Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства
The smooth structure on the set of the nonisotropic and isotropic planes of the pseudo-Euclidean space ¹R4 was built. The metric in the local coordinates on this smooth structure was obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6294 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства / И.Г. Величко, М.А. Гургенидзе, П.Г. Стеганцева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 56-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6294 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62942010-02-24T12:00:55Z Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства Величко, И.Г. Гургенидзе, М.А. Стеганцева, П.Г. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" The smooth structure on the set of the nonisotropic and isotropic planes of the pseudo-Euclidean space ¹R4 was built. The metric in the local coordinates on this smooth structure was obtained. 2009 Article Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства / И.Г. Величко, М.А. Гургенидзе, П.Г. Стеганцева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 56-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6294 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Величко, И.Г. Гургенидзе, М.А. Стеганцева, П.Г. Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| description |
The smooth structure on the set of the nonisotropic and isotropic planes of the pseudo-Euclidean space ¹R4 was built. The metric in the local coordinates on this smooth structure was obtained. |
| format |
Article |
| author |
Величко, И.Г. Гургенидзе, М.А. Стеганцева, П.Г. |
| author_facet |
Величко, И.Г. Гургенидзе, М.А. Стеганцева, П.Г. |
| author_sort |
Величко, И.Г. |
| title |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| title_short |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| title_full |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| title_fullStr |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| title_full_unstemmed |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| title_sort |
подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6294 |
| citation_txt |
Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей псквдоэвклидова пространства / И.Г. Величко, М.А. Гургенидзе, П.Г. Стеганцева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 56-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT veličkoig podmnogoobraziâgrassmanovamnogoobraziâploskostejpskvdoévklidovaprostranstva AT gurgenidzema podmnogoobraziâgrassmanovamnogoobraziâploskostejpskvdoévklidovaprostranstva AT stegancevapg podmnogoobraziâgrassmanovamnogoobraziâploskostejpskvdoévklidovaprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-02T09:13:55Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:13:55Z |
| _version_ |
1836525956257284096 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 56-76È. �. Âåëè÷êîÇàïîðîæñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò, ÇàïîðîæüåE-mail: phd�mail.zp.uaÌ. À. �óðãåíèäçåÇàïîðîæñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò, ÇàïîðîæüåE-mail: mag83�list.ruÏ. �. ÑòåãàíöåâàÇàïîðîæñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò, ÇàïîðîæüåE-mail: steg_pol�mail.ruÏîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâàìíîãîîáðàçèÿ ïëîñêîñòåéïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà
The smooth structure on the set of the nonisotropic and isotropic planes
of the pseudo-Euclidean space 1R4 was built. The metric in the local
coordinates on this smooth structure was obtained.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïñåâäîåâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, ãðàññìàíîâî ìíîãî-îáðàçèå, ñòàöèîíàðíûå óãëû, ìåòðèêà�ðàññìàíîâî ìíîãîîáðàçèå ïëîñêîñòåé åâêëèäîâà ïðîñòðàí-ñòâà Rn èçó÷àëîñü ìíîãèìè ãåîìåòðàìè. Îñíîâû âíóòðåííåéãåîìåòðèè ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà çà-ëîæåíû â ðàáîòàõ Âîíãà [10℄ è Ëåéõòâåéñà [5℄.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ñòàíäàðòíûõ ãðàññìàíî-âûõ ìíîãîîáðàçèé ìîæíî íàéòè â îáçîðíîé ñòàòüå À.À. Áî-ðèñåíêî, Þ.À. Íèêîëàåâñêîãî [2℄. �ðàññìàíîâû ìíîãîîáðàçèÿïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà èçó÷àëèñü â ðàáîòàõ È. Ìààçè-êàñà [6℄ è Ñ.Å. Êîçëîâà [4℄.
© È. �. Âåëè÷êî, Ì. À. �óðãåíèäçå, 2009
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 57Îäíîé èç èíòåðåñíûõ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î âîññòàíîâëåíèè ïî-âåðõíîñòè ïî åå ãðàññìàíîâó îáðàçó, ðåøåíèåì êîòîðîé äëÿ åâ-êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà çàíèìàëèñü, â ÷àñòíîñòè, ãåîìåòðû õàðü-êîâñêîé øêîëû, îñíîâàííîé À.Â. Ïîãîðåëîâûì. Îñíîâíûå ðå-çóëüòàòû èõ èññëåäîâàíèé èçëîæåíû â ìîíîãðà�èè Þ.À. Àìè-íîâà [1℄.Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ðåøåíèå àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ ïñåâ-äîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, íî ýòîìó äîëæíî ïðåäøåñòâîâàòüèññëåäîâàíèå ãåîìåòðèè ãðàñññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ïñåâäîåâ-êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà è åãî ïîäìíîãîîáðàçèé. Ýòîìó âîïðîñóïîñâÿùåíà äàííàÿ ñòàòüÿ.  íåé, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíî ïîíÿ-òèå ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè, ââåäåíà ãëàäêàÿñòðóêòóðà íà ìíîæåñòâàõ íåèçîòðîïíûõ è èçîòðîïíûõ ïëîñêî-ñòåé, ïîñòðîåíà ìåòðèêà ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ.1. Ïñåâäîåâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîÏñåâäîåâêëèäîâî ÷åòûðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî èíäåêñà 1,êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü 1R4, ìîæíî îïðåäåëèòü êàê òî÷å÷íî-âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì âûïîëíåíû âñå àêñèîìû ñè-ñòåìû Âåéëÿ, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîìû V4, êîòîðóþ çàìåíèìàêñèîìîé V ∗
4 : ñóùåñòâóþò ÷åòûðå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòî-ðà ā1, ā2, ā3, ā4 òàêèõ, ÷òî ā2
1 < 0, ā2
2 > 0, ā2
3 > 0, ā2
4 > 0.Âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà 1R4, ñêàëÿðíûå êâàäðàòû êîòîðûõïîëîæèòåëüíû (îòðèöàòåëüíû), íàçûâàþòñÿ åâêëèäîâûìè(ïñåâäîåâêëèäîâûìè) âåêòîðàìè. Íåíóëåâûå âåêòîðû, ñêàëÿð-íûå êâàäðàòû êîòîðûõ ðàâíû íóëþ, íàçûâàþòñÿ èçîòðîïíûìèâåêòîðàìè.Îïðåäåëåíèå îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ è äëèíû âåêòîðà ïå-ðåíåñåì èç åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R4 â ïðîñòðàíñòâî 1R4 áåçèçìåíåíèÿ.Î÷åâèäíî, ÷òî äâà íåíóëåâûõ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà ëèíåé-íî íåçàâèñèìû.  ïðîñòðàíñòâå 1R4 âîçìîæíû òîëüêî òàêèåïàðû îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ: åâêëèäîâ è ïñåâäîåâêëèäîâ, åâ-êëèäîâ è èçîòðîïíûé, äâà åâêëèäîâûõ âåêòîðà.
