Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях

В данiй роботi розглядається вiдповiднiсть мiж функцiями Морса та градiєнтними потоками на орiєнтовних поверхнях. Доводиться, що кожному потоку Морса з нумерацiєю сiдлових особливих точок вiдповiдає рiвно одна функцiя Морса. Обчислюється кiлькiсть функцiй Морса з невеликим числом сiдлових точок....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Лычак, Д.П., Пришляк, А.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6284
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях / Д.П. Лычак, А.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 213-234. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6284
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62842010-02-23T12:00:49Z Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях Лычак, Д.П. Пришляк, А.О. Геометрія, топологія та їх застосування В данiй роботi розглядається вiдповiднiсть мiж функцiями Морса та градiєнтними потоками на орiєнтовних поверхнях. Доводиться, що кожному потоку Морса з нумерацiєю сiдлових особливих точок вiдповiдає рiвно одна функцiя Морса. Обчислюється кiлькiсть функцiй Морса з невеликим числом сiдлових точок. В данной работе рассматривается соответствие между функциями Морса и градиентными потоками на ориентируемых поверхностях. Доказывается, что каждому потокуМорса с нумерацией седловых особых точек соответствует ровно одна функция Морса. Вычисляется количество функций Морса с небольшим числом седловых точек. The present paper studies the correspondence between Morse functions and gradient flows on the orientable surfaces. We prove that for every Morse flow with numeration of saddle singular points there is a certain Morse function. The number of Morse functions with several saddles is computed. 2006 Article Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях / Д.П. Лычак, А.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 213-234. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6284 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Лычак, Д.П. Пришляк, А.О. Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
description	В данiй роботi розглядається вiдповiднiсть мiж функцiями Морса та градiєнтними потоками на орiєнтовних поверхнях. Доводиться, що кожному потоку Морса з нумерацiєю сiдлових особливих точок вiдповiдає рiвно одна функцiя Морса. Обчислюється кiлькiсть функцiй Морса з невеликим числом сiдлових точок.
format	Article
author	Лычак, Д.П. Пришляк, А.О.
author_facet	Лычак, Д.П. Пришляк, А.О.
author_sort	Лычак, Д.П.
title	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
title_short	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
title_full	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
title_fullStr	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
title_full_unstemmed	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях
title_sort	геометрия функций морса на ориентируемых поверхностях
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6284
citation_txt	Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях / Д.П. Лычак, А.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 213-234. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lyčakdp geometriâfunkcijmorsanaorientiruemyhpoverhnostâh AT prišlâkao geometriâfunkcijmorsanaorientiruemyhpoverhnostâh
first_indexed	2025-07-02T09:13:27Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:27Z
_version_	1836525927010402304
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 213-234 Д.П.Лычак Киевский нац. ун-т им. Тараса Шевченка, Киев E-mail: amidl@ukr.net А.О.