Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности
В статье рассмотрено специальное конформное отображение псевдосферы и показано что оно обладает свойством переводить геодезические линии в специальные линии – решения вариационной изопериметрической задачи. Показано что обратное отображение обладает аналогичным свойством....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6295 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности / Д.В. Кожухарь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 77-81. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6295 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62952010-02-24T12:00:44Z Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности Кожухарь, Д.В. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" В статье рассмотрено специальное конформное отображение псевдосферы и показано что оно обладает свойством переводить геодезические линии в специальные линии – решения вариационной изопериметрической задачи. Показано что обратное отображение обладает аналогичным свойством. 2009 Article Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности / Д.В. Кожухарь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 77-81. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6295 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Кожухарь, Д.В. Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| description |
В статье рассмотрено специальное конформное отображение псевдосферы и показано что оно обладает свойством переводить геодезические линии в специальные линии – решения вариационной изопериметрической задачи. Показано что обратное отображение обладает аналогичным свойством. |
| format |
Article |
| author |
Кожухарь, Д.В. |
| author_facet |
Кожухарь, Д.В. |
| author_sort |
Кожухарь, Д.В. |
| title |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| title_short |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| title_full |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| title_fullStr |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| title_full_unstemmed |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| title_sort |
пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6295 |
| citation_txt |
Пример поворотно-конформного отображения псевдосферы со свойством взаимности / Д.В. Кожухарь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 77-81. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kožuharʹdv primerpovorotnokonformnogootobraženiâpsevdosferysosvojstvomvzaimnosti |
| first_indexed |
2025-07-02T09:13:57Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:13:57Z |
| _version_ |
1836525958883966976 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 77-81Ä.Â.ÊîæóõàðüÎäåññêèé Íàöèîíàëüíûé Óíèâåðñèòåò èì. È.È. Ìå÷íèêîâà,ÎäåññàE-mail: manx2�yandex.ruÏðèìåð ïîâîðîòíî-êîí�îðìíîãîîòîáðàæåíèÿ ïñåâäîñ�åðû ñîñâîéñòâîì âçàèìíîñòè ñòàòüå ðàññìîòðåíî ñïåöèàëüíîå êîí�îðìíîå îòîáðàæåíèå ïñåâäî-ñ�åðû è ïîêàçàíî ÷òî îíî îáëàäàåò ñâîéñòâîì ïåðåâîäèòü ãåîäåçè-÷åñêèå ëèíèè â ñïåöèàëüíûå ëèíèè � ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé èçîïå-ðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è. Ïîêàçàíî ÷òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå îáëàäàåòàíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì.Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîí�îðìíîå îòîáðàæåíèå, ïñåâäîñ�åðà1.  ñòàòüå ìû ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíîå îòîáðàæåíèå è ïîêà-æåì ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ êîí�îðìíûì è ïîâîðîòíûì ñî ñâîéñòâîìâçàèìíîñòè.