Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds²
В даній статті досліджуються нескінченно малi геодезичні деформації метрики ds², встановлено розмiрнiсть простору розв’язків та знайдено вигляд метрики.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6293 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² / Ю.С. Федченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6293 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62932010-02-24T12:00:54Z Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² Федченко, Ю.С. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" В даній статті досліджуються нескінченно малi геодезичні деформації метрики ds², встановлено розмiрнiсть простору розв’язків та знайдено вигляд метрики. В данной статье исследуются бесконечно малые геодезические деформации метрики ds², найдены размерность пространства решений и вид метрики. Infinitesimal deformations of a metric ds² are investigated. The space dimension and the type of a metric are found. 2009 Article Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² / Ю.С. Федченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6293 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Федченко, Ю.С. Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| description |
В даній статті досліджуються нескінченно малi геодезичні деформації метрики ds², встановлено розмiрнiсть простору розв’язків та знайдено вигляд метрики. |
| format |
Article |
| author |
Федченко, Ю.С. |
| author_facet |
Федченко, Ю.С. |
| author_sort |
Федченко, Ю.С. |
| title |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| title_short |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| title_full |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| title_fullStr |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| title_full_unstemmed |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| title_sort |
нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6293 |
| citation_txt |
Нескінченно малі геодезичні деформації метрики ds² / Ю.С. Федченко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 47-55. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT fedčenkoûs neskínčennomalígeodezičnídeformacíímetrikids2 |
| first_indexed |
2025-07-02T09:13:52Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:13:52Z |
| _version_ |
