Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского
В работе дается полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости Лобачевского относительно группы движений. Показано, что дифференциальные инварианты любого порядка получаются из дифференциальных инвариантов второго порядка при помощи дифференцирования последних вд...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6296 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского / В.М. Кузаконь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 82-90. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6296 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62962010-02-24T12:00:44Z Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского Кузаконь, В.М. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" В работе дается полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости Лобачевского относительно группы движений. Показано, что дифференциальные инварианты любого порядка получаются из дифференциальных инвариантов второго порядка при помощи дифференцирования последних вдоль инвариантных векторных полей. 2009 Article Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского / В.М. Кузаконь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 82-90. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6296 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Кузаконь, В.М. Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| description |
В работе дается полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости Лобачевского относительно группы движений. Показано, что дифференциальные инварианты любого порядка получаются из дифференциальных инвариантов второго порядка при помощи дифференцирования последних вдоль инвариантных векторных полей. |
| format |
Article |
| author |
Кузаконь, В.М. |
| author_facet |
Кузаконь, В.М. |
| author_sort |
Кузаконь, В.М. |
| title |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| title_short |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| title_full |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| title_fullStr |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| title_full_unstemmed |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского |
| title_sort |
дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости лобачевского |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6296 |
| citation_txt |
Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости Лобачевского / В.М. Кузаконь // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 82-90. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kuzakonʹvm differencialʹnyeinvariantyrassloeniâkrivyhnaploskostilobačevskogo |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:00Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:00Z |
| _version_ |
1836525961644867584 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 82-90Â.Ì.ÊóçàêîíüÎäåññêàÿ íàöèîíàëüíàÿ àêàäåìèÿ ïèùåâûõ òåõíîëîãèé,ÎäåññàE-mail: kuzakon v�ukr.netÄè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòûðàññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòèËîáà÷åâñêîãî ðàáîòå äàåòñÿ ïîëíîå îïèñàíèå àëãåáðû äè��åðåíöèàëüíûõ èíâà-ðèàíòîâ ðàññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî îòíîñèòåëüíîãðóïïû äâèæåíèé. Ïîêàçàíî, ÷òî äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ëþ-áîãî ïîðÿäêà ïîëó÷àþòñÿ èç äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ âòîðîãîïîðÿäêà ïðè ïîìîùè äè��åðåíöèðîâàíèÿ ïîñëåäíèõ âäîëü èíâàðè-àíòíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðàññëîåíèÿ êðèâûõ, äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû,äæåòû, èíâàðèàíòíûå äè��åðåíöèðîâàíèÿ1. Ââåäåíèå ðàáîòàõ [5,6℄ ìû ïîñòðîèëè àëãåáðó ñêàëÿðíûõ äè��åðåí-öèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ðàññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè Ìèí-êîâñêîãî.  ýòîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêî-ãî. êà÷åñòâå ìîäåëè ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ìû âûáåðåì ìî-äåëü Ïóàíêàðå: âåðõíþþ îòêðûòóþ ïîëóïëîñêîñòü
