О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Полулях, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schlagworte:	Геометрія, топологія та їх застосування
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6289
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством / Е.А. Полулях// Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 309-422. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6289
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62892010-02-23T12:00:55Z О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством Полулях, Е.А. Геометрія, топологія та їх застосування 2006 Article О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством / Е.А. Полулях// Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 309-422. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6289 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Полулях, Е.А. О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
format	Article
author	Полулях, Е.А.
author_facet	Полулях, Е.А.
author_sort	Полулях, Е.А.
title	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
title_short	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
title_full	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
title_fullStr	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
title_full_unstemmed	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
title_sort	о проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6289
citation_txt	О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством / Е.А. Полулях// Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 309-422. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT polulâhea oproekciâhnaodometrydinamičeskihsistemskompaktnymfazovymprostranstvom
first_indexed	2025-07-02T09:13:41Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:41Z
_version_	1836525941129478144
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 309-422 Е.А.Полулях Институт математики НАН Украины, Киев, Терещенковская, 3 E-mail: polulyah@imath.kiev.ua О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством Введение Важную роль в исследовании обратимых динамических систем (д. с.) с дискретным временем (каскадов) играет информация о том — на какие минимальные динамические системы су- ществует проекция данной динамической системы (X, f); — как устроены эти проекции; — как взаимосвязаны различные проекции д. с. (X, f) на минимальные д. с.; в частности, существует ли для двух проекций h1 : (X, f) → (Y1, g1) и h2 : (X, f) → (Y2, g2) морфизм ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2) ди- намических систем, такой что h2 = ψ ◦ h1. Получить ответы на такие вопросы в общем случае — весьма нетривиальная задача. Чтобы приблизиться к ее решению, современные исследователи рассматривают про- екции данной д. с. не на все минимальные д. с., а на неко- торые “простые” классы таких д. с. (дистальные и равно- степенно-непрерывные минимальные д. с., минимальные c© Е.А. Полулях, 2006 310 Е.А.Полулях д. с., допускающие единственную инвариантную эргоди- ческую меру, и т. д.). Пусть рассматривается семейство A минимальных ди- намических систем и исследуются свойства проекций д. с. (X, f) на элементы этого семейства. В некоторых случаях элементы класса всех проекций д. с. (X, f) на д. с. из A удается упорядочить в следующем смысле. Пусть h1 : (X, f) → (Y1, g1) и h2 : (X, f) → (Y2, g2) — проекции. Скажем, что h1 ∼ h2, если существует изомор- физм динамических систем ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такой что h2 = ψ ◦ h1. Обозначим через B фактор-семейство всех проекций из (X, f) на элементы класса A по этому отношению эквивалентности. Введем на B бинарное от- ношение �. Пусть B1, B2 ∈ B. Скажем, что B1 � B2, если найдутся представители h1 : (X, f) → (Y1, g1) класса B1 и h2 : (X, f) → (Y2, g2) класса B2, а также морфизм ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такие что h2 = ψ ◦ h1. Без труда проверяется, что отношение � определено корректно (т. е. не зависит от выбора представителей из B1 и B2). Важно знать, является ли отношение � на классе B от- ношением частичного порядка.1 В случае положительного ответа на этот вопрос возникает задача описать свойства класса B с частичным порядком �, в частности указать классы всех его максимальных и минимальных элементов и найти наибольший и наименьший элементы (если они существуют). 1Несложно проверить, что если отношение � не является отношени- ем порядка на B, то для некоторой д. с. (Y, g) из A существует морфизм α : (Y, g) → (Y, g) такой, что отображение α : Y → Y не является инъек- тивным. Вопрос о существовании таких минимальных динамических си- стем интересен сам по себе. О проекциях на одометры ... 311 В предлагаемой работе рассматривается класс A всех одометров (групповых вращений над адическими группа- ми). Известно, что этот класс совпадает с классом всех минимальных дистальных динамических систем, фазовое пространство которых гомеоморфно множеству Кантора или конечно. Известно также, что элементы класса A клас- сифицируются (с точностью до топологической сопряжен- ности) при помощи решетки так называемых супернату- ральных чисел (Σ,≤). Мы рассматриваем динамические системы (X, f) с Ха- усдорфовым компактным фазовым пространством и их проекции на элементы класса A (отметим, что всегда су- ществует тривиальная проекция (X, f)→ ({pt}, Id) на ди- намическую систему, фазовое пространство которой состо- ит из одной точки). Оказывается, существование нетривиальных проекций д. с. (X, f) на элементы семейства A связано с существова- нием так называемых периодических разбиений д. с. (X, f) (конечных замкнутых разбиений пространства X, элемен- ты которых циклически переставляются под действием отображения f : X → X). Пусть P(X, f) ⊆ N — множество мощностей всех пери- одических разбиений д. с. (X, f). Тогда P(X, f) — топо- логический инвариант д. с. (X, f) и существование нетри- виальных проекций д. с. (X, f) на элементы семейства A эквивалентно неравенству P(X, f) 6= {1}. Обозначим через A(X, f) класс всех элементов A, на ко- торые существуют проекции динамической системы (X, f). Пусть Σ(X, f) — подмножество множества супернатураль- ных чисел, соответствующее классу A(X, f). Пусть еще 312 Е.А.Полулях B(X, f) — семейство всех проекций д. с. (X, f) на элемен- ты класса A, B′(X, f) — фактор-класс класса B(X, f) по отношению ∼ (см. выше). К основным результатам, полученным в данной работе, можно отнести следующие утверждения. Пусть (X, f) — динамическая система с компактным Ха- усдорфовым фазовым пространством и P(X, f) 6= {1}. То- гда — бинарное отношение � на классе B′(X, f) является отношением частичного порядка; — существует сюрьективное отображение Λ0 : (B′(X, f),�) → (Σ(X, f),≤), сохраняющее от- ношение порядка и такое, что класс всех макси- мальных элементов из (B′(X, f),�) совпадает с полным прообразом наибольшего элемента множе- ства (Σ(X, f),≤); — упорядоченный класс (B′(X, f),�) изоморфен упо- рядоченному множеству (Σ(X, f),≤) тогда и только тогда, когда д. с. (X, f) неразложима (то есть про- странство X нельзя представить в виде несвязной суммы двух собственных замкнутых инвариантных подмножеств). Для того, чтобы получить эти результаты, автор по- дробно исследует свойства периодических разбиений, одо- метров и супернатуральных чисел. В последнем разделе из основных результатов извле- каются следствия, относящиеся к так называемым почти взаимно-однозначным расширениям одометров, классу ди- намических систем, который интенсивно исследуется в по- следнее время. В заключение автор хотел бы поблагодарить А. М. Шар- ковского за обсуждение результатов на семинаре отдела О проекциях на одометры ... 313 динамических систем Института математики НАН Укра- ины, а также И. Ю. Власенко, С. Ф. Коляду, В. В. Люба- шенко, С. И. Максименко, М. А. Панкова, А. А. Пришляка, В. В. Сергейчука и В. В. Шарко за обсуждение резуль- татов на семинарах и ряд ценных замечаний. Отдельную благодарность хотелось бы выразить С. Ф. Коляде за то, что он ознакомил автора с современными работами, в ко- торых исследуются расширения одометров. Предварительные сведения Фактор-пространства и фактор-отображения. Фик- сируем некоторое множество A. Определение 0.1. Разбиением множества A называет- ся семейство {Aα}α∈Λ непустых подмножеств множе- ства A, удовлетворяющее следующим условиям: 1) A = ⋃ α∈ΛAα; 2) Aα ∩ Aβ = ∅ при α, β ∈ Λ, α 6= β. Определение 0.2. Разбиение {Ãγ}γ∈Σ множества A на- зывается измельчением разбиения {Aα}α∈Λ, если для каж- дого γ ∈ Σ найдется такое α ∈ Λ, что Ãγ ⊆ Aα. Замечание 0.1. Пусть разбиение {Ãγ}γ∈Σ является из- мельчением разбиения {Aα}α∈Λ множества A. Из свой- ства 2) определения 0.1 легко следует, что для любых α ∈ Λ и γ ∈ Σ либо Ãγ ⊆ Aα, либо Ãγ ∩ Aα = ∅. Замечание 0.2. Существует биективное соответствие между разбиениями множества A и отношениями экви- валентности на A: 1) любому разбиению {Aα}α∈Λ можно поставить в соответствие отношение эквивалентности ρ при 314 Е.А.Полулях помощи соотношения (a1 ρ a2)⇐⇒ (∃α ∈ Λ : a1, a2 ∈ Aα) ; 2) обратно, каждому отношению эквивалентности σ на множестве A соответствует разбиение на классы эквивалентности. Пусть A — множество, A = {Aα}α∈Λ — его разбиение. Определение 0.3. Множество A/A, элементами кото- рого являются элементы разбиения A, называется фак- тор-множеством множества A по разбиению A. Отображение pr : A → A, сопоставляющее каждому элементу a ∈ A элемент Aα ∈ A/A, такой что a ∈ Aα, называется отображением проекции. Эквивалентно, можно определить фактор-множество A/ρ по отношению эквивалентности ρ (см. замечание 0.2). Пусть X — топологическое пространство, H = {Hα}α∈Λ — его разбиение. Зададим на множестве X/H топологию по следующему правилу: скажем, что подмножество B ⊆ X/H открыто то- гда и только тогда, когда его полный прообраз pr−1(B) от- крыт в X. Эта топология называется фактор-топологией и является самой слабой топологией на пространстве X, в которой отображение pr : X → X/H непрерывно. Пусть X и Y — топологические пространства, H — раз- биение пространства X, T — разбиение пространства Y . Пусть f : X → Y — непрерывное отображение, которое переводит элементы разбиения H в элементы разбиения T. Тогда определено непрерывное фактор-отображение О проекциях на одометры ... 315 fact f : X/H→ Y/T, такое что коммутативна диаграмма X f −−−→ Y prX y yprY X/H −−−→ fact f Y/T Пусть снова f : X → Y — непрерывное отображение топологического пространства X в пространство Y . Обо- значим через zer f разбиение пространства X, элементами которого являются полные прообразы точек пространства Y под действием отображения f . Пусть еще T — разбиение пространства Y , каждый элемент которого состоит ровно из одной точки. Ясно, что prY = Id : Y → Y/T — суть тождественное отображение. Определение 0.4. Отображение fact f : X/ zer f → Y , для которого коммутативна диаграмма X f −−−→ Y prX y ∥∥∥ X/ zer f −−−→ fact f Y называется взаимно-однозначным фактором отображе- ния f . Инъективность взаимно-однозначного фактора проверя- ется непосредственно. Определение 0.5. Непрерывное отображение f : X → Y называется факторным, если f(X) = Y и взаимно- однозначный фактор fact f : X/ zer f → Y является го- меоморфизмом. 316 Е.А.Полулях Предложение 0.1 (см. [1]). Пусть для непрерывного отображения f : X → Y выполняются следующие усло- вия: (1) f(X) = Y ; (2) отображение f открыто (замкнуто). Тогда f — факторное отображение. В дальнейшем нам понадобится следующая Лемма 0.1. ПустьX, Y1, Y2 — топологические простран- ства, ϕ1 : X → Y1 и ϕ2 : X → Y2 — непрерывные отобра- жения. Если отображение ϕ1 факторно, то следующие условия эквивалентны: (1) разбиение zerϕ1 пространства X является измель- чением разбиения zerϕ2; (2) существует непрерывное отображение ψ : Y1 → Y2, такое что ϕ2 = ψ ◦ ϕ1. Доказательство. 1. Пусть разбиение zerϕ1 является из- мельчением разбиения zerϕ2. Тогда отображение ϕ2 пере- водит элементы разбиения zerϕ1 в точки пространства Y2 и корректно определено фактор-отображение π = factϕ2 : X/ zerϕ1 → Y2, для которого коммутативна диаграмма X ϕ2 −−−→ Y2 pr1 y ∥∥∥ X/ zerϕ1 −−−→ π Y2 О проекциях на одометры ... 317 Пусть χ = factϕ1 : X/ zerϕ1 → Y1 — взаимно-однознач- ный фактор отображения ϕ1, то есть коммутативна диа- грамма X ϕ1 −−−→ Y1 pr1 y ∥∥∥ X/ zerϕ1 −−−→ χ Y1 Так как отображение ϕ1 факторно, то χ — гомеоморфизм пространства X/ zerϕ1 на Y1. Рассмотрим непрерывное отображение ψ = π ◦ χ−1 : Y1 → Y2 . Имеем ψ ◦ ϕ1 = π ◦ χ−1 ◦ ϕ1 = π ◦ χ−1 ◦ χ ◦ pr1 = π ◦ pr1 = ϕ2 , что и требовалось. 2. Пусть существует непрерывное отображение ψ : Y1 → Y2, такое что ϕ2 = ψ ◦ ϕ1. Фиксируем элемент H1 разбиения zerϕ1. По определе- нию, найдется y1 ∈ Y1, такое что H1 = ϕ−1 1 (y1). Пусть y2 = ψ(y1) ∈ Y2. Тогда H2 = ϕ−1 2 (y2) = (ψ ◦ ϕ1) −1(y2) = ϕ−1 1 (ψ−1(y2)) ⊇ ϕ−1 1 (y1) = H1. Снова по определению, H2 — элемент разбиения zerϕ2. Из-за произвола в выборе элемента H1 разбиения zerϕ1 заключаем, что разбиение zerϕ1 является измельчением разбиения zerϕ2. � Категории и функторы. Определение 0.6. Категория K состоит из класса объ- ектов Ob K и класса морфизмов MorK, которые связаны между собой следующими условиями: 318 Е.А.Полулях 1) каждой упорядоченной паре A,B ∈ Ob K сопостав- лено некоторое множество HK(A,B) морфизмов категории K; 2) каждый морфизм категории K принадлежит од- ному и только одному из множеств HK(A,B); 3) в классе MorK определена частичная бинарная опе- рация умножения: произведение β ◦ α морфизмов α ∈ HK(A,B) и β ∈ HK(C,D) определено тогда и только тогда, когда B = C, и в этом случае β ◦ α ∈ HK(A,D); частичное умножение ассоциативно: γ◦(β◦α) = (γ ◦ β) ◦ α для любых α ∈ HK(A,B), β ∈ HK(B,C) и γ ∈ HK(C,D); 4) для каждого A ∈ ObK множество HK(A,A) содер- жит единичный морфизм 1A, такой что β◦1A = β и 1A ◦ α = α для любых морфизмов α ∈ HK(B,A) и β ∈ HK(A,C). Определение 0.7. Категория L называется подкатего- рией категории K, если a) Ob L ⊆ Ob K; b) Mor L ⊆ Mor K; c) единичные морфизмы категории L являются еди- ничными морфизмами категории K; d) произведение β ◦ α морфизмов α, β ∈ Mor L совпа- дает с произведением этих же морфизмов в кате- гории K. Определение 0.8. Подкатегория L категории K назы- вается полной подкатегорией, если HL(A,B) = HK(A,B) для любых A, B ∈ Ob L. Определение 0.9. Морфизм σ : A → B называется мо- номорфизмом категории K (σ ∈ Mon K), если для любых О проекциях на одометры ... 319 двух морфизмов α, β : X → A из равенства σ ◦ α = σ ◦ β следует равенство α = β. Определение 0.10. Морфизм ν : A→ B называется эпи- морфизмом (ν ∈ Ep K), если для любых α, β : B → Y из равенства α ◦ ν = β ◦ ν следует равенство α = β. Определение 0.11. Морфизм ρ : A→ B называется би- морфизмом (ρ ∈ Bim K), если ρ ∈ Mon K ∩ Ep K. Определение 0.12. Морфизм ϕ : A → B называется изоморфизмом (ϕ ∈ Iso K), если существует такой мор- физм ψ : B → A, что ψ ◦ ϕ = 1A и ϕ ◦ ψ = 1B. Определение 0.13. Два объекта A, B ∈ Ob K называ- ются изоморфными, если HK(A,B) ∩ Iso K 6= ∅. Определение 0.14. Полная подкатегория Z категории K, содержащая ровно по одному представителю из каж- дого класса изоморфных объектов категории K, называ- ется скелетом категории K. Определение 0.15. Объект 0r категории K называется правым нулем категории K, если для каждого A ∈ ObK существует единственный морфизм αA : A→ 0r. Определение 0.16. Объект 0l называется левым нулем категории K, если для каждого A ∈ Ob K существует единственный морфизм βA : 0l → A. Определение 0.17. Одноместным ковариантным функ- тором из категории K в категорию L называется соот- ветствие F : K→ L, удовлетворяющее условиям: 1) F (A) ∈ Ob L для каждого A ∈ Ob K; 2) F (α) ∈ HL(F (A), F (B)) для каждого α ∈ HK(A,B); 3) F (1A) = 1F (A) для любого единичного морфизма ка- тегории K; 320 Е.А.Полулях 4) если α ∈ HK(A,B), β ∈ HK(B,C), то F (β ◦ α) = F (β) ◦ F (α). Определение 0.18. Одноместный ковариантный функ- тор, взаимно-однозначно отображающий категорию K на категорию L, называется изоморфизмом категорий. Динамические системы. Определение 0.19. Динамической системой с дискрет- ным временем называют пару (X, f), где X — тополо- гическое пространство, f : X → X гомеоморфизм. Про- странство X называют фазовым пространством этой ди- намической системы. Рассмотрим категорию K, объектами которой являют- ся динамические системы, а морфизмами динамических систем (X, f) и (Y, g) служат непрерывные отображения h : X → Y их фазовых пространств, для которых комму- тативна диаграмма (0.6) X f −−−→ X h y yh Y g −−−→ Y В дальнейшем мы будем обозначать морфизм h объекта (X, f) в (Y, g) следующим образом: h : (X, f)→ (Y, g) . Определение 0.20. Морфизм h : (X, f) → (Y, g) назы- вается вложением динамической системы (X, f) в (Y, g), если отображение h инъективно. В этом случае (X, f) называется подсистемой динамической системы (Y, g). Определение 0.21. Морфизм h : (X, f)→ (Y, g) называ- ется проекцией, если h(X) = Y . О проекциях на одометры ... 321 Динамическая система (Y, g) называется фактор-сис- темой динамической системы (X, f). Динамическая система (X, f) называется расширени- ем динамической системы (Y, g). Определение 0.22. Назовём динамические системы (X, f) и (Y, g) топологически сопряженными, если суще- ствует такой морфизм h : (X, f) → (Y, g), что отобра- жение h : X → Y является гомеоморфизмом простран- ства X на пространство Y . Во всех дальнейших рассмотрениях мы ограничимся полной подкатегорией K0 категории K, объектами которой являются динамические системы с хаусдорфовыми ком- пактными фазовыми пространствами. Мы их будем на- зывать динамическими системами или потоками. Определение 0.23. Пусть (X, f) — динамическая си- стема (пространство X хаусдорфово и компактно). Под- множество A ⊆ X называется инвариантным множе- ством (X, f), если f(A) = A. С каждой точкой x ∈ X фазового пространства дина- мической системы (X, f) принято связывать такие инва- риантные множества: – траектория точки x Orbf (x) = ⋃ n∈Z fn(x) ; – замыкание Orbf(x) траектории точки x; – α и ω–предельные множества точки x α(x) = ⋂ n<0 ⋃ k≤n fk(x) , ω(x) = ⋂ n>0 ⋃ k≥n fk(x) . 322 Е.А.