58 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.ÑòåãàíöåâàÂûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå 1R4 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
(ē1, ē2, ē3, ē4)ñ ìàòðèöåé �ðàìà
E
′
=
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå 1R4 âñå îðòîíîðìèðî-âàííûå áàçèñû ñîñòîÿò èç îäíîãî ïñåâäîåâêëèäîâà è òðåõ åâ-êëèäîâûõ âåêòîðîâ, òî åñòü èìååò ìåñòî çàêîí èíåðöèè áàçèñîâ.Íî â ïîäïðîñòðàíñòâàõ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâóþò îðòî-ãîíàëüíûå áàçèñû, ñîäåðæàùèå èçîòðîïíûé âåêòîð. Çàìåòèì,÷òî îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ, ñîäåðæàùèå èçîòðîïíûéâåêòîð, íå ìîãóò áûòü äîñòðîåíû äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñàïðîñòðàíñòâà 1R4.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
x̄t = (x1, x2, x3, x4) è ȳt = (y1, y2, y3, y4),çàäàííûõ ñâîèìè êîîðäèíàòàìè îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàí-íîãî áàçèñà, áóäåò èìåòü âèä
x̄tE
′
ȳ = −x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4,à ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà
x̄t = (x1, x2, x3, x4)� âèä
x̄tE
′
x̄ = −x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4.Åñëè îòëîæèòü âñå âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà 1R4 îò íà÷àëà êî-îðäèíàò, òî êîíöû èçîòðîïíûõ âåêòîðîâ áóäóò ëåæàòü íà ïî-âåðõíîñòè
−x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 = 0,êîòîðóþ íàçûâàþò èçîòðîïíûì ãèïåðêîíóñîì.
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 59Êîíöû åâêëèäîâûõ âåêòîðîâ ëåæàò âî âíåøíåé îáëàñòè, àêîíöû ïñåâäîåâêëèäîâûõ âåêòîðîâ � âî âíóòðåííåé îáëàñòèèçîòðîïíîãî ãèïåðêîíóñà.Ïðÿìûå ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà 1R4 äåëÿòñÿ íà åâ-êëèäîâû, ïñåâäîåâêëèäîâû è èçîòðîïíûå ñîîòâåòñòâåííî òèïóíàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà. ïðîñòðàíñòâå 1R4 åñòü äâóìåðíûå ïëîñêîñòè (äàëåå ïëîñ-êîñòè), â êîòîðûõ âñå âåêòîðû åâêëèäîâû (èõ íàçûâàþò åâêëè-äîâûìè ïëîñêîñòÿìè), ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ åñòü âåêòîðû âñåõòð¼õ òèïîâ (èõ íàçûâàþò ïñåâäîåâêëèäîâûìè ïëîñêîñòÿìè) èïëîñêîñòè, â êîòîðûõ åñòü òîëüêî åâêëèäîâû è èçîòðîïíûå âåê-òîðû (îíè íàçûâàþòñÿ èçîòðîïíûìè ïëîñêîñòÿìè). Åâêëèäî-âû è ïñåâäîåâêëèäîâû ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ íåèçîòðîïíûìè.Òèï ïëîñêîñòè áóäåì ðàñïîçíàâàòü ïî íàáîðó èç äâóõ îðòîãî-íàëüíûõ íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ā1, ā2.Ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ âåðøèíó èçîòðîïíîãî ãèïåðêîíóñàÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé (ïñåâäîåâêëèäîâîé, èçîòðîïíîé), åñëè îíàíå èìååò ñ èçîòðîïíûì ãèïåðêîíóñîì äðóãèõ îáùèõ òî÷åê (ïå-ðåñåêàåò èçîòðîïíûé ãèïåðêîíóñ ïî äâóì îáðàçóþùèì, êàñà-åòñÿ èçîòðîïíîãî ãèïåðêîíóñà). Âïîëíå îðòîãîíàëüíûå íåèçî-òðîïíûå ïëîñêîñòè îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì òèïàì [7℄.Áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ìàòðè÷íîé êîîðäèíàòû ïëîñêî-ñòè. Òàê áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöó âèäà
A =
a1
1 a1
2
a2
1 a2
2
a3
1 a3
2
a4
1 a4
2
,ñòîëáöàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùèõ âåê-òîðîâ ā1, ā2 ïëîñêîñòè.�àññìîòðèì òðåõìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà 1R4.Âûáåðåì â íåì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ. Äâà âåêòîðà ýòîãî áà-çèñà áóäóò åâêëèäîâûìè. Êëàññè�èöèðîâàòü òðåõìåðíûå ïðî-ñòðàíñòâà áóäåì ïî òèïó òðåòüåãî áàçèñíîãî âåêòîðà. Òàêèìîáðàçîì, ìîæíî âûäåëèòü òðåõìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
60 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâà
R3, òðåõìåðíîå ïñåâäîåâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî èíäåêñà 1 1R3 èòðåõìåðíîå èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî R1
3 [7℄. ïðîñòðàíñòâå 1R4 ëþáîå òðåõìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ÿâ-ëÿåòñÿ ëèáî åâêëèäîâûì, ëèáî ïñåâäîåâêëèäîâûì, ëèáî èçî-òðîïíûì. Ïðîñòðàíñòâà âñåõ òðåõ òèïîâ ñóùåñòâóþò.Äåéñòâèòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ïîäïðîñòðàíñòâ R3 è 1R3 íå-ïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òèïà îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ïðî-ñòðàíñòâà 1R4. Ñóùåñòâîâàíèå èçîòðîïíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà
R1
3 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäïðî-ñòðàíñòâà < ā >, ãäå ā � èçîòðîïíûé âåêòîð, ÿâëÿåòñÿ ïîä-ïðîñòðàíñòâî < ā, b̄, c̄ >, ãäå ā, b̄, c̄ � îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìàâåêòîðîâ, ïðè÷åì âåêòîðû b̄, c̄ åâêëèäîâû.2. Ñòàöèîíàðíûå óãëû ïàðû ïëîñêîñòåé åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R4 âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïàðûïëîñêîñòåé π è τ îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ íàáîðîì óãëîâ ϕ1, ϕ2 ñîçíà÷åíèÿìè èç [0, π/2]. Ýòè óãëû îïðåäåëÿþòñÿ êàê ñòàöèîíàð-íûå çíà÷åíèÿ óãëîâ ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè âåêòîðàìè ā ∈ π è
b̄ ∈ τ [10℄.Ìû íå ìîæåì îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ îïðåäåëåíèå ñòàöè-îíàðíûõ óãëîâ â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà 1R4, ïîñêîëüêó â ýòîìïðîñòðàíñòâå âåêòîðû íåðàâíîïðàâíû è çíà÷åíèÿ óãëîâ ìåæäóíèìè íå âñåãäà ìîæíî ñðàâíèòü ìåæäó ñîáîé.  ýòîì ïàðàãðà-�å ìû äàäèì îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõóãëîâ ïàðû ïëîñêîñòåé îäíîãî òèïà ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàí-ñòâà.2.1. Ñëó÷àé íåèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé. Ïóñòü π è τ � äâåíåèçîòðîïíûå ïëîñêîñòè îäíîãî òèïà ïðîñòðàíñòâà 1R4, ïðîõî-äÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. �àññìîòðèì äâóìåðíóþ ïëîñ-êîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ïåðïåíäèêóëÿð-íóþ êàæäîé èç ïëîñêîñòåé π è τ . Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè ïåðå-ñå÷åíèÿ ýòîé äâóìåðíîé ïëîñêîñòè ñ ïëîñêîñòÿìè π è τ áóäåìíàçûâàòü ñòàöèîíàðíûì óãëîì ïëîñêîñòåé π è τ , à ñàìó äâó-ìåðíóþ ïëîñêîñòü � óãëîâîé ïëîñêîñòüþ.