Пришляк Киевский нац. ун-т им. Тараса Шевченка, Киев E-mail: prishlyak@yahoo.com Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях В данiй роботi розглядається вiдповiднiсть мiж функцiями Морса та градiєнтними потоками на орiєнтовних поверхнях. Доводиться, що кожному потоку Морса з нумерацiєю сiдлових особливих точок вiд- повiдає рiвно одна функцiя Морса. Обчислюється кiлькiсть функцiй Морса з невеликим числом сiдлових точок. В данной работе рассматривается соответствие между функциями Морса и градиентными потоками на ориентируемых поверхностях. До- казывается, что каждому потоку Морса с нумерацией седловых особых точек соответствует ровно одна функция Морса. Вычисляется коли- чество функций Морса с небольшим числом седловых точек. The present paper studies the correspondence between Morse functions and gradient flows on the orientable surfaces. We prove that for every Morse flow with numeration of saddle singular points there is a certain Morse function. The number of Morse functions with several saddles is computed. c© Д.П. Лычак, А. О.Пришляк, 2006 214 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк Введение В работе рассматриваются гладкие замкнутые связные ориентируемые двумерные многообразия, гладкие функ- ции и гладкие векторные поля на них. Топологическая классификация функций Морса на по- верхностях была получена в 1996 году В. В. Шарко ( [1], также см. [2]) и Е. В. Кулиничем в 1998 году в [3]. В обеих работах использовались графы Риба. А. Т. Фомен- ко ввёл понятие атома и молекулы и использовал их для классификации как динамических систем (потоков Морса- Смейла) так и функций Морса на поверхностях (см. [4]). М. М. Пейксото в 1973 году в работе [5] ввёл понятие различающего графа, который является полным тополо- гическим инвариантом, классифицирующим потоки Мор- са-Смейла без предельных циклов (потоки Морса) с точно- стью до траекторной эквивалентности. Однако этот инва- риант имеет сложное описание. В. В. Шарко и А. А. Ошем- ковым в 1998 году в работе [6] был предложен трёхцветный граф, который является инвариантом для потоков Мор- са на поверхностях и с которым гораздо легче проводить подсчёты. В данной работе он используется для задания потоков Морса. С. Смейл в работе [7] доказал, что потоки Морса — это в точности градиентно-подобные потоки (то есть потоки траекторно эквивалентные потоку градиента некоторой функции Морса в некоторой римановой метрике) без се- паратрис, идущих из седла в седло. Поскольку для любой функции Морса можно так подобрать риманову метрику на многообразии, чтобы поток градиента не имел сепа- ратрис из седла в седло (был потоком Морса), то клас- су функций Морса соответствует класс потоков Морса. Геометрия функций Морса ... 215 Однако послойно эквивалентным функциям Морса в раз- ных метриках могут соответствовать траекторно неэкви- валентные потоки Морса, и наоборот, поток Морса с точ- ностью до траекторной эквивалентности можно различны- ми способами представить в виде потока градиента неко- торой функции Морса (с точностью до послойной эквива- лентности). Таким образом, соответствие между функци- ями и потоками зависит от метрики. В настоящей работе показано, что эту зависимость можно устранить, если рас- сматривать потоки Морса с дополнительной информаци- ей. Основная цель данной статьи — доказать, что потоку Морса с нумерацией седловых точек на ориентируемой поверхности соответствует ровно одна (с точностью до по- слойной эквивалентности) функция Морса. Вторая цель — используя сформулированное выше соответствие, а также конструкцию трёхцветных графов и графов Риба, найти все неэквивалентные потоки Морса с нумерацией при ко- личестве седловых точек не большем 5, найти функцию Морса, соответствующую каждому из них и посчитать ко- личество неэквивалентных функций Морса. 1. Предварительные сведения Замечание 1. Гладкое векторное поле на многообразии порождает гладкий поток (гладкую динамическую систе- му с непрерывным временем) и наоборот. Далее оба тер- мина используются как синонимы. Пусть далее M — гладкое замкнутое ориентируемое дву- мерное многообразие, f : M → R — гладкая функция, v : M → TM — гладкое векторное поле. 216 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк Определение 1. Точка x ∈ M называется критической точкой функции f : M → R, если дифференциал функ- ции f в этой точке равен нулю df(x) = 0 или, что то же самое ∂f(x) ∂x1 = ∂f(x) ∂x1 = 0. Критическая точка x ∈ M назы- вается невырожденной, если матрица H = ( ∂2f(x) ∂xi∂xj ) i, j=1, 2 в некоторых локальных координатах x1, x2 невырожденная. Функция на двумерном многообразии может иметь