Полулях Определение 0.24. Точка x называется устойчивой по Пуассону в отрицательном (положительном) направлении, если α(x) = Orbf (x) (если ω(x) = Orbf (x)). Точка x называется устойчивой по Пуассону, если α(x) = ω(x) = Orbf(x). Определение 0.25. Точка x называется рекуррентной, если для любой окрестности U точки x найдется такое n(U) ∈ N, что для каждого k ∈ Z выполняется неравен- ство U ∩ k+n(U)−1⋃ i=k f i(x) 6= ∅ . Определение 0.26. Точка x называется почти периоди- ческой, если для любой окрестности U точки x найдется такое n(U) ∈ N, что ⋃ k∈Z fkn(U)(x) ⊆ U . Замечание 0.3. Последнее определение ни в коем случае не является общепринятым. Существует другая терминология (см. [2,12]), соглас- но которой точки, устойчивые по Пуассону, называются рекуррентными, а рекуррентные точки называются по- чти периодическими. Определение 0.27. Назовем непустое замкнутое инва- риантное множество A ⊆ X минимальным множеством динамической системы (X, f), если A не содержит соб- ственных замкнутых инвариантных подмножеств этой динамической системы. Несложно видеть, что для объекта (X, f) категории K0 минимальное множество A характеризуется тем, что Orbf(x) = A для каждого x ∈ A. О проекциях на одометры ... 323 В дальнейшем нам будет необходим следующий резуль- тат (см. [2, 4, 12]) Теорема 0.1 (Birkhoff). Каждый объект (X, f) катего- рии K0 обладает следующими свойствами: – для каждого x ∈ X множества α(x) и ω(x) со- держат некоторые минимальные подмножества динамической системы (X, f); – для любой рекуррентной точки x ∈ X множество Orbf(x) минимально; – каждая точка x ∈ A произвольного минимального множества A является рекуррентной. Определение 0.28. Динамическая система (X, f) назы- вается минимальной, если ее фазовое пространство X яв- ляется минимальным множеством. В дальнейшем нам понадобится следующая Лемма 0.2. Пусть (X, f), (Y1, g1), (Y2, g2) ∈ Ob K0, ϕ1 : (X, f)→ (Y1, g1) и ϕ2 : (X, f)→ (Y2, g2) — морфизмы. Пусть отображение ϕ1 : X → Y1 сюръективно. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) разбиение zerϕ1 пространства X является измель- чением разбиения zerϕ2; (2) существует морфизм ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такой что ϕ2 = ψ ◦ ϕ1. Доказательство . 1. Пусть разбиение zerϕ1 простран- ства X является измельчением разбиения zerϕ2. Известно, что отображение компакта в Хаусдорфово пространство замкнуто (см. [1]). Известно также, что не- прерывное сюръективное замкнутое отображение являет- ся факторным (см. предложение 0.1). 324 Е.А.Полулях Итак, сюръективное отображение компактов ϕ1 : X → Y1 является факторным и мы находимся в условиях лем- мы 0.1. Следовательно, существует непрерывное отображение ψ : Y1 → Y2, такое что ϕ2 = ψ ◦ ϕ1. Проверим коммутативность диаграммы Y1 g1 −−−→ Y1 ψ y yψ Y2 −−−→ g2 Y2 Пусть y1 ∈ Y1. Так как отображение ϕ1 сюръективно по условию леммы, то найдется x ∈ ϕ−1 1 (y1) ⊆ X. Тогда g2 ◦ ψ(y1) = g2◦ψ◦ϕ1(x) = g2◦ϕ2(x) = ϕ2◦f(x) = ψ◦ϕ1◦f(x) = ψ ◦ g1 ◦ ϕ1(x) = ψ ◦ g1(y1). Из-за произвола в выборе точки y1 ∈ Y1 заключаем, что ψ ◦ g1 = g2 ◦ ψ и ψ ∈ Mor K0. 2. Пусть существует морфизм ψ : (Y1, g1) → (Y2, g2), такой что ϕ2 = ψ ◦ ϕ1. Тогда ϕ2 = ψ ◦ ϕ1 : X → Y2 и дальнейшее доказатель- ство в точности повторяет вторую часть доказательства леммы 0.1. � 1. Периодические разбиения. 1.1. Определение периодического разбиения. Пусть заданы компактное хаусдорфово пространство X и гомео- морфизм f : X → X. Определение 1.1. Конечный набор W (m) = {W (m) i } m−1 i=0 подмножеств пространства X назовём периодическим разбиением динамической системы (X, f) длины m, если он удовлетворяет следующим условиям: О проекциях на одометры ... 325 (i) все W (m) i — открыто-замкнутые подмножества пространства X; (ii) W (m) i = f(W (m) i−1 ), i = 1, . . . , m−1 и W (m) 0 = f(W (m) m−1); (iii) W (m) i ∩W (m) j = ∅ при i 6= j; (iv) X = ⋃m−1 i=0 W (m) i . Определение 1.2. Множество всех длин всевозможных периодических разбиений динамической системы (X, f) назовем множеством периодов динамической системы (X, f) и обозначим P(X, f). Замечание 1.1. Для любой динамической системы (X, f) множество P(X, f) не пусто. Действительно, всегда су- ществует тривиальное периодическое разбиение W (1) = {W (1) 0 = X} динамической системы (X, f) длины едини- ца, т. е. 1 ∈ P(X, f). Замечание 1.2. Пусть W (m) = {W (m) i } m−1 i=0 — периоди- ческое разбиение динамической системы (X, f) длины m. Из свойств (ii) и (iii) определения 1.1 немедленно следу- ет, что для каждого n ∈ Z fn(W (m) 0 ) = W (m) i , если n ≡ i (mod m) и fn(W (m) 0 ) ∩W (m) i = ∅, если n 6≡ i (mod m). Более обще: fn(W (m) i ) = W (m) j , если n ≡ j − i (mod m) и fn(W (m) i ) ∩W (m) j = ∅, если n 6≡ j − i (mod m). Базовые свойства множества P(X, f) описываются сле- дующими двумя утверждениями Предложение 1.1. Пусть m ∈ P(X, f) и m делится на d ∈ N. Тогда d ∈ P(X, f). 326 Е.А.Полулях Доказательство . Пусть {W (m) i } m−1 i=0 — периодическое разбиение длины m. Представим m в виде m = ad, a ∈ N. Рассмотрим набор множеств V (d) j = a−1⋃ k=0 W (m) j+kd = ⋃ s∈{0,...,m−1} , s≡j (mod d) f s(W (m) 0 ) , j = 0, . . . , d−1 . Очевидно, так определенный набор множеств {V (d) j } d−1 j=0 удовлетворяет свойствам (i), (iii) и (iv) определения 1.1. Проверим, что он удовлетворяет свойству (ii) этого опре- деления. Так как m ≡ 0 (mod d), то сравнения s ≡ j (mod d) и s ≡ j + tm (mod d) эквивалентны для всех t ∈ Z. С другой стороны, f tm(W (m) s ) = W (m) s , t ∈ Z, s = 0, . . . , m−1. Поэтому V (d) j = ⋃ s∈{0,...,m−1} , s≡j (mod d) f s(W (m) 0 ) = ⋃ t∈Z ⋃ s∈{0,...,m−1} , s≡j (mod d) f tm+s(W (m) 0 ) = = ⋃ t∈Z ⋃ r∈{tm,...,(t+1)m−1} , r≡j (mod d) f r(W (m) 0 ) = ⋃ r∈Z , r≡j (mod d) f r(W (m) 0 ) . Спаведливость свойства (ii) определения 1.1 есть очевид- ным следствием этой цепочки равенств. Предложение доказано. � Предложение 1.2. Пусть m1, m2 ∈ P(X, f) и D — наи- меньшее общее кратное чисел m1 и m2. Тогда D ∈ P(X, f). Для того, чтобы доказать предложение 1.2, нам понадо- бятся некоторые дополнительные рассмотрения, которым будет посвящен следующий раздел. О проекциях на одометры ... 327 1.2. Основные свойства периодических разбиений. Ясно, что для любого m ∈ P(X, f), m > 1, существу- ет больше одного периодического разбиения динамической системы (X, f) длины m. Действительно, фиксировав раз- биение W (m) = {W (m) i } m−1 i=0 можно для произвольного k ∈ {1, . . . , m − 1} построить периодическое разбиение W (m)(k) = {W (m) i (k)}m−1 i=0 при помощи циклической пере- становки индексов элементов разбиения W (m) i , W (m) j (k) = W (m) i при j ≡ i+ k (mod m) , j = 0, . . . , m− 1 . Определение 1.3. Пусть m ∈ P(X, f). Два периодиче- ских разбиения динамической системы (X, f) назовем эк- вивалентными, если одно разбиение может быть получе- но из другого при помощи циклической перестановки ин- дексов. Зададимся таким вопросом: если P(X, f) 6= {1}, то при каких условиях дляm ∈ P(X, f) любые два периодических разбиения длины m эквивалентны? Определение 1.4. Динамическую систему (X, f) назо- вем неразложимой, если она удовлетворяет свойству (A) Если X = X1∪X2, X1∩X2 = ∅ и X1, X2 — замкну- тые инвариантные подмножества динамической системы (X, f), то либо X1 = ∅, либо X2 = ∅. Замечание 1.3. Пусть K — замкнутое инвариантное множество динамической системы (X, f), которая обла- дает периодическим разбиением W (m) = {W (m) i } m−1 i=0 дли- ны m. Для каждого i = 0, . . . , m− 1 f(W (m) i ∩K) = f(W (m) i ) ∩ f(K) = f(W (m) i ) ∩K , 328 Е.А.Полулях поэтому, в частности, W (m) i ∩ K 6= ∅, i = 0, . . . , m − 1, и если K открыто-замкнуто в X, то набор множеств {V (m) i = W (m) i ∩ K}m−1 i=0 удовлетворяет свойствам (i) – (iii) определения 1.1. Предложение 1.3. Пусть m ∈ P(X, f), m > 1. Дина- мическая система (X, f) неразложима тогда и только тогда, когда существует единственное с точностью до циклической перестановки индексов периодическое разби- ение W (m) длины m. Доказательство. 1. Пусть W (m), W̃ (m) — два неэквива- лентных периодических разбиения динамической системы (X, f) длины m. Из свойства (iv) определения 1.1 следует, что цикличе- ской перестановкой индексов в одном из разбиений мы мо- жем добиться того, чтобы V (m) 0 = W (m) 0 ∩ W̃ (m) 0 6= ∅. По нашему предположению W (m) 0 6= W̃ (m) 0 . Пусть, например, K = W (m) 0 \ W̃ (m) 0 6= ∅. Обозначим V (m) i = f i(V (m) 0 ), i = 1, . . . , m − 1. Заме- тим, что V (m) i ⊂ W (m) i , поэтому V (m) i ∩ W (m) 0 = ∅ при i = 1, . . . , m − 1. Это следует из условия (iii) определе- ния 1.1. С другой стороны, f(V (m) m−1) = fm(V (m) 0 ) = fm(W (m) 0 ∩ W̃ (m) 0 ) = = fm(W (m) 0 ) ∩ fm(W̃ (m) 0 ) = W (m) 0 ∩ W̃ (m) 0 = V (m) 0 . Третье равенство справедливо, так как f — гомеоморфизм, предпоследнее равенство следует из условия (ii) определе- ния 1.1. О проекциях на одометры ... 329 Следовательно, X1 = m−1⋃ i=0 V (m) i = m−1⋃ i=0 f i(V (m) 0 ) — инвариантное подмножество динамической системы (X, f) (тогда и X2 = X \X1 является инвариантным для этой динамичесткой системы). При этом X1 6= ∅ по по- строению и X2 6= ∅, так как X1 ∩W (m) 0 = V (m) 0 и W (m) 0 \ V (m) 0 = K ⊂ X \X1. Из условия (i) определения 1.1 следует, что множество V (m) 0 (а вместе с ним и все V (m) i ) открыто-замкнутое, тогда и множества X1, X2 открыто-замкнуты в X. Итак, динамическая система (X, f) не является нераз- ложимой. Случай W̃ (m) 0 \W (m) 0 6= ∅ рассматривается аналогично. 2. Обратно, предположим, что динамическая система (X, f) не является неразложимой. Фиксируем разбиение X = X1 ∪X2 пространства X на два собственных непере- секающихся инвариантных замкнутых подмножества. От- метим, что подмножества X1 и X2 будут также и открыты в X. Фиксируем кроме того периодическое разбиение W (m) = {W (m) i } m−1 i=0 динамической системы (X, f) длины m. Непустые наборы множеств {V (m), 1 i = W (m) i ∩X1} m−1 i=0 и {V (m), 2 i = W (m) i ∩ X2} m−1 i=0 удовлетворяют свойствам (i) – (iii) определения 1.1 (см. замечание 1.3). 330 Е.А.Полулях Легко видеть, что Xj = Xj ∩ m−1⋃ i=0 W (m) i = = m−1⋃ i=0 (W (m) i ∩Xj) = m−1⋃ i=0 V (m), j i , j = 1, 2 . Так как X1 ∩ X2 = ∅, то V (m), 1 r ∩ V (m), 2 s = ∅ для любых r, s ∈ {0, . . . , m− 1}. Положим W̃ (m) i = V (m), 1 i ∪ V (m), 2 i−1 , i = 1, . . . , m− 1 , W̃ (m) 0 = V (m), 1 0 ∪ V (m), 2 m−1 . Элементарная непосредственная проверка показывает, что семейство множеств {W̃ (m) i } m−1 i=0 является периодическим разбиением динамической системы (X, f) длины m. При этом W (m) 0 \ W̃ (m) 0 = V (m), 1 0 6= ∅, W̃ (m) 0 \W (m) 0 = V (m), 2 m−1 6= ∅. Следовательно, набор {W̃ (m) i } не может быть получен из набора {W (m) i } при помощи циклической перестановки индексов. � Пусть m1, m2 ∈ P(X, f), d и D — соответственно наи- больший общий делитель и наименьшее общее кратное чи- сел m1 и m2. Рассмотрим два периодических разбиения {W (m1) i }m1−1 i=0 и {W (m2) j }m2−1 j=0 пространства X длин m1 и m2. Предложение 1.4. Пусть пересечение W 1 k ∩W 2 l не пусто для некоторых k ∈ {0, . . . , m1 − 1}, l ∈ {0, . . . , m2 − 1}. Тогда набор множеств {V (D) s = f s(W (m1) k ∩W (m2) l )}D−1 s=0 удовлетворяет условиям (i) — (iii) определения 1.1. О проекциях на одометры ... 331 Доказательство. В силу определения 1.1 для периодиче- ских разбиений W (m1) и W (m2) множество V (D) 0 = W (m1) k ∩ W (m2) l открыто-замкнуто в X. Так как f — гомеоморфизм, то и все V (D) s открыто-замкнуты в X и набор {V (D) s } удо- влетворяет условию (i) определения 1.1. Снова, учитывая взаимную однозначность отображения f , получим (1.1) f s(W (m1) k ∩W (m2) l ) = f s(W (m1) k )∩f s(W (m2) l ) , s ∈ Z , в частности, f(V (D) D−1) = fD(V (D) 0 ) = fD(W (m1) k ∩W (m2) l ) = = fD(W (m1) k ) ∩ fD(W (m2) l ) = W (m1) k ∩W (m2) l = V (D) 0 , так как по своему определению D ≡ 0 (mod mr), r = 1, 2. Этим доказано выполнение свойства (ii) определения 1.1. С учетом свойства (ii) определения 1.1 и равенство (1.1), для доказательства свойства (iii) нам теперь достаточно проверить, что V (D) 0 ∩ V (D) s = ∅, s = 1, . . . , D − 1. Предположим, что V (D) 0 ∩ f s(V (D) 0 ) 6= ∅ для некоторого s ∈ Z. Тогда, в частности, W (m1) k ∩ f s(W (m1) k ) 6= ∅ , W (m2) l ∩ f s(W (m2) l ) 6= ∅ , а это возможно в силу замечания 1.2 только если s ≡ 0 (mod m1) и s ≡ 0 (mod m2), то есть только тогда, ко- гда s — общее кратное чисел m1 и m2. Следовательно, V (D) 0 ∩ V (D) s = ∅ при s = 1, . . . , D − 1 и набор множеств {V (D) s } удовлетворяет свойству (iii) определения 1.1. � Обозначим V (D) s (k, l) = f s(W (m1) k ∩W (m2) l ) , s = 0, . . . , D − 1 , 332 Е.А.Полулях A(k, l) = D−1⋃ s=0 V (D) s (k, l) . Из предложения 1.4 следует, что A(k, l) — открыто-замк- нутое инвариантное подмножество динамической системы (X, f) и если множество V (D) 0 (k, l) не пусто, то набор мно- жеств {V (D) s (k, l)}D−1 s=0 является периодическим разбиением динамической системы (A(k, l), f \|A(k,l)) длины D. Замечание 1.4. Если динамическая система (X, f) не- разложима, то либо A(k, l) = ∅, либо A(k, l) = X и тогда {V (D) s (k, l)}D−1 s=0 — периодическое разбиение динамической системы (X, f) длины D и D ∈ P(X, f). Из свойства (iv) определения 1.1 следует, что найдут- ся k, l, для которых множество A(k, l) не пусто. Из ска- занного заключаем, что предложение 1.2 справедливо для неразложимых динамических систем. Если динамическая система (X, f) не является неразло- жимой, вообще говоря, не обязательно A(k, l) ∈ {∅}∪{X}. Определение 1.5. Пусть m1, m2 ∈ P(X, f). Периоди- ческие разбиения W (m1) и W (m2) динамической системы (X, f) называются согласованными, если для любых k ∈ {0, . . . , m1 − 1}, l ∈ {0, . . . , m2 − 1} либо A(k, l) = ∅, либо A(k, l) = X. Замечание 1.5. Из предложения 1.4 легко следует, что если m2 = m1, то согласованность разбиений {W (m1) i }m1−1 i=0 и {W (m2) j }m2−1 j=0 означает, что эти два разбиения эквива- лентны. Замечание 1.6. Непосредственным следствием опреде- лений эквивалентности и согласованности периодичес- ких разбиений является следующее утверждение. О проекциях на одометры ... 333 Пусть периодические разбиения W (m1) и W (m2) согла- сованы. Тогда если периодическое разбиение W̃ (m2) экви- валентно разбиению W (m2), то периодические разбиения W (m1) и W̃ (m2) согласованы. Если для некоторых m1, m2 ∈ P(X, f) найдутся согла- сованные разбиения пространства X длин m1 и m2, то, по- вторяя рассуждения из замечания 1.4, можно утверждать, что наименьшее общее кратное D чисел m1 и m2 лежит в P(X, f). Следовательно, доказательство предложения 1.2 сводится к проверке того, что для любой пары m1, m2 ∈ P(X, f) существуют соответствующие согласованные пе- риодические разбиения динамической системы (X, f). В оставшейся части раздела мы докажем несколько бо- лее общее Предложение 1.5. Пусть m1, m2 ∈ P(X, f). Для любо- го периодического разбиения W (m1) динамической систе- мы (X, f) длины m1 найдется согласованное с ним пери- одическое разбиение W (m2) длины m2. Следствие 1.1. Пусть динамическая система (X, f) не- разложима. Тогда любые два периодических разбиения ди- намической системы (X, f) согласованы. Для доказательства предложения 1.5 изучим некоторые свойства конструкций, описанных выше. Из замечания 1.3 следует, что набор {W (mr) i ∩A(k, l)}mr i=0, r = 1, 2, является периодическим разбиением длины mr для динамической системы (A(k, l), f \|A(k,l)). Следующее предложение дает ответ на вопрос, как свя- заны периодические разбиения {V (D) s (k, l)}D−1 s=0 и {W (mr) i ∩ A(k, l)}mr i=0, r = 1, 2, динамической системы (A(k, l), f \|A(k,l)). 334 Е.А.Полулях Лемма 1.1. Пусть V (D) 0 (k, l) 6= ∅, i ∈ {0, . . . , m1 − 1}, j ∈ {0, . . . , m2 − 1}. Если j − i ≡ l − k (mod d), то W (m1) i ∩W (m2) j ⊆ A(k, l). При этом W (m1) i ∩W (m2) j = V (D) s (k, l), где s ∈ {0, . . . , D−1} является решением системы сравнений (1.2) { s ≡ i− k (mod m1) , s ≡ j − l (mod m2) . Если j− i 6≡ l−k (mod d), то (W (m1) i ∩W (m2) j )∩A(k, l) = ∅. Замечание 1.7. Напомним, что система (1.2) совмест- на тогда и только тогда, когда j − i ≡ l − k (mod d) (см. [5]). Доказательство леммы 1.1. 1. Пусть j − i ≡ l − k (mod d). Тогда существует единственное (mod D) реше- ние s системы (1.2) (см. [5]). Следовательно, A(k, l) ⊇ V (D) s (k, l) = f s(W (m1) k ∩W (m2) l ) = = f s(W (m1) k ) ∩ f s(W (m2) l ) = f i−k(W (m1) k ) ∩ f j−l(W (m2) l ) = = f i−k ◦ fk(W (m1) 0 ) ∩ f j−l ◦ f l(W (m2) 0 ) = = f i(W (m1) 0 ) ∩ f j(W (m2) 0 ) = W (m1) i ∩W (m2) j . Здесь мы воспользовались тем, что f — гомеоморфизм и, в частности, отображения f и f−1 взаимно–однозначны. 2. Предположим теперь, что (W (m1) i ∩W (m2) j )∩A(k, l) 6= ∅. Тогда найдется s ∈ {0, . . . , D − 1}, такое что (W (m1) i ∩W (m2) j ) ∩ (f s(W (m1) k ) ∩ f s(W (m2) l )) = = (W (m1) i ∩W (m2) j ) ∩ V (D) s (k, l) 6= ∅ . О проекциях на одометры ... 335 Следовательно, W (m1) i ∩ f s(W (m1) k ) 6= ∅ и W (m2) j ∩ f s(W (m2) l ) 6= ∅ . Из замечания 1.2 теперь вытекает, что s удовлетворяет системе (1.2), и, в частности, i− k ≡ j − l (mod d). � Следствие 1.2. Пусть множества A(k1, l1), A(k2, l2) не пусты для некоторых k1, k2 ∈ {0, . . . , m1 − 1} и l1, l2 ∈ {0, . . . , m2 − 1}. Если k1 − k2 ≡ l1 − l2 (mod d), то A(k1, l1) = A(k2, l2). В противном случае A(k1, l1) ∩A(k2, l2) = ∅. Доказательство. Мы уже знаем, что A(k1, l1) и A(k2, l2) — замкнутые инвариантные подмножества динамической системы (X, f). 1. Пусть k1−k2 ≡ l1−l2 (mod d). Тогда (W (m1) k1 ∩W (m2) l1 ) ⊆ A(k2, l2) согласно лемме 1.1. Следовательно, A(k1, l1) = D−1⋃ s=0 f s(W (m1) k1 ∩W (m2) l1 ) ⊆ ⊆ D−1⋃ s=0 f s(A(k2, l2)) = A(k2, l2) . Меняя ролямиA(k1, l1) иA(k2, l2), получим обратное вклю- чение. 2. Пусть теперь k1 − k2 6≡ l1 − l2 (mod d). Тогда ∅ = D−1⋃ s=0 f s(W (m1) k1 ∩W (m2) l1 ) ∩ f s(A(k2, l2)) = = D−1⋃ s=0 f s(W (m1) k1 ∩W (m2) l1 )∩A(k2, l2) = A(k1, l1)∩A(k2, l2) . 336 Е.А.Полулях Следствие доказано. � Следствие 1.3. Если выполняется равенство A(k, l) = X для k ∈ {0, . . . , m1 − 1} и l ∈ {0, . . . , m2 − 1}, то периоди- ческие разбиения W (m1) и W (m2) согласованы. Следствие 1.4. Если для k ∈ {0, . . . , m1} и l ∈ {0, . . . , m2} найдется множество K ⊆W (m1) k ∩W (m2) l , такое что ⋃ n∈Z fn(K) = X , то периодические разбиения W (m1) и W (m2) согласованы. Доказательство . Утверждение следствия вытекает из цепочки равенств X = ⋃ n∈Z fn(K) ⊆ ⋃ n∈Z fn(W (m1) k ∩W (m2) l ) = = ⋃ m∈Z D−1⋃ r=0 f r+Dm(V (D) 0 (k, l)) = = ⋃ m∈Z fDm ( D−1⋃ r=0 f r(W (m1) k ∩W (m2) l ) ) = = ⋃ m∈Z fDm(A(k, l)) = A(k, l) и следствия 1.3 � Следствие 1.5. Предположим, что W (m1) k ⊇ W (m2) l для некоторых k ∈ {0, . . . , m1 − 1} и l ∈ {0, . . . , m2 − 1} Тогда 1) разбиения W (m1) и W (m2) согласованы; 2) m1 делит m2. О проекциях на одометры ... 337 Доказательство . 