Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць
У цiй роботi ми розглядаємо задачу про односторонню еквiвалентнiсть матриць над скiнченновимiрними алгебрами, i описуємо всi ручнi випадки.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6285 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М. Дяченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 115-131. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6285 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62852010-02-23T12:00:45Z Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць Дяченко, С.М. Геометрія, топологія та їх застосування У цiй роботi ми розглядаємо задачу про односторонню еквiвалентнiсть матриць над скiнченновимiрними алгебрами, i описуємо всi ручнi випадки. В этой работе мы рассматриваем задачу про одностороннюю эквивалентность матриц над конечномерными алгебрами и описываем все ручные случаи. In this paper we consider the problem of one-sided equivalence of matrices over a finite dimensional algebra, and describe all tame cases. 2006 Article Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М. Дяченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 115-131. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6285 512.64 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Дяченко, С.М. Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| description |
У цiй роботi ми розглядаємо задачу про односторонню еквiвалентнiсть матриць над скiнченновимiрними алгебрами, i описуємо всi ручнi випадки. |
| format |
Article |
| author |
Дяченко, С.М. |
| author_facet |
Дяченко, С.М. |
| author_sort |
Дяченко, С.М. |
| title |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| title_short |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| title_full |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| title_fullStr |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| title_full_unstemmed |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| title_sort |
ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6285 |
| citation_txt |
Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М. Дяченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 115-131. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT dâčenkosm ručníalgebrivídnosnoodnostoronnʹoíekvívalentnostímatricʹ |
| first_indexed |
2025-07-02T09:13:30Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:13:30Z |
| _version_ |
1836525929603530752 |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2006, т.3, №3, 115-131
УДК 512.64
С.М.Дяченко
Київський нац. ун-т iм Тараса Шевченка
Ручнi алгебри вiдносно
односторонньої еквiвалентностi
матриць
У цiй роботi ми розглядаємо задачу про односторонню еквiвалентнiсть
матриць над скiнченновимiрними алгебрами, i описуємо всi ручнi ви-
падки.
В этой работе мы рассматриваем задачу про одностороннюю эквива-
лентность матриц над конечномерными алгебрами и описываем все
ручные случаи.
In this paper we consider the problem of one-sided equivalence of matrices
over a finite dimensional algebra, and describe all tame cases.
1. Вступ. Нехай k — поле i Λ — скiнченновимiрна алгебра
над k. Розглянемо наступну матричну задачу. На множинi
всiх (прямокутних) матриць з елементами iз Λ введемо та-
ке вiдношення еквiвалентностi: A ∼ A′ тодi i лише тодi,
коли iснують оборотна матриця S над k та оборотна мат-
риця T над Λ, такi що
(101) A′ = SAT
Потрiбно описати такi матрицi A з точнiстю до вказаної
еквiвалентностi.
Цю задачу можна сформулювати як задачу про опис
класiв iзоморфних об’єктiв наступної категорiї C. ObC =
{f : km → Λn}, морфiзмом мiж двома об’єктами (f :
km → Λn) i (f ′ : km′
→ Λn′
) є пара вiдображень (φ, Φ), що
c© С. М.Дяченко, 2006
116 С.М.Дяченко
складається з k-лiнiйного вiдображення φ : km → km′
i Λ-
лiнiйного вiдображення Φ : Λn → Λn′
, таких що φf ′ = fΦ.