Ïîâîðîòíîñòü îòîáðàæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îòîáðàæåíèèãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ïåðåõîäÿò â èçîïåðèìåòðè÷åñêèå ýêñòðå-ìàëè, òî åñòü â êðèâûå, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèåì âàðèàöèîííîéçàäà÷è ïî íàõîæäåíèþ ïðÿìåéøèõ ñðåäè êðèâûõ îäèíàêîâîéäëèíû, ñîåäèíÿþùèõ äâå �èêñèðîâàííûå òî÷êè. Ñâîéñòâî âçà-èìíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îáðàòíîì îòîáðàæåíèè ãåîäåçè÷å-ñêèå ëèíèè òàêæå ïåðåõîäÿò â êðèâûå îïèñàííîãî âèäà.Âïåðâûå ïîâîðîòíîå îòîáðàæåíèå áûëî ðàññìîòðåíî â ðà-áîòàõ Ñ. �. Ëåéêî [2℄. Ïîêàçàíî, ÷òî íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíî-ñòÿõ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêîé ýêñòðåìàëüþ ïîâî-ðîòà åñëè âäîëü íå¼ êðèâèçíà Ôðåíå k è ãàóññîâà êðèâèçíà Kïðîïîðöèîíàëüíû: k = cK. Ïîêàçàíî, ÷òî îòîáðàæåíèå ÿâëÿ-åòñÿ ïîâîðîòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò äâà
© Ä.Â.Êîæóõàðü, 2009
78 Ä.Â.Êîæóõàðüèíâàðèàíòà λ è ψ òàêèõ, ÷òî â îáùåé ïî îòîáðàæåíèþ ñèñòåìåêîîðäèíàò âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:(1) ∇jψi = ψi(ψj +
Kj
K
) +K(Aeψ + 1)gij ,
P hij = Γhij − Γ̄hij = λiδ
h
j + λjδ
h
i + ψhgij ,ãäå ∇jψi � êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ â ìåòðèêå gij è A �íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.2. �àññìîòðèì ïñåâäîñ�åðó â E3, êîòîðàÿ çàäàíà ïàðàìåò-ðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè:(2) x = r sinα, y = r cosα, z =
√
1 − r2 − sech−1(r)).Çäåñü ïàðàìåòð r ïðåäñòàâëÿåò ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïñåâäîñ�å-ðû äî îñè âðàùåíèÿ, à α � óãîë ïîâîðîòà òî÷êè ïîâåðõíîñòèîò ïëîñêîñòè yz. Äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéðåçóëüòàò îáðàùåíèÿ òðàêòðèñû âîêðóã îñè z.  òàêîé ïàðà-ìåòðèçàöèè ìåòðè÷åñêàÿ �îðìà ïîâåðõíîñòè ïðèíèìàåò âèä:(3) ds2 = r−2dr2 + r2dα2.Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè â ýòîé ìåòðèêå èìåþò âèä:(4) Γ1
12 = Γ2
11 = Γ2
22 = 0,Γ2
12 = r−1,Γ1
11 = −r−1,Γ1
22 = −r3.�àóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííà è ðàâíà −1.�àññìîòðèì îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå óãîë α, íî ¾âûòÿãè-âàþùåå¿ òî÷êè îò îñè â íàïðàâëåíèè ê êðàþ ïîâåðõíîñòè ïîïðàâèëó:(5) r̄ = r(1 − r)−1.Ïðè ýòîì òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðó r â ïðîìåæóò-êå çíà÷åíèé (0; 0.5), âûòÿíóòñÿ íà ïðîìåæóòîê çíà÷åíèé (0; 1).Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì:(6) r = r̄(1 + r̄)−1è, ñîîòâåòñòâåííî, ñîâåðøàåò îáðàòíîå ¾ñòÿãèâàíèå¿ òî÷åê âñåéïîâåðõíîñòè íà ÷àñòü ïîâåðõíîñòè.
Ïðèìåð ïîâîðîòíî-êîí�îðìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïñåâäîñ�åðû 793. Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ (5) è (6) îáëàäàþò ñâîéñòâîìïåðåâîäèòü ãåîäåçè÷èñêèå ëèíèè â èçîïåðèìåòðè÷åñêèå ýêñòðå-ìàëè ïîâîðîòà.Òåîðåìà 1. Îòîáðàæåíèå (5) ïñåâäîñ�åðû (2) ÿâëÿåòñÿ ïîâî-ðîòíî-êîí�îðìíûì ñî ñâîéñòâîì âçàèìíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå íîâûåè ñòàðûå ïàðàìåòðû òî÷êè, â ìåòðè÷åñêóþ �îðìó ïñåâäîñ�å-ðû, è ïåðåîáîçíà÷àÿ ïàðàìåòðû, ìû ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿìåòðèêè âòîðîé ïîâåðõíîñòè â îáùèõ ïî îòîáðàæåíèþ êîîðäè-íàòàõ:(7) ds̄2 = (1 − r)−2r−2dr2 + (1 − r)−2r2dα2.Ìåòðè÷åñêèå �îðìû ïðîïîðöèîíàëüíû ñ òî÷íîñòüþ äî ìíî-æèòåëÿ:(8) ḡij = e2ψgij ,ãäå e2ψ = (1 − r)−2, ÷òî îçíà÷àåò êîí�îðìíîñòü îòîáðàæåíèÿ.Äëÿ óäîáñòâà ïðèìåì r çà ïåðâóþ êîîðäèíàòó è α � çà âòî-ðóþ: x1 = r, x2 = α. Áóäåì îáîçíà÷èòü äè��åðåíöèðîâàíèÿ ïîíèì ñîîòâåòñòâóþùèìè íèæíèìè çíàêàìè.À. Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïîâî-ðîòíîñòè (1).  ñëó÷àå êîí�îðìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïñåâäîñ�åðûýòè óñëîâèÿ ïðèíèìàþò âèä:(9) ∇jψi = ψiψj − (Aeψ + 1)gij ,Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ êîí�îðìíîñòè îòîáðàæåíèÿ (8) óðàâíåíèÿïîâîðîòíîñòè ïðèîáðåòàþò âèä:
∇1ψ1 =(1 − r)−2 − (A(1 − r)−1 + 1)r−2,
∇2ψ1 =0,(10)
∇1ψ2 =0,
∇2ψ2 = − (A(1 − r)−1 + 1)r2.