1. Возьмем K = W (m2) l . Из свой- ства (iv) периодических разбиений и следствия 1.4 выте- кает, что периодические разбиения {W (m1) i } и {W (m2) j } со- гласованы и A(k, l) = X. 2. Из леммы 1.1 следует, что W (m1) i ∩W (m2) l 6= ∅ тогда и только тогда, когда i ≡ k (mod d). Предположим, что d 6= m1. Тогда найдется такое τ ∈ {0, . . . , m1 − 1}, τ 6= k, что τ ≡ k (mod d). Следовательно, W (m1) τ ∩W (m2) l 6= ∅. С другой стороны, W (m2) l ⊆ W (m1) k по условию и W (m1) k ∩W (m1) τ = ∅ по определению 1.1. Полученное противоречие доказывает, что d = m1 и m1 делит m2. � Следствие 1.6. Пусть m1, m2 ∈ P(X, f) и m2 делится на m1. Периодические разбиения W (m1) и W (m2) согласованы тогда и только тогда, когда разбиение {W (m2) j } простран- ства X является измельчением разбиения {W (m1) i }. Доказательство . 1. Необходимость. Пусть периодиче- ские разбиения W (m1) и W (m2) согласованы. Найдем k ∈ {0, . . . , m1 − 1} и l ∈ {0, . . . , m2 − 1}, для которых W (m1) k ∩W (m2) l 6= ∅. Тогда A(k, l) = X. Так как m1 делит m2, то d = m1. Фиксируем j ∈ {0, . . . , m2−1}. Из леммы 1.1 следует, что W (m1) i ∩W (m2) j 6= ∅ тогда и только тогда, когда i ≡ j − l + k (mod m1). Существует единственное τ ∈ {0, . . . , m1 − 1}, такое что τ ≡ j − l + k (mod m1). Так как X = m1−1⋃ i=0 W (m1) i 338 Е.А.Полулях и W (m1) i ∩ W (m2) j = ∅ при i ∈ {0, . . . , m1 − 1}, i 6= τ , то W (m2) j ⊆W (m1) τ . Из-за произвола в выборе j ∈ {0, . . . , m2−1} заключаем, что разбиение {W (m2) j } пространства X является измель- чением разбиения {W (m1) i }. 2. Достаточность вытекает из следствия 1.5. � Доказательство предложения 1.5. Пусть W (m1) — периодическое разбиение длины m1. Фиксируем периоди- ческое разбиение W (m2) длины m2. Рассмотрим множества A(0, j) = D−1⋃ s=0 f s ( W (m1) 0 ∩W (m2) j ) , j = 0, . . . , m2 − 1 . Очевидно, W (m1) 0 = W (m1) 0 ∩ m2−1⋃ j=0 W (m2) j = = m2−1⋃ j=0 ( W (m1) 0 ∩W (m2) j ) ⊆ m2−1⋃ j=0 A(0, j) . Так как A(0, j), j = 0, . . . , m2 − 1, — инвариантные под- множества динамической системы (X, f), то m2−1⋃ j=0 A(0, j) = m2−1⋃ j=0 m1−1⋃ i=0 f i(A(0, j)) = = m1−1⋃ i=0 f i ( m2−1⋃ j=0 A(0, j) ) ⊇ m1−1⋃ i=0 f i(W (m1) 0 ) = X . Из следствия 1.2 нам известно, что A(0, j) = A(0, k) при j ≡ k (mod d) и A(0, j) ∩ A(0, k) = ∅ при j 6≡ k (mod d), О проекциях на одометры ... 339 поэтому X = d−1⋃ j=0 A(0, j) . В последнем равенстве все множества A(0, j) попарно не пересекаются. Некоторые из этих множеств могут быть пустыми. Пусть A1 = A(0, k1), . . . , Al = A(0, kl) — все непу- стые множества из набора {A(0, j)}d−1 j=0. Обозначим V (D) s (j) = V (D) s (0, kj) = f s ( W (m1) 0 ∩W (m2) kj ) , j = 1, . . . , l , s = 0, . . . , D − 1 . Тогда (1.3) X = l⋃ j=1 Aj = l⋃ j=1 D−1⋃ s=0 V (D) s (j) = D−1⋃ s=0 ( l⋃ j=1 V (D) s (j) ) , Заметим, что V (D) s (i)∩V (D) r (j) = ∅, если s 6= r или i 6= j. Действительно, V (D) s (i) ⊂ Ai, V (D) r (j) ⊂ Aj , поэтому по построению V (D) s (i) ∩ V (D) r (j) ⊂ Ai ∩ Aj = ∅ при i 6= j. Пусть теперь i = j. Из предложения 1.4 мы знаем, что набор множеств {V (D) s (i)}D−1 s=0 удовлетворяет свойствам (i)– (iii) определения 1.1. Следовательно, V (D) s (i)∩V (D) r (i) = ∅ при s 6= r. Обозначим W̃ (D) 0 = l⋃ j=1 V (D) 0 (j) , W̃ (D) s = f s ( W̃ (D) 0 ) = l⋃ j=1 V (D) s (j) , s = 1, . . . , D − 1 . Из сказанного выше вытекает, что W̃ (D) s ∩W̃ (D) r = ∅ при s 6= r, то есть набор множеств {W̃ (D) s } D−1 s=0 удовлетворяет 340 Е.А.Полулях условию (iii) определения 1.1. Из формулы (1.3) следует, что этот набор удовлетворяет также и свойству (iv) ука- занного определения. Вспомним, что все наборы множеств {V (D) s (i)}D−1 s=0 , i = 1, . . . , l, удовлетворяют свойствам (i) – (iii) определе- ния 1.1. Из этого, во первых, следует, что все множества набора {W̃ (D) s } открыто замкнуты в X; во вторых, f ( W̃ (D) D−1 ) = l⋃ j=1 f(V (D) D−1(j)) = l⋃ j=1 V (D) 0 (j) = W̃ (D) 0 . Итак, набор множеств {W̃ (D) s } D−1 s=0 является периодиче- ским разбиением динамической системы (X, f) длины D. Этим мы полностью доказали предложение 1.2. Периодические разбиения W (m1) и W̃ (D) согласованы, так как W̃ (D) 0 ⊆W (m1) 0 по построению (см. следствие 1.5). Обозначим W̃ (m2) k = ⋃ s∈{0,...,D−1} , s≡k (mod m2) W̃ (D) s , k = 0, . . . , m2 − 1 . Простая непосредственная проверка показывает, что {W̃ (m2) k }m2−1 k=0 — периодическое разбиение длины m2 (см. доказательство предложения 1.1). Из следствия 1.4 следует, что периодические разбиения W (m1) и W̃ (m2) согласованы, так как W (m1) 0 ∩W̃ (m2) 0 ⊇ W̃ (D) 0 . Предложение 1.5 полностью доказано. � Замечание 1.8. Вообще говоря, если динамическая си- стема (X, f) не является неразложимой, исходя из про- извольного фиксированного разбиения W (m2), можно по- строить больше одного периодического разбиения длины О проекциях на одометры ... 341 m2, согласованного с заранее заданным разбиением W (m1) длины m1. А именно, используя обозначения, введенные при дока- зательстве предложения 1.5, положим W̃ (D) 0 (t1, . . . , tl) = l⋃ j=1 V (D) tj (j) , где tj ≡ 0 (mod m1), tj ∈ {0, . . . , D−1}, j = 1, . . . , l. Тогда, пользуясь замечанием 1.2, заключаем, что W̃ (D) 0 (t1, . . . , tl) ⊆ W (m1) 0 . Обозначим (1.4) W̃ (m2) k (t1, . . . , tl) = ⋃ s∈{0,...,D−1} , s≡k (mod m2) f s(W̃ (D) 0 (t1, . . . , tl)) , k = 0, . . . , m2 − 1 . Теперь рассуждая так же, как и при доказательстве предложения 1.5, можно показать, что набор {W̃ (m2) k (t1, . . . , tl)} m2−1 k=0 является периодическим разбиени- ем длины m2, согласованным с разбиением W (m1). Пусть W̃ (m2) k (t1, . . . , tl), W̃ (m2) r (τ1, . . . , τl) — два периоди- ческих разбиения вида (1.4). Заменяя их на эквивалент- ные, не нарушая отношение согласованности, можно до- биться, чтобы t1 = τ1 = 0 (см. замечание 1.5). Легко 342 Е.А.Полулях видеть, что m2−1⋃ s=0 ( W̃ (m2) s (0, t2, . . . , tl) ∩ W̃ (m2) s (0, τ2, . . . , τl) ) = = A1 ∪ ⋃ tj=τj , j∈{2,...,l} Aj . Таким образом, согласованность периодических разбиений {W̃ (m2) s (0, t2, . . . , tl)} и {W̃ (m2) s (0, τ2, . . . , τl)} эквивалентна тому, что tj = τj при всех j ∈ {2, . . . , l}. Замечание 1.9. Очевидно, отношение согласованности двух периодических разбиений рефлексивно и симметрич- но. Однако предыдущее замечание показывает, что это отношение вообще говоря не транзитивно. 1.3. Правильные последовательности периодичес- ких разбиений. В этом подразделе мы докажем ряд ут- верждений, которые связаны с исследованием вопроса о транзитивности отношения согласованности периодичес- ких разбиений и будут использоваться в дальнейших по- строениях. В дальнейшем изложении нам понадобятся следующие объекты. Определение 1.6. Пусть задана последовательность чисел {ni ∈ P(X, f)}i∈N. Назовем последовательность {W (ni)}i∈N периодических разбиений динамической системы (X, f) правильной, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) nk делит nk+1, k ∈ N; 2) разбиения {W (nk) sk } и {W (nk+1) sk+1 } согласованы для всех k ∈ N. О проекциях на одометры ... 343 Замечание 1.10. Используя следствие 1.6, легко видеть, что любая правильная последовательность {W (nk)}k∈N периодических разбиений динамической системы (X, f) удовлетворяет условию 3) периодические разбиения {W (nk) sk } и {W (nl) sl } согла- сованы для всех k, l ∈ N. Действительно, пусть k, l ∈ N, k < l. Согласно след- ствию 1.6 разбиение {W (ni) si } пространства X является измельчением разбиения {W (ni+1) si+1 } для каждого i ∈ N. Следовательно, разбиение {W (nl) sl } является измельчени- ем разбиения {W (nk) sk } и, вновь используя следствие 1.6, заключаем, что разбиения {W (nl) sl } и {W (nk) sk } согласованы. Предложение 1.6. Пусть задана последовательность чисел {ni ∈ P(X, f)}i∈N, удовлетворяющая условию 1) оп- ределения 1.6. Существует правильная последовательность {W (nk)}k∈N периодических разбиений динамической систе- мы (X, f). Доказательство . Это утверждение легко доказывается при помощи индуктивного применения предложения 1.5. � Предложение 1.7. Пусть задана правильная последова- тельность {W (nk)}k∈N периодических разбиений динами- ческой системы (X, f). Пусть m1, m2 ∈ P(X, f) и m1 делит m2. Тогда a) найдется периодическое разбиение {W (m1) i }m1−1 i=0 длины m1 динамической системы (X, f), согласо- ванное с каждым из разбиений {W (nk) sk }, k ∈ N; 344 Е.А.Полулях b) для любого периодического разбиения {W (m1) i } из пункта a) найдется периодическое разбиение {W (m2) j }m2−1 j=0 длины m2, согласованное с {W (m1) i } и с каждым из разбиений {W (nk) sk }, k ∈ N. Доказательство предложения 1.7 опирается на три лем- мы. Пусть m1, m2, n ∈ P(X, f), причем m1 делит m2. Обозначим через di наибольший общий делитель чисел n иmi, i = 1, 2; пусть также Di — наименьшее общее кратное чисел n и mi, i = 1, 2. Лемма 1.2. Пусть {W (m1) i }m1−1 i=0 , {W (m2) j }m2−1 j=0 , {W (n) k } n−1 k=0 — периодические разбиения динамической системы (X, f) длин m1, m2 и n, соответственно. Пусть разбиения {W (n) k } и {W (m2) j } согласованы. Если согласованы разбиения {W (m1) i } и {W (m2) j }, то со- гласованы и разбиения {W (m1) i } и {W (n) k }. Лемма 1.3. Пусть d1 = d2. Пусть {W (m1) i }m1−1 i=0 и {W (n) k } n−1 k=0 — согласованные пери- одические разбиения динамической системы (X, f) длин m1, и n, соответственно. Тогда любое периодическое разбиение {W (m2) j }m2−1 j=0 дли- ны m2, согласованное с разбиением {W (m1) i }, согласовано также и с разбиением {W (n) k }. Лемма 1.4. Пусть D1 = D2. Пусть {W (m1) i }m1−1 i=0 и {W (n) k } n−1 k=0 согласованные периоди- ческие разбиения динамической системы (X, f) длин m1, и n, соответственно. О проекциях на одометры ... 345 Тогда найдется периодическое разбиение {W (m2) j }m2−1 j=0 длины m2, согласованное с каждым из разбиений {W (m1) i } и {W (n) k }. Доказательство леммы 1.2. Заменяя разбиение {W (m2) j } на эквивалентное, можно считать, что W (m2) 0 ∩ W (m1) 0 6= ∅ (см. замечание 1.6). Тогда W (m2) 0 ⊆ W (m1) 0 (см. следствие 1.6). Аналогично, заменяя разбиение {W (n) k } на эквивалент- ное, будем считать, что K = W (n) 0 ∩W (m2) 0 6= ∅. Из опре- деления 1.5 следует, что ⋃ t∈Z f t(K) = D2−1⋃ t=0 f t ( W (m2) 0 ∩W (n) 0 ) = X . С другой стороны, K = W (m2) 0 ∩W (n) 0 ⊆ W (m1) 0 ∩W (n) 0 , поэтому из следствия 1.4 следует, что разбиения W (m1) i и W (n) k согласованы. � Доказательство леммы 1.3. Так как d1 = d2 и d1 делит m1, то и d2 делит m1. Пользуясь тем, что замена периодического разбиения на эквивалентное не влияет на отношение согласованности (см. замечание 1.6), можно считать, что W (n) 0 ∩W (m2) 0 6= ∅ иW (m1) 0 ∩W (m2) 0 6= ∅. Так как разбиения {W (m1) i } и {W (m2) j } согласованы, то W (m2) 0 ⊆W (m1) 0 (см. следствие 1.6). Следо- вательно, W (n) 0 ∩W (m1) 0 6= ∅. Обозначим A = D2−1⋃ s=0 f s(W (m2) 0 ∩W (n) 0 ) . 346 Е.А.Полулях Учитывая следствие 1.3, для доказательства леммы нам достаточно проверить равенство A = X. Рассмотрим пару согласованных разбиений {W (m1) i } и {W (m2) j }. Из определения 1.5, леммы 1.1 и следствия 1.6 следует, что W (m1) 0 = W (m1) 0 ∩ m2−1⋃ s=0 f s ( W (m1) 0 ∩W (m2) 0 ) = = ⋃ s∈{0,...,m2−1} , s≡0 (mod m1) W (m2) s . Рассмотрим теперь периодические разбиения {W (n) k } и {W (m2) j }. Из леммы 1.1 получим W (n) 0 ∩A = W (n) 0 ∩ ⋃ r∈{0,...,m2−1} , r≡0 (mod d2) W (m2) r . Так как d2 делит m1, то сравнение r ≡ 0 (mod d2) есть следствием сравнения r ≡ 0 (mod m1) и W (m1) 0 = ⋃ r∈{0,...,m2−1} , r≡0 (mod m1) W (m2) r ⊆ ⋃ r∈{0,...,m2−1} , r≡0 (mod d2) W (m2) r . Следовательно, W (m1) 0 ∩W (n) 0 ⊆ W (n) 0 ∩ A ⊂ A. Но мно- жество A является инвариантным относительно действия гомеоморфизма f , поэтому A = D1−1⋃ s=0 f s(A) ⊇ D1−1⋃ s=0 f s ( W (m1) 0 ∩W (n) 0 ) = X . О проекциях на одометры ... 347 Последнее равенство справедливо, так как периодические разбиения {W (m1) i } и {W (n) k } согласованы. � Доказательство леммы 1.4. Учитывая замечание 1.6, можно считать, что W (n) 0 ∩W (m1) 0 6= ∅. Обозначим Vs = f s ( W (n) 0 ∩W (m1) 0 ) , s = 0, . . . , D1 − 1 . Так как периодические разбиения {W (n) k } и {W (m1) i } согла- сованы и D2 = D1 по условию леммы, то X = D1−1⋃ s=0 Vs = D2−1⋃ s=0 Vs и {Vs} D2−1 s=0 является периодическим разбиением динамиче- ской системы (X, f) длины D2. Обозначим W (m2) j = ⋃ s∈{0,...,D2−1} , s≡j (mod m2) Vs , j = 0, . . . , m2 − 1 . Получим периодическое разбиение {W (m2) j }m2−1 j=0 динамиче- ской системы (X, f) длины m2 (см. доказательство пред- ложения 1.1). Докажем теперь, что это периодическое разбиение со- гласовано с каждым из разбиений {W (m1) i } и {W (n) k }. Так как V0 = W (m1) 0 ∩W (n) 0 ⊆ W (m2) 0 по построению, то V0 = W (m1) 0 ∩W (n) 0 ⊆W (m2) 0 ∩W (n) 0 . Теперь из свойства (iv) определения 1.1 и из следствия 1.4 следует, что периоди- ческие разбиения {W (m2) i } и {W (n) k } согласованы. Аналогично, по построению V0 = W (m1) 0 ∩W (n) 0 ⊆ W (m1) 0 и V0 ⊆ W (m2) 0 . Следовательно, V0 ⊆ W (m1) 0 ∩ W (m2) 0 и из 348 Е.А.Полулях следствия 1.4 получим, что разбиения {W (m1) i } и {W (m2) j } согласованы. � Доказательство предложения 1.7. a) Пусть d1 k — наибольший общий делитель чисел nk и m1. Из условия 1) предложения следует, что nk+l делится на d1 k при всех l ∈ N. Поэтому d1 1 ≤ d1 2 ≤ . . . ≤ d1 k ≤ . . . . С другой стороны, d1 k ≤ m1 при k ∈ N. Следовательно, найдется l ∈ N, такое что d1 k = d1 l при k ≥ l. Пользуясь предложением 1.5, найдем периодическое разбиение {W (m1) i }m1−1 i=0 длины m1, согласованное с разби- ением {W (nl) sl }. Покажем, что для каждого k ∈ N это раз- биение согласовано с разбиением {W (nk) sk }. Пусть k > l. Тогда d1 k = d1 l . Из замечания 1.10 следует, что разбиения {W (nl) sl } и {W (nk) sk } согласованы. Применяя лемму 1.3 к периодическим разбиениям {W (m1) i }, {W (nl) sl } и {W (nk) sk }, заключаем, что разбиения {W (m1) i } и {W (nk) sk } согласованы. Пусть теперь k < l. Снова из замечания 1.10 получим, что разбиения {W (nl) sl } и {W (nk) sk } согласованы. Применяя теперь к периодическим разбиениям {W (nk) sk }, {W (nl) sl } и {W (m1) i } лемму 1.2, заключаем, что разбиения {W (m1) i } и {W (nk) sk } согласованы. b) Пусть d2 k — наибольший общий делитель чисел nk и m2. Повторяя рассуждения пункта a), заключаем, что найдется τ ∈ N, такое что d2 k = d2 τ при k ≥ τ . Для доказательства пункта b) нам теперь достаточно найти периодическое разбиение длины m2, согласованное О проекциях на одометры ... 349 одновременно с разбиениями {W (nτ ) sτ } и {W (m1) i }. Тогда по- вторяя рассуждения пункта a), мы докажем, что оно будет согласовано с каждым {W (nk) sk }, k ∈ N. Рассмотрим тройку чисел m1, m2, nτ ∈ P(X, f). Обозна- чим для удобства через dk и Dk наибольший общий дели- тель и наименьшее общее кратное чисел nτ и mk, k = 1, 2. Так как m1 делит m2 по условию предложения, то d1 делит d2 и D1 делит D2. Пусть m = m1 d1 · d2 . Ясно, что m1 делит m, так как число d2/d1 целое. С другой стороны, m2 m = m2 m1 · d1 d2 = ( m2nτ d2 )( m1nτ d1 )−1 = D2 D1 ∈ N , то есть m делит m2. Пусть d и D — наибольший общий делитель и наимень- шее общее кратное чисел m и nτ . Очевидно, d1 делит d и d делит d2. Так как число m1/d1 целое, то m делится на d2 и d2 является общим делителем чисел m и nτ . Следовательно, d2 = d. С другой стороны, D = mnτ d = m1d2 d1 · nτ d2 = m1nτ d1 = D1 . Из предложения 1.1 следует, что m ∈ P(X, f), так как m делит m2 и m2 ∈ P(X, f). Применяя к числам m1, m, nτ ∈ P(X, f) и согласован- ным периодическим разбиениям {W (m1) i } и {W (nτ ) sτ } лем- му 1.4, найдем периодическое разбиение {W (m) k } m−1 k=0 длины m, согласованное с каждым из этих разбиений. 350 Е.А.Полулях Используя предложение 1.5, найдем периодическое раз- биение {W (m2) j }m2−1 j=0 длины m2, согласованное с разбиени- ем {W (m) k }. Применяя лемму 1.3 к числам m, m2, nτ и периодическим разбиениям {W (m) k }, {W (m2) j }, {W (nτ ) sτ }, за- ключаем, что разбиения {W (m2) j } и {W (nτ ) sτ } согласованы. Согласно следствию 1.6 разбиение {W (m2) j } простран- ства X является измельчением разбиения {W (m) k }, значит оно тем более является измельчением разбиения {W (m1) i }. Снова применяя следствие 1.6, заключаем, что разбиения {W (m1) i } и {W (m2) j } согласованы. Предложение 1.7 полностью доказано. � Замечание 1.11. Пусть задана правильная последова- тельность {W (ni) si } ni−1 si=0 периодических разбиений и ⋂ i∈N W (ni) ri 6= ∅ для некоторой последовательности {ri}i∈N. Тогда из след- ствия 1.6 получим W (n1) r1 ⊇W (n2) r2 ⊇ . . .W (ni) ri ⊇ . . . . Далее, если K ⊆ X — замкнутое подмножество ком- пакта X, такое что K ∩W (ni) ri 6= ∅ для каждого i ∈ N, то последовательность вложенных компактов ( K ∩W (n1) r1 ) ⊇ . . . ⊇ ( K ∩W (ni) ri ) ⊇ . . . имеет непустое пересечение, иными словами, K ∩ ( ⋂ i∈N W (ni) ri ) 6= ∅ . О проекциях на одометры ... 351 Определение 1.7. Назовем правильные последователь- ности периодических разбиений {W (ni) si } ni−1 si=0 , i ∈ N, и {W (mj) τj } mj−1 τj=0 , j ∈ N, динамической системы (X, f) со- гласованными, если согласованы при всех i, j ∈ N перио- дические разбиения {W (ni) si } и {W (mj) τj }. Непосредственно из предложения 1.7 следует Предложение 1.8. Пусть {W (ni) si } ni−1 si=0 , i ∈ N, — правиль- ная последовательность периодических разбиений дина- мической системы (X, f). Пусть mj ∈ P(X, f), j ∈ N, и mj делит mj+1 для каж- дого j ∈ N. Тогда найдется правильная последовательность {W (mj) τj } mj−1 τj=0 , j ∈ N, периодических разбиений динамиче- ской системы (X, f), согласованная с последовательно- стью {W (ni) si }, i ∈ N. Замечание 1.12. Из следствия 1.1 немедленно следует, что если динамическая система (X, f) неразложима, то любые две правильные последовательности периодических разбиений этой динамической системы согласованы. Замечание 1.13. Пусть задана последовательность чи- сел {ni ∈ P(X, f)}i∈N, удовлетворяющая условию 1) опре- деления 1.6. Если динамическая система (X, f) не является нераз- ложимой, то найдутся два несогласованных периодиче- ских разбиения W (n1) и W̃ (n1) этой динамической систе- мы (см. предложение 1.3 и замечание 1.5). Очевидно, правильные последовательности периодиче- ских разбиений {W (ni)}i∈N и {W̃ (ni)}i∈N, построенные при 352 Е.А.Полулях помощи индуктивного применения предложения 1.5, ис- ходя из разбиений W (n1) и W̃ (n1), соответственно, не бу- дут согласованы. 