1836525953381040128 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 47-55Þ.Ñ.Ôåä÷åíêîÎäåñüêà íàöiîíàëüíà àêàäåìiÿ õàð÷îâèõ òåõíîëîãié, ÎäåñàE-mail: Fed
henko Julia�ukr.netÍåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íiäå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 äàíié ñòàòòi äîñëiäæóþòüñÿ íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ìåòðèêè ds2, âñòàíîâëåíî ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâ òà çíàéäåíîâèãëÿä ìåòðèêè. äàííîé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûå ãåîäåçè÷åñêèå äå�îð-ìàöèè ìåòðèêè ds2, íàéäåíû ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé è âèäìåòðèêè.
Infinitesimal deformations of a metric ds2 are investigated. The spase
dimension and the type of a metric are found.Êëþ÷îâi ñëîâà: ãåîäåçè÷íà äå�îðìàöiÿ, ìåòðèêà1. ÂñòóïÍàãàäà¹ìî, ùî äå�îðìàöi¨ ïðè ÿêèõ êîæíà ãåîäåçè÷íà êðè-âà ïåðåõîäèòü, â ãîëîâíîìó, â ãåîäåçè÷íó êðèâó íàçèâàþòüñÿãåîäåçè÷íèìè àáî ïðîåêòèâíèìè (P-äå�îðìàöi¨).Ií�iíiòåçèìàëüíi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ïîâåðõîíü âïåðøåáóëè âèçíà÷åíi â ðîáîòi Ñèíþêîâà Ì.Ñ. òà �àâðèëü÷åíêà Ì.Ë.[1℄ ó 1971 ðîöi.  ìîíîãðà�i¨ [2℄ àâòîðàìè ïîêàçàíî, ùî ÿêùîðiìàíiâ ïðîñòið Vn äîïóñê๠íåòðèâiàëüíi íåñêií÷åííî ìàëi äå-�îðìàöi¨, òî âií äîïóñê๠i íåòðèâiàëüíi ãåîäåçè÷íi âiäîáðàæåí-íÿ, i íàâïàêè. Îñíîâíi ðiâíÿííÿ íåñêií÷åííî ìàëî¨ ãåîäåçè÷íî¨äå�îðìàöi¨ ìàþòü âèãëÿä:(1) ∇k(δgij) = 2δΨkgij + δΨigkj + δΨjgki
© Þ.Ñ.Ôåä÷åíêî, 2009
48 Þ.Ñ.Ôåä÷åíêîäå δgij � âàðiàöiÿ ìåòðè÷íîãî òåíçîðà, Ψi � ãðàäi¹íòíèé âåê-òîð, ∇k � çíàê êîâàðiàíòíî¨ ïîõiäíî¨. Ñëiä çàçíà÷èòè, ùî ãåî-äåçè÷íi äå�îðìàöi¨ äîïóñêàþòü ïîâåðõíi Ëióâiëëÿ i ëèøå âîíè.Ïîâåðõíÿìè Ëióâiëëÿ [3℄ ¹, íàïðèêëàä, âñi ïîâåðõíi îáåðòàííÿ,âñi öåíòðàëüíi ïîâåðõíi 2-ãî ïîðÿäêó òà iíøi.Çàãàëîì ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ¹ ìàëîäîñëiäæåíèìè. Îñòàí-íi ðîêè íàä äàíîþ òåìîþ ïëiäíî ïðàöþ¹ Ôîìåíêî Â.Ò.[4℄, ÿêèéïîêàçàâ, ùî äîñëiäæåííÿ íåñêií÷åííî ìàëèõ ãåîäåçè÷íèõ äå-�îðìàöié ìåòðèêè
ds2 = E(u, v)(du2 + dv2)çâîäèòüñÿ äî âèâ÷åííÿ ïèòàííÿ ïðî òå, ÷è ì๠ðîçâ'ÿçêè ñè-ñòåìà ëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ℑ, äî ÿêî¨ çâîäèòüñÿñèñòåìà îñíîâíèõ ðiâíÿíü (1)(2)
Xu = Yv,
Xv = −Yu,
Zu = 3((EY )v + EuX),
Zv = 3((EY )u + EvX).Òóò
X =
δg11
E2
− δg22
E2
,
Y =
2δg12
E2
,
Z =
δg11
E2
+
δg22
E2
