О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства

В статтi вивчається грасманiв многовид неiзотопних двовимiрних площин псевдоевклiдового простору за допомогою його занурення у виглядi алгебраїчної поверхнi у шестивимiрний простiр....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Гургенидзе, М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schlagworte:	Геометрія, топологія та їх застосування
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6282
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства / М. Гургенидзе // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 107-114. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6282
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62822010-02-23T12:00:44Z О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства Гургенидзе, М. Геометрія, топологія та їх застосування В статтi вивчається грасманiв многовид неiзотопних двовимiрних площин псевдоевклiдового простору за допомогою його занурення у виглядi алгебраїчної поверхнi у шестивимiрний простiр. В статье изучается грассманово многообразие неизотропных двумерных плоскостей псевдоевклидова пространства посредством его погружения в виде алгебраической поверхности в шестимерное пространство. Найден вид компонент тензора кривизны и получены формулы для вычисления секционной кривизны. 2006 Article О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства / М. Гургенидзе // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 107-114. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6282 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Гургенидзе, М. О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
description	В статтi вивчається грасманiв многовид неiзотопних двовимiрних площин псевдоевклiдового простору за допомогою його занурення у виглядi алгебраїчної поверхнi у шестивимiрний простiр.
format	Article
author	Гургенидзе, М.
author_facet	Гургенидзе, М.
author_sort	Гургенидзе, М.
title	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
title_short	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
title_full	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
title_fullStr	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
title_full_unstemmed	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
title_sort	о погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6282
citation_txt	О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства / М. Гургенидзе // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 107-114. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gurgenidzem opogruženiigrassmanovamnogoobraziâpsevdoevklidovaprostranstva
first_indexed	2025-07-02T09:13:22Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:22Z
_version_	1836525921491746816