1.4. Периодические разбиения и возвращаемость траекторий динамической системы. Пусть (X, f) — некоторая динамическая система. Лемма 1.5. Пусть для некоторой рекуррентной точки x ∈ X найдется замкнутая окрестность U , обладающая следующим свойством: существует n ∈ N, для которого ⋃ k∈Z fkn(x) ⊂ U . Пусть (1.5) m = min{n ∈ N \| fnk(x) ∈ U ∀k ∈ Z} . Тогда динамическая система (Orbf (x), f) обладает та- ким периодическим разбиением {Wi} m−1 i=0 длины m, что x ∈W0 ⊆ U . Доказательство . По теореме Биркгофа Orbf(x) явля- ется минимальным множеством д. с. (X, f). В частности, пространство Orbf(x) компактно. Будем считать, что гомеоморфизм f задан на простран- стве Orbf(x) с индуцированной с X топологией и все мно- жества, которые возникнут в доказательстве, будем рас- сматривать именно в этой топологии. Обозначим W = ⋃ k∈Z fmk(x) , W̃ = IntW . Рассмотрим два набора множеств W0 = W , Wi = f i(W ) = f(Wi−1) , i = 1, . . . , m− 1 ; W̃i = IntWi , i = 0, . . . , m− 1 . О проекциях на одометры ... 353 Ясно, что для набора множеств {Wi} выполняются свой- ства (ii) и (iv) определения 1.1. Все множества Wi замкну- ты, поэтому свойство (i) есть непосредственное следствие свойств (ii) и (iii). Итак, для того, чтобы доказать лемму, достаточно про- верить условие (iii) определения 1.1. Сначала покажем, что W̃i 6= ∅, i = 0, 1, . . . , m − 1. Дей- ствительно, по теореме Бэра о категориях1 из (iv) следует, что по крайней мере одно из множеств {Wi} не являет- ся множеством I-й категории (и имеет непустую внутрен- ность в Orbf(x)). Так как f — гомеоморфизм, то все Wi имеют непустую внутренность, то есть W̃i 6= ∅. Теперь проверим соотношение W̃i ∩ W̃j = ∅, i 6= j. Предположим, что это не так. Пусть V = W̃i ∩ W̃j 6= ∅ и, для определенности, i < j. Так как по построению множество ⋃ k∈Z fkm+i(x) плотно в W̃i, то fms+i(x) ∈ V для некоторого s ∈ Z. fms+i(x) ∈ V ⊆ W̃j ⊆Wj = ⋃ k∈Z fkm+j(x) , поэтому найдется последовательность {lr}r∈N целых чисел, для которой fmlr+j(x) → fms+i(x) при r → ∞. Из этого следует, что для каждого k ∈ Z fm(lr−s+k)+(j−i)(x)→ fkm(x) . То есть ⋃ k∈Z fkm(x) ⊆ ⋃ k∈Z fkm+(j−i)(x) = Wj−i . 1Теорема Бэра о категориях применима в пространствах, полных по Чеху, а как известно, любой компакт является пространством, полным по Чеху (см. [1]) 354 Е.А.Полулях Переходя к замыканиям, получим W0 ⊆ Wj−i. Меняя ро- лями i и j, получим обратное включение. Следовательно, W0 = Wj−i. Заметим, что f (j−i)k(x) ∈ f (j−i)k(W0) = f (j−i)(k−1) ◦ f j−i(W0) = = f (j−i)(k−1)(W0) = . . . = W0 ⊆ U при k ≥ 0 и f−\|k\|(j−i)(x) ∈ f−\|k\|(j−i)(W0) = f−\|k\|(j−i)(Wj−i) = = f (−\|k\|+1)(j−i) ◦ f−(j−i)(Wj−i) = = f (−\|k\|+1)(j−i)(W0) = . . . = W0 ⊆ U при k < 0 (напомним, что множество U замкнуто по усло- вию леммы). То есть fk(j−i)(x) ∈ U для всех k ∈ Z. Так как по предположению 0 < j − i < m, то мы полу- чили противоречие с выбором m (см. соотношение (1.5)). Следовательно, W̃i ∩ W̃j = ∅ при i 6= j. Проверим теперь равенства W̃i = Wi, i = 0, 1, . . . , m− 1. Легко видеть, что W̃i = IntWi = Int(f(Wi−1)) = f(Int(Wi−1)) = f(W̃i−1) , i = 1, . . . , m− 1 , и W̃0 = f(W̃m−1), так как f — гомеоморфизм. Обозначим Q = m−1⋃ i=0 W̃i = m−1⋃ i=0 f i(W̃0) . Q — открытое инвариантное подмножество динамической системы (Orbf (x), f). Пусть K = Orbf(x) \Q. Очевидно, K — замкнутое инвариантное подмножество названной дина- мической системы. О проекциях на одометры ... 355 Множество Orbf(x) минимально, поэтому либо K = ∅, либо K = Orb f(x). Мы уже доказали, что Q 6= ∅, следо- вательно K = ∅ и Orbf (x) = m−1⋃ i=0 W̃i . Так как множества из набора {W̃i} попарно не пересе- каются, то все они открыто-замкнутые и W̃i = Wi, i = 0, 1, . . . , m− 1. По доказанному выше из этого немедленно следует условие (iii) определения 1.1. Лемма полностью доказана. � 2. Супернатуральные числа и подмножества множества натуральных чисел. 2.1. Супернатуральные числа. Определение 2.1. Пусть S ⊂ N — множество всех про- стых чисел, упорядоченных по возрастанию. Последова- тельность N = (N2, N3, . . . , Np, . . .) , Np ∈ Z+ ∪ {∞} , p ∈ S , называется супернатуральным числом. Множество всех супернатуральных чисел мы будем обо- значать через Σ. Введем на множестве Σ отношение частичного порядка. Скажем, что M ≤ N , M,N ∈ Σ , если Mp ≤ Np для каждого p ∈ S (будем считать, что k ≤ ∞ для любого k ∈ Z+). Элементарная непосредственная проверка показывает, что это определение корректно. 356 Е.А.Полулях Зададим на множестве Σ бинарную операцию. Для M = (Mp) и N = (Np) положим M ·N = K = (Kp) ; Kp = { Mp +Np , если Mp 6=∞ и Np 6=∞ , ∞ , в противном случае . } , p ∈ S . Тривиально проверяется, что (Σ, ·) полугруппа с единицей E = (Ep = 0). Замечание 2.1. Простая непосредственная проверка по- казывает, что уравнение M · X = N имеет решение в (Σ, ·) тогда и только тогда, когда M ≤ N . Однако решение такого уравнения может быть и не единственным. Пример 2.1. Пусть M = N = (Np), Np = { ∞ , при p = 2 , 0 , при p 6= 2 . Тогда X(n) = (X (n) p ), X(n) p = { n , при p = 2 , 0 , при p 6= 2 . является решением уравнения M ·X = N при любом n ∈ Z+ ∪ {∞}. Так же, как и в полугруппе (N, ·), для любых двух M , N ∈ Σ определены их наибольший общий делитель и наи- меньшее общее кратное. Легко видеть, что НОД(M,N) = (dp) , dp = min(Mp, Np) , p ∈ S ,(2.1) НОК(M,N) = (Dp) , Dp = max(Mp, Np) , p ∈ S .(2.2) Здесь мы пользуемся следующими соглашениями: max(a,∞) =∞ , min(a,∞) = a , a ∈ Z+ ∪ {∞} . О проекциях на одометры ... 357 Определим мономорфизм Φ0 : (N, ·)→ (Σ, ·). Пусть n ∈ N. Рассмотрим разложение n = pα1 1 . . . pαk k числа n на простые множители (мы предполагаем, что pi 6= pj при i 6= j). Положим Φ0(n) = (Φ0(n)p), Φ0(n)p = { αi , если p = pi ∈ {p1, . . . , pk} , 0 , в противном случае . Замечание 2.2. Отметим, что для всех m, n ∈ N Φ0(НОД(m,n)) = НОД(Φ0(m),Φ0(n)) , Φ0(НОК(m,n)) = НОК(Φ0(m),Φ0(n)) . 2.2. Допустимые подмножества множества нату- ральных чисел. Пусть A ⊆ N. Для каждого p ∈ S пусть Φ(A)p = sup{k ∈ Z+ \| ∃a ∈ A : pk делит a} = sup a∈A Φ0(a)p . Обозначим через Φ отображение Φ : A 7→ Φ(A) = (Φ(A)p) из класса всех непустых подмножеств множества N нату- ральных чисел в множество Σ супернатуральных чисел. Замечание 2.3. Легко проверяется, что определенное выше отношение порядка на множестве Σ превращает отображение Φ в изотонное, то есть для любых A,B ⊆ N из A ⊆ B следует Φ(A) ≤ Φ(B). Пример 2.2. Пусть A = {a} — одноэлементное множе- ство. Из определения легко следует, что Φ({a}) = Φ0(a). Пример 2.3. Пусть A = {a1, . . . , aj} — конечное подмно- жество N. Рассмотрим разложения чисел a1, . . . , aj на 358 Е.А.Полулях простые множители ai = ∏ p∈S pnp(i) , i = 1, . . . , j (здесь np(i) ∈ Z+, p ∈ S, i = 1, . . . , j). По определению Φ(A)p = max{np(1), . . . , np(j)} , p ∈ S , то есть Φ({a1, . . . , aj}) = Φ({D}), где D ∈ N — наимень- шее общее кратное чисел a1, . . . , aj. Замечание 2.4. Пусть A ⊆ N. Непосредственно из опре- деления следует, что Φ({a}) ≤ Φ(A) для каждого a ∈ A. Замечание 2.5. Из соотношений (2.1) и (2.2) следует, что для любых непустых A, B ⊆ N Φ(A ∪B) = НОК(Φ(A),Φ(B)) . Кроме того, если A ∩B 6= ∅, то Φ(A ∩ B) ≤ НОД(Φ(A),Φ(B)) . Определение 2.2. Непустое подмножество A ⊆ N на- зовем допустимым, если оно удовлетворяет следующим условиям: (i) если a ∈ A и d ∈ N делит a, то d ∈ A; (ii) для любых a, b ∈ A их наименьшее общее кратное D также лежит в A. Обозначим набор всех допустимых множеств через R. Замечание 2.6. Из предложений 1.1 и 1.2 следует, что множество P(X, f) допустимо для любой динамической системы (X, f). Лемма 2.1. Пусть A ∈ R. Тогда A = {a ∈ N \| Φ({a}) ≤ Φ(A)} = {a ∈ N \| Φ0(a) ≤ Φ(A)} . О проекциях на одометры ... 359 Доказательство. Пусть a ∈ N и Φ({a}) ≤ Φ(A). Пусть a = pn1 1 . . . pnk k — разложение числа a на простые множители. По опреде- лению соответствия Φ найдутся такие b1, . . . , bk ∈ A, что pni i делит bi, i = 1, . . . , k. Пусть b — наименьшее общее кратное чисел b1, . . . , bk. Тогда a делит b. Но b ∈ A по опре- делению допустимого множества. Следовательно, и a ∈ A. То есть A ⊇ {a ∈ N \| Φ({a}) ≤ Φ(A)} . Обратное включение A ⊆ {a ∈ N \| Φ({a}) ≤ Φ(A)} следует из замечания 2.4. � Непосредственным следствием леммы 2.1 является сле- дующее Предложение 2.1. Отображение Φ\|R : R→ Σ биектив- но. Замечание 2.7. Пусть A,B ∈ R. Очевидно, 1 ∈ A ∩B 6= ∅. Из леммы 2.1 немедленно следует соотношение Φ(A ∩ B) = НОД(Φ(A),Φ(B)) . Определение 2.3. Пусть A ⊆ N. Назовем последова- тельность {ai ∈ A}i∈N правильной, если ai делит ai+1 для каждого i ∈ N. Замечание 2.8. Из замечания 2.3 следует, что для лю- бого A ⊆ N и любой правильной последовательности {ai ∈ A}i∈N Φ({ai \| i ∈ N}) ≤ Φ(A) . 360 Е.А.Полулях Предложение 2.2. Пусть A ∈ R. Тогда найдется пра- вильная последовательность {bi ∈ A}i∈N, такая что Φ({bi \| i ∈ N}) = Φ(A). Доказательство. Так как A ⊆ N — не более чем счетное множество, можно занумеровать все элементы множества A при помощи натуральных чисел. Пусть b1 = a1, bi — наименьшее общее кратное чисел ai и bi−1 при i > 1. Ясно, что Φ({bi}) ≥ Φ({a1, . . . , ai}) , i ∈ N , поэтому Φ({bi \| i ∈ N}) ≥ Φ({ai \| i ∈ N}) = Φ(A) . С другой стороны, bi ∈ A, i ∈ N, так как множество A допустимое. Следовательно, {bi}i∈N ⊆ A и Φ({bi \| i ∈ N}) ≤ Φ(A) . Для завершения доказательства остается заметить, что по построению bi делит bi+1, i ∈ N, следовательно после- довательность {bi}i∈N правильная. � Предложение 2.3. Пусть A ⊆ N. Пусть заданы две пра- вильные последовательности {ai ∈ A}i∈N и {bj ∈ A}j∈N. Следующие условия эквивалентны: 1) Φ({ai \| i ∈ N}) ≤ Φ({bj \| j ∈ N}); 2) для каждого i ∈ N найдется j ∈ N, такое что ai делит bj. Доказательство . 1) Пусть Φ({ai \| i ∈ N}) ≤ Φ({bj \| j ∈ N}). Рассмотрим разложение a = ai = pα1 1 . . . pαk k числа ai на простые множители. О проекциях на одометры ... 361 Из примера 2.2 и замечания 2.4 следует, что для m = 1, . . . , k αm = Φ({a})pm ≤ Φ({ai \| i ∈ N})pm ≤ Φ({bj \| j ∈ N})pm . Поэтому, для каждого pm, m = 1, . . . , k, найдется jm ∈ N, такое что pαm m делит bjm. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что j1 ≤ j2 ≤ . . . ≤ jk . Последовательность {bj} правильная, поэтому bjm де- лит bjk , m = 1, . . . , k. Следовательно, pαm m делит bjk , m = 1, . . . , k. Числа p1, . . . , pk по построению взаимно простые, поэто- му их произведение pα1 1 . . . pαk k = a делит bjk . 2) Предположим, что выполняется условие 2) предло- жения 2.3. Пусть для некоторого p ∈ S выполняется неравенство Φ({ai \| i ∈ N})p Φ({bj \| j ∈ N})p . Тогда n = Φ({bj \| j ∈ N})p <∞ и по определению отобра- жения Φ для каждого j ∈ N bj = pnj b̃j , nj ≤ n , НОД(p, b̃j) = 1 . С другой стороны, Φ({ai \| i ∈ N})p ≥ n+1, следователь- но найдется i0 ∈ N, такое что pn+1 делит ai0 . Воспользуем- ся теперь условием 2) предложения 2.3 и найдем j0 ∈ N, такое что ai0 делит bj0. Тем более, pn+1 делит bj0 . Однако, по построению НОД(pn+1, bj0) = pnj0 ≤ pn. Полученное противоречие свидетельствует о том, что Φ({ai \| i ∈ N})p ≤ Φ({bj \| j ∈ N})p , p ∈ S , то есть справедливо условие 1) предложения 2.3. � 362 Е.А.Полулях Следствие 2.1. Пусть A ⊆ N. Пусть {ai ∈ A}i∈N — правильная последовательность. Для любой подпоследовательности {bj}j∈N последова- тельности {ai}i∈N имеет место равенство Φ({ai \| i ∈ N}) = Φ({bj \| j ∈ N}) . 3. Расширения одометров и периодические разбиения. 3.1. Определение одометра. Пусть {ni ∈ N}i∈N — пра- вильная последовательность, которая неограничено воз- растает. Рассмотрим последовательность конечных циклических групп Zni = Z/niZ и групповых гомоморфизмов ϕi : Zni+1 → Zni , ϕi : 1 7→ 1 . Возьмем обратный предел A = lim inv i→∞ Zni этой последова- тельности групп и гомоморфизмов. Получим абелеву груп- пу (A,+). Наделим каждое множество Zni = {0, 1, . . . , ni − 1} дис- кретной топологией. Каждое из отображений ϕi является непрерывным в этой топологии. Пространство A с тополо- гией T обратного предела гомеоморфно множеству Канто- ра Γ. Легко видеть, что в группе (A,+) операции сложения и перехода к противоположному элементу непрерывны в топологии T, таким образом A превращается в топологи- ческую группу. Замечание 3.1. Напомним, что обратный предел A = lim inv i→∞ Zni можно представлять себе как подмножество (3.1) A = {~a = (ai ∈ Zni ) \| ϕi(ai+1) = ai , i ∈ N} О проекциях на одометры ... 363 прямого произведения (3.2) ∏ i∈N Zni . В такой записи операция сложения в A определяется покомпонентно, то есть ~a +~b = (ai + bi) для любых ~a = (ai), ~b = (bi) ∈ A. Как известно, топология прямого произведения (3.2) за- дается при помощи базы, состоящей из так называемых цилиндрических множеств U(xi1 , . . . , xik) = {(ai) \| ais = xis , s = 1, . . . , k} ; xis ∈ Znis , i1 < . . . < ik , k ∈ N . Из определения множества A (см. соотношение (3.1)) легко видеть, что U(xi1 , . . . , xik) ∩ A = U(xik) ∩ A для любых k ∈ N, i1 < . . . < ik и xis ∈ Znis . Итак, набор множеств (3.3) Vxj = U(xj) ∩A = {(ai) ∈ A \| aj = xj} = = { (ai) ∈ A ∣∣∣∣ aj = xj , ak = ϕk ◦ . . . ◦ ϕj−1(xj) при k < j } ; j ∈ N , xj ∈ Znj является базой топологии пространства A. Естестенная метрика d : A × A → R+ на A, ассоци- ированная с последовательностью {ni}, определяется сле- дующим образом: d(~x, ~y) = n−1 m , где m = min{i ∈ N \| xk = yk при k < i и xi 6= yi}. Коррект- ность этого определения проверяется непосредственно. 364 Е.А.Полулях Рассмотрим элемент ~e = (1) = (1, . . . , 1, . . .) ∈ A. Этот элемент называется генератором группы A и обладает тем свойством, что порожденная им циклическая подгруппа 〈~e〉 плотна в A в топологии T. Отображение сдвига на элемент ~e g : A→ A , g : ~x 7→ ~x+ ~e очевидно, является гомеоморфизмом. Определение 3.1. Динамическая система (A, g) называ- ется одометром. Замечание 3.2. Из того, что подгруппа 〈~e〉 плотна в A, немедленно следует, что каждая траектория д. с. (A, g) плотна в A, то есть одометр всегда является минималь- ной динамической системой. Лемма 3.1. Для любых k ∈ N и xk ∈ Znk набор мно- жеств {W (nk) j = Vxk+j}j=0,...,ni−1 является периодическим разбиением динамической системы (A, g) длины nk. Доказательство. Очевидно, A = ⋃ s∈Znk Vs = ⋃ j∈Znk Vxk+j . Следовательно, для набора {W (nk) j } выполнено условие (iv) определения 1.1. Так как все множества Vxk+j, j ∈ Znk , открыты по опре- делению и попарно не пересекаются, то набор {W (nk) j } удо- влетворяет также свойствам (i) и (iii) периодического раз- биения. Для завершения доказательства нам достаточно прове- рить, что g(Vak ) = Vak+1 (1 ∈ Znk ) для каждого ak ∈ Znk . О проекциях на одометры ... 365 Пусть ~b = (bi) ∈ Vak . Тогда bk = ak и g(~b) = ~b + ~e = (bi + 1) ∈ Vak+1. Следовательно, g(Vak ) ⊆ Vak+1. Обратно, пусть ~c = (ci) ∈ Vak+1. Тогда ck = ak + 1 и g−1(~c) = ~c − ~e = (ci − 1) ∈ Vak . Следовательно, g(Vak ) ⊇ Vak+1. � Замечание 3.3. Из соотношения (3.3) немедленно сле- дует, что d(~x, ~y) = d(g(~x), g(~y)) для всех ~x, ~y ∈ A. 3.2. Правильные последовательности периодичес- ких разбиений и ассоциированные с ними разби- ения фазового пространства динамической систе- мы. Пусть (X, f) — динамическая система с компактным фазовым пространством, {ni ∈ P(X, f)}i∈N — неограни- ченная правильная последовательность. Пусть {W (ni)} — правильная последовательность периодических разбиений динамической системы (X, f). Пусть x ∈ X. Заметим, что в силу свойств периодиче- ских разбиений для каждого i ∈ N существует единствен- ное αi(x) ∈ Zni , такое что x ∈ W (ni) αi(x) , то есть корректно определено отображение F : X → ∏ i∈N Zni , F : x 7→ (αi(x)) , x ∈ X . Каждому x ∈ X сопоставим подмножество H(x) = ⋂ i∈N W (ni) αi(x) ∋ x пространства X. Из определений 1.1, 1.6 и следствия 1.6 следует, что 366 Е.А.Полулях 1) все H(x) — непустые замкнутые множества; 2) H(x) = H(y), если F (x) = F (y), H(x) ∩ H(y) = ∅, если F (x) 6= F (y); 3) F (f±1(x)) = F (x) ± ~e для всех x ∈ X (напомним, что ~e = (1, 1, . . . , 1, . . .) ∈ A). Для каждого ~a = (ai) ∈ F (X) фиксируем x ∈ F−1(~a) и обозначим H~a = H(x). Из 2) следует, что множество H~a не зависит от выбора x ∈ F−1(~a). Из 1) и 2) следует, что набор множеств H = {H~a}~a∈F (X) = zer(F ) представляет собой разбиение пространства X, эле- ментами которого являются полные прообразы точек про- странства F (X), и коммутативна диаграмма X F −−−→ F (X) pr y ∥∥∥ X/ zer(F ) X/H factF −−−→ F (X) Предложение 3.1. Отображение F непрерывно. Доказательство. Рассмотрим предбазу топологии Uxj = {~a = (ai) ∈ ∏ i∈N Zni \| aj = xj} , xj ∈ Znj , j ∈ N , пространства ∏ i∈N Zni . Простая непосредственная проверка показывает, что F−1(Uxj ) = W (nj) xj , xj ∈ Znj , j ∈ N . Для завершения доказательства теперь остается вспом- нить, что все множества W (nj) xj открыты в X по опреде- лению. � Так как X — компакт, factF — непререывное взаимно– однозначное отображение X/H на F (X) и пространство F (X) хаусдорфово, то factF — гомеоморфизм (см. [1]). О проекциях на одометры ... 367 Для каждого ~a ∈ F (X) из 2) и 3) легко получается ра- венство f(F−1(~a)) = F−1(~a + ~e). Таким образом, если мы обозначим g : F (X)→ F (X) , g : ~a 7→ ~a+ ~e ; f = fact f : X/H→ X/H , f : H~a 7→ H~a+~e ; то получим коммутативную диаграмму (3.4) (X, f) F −−−→ (F (X), g) pr y ∥∥∥ (X/H, f) factF −−−→ (F (X), g) Зададимся теперь вопросом: что из себя представляет множество F (X)? Фиксируем x ∈ X и рассмотрим множество F (Orbf (x)) = {F (x) + n~e \| n ∈ Z} = F (x) + 〈~e〉 . Ясно, что F (x) + 〈~e〉 ⊆ F (Orbf(x)) ⊆ F (x) + 〈~e〉 = F (x) + 〈~e〉 = F (x) + A (A — адическая группа, построенная по последовательности {ni}, см. выше). Так как Orbf (x) — компакт, то множество F (Orbf(x)) замкнуто в ∏ i∈N Zni . Множество F (x)+〈~e〉 плотно в F (x)+ A, поэтому F (Orbf(x)) = F (x) + A. Пусть теперь y — другая точка пространства X. Orbf(x) — замкнутое инвариантное подмножество динамической системы (X, f). Следовательно (см. замечание1.3), W (ni) si ∩ Orbf(x) 6= ∅ для всех i ∈ N, si ∈ Zni . Пусть F (y) = (βi). Из замечания 1.11 следует, что мно- жество H(βi) ∩Orbf (x) не пусто и F (y) = F (H(βi)) ∈ F (Orbf (x)) = F (x) + A . 368 Е.А.