Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек

Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Authors:	Власенко, И.Ю., Полулях, Е.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут математики НАН України 2006
Subjects:	Геометрія, топологія та їх застосування
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6291
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6291
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-62912016-05-19T13:52:27Z Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. Геометрія, топологія та їх застосування Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто. 2006 Article Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6291 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А. Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
description	Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто.
format	Article
author	Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А.
author_facet	Власенко, И.Ю. Полулях, Е.А.
author_sort	Власенко, И.Ю.
title	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
title_short	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
title_full	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
title_fullStr	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
title_full_unstemmed	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
title_sort	пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6291
citation_txt	Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек / И.Ю. Власенко, Е.А. Полулях // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 45-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT vlasenkoiû primernebluždaûŝegomnožestvaneimeûŝegorekurrentnyhipredelʹnyhtoček AT polulâhea primernebluždaûŝegomnožestvaneimeûŝegorekurrentnyhipredelʹnyhtoček
first_indexed	2025-07-02T09:13:46Z
last_indexed	2025-07-02T09:13:46Z
_version_	1836525946720485376
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 45-106 И.Ю.Власенко Институт математики НАН України E-mail: vlasenko@imath.kiev.ua Е.А.Полулях Институт математики НАН України E-mail: polukyah@imath.kiev.ua Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек1 Строятся примеры гладких потоков и каскадов на бесконечномерных многообразиях, таких, что все их точки неблуждающие, но множество их предельных, а тем более рекуррентных точек пусто. 1. Вступление Как известно, для типичной C1-гладкой динамической системы ее множество неблуждающих точек совпадает с множеством предельных точек и с замыканием множества рекуррентных точек. Поэтому примеры гладких динами- ческих систем с отличающимся поведением не так часты. В этой работе строятся примеры гладких динамических систем на компактных многообразиях с различающимися граничным, неблуждающим и цепно-рекуррентным мно- жествами, а также пример динамической системы, такой, 1Работа выполнена в рамках целевой программы НАН Украины “Со- временные методы иследования математических моделей в задачах при- родоведения и общественных науках” НИР № 0107U00233 c© И.Ю.Власенко, Е.А. Полулях, 2006 46 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях что все ее точки неблуждающие, но множество ее предель- ных, а тем более рекуррентных точек пусто. Надеемся, что подобные примеры, кроме новизны, послужат хорошей ил- люстрацией различия свойств предельных и неблуждаю- щих точек. Для полноты изложения, не претендуя на но- визну, здесь также приводится простой пример потока, у которого все точки цепно-рекуррентны, но нет неблужда- ющих точек (пример 2.4). Множество неблуждающих точек, не являющихся пре- дельными, изучалось в работах авторов [4, 14]. Исполь- зуя разработанную там теорию, мы строим последователь- ность компактных многообразий все возрастающей раз- мерности и динамических систем на них, таких, что у каж- дой системы — элемента этой последовательности — мно- жество неблуждающих точек состоит из подмногообразия меньшей размерности, а множество предельных точек од- но и то же и состоит из двух точек. Полученное в ин- дуктивном пределе пространство (того же класса, что и R∞, T∞, CP∞) является некомпактным неполным метри- ческим пространством. Полученные в индуктивном преде- ле динамические системы на этом пространстве — поток и каскад — обладают следующим интересным свойством: все их точки являются неблуждающими, но не являют- ся предельными (кроме двух точек, которые можно вы- колоть — пространство при этом топологически не ухуд- шится и останется некомпактным неполным метрическим пространством). Полученный таким образом пример позволяет положи- тельно ответить на поставленный в книге [7] вопрос о су- ществовании потоков без блуждающих и устойчивых по Пуассону траекторий, в частности, дает пример гладкого потока на неполном метрическом пространстве с центром Пример неблуждающего множества... 47 Биркгофа, не совпадающим с замыканием множества ре- куррентных точек. 2. Предварительные сведения 2.1. Множества траекторий. Пусть X — топологиче- ское пространство и f : X → X — гомеоморфизм. Обозначим через Of(x) траекторию точки x под дей- ствием f , т.е. множество {fn(x)\| n ∈ Z}. Пусть также O+ f (x) = {fn(x)\| n ∈ Z+} и O− f (x) = {fn(x)\| n ∈ Z−} обозначают положительную и отрицательную полутраек- тории точки x соответственно. 2.1.1. Множество неблуждающих точек динамической системы. Определение 2.1. Точка x ∈ X называется неподвиж- ной (фиксированной) точкой f если f(x) = x. Множе- ство всех неподвижных точек f обозначим через Fix(f). Определение 2.2. Точка x называется периодической периода n для гомеоморфизма f , если fn(x) = x и fk(x) 6= x для k = 1, . . . , n − 1. Множество всех периодических точек f обозначается че- рез Per(f). Для каждой точки x ∈ X определим ее ω-предельное ωf(x) и α-предельное αf(x) множества относительно f с помощью следующих формул: ωf (x) = ⋂ N∈N +∞⋃ n=N fn(x) и αf(x) = ⋂ N∈N +∞⋃ n=N f−n(x). 48 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Другими словами, y ∈ ωf(x) тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность {Ni} ⊂ N, что lim i→∞ Ni = +∞ и lim i→∞ fNi(x) = y. Аналогично, y ∈ αf(x) тогда и только тогда, для неко- торой последовательности {Ni} ⊂ N, такой, что lim i→∞ Ni = +∞ и lim i→∞ f−Ni(x) = y. Ясно, что ωf(x) = αf−1(x). Зачастую, когда понятно о каком гомеоморфизме идет речь, мы будем опускать индекс f и обозначать множества ωf(x) и αf (x) через ω(x) и α(x) соответственно. Следующая лемма очевидна. Лемма 2.1. Множества α(x) и ω(x) — замкнуты, инва- риантны относительно f и содержащиеся в замыкании Of(x) орбиты точки x. В частности, если y ∈ ω(x), то α(y) ∪ ω(y) ⊂ Of(y) ⊂ ω(x). Обозначим Lim−(f) = ⋃ x∈M α(x), Lim+(f) = ⋃ x∈M ω(x), Lim(f) = Lim−(f) ∪ Lim+(f). Множество Lim(f) называется предельным множеством f . Определение 2.3. Точка x называется рекуррентной для гомеоморфизма f , если x ∈ α(x) ∪ ω(x). Если x ∈ α(x) то мы будем называть эту точку α- рекуррентной или α-рекуррентной. Аналогично опреде- ляется ω-рекуррентность. Пример неблуждающего множества... 49 Заметим, что возможен случай, когда x ∈ α(x) ∩ ω(x). Такая точка является одновременно α- и ω-рекуррентной. Обозначим через Rec+(f) и Rec−(f) соответственно мно- жества всех ω- и α-рекуррентных точек f . Их объединение Rec(f) = Rec+(f) ∪ Rec−(f) является множеством всех рекуррентных точек f . Оче- видно, что Rec(f) ⊂ Lim(f). Следующее определение было дано Биркгофом в [8]. Определение 2.4. Точка x ∈ X называется блуждаю- щей точкой f , если найдется такая ее окрестность U , что fm(U) ∩ U = ∅ для всех m > 0. Все остальные точки называют неблуждающими. Та- ким образом, точка x ∈ X является неблуждающей для f , если для любой ее окрестности V найдется такое це- лое число m ∈ Z, что fm(V ) ∩ V 6= ∅. Множество блуждающих точек f обозначим через W (f). Поскольку каждая блуждающая точка входит в блужда- ющее множество вместе со своей окрестностью, то W (f) открыто в X. Множество неблуждающих точек f обозначается Ω(f). Оно замкнуто в X как дополнение к W (f). Так как периодическая точка является частным случаем неблуждающей точки, то множество Per(f) периодических точек содержится в Ω(f). Пример 2.1. Всякая изолированная точка пространства X является либо периодической, либо блуждающей. 50 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Лемма 2.2. Если X хаусдорфово пространство, то чис- ло m в определении 2.4 неблуждающей точки можно вы- брать сколь угодно большим по модулю. Доказательство. Пусть для некоторой окрестности V не- блуждающей точки x ∈ X найдется только конечное мно- жество чисел m1, . . . , mk ∈ Z \ {0} таких, что fmi(V ) ∩ V 6= ∅. Мы получим противоречие, показав, что тогда x неблужа- ющая точка для f . Отметим, что x не может быть периодической, так как если p — период x, то x ∈ f pk(V ) ∩ V 6= ∅ для каждого k ∈ Z \ {0}. Далее, так как X хаусдорфово, то точки x, fm1(x), . . . , fmk(x) имеют попарно непересекающиеся окрестности U0, U1, . . . , Uk, соответственно. Рассмотрим следующую окрестность U = V ⋂ k ∩ i=0 f−mi(Ui) точки x. Мы утверждаем, что тогда fk(U)∩U = ∅ для всех k 6= 0. Действительно, если k 6∈ {m1, . . . , mk}, то по предположе- нию об окрестности V fk(U) ∩ U ⊂ fk(V ) ∩ V = ∅. Если же k = mi, то fmi(U) ∩ U ⊂ fmif−mi(Ui) ∩ U0 = Ui ∩ U0 = ∅. Следовательно, x — блуждающая точка для f . � Пример неблуждающего множества... 