.Òàê,çãiäíî ç Ôîìåíêîì Â.Ò., ñ�åðà S2 "â öiëîìó" äîïóñêà¹íåòðèâiàëüíå ãåîäåçè÷íå âiäîáðàæåííÿ.Îñíîâíîþ ìåòîþ äàíî¨ ðîáîòè i ¹ äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè (2) òà,ÿê ðåçóëüòàò, âèçíà÷èòè ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîç'ÿçêiâ, âêàçà-òè óìîâè �îðìàëüíî¨ iíòåãðîâíîñòi ñèñòåìè (2).
Íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 492. Ïîïåðåäíi âiäîìîñòiÑèñòåìó äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü (2) ìè ðîçãëÿäà¹ìî ÿêïiäìíîãîâèä E ⊂ J1(π)
x1 − y2 = 0,
x2 + y1 = 0,
z1 − 3(Evy + Ey2 + Eux) = 0,
z2 − 3(Euy + Ey1 + Evx) = 0.ó ïðîñòîði 1-äæåòiâ π : R3 ×R2 → R2, äå
π : (x, y, z, u, v) → (u, v),à x, y, z, x1, x2, y1, y2, z1, z2 � ñòàíäàðòíi êîîðäèíàòè ó ïðîñòîðiäæåòiâ.Öåé ïiäìíîãîâèä êîðîçìiðíîñòi 4 i âií âèçíà÷๠äâîìiðíå ðîç-øàðóâàííÿ
π1,0 : E → J0(π).Ïåðøå ïðîäîâæåííÿ â ñòàíäàðòíèõ êîîðäèíàòàõ
x1,1 − y1,2 = 0,
x1,2 − y2,2 = 0,
x1,2 + y1,1 = 0,
x2,2 + y1,2 = 0,
−3Euvy − 3Euy2 − 3Euux− 3Eux1 − 3Evy1 − 3Ey1,2 + z1,1 = 0,
−3Evvy − 6Evy2 − 3Euvx − 3Eux2 − 3Ey2,2 + z1,2 = 0,
−3Euuy − 6Euy1 − 3Euvx − 3Evx1 − 3Ey1,1 + z1,2 = 0,
−3Euvy − 3Evy1 − 3Evvx − 3Evx2 − 3Euy2 − 3Ey1,2 + z2,2 = 0öi¹¨ ñèñòåìè E(1) ⊂ J2(π) ì๠êîðîçìiðíiñòü 12 i âèçíà÷๠1-ìiðíå ðîçøàðóâàííÿ π2,1 : E1 → E , i íàðåøòi, 2-å ïðîäîâæåííÿ
x1,1,1 − y1,1,2 = 0,
x1,1,2 − y1,2,2 = 0,
x1,2,2 − y2,2,2 = 0,
x1,1,2 + y1,1,1 = 0,
50 Þ.Ñ.Ôåä÷åíêî
x1,2,2 + y1,1,2 = 0,
x2,2,2 + y1,2,2 = 0,
− 3Euuvy − 3Euuy2 − 3Euuux − 6Euux1 − 6Euvy1−
− 6Euy1,2 − 3Eux1,1 − 3Evy1,1 − 3Ey1,1,2 + z1,1,1 = 0,
− 3Evuvy − 6Euvy2 − 3Euuvx − 3Euux2 − 3Euy2,2−
− 3Euvx1 − 3Evvy1 − 3Eux1,2 − 6Evy1,2 − 3Ey1,2,2 + z1,1,2 = 0,
− 3Evvvy − 9Evvy2 − 3Evuvx − 6Euvx2 − 9Evy2,2−
− 3Eux2,2 − 3Ey2,2,2 + z1,2,2 = 0,
− 3Euuuy − 9Euuy1 − 3Euuvx − 6Euvx1 − 9Euy1,1−
− 3Evx1,1 − 3Ey1,1,1 + z1,1,2 = 0,
− 3Euuvy − 6Euvy1 − 3Evuvx − 3Euvx2 − 3Euuy2 − 6Euy1,2−
− 3Evvx1 − 3Evx1,2 − 3Evy1,1 − 3Ey1,1,2 + z1,2,2 = 0,
− 3Evuvy − 3Evvy1 − 3Evvvx − 6Evvx2 − 6Euvy2 − 6Evy1,2−
− 3Evx2,2 − 3Euy2,2 − 3Ey1,2,2 + z2,2,2 = 0.
E(2) ⊂ J3(π) ì๠êîðîçìiðíiñòü 24 à ïðîåêöiÿ π3,2 : E2 → E1 ¹äè�åîìîð�içìîì.�åîìåòðè÷íî, êîæíèé åëåìåíò θ3ǫE(2) ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê2-ìiðíó ïëîùèíó L(θ3), ÿêà äîòèêà¹òüñÿ ïðîäîâæåííÿ E(1) óòî÷öi θ2 = π3,2(θ3). Iíøèìè ñëîâàìè, 2-å ïðîäîâæåííÿ E(2) ìîæ-íà ðîçãëÿäàòè ÿê äâîìiðíèé ðîçïîäië CE(2) íà ìíîãîâèäi E(1),àáî ÿê çâ'ÿçíiñòü ∇ â 6-ìiðíîìó âåêòîðíîìó ðîçøàðîâóâàííi
π2 : E(1) → R2.
Íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 51Óìîâè iíòåãðóâàííÿ ðîçïîäiëó CE(2) (àáî, ùî òå ñàìå, òðèâi-àëüíîñòi çâ'ÿçíîñòi ∇) ìè âèðàçèìî â òåðìiíàõ ìóëüòèäóæêè(multi-bra
kets of di�erential operators), ÿêi áóëè ââåäåíi Ëè÷à-ãiíèì Â.Â. òà Êðóãëiêîâèì Á.C. [5℄. Íàâåäåìî �îðìóëó äëÿîá÷èñëåííÿ òàêî¨ äóæêè, ÿêà çíàéäåíà ó íàâåäåíié ðîáîòi.Íåõàé ìà¹ìî ñèñòåìó ç n+ 1 ëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâ-íÿíü íà n íåâiäîìi �óíêöi¨:∥∥∥∥∥∥∥∥∥
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n... ... . . . ...
an+11 an2 . . . an+1n
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
u1
u2...
un
∥∥∥∥∥∥∥∥∥
= 0,òóò aij- ëiíiéíi äè�åðåíöiàëüíi îïåðàòîðè. Òîäi äóæêà
{a1, . . . , an+1}ñêàëÿðíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ îïåðàòîðiâ ai = (ai1, . . . , ain) îá-÷èñëþ ¹ òüñÿ çà �îðìóëîþ(3) {a1, . . . , an+1} =
n+1∑
i=1
(−1)i−1Ndet(Ai)ai,äå Ai- ìàòðèöi ðîçìiðó n×n, îòðèìàíi ç ìàòðèöi ‖aij‖, ÿêùî âè-êðåñëèòè i-òèé ðÿäîê, à Ndet(Ai)- íåêîìóòàòèâíèé âèçíà÷íèêìàòðèöi Ai.Òåîðåìà 1. �îçïîäië CE(2) öiëêîì iíòåãðîâàíèé òîäi é òiëü-êè òîäi, êîëè îáìåæåííÿ äóæêè íà äðóãå ïðîäîâæåííÿ ðiâ-íÿíü E2 äîðiâíþ¹ íóëþ.3. Íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè
ds2�îçãëÿíåìî íà ïîâåðõíi F 2 äåÿêó ìåòðèêó ds2 êëàñó C1. ßêâèùå áóëî ñêàçàíî, äîñëiäæåííÿ ãåîäåçè÷íèõ äå�îðìàöié ìåò-ðèêè ds2 çâîäèòüñÿ äî âèâ÷åííÿ ñèñòåìè (2). Ñïðàâåäëèâà
52 Þ.Ñ.Ôåä÷åíêîÒåîðåìà 2. 1) �îçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè (2)íå áiëüøå 6;2) ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè (2) äîðiâíþ¹ 6òîäi i ëèøå òîäi, êîëè ñèñòåìà ðiâíÿíü (2) �îðìàëüíî iíòå-ãðîâàíà (ñóìiñíà), à �óíêöiÿ E(u, v) = C3e
C1u+C2v.3) äëÿ ïîâåðõîíü íóëüîâî¨ ãàóñîâî¨ êðèâèíè i òiëüêè äëÿ íèõðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó íåñêií÷åííî ìàëèõ ãåîäåçè÷íèõ äå�îð-ìàöié äîðiâíþ¹ 6.Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòà¹ìî òåîðiþ äóæîê äè�åðåíöiàëüíèõ îïå-ðàòîðiâ. Äëÿ öüîãî ñèñòåìó (2) çàïèøåìî ó âèãëÿäi
∥∥∥∥∥∥∥∥