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 107-114 М.Гургенидзе Запорожский национальный университет О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства В статтi вивчається грасманiв многовид неiзотопних двовимiрних площин псевдоевклiдового простору за допомогою його занурення у виглядi алгебраїчної поверхнi у шестивимiрний простiр. В статье изучается грассманово многообразие неизотропных двумер- ных плоскостей псевдоевклидова пространства посредством его погру- жения в виде алгебраической поверхности в шестимерное простран- ство. Найден вид компонент тензора кривизны и получены формулы для вычисления секционной кривизны. Грассманово многообразие плоскостей евклидова про- странства изучалось многими геометрами. Основные ре- зультаты можно найти в обзорной статье А.А. Борисен- ко [2]. В работе [1] Ю.А. Аминова изучается само грас- сманово многообразие и его подмногообразие - грассма- нов образ поверхности. В представленной статье анало- гичное исследование проведено для грассманова много- образия неизотропных 2-плоскостей псевдоевклидова че- тырехмерного пространства индекса 1 - 1R4. С помощью плюккеровых координат это многообразие погружается в псевдоевклидово шестимерное пространство индекса 3, на- ходится его тензор кривизны и секционная кривизна. Эти свойства грассманова многообразия можно будет исполь- зовать для изучения грассманова образа неизотропной по- верхности в пространстве 1R4. c© М. Гургенидзе, 2006 108 М.Гургенидзе 1. Подмногообразия грассманова многообразия неизотропных плоскостей псевдоевклидова пространства 1R4 В псевдоевклидовом пространстве 1R4 (с метрикой сиг- натуры − + ++) будем рассматривать множество всех неизотропных 2-плоскостей (далее плоскостей), проходя- щих через фиксированную точку пространства. Каждая плоскость множества является псевдоевклидовой или ев- клидовой [3]. В этом множестве можно ввести гладкую структуру и, следовательно, по аналогии с евклидовым пространством, указанное множество плоскостей будем на- зывать грассмановым многообразием и обозначать G(2, 4). Многообразие является объединением двух непересекаю- щихся подмногообразий - псевдоевклидовых и евклидовых плоскостей. Будем обозначать их соответственно P G(2, 4) и EG(2, 4). Каждую плоскость π, проходящую через фиксирован- ную точку, можно задать плюккеровыми координатами. Для этого рассмотрим ортонормированный базис плоско- сти π, состоящий из векторов ā = (a1, a2, a3, a4), b̄ = (b1, b2, b3, b4), заданных своими координатами относительно ортонорми- рованного базиса пространства 1R4. Составим миноры вто- рого порядка 2× 4-матрицы, строками которой есть коор- динаты базисных векторов плоскости π, и обозначим их символами pij pij = ∣ ∣ ∣ ∣ ai aj bi bj ∣ ∣ ∣ ∣ , i, j = 1, ..., 4, i < j. О погружении грассманова многообразия... 109 Упорядоченный набор pij называют плюккеровыми ко- ординатами плоскости. Плюккеровы координаты кососим- метричны и удовлетворяют соотношению Плюккера (92) pi[jpkl] = 0. Если плоскость π псевдоевклидова, то координаты век- торов ā и b̄ удовлетворяют условиям: −a2 1 + a2 2 + a2 3 + a2 4 = −1, −b2 1 + b2 2 + b2 3 + b2 4 = 1, (93) −a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 = 0. Найдем сумму квадратов всех плюккеровых координат pij плоскости π. Полученное выражение будет зависеть от ai, bi, i = 1, ..., 4. Используя соотношения (2), можно при- вести его к виду p2 12 + p2 13 + p2 14 + p2 23 + p2 24 + p2 34 = 1 + 2(p2 23 + p2 24 + p2 34). Из последнего равенства следует, что плюккеровы коор- динаты псевдоевклидовой плоскости удовлетворяют соот- ношению (94) −(p2 12 + p2 13 + p2 14) + p2 23 + p2 24 + p2 34 = −1. Для плюккеровых координат pij евклидовой плоскости в 1R4 нетрудно получить следующее соотношение: (95) −(p2 12 + p2 13 + p2 14) + p2 23 + p2 24 + p2 34 = 1. В четырехмерном псевдоевклидовом пространстве 1R4 плоскость задается шестью плюккеровыми координатами p12, p13, p14, p23, p24, p34, которые можно считать координа- тами точки в аффинном пространстве A6, в котором опре- делим скалярное произведение векторов 110 М.