51 Отметим, что неблуждающее множество, в отличие от множества периодических точек, зависит от того, на каком пространстве действует динамическая система. Утверждение 2.1. Пусть (Y, g) — динамическая систе- ма и Y1 — ее инвариантное подпространство. Положим g1 = g\|Y1 . Тогда Ω(g1) ⊆ Ω(g). Доказательство. Утверждение следует из того, что для каждого y ∈ Y1 все открытые окрестности точки y в про- странстве Y1 — это в точности пересечения открытых ок- рестностей точки y в пространстве Y с подпространством Y1. � Заметим, что f -инвариантного подпространства A ⊆ X выполнено неравенство Ω(f \|A) ⊆ Ω(f), но при этом множе- ства Ω(f \|A) и Ω(f), вообще говоря, не обязаны совпадать, даже если Ω(f) ⊆ A. Это замечание приводит к понятию центра динамиче- ской системы, которое было введено Биркгофом в [8]. 2.1.2. Центр Биркгофа динамической системы. Рассмот- рим динамическую систему (X, f). Наивное определение ее центра Биркгофа состоит в том, чтобы максимально проитерировать конструкцию неблуждающего множества. Положим Ω1(f) = Ω(f) и по индукции определим Ωn+1(f) = Ω(f \|Ωn(f)). Пересечение полученной последовательности вложенных друг в друга замкнутых инвариантных множеств Ω(f) = Ω1(f) ⊃ Ω2(f) ⊃ · · · ⊃ Ωn(f) ⊃ · · · обозначим через Ωω(f). Используя трансфинитную индук- цию можно определить множества Ωλ(f) для всех поряд- ковых чисел λ. Тогда, согласно лемме Цорна, убывающая 52 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях цепочка множеств {Ωλ(f)} должна остановиться на неко- тором счетном ординале α, для которого Ωγ(f) = Ω(f \|Ωγ(f)). Полученное замкнутое инвариантное множество и назы- вается центром (Биркгофа). Будем обозначать его через BC(f). Опишем построение BC(f) более детально. База индукции. Положим Ω1(f) = Ω(f). Шаг индукции. Пусть λ — некоторое порядковое чис- ло. Предположим, что множества Ωα(f) уже определены для всех ординалов α < λ. Для того, чтобы определить множество Ωλ(f), рассмот- рим два случая: (i) λ имеет предшествующий элемент (λ−1) < λ в классе Ξ всех ординалов. Это означает, что для любого β ∈ Ξ либо β ≤ (λ − 1), либо β ≥ λ. Положим Ωλ(f) = Ω ( f \|Ωλ−1(f) ) . Тогда, в частности, имеем, что Ωn+1(f) = Ω ( f \|Ωn(f) ) для всех n ∈ N. (ii) λ не имеет непосредственно предшествующего ему порядкового числа. Тогда положим Ωλ(f) = ⋂ α<λ Ωα(f) , в частности, Ωω(f) = ∩n∈NΩn(f). Таким образом, мы получили набор замкнутых инва- риантных подмножеств {Ωλ(f)}λ∈Ξ пространства X. При этом, по построению, соотношения Ωα(f) ⊇ Ωβ(f) и α ≤ β Пример неблуждающего множества... 53 равносильны. Таким образом, порядок, индуцированный отношением включения на семействе множеств {Ωλ(f)}, является полным порядком. Лемма 2.3. Существует порядковое число γ такое, что Ωγ+1(f) = Ωγ(f) (следовательно, и Ωα(f) = Ωγ(f) для всех α > γ). Доказательство. Заметим, что для каждого ординала λ существует порядковое число (λ+1), следующее непосред- ственно за λ. Действительно, пусть Aλ = {α ∈ Ξ \| α > λ}. Тогда Aλ вполне упорядочено и содержит наименьший эле- мент λ + 1. Поэтому для каждого ординала α либо α ≤ λ, либо α ≥ λ + 1. Предположим, что Ωλ+1(f) $ Ωλ(f) для всех λ ∈ Ξ. Обозначим Bλ = Ωλ(f) \ Ωλ+1(f), λ ∈ Ξ. Тогда Bλ ∩ Bλ′ = ∅ для λ 6= λ′ ∈ Ξ. Воспользуемся тео- ремой Цермело (см. [12, 13]) и выберем из каждого Bλ по точке xλ ∈ Bλ, λ ∈ Ξ (напомним, что Bλ ∈ 2X для всех λ ∈ Ξ). Множество всех ξ < α, ξ ∈ Ξ, обозначим через Γ(α). Тогда для каждого α ∈ Ξ получим инъективное отобра- жение Φα : Γ(α) → X, заданное формулой: Φα(β) = xβ . Пусть ℵµ — кардинальное число, соответствующее мощ- ности множества X. По определению, ℵα = card(Γ(ωα)) , где ωα — порядковое число, соответствующее предельному порядковому типу. Напомним (см. [13]), что порядковый тип ξ вполне упо- рядоченного множества Z называется предельным, если он 54 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях является наименьшим порядковым числом среди всех по- рядковых чисел, соответствующих всем возможным упо- рядочениям множества Z, превращающим его во вполне упорядоченное множество. (Предельные порядковые типы принято индексировать по возрастанию элементами Ξ.) Таким образом получаем неравенство card X = ℵµ < ℵµ+1 = card(Γ(ωµ+1)) , которое, очевидно, противоречит существованию инъек- тивного отображения Φωµ+1 : Γ(ωµ+1) → X . Следовательно, найдется такое γ ∈ Ξ, что Bγ = Ωγ(f) \ Ωγ+1(f) = ∅. Но тогда Ωγ(f) = Ωγ+1(f). � Используя лемму, дадим следующее определение. Определение 2.5. Пусть γ ∈ Ξ — наименьший орди- нал, удовлетворяющий утверждению леммы 2.3 (он су- ществует, так как Ξ вполне упорядочено). Замкнутое инвариантное подмножество BC(f) = Ωγ(f) динамической системы (X, f) называется ее центром, порядковое число γ называется глубиной центра дина- мической системы (X, f). Замечание 2.1. Применяя теорему Бэра – Хаусдорфа (см. [1]) для топологических пространств со счетной ба- зой (в частности, для сепарабельных метрических про- странств), легко показать, что глубина центра произволь- ной динамической системы с таким фазовым простран- ством является счетным трансфинитом. Пример неблуждающего множества... 55 Заметим, что множество рекуррентных точек всегда со- держится в центре Биркгофа. Поэтому, если множество рекуррентных точек всюду плотно в неблуждающем мно- жестве, то стабилизация наступает уже на первом шаге. 2.1.3. Цепно-рекуррентные множества. Такие множест- ва являются своего рода метрическим аналогом неблужда- ющих множеств. Они введены Конли [9] для описания ди- намики типичных гомеоморфизмов и оказались удобным способом для описания динамики произвольных систем. Определение 2.6. Пусть f : X → X — непрерывное отображение метрического пространства (X, d) в себя и ε > 0. Непустая конечная последовательность точек x0, x1, . . . , xn из X называется ε-цепью, относительно f , если d(f(xi−1), xi) < ε для всех i = 1, . . . , n. Будем говорить, что такая ε-цепь начинается в x0, за- канчивается в xn и имеет длину n. Обозначим через Cε(x, f) множество концов всевозмож- ных ε-цепей с началом в x. Очевидно, что при ε < ε′ каждая ε-цепь от x к y также является ε′-цепью, поэтому Cε(x, f) ⊆ Cε′(x, f) при ε < ε′. В действительности верно более сильное утверждение: Лемма 2.4. Каждое множество Cε(x, f) открыто и Cε(x, f) ⊆ Cε′(x, f) при ε < ε′. Доказательство. Пусть y ∈ Cε(x, f) и x, x1, . . . , xn−1, y — ε-цепь с началом в x и концом в y. Так как d(f(xn−1), y) < ε, 56 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях то d(f(xn−1), y) + δ < ε для некоторого достаточно ма- лого δ > 0. Поэтому для произвольной точки y′ из δ- окрестности точки y последовательность x0 = x, x1, . . . , xn−1, y′ является ε-цепью от x к y′, т.е. y′ ∈ Cε(x, f). Таким обра- зом множество Cε(x, f) содержит δ-окрестность точки y и поэтому оно открыто. Предположим, что y ∈ Cε(x, f). Тогда найдется такая точка y′ ∈ Cε(x, f), что d(y′, y) < ε′ − ε. Пусть x, x1, . . . , xn−1, y′ произвольная ε-цепь с началом в x и концом в y′. Тогда x, x1, . . . , xn−1, y является ε′-цепью между x и y. Действительно, d(f(xi), xi+1) < ε < ε′ и d(f(xn−1), y) < d(f(xn−1), y ′) + d(y′, y) < ε + ε′ − ε = ε′. Следовательно, y ∈ Cε′(x, f). � Обозначим C(x, f) def == ⋂ ε>0 Cε(x, f). Из леммы 2.4 вытекает, что C(x, f) = ⋂ ε>0 Cε(x, f), а значит C(x, f) замкнуто в X. Определение 2.7. Точка x ∈ X называется цепно-ре- куррентной для f , если x ∈ C(x, f). Множество цепно- рекуррентных точек f обозначается через C(f). Пример неблуждающего множества... 57 Несложно видеть, что каждая неблуждающая точка яв- ляется цепно-рекуррентной, поэтому имеют место следую- щие включения: Fix(f) ⊂ Per(f) ⊂ Rec(f) ⊂ Lim(f) ⊂ Ω(f) ⊂ C(f). Лемма 2.5. Если f : X → X равномерно непрерывный гомеоморфизм, то C(f) замкнуто и C(f−1) ⊂ C(f). В частности, если f−1 также равномерно непрерывен, то C(f−1) = C(f). Доказательство. (1) Вначале докажем, что C(f−1) ⊂ C(f). Действительно, равномерная непрерывность f означает, что для произвольного ω > 0 найдется такое δ(ω) > 0, что из d(x, y) < δ(ω) вытекает, что d(f(x), f(y)) < ω. Пусть x ∈ C(f−1) и ω > 0. Необходимо найти ω-цепь относительно f с началом и концом в x. По определению, существует δ(ω)-цепь относительно f−1 с началом и кон- цом в x: x = x0, x1, . . . , xn−1, xn = x, т.е. d(f−1(xi), xi+1) < δ(ω). Но тогда d(f ◦ f−1(xi), f(xi+1)) = d(f(xi+1), xi) < ω. Таким образом, обратная последовательность x = xn, xn−1, . . . , x1, x0 = x является искомой ω-цепью относительно f . (2) Покажем теперь, что C(f) замкнуто. Пусть x — пре- дельная точка C(f) и ε > 0. Нужно построить ε-цепь от- носительно f с началом и концом в x. Выберем произвольным образом три числа ω, δ, ε′ > 0 так, чтобы ω + ε′ < ε, ε′ + δ < ε, δ < δ(ω), 58 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях где δ(ω) — константа в определении равномерной непре- рывности f . Так как x предельная точка для C(f), то найдется точка y ∈ C(f) такая, что d(x, y) < δ. Тогда d(f(x), f(y)) < ω. Так как y цепно-рекуррентна для f , то существует ε′- цепь y, y1, . . . , yk, y с началом и концом в точке y ∈ X и d(x, y) < ω. Мы утверждаем, что последовательность x, y1, . . . , yk, x является ε-цепью с началом и концом в x. Действительно d(f(x), y1) ≤ d(f(x), f(y)) + d(f(y), y1) < ω + ε′ < ε, d(f(yi), yi+1) < ε′ < ε, для i = 1, . . . , k − 1, d(f(yk), x) ≤ d(f(yk), y) + d(y, x) < ε′ + δ < ε. Лемма доказана. � Следствие 2.1. Пусть f : X → X — гомеоморфизм мет- рического компакта X. Тогда C(f) — замкнутое непустое множество, причем C(f−1) = C(f). Доказательство. Так как X компактно, то Lim(f), а зна- чит и C(f), непусты. Замкнутость C(f) и равенство C(f−1) = C(f) следует из равномерной непрерывности f и f−1 согласно лемме 2.5. � Пример неблуждающего множества... 