R2
+ = {(x, y) ∈ R2|y > 0}ñ ìåòðèêîé(1) ds2 =
dx2 + dy2
y2
.�åîäåçè÷åñêèìè â ýòîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíûå ëó÷è, àòàêæå äóãè îêðóæíîñòåé ñ öåíòðîì íà îñè x.
© Â.Ì.Êóçàêîíü, 2009
Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ êðèâûõ 83Èí�èíèòåçèìàëüíûå ñèììåòðèè ìåòðèêè (1) èìåþò âèä
X =
∂
∂x
, Y =
x2 − y2
2
∂
∂x
+ xy
∂
∂y
, Z = x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
.Ñäâèãè âäîëü òðàåêòîðèé ýòèõ âåêòîðíûõ ïîëåé ïîðîæäàþòãðóïïó äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.Ïóñòü ϕ : R2
+ → R � ðàññëîåíèå êðèâûõ.  êîîðäèíàòàõòàêîå ðàññëîåíèå ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ãëàäêîé(êëàññà C∞) �óíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ u = f(x, y), òàêîé, ÷òîåå äè��åðåíöèàë df 6= 0. Ëèíèè óðîâíÿ ýòîé �óíêöèè ñîâïà-äàþò ñ êðèâûìè ðàññëîåíèÿ ϕ.Ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðå-îáðàçîâàíèÿ f → F (f), ãäå F : R → R � ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ�óíêöèÿ. Êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîðîæäàåòñÿ âåêòîð-íûìè ïîëÿìè âèäà
H = h(u)
∂
∂u
.Äâèæåíèÿ ïîëóïëîñêîñòè âìåñòå ñ êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðà-çîâàíèåì ïðÿìîé ïîðîæäàþò ïñåâäîãðóïïó Ëè G, äåéñòâóþ-ùóþ â ïîëóïðîñòðàíñòâå R3
+ = R2
+ × R ñ êîîðäèíàòàìè x, y, u.Íàéäåì àëãåáðó äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ýòîãî ðàñ-ñëîåíèÿ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû äâèæåíèé.�àññìîòðèì ðàññëîåíèå
π : R × R2
+ → R2
+, π : (u, x, y) 7→ (x, y).Ïóñòü Jk(π) � ìíîãîîáðàçèå k-äæåòîâ ëîêàëüíûõ ñå÷åíèé ðàñ-ñëîåíèÿ π. Ââåäåì íà Jk(π) ñëåäóþùèå (ëîêàëüíûå) êîîðäèíà-òû:
x, y, u, u1,0, u0,1, . . . , us,t, . . . u0,k.Çäåñü êîîðäèíàòà us,t îòâå÷àåò ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé
∂s+tu
∂xs∂yt
, (0 ≤ s+ t ≤ k).Ïðîäîëæåíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé X,Y,Z è H â ïðîñòðàíñòâî2-äæåòîâ J2(π) èìåþò âèä:
84 Â.Ì.Êóçàêîíü
X(2) =
∂
∂x
,
Y (2) =Y − (xu1,0 + yu0,1)
∂
∂u1,0
+ (yu1,0 − xu0,1)
∂
∂u0,1
−
−(u1,0 + 2xu2,0 + 2yu1,1)
∂
∂u2,0
+ (yu2,0 − u0,1−
− 2xu1,1 − yu0,2)
∂
∂u1,1
+ (u1,0 + 2yu1,1 − 2xu0,2)
∂
∂u0,2
,
Z(2) =Z − u1,0
∂
∂u1,0
− u0,1
∂
∂u0,1
−
− 2u2,0
∂
∂u2,0
− 2u1,1
∂
∂u1,1
− 2u0,2
∂
∂u0,2
,
H(2) =H + h′u1,0
∂
∂u1,0
+ h′u0,1
∂
∂u0,1
+ (h′′u2
1,0 + h′u2,0)
∂
∂u2,0
+
+(h′′u0,1u1,0 + h′u1,1)
∂
∂u1,1
+ (h′′u2
0,1 + h′u0,2)
∂
∂u0,2
.Ïðîñòûå àðè�ìåòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïåð-âûå äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ ϕ âîçíèêàþòâ ïðîñòðàíñòâå 2-äæåòîâ J2(π).Âû÷èñëèì ýòè äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû. Äëÿ ýòîé öå-ëè ìû èñïîëüçóåì èíâàðèàíòíûå äè��åðåíöèðîâàíèÿ ïñåâäî-ãðóïïû Ëè G.2. Èíâàðèàíòíûå äè��åðåíöèðîâàíèÿÏóñòü J∞(π) � ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íûõ äæåòîâ ðàññëîå-íèÿ π, G � àëãåáðà Ëè ïñåâäîãðóïïû Ëè G è G∞ � ïîäíÿòèå
G â J∞(π).Äè��åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
∇ : C∞(J∞(π)) → C∞(J∞(π))
Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ êðèâûõ 85áóäåì íàçûâàòü èíâàðèàíòíûì äè��åðåíöèðîâàíèåì ïñåâäî-ãðóïïû Ëè G åñëè îí êîììóòèðóåò ñ ëþáûì ýëåìåíòîì X∗ ∈
G∞, òî åñòü(2) X∗ ◦ ∇ = ∇ ◦X∗.Ñ ðàññëîåíèåì ϕ, çàäàííîì �óíêöèåé u = f(x, y) ñâÿçàíûäâà âåêòîðíûõ ïîëÿ íà R2
+: ïîëÿ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ êàñà-òåëüíûõ è íîðìàëüíûõ ê êðèâûì ðàññëîåíèÿ. Ýòè âåêòîðíûåïîëÿ èìåþò âèä
A =
y√
f2
x + f2
y
(
fy
∂
∂x
− fx
∂
∂y
)è
B =
y√
f2
x + f2
y
(
fx
∂
∂x
+ fy
∂
∂y
)ñîîòâåòñòâåííî. Îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äâèæåíèéïëîñêîñòè è êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïîðîæäàþò èí-âàðèàíòíûå äè��åðåíöèðîâàíèÿ
∇t =
y√
u2
1,0 + u2
0,1
(
u0,1
d
dx
− u1,0
d
dy
)è
∇n =
y√
u2
1,0 + u2
0,1
(
u1,0
d
dx
+ u0,1
d
dy
)íà C∞(J∞(π)). Çäåñü
d
dx
=
∂
∂x
+ u1,0
∂
∂u
+ u2,0
∂
∂u1,0
+ u1,1
∂
∂u0,1
+ u3,0
∂
∂u2,0
+ · · ·
d
dy
=
∂
∂y
+ u0,1
∂
∂u
+ u1,1
∂
∂u1,0
+ u0,2
∂
∂u0,1
+ u2,1
∂
∂u2,0
+ · · · .� îïåðàòîðû ïîëíîãî äè��åðåíöèðîâàíèÿ ïî ïåðåìåííûì x è
y ñîîòâåòñòâåííî.
