ( 2aβC(ξ) + 2bβV (ξ) + 2cβ̄C(ξ) + 2dβ̄V (ξ) ) δV (ξ)+ + ( 2cβV (ξ) + 2aεβ̄V (ξ) ) F C(ξ)+ + ( 2cβC(ξ) + 2dβV (ξ) + 2aεβ̄C(ξ) + 2bεβ̄V (ξ) ) F V (ξ). Из равенств (110) и (119) получим ∇̃C t χ = a′ · δ(ξ) + b′ · δV (ξ) + c′ · F C(ξ) + d′ · F V (ξ), где a′ =∇C t a + 2aβV (ξ) + 2cβ̄V (ξ), b′ =∇C t b + 2aβC(ξ) + 2bβV (ξ) + 2cβ̄C(ξ) + 2dβ̄V (ξ), c′ =∇C t c + 2cβV (ξ) + 2aεβ̄V (ξ), d′ =∇C t d + 2cβC(ξ) + 2dβV (ξ) + 2aεβ̄C(ξ) + 2bεβ̄V (ξ). (120) 148 К. М. Зубрилин Учитывая условие леммы, будем иметь для функции a′ a′ = ∇C t ( 2RV (ξ, ..., ξ) ) + 4RV (ξ, ..., ξ)βV (ξ)+ + 4εR̄V (ξ, ..., ξ)β̄V (ξ) = = 2 ( ∇CRV ) (ξ, ..., ξ, ξ)+ + 2RV ( ∇C t ξ, ..., ξ ) + ... + 2RV ( ξ, ...,∇C t ξ ) + + 4 ( RV ⊗ βV ) (ξ, ..., ξ, ξ) + 4ε ( R̄V ⊗ β̄V ) (ξ, ..., ξ, ξ) = = 2 ( ∇R + 2R ⊗ β + 2εR̄ ⊗ β̄ )V (ξ, ..., ξ, ξ) = = 2R′V (ξ, ..., ξ, ξ). Проводя подобные рассуждения, получим выражение для функции b′ b′ = 2 ( ∇R + 2R ⊗ β + 2εR̄ ⊗ β̄ )C (ξ, ..., ξ, ξ) = = 2R′C(ξ, ..., ξ, ξ). Аналогично находим выражение для функции c′ c′ =2ε ( ∇R̄ + 2R̄ ⊗ β + 2R ⊗ β̄ )V (ξ, ..., ξ, ξ) = = 2εR̄′ V (ξ, ..., ξ, ξ), и для функции d′ d′ =2ε ( ∇R̄ + 2R̄ ⊗ β + 2R ⊗ β̄ )C (ξ, ..., ξ, ξ) = = 2εR̄′ C (ξ, ..., ξ, ξ), что завершает доказательство леммы. З а м е ч а н и е . Тензорные поля R, R̄ ∈ T0 r(M) и R′, R̄′ ∈ T0 r+1(M) между собой тесно связаны. Именно, если для любых векторных полей X1, X2, ..., Xr из X(M) вы- полняется равенство, R̄ (X1, X2, ..., Xr) = R (F (X1) , X2, ..., Xr) , p-геодезические диффеоморфизмы 149 то для произвольных векторных полей X1, X2, ..., Xr+1 из X(M) выполняется равенство R̄′ (X1, X2, ..., Xr+1) = R′ (F (X1) , X2, ..., Xr+1) . Для доказательства основной теоремы нам понадобить- ся следующая лемма. Лемма 1. Пусть T ∈ T0 r (E) и P ∈ T0 s (E) симмет- рические тензоры, причем T 6= 0. Пусть для тензора R через S (R) обозначается симметрирование. Тогда из ра- венства S (T ⊗ P ) = 0 следует равенство P = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку симметричный тен- зор T не равен нулю, то найдется такой вектор Y ∈ E, что T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) 6= 0. Возьмем произвольный вектор X ∈ E. Из определения симметрирования и равенства S (T ⊗ P ) = 0 будем иметь 0 = S (T ⊗ P ) (Y, ..., Y︸︷︷︸ r , Y, ..., Y︸︷︷︸ s ) = T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) · P (Y, ..., Y︸︷︷︸ s ). Поскольку T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) 6= 0, то (121) P (Y, ..., Y︸︷︷︸ s ) = 0. 