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 61Òåîðåìà 1. Äëÿ ïàðû íåèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé îäíîãî òèïàâñåãäà ñóùåñòâóþò äâå âïîëíå îðòîãîíàëüíûå óãëîâûå ïëîñêî-ñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïëîñêîñòè π è τ çàäà-íû íàáîðàìè íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ā1, ā2 è b̄1, b̄2 ñîîòâåò-ñòâåííî. Òîãäà
A =
a1
1 a1
2
a2
1 a2
2
a3
1 a3
2
a4
1 a4
2
,
B =
b11 b12
b21 b22
b31 b32
b41 b42
� ìàòðè÷íûå êîîðäèíàòû ïëîñêîñòåé π è τ . Ïðîèçâîëüíàÿ äâó-ìåðíàÿ ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ äàííûå, çàäàåòñÿ âåêòîðàìè
c̄1, c̄2 è èìååò ìàòðè÷íóþ êîîðäèíàòó
C =
c11 c12
c21 c22
c31 c32
c41 c42
,ãäå c̄1 = AΛ, c̄2 = BM , Λt = (λ1λ2), M t = (µ1µ2). Áóäåì èñêàòüòó äâóìåðíóþ ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà êàæäîé èçïëîñêîñòåé π è τ . Â òàêîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóþò âåêòîðû d̄1 =
α1c̄1 + α2c̄2, d̄2 = β1c̄1 + β2c̄2 òàêèå, ÷òî(1) d̄t1E
′
āi = 0, d̄t2E
′
b̄i = 0(i = 1, 2).Ñèñòåìó (1) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå
(α1AΛ + α2BM)tE
′
A = 0,
(β1AΛ + β2BM)tE
′
B = 0,èëè
α1(A
tE
′
A)Λ + α2(A
tE
′
B)M = 0,
β1(B
tE
′
A)Λ + β2(B
tE
′
B)M = 0
62 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâàè ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëü-íî ýëåìåíòîâ ìàòðèö Λ è M . Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåíóëåâîãîðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ
∣∣∣∣
α1(A
tE
′
A) α2(A
tE
′
B)
β1(B
tE
′
A) β2(B
tE
′
B)
∣∣∣∣ = 0.Ìû ìîæåì óïðîñòèòü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, åñëè âûáåðåì âäàííûõ ïëîñêîñòÿõ π è τ îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû. Òîãäà
(AtE
′
A) = E2, (BtE
′
B) = E2,ãäå E2 = diag(1, 1) â ñëó÷àå åâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé è
(AtE
′
A) = E
′
2, (BtE
′
B) = E
′
2,ãäå E′
2 = diag(−1, 1) â ñëó÷àå ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé. Âñëó÷àå åâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé èìååì:
∣∣∣∣
α1 α2(A
tE
′
B)
β1(B
tE
′
A) β2
∣∣∣∣ = 0.Èñïîëüçóÿ ìåòîä âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ áëî÷íîé ìàòðè-öû [3,
.59℄, ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëå-äóþùåìó:
∣∣ α2β1(A
tE
′
B)(BtE
′
A) − α1β2E
∣∣ = 0. ñëó÷àå α2β1 6= 0 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíû α1β2
α2β1
ÿâëÿþòñÿñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû
W = (AtE
′
B)(BtE
′
A).Ýòà ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàåâêëèäîâîé ïëîñêîñòè.Äëÿ ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé ìàòðèöà
W = E
′
2(A
tE
′
B)E
′
2(B
tE
′
A)ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïñåâäîåâêëè-äîâîé ïëîñêîñòè. Ýòè ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìèìàòðèöû èç ðàáîòû Á.À. �îçåí�åëüäà [9℄, â êîòîðîé ïîêàçàíî,
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 63÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óêàçàííîé ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ êâàä-ðàòàìè êîñèíóñîâ ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ. Ïî êàæäîìó èç ýòèõçíà÷åíèé ìîæíî îïðåäåëèòü íîðìèðîâàííûå âåêòîðû d̄1 è d̄2,à çíà÷èò è óãëîâûå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ðàçíûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþò âïîëíå îðòîãîíàëüíûå óãëîâûå ïëîñ-êîñòè. Òåîðåìà äîêàçàíà. �Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè d̄1 è d̄2 ðàâåí ñòàöèîíàðíîìó óãëóäàííûõ ïëîñêîñòåé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè áàçèñû â ïëîñêîñòÿõ πè τ ÿâëÿþòñÿ íåîðòîíîðìèðîâàííûìè, òî ìàòðèöàW èìååò âèä
W = (AtE
′
A)−1(AtE
′
B)(BtE
′
B)−1(BtE
′
A).Ïåðåéäåì ê âû÷èñëåíèþ âåëè÷èí ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ ïëîñ-êîñòåé ïðè ðàçëè÷íîì èõ âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè. Ïóñòü ïëîñ-êîñòè π è τ íå èìåþò îáùèõ íàïðàâëåíèé. Òàê êàê óãëîâûåïëîñêîñòè âïîëíå îðòîãîíàëüíû ìåæäó ñîáîé, òî, êàê óêàçàíîâ ïàðàãðà�å 1, îäíà èç óãëîâûõ ïëîñêîñòåé áóäåò ïñåâäîåâêëè-äîâîé, à âòîðàÿ åâêëèäîâîé è ñòàöèîíàðíûå óãëû ïëîñêîñòåéîïðåäåëÿþòñÿ èç ðàâåíñòâ(2) (d̄1, d̄2) = chϕ1,(3) (d̄
′
1, d̄
′
2) = cosϕ2.Ïóñòü òåïåðü íàïðàâëÿþùèå ïîäïðîñòðàíñòâà ïëîñêîñòåé πè τ èìåþò îáùåå íàïðàâëåíèå. Åñëè ýòè ïëîñêîñòè ïñåâäîåâ-êëèäîâû, òî îíè ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ïî åâêëèäîâîé, ïñåâäîåâ-êëèäîâîé èëè èçîòðîïíîé ïðÿìîé.  êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷à-åâ îíè âëîæåíû â ïðîñòðàíñòâî 1R3. Åñëè îáùåå íàïðàâëåíèåÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì (ïñåâäîåâêëèäîâûì), òî îäèí èç ñòàöèî-íàðíûõ óãëîâ ðàâåí íóëþ, à âòîðîé íàõîäèòñÿ ïî �îðìóëå (2)(ñîîòâåòñòâåííî (3)). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáùååíàïðàâëåíèå ïëîñêîñòåé π è τ èçîòðîïíîå. Ïóñòü âåêòîð c̄ �
64 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâàîáùèé èçîòðîïíûé âåêòîð. Åñëè ā1, b̄1 � íàïðàâëÿþùèå ïñåâ-äîåâêëèäîâû íîðìèðîâàííûå âåêòîðû ïëîñêîñòåé π è τ ñîîò-âåòñòâåííî, òî îðòîãîíàëüíûå èì íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ýòèõïëîñêîñòåé èìåþò âèä: ā2 = 1
(ā1,c̄)
c̄− ā1 è b̄2 = 1
(b̄1,c̄)
c̄− b̄1.Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-íèé ìàòðèöû W èìååò âèä(4) λ2 − (TrW )λ+ |W | = 0.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî |W | = |(AtB)|2, à TrW = −2|(AtB)|.Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû (AtB) íåçàâèñèò îò âûáîðà ïëîñêîñòåé, èìåþùèõ îáùóþ èçîòðîïíóþïðÿìóþ, è ðàâåí -1. Ïîëó÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå (4) èìååò âèä
(λ− 1)2 = 0, òî åñòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 = 1. Çíà÷èò îáàñòàöèîíàðíûõ óãëà ðàâíû íóëþ, ÷òî êàæåòñÿ óäèâèòåëüíûì,ïîñêîëüêó ïëîñêîñòè ðàçëè÷íû.Ýòîò �àêò ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ïðî-ñòðàíñòâå 1R3, îïðåäåëÿåìîì çàäàííûìè ïëîñêîñòÿìè, íå ñó-ùåñòâóåò ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé êàæäîé èç äâóõ ïëîñ-êîñòåé ñ îáùåé èçîòðîïíîé ïðÿìîé, òàê êàê â ïñåâäîåâêëèäî-âîé ïëîñêîñòè íå ñóùåñòâóåò âåêòîðà, îðòîãîíàëüíîãî èçîòðîï-íîìó, êðîìå íåãî ñàìîãî. Âìåñòå ñ òåì ñóùåñòâóåò åâêëèäîâàïëîñêîñòü ïðîñòðàíñòâà 1R4, îðòîãîíàëüíàÿ îáùåìó èçîòðîï-íîìó âåêòîðó äâóõ ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé. Îíà ïåðåñå-êàåò ïðîñòðàíñòâî 1R3, îïðåäåëÿåìîå äàííûìè ïëîñêîñòÿìè,ïî ïðÿìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü ýòó ïðÿìóþ âòîðîé óãëîâîé ïëîñêî-ñòüþ (âûðîæäåííîé) è, ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé ñòàöèîíàðíûéóãîë òîæå ðàâíûì íóëþ.Î÷åâèäíî, â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå òàêîé �àêò íå èìååòìåñòà äëÿ íåñîâïàäàþùèõ ïëîñêîñòåé.Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ åâêëèäîâû ïëîñêîñòè ìîãóò áûòü âëî-æåíû â îäíî èç ïðîñòðàíñòâ: R3, 1R3, èëè R1
3. Åñëè îíè ïðèíàä-ëåæàò ïðîñòðàíñòâó R3, òî îäèí èç ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ ðàâåííóëþ, à âòîðîé ðåàëèçóåòñÿ â åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè è âû÷èñ-ëÿåòñÿ ïî �îðìóëå (3).
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 65Åñëè ïëîñêîñòè íàõîäÿòñÿ â ïðîñòðàíñòâå 1R3, òî íåâûðîæ-äåííàÿ óãëîâàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâîé è ñîîò-âåòñòâóþùèé åé ñòàöèîíàðíûé óãîë âû÷èñëÿåòñÿ ïî �îðìóëå(2).Åñëè ýòè ïëîñêîñòè ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó R1
3, òî íåâû-ðîæäåííàÿ óãëîâàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíîé è ñîîòâåò-ñòâóþùèé åé ñòàöèîíàðíûé óãîë íàõîäèòñÿ êàê óãîë ìåæäóåâêëèäîâûìè âåêòîðàìè èçîòðîïíîé ïëîñêîñòè [9℄.2.2. Ñëó÷àé èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé. Ïóñòü π è τ � èçî-òðîïíûå ïëîñêîñòè, íàòÿíóòûå íà âåêòîðû ā1, ā2 è b̄1, b̄2 ñîîò-âåòñòâåííî, ïðè÷åì âåêòîðû ā1 è b̄1 � èçîòðîïíûå, ā2 è b̄2 �åâêëèäîâû. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ ìåæäó íèìèóæå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó
W = (AtE
′
A)−1(AtE
′
B)(BtE
′
B)−1(BtE
′
A),ïîñêîëüêó ìàòðèöû (AtE
′
A) è (BtE
′
B) ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåí-íûìè. Îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ óãëîâ ìåæäó èçî-òðîïíûìè ïëîñêîñòÿìè π è τ êàê ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ñòàöèî-íàðíûõ óãëîâ ìåæäó åâêëèäîâûìè ïëîñêîñòÿìè π1 è τ1, êîãäà
π1 ñòðåìèòñÿ ê π, à τ1 � ê τ .Âûáåðåì åäèíè÷íûé åâêëèäîâ âåêòîð x̄, îðòîãîíàëüíûé âåê-òîðàì ā2 è b̄2, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ.�àññìîòðèì âåêòîðû ā
′
1 = ā1 + λx̄ è b̄
′
1 = b̄1 + λx̄, ãäå λ �ïàðàìåòð. Ïðè ñòðåìëåíèè λ ê 0 ïëîñêîñòü π1, îïðåäåëÿåìàÿâåêòîðàìè ā′
1, ā2, ñòðåìèòñÿ ê ïëîñêîñòè π, à ïëîñêîñòü τ1, îïðå-äåëÿåìàÿ âåêòîðàìè b̄′1, b̄2, ñòðåìèòñÿ ê ïëîñêîñòè τ .Òîãäà ýëåìåíòû ìàòðèöû W = (wij) áóäóò èìåòü âèä:
w11 =
((ā1, b̄1) + λ((ā1, x̄) + (c̄1, x̄)) + λ2)2
(λ(ā1, x̄) + λ2)(λ(b̄1, x̄) + λ2)
+
(ā1, b̄2)
2
λ(ā1, x̄) + λ2
,
w12 =
((ā1, b̄1) + λ((ā1, x̄) + (c̄1, x̄)) + λ2)(ā2, b̄1)
(λ(ā1, x̄) + λ2)(λ(b̄1, x̄) + λ2)
+
(ā1, b̄2)(ā2, b̄2)
λ(ā1, x̄) + λ2
,
w21 =
((ā1, b̄1) + λ((ā1, x̄) + (c̄1, x̄)) + λ2)(ā2, b̄1)
(λ(b̄1, x̄) + λ2)
+ (ā1, b̄2)(ā2, b̄2),
66 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâà
w22 =
(ā2, b̄1)
2
(λ(b̄1, x̄) + λ2)
+ (ā2, b̄2)
2.Ñ÷èòàÿ λ ìàëûì, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà-÷åíèé µ1 è µ2 ìàòðèöû W â âèäå
µ1,2 =
2
(