Полулях В результате получим F (X) = F (x) + A , то есть F (X) — смежный класс группы ∏ i∈N Zni по под- группе A. Замечание 3.4. Очевидно, F (X) = A тогда и только тогда, когда (3.5) ⋂ i∈N W (ni) 0 6= ∅ . Определение 3.2. Правильная последовательность {W (ni)}i∈N периодических разбиений динамической систе- мы (X, f) называется когерентной, если она удовлетво- ряет соотношению (3.5). Из предложения 1.6, замечания 1.5 и конструкции, при- веденной выше, следует Предложение 3.2. Пусть (X, f) — динамическая систе- ма, фазовое пространство которой хаусдорфово и ком- пактно. Для любой неограниченной правильной последователь- ности {ni ∈ P(X, f)}i∈N существует проекция π : (X, f) → (A, g) на одометр (A, g), построенный по последовательности {ni}i∈N. Пусть теперь {ni ∈ P(X, f)}i∈N — правильная последо- вательность и пусть {W (ni)} и {W̃ (ni)} — две согласован- ные правильные последовательности периодических раз- биений динамической системы (X, f). Тогда (см. замеча- ние 1.5 и определение 1.3) периодические разбиения W (ni) и W̃ (ni) эквивалентны для каждого i ∈ N. Из этого немед- ленно заключаем, что H = H({W (ni)}i∈N) = H({W̃ (ni)}i∈N) = H̃ . О проекциях на одометры ... 369 Предложение 3.3. Пусть задана правильная последова- тельность {W (ni)}i∈N периодических разбиений динами- ческой системы (X, f). Набор множеств {pr(W (ni) si ) \| i ∈ N , si ∈ Zni } удовле- творяет следующим свойствам: 1) это правильная последовательность периодичес- ких разбиений динамической системы (X/H, f); 2) это база топологии пространства X/H. Доказательство . Из сказанного выше немедленно сле- дует, что последовательность {W (ni)} можно считать ко- герентной. Теперь предложение следует из соотношений W (ni) si = F−1(Vsi ) , si ∈ Zni , i ∈ N (см. формулу (3.3), лемму 3.1 и следствие 1.6) и коммута- тивной диаграммы (3.4), нижняя стрелка которой являет- ся гомеоморфизмом. � Предложение 3.4. Пусть {ni ∈ P(X, f)}i∈N и {mj ∈ P(X, f)}j∈N — две правильные последовательности, та- кие что Φ({ni \| i ∈ N}) ≤ Φ({mj \| j ∈ N}). Пусть {W (ni)}i∈N и {W̃ (mj)}j∈N — согласованные пра- вильные последовательности периодических разбиений динамической системы (X, f). Тогда разбиение H̃ пространства X, индуцированое по- следовательностью {W̃ (mj)}, является измельчением раз- биения H, индуцированого последовательностью {W (ni)}. Доказательство . Фиксируем точку x ∈ X. Найдутся такие (αi) ∈ ∏ i∈N Zni и (βj) ∈ ∏ j∈N Zmj , что x ∈ ⋂ i∈N W (ni) αi ∩ ⋂ j∈N W̃ (mj) βj . 370 Е.А.Полулях Согласно предложению 2.3 для каждого i ∈ N найдется k(i) ∈ N, такое что ni делит mk(i). Так как периодиче- ские разбиения W (ni) и W̃ (mk(i)) согласованы, то по след- ствию 1.6 второе из них является измельчением первого. Итак, W̃ (mk(i)) βk(i) ⊆W (ni) αi для каждого i ∈ N. Следователь- но, H(αi) = ⋂ i∈N W (ni) αi ⊇ ⋂ i∈N W̃ (mk(i)) βk(i) ⊇ ⋂ j∈N W̃ (mj) βj = H̃(βj) . В силу произвола в выборе x ∈ X из сказанного заклю- чаем, что для произвольных (αi) ∈ F (X) и (βj) ∈ F̃ (X) либо H(αi) ∩ H̃(βj) = ∅, либо H(αi) ⊇ H̃(βj). � Следствие 3.1. Если в условиях предложения 3.3 имеет место равенство Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ({mj \| j ∈ N}), то разбиения H и H̃ пространства X совпадают. Предложение 3.5. Пусть {ni ∈ P(X, f)}i∈N и {mj ∈ P(X, f)}j∈N — две правильные последовательности. Пусть {W (ni)}i∈N и {W̃ (mj)}j∈N — правильные последо- вательности периодических разбиений динамической си- стемы (X, f), H и H̃ — разбиения пространства X, инду- цированные этими последовательностями. Пусть последовательности {W (ni)} и {W̃ (mj)} не явля- ются согласованными. Тогда H(x) \ H̃(x) 6= ∅ и H̃(x) \H(x) 6= ∅ для каждого x ∈ X. Доказательство . Пусть x ∈ X. Найдутся такие (αi) ∈∏ i∈N Zni и (βj) ∈ ∏ j∈N Zmj , что H(x) = H(αi) = ⋂ i∈N W (ni) αi , H̃(x) = H̃(βj) = ⋂ j∈N W̃ (mj) βj . О проекциях на одометры ... 371 По определению H(x) ∩ H̃(x) 6= ∅. Согласно условию предложения существуют такие k, l ∈ N, что периодические разбиения W (nk) и W̃ (ml) не согласо- ваны, то есть x ∈ Ak,l = ⋃ t∈Z f t ( W (nk) αk ∩ W̃ (ml) βl ) 6= X . Итак, пространство X распадается в объединение двух непересекающихся замкнутых инвариантных множеств Ak,l и Bk,l = X \ Ak,l динамической системы (X, f) (см. предложение 1.4). Очевидно, H(x) ∩ H̃(x) ⊆ W (nk) αk ∩ W̃ (ml) βl ⊆ Ak,l. Однако, H(x) \ H̃(x) ⊇ H(x) ∩Bk,l = ⋂ i∈N ( W (ni) αi ∩ Bk,l ) 6= ∅ (см. замечания 1.3 и 1.11). Аналогично, H̃(x) \H(x) 6= ∅. � Предложение 3.6. Пусть {ni ∈ P(X, f)}i∈N и {mj ∈ P(X, f)}j∈N — две правильные последовательности. Пусть {W (ni)}i∈N и {W̃ (mj)}j∈N — правильные последо- вательности периодических разбиений динамической си- стемы (X, f), H и H̃ — разбиения пространства X, инду- цированные этими последовательностями. Если найдется x ∈ X, такое что H(x) = ⋂ i∈N W (ni) αi(x) ⊇ ⋂ j∈N W̃ (mj) α̃j(x) = H̃(x) , то разбиение H̃ является измельчением разбиения H, по- следовательности {W (ni)} и {W̃ (mj)} согласованы и Φ({ni \| i ∈ N}) ≤ Φ({mj \| j ∈ N}). 372 Е.А.Полулях Следствие 3.2. Пусть {W (ni)}i∈N и {W̃ (mj)}j∈N — пра- вильные последовательности периодических разбиений динамической системы (X, f), H и H̃ — разбиения про- странства X, индуцированные этими последовательно- стями. Следующие утверждения эквивалентны: 1) разбиение H̃ является измельчением разбиения H (соответственно, H = H̃), 2) Φ({ni \| i ∈ N}) ≤ Φ({mj \| j ∈ N}) (соответствен- но, Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ({mj \| j ∈ N})) и последова- тельности {W (ni)} и {W̃ (mj)} согласованы. Для доказательства предложения 3.6 нам понадобится следующая почти очевидная Лемма 3.2. Пусть X — хаусдорфово пространство, K1 ⊇ K2 ⊇ . . . ⊇ Ki ⊇ . . . — некоторая последовательность его непустых компакт- ных подмножеств. Для любой открытой окрестности U множества K = ⋂ i∈N Ki найдется n ∈ N, такое что Ki ⊆ U при i ≥ n. Доказательство . Предположим, найдется окрестность U ⊇ K и последовательность {xi ∈ Ki \ U}i∈N. Так как по построению xi ∈ K1, i ∈ N, и K1 — компакт, то эта последовательность имеет хотя-бы одну предельную точку x ∈ K1 \ U ⊆ X \ U . Для каждого m ∈ N из условия леммы xi ∈ Ki ⊆ Km, i ≥ m. Следовательно, x ∈ Km, m ∈ N и x ∈ K \ U . О проекциях на одометры ... 373 Полученное противоречие завершает доказательство. � Доказательство предложения 3.6. 1. Докажем, что для каждого i ∈ N найдется j(i) ∈ N, удовлетворяющее следующим свойствам: — ni делит mj(i); — периодическое разбиение W̃ (mj(i)) является измель- чением разбиения W (ni). Фиксируем i ∈ N. Очевидно, что открытая окрестность W (ni) αi(x) множества H̃(x) ⊆ H(x) ⊆ W (ni) αi(x) и последователь- ность замкнутых множеств W̃ (m1) α̃1(x) ⊇ W̃ (m2) α̃2(x) ⊇ . . . ⊇ W̃ (mj) α̃j(x) ⊇ . . . удовлетворяют условию леммы 3.2. Следовательно, най- дется j(i) ∈ N, для которого W̃ (mj(i)) α̃j(i)(x) ⊆W (ni) αi(x) . Из следствия 1.5 заключаем, что периодические разби- ения W (ni) и W̃ (mj(i)) согласованы и ni делит mj(i). Теперь из следствия 1.6 вытекает, что разбиение W̃ (mj(i)) является измельчением разбиения W (ni). 2. Проверим, что H(y) ⊇ H̃(y) для каждого y ∈ X, то есть разбиение H̃ является измельчением разбиения H. Действительно, из сказанного выше следует, что H̃(y) = ⋂ j∈N W̃ (mj) α̃j(y) ⊆ ⋂ i∈N W̃ (mj(i)) α̃j(i)(y) ⊆ ⋂ i∈N W (ni) αi(y) = H(y) для каждого y ∈ X. 3. Из предыдущего пункта и предложения 3.5 следует, что последовательности периодических разбиений {W (ni)}i∈N и {W̃ (mj)}j∈N согласованы. 4. Из пункта 1 и предложения 2.3 заключаем, что Φ({ni \| i ∈ N}) ≤ Φ({mj \| j ∈ N}). � 374 Е.А.Полулях 3.3. Основные свойства одометров. Покажем теперь на примере одометров, как работают утверждения, дока- занные выше. Предложение 3.7. Пусть (X, f) и (Y, g) — динамические системы, p : (X, f)→ (Y, g) — проекция. Если n ∈ P(Y, h) и W (n) = {W (n) i }i∈Zn — периодическое разбиение динами- ческой системы (Y, g), то n ∈ P(X, f) и W̃ (n) = {W̃ (n) i = p−1(W (n) i )}i∈Zn — периодическое разбиение динамической системы (X, f). Доказательство сводится к простой непосредственной проверке. � Следствие 3.3. Пусть (Y, h) — фактор-система дина- мической системы (X, f). Тогда P(Y, h) ⊆ P(X, f). Воспользовавшись замечанием 2.3, получим еще Следствие 3.4. В условиях следствия 3.3 выполняется неравенство Φ(P(Y, h)) ≤ Φ(P(X, f)). Замечание 3.5. Итак, если топологически сопряжены динамические системы (X, f) и (Y, g), то Φ(P(X, f)) = Φ(P(Y, g)). Следовательно, Φ(P(X, f)) ∈ Σ является то- пологическим инвариантом динамической системы (X, f) ∈ K0. Предложение 3.8. Пусть (A, g) — одометр, построен- ный по правильной последовательности {ni}i∈N. Тогда Φ({P(A, g)}) = Φ({ni \| i ∈ N}). Пусть {W (mj)} — правильная последовательность пе- риодических разбиений динамической системы (A, g). Набор множеств {W (mj) rj \| rj ∈ Zmj , j ∈ N} является базой топологии пространства A тогда и только тогда, когда Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ({P(A, g)}). О проекциях на одометры ... 375 Доказательство. Из леммы 3.1 и соотношения (3.3) сле- дует, что набор W (ni) = {W (ni) si = Vsi }si∈Zni , i ∈ N , является правильной последовательностью периодических разбиений динамической системы (A, g). Построим по этой последовательности разбиение H пространства A. Так как набор (3.3) является базой топологии пространства A, то H~a = {~a} для каждого ~a ∈ A. 1. Множество P(A, g) допустимое (см. замечание 2.6), следовательно найдется правильная последовательность {mj ∈ P(A, g)}j∈N, для которой Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ(P(A, g)) ≥ Φ({ni \| i ∈ N}) (см. предложение 2.2 и замечание 2.8). Построим теперь по этой последовательности правиль- ную последовательность периодических разбиений {W̃ (mj)}j∈N, которая согласована с последовательностью {W (ni)}i∈N (см. предложение 1.8). Пусть H̃ — разбиение пространства A, индуцированное последовательностью {W̃ (mj)}. Тогда из предложения 3.4 следует, что разбиение H̃ является измельчением разбие- ния H. А это может быть только если H̃ = H. Теперь из предложения 3.6 следует Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ({ni \| i ∈ N}) . 2. Пусть теперь {W̃ (mj)}j∈N — некоторая правильная по- следовательность периодических разбиений динамической системы (A, g), H̃ — разбиение пространства A, индуциро- ванное последовательностью {W̃ (mj)}. Из первой части предложения 3.8 и замечания 2.8 за- ключаем, что Φ({ni \| i ∈ N}) ≥ Φ({mj \| j ∈ N}). 376 Е.А.Полулях Так как одометр (A, g) — минимальная динамическая система (см. замечание 3.2), то эта динамическая система неразложима и правильные последовательности {W (ni)} и {W̃ (mj)} согласованы (см. замечание 1.12). Применяя следствие 3.3, заключаем, что разбиение H пространства A является измельчением разбиения H̃, при- чем H = H̃ тогда и только тогда, когда Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(A, g)) . Напомним, что набор {Uα}α∈λ открытых подмножеств топологического пространства X является его базой топо- логии, когда выполняются следующие условия (см. [6]): (a) если Uα ∩ Uβ 6= ∅ для некоторых α, β ∈ Λ, то най- дется γ ∈ Λ, такое что Uγ ⊆ Uα ∩ Uβ; (b) для каждого x ∈ X и любой открытой окрестности U точки x найдется α ∈ Λ, такое что x ∈ Uα ∈ U . Заметим, что для любой правильной последовательно- сти периодических разбиений свойство (a) всегда выпол- няется (это следует непосредственно из определения 1.6 и замечания 1.10). Пусть Φ({mj \| j ∈ N}) � Φ({ni \| i ∈ N}). Тогда раз- биения H и H̃ не совпадают (см. следствие 3.2) и и най- дутся две точки x1, x2 ∈ A, x1 6= x2, принадлежащие од- ному элементу разбиения H̃. Следовательно, для каждого W̃ (mj) sj , sj ∈ Zmj , j ∈ N, либо W̃ (mj) sj ∩ {x1, x2} = ∅, либо {x1, x2} ⊆ W̃ (mj) sj и свойство (b) не выполняется. Пусть теперь Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ({ni \| i ∈ N}). В этом случае разбиения H и H̃ совпадают. О проекциях на одометры ... 377 Пусть x ∈ X и U — открытая окрестность точки x. По определению разбиения H̃ существует единственная после- довательность {αj ∈ Zmj }j∈N, такая что {x} = H(x) = H̃(x) = ⋂ i∈N W̃ (mj) αj . При этом все множества из пересечения в правой части компактны (как замкнутые подмножества компактного пространства A) и W̃ (mj+1) αj+1 ⊆ W̃ (mj) αj , j ∈ N (см. опреде- ление 1.6). Применяя лемму 3.2, заключаем, что найдется k ∈ N, для которого x ∈ W̃ (mjk ) αjk ⊆ U . � Теперь из предложения 3.2, следствия 3.4, предложе- ния 3.8, замечания 2.6 и предложения 2.2 получим такое утверждение: Теорема 3.1. Пусть (X, f) — динамическая система с хаусдорфовым компактным фазовым пространством, (A, g) — одометр. Следующие утверждения эквивалентны: (i) существует проекция π : (X, f)→ (A, g); (ii) выполняется неравенство Φ(P(A, g)) ≤ Φ(P(X, f)). Для того, чтобы сформулировать следующее утвержде- ние, мы нуждаемся в двух определениях. Пусть (X, f) — динамическая система с компактным метрическим фазовым пространством (X, ρ). Определение 3.3. Пара точек x, y ∈ X, x 6= y, назы- вается дистальной, если существует δ > 0, такое что ρ(fn(x), fn(y)) > δ для каждого n ∈ Z. Динамическая система (X, f) называется дистальной, если любая пара точек x, y ∈ X, x 6= y, дистальна. 378 Е.А.Полулях Определение 3.4. Динамическая система (X, f) назы- вается равностепенно непрерывной, если семейство отоб- ражений {fn}n∈Z является равностепенно непрерывным относительно метрики ρ, то есть если для каждого ε > 0 существует δ > 0, такое что если ρ(x, y) < δ для неко- торых x, y ∈ X, то ρ(fn(x), fn(y)) < ε для каждого n ∈ Z. Замечание 3.6. Легко видеть, что дистальность и рав- ностепенная непрерывность динамической системы (X, f) не зависят (в силу компактности X) от выбо- ра метрики, порождающей заданную топологию на про- странстве X, то есть дистальность и равностепенная непрерывность есть топологические свойства динамиче- ской системы (X, f) с метризуемым компактным фазо- вым пространством X. Теорема 3.2 (см. [7]). Пусть (Γ, f) — минимальная ди- намическая система на множестве Кантора Γ. Тогда следующие условия равносильны: 1. д. с. (Γ, f) топологически сопряжена с одометром; 2. д. с. (Γ, f) дистальна; 3. д. с. (Γ, f) равностепенно непрерывна. Доказательство . Эквивалентность условий 2. и 3. для динамических систем с нульмерным компактным фазо- вым пространством непосредственно следует из результа- тов, полученных в работе [8]. Проверим импликацию 1. ⇒ 3. Пусть д. с. (Γ, f) топологически сопряжена при помо- щи гомеоморфизма h : Γ→ A с одометром (A, g), который порожден допустимой последовательностью {ni}i∈N. Пере- несем естественную метрику d с пространства A на Γ при помощи соотношения ρ(x, y) = d(h(x), h(y)) , x, y ∈ Γ . О проекциях на одометры ... 379 Из замечания 3.3 немедленно следует, что отображение f изометрично относительно метрики ρ. Таким образом, д. с. (Γ, f) равностепенно непрерывна. Докажем импликацию 3. ⇒ 1. Фиксируем метрику ρ : Γ × Γ → R+. Пусть динамиче- ская система (Γ, f) равностепенно непрерывна относитель- но метрики ρ. Пусть x ∈ Γ, V — открыто-замкнутая окрестность точки x. Так как замкнутые множества V и Γ\V не пересекаются и Γ компактно, то ρ(V,Γ \ V ) = ε > 0 . Найдется δ > 0, такое что для любых y1, y2 ∈ Γ (ρ(y1, y2) < 2δ)⇒ (ρ(fn(y1), f n(y2)) < ε , n ∈ Z) . Пусть U = Uδ(x). Тогда DiamU < 2δ и Diamfn(U) < ε для всех n ∈ Z. Следовательно, для каждого n ∈ Z либо V ∩ fn(U) = ∅, либо fn(U) ⊆ V . Так как динамическая система (Γ, f) минимальна, най- дется k ∈ N, такое что fk(x) ∈ U . Тогда fk(U) ∩ U 6= ∅. Ясно что, так как f — гомеоморфизм, то fk+n(U) ∩ fn(U) 6= ∅ , n ∈ Z . Проверим, что fkn(U) ⊆ V , n ∈ Z. Проведем проверку по индукции для отрицательных n. База индукции. Так как ∅ 6= f−k(U) ∩ U ⊆ f−k(U) ∩ V , то f−k(U) ⊆ V . Шаг индукции. Пусть f−ki(U) ⊆ V для некоторого i ∈ N. Тогда ∅ 6= f−k(i+1)(U) ∩ f−ki(U) ⊆ f−k(i+1)(U) ∩ V и f−k(i+1)(U) ⊆ V . По индукции заключаем, что fkn(U) ⊆ V для всех n < 0. Проверка этого включения для положительных n осу- ществляется аналогично. 380 Е.А.Полулях Итак, ⋃ n∈Z fkn(x) ⊆ ⋃ n∈Z fkn(U) ⊆ V . Из леммы 1.5 заключаем, что найдутся m ∈ P(Γ, f) и пе- риодическое разбиение W (m) динамической системы (Γ, f) длины m, такие что x ∈W (m) 0 ⊆ V . Фиксируем x ∈ Γ и последовательность {εi ≥ 0}i∈N, та- кую что εi → 0 при i → ∞. Найдем для каждого εi такое δi > 0, что для всех y1, y2 ∈ Γ (ρ(y1, y2) < δi)⇒ (ρ(fn(y1), f n(y2)) < εi , n ∈ Z) . Построим теперь по индукции когерентную правильную последовательность периодических разбиений {W (ni)}i∈N динамической системы (Γ, f), такую что для каждого i ∈ N (3.6) DiamW (ni) si < εi , si ∈ Zni . Пространство Γ нульмерно, поэтому существует после- довательность {Vi ∋ x}i∈N открыто-замкнутых множеств, такая что DiamVi < δi, i ∈ N. База индукции. Найдем периодическое разбиение W (n1) динамической системы (Γ, f), такое что x ∈ W (n1) 0 ⊆ V1. Тогда DiamW (n1) 0 < δ1 и DiamW (n1) s1 = Diamf s1(W (n1) 0 ) < ε1, s1 ∈ Zn1 , согласно выбору δ1. Шаг индукции. Пусть уже построен набор {W (ni)}ki=1 пе- риодических разбиений динамической системы (Γ, f), та- кой что ni делит ni+1, i = 1, . . . , k − 1, W (n1) 0 ⊇ . . . ⊇W (nk) 0 ∋ x (из следствия 1.5 заключаем, что любые два периодиче- ских разбиения из этого набора согласованы), и для кото- рого выполняются соотношения (3.6). О проекциях на одометры ... 381 Обозначим Ṽk+1 = Vk+1 ∩W (nk) 0 ∋ x. Очевидно, справед- ливо неравенство DiamṼk+1 < δk+1. Найдем периодическое разбиение W (nk+1) динамической системы (Γ, f), такое что x ∈W (nk+1) 0 ⊆ Ṽk+1 ⊆W (nk) 0 . С одной стороны, DiamW (nk+1) 0 ≤ DiamṼk+1 < δk+1, по- этому DiamW (nk+1) s1 = Diamf s1(W (nk+1) 0 ) < εk+1 для sk+1 ∈ Znk+1 . С другой стороны, nk делит nk+1 и периодические раз- биения W (nk+1) и W (nk) согласованы по следствию 1.5. По индукции получим когерентную последовательность периодических разбиений {W (ni)}i∈N динамической систе- мы (Γ, f), все элементы которой удовлетворяют соотноше- нию (3.6). Построим по последовательности {W (ni)} разбиение H пространства Γ и проекцию F : (Γ, f)→ (A, g). Пусть y ∈ Γ, (αi) = F (y) ∈ A. Заметим, что для каждого k ∈ N DiamH(y) ≤ Diam ( k⋂ i=1 W (ni) αi ) = DiamW (nk) αk ≤ εk → k→∞ 0 . Следовательно, H(y) = {y} для каждого y ∈ Γ и отобра- жение проекции pr : Γ→ Γ/H взаимно-однозначно. Следо- вательно, и отображение F = (factF )◦pr : Γ→ A взаимно- однозначно. Так как Γ — компакт, то F — гомеоморфизм, который сопрягает динамические системы (Γ, f) и (A, g) (см. коммутативную диаграмму (3.4)). � Замечание 3.7. При определении одометра, построенно- го по правильной последовательности {ni}i∈N, мы требо- вали, чтобы эта последовательность была неограничена. 382 Е.А.Полулях Фактически это требование можно переписать в следу- ющем виде: Φ({ni \| i ∈ N}) ∈ Σ \ Φ0(N) . Посмотрим, что изменится, если Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ0(m) ∈ Φ0(N). В этом случае A = lim inv i→∞ Zni = Zm = {0, 1, . . . , m − 1}, ~e = 1 ∈ Zm, и динамическая система (A, g) состоит из единственной периодической траекто- рии длины m. Расширим определение одометров, включив в него и случай, когда Φ({ni \| i ∈ N}) ∈ Φ0(N). Тривиально проверяется, что все сказанное в подразде- лах 3.2 и 3.3, кроме теоремы 3.2, справедливо и для на- шего нового определения. Теорема 3.3 (см. [9, 10, 13]). 