150 К. М. Зубрилин Учитывая равенство (121), получим 0 = S (T ⊗ P ) (Y, ..., Y︸︷︷︸ r , X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−1 ) = = s · T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) · P (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−1 )+ + r · T (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ r−1 ) · P (Y, ..., Y︸︷︷︸ s ) = = s · T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) · P (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−1 ). Поскольку s 6= 0 и T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) 6= 0, то (122) P (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−1 ) = 0. Учитывая равенства (121) и (122), будем иметь 0 =S (T ⊗ P ) (Y, ..., Y︸︷︷︸ r , X, X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−2 ) = =C2 s · T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) · P (X, X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−2 )+ + C1 r · C1 s · T (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ r−1 ) · P (X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−1 )+ + C2 r · T (X, X, Y, ..., Y︸︷︷︸ r−2 ) · P (Y, ..., Y︸︷︷︸ s ) = =C2 s · T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) · P (X, X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−2 ). p-геодезические диффеоморфизмы 151 Поскольку C2 s 6= 0 и T (Y, ..., Y︸︷︷︸ r ) 6= 0, то (123) P (X, X, Y, ..., Y︸︷︷︸ s−2 ) = 0. Продолжая так дальше, на шаге k 6 s получим (k) P (X, ..., X︸︷︷︸ k , Y, ..., Y︸︷︷︸ s−k ) = 0. При k = s, получим P (X, ..., X︸︷︷︸ s ) = 0. Из симметричности тензора P и произвольности вектора X ∈ E, находим P = 0, что и требовалось доказать. Теорема 5. Пусть голоморфно-проективный диффео- морфизм µ : M → M̄ келеровых пространств (M, g, F ) и (M̄, ḡ, F̄ ) описывается уравнением µ∗F = F̄ , P (X, Y ) = β(X)δ(Y ) + β(Y )δ(X)+ + εβ̄(X)F (Y ) + εβ̄(Y )F (X), где β — некоторый ковектор на M , β̄ = β ◦ F , и X, Y произвольные векторные поля на M . Тогда индуцированный диффеоморфизм µ∗ : T (M) → T (M̄) касательных расслоений со связностями полных лифтов ∇C и ∇̄C имеет линейный тип и обладает следующими уплощающими свойствами. (1) Индуцированный диффеоморфизм µ∗ является 1– геодезическим диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда β = 0, 152 К. М. Зубрилин то есть когда диффеоморфизм µ является аффин- ным. При этом и диффеоморфизм µ∗ будет аффин- ным. (2) Индуцированный диффеоморфизм µ∗ является 2– геодезическим диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда выполняются условия β 6= 0, ∇β + 2β ⊗ β + 2εβ̄ ⊗ β̄ = 0. (3) Индуцированный диффеоморфизм µ∗ является 3– геодезическим диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда выполняются условия β 6= 0, T2 6= 0, S   ∣∣∣∣∣∣ βC β̄V β̄C T2 C T̄2 V T̄2 C T3 C T̄3 V T̄3 C ∣∣∣∣∣∣   = 0. (4) В общем случае, индуцированный диффеоморфизм µ∗ является 4–геодезическим диффеоморфизмом линейного типа. Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем в M произвольным об- разом геодезическую кривую C отнесенную к канониче- скому параметру t, и найдем кривизны этой кривой отно- сительно связности полного лифта ∇̃C . Пусть ξ — поле касательных векторов к кривой C . Рас- смотрим две функции T0, T̄0 ∈ T0 0(M) определяемые пра- вилом T0 = 1 2 , T̄0 = 0. Тогда очевидно T V 0 = 1 2 , TC 0 = 0, T̄ V 0 = 0, T̄C 0 = 0. С учетом этого, поле касательных векто- ров ξ представляется в виде ξ = a0 · δ(ξ) + b0 · δ V (ξ) + c0 · F C(ξ) + d0 · F V (ξ), где a0 = 2T V 0 , b0 = 2TC 0 , c0 = 2εT̄ V 0 , d0 = 2εT̄C 0 . p-геодезические диффеоморфизмы 153 Это показывает, что поле касательных векторов ξ удовле- творят условию леммы 1. Применяя ее, получим первую кривизну ξ̃1 ξ̃1 = ∇̃C t ξ = a1 · δ(ξ) + b1 · δ V (ξ) + c1 · F C(ξ) + d1 · F V (ξ), где a1 = 2T V 1 (ξ), b1 = 2TC 1 (ξ), c1 = 2εT̄ V 1 (ξ), d1 = 2εT̄C 1 (ξ). а тензорные поля T1, T̄1 ∈ T0 1(M) определяются правилом T1 = ∇T0 + 2T0 ⊗ β + 2εT̄0 ⊗ β̄ = β, T̄1 = ∇T̄0 + 2T̄0 ⊗ β + 2T0 ⊗ β̄ = β̄. К векторному полю ξ̃1 можно применить лемму 1, в ре- зультате чего получим выражение для второй кривизны ξ̃2 = ∇̃C t ξ̃1 = a2 · δ(ξ) + b2 · δ V (ξ) + c2 · F C(ξ) + d2 · F V (ξ), где a2 = 2T V 2 (ξ, ξ), b2 = 2TC 2 (ξ, ξ), c2 = 2εT̄ V 2 (ξ, ξ), d2 = 2εT̄C 2 (ξ, ξ). а тензорные поля T2, T̄2 ∈ T0 2(M) определяются правилом T2 = ∇T1 +2T1 ⊗β +2εT̄1 ⊗ β̄ = ∇β +2β ⊗β +2εβ̄ ⊗ β̄, T̄2 = ∇T̄1 + 2T̄1 ⊗ β + 2T1 ⊗ β̄ = ∇β̄ + 2β̄ ⊗ β + 2β ⊗ β̄. Согласно замечанию к лемме 1 из определения β̄(X) = β(F (X)), получим равенство T̄2(X, Y ) = T2(F (X), Y ). Кро- ме того, тензорное поле T2 является симметрическим. Это получается из следующих соображений. Ковекторное поле β, которое входит в уравнения голоморфно-проективного 154 К. М. Зубрилин диффеоморфизма, является градиентным (см. [5]). Из оп- ределения тензорного поля T2 получим требуемое. К векторному полю ξ̃2 можно применить лемму 1, в ре- зультате чего получим выражение для третьей кривизны ξ̃3 = ∇̃C t ξ̃2 = a3 · δ(ξ) + b3 · δ V (ξ) + c3 · F C(ξ) + d3 · F V (ξ), где a3 = 2T V 3 (ξ, ξ, ξ), b3 = 2TC 3 (ξ, ξ, ξ), c3 = 2εT̄ V 3 (ξ, ξ, ξ), d3 = 2εT̄C 3 (ξ, ξ, ξ). а тензорные поля T3, T̄3 ∈ T0 3(M) определяются правилом T3 = ∇T2 + 2T2 ⊗ β + 2εT̄2 ⊗ β̄, T̄3 = ∇T̄2 + 2T̄2 ⊗ β + 2T2 ⊗ β̄. К векторному полю ξ̃3 можно применить лемму 1, в ре- зультате чего получим выражение для четвертой кривиз- ны ξ̃4. ξ̃4 = ∇̃C t ξ̃3 = a4 · δ(ξ) + b4 · δ V (ξ) + c4 · F C(ξ) + d4 · F V (ξ), где a4 = 2T V 4 (ξ, ξ, ξ, ξ), b4 = 2TC 4 (ξ, ξ, ξ, ξ), c4 = 2εT̄ V 4 (ξ, ξ, ξ, ξ), d4 = 2εT̄C 4 (ξ, ξ, ξ, ξ). а тензорные поля T4, T̄4 ∈ T0 4(M) определяются правилом T4 = ∇T3 + 2T3 ⊗ β + 2εT̄3 ⊗ β̄, T̄4 = ∇T̄3 + 2T̄3 ⊗ β + 2T3 ⊗ β̄. Теперь перейдем к рассмотрению уплощающих свойств. p-геодезические диффеоморфизмы 155 1). Очевидно ξ ∧ ξ̃1 = b1 · δ(ξ) ∧ δV (ξ)+ + c1 · δ(ξ) ∧ F C(ξ) + d1 · δ(ξ) ∧ F V (ξ). Отсюда следует, что равенство (124) ξ ∧ ξ̃1 = 0 равносильно равенствам (124′) b1 = 0, c1 = 0, d1 = 0. Равенство c1 = 0 равносильно равенству β̄V (ξ) = 0. По- скольку геодезическая кривая C выбирается произволь- ным образом, последнее равенство выполняться для лю- бого ξ, что влечет равенство