(ā1, b̄1)(ā2, b̄2) − (ā1, b̄2)(ā2, b̄1)
)2
λ+O(λ2)
((ā1, b̄1)2 ± (ā1, b̄1)2)λ+O(λ2)
.Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè λ −→ 0, ïîëó÷èì ñîáñòâåííûå çíà-÷åíèÿ ìàòðèöû W äëÿ èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé π è τ :
µ1 = ∞,
µ2 =
(
(ā1, b̄1)(ā2, b̄2) − (ā1, b̄2)(ā2, b̄1)
(ā1, b̄1)
)2
.Òîãäà ñòàöèîíàðíîìó óãëó ϕ1 ìîæíî ïðèïèñàòü çíà÷åíèå ∞,à âòîðîé ñòàöèîíàðíûé óãîë íàõîäèòñÿ ïî �îðìóëå
cosϕ2 =
(ā1, b̄1)(ā2, b̄2) − (ā1, b̄2)(ā2, b̄1)
(ā1, b̄1)
. ÷àñòíîì ñëó÷àå äâå èçîòðîïíûå ïëîñêîñòè ìîãóò èìåòü îá-ùåå íàïðàâëåíèå. Åñëè ïëîñêîñòè π è τ èìåþò îáùåå åâêëèäîâîíàïðàâëåíèå, òî íåíóëåâîé ñòàöèîíàðíûé óãîë ðàâåí áåñêîíå÷-íîñòè, à åñëè îáùåå íàïðàâëåíèå èçîòðîïíîå, òî îäèí èç óãëîâ,îïðåäåëÿåìûé ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì µ2, âû÷èñëÿåòñÿ ïî �îð-ìóëå cosϕ = (ā2, b̄2), à âòîðîìó óãëó ïðèïèøåì çíà÷åíèå 0 (êàêóãëó ìåæäó ñîâïàâøèìè èçîòðîïíûìè âåêòîðàìè).3. �ëàäêàÿ ñòðóêòóðà íà ìíîæåñòâå ïëîñêîñòåéÊàê èçâåñòíî, ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé åâêëèäîâà ïðîñòðàí-ñòâà R4, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ìîæíî ïðåâðà-òèòü â ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå íàçûâàþò ãðàññìàíîâûì. ðàáîòå [2℄ ïðèâåäåíû äâà ñïîñîáà ââåäåíèÿ ëîêàëüíûõ êîîð-äèíàò ïëîñêîñòè ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Íèæå ïðåäëàãàåòñÿ ñïî-ñîá ââåäåíèÿ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò íà ìíîæåñòâàõ ïëîñêîñòåéðàçíûõ òèïîâ ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 67�àññìîòðèì â 1R4 ìíîæåñòâî âñåõ ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Áóäåì, ïî àíàëîãèè ñ åâêëèäîâûì ïðî-ñòðàíñòâîì, íàçûâàòü ýòî ìíîæåñòâî ãðàññìàíîâûì ìíîãîîáðà-çèåì.  ïðîñòðàíñòâå 1R4 â ãðàññìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè åñòå-ñòâåííî ðàññìàòðèâàòü òðè ïîäìíîæåñòâà: ïñåâäîåâêëèäîâûõïëîñêîñòåé, åâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé è èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé,êîòîðûå áóäåì îáîçíà÷àòü PG(2, 4), EG(2, 4) è IsG(2, 4) ñîîò-âåòñòâåííî.�àññìîòðèì ìíîæåñòâî ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé. Çàäà-äèì â êàæäîé èç íèõ äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ îðòîãîíàëüíûõâåêòîðà. Òîãäà ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè ïðèìóòâèä
xi = αijt
j, i = 1, ..., 4, j = 1, 2,ãäå êîý��èöèåíòû αij óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
−α1
mα
1
n +
4∑
i=2
αimα
i
n = εmδmn,ãäå ε1 = −1, εm = 1,m > 1,m, n = 1, 2.Çà�èêñèðóåì ïñåâäîåâêëèäîâó ïëîñêîñòü π0 è ðàññìîòðèììíîæåñòâî M ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé, ïðîåêòèðóþùèõ-ñÿ áåç âûðîæäåíèÿ íà ïëîñêîñòü π0. Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
(ē1, ē2, ē3, ē4) ïðîñòðàíñòâà 1R4 âûáåðåì òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòü
π0 îïðåäåëÿëàñü áàçèñíûìè âåêòîðàìè ē1, ē2. Òîãäà óðàâíåíèÿïëîñêîñòè π0 èìåþò âèä x2+µ = 0, µ = 1, 2. Áåñêîíå÷íî áëèçêóþê π0 ïëîñêîñòü π ìîæíî çàäàòü ñèñòåìîé óðàâíåíèé(5) {
x3 = ξ11x
1 + ξ12x
2,
x4 = ξ21x
1 + ξ22x
2.
68 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.ÑòåãàíöåâàÍàáîð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë {ξµj }, j = 1, 2 áóäåì íàçûâàòüëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè ïñåâäîåâêëèäîâîé ïëîñêîñòè π è çà-äàâàòü ìàòðèöåé Z = {ξµj }. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü ïîä-ìíîãîîáðàçèÿ PG(2, 4) ðàâíà ÷åòûðåì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ââå-ñòè ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ïðîñòðàí-ñòâà 1R4.�àññìîòðèì è âòîðîé ñïîñîá ââåäåíèÿ ëîêàëüíûõ êîîðäè-íàò ïëîñêîñòè ïðîñòðàíñòâà 1R4. Ïóñòü π � ïñåâäîåâêëèäîâàïëîñêîñòü è f̄1, f̄2 � îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â íåé, ñïåöèà-ëèçèðîâàííûé óñëîâèÿìè (f̄i, ēj) = (f̄j, ēi), i, j = 1, 2. Îòíîñè-òåëüíî ýòîãî áàçèñà ìàòðè÷íûå êîîðäèíàòû G è F ïëîñêîñòèèìåþò òàêîé æå âèä êàê è â ïðîñòðàíñòâå R4 [2℄, íî óñëîâèåîðòîíîðìèðîâàííîñòè áàçèñà çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F tE
′
F = E
′
2. Åñëè Q � ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ñèñòåìû ëîêàëü-íûõ êîîðäèíàò {ξµj } ê ñèñòåìå {ηβi }, òî
F =
(
E2
Z
)
·Q.Òîãäà
E
′
2 = F tE
′
F = Qt ·
(
E2 Zt
)
·
(
E
′
2 0
0 E2
)
·
(
E2
Z
)
·Q =
= Qt ·
(
E
′
2 ZtE2
)
·
(
E2
Z
)
·Q = Qt(E
′
2 + ZtZ)Q.Îòñþäà ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè Q è Z â âèäå
QE
′
2Q
t = (E
′
2 + ZtZ)−1.Äëÿ ñëó÷àÿ åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè áàçèñ âûáåðåì òàê, ÷òîáûâåêòîðû (f̄3, f̄4) ëåæàëè â ïëîñêîñòè, à âåêòîðû (f̄1, f̄2) áûëèåé îðòîãîíàëüíû. Òîãäà ìàòðè÷íàÿ êîîðäèíàòà G áóäåò èìåòüâèä
G =
(
Z
E
)
.