Оскiльки ця категорiя не є категорiєю Крулля-Шмiдта,
ми замiсть неї будемо розглядати її "замикання Крулля-
Шмiдта". А саме ми розглянемо задачу про опис класiв
iзоморфних об’єктiв категорiї B, такої що ObB = {f :
km → P}, де P — проективний модуль над алгеброю Λ
(морфiзмом мiж двома об’єктами (f : km → P ) i (f ′ :
km′
→ P ′) є пара вiдображень(φ, Φ), що складається з k-
лiнiйного вiдображення φ : km → km′
i Λ-лiнiйного вiдобра-
ження Φ : Λn → Λn′
, таких що φf ′ = fΦ). У цiй статтi опи-
санi скiнченновимiрнi алгебри для яких вказана задача є
ручною. Такi алгебри ми називаємо OSE-ручними або ал-
гебрами OSE-ручного типу; якщо задача має скiнченний
(вiдповiдно нескiнченний) тип, алгебру називатимемо ал-
геброю OSE-скiнченного (вiдповiдно OSE-нескiнченного)
типу. Очевидно, що алгебра OSE-скiнченного типу є OSE-
ручною.
Автор висловлює подяку своєму науковому керiвнику
доктору фiзико-математичних наук Бондаренку Вiталiю
Михайловичу за постановку задачi i кориснi поради.
2. Попереднi пояснення та приклади. Ми розгля-
даємо лише базиснi алгебри, тобто алгебри Λ, для яких
Λ/RadΛ ∼= k ⊕ k ⊕ . . .⊕ k; такi алгебри можна задати гра-
фом зi спiввiдношеннями наступним чином ( [1]).
Нехай Γ = (Γ0, Γ1) — орiєнтований граф. Γ0 — множи-
на його вершин, Γ1 — множина його стрiлок. Для кожної
стрiлки e ∈ Γ1 позначимо через α(e) ∈ Γ0 її початок, i
через β(e) ∈ Γ0 її кiнець.
Шляхом в орiєнтованому графi будемо називати послi-
довнiсть стрiлок w = e1e2 . . . en, таку, що
β(ei) = α(ei+1), i = 1, . . . , n − 1 .
Ручнi алгебри ... 117
Початок та кiнець шляху визначаються так: α(w) = α(e1),
β(w) = β(en).
У подальшому граф Γ вважаємо скiнченним, тобто
|Γ0| = s < ∞, |Γ1| < ∞. Iз таким графом асоцiюється
k-алгебра шляхiв (яка може бути нескiнченновимiрною).
Її базисом є множина шляхiв графа скiнченної довжини
(включаючи вершини як шляхи довжини нуль: {εj | j ∈
Γ0}) B = {w | w = e1e2 . . . en, n ≥ 0}. Множення в алгебрi
задається на елементах базису як приписування шляхiв,
якщо це можливо i нульовим чином в iншому разi, тобто,
якщо w1 = e1e2 . . . en i w2 = en+1en+2 . . . en+m, то
w1w2 =
{
e1e2 . . . enen+1en+2 . . . en+m, при β(w1) = α(w2);
0, в iншому разi.
При цьому
εjw =
{
w, якщо α(w) = j;
0, в iншому разi;
wεj =
{
w, якщо β(w) = j;
0, в iншому разi.
Позначимо так означену алгебру Λ(Γ).
Алгебра, задана графом зi спiввiдношеннями, — це фак-
торалгебра алгебри Λ(Γ) за iдеалом I таким, що I ⊂ J2,
де J — iдеал, породжений всiма стрiлками графа.
Переходимо до розгляду нашої задачi.
Нехай A ∈ Mm×n(Λ). Розпишемо її за базисом у наступ-
ному виглядi:
(102) A =
s
∑
j=1
Ajεj +
∑
w
Aww
118 С.М.Дяченко
Лема 1. Квадратна матриця A, що записана у виглядi
(102), є оборотною тодi i лише тодi, коли оборотними є
всi матрицi Aj.
Доведення випливає з рiвностi AX = E, де X також
записана у виглядi (102) (E — одинична матриця).
Наш перший крок до розв’язання сформульованої мат-
ричної задачi полягає в зведеннi її (за допомогою розкладу
матриць за базисом алгебри) до матричної задачi над по-
лем.
Розглянемо наступнi приклади.