β̄V = 0. Последнее равенство эквивалентно условию (124′′) β = 0. С другой стороны, равенство (124′′) обеспечивает выпол- нение всех равенств в условии (124′). Значит, равенство (124) равносильно равенству (124′′) . Таким образом, индуцированный диффеоморфизм µ∗ является 1–геодезическим диффеоморфизмом для каса- тельных расслоений тогда и только тогда, когда β = 0. Отсюда получим равенство P = 0, которое показывает, что голоморфно-проективный диффеоморфизм µ являет- ся аффинным. При этом выполняются равенства βV = 0, βC = 0, β̄V = 0, β̄C = 0, из которых следует P̃ = 0. Это показывает, что индуцированный диффеоморфизм так же является аффинным. 156 К. М. Зубрилин 2). Очевидно ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 = ∣∣∣∣ b1 c1 b2 c2 ∣∣∣∣ δ(ξ) ∧ δV (ξ) ∧ F C(ξ)+ + ∣∣∣∣ b1 d1 b2 d2 ∣∣∣∣ δ(ξ) ∧ δV (ξ) ∧ F V (ξ)+ + ∣∣∣∣ c1 d1 c2 d2 ∣∣∣∣ δ(ξ) ∧ F C(ξ) ∧ F V (ξ). Отсюда следует, что равенство (125) ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 = 0, равносильно условиям (125′) ∣∣∣∣ b1 c1 b2 c2 ∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣ b1 d1 b2 d2 ∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣ c1 d1 c2 d2 ∣∣∣∣ = 0. Равенства (125′) равносильны соответственно равенствам ∣∣∣∣ βC(ξ) β̄V (ξ) T2 C(ξ, ξ) T̄ V 2 (ξ, ξ) ∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣ βC(ξ) β̄C(ξ) T2 C(ξ, ξ) T̄ V 2 (ξ, ξ) ∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣ β̄V (ξ) β̄C(ξ) T̄ V 2 (ξ, ξ) T̄C 2 (ξ, ξ) ∣∣∣∣ = 0, которые выполняются для любой геодезической кривой C . Для произвольной точки p̃ ∈ C будем иметь ∣∣∣∣∣ βC(ξ) ∣∣ p̃ β̄V (ξ) ∣∣ p̃ T2 C(ξ, ξ) ∣∣ p̃ T̄ V 2 (ξ, ξ) ∣∣ p̃ ∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣ βC(ξ) ∣∣ p̃ β̄C(ξ) ∣∣ p̃ T2 C(ξ, ξ) ∣∣ p̃ T̄C 2 (ξ, ξ) ∣∣ p̃ ∣∣∣∣∣ = 0,(126) ∣∣∣∣∣ β̄V (ξ) ∣∣ p̃ β̄C(ξ) ∣∣ p̃ T̄ V 2 (ξ, ξ) ∣∣ p̃ T̄C 2 (ξ, ξ) ∣∣ p̃ ∣∣∣∣∣ = 0. p-геодезические диффеоморфизмы 157 Возьмем произвольную точку p ∈ M , и векторное по- ле X ∈ X(M). Пусть ( U ; uh ) координатная окрестность в точке p, и ( π−1(U); xh, yh ) ее индуцированная координат- ная окрестность в касательном расслоении T (M) (xh = uh, yh = uh̄). Пусть ковекторные поля β, β̄ и тензорные по- ля T2, T̄2 в координатной окрестности ( U ; uh ) имеют ком- поненты βk, β̄k и T2 ij , T̄2 ij соответственно. Тогда в инду- цированной координатной окрестности лифты βC , β̄V , β̄C и TC 2 , T̄ V 2 , T̄C 2 будут иметь соответственно компоненты βC : (∂βk, βk) , β̄V : ( β̄k, 0 ) , β̄C : ( ∂β̄k, β̄k ) , T2 C : ( ∂T2 ij T2 ij T2 ij 0 ) , T̄ V 2 : ( T̄2 ij 0 0 0 ) , T̄C 2 : ( ∂ T̄2 ij T̄2 ij T̄2 ij 0 ) . Выберем точку p̃ ∈ π−1(U) так, чтобы π (p̃) = p и p̃ = (p, y), где ys = 0. Возьмем некоторый касательный вектор τ ∈ Tp̃ (T (M)) с компонентами τ = ( Xh p , Xh p ) . Проведем че- рез точку p̃ в направлении вектора τ геодезическую кри- вую C . Если ξ поле