Гургенидзе p̄ = (p12, p13, p14, p23, p24, p34) и q̄ = (q12, q13, q14, q23, q24, q34) формулой (p̄, q̄) = −(p12q12 + p13q13 + p14q14) + p23q23 + p24q24 + p34q34. Это равносильно введению в A6 структуры псевдоевкли- дова пространства 3R6 с матрицей Грамма ортонормиро- ванного базиса diag(−1,−1,−1, 1, 1, 1) [4]. Набор p12, p13, p14, p23, p24, p34 будет являться декартовыми корди- натами в 3R6. Погружение подмногообразия P G(2, 4) в 3R6 задается двумя уравнениями (96) −(p2 12 + p2 13 + p2 14) + p2 23 + p2 24 + p2 34 = −1, (97) p12p34 − p13p24 + p14p23 = 0. Нормалями к подмногообразию являются, в частности, ли- нейно независимые векторы p̄ = (p12, p13, p14, p23, p24, p34), q̄ = (−p34, p24,−p23, p14,−p13, p12). Непосредственно проверяется, что эти нормали ортого- нальны и p̄2 = −1, q̄2 = 1. Уравнение (5) означает, что PG(2, 4) лежит в пятимерной сфере S5 мнимого радиуса пространства 3R6, а из (6) следует, что q̄ является норма- лью к подмногообразию P G(2, 4). Для подмногообразия EG(2, 4) уравнения погружения в 3R6 имеют вид (4) и (6). Векторы p̄ и q̄ являются норма- лями к этому подмногообразию, но теперь p̄2 = 1, q̄2 = −1. Таким образом, подмногообразие EG(2, 4) принадле- жит сфере действительного радиуса пространства 3R6. О погружении грассманова многообразия... 111 2. Тензор кривизны подмногообразий PG(2, 4) и EG(2, 4) Рассмотрим четырехмерное подмногообразие P G(2, 4). Его можно задать вектор-функцией p̄ = p̄(y1, y2, y3, y4). Пусть dσ2 = aαβdyαdyβ , α, β = 1, ..., 4 , — метрика на P G(2, 4), индуцированная метрикой объем- лющего пространства 3R6. Коэффициенты этой метрики aαβ = ( ∂p̄ ∂yα , ∂p̄ ∂yβ ). Так как нормальное пространство к PG(2, 4) определяется евклидовым и псевдоевклидовым векторами, то метрика PG(2, 4) имеет сигнатуру (−−++). Для подмногообразия P G(2, 4) рассмотрим вторые квадра- тичные формы IIλ = Ωλ αβdyαdyβ, λ = 1, 2, соответствующие нормалям p̄ и q̄. Коэффициенты Ωσ αβ будем определять равенствами Ω1 αβ = ( ∂2p̄ ∂yα∂yβ , p̄), Ω2 αβ = ( ∂2p̄ ∂yα∂yβ , q̄), которые можно переписать в виде Ω1 αβ = −( ∂p̄ ∂yα , ∂p̄ ∂yβ ) = −aαβ , Ω2 αβ = −( ∂p̄ ∂yα , ∂q̄ ∂yβ ). В каждой регулярной точке p ∈P G(2, 4) рассмотрим ба- зис пространства 3R6, состоящий из касательных векторов p̄α = ∂p̄ ∂yα и нормалей p̄ и q̄. Разложение Гаусса [1] ковари- антных производных для подмногообразия PG(2, 4) запи- шется в виде p̄,αβ = −Ω1 αβ p̄ + Ω2 αβ q̄. Для получения уравнения Гаусса [1] погружения много- образия P G(2, 4) в 3R6 найдем ковариантные производные p̄,αβγ и p̄,αγβ и их разность разложим по векторам p̄,α, p̄, q̄. 112 М.