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 69È, ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðè÷íàÿ êîîðäèíàòà ýòîé ïëîñêîñòè ïî-ñëå ñïåöèàëèçàöèè áàçèñà èìååò âèä
F =
(
Z
E2
)
·Q.Àíàëîãè÷íîå óñëîâèå äëÿ ìàòðèöû Q èìååò âèä
QQt = (E2 + ZtE
′
2Z)−1.Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ ãëàäêîé ñòðóêòóðû íà ìíîæåñòâå
IsG(2, 4). ïðîñòðàíñòâå 1R4 ðàññìîòðèì èçîòðîïíûé ãèïåðêîíóñ. Êà-ñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â êàæäîé òî÷êå ãèïåðêîíóñà ÿâëÿåòñÿòðåõìåðíûì èçîòðîïíûì ïðîñòðàíñòâîì, îðòîíîðìèðîâàííûéáàçèñ êîòîðîãî ñîñòîèò èç îäíîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðà è äâóõåâêëèäîâûõ.  êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå èçîòðîïíûå ïëîñêî-ñòè îáðàçóþò ïó÷îê, îñüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îáðàçóþùàÿ ãè-ïåðêîíóñà.Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé ÿâëÿåòñÿìíîæåñòâîì âñåõ êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé èçîòðîïíîãî ãèïåð-êîíóñà è, ñëåäîâàòåëüíî, IsG(2, 4) ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê êàñà-òåëüíîå ðàññëîåíèå. Áàçîé ýòîãî ðàññëîåíèÿ áóäåò èçîòðîïíûéãèïåðêîíóñ êàê ëèíåé÷àòîå ìíîãîîáðàçèå, à òèïîâûì ñëîåì íàäòî÷êîé � ïó÷îê êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé â òî÷êå ãèïåðêîíó-ñà. Òîãäà ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû ïëîñêîñòè èç IsG(2, 4) ìîæíîçàïèñàòü â âèäå (u, v, α), ãäå êîîðäèíàòû u, v îïðåäåëÿþò îá-ðàçóþùóþ ãèïåðêîíóñà, α � ïàðàìåòð ïó÷êà. Îòìåòèì, ÷òîðàçìåðíîñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿ IsG(2, 4) ðàâíà òðåì.4. Ïîãðóæåíèå ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ4.1. Ïëþêêåðîâû êîîðäèíàòû ïëîñêîñòè. Êàæäóþ ïëîñ-êîñòü π, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç �èêñèðîâàííóþ òî÷êó, ìîæíî çà-äàòü ïëþêêåðîâûìè êîîðäèíàòàìè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îð-òîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïëîñêîñòè π, ñîñòîÿùèé èç âåêòîðîâ
ā = (a1, a2, a3, a4), b̄ = (b1, b2, b3, b4),
70 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâàçàäàííûõ ñâîèìè êîîðäèíàòàìè îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàí-íîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà 1R4. Ñîñòàâèì ìèíîðû âòîðîãî ïî-ðÿäêà (2× 4)-ìàòðèöû, ñòðîêàìè êîòîðîé åñòü êîîðäèíàòû áà-çèñíûõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè π, è îáîçíà÷èì èõ ñèìâîëàìè pij
pij =
∣∣∣∣
ai aj
bi bj
∣∣∣∣ , i, j = 1, ..., 4, i < j.Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð pij íàçûâàþò ïëþêêåðîâûìè êîîðäè-íàòàìè ïëîñêîñòè [1℄. Ïëþêêåðîâû êîîðäèíàòû êîñîñèììåò-ðè÷íû è óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ Ïëþêêåðà(6) p12p34 − p13p24 + p14p23 = 0.Ïëþêêåðîâû êîîðäèíàòû ïñåâäîåâêëèäîâîé, åâêëèäîâîé èèçîòðîïíîé ïëîñêîñòåé óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì(7) −(p2
12 + p2
13 + p2
14) + p2
23 + p2
24 + p2
34 = −1,(8) −(p2
12 + p2
13 + p2
14) + p2
23 + p2
24 + p2
34 = 1,(9) −(p2
12 + p2
13 + p2
14) + p2
23 + p2
24 + p2
34 = 0ñîîòâåòñòâåííî. ÷åòûðåõìåðíîì ïñåâäîåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå 1R4 ïëîñ-êîñòü çàäàåòñÿ øåñòüþ ïëþêêåðîâûìè êîîðäèíàòàìè
p12, p13, p14, p23, p24, p34,êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü êîîðäèíàòàìè òî÷êè â à��èííîì ïðî-ñòðàíñòâå A6. Îïðåäåëèì â A6 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-ðîâ p̄ = (p12, p13, p14, p23, p24, p34) è q̄ = (q12, q13, q14, q23, q24, q34)�îðìóëîé
(p̄, q̄) = −(p12q12 + p13q13 + p14q14) + p23q23 + p24q24 + p34q34.Ýòî ðàâíîñèëüíî ââåäåíèþ â A6 ñòðóêòóðû ïñåâäîåâêëèäî-âà ïðîñòðàíñòâà 3R6. ×èñëà p12, p13, p14, p23, p24, p34 ÿâëÿþòñÿ
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 71äåêàðòîâûìè êîðäèíàòàìè â 3R6 îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðî-âàííîãî áàçèñà ñ ìàòðèöåé �ðàìà diag(−1,−1,−1, 1, 1, 1) [9℄.Óñëîâèå (7) îçíà÷àåò, ÷òî PG(2, 4) ëåæèò íà ïÿòèìåðíîé ñ�å-ðå ìíèìîãî ðàäèóñà ïðîñòðàíñòâà 3R6, èç óñëîâèÿ (8) ñëåäó-åò, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå EG(2, 4) ïðèíàäëåæèò ñ�åðå äåéñòâè-òåëüíîãî ðàäèóñà ïðîñòðàíñòâà 3R6, à èç óñëîâèÿ (9) âûòåêàåò,÷òî IsG(2, 4) ëåæèò íà èçîòðîïíîì ãèïåðêîíóñå ïðîñòðàíñòâà
3R6.4.2. Ñëó÷àé íåèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé. Àëãåáðàè÷åñêàÿïîâåðõíîñòü ïðîñòðàíñòâà 3R6, èçîáðàæàþùàÿ ïîäìíîãîîáðà-çèå PG(2, 4), çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (6) è (7). Íîðìàëüþ ê ïî-âåðõíîñòè, çàäàííîé íåÿâíî óðàâíåíèåì F (x1, . . . , xn) = 0 â åâ-êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ÿâëÿåòñÿ âåêòîð
gradF =
(
∂F
∂x1
, . . . ,
∂F
∂xn
)
. ïðîñòðàíñòâå 3R6 íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé óðàâ-íåíèåì F (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = 0, áóäåò âåêòîð
PgradF =
(
− ∂F
∂x1
,− ∂F
∂x2
,− ∂F
∂x3
,
∂F
∂x4
,
∂F
∂x5
,
∂F
∂x6
)
,êîòîðûé áóäåì íàçûâàòü ïñåâäîãðàäèåíòîì. Ïîýòîìó íîðìàëÿ-ìè ê ïîäìíîãîîáðàçèþ PG(2, 4) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå êîìáèíà-öèè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ
p̄ =(p12, p13, p14, p23, p24, p34),
q̄ =(−p34, p24,−p23, p14,−p13, p12).Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòè íîðìàëè îðòîãîíàëü-íû è p̄2 = −1, q̄2 = 1.Ïîäìíîãîîáðàçèå EG(2, 4) ìîæíî ïîãðóçèòü â 3R6 â âèäåàëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ óðàâíåíèÿìè (6) è (8). Âåêòî-ðû p̄ è q̄ ÿâëÿþòñÿ íîðìàëÿìè ê ýòîé ïîâåðõíîñòè, ïðè÷åì
p̄2 = 1, q̄2 = −1.