касательных векторов вдоль кривой C , то ξ\|p̃ = τ . В таком случае, равенства (126) примут вид ∣∣∣∣∣ β(X)\|p β̄(X) ∣∣ p 2 T2(X, X)\|p T̄2(X, X) ∣∣ p ∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣ β(X)\|p β̄(X) ∣∣ p 2 T2(X, X)\|p 2 T̄2(X, X) ∣∣ p ∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣ β̄(X) ∣∣ p β̄(X) ∣∣ p T̄2(X, X) ∣∣ p 2 T̄2(X, X) ∣∣ p ∣∣∣∣∣ = 0, 158 К. М. Зубрилин из которых получим β̄(X) ∣∣ p · T2(X, X)\|p = 0, β(X)\|p · T̄2(X, X) ∣∣ p = 0, β̄(X) ∣∣ p · T̄2(X, X) ∣∣ p = 0. Поскольку точка p ∈ M была взята произвольно, мы при- ходим к равенству β̄(X) · T2(X, X) = 0, β(X) · T̄2(X, X) = 0, β̄(X) · T̄2(X, X) = 0, которое выполняется для любого векторного поля X ∈ X(M). Последнее означает, что (127) S ( β̄ ⊗ T2 ) = 0, S ( β ⊗ T̄2 ) = 0, S ( β̄ ⊗ T̄2 ) = 0, где S (R) обозначает симметрирование тензорного поля R ∈ T0 r(M). Возможны два случая: β̄p 6= 0 и β̄p = 0. С л у ч а й β̄p 6= 0. Первое равенство в (127) в точке p примет вид S ( β̄ ∣∣ p ⊗ T2\|p ) = 0. Поскольку T2\|p симметрический тензор, то из леммы 2 по- лучим T2\|p = 0. С л у ч а й β̄p = 0. Очевидно, что и βp = 0. Возможны два варианта: ∇β̄ ∣∣ p = 0 и ∇β̄ ∣∣ p 6= 0. В а р и а н т ∇β̄ ∣∣ p 6= 0. Пусть Γh ij — компоненты аффин- ной связности ∇ в координатной окрестности ( U ; uh ) . То- гда компоненты ∇jβ̄i ковариантного дифференциала ∇β̄ ковекторного поля β̄ в координатной окрестности ( U ; uh ) p-геодезические диффеоморфизмы 159 имеют вид ∇jβ̄i = ∂j β̄i − Γα jiβ̄α. Отсюда в точке p получим ∇j β̄i ∣∣ p = ∂j β̄i ∣∣ p − Γα ji ∣∣ p · β̄α ∣∣ p = ∂j β̄i ∣∣ p . Найдутся такой вектор y = (ys) ∈ R n и такое векторное поле Y ∈ X(M), что ys ∂sβ̄i ∣∣ p · Y i p = ys ∇sβ̄i ∣∣ p · Y i p 6= 0. Рассмотрим точку p̃ = (p, y) ∈ T (M). Тогда в индуциро- ванной координатной окрестности β̄V ∣∣ p̃ = ( β̄k ∣∣ p , 0 ) = 0, и β̄C ( Y C )∣∣ p̃ = ∂β̄k ∣∣ p̃ · Y k p + β̄k ∣∣ p · ∂Y k̄ p̃ = ys ∂sβ̄k ∣∣ p · Y k p 6= 0, что показывает β̄C ∣∣ p̃ 6= 0. Нетрудно показать, что для произвольного тензорного поля R ∈ T0 r(M) выполняются равенства S (R)V = S ( RV ) , S (R)C = S ( RC ) . Из последнего равенства и первого равенства в (127) по- лучим равенство S ( β̄V ⊗ T2 C + β̄C ⊗ T2 V ) = 0, которое в точке p̃ примет вид S ( β̄V ∣∣ p̃ ⊗ T2 C ∣∣ p̃ + β̄C ∣∣ p̃ ⊗ T2 V ∣∣ p̃ ) = 0. Поскольку β̄V ∣∣ p̃ = 0, то из последнего равенства будем иметь S ( β̄C ∣∣ p̃ ⊗ T2 V ∣∣ p̃ ) = 0. 160 К. М. Зубрилин Учитывая неравенство β̄C ∣∣ p̃ 6= 0 и симметричность тен- зора T2 V ∣∣ p̃ , из леммы 2 получим T2 V ∣∣ p̃ = 0, что влечет равенство (4). В а р и а н т ∇β̄ ∣∣ p = 0. По определению тензорного поля T̄2 получим T̄2 ∣∣ p = ∇β̄ ∣∣ p + 2 β̄ ∣∣ p ⊗ β\|p + 2 β\|p ⊗ β̄ ∣∣ p = 0. Учитывая связь тензорных полей T̄2 и T2, отсюда снова приходим к равенству (4). Поскольку последнее равенство выполняется в каждой точке p ∈ M , получаем равенство (125′′) T2 = 0. С другой стороны, из условия (125′′) получим T̄2 = 0, и значит T V 2 = 0, TC 2 = 0, T̄ V 2 = 0, T̄C 2 = 0, что в свою очередь, ведет к выполнению условия (125′). Таким образом, для того что бы индуцированный диф- феоморфизм µ∗ был 2-геодезическим диффеоморфизмом необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия β 6= 0 и T2 = 0. 