Приклад 1. Нехай Λ = Λ(Γ), де граф Γ має такий вигляд:c c-a
ε1 ε2
Розглянемо рiвнiсть (101): A′ = SAT . Нехай
A = A1ε1 + A2ε2 + Ba;
A′ = A′
1ε1 + A′
2ε2 + B′a;
T = T1ε1 + T2ε2 + V a;
A1, A2, B, A′
1, A
′
2, B
′ ∈ Mm×n(k),
S ∈ GLm(k), T1, T2 ∈ GLn(k), V ∈ Mn(k).
Тодi
A′
1ε1 +A′
2ε2 +B′a = S(A1ε1 + A2ε2 +Ba)(T1ε1 +T2ε2 +V a).
Перемноживши елементи базису за правилами множення в
алгебрi та прирiвнявши коефiцiєнти при елементах базису,
отримаємо наступнi рiвностi:
A′
1 = SA1T1, A′
2 = SA2T2, B′ = SBT2 + SA1V.
Ручнi алгебри ... 119
Отже, ми отримали наступну матричну задачу: є три
матрицi A1, A2, B. Дозволено робити елементарнi перетво-
рення рядкiв одночасно в усiх матрицях (задаються мно-
женням на матрицю S), одночаснi елементарнi перетво-
рення стовпцiв матриць A2 та B (задаються множенням
на матрицю T2), елементарнi перетворення стовпцiв мат-
рицi A1 (задаються множенням на матрицю T1) i стовпцi
матрицi A1 можна додавати до стовпцiв матрицi B (мат-
риця V ). Схематично можна наступним чином зобразити
отриману задачу:
j
A1 B A2
.
Приклад 2. ��
��c? c-
a
b
ε1 ε2
,
I = {a2, ab}. Матрична задача має наступний вигляд:
j
ε1 a b ε2
j
.
У загальному випадку маємо наступну матричну задачу,
яку будемо позначати M(Λ). Нехай базис алгебри Λ скла-
дається iз шляхiв {wi | i = 1 . . . l}, тодi ми маємо набiр
матриць {Ai, i = 1 . . . l}. Допустимими перетвореннями є
наступнi перетворення:
1) можна робити будь-яке елементарне перетворення
рядкiв одночасно у всiх матрицях;
2) можна робити будь-яке елементарне перетворення iз
стовпцями матрицi Ai, причому, якщо β(wj) = β(wi) то
120 С.М.Дяченко
таке ж саме елементарне перетворення треба зробити iз
стовпцями матрицi Aj;
3) можна додавати стовпець матрицi Ai, помножений
на елемент поля, до стовпця матрицi Aj, якщо wiwm = wj
— добуток елементiв базису, причому у випадку wi′wm =
wj′ таке ж саме додавання треба зробити для вiдповiдних
стовпцiв матриць Ai′ та Aj′.
3. Формулювання основного результату. В подаль-
шому Γ = (Γ0, Γ1) позначає орiєнтований граф, Λ = Λ(Γ)/I
— алгебра побудована за графом зi спiввiдношеннями I.
Основним результатом цiєї статтi є наступна теорема.
Теорема 1. OSE-ручними алгебрами є (з точнiстю до
iзоморфiзму) такi i лише такi алгебри Λ = Λ(Γ)/I .
1. aε , I = {0}.
2. a aε1 ε2 , I = {0}.
3. a a aε1 ε2 ε3 , I = {0}.
4. a a a aε1 ε2 ε3 ε4 , I = {0}.
5. a
&%
'$
a
?ε , I =< a2 >.
6. a
&%
'$
a
?ε , I =< a3 >.
7. a a
&%
'$
a
?ε1 ε2 , I =< a2 >.
Ручнi алгебри ... 121
8. a a
&%
'$
&%
'$
a b
? ?ε1 ε2 , I =< a2, b2 >.
9. c c-a
ε1 ε2
, I = {0}.
10. c c�
a
*
b
ε2 ε1
, I =< ab, ba >.
11. a a a
&%
'$
a
?ε1 ε2 ε3 , I =< a2 >.