1. Для каждого N ∈ Σ су- ществует одометр (A, g), такой что Φ(P(A, g)) = N . 2. Одометры (A1, g1) и (A2, g2) топологически сопря- жены тогда и только тогда, когда выполняется равен- ство Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)). Доказательство . 1. Пусть N ∈ Σ. Найдем допустимое множество A ⊆ R, такое что Φ(A) = N (см. предложе- ние 2.1), и правильную последовательность {ni ∈ A}i∈N, для которой Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(A) (см. предложение 2.2). Построим по последовательности {ni} одометр (A, g). Из предложения 3.8 заключаем, что Φ(P(A, g)) = Φ(A) = N . 2. (a) Пусть одометры (A1, g1) и (A2, g2) топологически сопряжены при помощи гомеоморфизма h : A1 → A2. Имеем две проекции h : (A1, g1)→ (A2, g2) и h−1 : (A2, g2)→ (A1, g1) . Следствие 3.4 дает нам Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)). (b) Пусть теперь Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)) = N ∈ Σ. О проекциях на одометры ... 383 Найдем правильную последовательность {ni}i∈N, для ко- торой Φ({ni \| i ∈ N}) = N (см. выше), и построим по ней одометр (A, g). Так как Φ(P(A, g)) = Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)), то из предложения 2.1 и замечания 2.6 получим P(A, g) = P(A1, g1) = P(A2, g2). Также из леммы 3.1 следует, что ni ∈ P(A, g), i ∈ N. Тогда ni ∈ P(Ak, gk), k = 1, 2, i ∈ N. Фиксируем когерентную последовательность {W (ni)}i∈N периодических разбиений динамической системы (A1, g1) и построим по ней разбиение H пространства A1. Аналогично, пусть {W̃ (ni)}i∈N — когерентная последова- тельность периодических разбиений динамической систе- мы (A2, g2) и H̃ — разбиение пространства A2, индуциро- ванное этой последовательностью. Рассмотрим коммутативную диаграмму (A1, g1) F −−−→ (A, g) F̃ ←−−− (A2, g2) pr y ∥∥∥ yp̃r (A1/H, fact g1) factF −−−→ (A, g) fact F̃ ←−−− (A2/H̃, fact g2) Мы уже знаем, что все отображения в нижней стро- ке этой диаграммы являются изоморфизмами в категории K0. Отображения pr и p̃r взаимно-однозначны по предложе- нию 3.8. Так как пространства A1 и A2 компактны, то pr и p̃r изоморфизмы в категории K0. Из сказанного следует, что морфизм F̃−1 ◦ F = p̃r−1 ◦ (fact F̃ )−1 ◦ (factF ) ◦ pr является изоморфизмом и динамические системы (A1, g1) и (A2, g2) топологически сопряжены. � 384 Е.А.Полулях Замечание 3.8. Пусть (X, f), (Y, g) ∈ K0, h : (X, f) → (Y, g) — морфизм. Если динамическая система (Y, g) ми- нимальная, то h — проекция. Действительно, фиксируем y ∈ Y . По теореме Биркго- фа имеем Orbg(h(y)) = Y . С другой стороны, так как X — компакт, то h(X) — замкнутое подмножество простран- ства Y и, очевидно, h(X) ⊇ Orbg(h(y)) = h(Orbf (y)). Предложение 3.9. Пусть (A, g) — одометр, h : (A, g)→ (A, g) — морфизм. Тогда h изоморфизм. Доказательство . Зафиксируем правильную последова- тельность {ni ∈ P(A, g)}i∈N, такую что Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(A, g)) (см. замечание 2.6 и предложение 2.2). Выберем правильную последовательность периодичес- ких разбиений {W (ni)}i∈N. h — эпиморфизм согласно замечанию 3.8, поэтому из предложения 3.7 следует, что для каждого i ∈ N набор множеств W̃ (ni) = {W̃ (ni) si = h−1(W (ni) si )}i∈Zni является пе- риодическим разбиением динамической системы (A, g) длины ni. (A, g) — минимальная динамическая система, поэтому она неразложима. Применяя следствие 1.1, заключаем, что {W̃ (ni)}i∈N — правильная последовательность периодиче- ских разбиений динамической системы (A, g). Из предложения 3.8 следует, что каждый из наборов множеств {W (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} и {W̃ (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} является базой топологии пространства A. Поэтому h — непрерывное взаимно-однозначное отображение. Так как A — компакт, то h — гомеоморфизм. � О проекциях на одометры ... 385 Следствие 3.5. Пусть (Y1, h1), (Y2, h2) — две динамиче- ские системы, топологически сопряженные с некоторы- ми одометрами. Если объекты (Y1, h1), (Y2, h2) ∈ ObK0 изоморфны, то любой морфизм α : (Y1, h1) → (Y2, h2) является изомор- физмом. Доказательство. 1. Допустим, что динамическая систе- ма (Y1, h1) топологически сопряжена с одометром (A, g). Пусть ρ : (Y1, h1) → (Y1, h1) — некоторый морфизм. Тогда ρ — изоморфизм. Действительно, фиксируем изоморфизм φ : (Y1, h1) → (A, g) и рассмотрим морфизм φ ◦ ρ ◦ φ−1 : (A, g) → (A, g). Согласно предложению 3.9, φ◦ρ◦φ−1 — изоморфизм. Тогда и ρ = φ−1 ◦ (φ ◦ ρ ◦ φ−1) ◦ φ — изоморфизм. 2. Пусть существует изоморфизм ψ : (Y1, h1)→ (Y2, h2). Морфизм χ = α ◦ ψ−1 : (Y2, h2) → (Y2, h2) является изо- морфизмом (см. выше). Следовательно, и морфизм χ◦ψ = α ◦ ψ−1 ◦ ψ = α является изоморфизмом. � Пусть (A,+) — адическая группа. Пусть g : A→ A, g : ~a 7→ ~a+ ~e , ~a ∈ A . Пусть (A, g) — соответствующий одометр. Фиксируем ~a, ~b ∈ A. Расмотрим отображение h~a,~b : A→ A , h~a,~b : ~c 7→ ~c + (~b− ~a) , ~c ∈ A . Предложение 3.10. h~a,~b ◦ g = g ◦ h~a,~b. Доказательство. Это очевидное следствие коммутатив- ности группы (A, g). � 386 Е.А.Полулях Замечание 3.9. Пусть динамическая система (X, f) ми- нимальна, h1, h2 : (X, f)→ (Y, g) — два морфизма, такие что h1(x) = h2(x) для некоторого x ∈ X. Тогда h1 = h2. Действительно, для каждого y = fn(x) ∈ Orbf(x) имеем h1(y) = h1 ◦ f n(x) = gn ◦ h1(x) = gn ◦ h2(x) = h2 ◦ f n(x) = h2(y). Поэтому h1\|Orbf (x) = h2\|Orbf (x). Так как X = Orbf (x) по теореме Биркгофа, то h1 = h2. Комбинируя предложения 3.9, 3.10 и замечание 3.9, по- лучим Следствие 3.6. Пусть (A, g) — динамическая система, топологически сопряженная с одометром. Для любой па- ры точек x, y ∈ A существует единственный морфизм hx, y : (A, g)→ (A, g), такой что hx, y(x) = y, и этот мор- физм является изоморфизмом. 3.4. Отступление — одна категорная конструкция. Пусть L — некоторая категория. Определение 3.5. Скажем, что категория L обладает свойством LU (Lifting Upstairs), если для любых объектов A, B ∈ Ob L и для произвольных морфизмов α ∈ HL(A,B) и eB ∈ HL(B,B)∩Iso L найдется морфизм eA ∈ HL(A,A)∩ Iso L, такой что αeB = eAα . Определение 3.6. Скажем, что категория L облада- ет свойством LD (Lifting Downstairs), если для любых объектов A, B ∈ Ob L и для произвольных морфизмов α ∈ HL(A,B) и fA ∈ HL(A,A) ∩ Iso L найдется морфизм fB ∈ HL(B,B) ∩ Iso L, такой что fAα = αfB . О проекциях на одометры ... 387 Пусть L — категория. Для каждой пары объектов A, B ∈ Ob L определим на множестве HL(A,B) бинарное от- ношние ∼. Скажем, что α ∼ β, α, β ∈ HL(A,B), если суще- ствуют такие eA ∈ HL(A,A)∩ Iso L и eB ∈ HL(B,B)∩ Iso L, что eAα = βeB . Легко видеть, что ∼ есть отношение эквивалентности. Класс эквивалентности морфизма α будем обозначать [α]. Предложение 3.11. Пусть категория L удовлетворяет одному из свойств LU или LD. Тогда корректно определена категория L, объектами которой являются объекты категории L и для любой па- ры объектов A, B ∈ L множество морфизмов H L (A,B) есть множество классов эквивалентности морфизмов из HL(A,B). Доказательство . Предположим, категория L обладает свойством LU. Тривиальная проверка показывает, что L удовлетворяет свойствам 1) и 2) категории. Для того, чтобы корректно определить операцию ком- позиции морфизмов в L, проверим, что для любой трой- ки объктов A, B, C ∈ L и для любых морфизмов α ∈ HL(A,B), β ∈ HL(B,C) выполняется равенство (3.7) [αβ] = [α][β] = {α′β ′ \| α′ ∈ [α], β ′ ∈ [β]} . Пусть α′ ∈ [α], β ′ ∈ [β]. Тогда найдутся такие изомор- физмы eA ∈ HL(A,A) ∩ Iso L, eB, fB ∈ HL(B,B) ∩ Iso L и fC ∈ HL(C,C) ∩ Iso L, что α′β ′ = (e−1 A αeB)(f−1 B βfC) = e−1 A α(eBf −1 B )βfC . 388 Е.А.Полулях Очевидно, eBf −1 B ∈ HL(B,B) ∩ Iso L. Из свойства LU за- ключаем, что существует gA ∈ HL(A,A) ∩ Iso L, для кото- рого α(eBf −1 B ) = gAα. Следовательно, α′β ′ = e−1 A α(eBf −1 B )βfC = (e−1 A gA)αβfC , α′β ′ ∈ [αβ] и [αβ] ⊇ {α′β ′ \| α′ ∈ [α], β ′ ∈ [β]}. Обратно, пусть γ ∈ [αβ]. Это значит, что для некоторых eA ∈ HL(A,A) ∩ Iso L и eC ∈ HL(C,C) ∩ Iso L имеет место соотношение γ = e−1 A (αβ)eC = (e−1 A α)(βeC) . Очевидно, e−1 A α = e−1 A α1B ∈ [α] и βeC = 1−1 B βeC ∈ [β]. Следовательно, [αβ] ⊆ {α′β ′ \| α′ ∈ [α], β ′ ∈ [β]}. Итак, мы установили, что частичное умножение классов эквивалентности морфизмов не зависит от выбора пред- ставителей, следовательно, оно определено корректно. Ассоциативность умножения морфизмов в L следует из ассоциативности умножения морфизмов в категории L. Для завершения доказательства нам остается заметить, что для любого A ∈ Ob L единичным морфизмом объекта A в L является [1A]. Если категория L обладает свойством LD, доказатель- ство проводится аналогично. � Замечание 3.10. Приведенная выше конструкция явля- ется частным случаем так называемой фактор-катего- рии (см. [11]). 3.5. Основные свойства одометров (продолжение). Пусть (A1, g1), (A2, g2) — динамические системы, тополо- гически сопряженные с одометрами, π1, π2 : (A1, g1) → (A2, g2) и h : (A2, g2)→ (A2, g2) — морфизмы. О проекциях на одометры ... 389 Обозначим через F множество всех морфизмов f : (A1, g1) → (A1, g1), для которых коммутативна диа- грамма (A1, g1) f −−−→ (A1, g1) π1 y yπ2 (A2, g2) −−−→ h (A2, g2) Из предложения 3.9 следует, что h ∈ Iso K0 и F ⊆ Iso K0. Предложение 3.12. Множество F не пусто. Для любых y ∈ A2 и x1 ∈ π−1 1 (y) имеет место равен- ство F = {hx1, x2 \| x2 ∈ π −1 2 (h(y))} . Доказательство предложения 3.12 опирается на следую- щие леммы. Лемма 3.3. Пусть (X, f) — неразложимая динамиче- ская система, (A, g) — динамическая система, топологи- чески сопряженная с одометром, π1, π2 : (X, f) → (A, g) — проекции. Тогда разбиения zer π1 и zer π2 пространства X совпа- дают. Лемма 3.4. Пусть (X, f), (A, g), π1, π2 : (X, f) → (A, g) те же, что и в лемме 3.3. Для любого морфизма h : (X, f) → (X, f) определено непрерывное отображение factπ2 ◦ h : A→ A, оно удовле- творяет соотношению g ◦ (factπ2 ◦ h) = (fact π2 ◦ h) ◦ g. 390 Е.А.Полулях Следовательно, коммутативна следующая диаграмма (X, f) h −−−→ (X, f) π1 y yπ2 (A, g) −−−−−→ factπ2◦h (A, g) Доказательство леммы 3.3. Фиксируем правильную последовательность {ni ∈ Φ(P(A, g))}i∈N, такую что Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(A, g)) (см. замечание 2.6 и предложение 2.2). Построим правильную последовательность {W (ni)}i∈N периодических разбиений динамической системы (A, g). Согласно предложению 3.8 набор множеств {W (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} является базой топологии пространства A. Из предложения 3.7 следует, что для каждого i ∈ N на- боры множеств W̃ (ni) = {W̃ (ni) si = π−1 1 (W (ni) si ) \| si ∈ Zni } и Ŵ (ni) = {Ŵ (ni) si = π−1 2 (W (ni) si ) \| si ∈ Zni } являются периоди- ческими разбиениям динамической системы (X, f) длины ni. Динамическая система (X, f) неразложима, поэтому из следствия 1.1 и замечания 1.12 заключаем, что {W̃ (ni)}i∈N и {Ŵ (ni)}i∈N — согласованные правильные последователь- ности периодических разбиений этой динамической систе- мы. Пусть H̃ и Ĥ — разбиения пространства X, индуциро- ванные соответственно последовательностями {W̃ (ni)}i∈N и {Ŵ (ni)}i∈N. По следствию 3.2 разбиения H̃ и Ĥ совпадают. Набор множеств {W̃ (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} является про- образом базы топологии {W (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} под О проекциях на одометры ... 391 действием проекции π1, поэтому разбиения zer π1 и H̃ сов- падают. Аналогично, разбиения zer π2 и Ĥ совпадают. � Доказательство леммы 3.4. Пусть h : (X, f)→ (X, f) — морфизм. Так как динамическая система (A, g) минимальна, то морфизм π2 ◦ h : (X, f) → (A, g) является проекцией. Из леммы 3.3 следует, что zer π1 = zer π2 ◦ h. Для заверше- ния доказательства нам остается применить лемму 0.2 к морфизмам ϕ1 = π1 и ϕ2 = π2 ◦ h. � Доказательство предложения 3.12. (A1, g1) — мини- мальная динамическая система, поэтому она неразложи- ма. Фиксируем y ∈ A2 и x1 ∈ π −1 1 (y). Пусть x2 ∈ π −1 2 (h(y)). Рассмотрим морфизм hx1, x2 : (A1, g1) → (A1, g1). Из лем- мы 3.4 следует, что корректно определен морфизм factπ2◦ hx1, x2 : (A2, g2)→ (A2, g2), и справедлива цепочка равенств fact π2 ◦ hx1, x2(y) = (factπ2 ◦ hx1, x2) ◦ π1(x1) = = π2 ◦ hx1, x2(x1) = π2(x2) = h(y) . Поэтому из следствия 3.6 заключаем, что factπ2◦hx1, x2 = h и F ⊇ {hx1, x2 \| x2 ∈ π −1 2 (h(y))}. С другой стороны, для любого f ∈ F должно выпол- няться соотношение f(x1) ∈ f(π−1 1 (y)) = π−1 2 (h(y)) (см. лемму 3.3). Из следствия 3.6 получим f = hx1, f(x1) и F ⊆ {hx1, x2 \| x2 ∈ π −1 2 (h(y))}. � Рассмотрим полную подкатегорию A категории K0, объ- ектами которой являются все динамические системы, то- пологически сопряженные с одометрами. Следствие 3.7. Категория A обладает свойствами LU и LD. 392 Е.А.Полулях Доказательство . 1. Выполнение условия LU следует из предложения 3.12, если π1 = π2 = α, и из следствия 3.6. 2. Выполнение условия LD следует из леммы 3.4, если (X, f) и (A, g) топологически сопряжены с одометрами и π1 = π2 = α, и из следствия 3.6. � Фиксируем скелет A0 категории A. Замечание 3.11. Из теоремы 3.3 и замечания 3.5 сле- дует, что для каждого N ∈ Σ категория A0 содержит ровно один объект (A, g), такой что Φ(P(A, g)) = N . Замечание 3.12. Из теоремы 3.1 заключаем, что для любых двух объектов (A1, g1) и (A2, g2) категории A0 сле- дующие утверждения эквивалентны: (i) Φ(P(A1, g1)) ≥ Φ(P(A2, g2)); (ii) HA0((A1, g1), (A2, g2)) 6= ∅. Воспользуемся предложением 3.11 и построим по кате- гории A0 категорию A0. Из леммы 3.4 и следствия 3.6 получим Следствие 3.8. Пусть (A1, g1), (A2, g2) ∈ ObA0. Если π1, π2 ∈ HA0((A1, g1), (A2, g2)), то [π1] = [π2]. Теперь из замечания 3.12 имеем Следствие 3.9. Пусть (A1, g1), (A2, g2) ∈ ObA0. Тогда (i) если Φ(P(A1, g1)) ≥ Φ(P(A2, g2)), то мощность множества H A0 ((A1, g1), (A2, g2)) равна единице; (ii) H A0 ((A1, g1), (A2, g2)) = ∅, в противном случае. Построим по частично упорядоченному множеству Σ ка- тегорию L(Σ), объектами которой являются элементы мно- жества Σ, а морфизмами — всевозможные пары элементов О проекциях на одометры ... 393 (M,N), в которых M ≥ N . Для любых двух элементов M , N ∈ Σ множество HL(Σ)(M,N) состоит из одного морфиз- ма (M,N), если M ≥ N и является пустым — в противном случае. Замечание 3.11 и следствие 3.9 дают нам следующее утверждение. Теорема 3.4. Соответствие Ψ0 : Ob A0 → Ob L(Σ), Ψ0 : (A, g) 7→ Φ(P(A, g)) , (A, g) ∈ Ob A0 , однозначно продолжается до функтора Ψ : A0 → L(Σ). Функтор Ψ задает изоморфизм категорий A0 и L(Σ). 3.6. Расширения одометров. Общий случай. Пусть (X, f) — динамическая система с хаусдорфовым компакт- ным фазовым пространством. Напомним, что для любого одометра (A, g) ∈ Ob A в ка- тегории K0 существует морфизм h : (X, f) → (A, g) тогда и только тогда, когда Φ(P(A, g)) ≤ Φ(P(X, f)) (см. теоре- му 3.1). Рассмотрим полную подкатегорию A(X, f) категории A, объектами которой являются динамические системы (A, g) ∈ ObA, такие что Φ(P(A, g)) ≤ Φ(P(X, f)). Из замечания 3.11 следует, что категория A(X, f) обла- дает свойствами LU и LD. Фиксируем скелет A0(X, f) категории A(X, f) и, вос- пользовавшись предложением 3.11, построим категорию A0(X, f). Точно так же, как и следствие 3.9, доказывается Предложение 3.13. Для (A1, g1), (A2, g2) ∈ ObA0(X, f) справедливы утверждения 394 Е.А.Полулях (i) если Φ(P(A1, g1)) ≥ Φ(P(A2, g2)), то мощность множества H A0(X,f)((A1, g1), (A2, g2)) равна едини- це; (ii) H A0(X,f)((A1, g1), (A2, g2)) = ∅, в противном случае. Рассмотрим подмножество Σ(X, f) = {N ∈ Σ \| N ≤ Φ(P(X, f))} множества (Σ,≤) и построим по этому частич- но упорядоченному множеству категорию L(Σ(X, f)). Так же, как и теорема 3.4, доказывается Теорема 3.5. Соответствие Ψ0(X, f) : ObA0(X, f)→ Ob L(Σ(X, f)) , Ψ0(X, f) : (A, g) 7→ Φ(P(A, g)) , (A, g) ∈ Ob A0(X, f) , однозначно продолжается до функтора Ψ(X, f) : A0(X, f)→ L(Σ(X, f)) . Функтор Ψ(X, f) представляет собой изоморфизм ка- тегорий A0(X, f) и L(Σ(X, f)). Определим категорию B(X, f) следующим образом: — объектами B(X, f) являются пары (h, (A, g)), где (A, g) ∈ Ob A(X, f), h ∈ MorK0((X, f), (A, g)); — для любых (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ ObB(X, f) множество HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2))) состо- ит из всех троек ((h1, (A1, g1)), π, (h2, (A2, g2))), та- ких что π ∈ HA(X,f)((A1, g1), (A2, g2)) и h2 = π ◦ h1. Корректность этого определения проверяется непосред- ственно. Лемма 3.5. Для (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ ObB(X, f) справедливы утверждения (i) в множестве HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2))) со- держится не более одного элемента; О проекциях на одометры ... 395 (ii) если множество HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2))) не пусто, то Φ(P(A1, g1)) ≥ Φ(P(A2, g2)). Доказательство. (i) Пусть π1, π2 : (A1, g1)→ (A2, g2) — два морфизма, такие что h2 = π1 ◦ h1 = π2 ◦ h1. Пусть x ∈ X. Тогда h2(x) = π1(h1(x)) = π2(h1(x)). Так как динамическая система (A1, g1) минимальна, то из за- мечания 3.9 следует, что π1 = π2. (ii) Это утверждение непосредственно следует из тео- ремы 3.1. � Лемма 3.6. Пусть (h, (A, g)) ∈ ObB(X, f), N ∈ Σ(X, f) и выполняется неравенство Φ(P(A, g)) ≤ N . Тогда найдется (h1, (A1, g1)) ∈ Ob B(X, f), такое что (i) Φ(P(A1, g1)) = N ; (ii) HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h, (A, g))) 6= ∅. Доказательство. По условию леммы и по определению множества Σ(X, f) справедливы неравенства Φ(P(A, g)) ≤ N ≤ Φ(P(X, f)). Из предложения 2.1 следует, что существует единствен- ное допустимое множество Q ∈ N, такое что Φ(Q) = N . Так как множества P(A, g) и P(X, f) допустимы (см. заме- чание 2.6), то из леммы 2.1 получим цепочку включений P(A, g) ⊆ Q ⊆ P(X, f). Воспользуемся предложением 2.2 и найдем правильные последовательности {ni ∈ P(A, g)}i∈N и {mj ∈ Q}j∈N, такие что Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(A, g)) и Φ({mj \| j ∈ N}) = Φ(Q) = N . Фиксируем правильную последовательность {V (ni)}i∈N периодических разбиений динамической системы (A, g). Рассмотрим прообразы W (ni) = {W (ni) si = h−1(V (ni) si )}si∈Zni , i ∈ N, периодических разбиений последовательности 396 Е.А.