∂u −∂v 0
∂v ∂u 0
3Eu 3Ev + 3E∂v −∂u
3Ev 3Eu + 3E∂u −∂v
∥∥∥∥∥∥∥∥
∥∥∥∥∥∥
X
Y
Z
∥∥∥∥∥∥
= 0.Çíàéäåìî Ndet(Ai), i = 1, 4. Òàê ÿê
Ndet(A1) =
∣∣∣∣∣∣
∂v ∂u 0
3Eu 3Ev + 3E∂v −∂u
3Ev 3Eu + 3E∂u −∂v
∣∣∣∣∣∣
=
= 9Eu∂u∂v + 6Euu∂v + 3E∂2
u∂v − 6Ev∂
2
v − 3Evv∂v − 3E∂3
v ,
Ndet(A2) =
∣∣∣∣∣∣
∂u −∂v 0
3Eu 3Ev + 3E∂v −∂u
3Ev 3Eu + 3E∂u −∂v
∣∣∣∣∣∣
= 9Euu∂u + 9Eu∂
2
u−
6Eu∂
2
v − 3Evu∂v − 3E∂u∂
2
v + 3Euuu + 3E∂3
u + 3Evv∂u + 3Evuv ,
Ndet(A3) =
∣∣∣∣∣∣
∂u −∂v 0
∂v ∂u 0
3Ev 3Eu + 3E∂u −∂v
∣∣∣∣∣∣
= −∂2
u∂v − ∂3
v ,
Íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 53
Ndet(A4) =
∣∣∣∣∣∣
∂u −∂v 0
∂v ∂u 0
3Eu 3Ev + 3E∂v −∂u
∣∣∣∣∣∣
= −∂3
u − ∂2
v∂u,
a1 = (∂u,−∂v , 0),
a2 = (∂v , ∂u, 0),
a3 = (3Eu, 3Ev + 3E∂v ,−∂u),
a4 = (3Ev, 3Eu + 3E∂u,−∂v),òîäi ìè, íà îñíîâi (3), çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ òðåòüîãî ïîðÿäêó,ÿêå ¹ óìîâîþ �îðìàëüíî¨ iíòåãðîâàíîñòi ñèñòåìè (2):
(4) −Evx1,2,2 − 3Euux1,2 + Eux2,2,2 − Euvx2,2−
2Euuux2 − 2Euvvx2 − Eux1,1,2 + 2Euvx1,1+
Euuvx1 + Evx1,1,1 + Evvvx1 − Euy1,2,2−
2Euuy2,2 − 2Evy2,2,2 − 5Evvy2,2 + 3Euuy1,1+
Euy1,1,1 + Euvy1,2 + 3Euuuy1 − Evvy1,1−
Evvuy1 − 4Evvvy2 − Evvvvy + Euuuuy = 0Çíàõîäèìî äðóãå ïðîäîâæåííÿ ñèñòåìè (2) i âèêîðèñòîâóþ-÷è äóæêó (4) îòðèìà¹ìî íàñòóïíå îáìåæåííÿ íà âèáið �óíêöi¨
E(u, v) :
(5) −EvEu +EuvE = 0;
(6) −3 (Ev)
3 + 6E EvEvv + 2E EvEuu+
2E EuEuv − 5(Eu)
2Ev + EuuvE
2 − 3EvvvE
2 = 0;
(7) −15 (Eu)
3 + 6E EvEuv + 20E EuuEu+
4E EuEvv − 9 (Ev)
2Eu − 5EuuuE
2 − EvuvE
2 = 0;
(8) 5 (Eu)
2Euu + 2E EuEvuv − 2E EuEuuu+
54 Þ.Ñ.Ôåä÷åíêî
2E EvEvvv − 2E EvEuuv + 2E EuuEvv+
3(Ev)
2Euu − 4E (Euu)
2 − 5 (Eu)
2Evv+
2E (Evv)
2 − EvvvvE
2 + EuuuuE
2 − 3 (Ev)
2Evv = 0.�iâíÿííÿ (5) çàïèøåìî ó âèãëÿäi (lnE)uv = 0 çâiäêè ñëiäó¹,ùî E = ea(u)eb(v) i òîäi ðiâíÿííÿ (6), (7), (8) íàáóäóòü òàêîãîâèãëÿäó:
(9) a′′ (u) b′ (v) − b′′ (v) b′ (v) − b′′′ (v) = 0;
(10) −2 b′′′ (v) b′ (v) + b′′ (v)
(
b′ (v)
)2
+ 3 a′′ (u)
(
b′ (v)
)2
+
2 a′′ (u) b′′ (v) − 3 a′′ (u)
(
a′ (u)
)2 −
(
a′ (u)
)2
b′′ (v) +
2 a′′′ (u) a′ (u) − (a′′ (u))2 −
(
b′′ (v)