59 2.2. Неблуждающее множество корней гомеомор- физмов. Заметим, что неблуждающее множество может измениться при переходе от гомеоморфизма к его степени. Покажем, что при таком переходе оно не увеличивается. Лемма 2.6. Пусть g : X → X — гомеоморфизм. Тогда для каждого n ∈ N Ω(gn) ⊆ Ω(g). Обратное включение, вообще говоря, не верно. Приме- ры итерационно неустойчивых неблуждающих множеств приведены, например, в [10]. Один из приведенных здесь примеров также будет обладать этим свойством. В работе [3] была доказана следующая теорема. Теорема 2.1. Предположим, что пространство X хау- сдорфово. Тогда для каждого гомеоморфизма g : X → X и n ≥ 2 множество Ω(g) \ Ω(gn) нигде не плотно в X. Было показано, что отсюда достаточно просто следует итерационная устойчивость центра Биркгофа. Следствие 2.2. Если Ω(g) = X, то Ω(gn) = Ω(g) = X для всех n ≥ 2. Доказательство. Так как Ω(gn) замкнуто, то множество Ω(g) \ Ω(gn) = X \ Ω(gn) открыто в X. Но по теореме 2.1 оно также нигде не плотно в X. Следовательно, X \ Ω(gn) = ∅, т.е. Ω(gn) = X. � Более слабая форма этого следствия была ранее опуб- ликована в [15]. Для доказательства теоремы 2.1 была разработана тео- рия K-зацепленных точек динамической системы. По су- ти, определение зацепленных точек является частным слу- чаем определения точек, соединяемых для произвольно 60 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях малого ε с помощью ε-цепей (см. определение 2.6), когда все сдвиги между траекториями, кроме двух, равны ну- лю. K-зацепленные точки также, по сути, являются неко- торым специальным классом цепно-рекуррентных точек. Напомним эти определения, поскольку они существенно понадобятся нам для построения и понимания приведен- ных здесь примеров. Определение 2.8. Скажем, что точка x зацеплена с точкой y под действием гомеоморфизма g : X → X, если для любых сколь угодно малых окрестностей Vx и Vy то- чек x и y соответственно найдется сколь угодно большое по модулю число t ∈ Z \ {0}, такое, что gt (Vx) ∩ Vy 6= ∅. Другими словами, g-орбита любой окрестности точки x пересекается с любой окрестностью точки y. Если при этом число t всегда можно выбрать положи- тельным (отрицательным), то будем называть точку x ω-зацепленной (α-зацепленной) с y. Пример 2.2. Неблуждающая точка зацеплена сама с со- бой. Пример 2.3. Пусть g — диффеоморфизм Морса-Смейла многообразия M и x, y — две периодические точки g. На- помним, что каждая точка, принадлежащая пересечению неустойчивого многообразия W u(x) точки x и устойчиво- го многообразия W s(y) точки y, называется гетероклини- ческой. Пусть γ ∈ W u(x) ∩ W s(y) — гетероклиническая точка. Тогда γ является ω-зацепленной со всеми точка- ми неустойчивого многообразия W u(y) и α-зацепленной со всеми точками устойчивого многообразия W s(x). Этот пример изображен на рис. 1a). Пример неблуждающего множества... 61 Лемма 2.7. Предположим, что пространство X хау- сдорфово, g : X → X — гомеоморфизм и пусть x ∈ Ω(g) \ Ω(gn). Тогда для некоторого k ∈ {1, . . . , n−1} точка x зацеплена с точкой gk(x) под действием gn. Замечание 2.2. Для зацепленности под действием g то- чек одной орбиты, например x и gk(x), достаточно тре- бовать, чтобы для произвольной окрестности U точки x нашлось сколь угодно большое по модулю число N такое, что U ∩ gk−N(U) 6= ∅. 2.3. K-зацепленность. Пусть g : X → X гомеоморфизм, n ≥ 2 и K = {k1, . . . kl} — конечная последовательность чисел, таких, что каждое ki ∈ {0, . . . , n−1}. Мы допускаем, что некоторые из ki, возможно даже все, могут совпадать друг с другом. Определение 2.9. Скажем, что точка x ∈ X — K- зацеплена под действием гомеоморфизма gn, если для произвольно малой окрестности U точки x найдутся как угодно большие по модулю числа N1, . . . , Nl ∈ Z такие, что U ∩ gk1−nN1(U) ∩ gk2−nN2(U) ∩ · · · ∩ gkl−nNl(U) 6= ∅. Замечание 2.3. Таким образом K-зацепленность точки x под действием gn означает, что x “одновременно зацеп- лена” со всеми точками gk1(x), . . . , gl(x), см. замечание 2.2. Так как числа Ni можно выбирать сколь угодно больши- ми по модулю, то можно также считать, что если ki = kj для некоторых i 6= j, то Ni 6= Nj и, поэтому, gki−nNi(U) и 62 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях gkj−nNj(U) представляют собой разные множества. Други- ми словами, зацепление точки x с точкой gki(x) = gkj(x) производится разными итерациями гомеоморфизма gn. Замечание 2.4. Если 0 ∈ K, то x зацеплена под действи- ем gn с собой и, следовательно, является неблуждающей точкой для gn, т.е. x ∈ Ω(gn). Лемма 2.8. Пусть точка x ∈ Int [Ω(g) \ Ω(gn)] — K-за- цеплена под действием gn, где K = {k1, . . . , kl} и каждое ki = 0, . . . , n − 1. Тогда найдется такое k′ ∈ {1, . . . , n − 1}, что x — также K ′-зацеплена относительно gn, где K ′ = {k1, . . . , kl, k′, k1 + k′, . . . , kl + k′} (mod n) и все суммы берутся по модулю n. Подчеркнем, что в формулировке леммы k′ 6= 0 (mod n). x y a) A B D C b) Рис. 1. Примеры зацепленных точек. Пример неблуждающего множества... 63 На рис. 1b) изображен пример потока на сегменте ци- линдра. В этом примере точки отрезка AB зацеплены с точками отрезка CD, и наоборот, точки отрезка CD зацеп- лены с точками отрезка AB. Появление такого цикла из зацепленных точек приводит к тому, что все точки сег- мента являются циклически зацепленными. Пример 2.4. Если на рис. 1b) выбросить граничные ок- ружности, то оставшаяся система на открытом ци- линдре является простейшим примером потока, у ко- торого нет неблуждающих точек, а все точки цепно- рекуррентны. Этот пример является ключом к пониманию дальней- ших рассуждений, которые будут использоваться для по- строения основных примеров данной работы. Именно, из системы можно выделить две части, если разрезать ее по отрезкам AB и CD. Мы получим два диска, один из ко- торых дает зацепление от AB к CD, другой — от CD к AB, см. рис. 2a). На каждом диске отрезки AB и CD зер- кально повернуты друг относительно друга, а между ни- ми траектории потока закручены специальным образом, чтобы зацеплять точки соответствующих отрезков. Строго структура потоков на этих дисков описывается с помощью так называемого косого произведение потоков относитель- но функции на декартовом произведении многообразий, которое вводится в разделе 4.2. Теперь перекомпонуем эти диски таким образом, чтобы получить пример на другом многообразии. Склеивая дис- ки на рис. 2a), получим большой диск, как на рис. 2b). Если еще дополнительно отождествить противоположные стороны, то получим систему на бутылке Клейна. 64 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях D C BA < > \/ \/ < D C BA < > /\ /\ > D C B B CA < > \/ \/ \/ < A D < > < a) b) Рис. 2. К описанию примера на цилиндре. Эту бутылку Клейна можно интерпретировать как ре- зультат операции умножения на отрезок с перекручива- нием, примененный к окружности ABCD, с последующей склейкой противоположных сторон. (Далее в этой рабо- те выражению “умножение на отрезок с перекручиванием” будет дан точный смысл). При этом цепно-рекуррентные точки окружности ABCD, бывшие ранее не зацепленны- ми, становятся циклически зацепленными. На рис. 3 изображен следующий шаг: бутылка Клейна умножается на отрезок с перекручиванием, и противопо- ложные бутылки Клейна склеиваются в одну. При этом все точки бутылки Клейна становятся циклически зацеп- ленными, а точки окружности ABCD становятся зацеп- ленными сами с собой, то есть неблуждающими. Если к полученному многообразию применить эту же конструкцию, то уже его точки станут циклически зацеп- ленными, а все точки бутылки Клейна станут неблуждаю- щими, и т. д. В основных примерах данной работы исполь- зуется достаточно похожее построение, которое индуктив- но продолжается бесконечности. Отличие только в том, что мы получаем неблуждающее множество уже на пер- вом шаге. Пример неблуждающего множества... 65 D C B B CA < > \/ \/ \/ < A D < > < � � � � � � � � � � � � � � � /\ < < Рис. 3. Надстройка над бутылкой Клейна. 3. Построение примеров. Наша цель — построить (неполное) метрическое про- странство M и гомеоморфизм F : M → M такие, что Ω(F ) = M и Rec(F ) = {a}, где a ∈ M — единственная неподвижная точка динамической системы (M, F ). 3.1. Построение пространства M . Построим сначала по индукции топологическое пространство M , на котором потом будет задана наша динамическая система. Построение начнем с единичной окружности комплекс- ной плоскости M1 = {z ∈ C \| \|z\| = 1} . Зададим на M1 инволюцию T1(z) = z̄ = ℜ(z) − ℑ(z), z ∈ M1. Это отображение представляет собой зеркальное отраже- ние окружности относительно вещественной оси. Иначе 66 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях его можно записать еще и так: T1(exp(iϕ)) = exp(−iϕ) , ϕ ∈ [0, 2π) . Справедливо следующее утверждение. Утверждение 3.1. Пусть X — компактное хаусдорфово топологическое пространство, на котором задана непре- рывная инволюция TX : X → X. Пусть заданы вложение ĵ : X → X × I , ĵ : x 7→ (x, 0) , x ∈ X , и инволюция T̂ : X×I → X×I , T̂ : (x, t) 7→ (x, 1−t) , (x, t) ∈ X×I . Пусть еще заданы разбиение f = ⋃ x∈X t∈(0,1) {(x, t)} ∪ ⋃ x∈X {(x, 1), (TX(x), 0)} пространства X×I и проекция на фактор-пространство p̂r : X × I → Y = (X × I)/f . Тогда корректно определено фактор-отображение TY = fact T̂ : Y → Y . Это отображение является инволюцией на простран- стве Y и удовлетворяет соотношению (71) TY ◦ j = j ◦ TX : X → Y , где j = p̂r ◦ ĵ : X → Y . Отображение j является вложением. Пространство Y хаусдорфово и компактно. Пример неблуждающего множества... 