72 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.ÑòåãàíöåâàÒàê êàê íîðìàëüíûå ïëîñêîñòè ê àëãåáðàè÷åñêèì ïîâåðõ-íîñòÿì, èçîáðàæàþùèì ïîäìíîãîîáðàçèÿ PG(2, 4) è EG(2, 4),ÿâëÿþòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâûìè, òî ìåòðèêà êàæäîé èç ýòèõ ïî-âåðõíîñòåé èìååò ñèãíàòóðó (−− ++).4.3. Ñëó÷àé èçîòðîïíûõ 2-ïëîñêîñòåé. Ïîäìíîãîîáðàçèå
IsG(2, 4) ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì, ïîýòîìó åãî ïîãðóæåíèå â âèäåàëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâî 3R6 íóæíî çàäàòü
6 − 3 = 3 óðàâíåíèÿìè.  êà÷åñòâå òàêèõ óðàâíåíèé ìîæíîâçÿòü
F1 = − (p2
12 + p2
13 + p2
14) + p2
23 + p2
24 + p2
34 = 0,
F2 =p12p34 − p13p24 + p14p23 = 0,è, íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèå
F3 = p2
12 + p2
13 + p2
14 + p2
23 + p2
24 + p2
34 − 1 = 0,êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü óñëîâèåì íîðìèðîâêè. Ïñåâäîãðàäè-åíòû �óíêöèé F1, F2, F3 èìåþò âèä
PgradF1 =(p12, p13, p14, p23, p24, p34),
PgradF2 =(−p34, p24,−p23, p14,−p13, p12),
PgradF3 =(−p12,−p13,−p14, p23, p24, p34)è ÿâëÿþòñÿ íîðìàëÿìè ê ïîäìíîãîîáðàçèþ IsG(2, 4).Ïåðåéäåì ê ñëåäóþùåé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå íîðìàëåé:
n̄1 =(0, 0, 0, p23, p24, p34),
n̄2 =(p12, p13, p14, 0, 0, 0),
n̄3 =(−p34, p24,−p23, p14,−p13, p12),â êîòîðîé n̄2
1 > 0, n̄2
2 < 0, n̄2
3 = 0.Òàê êàê îðòîãîíàëüíûé áàçèñ êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà êãèïåðêîíóñó (9) ñîñòîèò èç äâóõ ïñåâäîåâêëèäîâûõ, äâóõ åâ-êëèäîâûõ è èçîòðîïíîãî âåêòîðà, òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ïîâåðõ-íîñòü, èçîáðàæàþùàÿ ïîäìíîãîîáðàçèå IsG(2, 4), èìååò ìåòðè-êó ñèãíàòóðû (− + 0).
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 735. Ìåòðèêà â ìíîãîîáðàçèè ïëîñêîñòåé åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå â ãðàññìàíîâîì ìíîãîîáðàçèèìåòðèêà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà êâàäðàòîâ ñòàöèîíàðíûõ óã-ëîâ [10℄.Ïîêàæåì, ÷òî â ãðàññìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ïñåâäîåâêëèäî-âà ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó, êîòîðàÿ òàêæå ñâÿçàíàñî ñòàöèîíàðíûìè óãëàìè.5.1. Ñëó÷àé íåèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé. Ìåòðèêó íà ãðàñ-ñìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè íåèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé ïñåâäîåâê-ëèäîâà ïðîñòðàíñòâà 1R4 îïðåäåëèì �îðìóëîé(10) ds2 = Tr[(E2 + ZE
′
2Z
t)−1dZ(E
′
2 + ZtZ)−1dZt]äëÿ ïñåâäîåâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé è �îðìóëîé(11) ds2 = Tr[(E
′
2 + ZZt)−1dZ(E2 + ZtE
′
2Z)−1dZt]äëÿ åâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé.Ïîêàæåì, ÷òî äàííûå îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè,è â ýòîé ìåòðèêå êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äîñòàòî÷íî áëèç-êèìè ïëîñêîñòÿìè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êâàäðàòû ñòàöèîíàðíûõóãëîâ.�àññìîòðèì äâå ïñåâäîåâêëèäîâû ïëîñêîñòè. Ïóñòü ñòàöè-îíàðíûå óãëû ìåæäó íèìè ðàâíû ϕ1, ϕ2. Çà�èêñèðóåì îäíóèç ïëîñêîñòåé è ðàññìîòðèì òàêîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåé-ñòâî ïëîñêîñòåé, êîòîðîå ñîäåðæèò äâå äàííûå ïëîñêîñòè è ñòà-öèîíàðíûå óãëû ìåæäó ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòüþ ñåìåéñòâàè �èêñèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ ïðîïîðöèîíàëüíû. Òàêèå ñåìåé-ñòâà íàçûâàþò ãåëèêîèäàìè [8℄.Âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ē1, ē2, ē3, ē4 àíàëîãè÷íîòîìó, êàê îïèñàíî â ðàáîòå [1, ñ.300℄.  óãëîâûõ ïëîñêîñòÿõâûáåðåì âåêòîðû ē1, ē2, ëåæàùèå â �èêñèðîâàííîé ïëîñêîñòèñåìåéñòâà, è îðòîãîíàëüíûå èì âåêòîðû ē3, ē4.