80 Ä.Â.ÊîæóõàðüÂû÷èñëèì êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåí-ñòâà ïðè ïîìîùè çíà÷åíèé êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (4):
∇1ψ1 =
∂ψ1
∂r
− ψ1Γ
1
11 = (1 − r)−2 − (1 − r)−1(−r−1),
∇2ψ1 =
∂ψ1
∂x2
− ψ1Γ
1
12 = 0,
∇1ψ2 =
∂ψ2
∂x1
− ψ1Γ
1
21 = 0,
∇2ψ2 =
∂ψ2
∂x2
− ψ1Γ
1
22 = −(1 − r)−1(−r3).Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿ ïîâîðîòíîñòè (10). Òî-ãäà âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî, àïåðâîå è ÷åòâåðòîå óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿò ê îäíîìó óðàâíåíèþ:(11) −(1 − r)−1(−r−1) = −(A(1 − r)−1 + 1)r−2.Îíî òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ ïðè A = −1. Òàêèì îáðàçîì,ïîâîðîòíîñòü îòîáðàæåíèÿ äîêàçàíà.Á. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå òàê-æå ïîâîðîòíî ñäåëàåì íà âòîðîé ïîâåðõíîñòè (7) çàìåíó ïå-ðåìåííûõ (6): r̄ = R(1 + R)−1. È íà ïåðâîé ïîâåðõíîñòè (3)ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: r = R̄(1 + R̄)−1. Òîãäà îáðàòíîåîòîáðàæåíèå R → R̄, α → ᾱ ïðèìåò âèä îòîáðàæåíèÿ ïîâåðõ-íîñòè ñ ìåòðèêîé(12) ds̄2 = R−2dR2 +R2dα2íà ïîâåðõíîñòü ñ ìåòðèêîé(13) ds̄2 = (1 + R̄)−2R̄−2dR̄2 + (1 + R̄)−2R̄2dᾱ2.Íå ñëîæíî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óðàâíåíèé ïîâîðîòíîñòè(9). Ìû ïîëó÷èì åäèíñòâåííîå óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå óðàâ-íåíèþ (11):(14) (1 +R)−1R−1 = (Ā(1 +R)−1 + 1)R−2,êîòîðîå òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ ïðè Ā = −1. Òåîðåìà äî-êàçàíà. �
Ïðèìåð ïîâîðîòíî-êîí�îðìíîãî îòîáðàæåíèÿ ïñåâäîñ�åðû 814. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ ïîâîðîòíîñòè äëÿ îòîáðàæåíèÿ(9) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì êîíöèðêóëÿðíûõ îòîáðàæå-íèé, èññëåäîâàííûõ Ê. ßíî [4℄, à çíà÷èò ðàññìàòðèâàåìîå îòîá-ðàæåíèå ïåðåâîäèò ãåîäåçè÷åñêèå îêðóæíîñòè â ãåîäåçè÷åñêèåîêðóæíîñòè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Â.Ô. Êàãàí, Îñíîâû òåîðèè ïîâåðõíîñòåé, ÷.1-2. - Ì.-Ë.: �ÈÒÒË,1947�1948.[2℄ Ñ. �. Ëåéêî, Ïîâîðîòíûå äè��åîìîð�èçìû íà ïîâåðõíîñòÿõ åâêëèäî-âîãî ïðîñòðàíñòâà, Ìàòåì. Çàìåòêè. Ìîñêâà, Íàóêà, 1990. Ò.47,�3.Ñ.52-57.[3℄ À.Ï. Íîðäåí, Òåîðèÿ ïîâåðõíîñòåé. Ì., �ÈÒÒË, 1956.[4℄ K. Yano, Con
ir
ular geometry, I�IV. Pro
. Imp. A
ad., Tokyo, Volume16, 195�200, 354�360, 442�448, 505�511 (1940).
|