67 Доказательство. Начнем с того, что отображение j явля- ется вложением. Действительно, образ вложения ĵ(X) = X × {0} пересекается с каждым элементом разбиения f не более чем в одной точке. Следовательно, отображение pr \|ĵ(X) инъективно, а вместе с ним инъективно и отображение j. Так как пространство X — компактно и хаусдорфово по условию (следовательно, и пространство X × I — хаусдор- фово), то j является гомеоморфизмом на свой образ. Проверим, что отображение T̂ сохраняет разбиение f. a) Пусть t ∈ (0, 1). Тогда T̂ (x, t) = (x, 1 − t) ∈ f. b) T̂ ({(x, 1), (TX(x), 0)}) = {(x, 0), (TX(x), 1)} = = {TX((TX(x)), 0), (TX(x), 1)} ∈ f (напомним, что TX ◦ TX = IdX по условию). Значит, отображение TY = fact T̂ : Y → Y корректно определено и является инволюцией: TY ◦ TY = fact(T̂ ◦ T̂ ) = fact IdX×I = IdY . Проверим равенство (71). TY ◦ j(x) = TY ◦ p̂r ◦ ĵ(x) = TY ◦ p̂r(x, 0) = = TY ◦ p̂r(T−1 X (x), 1) = TY ◦ p̂r(TX(x), 1) = = p̂r ◦ T̂ (TX(x), 1) = p̂r(TX(x), 0) = = p̂r ◦ ĵ ◦ TX(x) = j ◦ TX(x) . Пространство Y компактно как фактор-пространство ком- пактного пространства X × I. Хаусдорфовость простран- ства Y следует из того, что пространство X хаусдорфово и Y есть локально-тривиальное расслоение над окружно- стью со слоем X (это проверяется непосредственно). � 68 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Пусть для некоторого n ≥ 1 уже построен компакт Mn, на котором задана инволюция Tn. Обозначим через T̂n+1 : Mn × I → Mn × I инволюцию T̂n+1(y, t) = (y, 1− t) , (y, t) ∈ Mn × I . Рассмотрим последовательность пространств и отобра- жений (72) Mn ĵn −−→ Mn × I prn+1 −−−−→ Mn+1 = (Mn × I)/fn+1 . Здесь ĵn : y 7→ (y, 0), y ∈ Mn, — вложение. Разбиение fn+1 задается соотношением (73) fn+1 = ⋃ x∈Mn t∈(0,1) {(x, t)} ∪ ⋃ x∈Mn {(x, 1), (Tn(x), 0)} , а prn+1 — отображение проекции. Согласно предложению 3.1 отображение jn = prn+1 ◦ĵn : Mn → Mn+1 является вложением, пространство Mn+1 хаусдорфово и компактно, и на этом пространстве корректно определе- на инволюция Tn+1 = fact T̂n+1 такая, что Tn+1 ◦ jn = jn ◦ Tn. Следовательно, по индукции получаем цепочку прост- ранств и отображений, все пространства в ней компактные и Хаусдорфовы, а все отображения — вложения: (74) S1 = M1 j1 −→ M2 −→ · · · −→ Mn jn −→ Mn+1 −→ · · · . Пример неблуждающего множества... 69 Кроме того, для всех n ∈ N имеем коммутативные диа- граммы (75) Mn −−−→ jn Mn+1 Tn y yTn+1 Mn −−−→ jn Mn+1 Обозначим M = lim −→ (Mn, jn) . 3.2. Построение потока f пространства M . Напом- ним, что потоком (или однопараметрической группой ав- томорфизмов) на топологическом пространстве X назы- вается непрерывное отображение f : X × R → X, удовлетворяющее свойствам (i) f(·, 0) = IdX : X → X; (ii) f(f(·, t), τ) = f(·, t+τ) : X → X для любых t, τ ∈ R. Наша цель построить построим по индукции семейство потоков fn : Mn × R → Mn, n ∈ N , потребуем, чтобы семейство {fn}n∈N удовлетворяло сле- дующим требованиям: (1′) jn−1 ◦ fn−1 = fn ◦ (jn−1 × IdR), если n > 1; (2′) Fix(fn) = Rec(fn) = {an}, an = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a); (3′) при n > 1 для каждого x ∈ jn−1(Mn−1) и для любой открытой окрестности U = U(x) точки x в Mn най- дется T = T (U) > 0 такое, что fn(U, t) ∩ U 6= ∅ для всех t > T ; 70 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях (4′) Tn ◦ fn = f− n ◦ (Tn × IdR), f− n (x, t) = fn(x,−t), (x, t) ∈ Mn × R; (5′) Tn(Ofn (x)) = Ofn (x) для каждого x ∈ Mn. Заметим, что свойство (3′) можно переформулировать в таком виде: (3′′) jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn), если n > 1. 3.2.1. База индукции. Поток f1 на пространстве M1. На- ша цель — построить на пространстве M1 поток f1, кото- рый бы удовлетворял требованиям (2′), (4′) и (5′), которые сформулированы выше. Начнем построение с потока h : I × R → I, (76) h(x, t) =    0 , x = 0 ; 1 2 + 1 π arctg(t + tg(π(x − 1 2 ))) , x ∈ (0, 1) ; 1 , x = 1 . То, что h задает непрерывное действие аддитивной груп- пы R на отрезке, проверяется непосредственно. Простая проверка показывает также, что (77) h(x, t) + h(1 − x,−t) = 1 . Динамика потока h очень простая: концы отрезка явля- ются положениями равновесия, интервал (0, 1) = Oh(1/2) является траекторией, выходящей из 0 и входящей в 1. Обозначим f̂1 = h : I × R → I. Очевидно, что пространство M1 можно представить как фактор-пространство M1 = I/f1, где f1 = {0, 1} ∪ ⋃ x∈(0,1) {x} . Пусть pr1 : I → I/f1 = M1 — отображение проекции. Пример неблуждающего множества... 71 Рассмотрим разбиение f̃1 = ⋃ x∈(0,1) t∈R {x, t} ∪ ⋃ t∈R {(0, t), (1, t)} пространства I ×R. Легко видеть, что отображение f̂1 пе- реводит элементы разбиения f̃1 в элементы разбиения f1, поэтому определено непрерывное фактор-отображение fact f̂1 = f1 : (I × R)/̃f1 → I/f1 . Воспользуемся здесь следующим полезным утверждени- ем о произведении проекций. Доказательство этого утвер- ждения приведено в разделе 4.1. Утверждение (Утверждение 4.1). Пусть X и Y — хау- сдорфовы пространства, f — разбиение пространства X на компактные подмножества, i — разбиение простран- ства Y на одноточечные подмножества. Пусть проекция prX : X → X/f является замкнутым отображением. Пусть, кроме того, разбиение f̃ пространства X × Y является произведением разбиений f и i. Тогда отображение π = prX ×IdY : X × Y → X/f × Y факторно, и следовательно, пространства (X × Y )/̃f и X/f × Y канонически гомеоморфны. Очевидно, разбиение f̃1 является произведением разби- ения f1 и разбиения i пространства R на одноточечные множества. Так как пространство I хаусдорфово и ком- пактно, а пространства I/f1 ∼= S1 и R хаусдорфовы, то мы находимся в условиях предложения 4.1 (см. также замеча- ние 4.1) и можно считать, что отображение f1 задано на 72 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях пространстве I/f1 × R = M1 × R. Пусть π = pr1 × IdR : I × R → M1 × R — проекция (см. предложение 4.1). Тогда имеем коммута- тивную диаграмму I × R f̂1 −−−→ I π y ypr1 M1 × R −−−→ f1 M1 Используя эту диаграмму, для любых x ∈ M1 и t, τ ∈ R получим соотношения: f1(x, 0) = pr1 ◦f̂1(π −1(x, 0)) = pr1 ◦f̂1(pr−1 1 (x), 0) = = pr1(pr−1 1 (x)) = x , f1(f1(x, t), τ) = f1(pr1 ◦f̂1(π −1(x, t)), τ) = = f1(pr1 ◦f̂1(pr−1 1 (x), t), τ) = = pr1 ◦f̂1(π −1(pr1 ◦f̂1(pr−1 1 (x), t), τ)) = = pr1 ◦f̂1(f̂1(pr−1 1 (x), t), τ) = = pr1 ◦f̂1(pr−1 1 (x), t + τ) = = pr1 ◦f̂1(π −1(x, t + τ)) = = f1(x, t + τ) . Следовательно, отображение f1 задает непрерывный по- ток на M1. Представим M1 как единичную окружность в комплекс- ной плоскости M1 = {z ∈ C \| \|z\| = 1} . Пример неблуждающего множества... 73 Отображение проекции принимает вид pr1(x) = exp(2πix) , x ∈ [0, 1] . Ясно, что в таком представлении f1(exp(2πix), t) = exp(2πih(x, t)) , x ∈ I . Далее, учитывая соотношения (77), получаем T1 ◦ f1(exp(2πix), t) = T1 ◦ exp(2πih(x, t)) = = exp(2πi(1 − h(x, t))) = = exp(2πih(1 − x,−t)) = = f− 1 (exp(2πi(1 − x)), t) = = f− 1 ◦ (T1 × IdR)(exp(2πix), t) . Здесь f− 1 (z, t) = f1(z,−t), (z, t) ∈ M1 × R. Поэтому требо- вание (4′) для M1 выполнено. Обозначим a = pr1(0) = exp(0). Тогда M1 состоит из неподвижной точки, Fix(f1) = {a}, и блуждающей траек- тории {exp(2πix) \| x ∈ (0, 1)} = Of1 (exp(πi)), которая выходит из точки a и входит в эту же точку с дру- гой стороны. Значит, требование (2′) для M1 выполнено. Динамическая система (M1, f1) состоит всего из двух траекторий, мощности которых как множеств различны (одна равна 1, другая — continuum). Так как инволюция T1 переводит траектории динамической системы (M1, f1) в траектории (это немедленно следует из свойства (4′)), то свойство (5′) выполнено. 3.2.2. Вспомогательное построение. Для дальнейших по- строений нам понадобится конструкция “косого произведе- ния” потоков, которая детально рассматривается отдель- но в разделе 4.2. Именно, пусть X и Y — топологические 74 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях пространства, f : X × R → X и h : Y × R → Y — пото- ки на X и Y соответственно. Пусть prX : X × Y → X и prY : X × Y → Y — проекции. В разделе 4.2 вводится отображение f̂ : X × Y × R → X × Y потоков f и h (“косое произведения” потоков f и h), кото- рое задает поток на X × Y и удовлетворяет таким свой- ствам. (1) движение точки (x, y) ∈ X × Y под действием f̂ проектируется в движение точки y = prY (x, y) под действием потока h, т. е. выполняется равенство prY ◦f̂ = h ◦ (prY ×IdR) : X × Y × R → Y ; (2) траектории потока f̂ проектируются в траектории потока f , т. е. выполняется включение prX(Of̂ (x, y)) ⊆ Of (prX(x, y)) = Of(x); (3) ϕ не зависит от выбора x, т. е. для любых x1, x2 ∈ X, y ∈ Y и t ∈ R выполняется равенство ϕ(x1, y, t) = ϕ(x2, y, t), где через ϕ(x, y, t) обозначена такая величина, что prX ◦f̂(x, y, t) = f(x, ϕ(x, y, t)) (эта величина корректно определена в силу преды- дущего требования). 3.2.3. Шаг индукции. Поток fn на пространстве Mn. Бу- дем считать, что на пространстве Mn−1 уже задан непре- рывный поток (Mn−1, fn−1), удовлетворяющий требовани- ям (1′)–(5′). Рассмотрим пространство (Mn−1) × I и функцию α : I → R , α(y) = 1 − 2y , y ∈ I . Пример неблуждающего множества... 