Полулях {V (ni)}i∈N. Из предложения 3.7, определения 1.6 и след- ствий 1.5 и 1.6 заключаем, что {W (ni)}i∈N — правильная последовательность периодических разбиений динамиче- ской системы (X, f). Пусть H — разбиение пространства X, индуцированное последовательностью {W (ni)}. Согласно предложению 3.8, набор множеств {V (ni) si \| si ∈ Zni , i ∈ N} является базой то- пологии пространства A. Поэтому разбиение H совпадает с разбиением zer h. Воспользуемся предложением 1.8 и замечанием 1.6 и по- строим когерентную последовательность {W̃ (mj)}j∈N пери- одических разбиений динамической системы (X, f), согла- сованную с последовательностью {W (ni)}. Пусть H̃ — разбиение пространства X, индуцированное последовательностью {W̃ (mj)}. Учитывая замечание 3.4, имеем коммутативную диаграмму (см. соотношение (3.4)) (3.8) (X, f) F −−−→ (A1, g1) pr y ∥∥∥ (X/H̃, f̃) factF −−−→ (A1, g1) В этой диаграмме (A1, g1) — одометр, F — проекция, factF — гомеоморфизм и Φ(P(X/H̃, f̃)) = Φ(P(A1, g1)) = Φ({mj \| j ∈ N}) = N . Из следствия 3.2 заключаем, что разбиение H̃ = zerF является измельчением разбиения H = zer h пространства X. Обозначим h1 = F . Применяя теперь лемму 0.2 к про- екциям ϕ1 = h1 и ϕ2 = h, заключаем, что найдется ψ ∈ HK0((A1, g1), (A, g)), для которого h = ψ ◦ h1. � О проекциях на одометры ... 397 Определим “забывающий” функтор Θ : B(X, f)→ A(X, f) при помощи соотношений Θ : (h, (A, g)) 7→ (A, g) , (h, (A, g)) ∈ Ob B(X, f) Θ : ((h1, (A1, g1)), π, (h2, (A2, g2))) 7→ π , ((h1, (A1, g1)), π, (h2, (A2, g2))) ∈ Mor(B(X, f)) . Рассмотрим полный прообраз B′(X, f) скелета A0(X, f) под действием функтора Θ. Непосредственная проверка показывает, что B′(X, f) является полной подкатегорией категории B(X, f). Замечание 3.13. Пусть L′ — полная подкатегория кате- гории L. Пусть A, B ∈ Ob L′. По определению HL′(A,B) = HL(A,B). Следовательно, объекты A и B изоморфны в L′ тогда и только тогда, когда они изоморфны в L. Пусть B′ 0(X, f) — скелет категории B′(X, f). Очевидно, B′ 0(X, f) — полная подкателогия категории B(X, f). Предложение 3.14. Категория B′ 0(X, f) является ске- летом категории B(X, f). Доказательство. Из определения категории B′ 0(X, f) и замечания 3.13 следует, что эта подкатегория содержит не более чем по одному представителю из каждого классса изоморфных объектов категории B(X, f). Докажем, что для каждого (h, (A, g)) ∈ Ob B(X, f) най- дется изоморфный ему объект, лежащий в B′ 0(X, f). Рассмотрим (A, g) = Θ(h, (A, g)) ∈ Ob A(X, f). Подкате- гория A0(X, f) является скелетом категории A(X, f), по- этому существует ровно один объект (A′, g′) ∈ ObA0(X, f), 398 Е.А.Полулях изоморфный (A, g). Пусть ρ : (A, g) → (A′, g′) — изомор- физм. Обозначим h′ = ρ◦h : (X, f)→ (A′, g′). Рассмотрим объ- ект (h′, (A′, g′)) категории B(X, f). Очевидно, (h′, (A′, g′)) ∈ Ob B′ 0(X, f) и ((h, (A, g)), ρ, (h′, (A′, g′))) ∈ Iso B(X, f). � Зададим на классе ObB′ 0(X, f) бинарное отношение �. Скажем, что (h1, (A1, g1)) � (h2, (A2, g2)) , если HB(X,f)((h2, (A2, g2)), (h1, (A1, g1))) 6= ∅ . Предложение 3.15. Отношение � является отношени- ем частичного порядка и справедливы следующие утвер- ждения: (i) каждый элемент (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f) мажо- рируется некоторым (h′, (A′, g′)) ∈ Ob B′ 0(X, f), для которого Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)); (ii) элемент (h, (A, g)) ∈ ObB′ 0(X, f) является макси- мальным относительно порядка � тогда и только тогда, когда имеет место равенство Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)). Перед тем, как приступить к доказательству предложе- ния 3.15, мы докажем одну лемму. Лемма 3.7. Пусть (h, (A, g)) ∈ ObB′ 0(X, f) и для неко- торого N ∈ Σ(X, f) справедливо неравенство Φ(P(A, g)) ≤ N . Найдется такой объект (h′, (A′, g′)) ∈ Ob B′ 0(X, f), что (i) Φ(P(A′, g′)) = N ; (ii) HB(X,f)((h ′, (A′, g′)), (h, (A, g))) 6= ∅. О проекциях на одометры ... 399 Доказательство . Согласно лемме 3.6, найдется такой (h1, (A1, g1)) ∈ Ob B(X, f), что Φ(P(A1, g1)) = N и HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h, (A, g))) 6= ∅ . Из предложения 3.14 заключаем, что найдется объект (h′, (A′, g′)) категории B′ 0(X, f), изоморфный объекту (h1, (A1, g1)). Из леммы 3.5 следует, что Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(A1, g1)) = N . Кроме того, HB(X,f)((h ′, (A′, g′)), (h, (A, g))) 6= ∅ по постро- ению. � Доказательство предложения 3.15. По определению категории для каждого объекта B ∈ Ob B′ 0(X, f) суще- ствует единичный морфизм 1B, поэтому отношение � ре- флексивно. Композиция любой пары морфизмов α ∈ HB(X,f)(B,B ′) и β ∈ HB(X,f)(B ′, B′′) является элементом множества HB(X,f)(B,B ′′), следовательно отношение � транзитивно. Пусть α ∈ HB(X,f)(B,B ′), β ∈ HB(X,f)(B ′, B) для неко- торых B, B′ ∈ Ob B′ 0(X, f). Согласно лемме 3.5 имеем HB(X,f)(B,B) = {1B}, HB(X,f)(B ′, B′) = {1B′}. Следова- тельно, αβ = 1B, βα = 1B′ и объекты B и B′ изоморфны в категории B(X, f). Так как B′ 0(X, f) — полная подкатего- рия в B(X, f), то B и B′ изоморфны в категории B′ 0(X, f) (см. замечание 3.13). Из сказанного заключаем, что отно- шение � антисимметрично. Итак, � является отношением частичного порядка. Утверждение (i) предложения 3.15 следует из леммы 3.7 и теоремы 3.1. Докажем теперь утверждение (ii). Пусть (h, (A, g)), (h′, (A′, g′)) ∈ Ob B′ 0(X, f). Пусть Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)) и (h, (A, g)) � (h′, (A′, g′)). Из леммы 3.5 и теоремы 3.1 заключаем, что Φ(P(A, g)) ≤ 400 Е.А.Полулях Φ(P(A′, g′)) ≤ Φ(P(X, f)). Следовательно, Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)) = Φ(P(A, g)) и любой морфизм ρ : (A′, g′) → (A, g) является изоморфизмом (см. теорему 3.3 и след- ствие 3.5). Так как множество HB(X,f)((h ′, (A′, g′)), (h, (A, g))) не пу- сто по нашему предположению, то объекты (h′, (A′, g′)) и (h, (A, g)) категории B′ 0(X, f) изоморфны. Следовательно, (h′, (A′, g′)) = (h, (A, g)) (см. предложение 3.14) и (h, (A, g)) — максимальный элемент относительно порядка �. Пусть теперь (h, (A, g)) — максимальный элемент отно- сительно порядка �. Из утверждения (i) предложения 3.15 и теоремы 3.1 получим равенство Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)). � По определению Θ(Ob B′ 0(X, f)) = Ob A0(X, f) = Ob A0(X, f) , следовательно корректно определено отображение Λ0 = Ψ0◦Θ : Ob B′ 0(X, f)→ ObL(Σ(X, f)) = (Σ(X, f),≤) . Из леммы 3.5 и предложения 3.15 получаем Следствие 3.10. Отображение Λ0 сохраняет отноше- ние порядка. Полный прообраз Λ−1 0 (Φ(P(X, f))) наибольшего элемен- та множества (Σ(X, f),≤) совпадает с классом всех максимальных элементов из (Ob B′ 0(X, f),�). Из определения категории L(Σ(X, f)), леммы 3.5 и след- ствия 3.10 получим Следствие 3.11. Отображение Λ0 : ObB′ 0(X, f)→ Ob L(Σ(X, f)) О проекциях на одометры ... 401 однозначно продолжается до функтора Λ : B′ 0(X, f)→ L(Σ(X, f)) . Для любых двух объектов B, B′ ∈ Ob B′ 0(X, f) отобра- жение ΛB,B′ : HB′ 0(X,f)(B,B ′)→ HL(Σ(X,f))(Λ(B),Λ(B′)) инъективно. Замечание 3.14. 1). Из леммы 3.5 следует, что необхо- димым условием изоморфности двух объектов (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ Ob B(X, f) является равен- ство Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)). 2). Из следствия 3.5 получаем такое утверждение: если выполняется равенство Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)), то объекты (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ Ob B(X, f) изо- морфны тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств HB(X,f)((h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2))) , HB(X,f)((h2, (A2, g2)), (h1, (A1, g1))) не пусто. 3.7. Расширения одометров. Неразложимые дина- мические системы. У нас возникает естественное же- лание как-то “сравнить” категории B(X, f) и L(Σ(X, f)). Ниже мы увидим, что в том случае, когда динамиче- ская система (X, f) неразложима, категория L(Σ(X, f)) изоморфна скелету категории B(X, f) (и изоморфизм за- дается функтором Λ). Если же динамическая система (X, f) не является нераз- ложимой, вообще говоря непонятно, как “сравнивать” ка- тегории B(X, f) и L(Σ(X, f)), как показывает следующая 402 Е.А.Полулях Лемма 3.8. Пусть (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f), N ∈ Σ(X, f) и справедливо строгое неравенство Φ(P(A, g)) � N . Объект (h′, (A′, g′)) ∈ ObB′ 0(X, f), удовлетворяющий лемме 3.7, определен однозначно тогда и только тогда, когда динамическая система (X, f) неразложима. Доказательство. 1). Предположим, что динамическая система (X, f) неразложима. Пусть (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ Ob B′ 0(X, f), Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)) = N и (h, (A, g)) � (hi, (Ai, gi)), i = 1, 2. Так как Φ(P(A1, g1)) = Φ(P(A2, g2)), то динамические системы (A1, g1) и (A2, g2) топологически сопряжены. Мы фиксируем изоморфизм ρ : (A1, g1)→ (A2, g2). Из замечания 3.8 и леммы 3.4 заключаем, что имеет ме- сто следующая коммутативная диаграмма: (X, f) (X, f) (X, f) h1 y ρ−1◦h2 y yh2 (A1, g1) −−−−−−−→ fact(ρ−1◦h2) (A1, g1) −−−→ ρ (A2, g2) Согласно следствию 3.5, отображение ρ ◦ fact(ρ−1 ◦ h2) : (A1, g1)→ (A2, g2) является изоморфизмом. Так как B′ 0(X, f) скелет категории B(X, f), то справед- ливо равенство (h1, (A1, g1)) = (h2, (A2, g2)). 2). Пусть теперь динамическая система (X, f) не явля- ется неразложимой. Обозначим Φ(P(A, g)) = M ∈ Σ(X, f). Так как M � N по условию леммы, то найдется простое p ∈ S, такое что Mp � Np. Из этого следует, что Mp 6= ∞. Пусть Mp = k. Тогда Np ≥ k + 1. О проекциях на одометры ... 403 Фиксируем правильную последовательность {ni}i∈N, та- кую что Φ({ni \| i ∈ N}) = M (см. предложение 2.2). Из определения функции Φ следует, что — ni = pkiai, ki ≤ k, НОД(ai, p) = 1, i ∈ N; — существует такое i0 ∈ N, что ki0 = k. Так как последвательность {ni}i∈N правильная, то ki = k для всех i ≥ i0. Не ограничивая общности рассуждений (см. следствие 2.1), можно считать что ni = pkai , НОД(ai, p) = 1 , i ∈ N . Еще раз воспользуемся следствием 2.1 и будем считать, что n1 = pk. Фиксируем правильную последовательность {mj}j∈N, для которой Φ({mj \| j ∈ N}) = N (см. начало доказатель- ства леммы 3.6). Последовательность {mj}j∈N правильная и Np ≥ k + 1, поэтому найдется j0 ∈ N, такое что mj де- лится на pk+1 для каждого j ≥ j0. Вновь пользуясь следствием 2.1, можно считать, что mj делится на pk+1 для всех j ∈ N и m1 = pk+1. Фиксируем правильную последовательность {V (ni)}i∈N периодических разбиений динамической системы (A, g). Рассмотрим прообразы W (ni) = {W (ni) si = h−1(V (ni) si )}si∈Zni , i ∈ N, периодических разбиений последовательности {V (ni)}i∈N. Повторяя рассуждения из доказательства леммы 3.6, заключаем, что {W (ni)}i∈N — правильная последователь- ность периодических разбиений динамической системы (X, f) и разбиение H пространства X, индуцированое этой последовательностью, совпадает с разбиением zer h. Так как N ≤ Φ(P(X, f)) по условию леммы, то суще- ствует когерентная правильная последовательность 404 Е.А.Полулях {U (mj)}j∈N периодических разбиений динамической систе- мы (X, f), согласованая с последовательностью {W (ni)}i∈N (см. предложение 1.8). Мы предположили, что динамическая система (X, f) не является неразложимой. Поэтому, найдется разбиение X = X1 ∐ X2 пространства X на два инвариантных за- мкнутых подмножества X1 и X2. Наборы множеств {P (m1) s1 = U (m1) s1 ∩X1}s1∈Zm1 и {Q (m1) s1 = U (m1) s1 ∩X2}s1∈Zm1 являются периодическими разбиениями динамических систем (X1, f \|X1) и (X2, f \|X2), соответствен- но (см. замечание 1.3 и доказательство предложения 1.3). Поэтому набор множеств Ũ (m1) s1 = P (m1) s1 ∪fn1(Q(m1) s1 ) = P (m1) s1 ∪f p k (Q(m1) s1 ) , s1 ∈ Zm1 , является периодическим разбиением динамической систе- мы (X, f) длины m1 = pk+1 (см. доказательство предложе- ния 1.3). Периодические разбиения U (m1) и W (n1) согласованы и n1 делит m1, следовательно, найдется τ ∈ Zn1 , такое что U (m1) 0 = P (m1) 0 ∪Q (m1) 0 ⊆W (n1) τ (см. следствие 1.6). Заметим, что так как f : X → X — гомеоморфизм, то fn1(Q (m1) 0 ) = fn1(Q (m1) 0 ∩W (n1) τ ) = = fn1(Q (m1) 0 ) ∩ fn1(W (n1) τ ) = = fn1(Q (m1) 0 ) ∩W (n1) τ ⊆W (n1) τ . Следовательно, Ũ (m1) 0 ⊆ W (n1) τ . Из следствия 1.5 делаем вывод, что периодические разбиения Ũ (m1) и W (n1) согла- сованы. О проекциях на одометры ... 405 Применяя индуктивно предложение 1.7 и замечание 1.6, получим когерентную последовательность {Ũ (mj)}j∈N пе- риодических разбиений динамической системы (X, f), со- гласованную с последовательностью {W (ni)}i∈N. Пусть T и T̃ — разбиения пространства X, индуциро- ванные последовательностями {U (mj )}mj∈N и {Ũ (mj )}mj∈N, соответственно. Повторяя рассуждения из доказательства леммы 3.6, найдем (h1, (A ′ 1, g ′ 1)), (h2, (A ′ 2, g ′ 2)) ∈ ObB(X, f), для ко- торых T = zer h1, T̃ = zer h2 и hB(X,f)((hi, (A ′ i, g ′ i)), (h, (A, g))) 6= ∅ , i = 1, 2 . Найдем (π1, (A1, g1)), (π2, (A2, g2)) ∈ Ob B′ 0(X, f), кото- рые изоморфны объектам (h1, (A ′ 1, g ′ 1)) и (h2, (A ′ 2, g ′ 2)) со- ответственно. Очевидно, hB(X,f)((πi, (Ai, gi)), (h, (A, g))) 6= ∅ , i = 1, 2 . Для того, чтобы убедиться в справедливости неравен- ства (π1, (A1, g1)) 6= (π2, (A2, g2)), нам достаточно показать, что объекты (h1, (A ′ 1, g ′ 1)) и (h2, (A ′ 2, g ′ 2)) не изоморфны. Воспользуемся для этого замечанием 3.14 (напомним, что Φ(P(A′ 1, g ′ 1)) = Φ(P(A′ 2, g ′ 2)) = N по построению, следова- тельно, динамические системы (A′ 1, g ′ 1) и (A′ 2, g ′ 2) топологи- чески сопряжены). Проверим равенство (3.9) HB(X,f)((h1, (A ′ 1, g ′ 1)), (h2, (A ′ 2, g ′ 2))) = ∅ . Предположим, что это равенство не верно и существует морфизм α : (h1, (A ′ 1, g ′ 1)) → (h2, (A ′ 2, g ′ 2)). Тогда морфизм α̃ = Θ(α) : (A′ 1, g ′ 1)→ (A′ 2, g ′ 2) является изоморфизмом (см. следствие 3.5). Следовательно, zer(α̃◦h1) = zer h1. Так как h2 = α̃ ◦ h1 по определению, то T̃ = zer h2 = zer(α̃ ◦ h1) = zer h1 = T. 406 Е.А.Полулях С другой стороны, последовательности {U (mj)}j∈N и {Ũ (mj)}j∈N не являются согласованными. Действительно, по построению ∅ 6= U (m1) 0 ∩ Ũ (m1) 0 = P (m1) 0 ⊆ X1, следова- тельно ⋃ n∈Z fn(U (m1) 0 ∩ Ũ (m1) 0 ) ⊆ X1 и периодические разбиения U (m1) и Ũ (m1) не согласованы. Поэтому из следствия 3.2 заключаем, что T 6= T̃. Полученное противоречие доказывает равенство (3.9). Равенство HB(X,f)((h2, (A ′ 2, g ′ 2)), (h1, (A ′ 1, g ′ 1))) = ∅ доказывается аналогично. � Замечание 3.15. Очевидно, множество (Σ,≤) обладает наименьшим элементом E = (Ep = 0)p∈S = Φ0(1). Следовательно, объект E является правым нулем ка- тегории L(Σ(X, f)) для любой динамической системы (X, f). В категории A0(X, f) элементу E соответствует ди- намическая система ({pt}, Id) с фазовым пространством, состоящим из одной точки (соответствует в том смыс- ле, что Φ(P({pt}, Id)) = E). Предложение 3.16. Категория B′ 0(X, f) обладает пра- вым нулем 0R ∈ Ob B′ 0(X, f). Доказательство. Очевидно, существует ровно одна про- екция π0 : X → {pt} и она удовлетворяет соотношению π0 ◦ f = Id ◦ π0. Обозначим 0R = (π0, ({pt}, Id)). Пусть (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f). Очевидно, однозначно определена проекция π : A→ {pt} и для нее выполняются О проекциях на одометры ... 407 соотношения π◦g = Id◦π и π◦h = π0 : (X, f)→ ({pt}, Id). � Замечание 3.16. Так как любые два различных объекта категории B′ 0(X, f) не изоморфны (по определению скеле- та категории), то правый ноль определен однозначно. Теперь из леммы 3.8 мы можем извлечь следующие ут- верждения. Следствие 3.12. Пусть Φ(P(X, f)) 6= E, N ∈ Σ(X, f) и N 6= E. Найдется (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f), для которого Φ(P(A, g)) = N , и эквивалентны следующие утвержде- ния: (i) объект (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f), такой что Φ(P(A, g)) = N , определен однозначно; (ii) динамическая система (X, f) неразложима. Доказательство . Применим леммы 3.7 и 3.8 к объекту 0R ∈ Ob B′ 0(X, f) и числу N ∈ Σ(X, f). � Замечание 3.17. Следствие 3.12 допускает другую фор- мулировку: — отображение Λ0 : ObB′ 0(X, f) → Ob L(Σ(X, f)) сюръективно; — если Φ(P(X, f)) 6= E, то инъективность отобра- жения Λ0 эквивалентна тому, что динамическая система (X, f) неразложима. Следствие 3.13. Если динамическая система (X, f) не- разложима, то для любых двух объектов (h1, (A1, g1)) и (h2, (A2, g2)) категории B′ 0(X, f) неравенство HB(X,f)((h2, (A2, g2)), (h1, (A1, g1))) 6= ∅ 408 Е.А.Полулях выполняется тогда и только тогда, когда справедливо неравенство Φ(P(A1, g1)) ≤ Φ(P(A2, g2)). Доказательство. Пусть (h1, (A1, g1)), (h2, (A2, g2)) ∈ Ob B′ 0(X, f) . Если HB(X,f)((h2, (A2, g2)), (h1, (A1, g1))) 6= ∅, то из лем- мы 3.5 следует, что Φ(P(A1, g1)) ≤ Φ(P(A2, g2)). Пусть теперь Φ(P(A1, g1)) ≤ Φ(P(A2, g2)). Воспользуем- ся леммой 3.7 и найдем (h′2, (A ′ 2, g ′ 2)) ∈ ObB′ 0(X, f), для которого Φ(P(A′ 2, g ′ 2)) = Φ(P(A2, g2)) и HB(X,f)((h ′ 2, (A ′ 2, g ′ 2)), (h1, (A1, g1))) 6= ∅ . Равенство (h′2, (A ′ 2, g ′ 2)) = (h2, (A2, g2)) получается из след- ствия 3.12. � Лемма 3.9. Пусть Φ(P(X, f)) 6= E. Тогда следующие ут- верждения эквивалентны: (i) категория B′ 0(X, f) обладает левым нулем 0L ∈ Ob B′ 0(X, f); (ii) динамическая система (X, f) неразложима. Доказательство. 1). Предположим, что динамическая система (X, f) неразложима. Из следствия 3.12 вытекает, что существует единствен- ный объект (h, (A, g)) ∈ Ob B′ 0(X, f), для которого выпол- няется равенство Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)). Теорема 3.1 гарантирует нам, что для любого объекта (h′, (A′, g′)) категории B′ 0(X, f) справедливо неравенство Φ(P(A′, g′)) ≤ Φ(P(A, g)). Теперь следствие 3.13 и лем- ма 3.5 показывают, что множество HB(X,f)((h, (A, g)), (h ′, (A′, g′))) О проекциях на одометры ... 409 содержит ровно один элемент для каждого (h′, (A′, g′)) ∈ ObB′ 0(X, f), следовательно (h, (A, g)) левый нуль катего- рии B′ 0(X, f). 