не- вырожденные критические точки трёх типов: минимум (локальный), седло, максимум (локальный). Определение 2. Гладкая функция f : M → R называет- ся функцией Морса, если все её критические точки невы- рожденные. Функция Морса называется простой, если все её критические точки лежат на разных линиях уровня. Определение 3. Слоями функции Морса будем назы- вать компоненты связности её линий уровня. Две функ- ции Морса будем называть послойно эквивалентными, ес- ли существует гомеоморфизм поверхности на себя, кото- рый переводит слои одной функции в слои другой, а ло- кальные минимумы в локальные минимумы. Далее рассматриваются только простые функции Мор- са. Определение 4. Графом Риба (Кронрода-Риба) функции Морса f : M → R называется факторпространство M/∼ с ориентациями рёбер в соответствии с направлением воз- растания функции, где x1 ∼ x2, если x1 и x2 принадлежат одному слою. Графы Риба рассматриваются с точностью до изоморфизма ориентированных графов. Утверждение 1. Две функции Морса на ориентируемой поверхности послойно эквивалентны тогда и только то- гда, когда их графы Риба изоморфны. Геометрия функций Морса ... 217 Доказательство. Необходимость следует из определения графа Риба, поскольку гомеоморфизм поверхностей по- рождает изоморфизм графов. Доказательство достаточно- сти см., например, в [4] (теорема 2.4, с. 76, том 1). � Определение 5. Особая точка векторного поля v = v1 ∂ ∂x1 + v2 ∂ ∂x2 называется невырожденной, если матрица ( ∂vi ∂xj ) i, j=1, 2 не имеет собственных чисел, действительная часть которых равна 0. Векторное поле на двумерном многообразии может иметь три типа невырожденных особых точек: источник, седло и сток. Определение 6. Векторное поле v на двумерном много- образии M будем называть полем Морса, если (1) v имеет конечное число особых точек и все они не- вырожденные; (2) каждая траектория начинается и заканчивается в особой точке; (3) не существует траекторий, идущих из седла в седло. Два поля Морса будем называть траекторно эквивалент- ными, если существует гомеоморфизм поверхности на се- бя, который переводит траектории одного поля в траекто- рии другого с сохранением направления движения по ним. Будем называть полем Морса с нумерацией поле Морса, у которого занумерованы сёдла. Такие поля мы будем рас- сматривать с точностью до траекторной эквивалентности, при условии, что гомеоморфизм поверхности будет сохра- нять нумерацию сёдел. 218 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк Замечание 2. Существует ровно одно векторное поле Морса без седловых точек на связном замкнутом двумер- ном многообразии. Это поле градиента функции высоты на стандартно вложенной в R 3 сфере S2 с метрикой, индуцированной из R 3. Далее будем считать, что поля Морса имеют хотя бы одно седло. Приведём конструкцию трёхцветных графов (подробно- сти см. в [6]). Определение 7. Граф T назовём трёхцветным графом, если все его вершины имеют степень три, а рёбра раскра- шены в три цвета (s, u, t) таким образом, что в каждой вершине сходятся рёбра трёх разных цветов. Два трёх- цветных графа назовём изоморфными, если они изоморф- ны без учёта раскраски, и этот изоморфизм сохраняет рас- краску. источник источник сток сток седло седло седло седло седло Рис. 19. Триангуляция поверхности Сопоставим векторному полю Морса трёхцветный граф. Для этого проведём сепаратрисы. Они разобьют поверх- ность на канонические четырёхугольники (см. рис. 19). Геометрия функций Морса ... 219 Проведём по одной траектории из источника в сток для каждого канонического четырёхугольника. Таким обра- зом, мы получили триангуляцию поверхности. Каждому треугольнику сопоставим вершину трёхцветного графа, две вершины соединяются s-ребром (u-ребром, t-ребром), если соответствующие им треугольники имеют общую сто- рону-сепаратрису из источника в седло (сепаратрису из седла в сток, траекторию из источника в сток). Будем называть такие сепаратрисы s-сепаратрисами (u-сепарат- рисами, t-траекториями). su-циклом называется цикл на графе, в котором s- и u-рёбра встречаются по очереди. Утверждение 2. Два поля Морса траекторно эквива- лентны тогда и только тогда, когда соответствующие им трёхцветные графы изоморфны. Утверждение 3. Трёхцветный граф соответствует не- которому полю Морса тогда и только тогда, когда все его su-циклы имеют длину 4. Это поле Морса задано на ориентируемой поверхности тогда и только тогда, ко- гда граф без учёта раскраски не имеет циклов нечётной длины. Доказательства этих утверждений см. в [6]. Для краткости мы будем называть такие графы 3-графа- ми. То есть 3-графы — это несколько su-квадратов (столь- ко, сколько сёдел у поля), вершины которых произволь- ным образом соединены t-рёбрами. 