12. a a a
&%
'$
a
?
&%
'$
b
?ε1 ε2 ε3 , I =< a2, b2 >.
Серед них алгебрами OSE-скiнченного типу є алгебри
1), 2), 3), 5),6), 7).
4. Допомiжнi леми. Розглянемо двi леми, якi ми бу-
демо використовувати нижче.
Лема 2. Якщо Λ — алгебра OSE-ручного типу, то |Γ0| <
5.
Доведення. Якщо граф Γ має принаймнi 5 вершини, то
матрицi, якi вiдповiдають вершинам графа, утворюють
122 С.М.Дяченко
зображення частково впорядкованої множини, яка скла-
дається з п’яти непорiвняльних точок. Добре вiдомо, що
така задача є дикою (див [3]). �
Лема 3. Якщо Λ — алгебра OSE-ручного типу, то Γ не
мiстить пiдграф вигляду c- �a b
ε
Доведення. Можливi такi випадки:
a) a a a- �a b
ε1 ε ε2
;
b) a a-a
b
ε1 ��
��
?
ε
;
c) a��
��
��
��
�
a b
ε .
Якщо ми розглянемо пiдзадачi, що вiдповiдає матрицям
a, ε, b, то ми отримаємо вiдповiдно наступнi матричнi за-
дачi :
a) A1 A2 A3 ,
b)
j
A1 A2 A3 ,
Ручнi алгебри ... 123
c)
j�
A1 A2 A3 .
Всi цi задачi є дикими згiдно [4, 5].
�
5. Доведення теореми 1. Нагадаємо, що петлею на-
зивається стрiлка початкова i кiнцева вершини якої збi-
гаються. З формальних причин надалi пiд стрiлкою ми
розумiємо будь яку стрiлку, що не є петлею.
Розглянемо спочатку графи, якi складаються лише з то-
чок i не мають петель або стрiлок. Згiдно леми 2 кiль-
кiсть точок менша, або рiвна чотирьом. Це вiдповiдає пер-
шим чотирьом пунктам в теоремi. Першi три задачi будуть
скiнченного типу [2], а остання ручного [3] (вони спiвпада-
ють з матричними задачами, якi пов’язанi з зображенням
частково-впорядкованих множин, якi складаються вiдпо-
вiдно з однiєї, двох, трьох та чотирьох непорiвняльних то-
чок).
Розглянемо графи, якi мають хоча б одну петлю або
стрiлку.
1) Випадок однiєї вершини.
В силу леми 3 нам потрiбно розглядати лише графи з
однiєю петлею (граф пункту 5 з умови теореми). Доведемо,
що задача буде дикою, якщо I =< a4 >. Дiйсно, в цьому
випадку задача отримає наступний вигляд:
R R Rj
* *
ε a a2 a3 .
124 С.М.Дяченко
Розглянемо четвiрки матриць такого вигляду:
E
E
E
E
E
E E
0 B C D
T (B, C, D) =
,
в матрицях на порожнiх мiсцях стоять нульовi матрицi.
Легко бачити, що T (B, C, D) i T (B′, C ′, D′) переводяться
одне в одне за допомогою допустимих перетворень тодi i
лише тодi, коли трiйки матриць B, C, D i B′, C ′, D′ є подiб-
ними в наступнiй матричнiй задачi:
B C D ,
а це дика задача (див. [4, 5]).
Задача буде дикою i у випадку I =< al >, l > 4.
Якщо граф має одну вершину, нам залишилося розгля-
нути випадки, коли l = 2 i l = 3.
У першому випадку маємо задачу про зображення лiнiй-
но впорядкованої множини з двох елементiв, яка має скiн-
ченний тип [2]. У другому випадку маємо три матрицi
A1, A2, A3, для яких одночасними є елементарнi перетво-
рення як рядкiв так i стовпчикiв та одночаснi зовнiшнi
додавання стовпчикiв A1 → A2, A2 → A3, а також допу-
стимi додавання стовпчикiв A1 → A3. Вiдомо, що це за-
дача скiнченного типу [3] (у цьому легко переконатися за
допомогою методу послiдовного зведення матриць).