3). Очевидно ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 ∧ ξ̃3 = ∣∣∣∣∣∣ b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 d3 ∣∣∣∣∣∣ δ(ξ) ∧ δV (ξ) ∧ F C(ξ) ∧ F V (ξ). Отсюда следует, что равенство (128) ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 ∧ ξ̃3 = 0, p-геодезические диффеоморфизмы 161 равносильно условию (128′) ∣∣∣∣∣∣ b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 d3 ∣∣∣∣∣∣ = 0. Последнее выполняется для произвольного векторного по- ля ξ. Поэтому оно равносильно равенству (128′′) S   ∣∣∣∣∣∣ βC β̄V β̄C T2 C T̄2 V T̄2 C T3 C T̄3 V T̄3 C ∣∣∣∣∣∣   = 0. Таким образом, для того, что бы индуцированный диф- феоморфизм µ∗ был 3-геодезическим диффеоморфизмом необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия β 6= 0, T̄2 6= 0 и (128′′). 4). Очевидно выполняется равенство ξ ∧ ξ̃1 ∧ ξ̃2 ∧ ξ̃3 ∧ ξ̃4 = 0. Оно показывает, что в общем случае, индуцированный диффеоморфизм является 4-геодезическим. Теорема до- казана. З а м е ч а н и е . Нетрудно заметить, что равенство T3 = 0 обеспечивает выполнение условия (128′′). Таким обра- зом, для того, что бы индуцированный диффеоморфизм являлся 3–геодезическим диффеоморфизмом, достаточно, чтобы выполнялись условия β 6= 0, T2 6= 0 и T3 = 0. Список литературы [1] С. Г. Лейко, Линейные р-геодезические диффеоморфизмы касатель- ных расслоений высших порядков и высших степеней. - Тр. Геомет- рич. семин. - Казань (1982), вып. 14, с. 34-46. 162 [2] С. Г. Лейко, Р - геодезические преобразования и их группы в каса- тельных расслоениях, индуцированные геодезическими преобразова- ниями базисного многообразия. - Изв. вузов. Математика. (1992), №2, с. 62-71. [3] С. Г. Лейко, Р - геодезические преобразования и их группы в каса- тельных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразо- ваниями базисного многообразия. - Изв. вузов. Математика. (1998), №6, с. 35-45. [4] С. Г. Лейко, Р - геодезические сечения касательного расслоения. - Изв. вузов. Математикав. (1994), №3, с. 32-42. [5] Н. С. Синюков, И. Н. Курбатова, Й. Микеш. Голоморфно - проектив- ные отображения келеровых пространств. Учеб. пособие. - Одесса: ОГУ, 1985 - 69с. [6] С. Г. Лейко, Рiманова геометрiя: Навчальний посiбник. Одеса: Аст- ропринт (2000) [7] K. Yano, S. Ishihara, Tangent and cotangent bundles. Differential geom- etry. - New York: Marcel Dekker (1973)

p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений, индуцированные голоморфно-проективными диффеоморфизмами келеровых пространств

Репозитарії

Схожі ресурси