3-графом с нумерацией будем называть 3-граф с занумерованными su-квадратами. Функции Морса будем рассматривать с точностью до послойной, а поля Морса — с точностью до траекторной эквивалентности. 220 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк 2. Построение функции Морса по потоку Морса с нумерацией седловых точек Теорема 1. Пусть M — гладкое замкнутое ориентируе- мое двумерное многообразие, Φ — поток Морса с зануме- рованными седловыми точками на M . Тогда существует функция Морса f : M → R такая, что ее градиентный поток grad f в некоторой римановой метрике траектор- но эквивалентный потоку Φ и значения функции f в сед- ловых точках упорядочены согласно нумерации седловых точек потока. Доказательство. Сначала подправим поток Φ в окрест- ностях особых точек. Возьмём окрестность N источника (для определённости), так чтобы ∂N была трансверсаль- на к траекториям потока. Существует диффеоморфизм h : N → D2. В круге возьмём стандартную функцию Морса f(x, y) = x2 + y2, стандартную метрику из R 2 и стандартный поток Морса (поток градиента функции в этой метрике). С помощью обратного диффеоморфизма h−1 мы получим функцию Морса, метрику и стандарт- ный поток Морса в окрестности особой точки. Заменим исходный поток в окрестности полученным стандартным потоком и сгладим его на границе N . Для стока всё про- исходит аналогично, а для седловой точки сглаживание потока производим так, чтобы на ∂N не было разрывов сепаратрис. Таким образом, мы получили немного изме- нённый, но траекторно эквивалентный исходному, поток. Далее мы будем работать с ним. Для построения функции используем метод разложения многообразия на ручки с воротниками (см., например, [8]). Возьмём окрестности источников и расположим их в R 4 Геометрия функций Морса ... 221 так, чтобы заданная в них функция была функцией вы- соты. Далее к границе каждой окрестности приклеим во- ротник (трубку). Потом приклеим в нужном месте окрест- ность устойчивого многообразия (s-сепаратрис) седла под номером 1 (то есть ручку) так, чтобы функция высоты на ней совпадала в окрестности седла с уже заданной. Снова подклеим воротники. И так далее. В конце мы под- клеим окрестности стоков. Если на границах приклеивае- мых воротников и ручек нарушается гладкость функции, то она сглаживается стандартными методами (см. заме- чание 3). Этот процесс можно представить себе как вы- чёрчивание на многообразии линий уровня функции. По построению, мы получили функцию Морса на многообра- зии гомеоморфном M . Также из построения следует, что вне окрестностей критических точек, линии уровня функ- ции трансверсальны траекториям потока. В окрестностях особых точек потока риманова метрика уже задана, вне этих окрестностей она задаётся так, чтобы скалярное про- изведение направляющих векторов траектории потока и линии уровня функции было всегда равно нулю. � Замечание 3. В доказательстве теоремы 1 могут воз- никнуть ситуации, когда нарушается гладкость много- образия, потока или функции при приклеиваниях и за- мене потока в окрестностях особых точек. Во всех этих случаях сглаживания производятся стандартными ме- тодами, описанными, например, в [9] (с. 21–23). В доказательстве теоремы, мы построили функцию. Те- перь выясним, однозначно ли такое построение. Лемма 1. Пусть на многообразии задана функция Мор- са. Две критические точки соединяются ребром на графе 222 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк Риба тогда и только тогда, когда существует монотон- ный гладкий путь на многообразии, который