2) Випадок двох вершин.
Ручнi алгебри ... 125
2.1) Граф має одну петлю (пункт 7 з формулювання тео-
реми).
Якщо I =< a3 >, ми отримаємо задачу M(Λ) з чотирма
матрицями:
R Rj
ε1 a a2 ε2 .
Приведемо спочатку матрицю ε2:
R Rj
0 E
0 0
.
Тодi для перших трьох матриць отримаємо задачу:
R Rj
IA′ B′ C ′
A B C
.
Розглянемо наступне часткове зображення:
E
E
E
EE
0 A 0 P 0 B Q C 0
T (A, B, C, P, Q) =
.
126 С.М.Дяченко
в матрицях на порожнiх мiсцях стоять нульовi матрицi.
Тодi для матриць (A, B, C, P, Q) буде задача про зобра-
ження наступної частково впорядкованої множини з вiд-
ношенням еквiвалентностi:
cc
c
s s
�
�
�
�
a
b
c
p
q
a ∼ b ∼ c, p ∼ q вiдомо, що це дика задача [4,5]. Отже, для
графа вигляду 7 єдиним можливим варiантом залишаєть-
ся I =< a2 >= J2. У цьому випадку отримаємо наступну
задачу:
j
A1 A2 A3 .
Вiдомо, що це задача скiнченного типу [3].
2.2) Граф має двi петлi (пункт 8 з формулювання тео-
реми).
Враховуючи розглянуте вище для того, щоб задача мала
ручний тип необхiдно, щоб a2 ∈ I, b2 ∈ I. Розглянемо
випадок I =< a2, b2 >, помiтимо, що при цьому I = J2.
Отримуємо наступну задачу:
j j
A1 A2 A3 A4 .
Ця задача iз класу задач про зображення в’язки напiвлан-
цюгiв i тому вона є ручною [6].
За лемою 3 у випадку трьох петель задача буде дикою,
бо двi з них мають спiльну вершину.
Ручнi алгебри ... 127
2.3) Граф має одну стрiлку (пункт 9 з формулювання
теореми). У цьому випадку отримаємо наступну задачу:
j
ε1 a ε2 .
Ця задача iз класу задач про зображення в’язки напiвлан-
цюгiв i тому вона є ручною [6].
2.4) Граф має двi стрiлки. За лемою 3 граф з пункту 9
— єдиний можливий.
Припустимо, що ab 6∈ I, тодi ми отримаємо наступну
задачу:
ab a bε1 ε2 .
Матрицi ab, b, ε1 утворюють дику пiдзадачу (лема 3а).
Тому необхiдно, щоб ab ∈ I. Аналогiчно ba ∈ I. Отже,
I ⊃< ab, ba >= J2, тому I =< ab, ba >= J2
a bε1 ε2 .
Ця задача iз класу задач про зображення в’язки напiвлан-
цюгiв i тому вона є ручною [6].
2.5) Граф має одну стрiлку i одну петлю. В силу леми 3
граф може мати лише наступний вигляд
&%
'$c? c-
a
b
ε1 ε2
128 С.М.Дяченко
розглянемо випадок I =< a2, ab >= J2:
R
a bε1 ε2 .
Ця задача iз класу мiстить пiдзадачу
a b ε2 ,
а це дика задача (див. [4, 5]).
Згiдно з лемою 3 випадок, коли сума стрiлок i петель
бiльша двох розглядати не потрiбно, отже випадок графа
з двома вершинами повнiстю розглянуто.
3) Випадок трьох вершин.
3.1) Граф має одну петлю (пункт 11 з формулювання
теореми). За доведеним для графа вигляду 7 випливає,
що a2 ∈ I, тому I ⊃< a2 > = J2 тому I = < a2 > = J2.