Гургенидзе Воспользуемся условием ортогональности векторов p̄α век- торам p̄ и q̄ и запишем уравнение Гаусса в виде Rαβγδ = −Ω1 αγΩ 1 βδ + Ω1 αδΩ 1 βγ + Ω2 αγΩ 2 βδ − Ω2 αδΩ 2 βγ . Найденный вид коэффициентов вторых квадратичных форм позволяет переписать эти уравнения следующим об- разом (98) Rαβγδ = −aαγaβδ + aαδaβγ + ( ∂p̄ ∂yα , ∂q̄ ∂yγ )( ∂p̄ ∂yβ , ∂q̄ ∂yδ )− − ( ∂p̄ ∂yα , ∂q̄ ∂yδ )( ∂p̄ ∂yβ , ∂q̄ ∂yγ ) Рассуждения, изложенные в этом пункте, справедливы и для подмногообразия EG(2, 4). Разложение Гаусса для EG(2, 4) можно получить в виде p̄,αβ = Ω1 αβ p̄ − Ω2 αβ q̄, а уравнения Гаусса (99) Rαβγδ = Ω1 αγΩ 1 βδ − Ω1 αδΩ 1 βγ − Ω2 αγΩ 2 βδ + Ω2 αδΩ 2 βγ = = aαγaβδ − aαδaβγ− − ( ∂p̄ ∂yα , ∂q̄ ∂yγ )( ∂p̄ ∂yβ , ∂q̄ ∂yδ ) + ( ∂p̄ ∂yα , ∂q̄ ∂yδ )( ∂p̄ ∂yβ , ∂q̄ ∂yγ ). 3. Секционная кривизна подмногообразий PG(2, 4) и EG(2, 4) Для нахождения секционной кривизны в касательном пространстве к многообразию выбирается двумерная пло- щадка. Обозначим через σ двумерную площадку, опреде- ляемую ортонормированным базисом X̄ = (Xα) и Ȳ = О погружении грассманова многообразия... 113 (Y α). Секционная кривизна определяется формулой K(σ) = RαβγδX αY βXγY δ. В касательных пространствах к подмногообразиям PG(2, 4) и EG(2, 4) возможны три типа двумерных площа- док с сигнатурами (−+), (++), (−−). Рассмотрим их по порядку. Для подмногообразия P G(2, 4) для площадки с сигнату- рой (−+) X̄2 = −1, Ȳ 2 = 1 и, с учетом (7), получим K(σ) = 1 + (∇X̄ p̄,∇X̄ q̄)(∇Ȳ p̄,∇Ȳ q̄)− − (∇X̄ p̄,∇Ȳ q̄)(∇Ȳ p̄,∇X̄ q̄), где ∇X̄ p̄ = ∂p̄ ∂yα Xα, а −XαaαγX γY βaβδY δ + XαaαδY δY βaβγX γ = 1. Из вида координат векторов p̄ и q̄ следует равенство (∇X̄ p̄,∇Ȳ q̄) = (∇Ȳ p̄,∇X̄ q̄). Напомним, что подмногообразие P G(2, 4) лежит на сфе- ре S5 мнимого радиуса пространства 3R6 и p̄ - нормаль к этой сфере. Как и в евклидовом случае любое направ- ление в касательном пространстве к сферам псевдоевкли- дова пространства является главным и в каждом из них нормальная кривизна равна -1. Поэтому, в соответствии с теоремой Родрига, ∇X̄ p̄ = X̄, ∇Ȳ p̄ = Ȳ . Тогда форму- лу кривизны подмногообразия PG(2, 4) можно записать в виде (100) K(σ) = 1 + (X̄,∇X̄ q̄)(Ȳ ,∇Ȳ q̄) − (X̄,∇Ȳ q̄)(Ȳ ,∇X̄ q̄). Пусть теперь двумерная площадка σ в касательном про- странстве подмногообразия PG(2, 4) определяется двумя ортогональными единичными или двумя ортогональными 114 мнимоединичными векторами X̄ и Ȳ . В каждом из этих случаев секционная кривизна вычисляется по формуле K(σ) = −1 + (X̄,∇X̄ q̄)(Ȳ ,∇Ȳ q̄) − (X̄,∇Ȳ q̄)(Ȳ ,∇X̄ q̄). Для подмногообразия EG(2, 4) формула секционной кривизны для площадки σ , определяемой векторами X̄ и Ȳ , X̄2 = −1 и Ȳ 2 = 1 имеет вид K(σ) = −1 − (X̄,∇X̄ q̄)(Ȳ ,∇Ȳ q̄) + (X̄,∇Ȳ q̄)(Ȳ ,∇X̄ q̄), а для площадки σ, определяемой двумя единичными или двумя мнимоединичными векторами X̄ и Ȳ K(σ) = 1 − (X̄,∇X̄ q̄)(Ȳ ,∇Ȳ q̄) + (X̄,∇Ȳ q̄)(Ȳ ,∇X̄ q̄). В работе [1] получена оценка секционной кривизны грас- сманова многообразия евклидова пространства. Получен- ные в этой статье результаты планируется использовать для оценки секционной кривизны подмногообразий PG(2, 4) и EG(2, 4) псевдоевклидова пространства 1R4. Список литературы [1] Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. – К.: Наукова думка, 2002. – 467с. [2] Борисенко А.А., Николаевский Ю.А. Многообразия Грассмана и грас- сманов образ подмногообразий //УМН - 1991. - Т.46. Вып.2(278). - С.41-80 [3] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Нау- ка, 1967. - 664с. [4] Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. - М.: Наука, 1969. - 547с.

О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства

Institution

Ähnliche Einträge