соединяет эти точки и не пересекает критических слоёв (кроме сво- их концов). Под монотонным путём мы понимаем путь, вдоль которого данная функция возрастает. Два седла со- единяются двумя рёбрами на графе Риба тогда и только тогда, когда существуют два монотонных гладких пути на многообразии, которые соединяют эти сёдла и не пере- секают критических слоёв (кроме своих концов), причём, эти пути невозможно соединить постоянным путём на многообразии (то есть внутренние точки путей принад- лежат разным слоям). Доказательство. Необходимость следует из определения графа Риба. Достаточность следует из определения гра- фа Риба и того факта, что все регулярные слои функции Морса являются окружностями. � Из определения потока градиента следует, что функция должна возрастать вдоль его траекторий. Поэтому, функ- ция Морса из теоремы 1 должна возрастать вдоль сепа- ратрис изначально заданного потока. Это свойство позво- ляет, зная поток и нумерацию его сёдел, найти пути из леммы 1, а значит однозначно (с точностью до послойной эквивалентности) найти функцию. Монотонными путями из леммы 1 для локальных экс- тремумов будут сепаратрисы. Следовательно, точка мини- мума соединяется на графе Риба с седлом, которое имеет наименьший номер среди тех сёдел, которые соединены се- паратрисами с источником, который соответствует точке минимума. Аналогично для максимумов. Возрастающий (для определённости) путь (или пути) из леммы 1 для седловых точек проходит по каноническим Геометрия функций Морса ... 223 четырёхугольникам, пересекая s- и u-сепаратрисы. Он бу- дет возрастающим тогда и только тогда, когда он возрас- тает на каждом пройденном четырёхугольнике. А этого можно достигнуть, если точка входа в четырёхугольник меньше точки выхода. Последнее определяется лишь но- мерами сёдел-вершин пройденных четырёхугольников, по- скольку вариантов входа и выхода — два (через s- или u- сепаратрису), а пройденных четырёхугольников — конеч- ное число. Чтобы проверить, пересекает ли путь критиче- ские слои, достаточно проверить существование постоян- ного пути от каждого из сёдел, с номером между номера- ми концов монотонного пути. Это проверяется аналогично проверке возрастания пути. Кратность рёбер на графе то- же сводится к поиску постоянного пути. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 2. Пусть M — гладкое замкнутое ориентируе- мое двумерное многообразие, Φ — поток Морса с зануме- рованными седловыми точками на M . Пусть f : M → R и g : M → R — такие функции Морса, что их градиент- ные потоки в некоторых римановых метриках траектор- но эквивалентны потоку Φ и значения функций в сед- ловых точках упорядочены согласно нумерации седловых точек потока. Тогда функции f и g послойно эквивалент- ные. Замечание 4. Хотя потоку с нумерацией соответству- ет ровно одна функция, но разным нумерациям седловых точек потока могут соответствовать послойно эквива- лентные функции Морса. Более того, разным потокам может соответствовать одна функция. 224 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк 3. Алгоритмы вычисления числа неэквивалентных полей Морса с нумерацией и функций Морса В этом разделе будем использовать 3-графы и графы Риба для построения функции по потоку с нумерацией. Опишем основные идеи следующих алгоритмов: перебора (нахождения всех неэквивалентных) 3-графов с нумераци- ей без циклов нечётной длины (а значит потоков Морса с нумерацией сёдел на ориентируемых поверхностях), срав- нения двух графов Риба, построения по 3-графу с нуме- рацией графа Риба функции Морса. 3-граф с нумерацией мы будем задавать обычным че- тырёхвалентным графом с нумерацией вершин, который получается стягиванием su-квадратов в точку, и метками (цифра от 1 до 6) в каждой вершине этого графа, кото- рые позволяют восстановить 3-граф. Эти метки задаются неоднозначно (из-за петель и кратных рёбер в четырёхва- лентном графе), но простым перебором всех возможных случаев неоднозначности можно произвести проверку на эквивалентность двух 3-графов с нумерацией. Четырёхва- лентный граф будем кодировать списком четырёхэлемент- ных списков, в которых записаны номера инцидентных вершин. Таким образом, нахождение всех потоков Мор- са с нумерацией сводится к нахождению всех неизоморф- ных четырёхвалентных графов с нумерацией вершин, при- писыванию вершинам каждого из них всевозможных ме- ток и проверкой (для каждого четырёхвалентного графа отдельно) какие наборы меток задают эквивалентные 3- графы с нумерацией. Потом нужно выбрать только графы без нечётных циклов. Геометрия функций Морса ... 