75 Воспользуемся леммой 4.1 и построим по динамическим системам (Mn−1, fn−1), (I, h) (см. равенство 76) и функции α поток f̂n : Mn−1 × I × R → Mn−1 × I, f̂n(x, y, t) = ( fn−1 ( x, t∫ 0 (1 − 2h(y, s)ds) ) , h(y, t) ) = = ( fn−1 ( x, t − 2 t∫ 0 h(y, s)ds ) , h(y, t) ) ,(78) (x, y, t) ∈ Mn−1 × I × R . Так как 0 и 1 — неподвижные точки динамической систе- мы (I, h), то f̂n(x, 0, t) = (fn−1(x, t), 0) ,(79) f̂n(x, 1, t) = (fn−1(x,−t), 1) = (f− n−1(x, t), 1) . Напомним (см. раздел 3.1), что Mn = (Mn−1 × I)/fn и разбиение fn задается при помощи формулы (73). Кроме того (см. предложение 4.1 и замечание 4.1), имеется кано- нический гомеоморфизм Ψ : (Mn−1 × I ×R)/(fn × iR) → (Mn−1 × I)/fn ×R = Mn ×R. Здесь iR — разбиение прямой R на одноточечные множе- ства. Рассмотрим проекции π̂n : Mn−1 × I × R → (Mn−1 × I × R)/(fn × iR), πn = Ψ ◦ π̂n : Mn−1 × I × R → Mn × R, prn : Mn−1 × I → (Mn−1 × I)/fn = Mn. Проверим, что отображение f̂n переводит элементы раз- биения zer πn = fn × iR в элементы разбиения fn. Для этого нам достаточно проверить, что для любых x ∈ Mn−1 и 76 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях t ∈ R пара точек { (x, 1, t) , (Tn−1(x), 0, t) } переходит под действием f̂n в какой-нибудь элемент разбиения fn (инво- люция Tn−1 определена в разделе 3.1). Справедливы равенства (см. соотношения 79) f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (fn−1(Tn−1(x), t), 0) = = (Tn−1 ◦ Tn−1 ◦ fn−1(Tn−1(x), t), 0) = = (Tn−1(Tn−1 ◦ fn−1(Tn−1(x), t)), 0) . Здесь мы воспользовались тем, что Tn−1 — инволюция (T 2 n−1 = Id). Обозначим x′ = Tn−1(x), очевидно x = Tn−1 ◦ Tn−1(x) = Tn−1(x ′). Тогда f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (Tn−1(Tn−1 ◦ fn−1(x ′, t)), 0) . С другой стороны, f̂n(x, 1, t) = (fn−1(x,−t), 1) = (f− n−1(x, t), 1) = = (f− n−1(Tn−1(x ′), t), 1) = (Tn−1 ◦ fn−1(x ′, t), 1) . Последнее равенство следует из условия (4′). Обозначим x̂ = Tn−1 ◦ fn−1(x ′, t). Тогда f̂n(Tn−1(x), 0, t) = (Tn−1(x̂), 0) , f̂n(x, 1, t) = (x̂, 1) . Из произвольности выбора точек x ∈ Mn−1 и t ∈ R за- ключаем, что отображение f̂n переводит элементы разби- ения zer πn в элементы разбиения fn, следовательно, кор- ректно определено непрерывное фактор-отображение fn : Mn × R → Mn , Пример неблуждающего множества... 77 которое замыкает коммутативную диаграмму (80) Mn × I × R f̂n −−−→ Mn × I πn y yprn Mn × R fn −−−→ Mn Утверждение 3.2. Для каждого (x, t) ∈ Mn ×R справед- ливо соотношение prn ◦f̂n(pr−1 n (x), t) = fn(x, t) . Доказательство. Из предложения 4.1 вытекает, что (81) πn = prn × IdR , Поэтому prn ◦f̂n(pr−1 n (x), t) = fn ◦ πn(pr−1 n (x), t) = = fn(prn(pr−1 n (x)), t) = fn(x, t) для любого (x, t) ∈ Mn × R. � Применяя это утверждение, установим групповые свой- ства отображения fn. Пусть x ∈ Mn. Тогда fn(x, 0) = prn ◦f̂n(pr−1 n (x), 0) = prn(pr−1 n (x)) = x , значит, fn(·, 0) = Id : Mn → Mn. Пусть, кроме того, t, τ ∈ R. Справедливы равенства fn(fn(x, t), τ) = fn(prn ◦f̂n(pr−1 n (x), t), τ) = prn ◦f̂n(f̂n(pr−1 n (x), t), τ) = prn ◦f̂n(pr−1 n (x), t + τ) = fn(x, t + τ). Итак, из того, что f̂n является потоком, следует, что fn является непрерывным потоком с фазовым пространством Mn. 78 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Проверим, что поток (Mn, fn) удовлетворяет свойствам (1′) – (5′) (см. начало раздела 3.2). Для проверки требования (1′) покажем сначала, что (82) ĵn−1 ◦ fn−1 = f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR) . Напомним, что отображение ĵn−1 : Mn−1 → Mn−1 × I задается формулой ĵn−1(y) = (y, 0), y ∈ Mn−1 (см. раз- дел 3.1). Пусть y ∈ Mn−1, t ∈ R. Тогда ĵn−1 ◦ fn−1(y, t) = (fn−1(y, t), 0) . С другой стороны, из соотношения (79) получим f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR)(y, t) = f̂n(y, 0, t) = = (fn−1(y, t), 0) = ĵn−1 ◦ fn−1(y, t) . Вспомним теперь, что по определению jn−1 = prn ◦ĵn−1. Это вместе с формулой (82) приводит нас к цепочке ра- венств jn−1 ◦ fn−1 = prn ◦ĵn−1 ◦ fn−1 = prn ◦f̂n ◦ (ĵn−1 × IdR) = = fn ◦ (prn × IdR) ◦ (ĵn−1 × IdR) = = fn ◦ ((prn ◦ĵn−1) × IdR) = fn ◦ (jn−1 × IdR) . И значит, fn удовлетворяет требованию (1′). Приступим к проверке свойства (2′). Согласно предложению 3.1 пространство Mn−1 — ком- пакт, и отображение jn−1 : Mn−1 → Mn — вложение. Из этого замечания и свойства (1′) заключаем, что jn−1(Mn−1) — замкнутое инвариантное подмножество динамической системы (Mn, fn), и потоки (Mn−1, fn−1) и Пример неблуждающего множества... 79 (jn−1(Mn−1), fn\|jn−1(Mn−1)) топологически сопряжены. По- этому для каждой точки x ∈ Mn−1 справедливо следую- щее утверждение: α-предельное (ω-предельное) множество точки jn−1(x) относительно потока fn совпадает с образом α-предельного (ω-предельного) множества точки x отно- сительно потока fn−1 под действием jn−1. Следовательно, Recfn ∩ jn−1(Mn−1) = jn−1(Recfn−1) = = jn−1(jn−2 ◦ . . . ◦ j1(a)) = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a) . Для завершения проверки на выполнимость свойства (2′) докажем, что каждая точка множества Un = Mn \ jn−1(Mn−1) является блуждающей точкой потока (Mn, fn). Мы уже установили, что Un — открытое подмножество пространства Mn. По построению, jn−1(Mn−1) = prn(Mn−1 × {0}), поэтому pr−1 n (jn−1(Mn−1)) = Mn × {0, 1} и pr−1 n (Un) = pr−1 n (Mn \ jn−1(Mn−1)) = Mn−1 × (0, 1) = Ûn . Заметим, что проекция prn взаимно-однозначно отобра- жает открытое подмножество Ûn пространства Mn−1 × I на открытое подмножество Un пространства Mn. Так как, по определению отображения проекции, открытые множе- ства в образе — это в точности те множества, полный про- образ которых открыт, то отображение p̂rn = prn \|Ûn : Ûn → Un открыто и является гомеоморфизмом. Пусть x ∈ Un, x̂ = pr−1 n (x) ∈ Ûn. Тогда x̂ = (y, τ), y ∈ Mn−1, τ ∈ (0, 1). 80 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Фиксируем a, b ∈ (0, 1) так, чтобы 0 < a < τ < b < 1 . Множество V̂a,b = Mn−1 × (a, b) является открытой окрест- ностью точки x̂ в пространстве Mn−1 × I. Найдем теперь такое T > 0, чтобы f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × (0, a) при всех t < −T и f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × (b, 1) — при всех t > T . Пусть prI : Mn−1 × I → I — проекция на второй сомно- житель. Тогда по построению prI ◦f̂n = h ◦ (prI × IdR) : Mn−1 × I × R → I (см. лемму 4.1). Следовательно, для каждого t ∈ R име- ем f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Mn−1 × h((a, b), t) и нам достаточно найти такое T > 0, что h((a, b), t) ⊆ (0, a) при любом t < −T , и h((a, b), t) ⊆ (b, 1) для всех t > T . Найдем сначала такое tα ∈ R, что h(b, tα) < a. Предположим, что 1 2 + 1 π arctg(tα + tg(π(b − 1 2 ))) = h(b, tα) < a , то есть arctg(tα + tg(π(b − 1 2 ))) < π(a − 1 2 ) . Так как по условию a ∈ (0, 1), то обе части неравенства лежат в интервале (−π/2, π/2). В этом интервале функция tg определена и монотонно возрастает. Поэтому последнее неравенство равносильно такому: tα + tg(π(b − 1 2 )) < tg(π(a − 1 2 )) . Пример неблуждающего множества... 81 Значит, неравенство h(b, tα) < a эквивалентно следую- щему: tα < [ tg(π(a − 1 2 )) − tg(π(b − 1 2 )) ] . Аналогично устанавливается эквивалентность неравенств b < h(a, tω) и [ tg(π(b − 1 2 )) − tg(π(a − 1 2 )) ] < tω . Заметим, что функция h(·, t) : I → I при каждом фик- сированном t ∈ R монотонно возрастает. Поэтому, h((a, b), t) ⊆ (0, a), если t < −T , и h((a, b), t) ⊆ (b, 1), если t > T , где T = ∣∣tg(π(b − 1 2 )) − tg(π(a − 1 2 )) ∣∣ . Из этого вытекает, что f̂n(V̂a,b, t)∩V̂a,b = ∅, если t /∈ [−T, T ]. Множество Ûn является инвариантным подмножеством потока f̂n, поэтому f̂n(V̂a,b, t) ⊆ Ûn при любом t ∈ R. Обо- значим Va,b = prn(V̂a,b). Тогда множество Va,b является от- крытой окрестностью точки x = prn(x̂), так как отобра- жение p̂rn = prn \|Ûn открыто (см. выше); кроме того, для каждого t ∈ R выполняется равенство fn(Va,b, t) = prn ◦f̂n(V̂a,b, t). Напомним, что отображение prn \|Ûn взаимно-однозначно, поэтому fn(Va,b, t) ∩ Va,b = prn(f̂n(V̂a,b, t)) ∩ prn(V̂a,b) = = prn(f̂n(V̂a,b, t) ∩ V̂a,b) = ∅ при t /∈ [−T, T ] и точка x является блуждающей точкой потока (Mn, fn). 82 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Из произвольности выбора точки x ∈ Mn \ jn−1(Mn−1) заключаем, что Mn \ jn−1(Mn−1) ⊆ W (fn), и требование (2′) выполнено. Приступим к проверке требования (3′). Заметим сначала, что если свойство (3′) выполняется в какой-нибудь точке x ∈ jn−1(Mn−1), то этому свойству удо- влетворяют и все точки траектории Ofn (x) ⊆ jn−1(Mn−1). Действительно, пусть x′ ∈ Ofn (x). Тогда x′ = fn(x, τ) для некоторого τ ∈ R. Пусть V ′ ∋ x′ — открытая окрестность точки x′. Тогда V = fn(V ′,−τ) — открытая окрестность точки x (напомним, что из определения потока следует, что отображение fn(·, t) : Mn → Mn является гомеомор- физмом при каждом t ∈ R). Существует T = T (V ) > 0 такое, что fn(V, t) ∩ V 6= ∅ для всех t > T . Значит, fn(V ′, t) ∩ V ′ = fn(fn(V, τ), t) ∩ fn(V, τ) = fn(V, τ + t) ∩ fn(V, τ) = fn(fn(V, t), τ) ∩ fn(V, τ) ⊇ ⊇ fn(fn(V, t) ∩ V, τ) 6= ∅ при t > T . Докажем, что каждая траектория потока (Mn−1, fn−1) содержит неподвижную точку инволюции Tn−1. Действи- тельно, пусть x ∈ Mn−1. Из свойства (5′) для потока (Mn−1, fn−1) вытекает, что Tn−1(x) = fn−1(x, τ) для неко- торого τ ∈ R. Обозначим x′ = fn−1(x, τ/2). Воспользуемся свойством (4′) для потока (Mn−1, fn−1), и тогда получим следующие равенства: Tn−1(x ′) = Tn−1 ◦ fn−1(x, τ/2) = fn−1(Tn−1(x),−τ/2) = = fn−1(fn−1(x, τ),−τ/2) = fn−1(x, τ/2) = x′ . Итак, из свойства (1′) (которое мы уже проверили) и из сказанного выше следует, что нам достаточно установить Пример неблуждающего множества... 