Ось матрична задача, пов’язана з такою алгеброю:
ε1 a ε2 ε3
j
.
Ця задача iз класу задач про зображення в’язки напiвлан-
цюгiв i тому вона є ручною [6].
3.2) Граф має двi петлi (пункт 12 з формулювання теоре-
ми). За розглянутим для випадку 7, необхiдно, щоб
{a2, b2} ⊂ I, тому J2 ⊂ I тому J2 = < a2, b2 > = I:
R R
ε1 a ε2 b ε3 .
Ручнi алгебри ... 129
Приведемо матрицю ε3 i отримаємо наступну матричну
задачу: R R
K
.
Ця задача iз класу задач про зображення в’язки напiвлан-
цюгiв i тому вона є ручною [6].
3.3) Граф має три петлi , тому (за лемою 3) має вигляд:
a a a
&%
'$
a
?
&%
'$
b
?
&%
'$
c
?ε1 ε2 ε3
За розглянутим для випадку 7: I =< a2, b2, c2 >:
R R R
ε1 a ε2 b ε3 c .
Якщо розглянути частинний випадок, коли матрицi ε1
та a мають наступний вигляд:
ε1 =
(
E
0
)
, a =
(
0
E
)
, то для матриць ε2, b, ε3, c
отримаємо наступну задачу:
R R
K
.
Розглянемо часткове зображення:
.
0 A B C
E 0 E 0
H(A, B, C) =
130 С.М.Дяченко
Для матриць (A, B, C) буде задача з леми 3 пункт а),
яка є дикою.
3.4) Випадок однiєї стрiлки. Граф має виглядc c c-a
ε1 ε2 ε3
Задача має наступний вигляд:
ε1 a ε2 ε3
j
.
Матрицi a, ε2, ε3 утворюють дику задачу (див. [4, 5]).
Отже, у випадку трьох точок граф не може мати стрi-
лок, а петель може бути не бiльше двох.
4) Випадок чотирьох точок. Граф не може мати стрi-
лок, а петель може бути не бiльше двох, згiдно з розгля-
нутим вище.
У випадку, коли немає петель, задача буде ручною (це
вже розглядалося). Розглянемо випадок однiєї петлi. Граф
має вигляд:
a a a a
&%
'$
a
?ε1 ε2 ε3 ε3
Задача буде задачею про зображення частково-впоряд-
кованої множини з iнволюцiєю:
ss ` ` `
Це дика задача (див. [4, 5]).
Отже, у випадку чотирьох точок єдиним можливим гра-
фом є граф, у якого немає нi петель нi стрiлок.
131
Твердження стосовно ручних випадкiв доведено в [7]
Теорема 1 доведена.
Лiтература
[1] Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры // "Вища
школа".- 1980, 200 с.
[2] Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа
// Записи научных семинаров ЛОМИ. т. 28. - C. 32-41.
[3] Назарова Л. А., Ройтер А. В. Категорные матричные задачи и про-
блема Брауэра-Трелла // препринт 73.9. Киев: Наукова думка -
1973. 100 с.
[4] Bondarenko V. M., Zavadskij A. G. Posets with an equivalence relation
of tame type and of finite growth// Canad. Math. Soc. Conf. Proc. —
1991. — 11. — P. 67 – 88.
[5] Bondarenko V. M., Zavadskij A. G. Tame posets with equivalence
relation// Contem. Math. — 1992. — 131 (part 2). — P. 237 – 251.
[6] Бондаренко В. М. Представления связок полуцепных множеств и их
приложения// Алгебра и анализ — 1991. — Том3 (вып. 5). — С. 38 – 67.
[7] Дяченко С. М. Алгебри скiнченного типу вiдносно односторонньої
еквiвалентностi матриць // Науковий вiсник Ужгородського ун-ту.
– 2006. – вип. 12-13. – С. 65–70.
|