225 Граф Риба будем задавать вспомогательным графом с нумерацией вершин, который получается из него отбра- сыванием всех одновалентных вершин (которые соответ- ствуют локальным экстремумам) и рёбер, инцидентных им, а также метками в каждой оставшейся вершине (числа −1, 1), которые определяют тип окрестности критическо- го слоя (штаны или перевёрнутые штаны). Неоднознач- ность тут может возникнуть только из-за нумерации вер- шин. Следовательно, сравнить два графа Риба можно, пе- ребрав все подстановки на n элементах (где n — количество сёдел), и проверив, не совпадают ли их вспомогательные графы с метками после перетасовки вершин одного из них посредством подстановки. Кодировать графы Риба будем n-элементным списком двухэлементных списков, которые содержат номера инцидентных сёдел с большим номером и тип окрестности критического слоя. Назовём путь из леммы 1 допустимым. Будем начинать с меньших по номеру сёдел и строить возрастающие пути. Таким образом, не пропустим ни одного пути. Алгоритм построения всех допустимых возрастающих путей из седла a такой. Мы имеем интервал (a, b), где вначале b = n + 1, а n — количество сёдел. Начинаем идти от седла a по од- ному из канонических четырёхугольников (всего их четы- ре, надо перебрать все). Проверяем противоположное сед- ло с номером i. Если i < a, то мы можем выйти через u-сепаратрису. Если i > b, то мы можем выйти через s- сепаратрису. Если i ∈ (a, b), то мы присваиваем b := i, отмечаем i как кандидата на конец пути (предыдущего кандидата отбрасываем), и проходим через s-сепаратрису. Эта процедура заканчивается когда мы встретим седло с номером a или b. Тогда, если мы так и не нашли кандидата 226 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк на конец пути, делаем вывод, что через этот четырёхуголь- ник невозможно провести возрастающий допустимый путь в седло. Если же кандидат i был найден, то найденный путь от a к i — подозрительный на то, чтобы быть допу- стимым. Остаётся разобраться какие из найденных путей (мы могли найти максимум 4 пути) действительно не пере- секают критических слоёв и соответствуют разным рёбрам на графе Риба. Поскольку для задания графа Риба нужно найти тип каждого седлового атома (то есть окрестности критиче- ского слоя седловой точки), то выясним, какие пути яв- ляются допустимыми с его помощью. Выпускаем из седла a по одному из канонических четырёхугольников постоян- ный путь. Проверяем противоположное седло с номером i. Если i < a, то можно выйти через u-сепаратрису. Если i > a, то можно выйти через s-сепаратрису. Процедура за- канчивается, когда мы снова вернёмся в седло a. Проверя- ем через какой четырёхугольник мы пришли. Если он име- ет с начальным четырёхугольником общую s-сепаратрису седла a, то тип атома — штаны (значение −1), если есть общая u-сепаратриса седла a, то тип атома — перевёрну- тые штаны (1). Это утверждение следует из леммы 1 и того, что возрастающие пути, которые вышли по четы- рёхугольникам, имеющим общую s-сепаратрису седла a, всегда можно соединить постоянным путём (он пересечёт эту сепаратрису) (см. рис. 19). Аналогично, пути, кото- рые вышли по четырёхугольникам, которые соединяются постоянным путём, можно соединить постоянным путём, немного приподняв первоначальный постоянный путь (тут рассматриваются только простые функции Морса, и ника- кое седло не сможет помешать). Геометрия функций Морса ... 