74 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.ÑòåãàíöåâàÒàê êàê óãëîâûå ïëîñêîñòè âïîëíå îðòîãîíàëüíû, òî ïîëó-÷èì íàáîð ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ. Òîãäà íàïðàâëÿþ-ùèå âåêòîðû ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòè ñåìåéñòâà ïñåâäîåâêëè-äîâûõ ïëîñêîñòåé èìåþò âèä
x̄1 = ch(ϕ1t)ē1 + sh(ϕ1t)ē3,
x̄2 = cos(ϕ2t)ē2 + sin(ϕ2t)ē4, t ∈ [0, 1]. âûáðàííîì áàçèñå ìàòðè÷íàÿ êîîðäèíàòà A è ìàòðèöà Zëîêàëüíûõ êîîðäèíàò ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòè ñåìåéñòâà èìå-þò âèä
A =
ch(ϕ1t) 0
0 cos(ϕ2t)
sh(ϕ1t) 0
0 sin(ϕ2t)
, Z =
(
th(ϕ1t) 0
0 tg(ϕ2t)
)
.Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ìàòðèöû Z â �îðìóëó (10) ïîëó÷àåì
ds2 = (−ϕ2
1 + ϕ2
2)dt
2, à çíà÷èò(12) s =
∫ 1
0
√
−ϕ2
1 + ϕ2
2dt =
√
−ϕ2
1 + ϕ2
2.Äëÿ ñåìåéñòâà åâêëèäîâûõ ïëîñêîñòåé áàçèñ âûáåðåì òàê,÷òîáû íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòè èìåëèâèä
x̄1 = ch(ϕ1t)ē3 + sh(ϕ1t)ē1,
x̄2 = cos(ϕ2t)ē4 + sin(ϕ2t)ē2.Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ îïÿòü ïðèâîäÿò ê (12).5.2. Ñëó÷àé èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé.  ïîäìíîãîîáðàçèèèçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé ìåòðèêó îïðåäåëèì ñëåäóþùåé �îð-ìóëîé(13) ds2 = lim
k→∞
Tr[(E
′′
2 + ZE
′′
2Z
t)−1dZ(E
′′
2 + ZtE
′′
2Z)−1dZt],ãäå E′′
2 = diag(k, 1).
Ïîäìíîãîîáðàçèÿ ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ 75Ïîêàæåì, ÷òî ýòó ìåòðèêó ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñòàöèî-íàðíûå óãëû. �àññìîòðèì ìíîæåñòâî èçîòðîïíûõ ïëîñêîñòåé,íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû êîòîðûõ èìåþò âèä
x̄1 =f(t)ē1 + g(t)ē3,
x̄2 = cos(ϕ2t)ē2 + sin(ϕ2t)ē4,ãäå óñëîâèå −f2(t) + g2(t) = 0 îáåñïå÷èâàåò èçîòðîïíîñòü âåê-òîðà x̄1. Ýòî âîçìîæíî îòíîñèòåëüíî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà, âåê-òîðû ē2, ē4 êîòîðîãî ðàñïîëîæåíû â åâêëèäîâîé óãëîâîé ïëîñ-êîñòè, à âåêòîðû ē1, ē3 � â â åå îðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè.Ìàòðè÷íàÿ êîîðäèíàòà ïëîñêîñòè áóäåò èìåòü âèä
A =
f(t) 0
0 cos(ϕ2t)
g(t) 0
0 sin(ϕ2t)
,à ìàòðèöà ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò � âèä
Z =
(
p(t) 0
0 tg(ϕ2t)
)
,ãäå p(t) = f(t)
g(t) . Ïîäñòàâëÿÿ ìàòðèöó Z â �îðìóëó (13), ïîëó÷à-åì �îðìóëó
s = ϕ2äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó èçîòðîïíûìè ïëîñêîñòÿìè.Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ñëó÷àå ãðàññìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ åâ-êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, â ïîäìíîãîîáðàçèÿõ PG(2, 4), EG(2, 4),
IsG(2, 4) èìååì ìåòðèêó, ñâÿçàííóþ ñî ñòàöèîíàðíûìè óãëàìè.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Àìèíîâ Þ.À. �åîìåòðèÿ ïîäìíîãîîáðàçèé // Ê.: Íàóêîâà äóìêà, �2002.� 467ñ.[2℄ Áîðèñåíêî À.À., Íèêîëàåâñêèé Þ.À Ìíîãîîáðàçèÿ �ðàññìàíà è ãðàñ-ñìàíîâ îáðàç ïîäìíîãîîáðàçèé. //ÓÌÍ � 1991. � 46(2). � Ñ.41-80.[3℄ �àíòìàõåð Ô. �. Òåîðèÿ ìàòðèö // � Ì.: Íàóêà � 1967. � 575ñ.
76 È. �.Âåëè÷êî, Ì.À. �óðãåíèäçå, Ï. �.Ñòåãàíöåâà[4℄ Êîçëîâ Ñ.Å. Òîïîëîãèÿ è Ëîðåíö-èíâàðèàíòíàÿ ïñåâäîðèìàíîâà ìåò-ðèêà ìíîãîîáðàçèÿ íàïðàâëåíèé â �èçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå //Çàï. íà-ó÷í. ñåìèí. ÏÎÌÈ � 1997. � 246. � Ñ.141-151.[5℄ Lei
htweiss K. Zur Riemanns
hen Geometrie in Grassmanns
hen Mannig-faltigkeiten. // Math.Z. � 1961 � 76 (4). � Pp. 334 � 366.[6℄ Ìààçèêàñ È. Ê ðèìàíîâîé ãåîìåòðèè ãðàññìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèéíåèçîòðîïíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà // Ó÷å-íûå çàïèñêè Òàðòóñêîãî óíèâåðñèòåòà � 1974. � 342. � Ñ.76-82.[7℄ �àøåâñêèé �èìàíîâà ãåîìåòðèÿ è òåíçîðíûé àíàëèç // Ì.: Íàóêà. �1967. � 664Ñ.[8℄ �îçåí�åëüä Á.À. Ìåòðèêà è à��èííàÿ ñâÿçíîñòü â ïðîñòðàíñòâàõïëîñêîñòåé, ñ�åð è êâàäðèê.// ÄÀÍ ÑÑÑ�. � 1947. � 57(2). � Ñ.543�546.[9℄ �îçåí�åëüä Á.À. Íååâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà,// Ì.: Íàóêà. � 1969. �547Ñ.[10℄ Wong Y. C. Di�erential geometry of Grassman manifolds.// Pro
.Math.A
ad. S
i. USA. � 1967 � 51(6). � Pp. 589 � 594.
|