)2 − b(4) (v) + a(4) (u) = 0;
(11) −5 a′′ (u) a′ (u) − 3 a′ (u) b′′ (v) + 5 a′′′ (u) = 0Ç (9) òà (11) ñëiäó¹, ùî �óíêöi¨ a(u), b(v) ¹ ëiíiéíèìè �óíê-öiÿìè. Ïåðåâiðêîþ ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ùî òàêi �óíêöi¨ çàäî-âîëüíÿþòü i ðiâíÿííÿ (10). Îòæå, E(u, v) = C3e
C1u+C2v, C1, C2,
C3 -
onst.Òàê ÿê íà J0 ó íàñ 3 ñòåïåíi ñâîáîäè , íà ℑ-2, à íà ℑ(1) -1, òîáà÷èìî, ùî ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâ äîðiâíþ¹ 6.ßê âiäîìî, ïîâíà êðèâèíà ìîæå áóòè îá÷èñëåíà çà �îðìóëîþ�àóñà
K =
R1212
g11g22 − g2
12
,àáî â ðîçãîðíóòîìó âèãëÿäi
K =
1
(g11g22 − g2
12)
2
×
×
∣∣∣∣∣∣
−1
2∂
2
uug22 + ∂2
uvg12 − 1
2∂
2
vvg11
1
2∂ug11 ∂ug12 − 1
2∂vg11
∂vg12 − 1
2∂ug22 g11 g12
1
2∂vg22 g12 g22
∣∣∣∣∣∣
−
Íåñêií÷åííî ìàëi ãåîäåçè÷íi äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 55
− 1
(g11g22 − g2
12)
2
∣∣∣∣∣∣
0 1
2∂vg11
1
2∂ug22
1
2∂vg11 g11 g12
1
2∂ug22 g12 g22
∣∣∣∣∣∣Âðàõîâóþ÷è, ùî g11 = g22 = E(u, v) = C3e
C1u+C2v, g12 = 0ìà¹ìî, ùî K = 0.Îòæå, ïðè ãåîäåçè÷íié äå�îðìàöi¨ ìåòðèêè ds2 äëÿ ïîâåð-õîíü íóëüîâî¨ ãàóñîâî¨ êðèâèíè ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâäîðiâíþ¹ 6 i ëèøå äëÿ íèõ. Ùî i òðåáà áóëî äîâåñòè. �Ëiòåðàòóðà[1℄ Ñèíþêîâ Í.Ñ., �àâðèëü÷åíêî Ì.Ë. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ãåîäåçè÷åñêèåäå�îðìàöèè ïîâåðõíîñòåé //Òðåòüÿ ðåñï. êîí�åðåíöèÿ ìàòåìàòèêîâÁåëîðóññèè, Ìèíñê, � 1971.[2℄ �àäóëîâè÷ Æ.,Ìèêåø É, �àâðèëü÷åíêî Ì.Ë. �åîäåçè÷åñêèå îòîáðàæå-íèÿ è äå�îðìàöèè ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ //Îäåññà, Îëîìîóö � 1997.�Ñ.127[3℄ Êàãàí Â.Ô. Îñíîâû òåîðèè ïîâåðõíîñòåé //Ì.-Ë.:Î�ÈÇ �îñòåõèçäàò �1947.� ò.1� 1948.� ò.2[4℄ Ôîìåíêî Â.Ò. Îá îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè çàìêíóòûõ ïîâåðõíî-ñòåé îòíîñèòåëüíî ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé //Äîêëàäû àêàäåìèèíàóê � 2006.� ò.407, �4. � Pp.453-456.[5℄ Kruglikov B., Ly
hagin V. Multi-bra
kets of di�erential operators and
ompatibility of PDE systems//C. R. A
ad. S
i. Paris,Ser.I � 2006.� 342� Pp.557�561.
|