227 Если не нашлось ни одного кандидата на возрастающий путь, то возрастающих рёбер из этого седла в другое сед- ло нет (а есть в максимум(ы)). Далее, если седло соеди- няется на графе Риба с максимумом, то мы не могли най- ти возрастающих путей по четырёхугольникам, инцидент- ным соответствующему стоку. Действительно, это означа- ло бы, что существует седло, соединённое сепаратрисой с этим стоком, и, которое имеет больший за a номер. А это противоречит правилу соединения стоков на графе. К тому же эти монотонные пути существуют парами. Следо- вательно, если тип атома равен 1 и мы нашли 4 пути, то проводим рёбра к минимальному и к максимальному из их концов. Иначе (при условии что пути есть) мы проводим одно ребро к минимальному концу. Все вышеназванные пути можно считать путями на 3- графе. Пересекая s-сепаратрису, мы проходим по s-ребру, проходя по каноническому четырёхугольнику от седла к седлу, мы проходим по t-ребру и тому подобное. Канониче- ские четырёхугольники инцидентные седлу соответствуют вершинам su-квадратика. Словом, 3-графы оказываются очень удобными для таких подсчётов. 4. Примеры Пример 1. Рассмотрим поток Морса на сфере S2 с дву- мя источниками, двумя сёдлами и двумя стоками. Источ- ники обозначены буквой A, сёдла — B, стоки — C. Один сток расположенный на тыльной стороне сферы. Сепа- ратрисы потока изображены на рисунке 20(a). Построим для этого потока трёхцветный граф. Сфера разбивается на восемь треугольников, следовательно, наш граф будет иметь восемь вершин. Соединяем эти вершины согласно правилу задания трёхцветного графа и получаем граф, 228 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк изображённый на рисунке 20(b). При этом s-рёбра изобра- жены сплошной линией, u-рёбра — зигзагом, а t-рёбра — пунктиром. 3-граф (когда сёдла B1 и B2 имеют номера b b b b b b A1 B1 A2 C1 C2 B2 (a) Поток Морса на сфере B1 B2 (b) Трёхцветный граф Рис. 20. Поток Морса и его трёхцветный граф 1 и 2, соответственно) кодируется двумя списками: g = [[1, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 2]]; u = [4, 1], или u = [4, 2], или u = [6, 1], или u = [6, 2] где g задаёт четырёхвалентный граф, а u (возможны четыре варианта)— метки в его вершинах. Найдём функции Морса на сфере (точнее их графы Ри- ба), поток градиента каждой из которых в некоторой мет- рике, будет эквивалентный данному потоку. Рассмотрим два случая: (1) B1 < B2, то есть B1 имеет номер 1, B2 — номер 2. То- гда, согласно правилу соединения точек экстремума на графе Риба (см. доказательство теоремы 2), оба источника соединяются рёбрами с B1, а оба стока — с B2. Остаётся соединить одним ребром B1 с B2. Геометрия функций Морса ... 229 (2) B1 > B2, то есть B1 имеет номер 2, B2 — номер 1. Тогда, согласно правилу соединения точек экстре- мума на графе Риба, A1 соединяется с B1, A2 — с B2, C1 — с B1, C2 — с B2. Остаётся соединить одним ребром B1 с B2. Графы Риба изображены на рисунке 21. A1 B1 C1 A2 B2 C2 (a) A1 B1 C1 A2 B2 C2 (b) Рис. 21. Графы Риба, соответствующие потоку В этом примере не было необходимости анализировать, как соединять между собой седловые точки, они соедини- лись из тех соображений, что граф Риба — связный (для функции на связной поверхности) и имеет вершины степе- ни не большей за три. В общем случае это нужно делать. Для графов Риба, которые приведены на рисунках 21(a) и 21(b), кодирующие списки имеют вид [[[2],−1], [[], 1]] и [[[2], 1], [[],−1]], соответственно. Тут коды задаются одно- значно, но вообще номера сёдел, которые не соединены ориентированным путём на графе Риба, можно упорядо- чить произвольным образом. Пример 2. Проиллюстрируем замечание 4 на примере. Рассмотрим поток Морса на сфере с двумя источника- ми, сёдлами и стоками, который траекторно неэквивалент- ный потоку из примера 1. Его траектории и трёхцветный 230 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк b b b b A1 B1 C1 B2 C2 A2 (a) Поток Морса на сфере (b) Трёхцветный граф Рис. 22. Симметричный поток Морса и его трёхцветный граф граф изображены на рис. 22. Поскольку поток симметри- чен, обе нумерации сёдел соответствуют одной функции Морса. Так как каждый источник и сток соединяется се- паратрисой с обеими сёдлами, то получается граф Риба изображённый на рис. 21(a). Функция Морса, которую он задаёт, соответствует сразу трём потокам Морса с нумера- цией сёдел. Одной нумерации потока из примера 1 и двум нумерациям из настоящего примера. Пример 3. Найдём вручную все 3-графы, соответству- ющие потокам Морса с одним седлом. Имеем один su- квадратик и три способа как провести t-рёбра. 