83 свойство (3′) только для тех точек из jn−1(Mn−1), которые являются образами под действием jn−1 неподвижных то- чек инволюции Tn−1. Пусть x0 ∈ jn−1(Mn−1), z0 = j−1 n−1(x0) ∈ Mn−1 и пусть Tn−1(z0) = z0. Тогда pr−1 n (x0) = {(Tn−1(z0), 0), (z0, 1)} = = {(z0, 0), (z0, 1)} ⊆ Mn−1 × I . Чтобы проверить справедливость свойства (3′) в точке x0, нам достаточно доказать, что для каждой окрестности W множества pr−1 n (x0) в Mn−1 × I существует T = T (W ) такое, что f̂n(W, t) ∩ W 6= ∅ для всех t > T . Действитель- но, если мы это установим, то отсюда будет вытекать, что для любой окрестности V точки x0 ∈ Mn найдется T > 0 такое, что pr−1 n (V ) ∩ f̂n(pr−1 n (V ), t) 6= ∅ для любого t > T . Следовательно (см. соотношения (80) и (81)), fn(V, t) ∩ V = fn(prn(pr−1 n (V )), t) ∩ V = = prn ◦f̂n(pr−1 n (V ), t) ∩ prn(pr−1 n (V )) ⊇ ⊇ prn [ f̂n(pr−1 n (V ), t) ∩ pr−1 n (V ) ] 6= ∅ для всех t > T . Докажем, что для множества pr−1 n (x0) в Mn−1×I выпол- няется свойство (3′). Воспользуемся следующей леммой. Лемма 3.1. Пусть (x, y) ∈ Mn−1 × (0, 1). Тогда за время (83) τ = 2 tg(π(1/2 − y)) точка (x, y) сместится под действием потока f̂n в точку (x, 1 − y), то есть (84) f̂n((x, y), τ) = (x, 1 − y) . 84 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Доказательство. Как показывает формула (78), соотно- шение (84) справедливо, если одновременно выполняются два следующих равенства: h(y, τ) = 1 − y ,(85) τ∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds = 0 .(86) Простая непосредственная проверка показывает, что фор- мула (83) дает решение уравнения 1 2 + 1 π arctg(τ + tg(π(y − 1 2 ))) = 1 − y , которое эквивалентно уравнению (85), так как по условию леммы y ∈ (0, 1). Покажем, что полученное решение удовлетворяет равен- ству (86). Сначала заметим, что согласно равенству (77) 1 − y = h(y, τ) = 1 − h(1 − y,−τ) , поэтому h(1 − y,−τ) = y. Далее, h(y, τ − s) = 1 − h(1 − y,−τ + s) = = 1 − h(h(1 − y,−τ), s) = 1 − h(y, s) для каждого s ∈ R. Значит τ∫ τ/2 (1 − 2h(y, s))ds = τ∫ τ/2 (1 − 2 + 2h(y, τ − s))ds = = − τ∫ τ/2 (1 − 2h(y, τ − s))ds = = − τ∫ τ/2 (1 − 2h(y, u))d(τ − u) = − τ/2∫ 0 (1 − 2h(y, u))du . Здесь осуществлена замена параметра u = τ − s. Пример неблуждающего множества... 85 Окончательно, τ∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds = = τ/2∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds + τ∫ τ/2 (1 − 2h(y, s))ds = = τ/2∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds− τ/2∫ 0 (1 − 2h(y, u))du = 0 . Лемма полностью доказана. � Итак, пусть W — открытая окрестность множества pr−1 n (x0) = {(z0, 0), (z0, 1)} в пространстве Mn−1 × I. Так как произведения открытых множеств составляют базу топологии пространства-произведения, то найдутся такие δ > 0 и открытое V ⊆ Mn−1, что V × ([0, δ) ∪ (1 − δ, 1]) ⊆ W. Для нас здесь важно то, что {z0} × ((0, δ) ∪ (1 − δ, 1)) ⊆ W . Далее мы будем считать, что δ < 1/2. Рассмотрим функцию ξ : R → I , ξ(t) = 1 2 − 1 π arctg t 2 , t ∈ R .(87) Функция ξ непрерывна, монотонно убывает и ξ(t) → +0 при t → +∞. 86 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Легко видеть, что эта функция подобрана так (см. лем- му 3.1 выше), чтобы для каждого t ∈ R выполнялось ра- венство f̂n((z, ξ(t)), t) = (z, 1 − ξ(t)) , z ∈ Mn−1 . Пусть T = 2 tg(π(1/2 − δ)). Тогда ξ(T ) = δ. Так как функция ξ монотонно убывает, то для каждого t > T вы- полняется неравенство ξ(t) ∈ (0, δ). Следовательно, f̂n((z0, ξ(t)), t) = (z0, 1 − ξ(t)) ∈ {z0} × (1 − δ, 1) ⊆ W , и f̂n(W, t) ∩ W 6= ∅. В силу произвольности выбора окрестности W , свойство (3′) выполняется в точке x0. Таким образом, доказано, что поток (Mn, fn) удовлетво- ряет свойству (3′). Пусть f̂− n : Mn−1 × I × R → Mn−1 × I , f̂− n (z, y, t) = f̂n(z, y,−t) , (z, y, t) ∈ Mn−1 × I × R . Перед тем, как доказывать, что свойство (4′) выполнено, проверим равенство T̂n ◦ f̂n = f̂− n ◦ (T̂n × IdR) . Действительно, производя замену параметра u = −s, по- лучаем −t∫ 0 (1 − 2h(1 − y, s))ds = −t∫ 0 (1 − 2h(1 − y,−u))d(−u) = = − t∫ 0 (1 − 2h(1 − y,−u))du = − t∫ 0 (1 − 2 + 2h(y, u))du = = t∫ 0 (1 − 2h(y, u))du Пример неблуждающего множества... 87 для всех y ∈ I и t ∈ R. Это следует из равенства (77). Пусть теперь z ∈ Mn−1, y ∈ I, t ∈ R. Тогда T̂n ◦ f̂n(z, y, t) = T̂n ( fn−1 ( z, t∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds ) , h(y, t) ) = = ( fn−1 ( z, t∫ 0 (1 − 2h(y, s))ds ) , 1 − h(y, t) ) = = ( fn−1 ( z, −t∫ 0 (1 − 2h(1 − y, s))ds ) , h(1 − y,−t) ) = = f̂n(z, 1 − y,−t) = f̂− n (z, 1 − y, t) = = f̂− n ◦ (T̂n × IdR)(z, y, t) . Пусть, наконец, x ∈ Mn и t ∈ R. Используя коммутатив- ную диаграмму (80) и следующее за ней утверждение 3.2, получим цепочку равенств Tn ◦ fn(x, t) = Tn ◦ prn ◦f̂n(pr−1 n (x), t) = prn ◦ T̂n ◦ f̂n(pr−1 n (x), t) = prn ◦ f̂− n ◦ (T̂n × IdR)(pr−1 n (x), t) = prn ◦ f̂n(T̂n(pr−1 n (x)),−t) = fn ◦ (prn × IdR)(T̂n(pr−1 n (x)),−t) = fn(prn ◦T̂n(pr−1 n (x)),−t) = fn(Tn(x),−t) = f− n ◦ (Tn × IdR)(x, t). Из произвольности выбора точки (x, t) ∈ Mn × R заклю- чаем, что свойство (4′) выполнено. Приступим к проверке свойства (5′) для потока (Mn, fn). 88 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Пусть сначала x ∈ jn−1(Mn−1). Из свойства (1′) заклю- чаем, что Ofn (x) = jn−1 ( Ofn−1 (j−1 n−1(x)) ) . Используем коммутативную диаграмму 75 и тот факт, что свойство (5′) справедливо для потока (Mn−1, fn−1), и получаем цепочку равенств Tn(Ofn (x)) = Tn ◦ jn−1(Ofn−1 (j−1 n−1(x))) = = jn−1 ◦ Tn−1(Ofn−1 (j−1 n−1(x))) = = jn−1(Ofn−1 (j−1 n−1(x))) = Ofn (x) . Пусть теперь x ∈ Mn \ jn−1(Mn−1). Тогда pr−1 n (x) = (z, y) для некоторых z ∈ Mn−1 и y ∈ (0, 1). Как следует из свой- ства (4′), которое мы уже проверили, потоки (Mn, fn) и (Mn, f − n ) топологически сопряжены посредством инволю- ции Tn. Эти потоки имеют одинаковые траектории, поэто- му инволюция Tn отображает траектории потока fn на це- лые траектории этого же потока. Таким образом, для за- вершения доказательства нам осталось только проверить, что Tn(x) ∈ Ofn (x). Из леммы 3.1 вытекает, что (z, 1 − y) = T̂n(z, y) ∈ Of̂n (z, y) . Однако из формул (80) и (81) следует, что поток (Mn, fn) является фактор-системой потока (Mn−1 × I, f̂n), поэтому Ofn (x) = Ofn (prn(z, y)) = prn ( Of̂n (z, y) ) . И значит, Tn(x) = prn ◦T̂n(pr−1 n (x)) = prn ◦T̂n(z, y) = = prn(z, 1 − y) ∈ prn(Of̂n (z, y)) = Ofn (x) . Пример неблуждающего множества... 89 Таким образом, полностью доказана справедливость свой- ства (5′) для потока (Mn, fn). 3.2.4. Поток f пространства M . Далее будем рассмат- ривать пространство M как объединение подпространств Mn, n ∈ N. В частности, в последующих выкладках будем опускать отображения вложения jn, n ∈ N. Пусть {fn \|n ∈ N} — последовательность потоков, по- строенная в предыдущем подразделе. Из свойства (1′) (см. начало раздела 3.2) следует, что отображение f = lim −→ fn : M × R → M × R , f(x) = fn(x) , если x ∈ Mn , определено корректно. Непрерывность отображений f и f−1 следует непосредственно из их определения. И так как все отображения fn являются потоками, то и f — поток. Итак, мы построили поток f пространства M . Найдем теперь множество неблуждающих точек дина- мической системы (M, f). Пусть x ∈ Mn. Тогда x ∈ Ω(fn+1) согласно условию (3′′). Следовательно, x ∈ Ω(f) (см. утверждение 2.1). Так как по определению для любого x ∈ M существует n ∈ N такое, что x ∈ Mn, то M = Ω(f). Подсчитаем теперь множество рекуррентных точек ди- намической системы (M, f). Пусть x ∈ Mn. По построению Mn — замкнутое ин- вариантное подмножество динамической системы (M, f), поэтомуOf(x) = Ofn (x) ⊆ Mn, и точка x является α-рекур- рентной (ω-рекуррентной) точкой динамической системы (M, f) тогда и только тогда, когда она лежит в множе- стве α-рекуррентных (ω-рекуррентных) точек динамиче- ской системы (Mn, fn) = (Mn, f \|Mn ). 90 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Из свойства (2′) теперь следует, что если x ∈ Rec(f), то x = a. Итак построен пример динамической системы (M, f) на бесконечномерном неполном пространстве M . Она удовле- творяет одновременно следующим свойствам: (i) M = Ω(f); (ii) Rec(f) = Per(f) = {a}. Пример 3.1. Выбрасывая из пространства M неподвиж- ную точку a потока (M, f), получим новое бесконечно- мерное неполное пространство M ′ и поток (M ′, f ′) на нем, у которого все траектории неблуждающие, но мно- жество предельных, а тем более рекуррентных точек пу- сто. Получаем искомый пример. 3.3. Построение каскада F на пространстве M . По- строим теперь пример 3.1 для динамической системы с дискретным временем на M (каскада). В качестве искомого примера можно было бы взять отоб- ражение последования F = f( · , 1) : M → M потока f из предыдущего примера. Однако мы слегка усложним этот пример, чтобы он дополнительно обладал свойством, невозможным для потоков, именно, чтобы последователь- ность каскадов имела итерационно неустойчивое неблуж- дающее множество. Начнем построение. 3.3.1. Последовательность {Fn \|n ∈ N}. Наша цель по- строить последовательность автоморфизмов Fn : Mn → Mn , n ∈ N , Пример неблуждающего множества... 