2). Пусть динамическая система (X, f) не является не- разложимой. Предположим, что существует левый ноль (h, (A, g)) ка- тегории B′ 0(X, f). Из теоремы 3.1 и леммы 3.5 заключаем, что Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)). Из следствия 3.12 вытекает, что в категории B′ 0(X, f) существует другой объект (h′, (A′, g′)), для которого вы- полняется равенство Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)). B′ 0(X, f) — скелет категории B(X, f) (см. предложе- ние 3.14), поэтому объекты (h′, (A′, g′)) и (h, (A, g)) не изо- морфны в категории B(X, f). Из замечания 3.14 следует, что HB(X,f)((h, (A, g)), (h ′, (A′, g′))) = ∅ и объект (h, (A, g)) не может быть левым нулем категории B′ 0(X, f). Полученное противоречие завершает доказательство. � Теорема 3.6. Пусть Φ(P(X, f)) 6= E, B0(X, f) — скелет категории B(X, f). Следующие утверждения эквивалентны: (i) динамическая система (X, f) неразложима; (ii) категории B0(X, f) и L(Σ(X, f)) изоморфны. Доказательство. По определению, категория L(Σ(X, f)) обладает левым нулем Φ(P(X, f)) ∈ Ob L(Σ(X, f)). Следо- вательно, необходимым условием изоморфности категорий B0(X, f) и L(Σ(X, f)) является существование левого нуля в категории B0(X, f). 410 Е.А.Полулях Подкатегория B′ 0(X, f) является скелетом категории B(X, f) (см предложение 3.14), следовательно, она изо- морфна скелету B0(X, f). Если динамическая система (X, f) не является неразложимой, то из леммы 3.9 заклю- чаем, что в категории B0(X, f) нет левого нуля и она не изоморфна категории L(Σ(X, f)). Пусть теперь (X, f) — неразложимая динамическая си- стема. Докажем, что функтор Λ : B′ 0(X, f) → L(Σ(X, f)) (см. следствие 3.11) задает изоморфизм между категори- ями B′ 0(X, f) и L(Σ(X, f)). Из замечания 3.17 следует биективность отображения Λ0 : Ob B′ 0(X, f)→ Ob L(Σ(X, f)). Пусть M , N ∈ Ob L(Σ(X, f)). Из следствия 3.13 заклю- чаем, что неравенства HL(Σ(X,f))(M,N) 6= ∅ и HB′ 0(X,f)(Λ −1 0 (M),Λ−1 0 (N)) 6= ∅ эквивалентны. Так как множества морфизмов HL(Σ(X,f))(M,N) и HB′ 0(X,f)(Λ −1 0 (M),Λ−1 0 (N)) содержат не более чем по одному элементу (см. определение категории L(Σ(X, f)) и лемму 3.5), то отображение ΛΛ−1 0 (M),Λ−1 0 (N) : : HB′ 0(X,f)(Λ −1 0 (M),Λ−1 0 (N))→ HL(Σ(X,f))(M,N) биективно для любой пары M , N ∈ Ob L(Σ(X, f)). Итак, Λ : B′ 0(X, f)→ L(Σ(X, f)) задает изоморфизм ка- тегорий B′ 0(X, f) и L(Σ(X, f)). Следовательно, категории B0(X, f) и L(Σ(X, f)) также изоморфны. � 3.8. Расширения одометров и почти периодические точки. Предложение 3.17. Пусть (A, g) ∈ Ob A(X, f). О проекциях на одометры ... 411 Пусть существует проекция π : (X, f) → (A, g), та- кая что для некоторого x ∈ X выполняется равенство π−1(π(x)) = {x}. Тогда справедливы следующие утверждения: (i) точка x ∈ X почти периодическая точка динами- ческой системы (X, f); (ii) для любой точки y ∈ X выполняется включение Orbf(x) ⊆ α(y) ∩ ω(y) (следовательно, Orbf(x) — единственное минимальное множество динамиче- ской системы (X, f), в частности динамическая система (X, f) неразложима; (iii) Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)); (iv) для любой проекции π′ : (X, f) → (A′, g′), (A′, g′) ∈ ObA, следующие условия эквивалентны: a) (π′)−1(π′(x)) = {x}, b) Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)); (v) если динамическая система (X, f) минимальна, то для каждой почти периодической точки y ∈ X динамической системы (X, f) выполняется равен- ство π−1(π(y)) = {y}. Прежде, чем доказывать предложение 3.17 и извлекать из него следствия, докажем три леммы. Лемма 3.10. Рассмотрим два объекта (A1, g1), (A2, g2) ∈ ObA, и морфизм h : (A1, g1)→ (A2, g2). Если найдется x ∈ A1, для которого h−1(h(x)) = {x}, то h ∈ IsoA. Доказательство . Так как (A2, g2) — минимальная ди- намическая система (см. замечание 3.2), то h — проекция (см. замечание 3.8). Пусть y ∈ A1. Обозначим через H(y) элемент разбиения zer h пространства A1, содержащий y. 412 Е.А.Полулях Из следствия 3.6 нам известно, что существует един- ственный изоморфизм hy, x : (A1, g1) → (A1, g1), такой что hy, x(y) = x. Рассмотрим проекцию h̃ = h ◦ hy, x : (A1, g1)→ (A2, g2). Обозначим через H̃(y) элемент разбиения zer h̃ пространства A1, содержащий y. Пусть z = h(x) ∈ A2. Ясно, что h̃−1(z) = h−1 y, x(h −1(z)) = h−1 y, x(x) = {y} = H̃(y) . Динамическая система (A2, g2) минимальна, поэтому она неразложима. Из леммы 3.3 заключаем, что zer h = zer h̃. Следовательно, h−1(h(y)) = H(y) = H̃(y) = {y}. � Лемма 3.11. Пусть динамическая система (X, f) ми- нимальна и x ∈ X — почти периодическая точка этой динамической системы. Тогда существуют одометр (A, g) ∈ A(X, f) и проек- ция π : (X, f)→ (A, g), такие что Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)) и π−1(π(x)) = {x}. Доказательство . Зафиксируем правильную последова- тельность {ni}i∈N, такую что Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(X, f)), и правильную последовательность {W (ni)}i∈N периодиче- ских разбиений динамической системы (X, f). Не огра- ничивая общности рассуждений, можно считать, что x ∈ W (ni) 0 , i ∈ N (см. замечание 1.6). Пусть H — разбиение пространства X, индуцированное последовательностью {W (ni)}i∈N и пусть F : (X, f)→ (X/H, f) = (A, g) — проекция на динамическую систему (A, g) ∈ A(X, f) (см. соотношение (3.4), замечание 3.4 и предложение 3.3). Тогда Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)). О проекциях на одометры ... 413 Так как zerF = H, то для завершения доказательства нам достаточно проверить равенство {x} = ⋂ i∈N W (ni) 0 . Предположим, что это равенство не выполняется и най- дется y 6= x, такое что y ∈ ⋂ i∈N W (ni) 0 . Пространство X хаусдорфово, поэтому найдется замкну- тая окрестность U ⊆ X \ {y} точки x. Так как точка x почти периодическая, то из леммы 1.5 заключаем, что най- дется m ∈ P(X, f) и периодическое разбиение W̃ (m) дина- мической системы (X, f), такое что x ∈ W̃ (m) 0 ⊆ U . Очевидно, постоянная последовательность {mj = m}j∈N является правильной. Из леммы 2.1 заключаем, что Φ0(m) = Φ({mj \| j ∈ N}) ≤ Φ(P(X, f)) = Φ({ni \| i ∈ N}). Поэтому из предложения 2.3 следует, что существует k ∈ N, такое что m1 = m делит nk. Динамическая система (X, f) минимальна, поэтому она неразложима. Из следствия 1.1 вытекает, что периодиче- ские разбиения W̃ (m) и W (nk) согласованы, поэтому (см. следствие 1.6) имеет место включение x ∈W (nk) 0 ⊆ W̃ (m) 0 ⊆ U ⊆ X \ {y} и y /∈ ⋂ i∈N W (ni) 0 . Полученное противоречие завершает доказательство. � 414 Е.А.Полулях Лемма 3.12. Пусть x ∈ Y1 — почти периодическая точ- ка динамической системы (Y1, h1). Пусть π : (Y1, h1) → (Y2, h2) — проекция. Тогда y = π(x) ∈ Y2 — почти периодическая точка ди- намической системы (Y2, h2). Доказательство. Пусть U ⊆ Y2 — открытая окрестность точки y. Так как отображение π : Y1 → Y2 непрерывно, то V = π−1(U) — открытая окрестность почти периодической точки x. Следовательно, существует n(V ) ∈ N, такое что ⋃ k∈Z h kn(V ) 1 (x) ⊆ V . Тогда ⋃ k∈Z h kn(V ) 2 (y) = ⋃ k∈Z h kn(V ) 2 ◦ π(x) = = ⋃ k∈Z π ◦ h kn(V ) 1 (x) ⊆ π(V ) = U . Из произвола в выборе окрестности U следует, что y = π(x) — почти периодическая точка динамической системы (Y2, h2). � Доказательство предложения 3.17. (i) Фиксируем правильную последовательность {ni}i∈N, такую что Φ({ni \| i ∈ N}) = Φ(P(A, g)). Построим правильную по- следовательность {V (ni)}i∈N периодических разбиений ди- намической системы (A, g). Не ограничивая общности рас- суждений, можно считать, что z = π(x) ∈ V (ni) 0 , i ∈ N (см. замечание 1.6). О проекциях на одометры ... 415 Согласно предложению 3.8 набор множеств {V (ni) si \| si ∈ Zni i ∈ N} является базой топологии пространства A. По- этому {z} = ⋂ i∈N V (ni) 0 . Кроме того, так как последовательность {V (ni)}i∈N пра- вильная, то V (ni+1) 0 ⊆ V (ni) 0 , i ∈ N (см. следствие 1.6). Рассмотрим прообразы {W (ni) si = π−1(V (ni) si ) \| si ∈ Zni }, i ∈ N, периодических разбиений {V (ni) si \| si ∈ Zni }, i ∈ N. Ясно, что W (ni+1) 0 ⊆W (ni) 0 , i ∈ N, и {x} = π−1(z) = ⋂ i∈N W (ni) 0 . Из предложения 3.7 и следствия 1.5 делаем вывод, что {W (ni)}i∈N — правильная последовательность периодиче- ских разбиений динамической системы (X, f). Пусть U ⊆ X — открытая окрестность точки x. Так как пространство X компактно, то все множества W (ni) 0 , i ∈ N, компактны. Применяя лемму 3.2, найдем k ∈ N, такое что x ∈W (nk) 0 ⊆ U . По определению периодического разбиения имеем ⋃ m∈Z fmnk(x) ⊆ ⋃ m∈Z fmnk(W (nk) 0 ) = W (nk) 0 ⊆ U . Из-за произвола в выборе окрестности U точка x явля- ется почти периодической. (ii) Пусть y ∈ X, t = π(y) ∈ A. Так как динамиче- ская система (A, g) минимальна (см. замечание 3.2), то α(t) = ω(t) = Orbg(t) = A. Следовательно, найдется моно- тонная неограниченно возрастающая последовательность чисел {ni ∈ Z}i∈N, такая что z = π(x) = limi→∞ gni(t). 416 Е.А.Полулях Рассмотрим последовательность {fni(y) ∈ X}i∈N. Про- странство X компактно, поэтому эта последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку x′ ∈ X. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что x′ = limi→∞ fni(y). Следовательно, x′ ∈ ω(y). С другой стороны, π ◦ fni(y) = gni ◦ π(y) = gni(t), следо- вательно π(x′) = lim i→∞ π ◦ fni(x) = lim i→∞ gni(t) = π(x) и x = x′ ∈ ω(y). Так как ω(y) — замкнутое инвариант- ное множество динамической системы (X, f), то Orbf (x) ⊆ ω(y). Соотношение Orbf(x) ⊆ α(y) доказывается аналогично. (iii) Рассмотрим (π, (A, g)) ∈ Ob B(X, f). Из теоре- мы 3.1 заключаем, что Φ(P(A, g)) ≤ Φ(P(X, f)). Приме- ним лемму 3.6 и найдем (π′, (A′, g′)) ∈ ObB(X, f), такой что Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)) и существует h ∈ HB(X,f)((π ′, (A′, g′)), (π, (A, g))) . Иными словами, существуют (A′, g′) ∈ A(X, f) и морфизм h : (A′, g′) → (A, g), такие что Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)) и π = h ◦ π′. Из замечания 3.8 заключаем, что отображение π′ : X → A′ сюръективно. Следовательно для любого подмножества B ⊆ A′ выполняется равенство π′((π′)−1(B)) = B. Пусть z′ = π′(x) ∈ A′. Тогда h(z′) = h ◦ π′(x) = z. Име- ет место цепочка равенств (π′)−1(h−1(z)) = π−1(z) = {x}, следовательно h−1(h(z′)) = h−1(z) = π′((π′)−1(h−1(z))) = {π′(x)} = {z′} . О проекциях на одометры ... 417 Применяя лемму 3.10, заключаем, что h : (A′, g′) → (A, g) — изоморфизм. Следовательно, Φ(P(A, g)) = Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)) . (iv) То, что из условия a) следует условие b), мы уже проверили в пункте (iii). Пусть (A′g′) ∈ A(X, f), Φ(P(A′, g′)) = Φ(P(X, f)) и π′ : (X, f)→ (A′, g′) — проекция. Динамическая система (X, f) неразложима (см. пункт (ii)), поэтому из леммы 3.8 следует, что объекты (π′, (A′, g′)) и (π, (A, g)) категории B(X, f) изоморфны (на- помним, что B′ 0(X, f) скелет категории B(X, f)). Найдем изоморфизм ρ : (A, g) → (A′, g′), такой что π′ = ρ ◦ π. Кроме того, очевидно π = ρ−1 ◦ π′. Применяя лемму 0.2, заключаем, что разбиения zer π и zer π′ совпадают. Множества π−1(π(x)) и (π′)−1(π′(x)) являются элемен- тами разбиений zer π и zer π′ соответственно, и содержат точку x. Следовательно, (π′)−1(π′(x)) = π−1(π(x)) = {x}. (v) Пусть динамическая система (X, f) минимальна и y ∈ X — почти периодическая точка этой динамической системы. Применяя лемму 3.11, найдем проекцию π′ : (X, f) → (A′, g′), (A′, g′) ∈ A(X, f), такую что (π′)−1(π′)(y) = {y}. Тогда меняя ролями проекции π и π′, из пункта (iv) полу- чим (π)−1(π)(y) = {y}. � Определение 3.7. Динамическая система (Y1, h1) назы- вается почти взаимно-однозначным расширением дина- мической системы (Y2, h2), если для некоторой проекции π : (Y1, h1)→ (Y2, h2) существует всюду плотное подмно- жество Q ⊆ Y1, такое что для любого y ∈ Q выполняет- ся условие π−1(π(y)) = {y}. 418 Е.А.Полулях Следствие 3.14 (см. [13]). Динамическая система (X, f) является почти взаимно-однозначным расширением одо- метра тогда и только тогда, когда X = Orbf (x) для по- чти периодической точки x ∈ X. Доказательство . Пусть π : (X, f) → (Y, h) — проек- ция и для некоторой точки x ∈ X справедливо равенство π−1(π(x)) = {x}. Заметим, что так как f : X → X и h : Y → Y — гомео- морфизмы, то для каждого n ∈ Z выполняются равенства {x} = π−1(π(x)) = π−1(h−n ◦ π ◦ fn(x)) = = (hn ◦ π)−1(π ◦ fn(x)) = = (π ◦ fn)−1(π ◦ fn(x)) = f−n(π−1(π(fn(x)))) , следовательно {fn(x)} = fn ◦ f−n(π−1(π(fn(x)))) = π−1(π(fn(x))) . Иными словами, для каждого y ∈ Orbf(x) выполняется равенство π−1(π(y)) = {y}. Если динамическая система (X, f) минимальна, то X = Orbf(x) и динамическая система (X, f) является почти взаимно-однозначным расширением динамической систе- мы (Y, h). 1. Пусть X = Orbf (x) для некоторой почти периоди- ческой точки x ∈ X. Тогда динамическая система (X, f) минимальна по теореме Биркгофа и, применяя лемму 3.11 и рассуждения, приведенные выше, заключаем, что ди- намическая система (X, f) является почти взаимно-одно- значным расширением одометра. 2. Пусть динамическая система (X, f) является почти взаимно-однозначным расширением одометра (A, g). О проекциях на одометры ... 419 Фиксируем проекцию π : (X, f)→ (A, g), такую что для каждой точки y из некоторого всюду плотного множества Q ⊆ X выполняется равенство π−1(π(y)) = {y}. Из предложения 3.17, пункт (i), заключаем, что любая точка y ∈ Q является почти периодической точкой ди- намической системы (X, f). Следовательно, для каждого y ∈ Q множество Orbf (y) является минимальным множе- ством динамической системы (X, f). Отсюда заключаем, что для любых двух точек y1, y2 ∈ Q либо Orbf (y1)∩Orbf(y2) = ∅, либо Orbf(y1) = Orbf (y2). Фиксируем x ∈ Q. Для любого y ∈ Q имеем включения (см. предложение 3.17, пункт (ii)) Orbf(x) ⊆ α(y)∩ω(y) ⊆ Orbf(y). Следовательно, Orbf(x) = Orbf(y), в частности, y ∈ Orbf (x). Так как Q плотно в X, то X = Q = Orbf (x). � Следствие 3.15. Пусть (Y1, h1) — почти взаимно-одно- значное расширение одометра, π : (Y1, h1) → (Y2, h2) — проекция. Тогда динамическая система (Y2, h2) является почти взаимно-однозначным расширением одометра. Доказательство . Так как отображение π : Y1 → Y2 сюръективное и непрерывное, то для любого всюду плот- ного подмножества Q пространства Y1 его образ π(Q) всю- ду плотен в пространстве Y2. Из следствия 3.14 заключаем, что найдется почти пери- одическая точка x ∈ Y1, такая что Y1 = Orbh1(x). Из лем- мы 3.12 заключаем, что π(x) — почти периодическая точка динамической системы (Y2, h2), причем Orbh2(π(x)) = Y2 (см. выше). 420 Е.А.Полулях Снова применяя следствие 3.14, приходим к выводу, что (Y2, h2) — почти взаимно-однозначное расширение одомет- ра. � Следствие 3.16. Пусть (X, f) — почти взаимно-одно- значное расширение одометра, (A, g) ∈ A(X, f) и π : (X, f)→ (A, g) — проекция. Пусть Q = {y ∈ X \| π−1(π(y)) = {y}}. Если Φ(P(A, g)) = Φ(P(X, f)), то множество Q сов- падает с множеством всех почти периодических точек динамической системы (X, f). Если Φ(P(A, g)) 6= Φ(P(X, f)), то Q = ∅. Доказательство. Из следствия 3.14 и теоремы Биркгофа заключаем, что динамическая система (X, f) минимальна. Первая часть нашего утверждения получается из лем- мы 3.11 и предложения 3.17, пункты (i), (iv) и (v). Вторая часть следует из предложения 3.17, пункт (iii). � Следствие 3.17 (см. [13]). Пусть (X, f) — транзитив- ная динамическая система. Динамическая система (X, f) топологически сопряже- на с одометром тогда и только тогда, когда каждая точ- ка пространства X является почти периодической точ- кой динамической системы (X, f). Доказательство. 1. Пусть каждая точка пространства X является почти периодической точкой динамической си- стемы (X, f). Так как динамическая система (X, f) тран- зитивна, то по определению найдется x ∈ X, для которого X = Orbf(x). Применяя следствие 3.14, заключаем, что (X, f) — почти взаимно-однозначное расширение одомет- ра (в частности, динамическая система (X, f) минимальна О проекциях на одометры ... 421 по теореме Биркгофа). Воспользуемся леммой 3.11 и най- дем (A, g) ∈ A(X, f) и проекцию π : (X, f)→ (A, g), такую что π−1(π(x)) = {x}. Из следствия 3.16 заключаем, что отображение π : X → A взаимно-однозначно. Пространство X компактно, сле- довательно π — гомеоморфизм и π : (X, f) → (A, g) — изоморфизм в категории K0. 2. Пусть (X, f) ∈ A. Пусть Id : (X, f) → (X, f) — единичный морфизм. Так как отображение Id : X → X взаимно-однозначно, то из предложения 3.17, пункт (i), за- ключаем, что каждая точка пространства X является по- чти периодической точкой динамической системы (X, f). � Следствие 3.18 (см. [13]). Пусть динамическая система (A, g) топологически сопряжена с одометром, π : (A, g)→ (X, f) — проекция. Тогда динамическая система (X, f) топологически со- пряжена с одометром. Доказательство . Динамическая система (A, g) мини- мальна (см. замечание 3.2), поэтому она транзитивна. То- гда и динамическая система (X, f) транзитивна (см. дока- зательство следствия 3.15). Из следствия 3.17 и леммы 3.12 заключаем, что каждая точка пространства X почти периодическая точка дина- мической системы (X, f). Для завершения доказательства нам остается еще раз применить следствие 3.17. � Список литературы [1] R. Engelking General topology — Sigma Series in Pure Math., 6. — Heldermann Verlag, Berlin, 1989. — 529 p. 422 [2] Gottshalk W., Hedlund G. Topological dynamics — AMS Colloq. Publ., — Vol. 36, — AMS, Providence, R. I. — 1955. — 151 p. [3] Alekseev, V. M. Symbolic dynamics. (Russian) — Eleventh Mathematical School (Summer School, Kolomyya, 1973) (Russian). — Kiev: Izdanie Inst. Mat. Akad. Nauk Ukrain. SSR, 1976. — P. 5–210 [4] Birkgoff Dynamical systems — AMS Colloq. Publ. — V. 9, — AMS, Providence, R. I., — 1927 [5] Виноградов И. М. Основы теории чисел — М: Наука, 1965. — 172 с. [6] Kelley John L. General topology — D. Van Nostrand Company, Inc., Toronto-New York-London, 1955. — 298 p. [7] Christian Skau Minimal dynamical systems, ordered Bratteli diagrams and associated C∗ – crossed products // Current topics in operator algebras (Nara, 1990). — World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1991. — P. 264–280 [8] Robert Ellis Distal transformation groups // Pasific Journ. of Math. — 1958 — 8, N 3. — P. 401 – 405 [9] James G. Glimm On a certain class of operator algebras // Trans. of AMS — 1960 — 95, N 2. — P. 318 – 340 [10] G. Barat, T. Downarowicz, A. Iwanik & P. Liardet Propriétes topologiques et combinatoires des échelles de numération // Colloq. Math. — 2000 — 84/85, part 2. — P. 285-306; [11] S. MacLane Categories for the working mathematician. — Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5., — Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971. — 262 p. [12] H. Furstenberg Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory — M. B. Porter Lectures. — Princeton Univ. Press, Princeton N. J., 1981. — 203 p. [13] Louis Block, James Keesling A characterization of adding machine maps (to appear)

О проекциях на одометры динамических систем с компактным фазовым пространством

Institution

Ähnliche Einträge