3-графы изображены на рисунке 23. Поскольку тут только одно седло, то нумерации не нужны. Третий поток (рис. 23(c)) Геометрия функций Морса ... 231 (a) (b) (c) Рис. 23. 3-графы потоков Морса с одним седлом имеет цикл длины три, следовательно, задан на неориен- тированной поверхности (RP 2) и нас не интересует. Пер- вый и второй потоки заданы на сфере и имеют два источ- ника и один сток и один источник и два стока, соответ- ственно. Критические точки на графах Риба соединяются автоматически, поскольку тут только одно седло. Графы Риба изображены на рисунке 24. (a) (b) Рис. 24. Графы Риба функций Морса с одним седлом 5. Выводы В работе получены следующие результаты. 232 Д.П.Лычак, А.О.Пришляк Доказано, что потоку Морса на ориентированной по- верхности с нумерацией седловых точек соответствует ров- но одна функция Морса, поток градиента которой в неко- торой метрике траекторно эквивалентный начальному, а значения в седловых точках упорядочены согласно нуме- рации. Сформулированы алгоритмы построения такой функ- ции как с использованием разложения многообразия на ручки с воротниками, так и с использованием трёхцветных графов. В последнем случае также написана программа. Сформулирован алгоритм и написана программа пере- бора 3-графов с нумерацией. Сформулирован алгоритм и написана программа срав- нения двух графов Риба. Используя вышеперечисленные алгоритмы и програм- мы, были найдены (на ЭВМ) все неэквивалентные 3-графы с нумерацией без нечётных циклов (а значит потоки Мор- са с нумерацией на ориентируемых поверхностях) для не- большого количества седловых точек (от 1 до 5). По каж- дому из них был построен граф Риба (а значит функ- ция Морса). Из найденных графов Риба были выбраны неизоморфные (то есть послойно неэквивалентные функ- ции Морса) для каждого значения числа седловых точек. В таблицах 1 и 2 приведено количество потоков и функ- ций в зависимости от рода поверхности, на которой они заданы (сфера, тор и крендель) при фиксированном коли- честве седловых точек. Из таблиц видно, что количество потоков Морса с ну- мерацией, вообще говоря, больше за количество функций Морса. То есть, некоторым потокам Морса с нумерацией соответствуют эквивалентные функции Морса. Геометрия функций Морса ... 233 g n 1 2 3 4 5 0 2 5 40 976 36256 1 0 1 14 781 47108 2 0 0 0 41 8692 Всего 2 6 54 1798 92056 Таблица 1. Количество потоков Морса с n за- нумерованными сёдлами на поверхностях рода g g n 1 2 3 4 5 0 2 4 14 69 415 1 0 1 7 49 420 2 0 0 0 4 75 Всего 2 5 21 122 910 Таблица 2. Количество функций Морса с n сёдлами на поверхностях рода g Результаты подсчётов согласуются с известным количе- ством неэквивалентных потоков и функций Морса с одним и двумя сёдлами. Список литературы [1] Sharko V. V. On topological equivalence Morse functions on surfaces. // International Conference at Chelyabinsk State Univ. 1996. P .19–23. [2] Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях. // Український математичний журнал. 2003. Т. 55. № 5. С. 687–700. [3] Kulinich E. V. On topologically equivalent Morse functions on surfaces. // Methods of Functional Analysis and Topology. 1998. V. 4. № 1. P. 59–64. [4] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновые систе- мы. Геометрия, топология, классификация. Том 1, 2. Ижевск, Изда- тельский дом ” Удмуртский университет“, 1999. 234 [5] Peixoto M. M. On the classification of flows on 2-manifolds. // Dynamical systems. New York, Academic Press. 1973. P. 389–419. [6] Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса- Смейла на двумерных многообразиях. // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 8. С. 93–140. [7] Smale S. On gradient dynamical systems. // Annals of Mathematics. 1961. V. 74. P. 199–206. [8] Пришляк О. О. Теорiя Морса. Київ, 2002. [9] Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. Москва, Мир, 1969.

Геометрия функций Морса на ориентируемых поверхностях

Репозитарії

Схожі ресурси