91 которые бы удовлетворяли некоторому дискретному ана- логу требований (1′)–(5′) для последовательности потоков (см. начало раздела 3.2). Таким образом, по индукции построено семейство пото- ков (Mn, fn), n ∈ N, которые удовлетворяют требованиям (1′)–(5′). Возьмем единичные сдвиги вдоль траекторий этих по- токов Fn = fn( · , 1) : Mn → Mn , n ∈ N . Так как все fn — непрерывные потоки, то все отобра- жения Fn являются гомеоморфизмами (F−1 n = fn(· ,−1), n ∈ N). Убедимся, что для всех n ∈ N отображения Fn удовле- творяют требованиям (1◦) jn−1 ◦ Fn−1 = Fn ◦ jn−1, если n > 1; (2◦) существует точка a ∈ M1, такая что {an} = Rec(Fn) = Fix(Fn), an = jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a); (3◦) jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn), если n > 1. Доказательство. (1◦) Пусть n > 1 и x ∈ Mn−1. Тогда из свойства (1′) получаем jn−1 ◦ Fn−1(x) = jn−1 ◦ fn−1(x, 1) = = fn(jn−1(x), 1) = Fn ◦ jn−1(x) , и так как x — произвольная точка, то свойство (1◦) вы- полнено. (2◦) Заметим, что для любого x ∈ Mn имеет место нера- венство OFn (x) = ⋃ k∈Z fn(x, k) ⊆ Ofn (x) , 92 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях поэтому αFn (x) ⊆ αfn (x) и ωFn (x) ⊆ ωfn (x). Отсюда немед- ленно следует, что Rec(Fn) ⊆ Rec(fn) . С другой стороны, так как Mn — компактное хаусдор- фово топологическое пространство, то по теореме Биркго- фа динамическая система (Mn, Fn) имеет по крайней ме- ре одно непустое минимальное множество. Следовательно, Rec(Fn) 6= ∅. Так как согласно свойству (2′) мощность Rec(fn) равна единице, то Rec(Fn) = Rec(fn) = {an} = {jn−1 ◦ . . . ◦ j1(a)} . Кроме того, очевидно, что {an} = Fix(fn) ⊆ Fix(Fn) ⊆ Rec(Fn), поэтому Fix(Fn) = {an}. (3◦) Пусть n > 1 и x ∈ jn−1(Mn−1). Пусть U ⊆ Mn — открытая окрестность точки x. Согласно свойству (3′) су- ществует T > 0 такое, что fn(U, t)∩U 6= ∅ для всех t > T . Найдем N > T , N ∈ N. Тогда F k n (U) ∩ U = fn(U, k) ∩ U 6= ∅ для каждого k > N и x ∈ Ω(Fn), так как окрестность U ∋ x выбрана произвольно. Значит, jn−1(Mn−1) ⊆ Ω(Fn). � 3.3.2. Автоморфизм F пространства M . Будем рассмат- ривать пространство M как объединение подпространств Mn, n ∈ N. В частности, в последующих выкладках будем опускать отображения вложения jn, n ∈ N. Пусть {Fn \|n ∈ N} — последовательность автоморфиз- мов, построенная в предыдущем подразделе. Из свойства Пример неблуждающего множества... 93 (1◦) (см. начало раздела 3.3.1) следует, что отображение F = lim −→ Fn : M → M , F (x) = Fn(x) , если x ∈ Mn , определено корректно. И так как все отображения Fn об- ратимы, то и F — обратимое отображение . Обратное отоб- ражение задается формулой F−1 = lim −→ F−1 n : M → M , F−1(x) = F−1 n (x) , если x ∈ Mn . Непрерывность отображений F и F−1 следует непосред- ственно из их определения. Итак, мы построили автоморфизм F пространства M . Найдем теперь множество неблуждающих точек дина- мической системы (M, F ). Пусть x ∈ Mn. Тогда x ∈ Ω(Fn+1) согласно условию (3◦). Следовательно, x ∈ Ω(F ) (см. утверждение 2.1). Так как по определению для любого x ∈ M существует n ∈ N та- кое, что x ∈ Mn, то M = Ω(F ). Подсчитаем теперь множество рекуррентных точек ди- намической системы (M, F ). Пусть x ∈ Mn. По построению Mn — замкнутое инвари- антное подмножество динамической системы (M, F ), по- этому OF (x) = OFn (x) ⊆ Mn, и точка x является α-рекур- рентной (ω-рекуррентной) точкой динамической системы (M, F ) тогда и только тогда, когда она лежит в множе- стве α-рекуррентных (ω-рекуррентных) точек динамиче- ской системы (Mn, Fn) = (Mn, F \|Mn ). Из свойства (2◦) теперь следует, что если x ∈ Rec(F ), то x = a. 94 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Итак построен пример динамической системы (M, F ) на бесконечномерном неполном пространстве M . Она удовле- творяет одновременно следующим свойствам: (i) M = Ω(F ); (ii) Rec(F ) = Per(F ) = {pt}. 4. Дополнения. 4.1. Одно полезное утверждение о произведении проекций. Утверждение 4.1. Пусть X и Y — хаусдорфовы прост- ранства, f — разбиение пространства X на компактные подмножества, i — разбиение пространства Y на одно- точечные подмножества. Пусть проекция prX : X → X/f является замкнутым отображением. Пусть, кроме того, разбиение f̃ пространства X × Y является произведением разбиений f и i. Тогда отображение π = prX ×IdY : X × Y → X/f × Y факторно, и следовательно, пространства (X × Y )/̃f и X/f × Y канонически гомеоморфны. Для доказательства этого предложения нам будет ну- жен ряд приведенных ниже определений и результатов (см. [5]). Определение 4.1 (см. [6]). Пусть f : X → Y — непре- рывное отображение топологического пространства X в пространство Y . Если его взаимно-однозначный фактор fact f : X/ zer f → Y Пример неблуждающего множества... 95 является гомеоморфизмом, то f называется факторным (zer f — разбиение пространства X, элементами которо- го являются прообразы точек пространства Y под дей- ствием отображения f). Равносильно можно сказать, что отображение f фак- торно, если f(X) = Y и для произвольного подмножества B ⊆ Y его прообраз f−1(B) открыт в X тогда и только тогда, когда само множество B открыто в Y . Определение 4.2. Разбиение f топологического прост- ранства X называется непрерывным, если и только ес- ли для каждого F из f и любого открытого множества U , содержащего F , существует такое открытое множе- ство V , что F ⊆ V ⊆ U и V — объединение некоторой совокупности элементов семейства f. Теорема 4.1 (Александров, Хопф). Разбиение f тополо- гического пространства X непрерывно тогда и только тогда, когда проектирование pr : X → X/f замкнуто. Теорема 4.2 (Уоллес). Пусть X и Y — топологические пространства, A и B — компактные подмножества из X и Y соответственно. Пусть, далее, W — произвольная окрестность множества A × B в произведении X × Y . Тогда найдутся такие окрестности U и V множеств A и B соответственно, что U × V ⊆ W . Доказательство предложения 4.1. Пусть B ⊆ X/f × Y, B′ = π−1(B) ⊆ X × Y. Если B открыто, то и B′ открыто, так как отображение π, очевидно, непрерывно. Обратно, предположим, что множество B′ открыто в X × Y . 96 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Пусть p̃r1 : X/f × Y → X/f — проекция на первый со- множитель. Очевидно, B = ⋃ y∈Y (B ∩ (X/f × {y})) = = ⋃ y∈Y [ p̃r1(B ∩ (X/f × {y})) × {y} ] = ⋃ y∈Y By × {y} . Мы здесь обозначили By = p̃r1(B ∩ (X/f × {y})) ⊆ X/f, y ∈ Y . Пусть еще pr1 : X × Y → X — проекция на первый сомножитель. Аналогично предыдущему, обозначим B′ y = pr1(B ′ ∩ (X × {y})) ⊆ X, y ∈ Y. Тогда B′ = ⋃ y∈Y B′ y × {y} . Заметим, что B′ = π−1(B) = π−1 ( ⋃ y∈Y By × {y} ) = = ⋃ y∈Y π−1(By × {y}) = ⋃ y∈Y pr−1 X (By) × {y} , поэтому B′ y = pr−1 X (By) для каждого y ∈ Y . Заметим, кроме того, что для любого y ∈ Y множество B′ y откры- то в X, так как B′ открыто по условию и отображение iny : X → X × Y , iny(x) = (x, y), x ∈ X, является вложе- нием при любом фиксированном y ∈ Y . Пусть (x0, y0) ∈ B ⊆ X/f × Y . Тогда для компактных подмножеств pr−1 X (x0) ⊆ X и {y0} ∈ Y найдутся согласно теореме 4.2 открытые окрестности U ⊆ X и V ⊆ Y , для Пример неблуждающего множества... 97 которых pr−1 X (x0) × {y0} ⊆ U × V ⊆ B′. Далее, по теореме 4.1 для элемента pr−1 X (x0) разбиения f и открытого множества U найдется насыщенное (являюще- еся объединением некоторого семейства элементов разби- ения f) открытое множество W ′ такое, что pr−1 X (x0) ⊆ W ′ ⊆ U. Очевидно, W ′ = pr−1 X (W ) для некоторого подмножества W ⊆ X/f, содержащего точку x0. По определению фактор- топологии, так как множество W ′ открыто в X, то и W открыто в X/f. Легко видеть, что W ′ × V = π−1(W × V ), а множество W ×V является открытой окрестностью точ- ки (x0, y0). Кроме того, по построению W ′ × V ⊆ B′, сле- довательно W × V ⊆ B и точка (x0, y0) — внутренняя для B. Из произвольности выбора точки (x0, y0) ∈ B следует, что B открыто в X/f × Y . Теперь из произвольности выбора множества B ⊆ X/f × Y и его прообраза B′ = π−1(B) следует, что отображение π факторно. � Замечание 4.1. Легко видеть, что если пространство X компактно и хаусдорфово, а фактор-пространство X/f хаусдорфово, то все элементы разбиения f компактны а отображение проекции prX : X → X/f замкнуто. Таким образом, в этом случае для любого хаусдорфового пространства Y выполнены условия предложения 4.1. 98 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях 4.2. Косое произведение потоков относительно функции на декартовом произведении многообра- зий. Пусть X и Y — топологические пространства, f : X × R → X и h : Y × R → Y — потоки на X и Y соответственно. Наша цель — построить “косое произведение” f̂ : X × Y × R → X × Y потоков f и h, которое удовлетворяло бы таким свойствам. Пусть prX : X ×Y → X и prY : X ×Y → Y — проекции. Мы хотим, (0) чтобы отображение f̂ задавало поток на X × Y ; (1) чтобы движение точки (x, y) ∈ X×Y под действием f̂ проектировалось в движение точки y = prY (x, y) под действием потока h, т. е. чтобы выполнялось равенство prY ◦f̂ = h ◦ (prY ×IdR) : X × Y × R → Y ; (2) чтобы траектории потока f̂ проектировались в тра- ектории потока f , т. е. чтобы выполнялось включе- ние prX(Of̂(x, y)) ⊆ Of(prX(x, y)) = Of(x); (3) чтобы ϕ не зависела от выбора x, т. е. чтобы для любых x1, x2 ∈ X, y ∈ Y и t ∈ R выполнялось равенство ϕ(x1, y, t) = ϕ(x2, y, t), где через ϕ(x, y, t) обозначена такая величина, что prX ◦f̂(x, y, t) = f(x, ϕ(x, y, t)) Пример неблуждающего множества... 99 (эта величина корректно определена в силу преды- дущего требования). Приведем наводящие соображения, которые позволяют нам “угадать” поток f̂ . Предположим, что X и Y — “хорошие” пространства (например, конечномерные многообразия) и потоки f и h — гладкие. Тогда определены векторные поля {~u(x)}x∈X и {~v(y)}y∈Y на соответствующих касательных простран- ствах такие, что траектории потоков f и h являются ин- тегральными для этих векторных полей. Допустим, определён поток f̂ на пространстве X × Y , удовлетворяющий требованиям (1)–(3) и найдено соответ- ствующее ему поле скоростей {~w(x, y)}(x,y)∈X×Y . В силу требований (1) и (2) в каждой точке (x, y) ∈ X × Y должны выполняться равенства ~w(x, y) = α(x, y)~u(x) + ~v(y) (коэффициент при ~v всегда равен единице). Из требования (3) следует, что коэффициент α не зависит от x, и значит, (88) α : Y → R есть некоторая функция от y, и (89) ~w(x, y) = α(y)~u(x) + ~v(y) . Пусть мы стартуем из точки (x0, y0) и хотим найти в ка- кой точке траектории Of(x0) окажется в момент времени t проекция образа нашей начальной точки prx ◦f̂(x0, y0, t). Если бы функция α была константой, можно было бы написать prX ◦f̂(x0, y0, t) = f(x0, αt) = f  x0, t∫ 0 α · 1 ds   . 100 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Однако в произвольный момент времени s параметр α ра- вен α(y(s)) = α ◦ h(y0, s), поэтому prX ◦f̂(x0, y0, t) = f  x0, t∫ 0 α ◦ h(y0, s) ds   . Пусть теперь поток f̂ не задан. Фиксируем “хорошую” интегрируемую функцию (88) и построим векторное по- ле (89), интегральные траектории которого задает поток (90) f̂ : X × Y × R → X × Y , f̂(x, y, t) = ( f ( x, t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds ) , h(y, t) ) . Лемма 4.1. Пусть X и Y — хаусдорфовы топологические пространства, f и h — непрерывные потоки на X и Y , соответственно. Пусть α : Y → R — непрерывная функция. Тогда формула (90) задает непрерывный поток f̂ на X × Y , удовлетворяющий требованиям (1)–(3). Доказательство. Нужно показать, что отображение f̂ за- дает действие аддитивной группы вещественных чисел на пространстве X × Y . Действительно, во-первых, f̂(x, y, 0) = (f(x, 0), h(y, 0)) = (x, y) , Пример неблуждающего множества... 101 и во-вторых f̂(f̂(x, y, t), τ) = f̂ ( f ( x, t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds ) , h(y, t) , τ ) = = ( f ( f ( x, t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds ) , τ∫ 0 α ◦ h(h(y, t), ρ) dρ ) , h(h(y, t), τ) ) = = ( f ( x, t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds + τ∫ 0 α ◦ h(y, t + ρ) dρ ) , h(y, t + τ) ) = = ( f ( x, t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds + t+τ∫ t α ◦ h(y, s) ds ) , h(y, t + τ) ) = = ( f ( x, t+τ∫ 0 α ◦ h(y, s) ds ) , h(y, t + τ) ) = = f̂(x, y, t + τ) для любых x ∈ X, y ∈ Y и t, τ ∈ R. В этой цепочке равенств мы воспользовались следующими обстоятельствами: • f и h — потоки, т. е. для всех x ∈ X, y ∈ Y, t, τ ∈ R выполняются равенства f(x, t + τ) = f(f(x, t), τ) и h(y, t + τ) = h(h(y, t), τ). • Функция α ◦ h(y, ·) : R → R — непрерывна для любого фиксированного y ∈ Y , так как является композицией непрерывных отображений (напомним, что отображе- ние α непрерывно по условию). Следовательно, инте- грал t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds существует при любых y ∈ Y и t ∈ R. 102 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях • После замены s = t + ρ получаем ∫ τ 0 α◦h(y, t+ρ) dρ = ∫ τ 0 α◦h(y, t+ρ) d(t+ρ) = ∫ t+τ t α◦h(y, s) ds. Заметим, что справедливость требований (1)–(3) вытекает непосредственно из формулы (90). При каждом фиксированном t ∈ R отображение f̂t = f̂(·, ·, t) : X × Y → X × Y является биекцией. Действительно, как показано выше, суще- ствует обратное отображение (f̂t) −1 = f̂−t. Таким образом, для завершения доказательства нам остается проверить непрерыв- ность отображения f̂ . Предположим сначала, что отображение (91) ϕ : Y × R → R , ϕ : (y, t) 7→ t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds , (y, t) ∈ Y × R , непрерывно. Пусть Q ⊆ X×Y — открытое множество, содержащее точку f̂(x, y, t). Найдем открытые множества QX ⊆ X и QY ⊆ Y такие, что f̂(x, y, t) = (f(x, ϕ(y, t)), h(y, t)) ∈ QX × QY ⊆ Q. Так как отображение h непрерывно, найдутся открытые мно- жества V1 ⊆ Y и W1 ⊆ R такие, что (y, t) ∈ V1 × W1 ⊆ Y × R и h(V1 × W1) ⊆ QY . Аналогично, найдутся открытые множества U ⊆ X и W2 ⊆ R, для которых (x, ϕ(y, t)) ∈ U × W2 ⊆ X × R и f(U × W2) ⊆ QX . Наконец, найдем открытые множества V2 ⊆ Y и W3 ⊆ R такие, что (y, t) ∈ V2 × W3 и ϕ(V2 × W3) ⊆ W2. Пример неблуждающего множества... 103 Обозначим V = V1 ∩ V2 ⊆ Y и W = W1 ∩ W3 ⊆ R. Заметим, что V и W — непустые открытые множества, так как y ∈ V и t ∈ W по построению. Имеют место соотношения f̂(U × V × W ) = f(U,ϕ(V × W )) × h(V × W ) ⊆ ⊆ f(U,ϕ(V2 × W3)) × h(V1 × W1) ⊆ ⊆ f(U,W2) × QY ⊆ QX × QY ⊆ Q . Так как точка (x, y, t) ∈ X × Y × R и открытое множество Q ∋ f̂(x, y, t) произвольны, то отображение f̂ непрерывно. Следовательно, из непрерывности отображения (91) вытека- ет непрерывность f̂ . Докажем непрерывность отображения ϕ. Пусть (y, t) ∈ Y × R. Фиксируем ε > 0. Заметим, что \|ϕ(z, τ) − ϕ(y, t)\| = ∣∣∣∣ τ∫ 0 α ◦ h(z, s) ds − t∫ 0 α ◦ h(y, s) ds ∣∣∣∣ ≤ ≤ ∣∣∣∣ t∫ 0 (α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)) ds ∣∣∣∣ + ∣∣∣∣ τ∫ t α ◦ h(z, s) ds ∣∣∣∣ = = \|ϕ(z, t) − ϕ(y, t)\| + ∣∣∣∣ τ∫ t α ◦ h(z, s) ds ∣∣∣∣ . Функция α ◦ h : Y × R → R непрерывна, и значит найдутся такие открытое множество V ′ ⊆ Y и δ′ > 0, что y ∈ V ′ и α ◦ h(V ′ × (t − δ′, t + δ′)) ⊆ (α ◦ h(y, t) − ε/2, α ◦ h(y, t) + ε/2) . Обозначим M = max{\|α ◦ h(y, t) − ε/2\|, \|α ◦ h(y, t) + ε/2\|}. Ясно, что M > 0. Пусть, кроме того, δ = min{δ′, ε/(2M)}. 104 И.Ю.Власенко, Е.А.Полулях Тогда для любого (z, τ) ∈ V ′ × (t − δ, t + δ) имеем ∣∣∣∣ τ∫ t α ◦ h(z, s) ds ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ τ∫ t \|α ◦ h(z, s)\| ds ∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣ τ∫ t M ds ∣∣∣∣ ≤ \|τ − t\|M ≤ δM ≤ ε/2 . Таким образом, при t = 0 получим, что при любом (z, τ) ∈ V ′ × (−δ, δ) выполняются неравенства \|ϕ(z, τ) − ϕ(y, 0)\| ≤ \|ϕ(z, 0) − ϕ(y, 0)\|+ + ∣∣∣∣ τ∫ 0 α ◦ h(z, s) ds ∣∣∣∣ = 0 + ε/2 < ε . Из произвольности выбора ε следует, что для любого y ∈ Y функция ϕ непрерывна в точке (y, 0) ∈ Y × R. Пусть теперь t 6= 0. Снова из непрерывности функции α ◦ h : Y × R → R следует, что для любого s ∈ [0, t] существуют открытое множество Vs ⊆ Y и δs > 0 такие, что y ∈ Vs и α◦h(Vs×(s−δs, s+δs)) ⊆ (α◦h(y, s)−ε/(4t), α◦h(y, s)+ε/(4t)) . Обозначим Ws = (s − δs, s + δs) ⊆ R, s ∈ [0, t]. Множество {y}×[0, t] ⊆ Y ×R является компактом как образ компакта [0, t] в хаусдорфовом пространстве Y ×R (напомним, что пространство Y хаусдорфово по условию). Значит, найдет- ся конечный набор значений s1, . . . , sn такой, что [0, t] = n⋃ i=1 Wsi . Далее для простоты будем обозначать Wi = Wsi и Vi = Vsi , i = 1, . . . , n. Положим также V ′′ = n⋂ i=1 Vi. Пример неблуждающего множества... 105 Пусть z ∈ V ′′. Для каждого s ∈ [0, t] найдется i ∈ {1, . . . , n} такое, что s ∈ Wi. Тогда V ′′ × {s} ⊆ Vi × Wi из чего вытекает оценка \|α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)\| ≤ ≤ \|α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, si)\| + \|α ◦ h(y, si) − α ◦ h(y, s)\| < < ε/(4t) + ε/(4t) = ε/(2t) . Таким образом, \|ϕ(z, t) − ϕ(y, t)\| ≤ ∣∣∣∣ t∫ 0 (α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)) ds ∣∣∣∣ ≤ ≤ ∣∣∣∣ t∫ 0 \|α ◦ h(z, s) − α ◦ h(y, s)\| ds ∣∣∣∣ < ∣∣∣∣ t∫ 0 ε/(2t) ds ∣∣∣∣ = ε/2 . Обозначим V = V ′ ∩ V ′′. Открытое множество V не пусто, так как y ∈ V . Тогда для любого (z, τ) ∈ V × (t − δ, t + δ) получим оценку \|ϕ(z, τ) − ϕ(y, t)\| ≤ \|ϕ(z, t) − ϕ(y, t)\| + ∣∣∣∣ τ∫ t α ◦ h(z, s) ds ∣∣∣∣ < < ε/2 + ε/2 = ε . Следовательно, ϕ(V × (t − δ, t + δ)) ⊆ (ϕ(y, t) − ε, ϕ(y, t) + ε) . Так как ε > 0 может быть выбрано произвольно, то отображе- ние ϕ непрерывно в каждой точке (y, t) ∈ Y × R. � Замечание 4.2. Смысл параметра α(y, t) можно опи- сать словами: при малых t ∈ R отображение prX ◦f̂(·, y, ·) : X × R → X ведет себя так, как поток fα, fα(x, t) = f(x, αt), α = α(y, 0). 106 Список литературы [1] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую тополо- гию. — М.: Наука, 1977. [2] Алексеев В. М. Символическая динамика. — Киев.: Издание Институ- та математики АН УССР, 1976. — С. 212. [3] Власенко И. Ю., Максименко С. И., Полулях Е. А. Топологические методы в изучении групп преобразований многообразий. — Институт математики НАН Украины. Киев, 2006. [4] Власенко И. Ю., Полулях Е. А. Об итерационной устойчивости цен- тра Биркгофа // Препринт 2005.7. — 2005. [5] Келли Д. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1981. — С. 432. [6] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии, геометрические главы. — Москва, Наука, 1977. [7] Сибирский K. С. Введение в топологическую динамику.— Кишинев, 1970. [8] Birkhoff G. Dynamical systems // Colloquium Publications. V. 9, AMS, Providence, RI. — 1927. [9] Conley C. Isolated invariant sets and the Morse index. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1978. — Vol. 38 of CBMS Regional Con- ference Series in Mathematics. — Pp. iii+89. [10] Coven E., Nitecki Z. Nonwandering sets of the powers of maps of the inter- val // Ergodic Theory & Dynamical Systems. — 1981. — Vol. 1. — Pp. 9–31. [11] Hirsch M. W. Differential topology. — Springer-Verlag, 1976. — Vol. 33. [12] Kuratowski K. Topology. Vol. I. New edition, revised and augmented. Translated from the French by J. Jaworowski. — New York: Academic Press, 1966. — Pp. xx+560. [13] Kuratowski K., Mostowski A. Set theory. — revised edition. — Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1976. — Pp. xiv+514. — With an introduc- tion to descriptive set theory, Translated from the 1966 Polish original, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 86. [14] Polulyakh E., Vlasenko I. On iteration stability of the Birkhoff center against the power 2 // U. M. G. — 2006. — Vol. 58, no. 4. [15] Vlasenko I., Polulyakh E. On iteration stability of the birkhoff center against the power 2 // U. M. G. — 2006. — Vol. 58, no. 5. — Pp. 705–707.

Пример неблуждающего множества, не имеющего рекуррентных и предельных точек

Institution

Similar Items