86 Â.Ì.Êóçàêîíü3. Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòûÏîñòðîåííûå èíâàðèàíòíûå äè��åðåíöèðîâàíèÿ ïîðîæäà-þò äâà äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ïñåâ-äîãðóïïû Ëè G. Äåéñòâèòåëüíî, íå òðóäíî çàìåòèòü, ÷òî êîì-ìóòàòîð îïåðàòîðîâ ∇t è ∇n ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýòèîïåðàòîðû:(3) [∇t,∇n] = I1∇t + I2∇nÊîý��èöèåíòû I1, I2 ∈ C∞(J2(π) è ÿâëÿþòñÿ ýòèìè äè��å-ðåíöèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè.Óêàæåì èõ êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå:
I1 =
yu2,0u
2
0,1 + yu0,2u
2
1,0 − u3
0,1 − u0,1u
2
1,0 − 2yu0,1u1,0u1,1
(u2
1,0 + u2
0,1)
3/2è
I2 =
1
(u2
1,0 + u2
0,1)
3/2
(u3
1,0 + u1,0u
2
0,1 + yu2
1,0u1,1−
− yu1,0u0,1u2,0 + yu1,0u0,1u0,2 − yu1,1u
2
0,1).Ïóñòü I � äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíò k-ãî ïîðÿäêà ïñåâ-äîãðóïïû Ëè G è ∇ � èíâàðèàíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå.Ïî îïðåäåëåíèþ èíâàðèàíòíîãî äè��åðåíöèðîâàíèÿ, �óíê-öèÿ ∇(I) ÿâëÿåòñÿ äè��åðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì (k+1)-ãîïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (2) ìû ïîëó÷àåì:
X(k+1)(∇(I)) = ∇(X(k)(I)) = 0.Çäåñü X(k) � k-å ïðîäîëæåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ X ∈ G.Òàêèì îáðàçîì, �óíêöèè
I1,1 = ∇t(I1), I1,2 = ∇n(I1), I2,1 = ∇t(I2) è I2,2 = ∇n(I2)ÿâëÿþòñÿ äè��åðåíöèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè òðåòüåãî ïîðÿä-êà.
Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ êðèâûõ 87Çàïèñàííûå â êîîðäèíàòàõ, îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
I1,1 = − y2
(u1,0
2 + u0,1
2)3
(−u0,1
5u3,0 + (3 u2,0u1,1 + 3 u1,0u2,1)u0,1
4−
− u1,0((u3,0 + 3 u1,2)u1,0 + 6 u1,1
2 − 3 u2,0(u2,0 − u0,2))u0,1
3+
+ u1,0
2((u0,3 + 3 u2,1)u1,0 − 9 u1,1(u2,0 − u0,2))u0,1
2−
− 3 u1,0
3(u1,0u1,2 − 2 u1,1
2 − u0,2(u2,0 − u0,2))u0,1 + u1,0
5u0,3−
− 3 u1,1u1,0
4u0,2),
I1,2 =
−2
(u1,0
2 + u0,1
2)3
(y((−1/2 yu2,1 − 1/2 u2,0)u0,1
5+
+ (((−1/2 u3,0 + u1,2)y + 1/2 u1,1)u1,0 + 1/2 y(u2,0u0,2+
+ 2 u1,1
2))u0,1
4 − 3 u1,0(((−1/6 u2,1 + 1/6 u0,3)y + 1/3 u2,0)u1,0+
+ yu1,1(u0,2 − u2,0))u0,1
3 + 1/2 u1,0
2(((−u3,0 + u1,2)y+
2 u1,1)u1,0 + 3 y(−8/3 u1,1
2 − 4/3 u2,0u0,2 + u0,2
2 + u2,0
2))u0,1
2+
+ 3 u1,0
3(((1/3 u2,1 − 1/6 u0,3)y − 1/6 u2,0)u1,0+
+ yu1,1(u0,2 − u2,0))u0,1 − 1/2 u1,0
4((yu1,2 − u1,1)u1,0−
− y(u2,0u0,2 + 2 u1,1
2)))),
I2,1 =
2
(u1,0
2 + u0,1
2)3
(y((−1/2 u1,1 − 1/2 yu1,2)u1,0
5+
+ (((u2,1 − 1/2 u0,3)y + 1/2 u2,0)u0,1 − 1/2 (−u1,1
2+
+ u0,2(u0,2 − u2,0))y)u1,0
4+
+ 1/2 u0,1(((−u3,0 + u1,2)y − 2 u1,1)u0,1+
+ 8 yu1,1(−1/2 u2,0 + u0,2))u1,0
3
− 1/2 (((−u2,1 + u0,3)y − 2 u2,0)u0,1−
− 2 (−5 u1,1
2 + (u0,2 − u2,0)
2)y)u0,1
2u1,0
2+
+ u0,1
3(((−1/2 u3,0 + u1,2)y − 1/2 u1,1)u0,1−
− 2 yu1,1(−2 u2,0 + u0,2))u1,0 − 1/2 u0,1
4((−u2,0 + yu2,1)u0,1−
− y(u1,1
2 + u2,0(u0,2 − u2,0))))),
88 Â.Ì.Êóçàêîíü
I2,2 = − y2
(u1,0
2 + u0,1
2)3
(−u2,1u1,0
5 + ((u3,0 − 2 u1,2)u0,1−
− u1,1(−2 u2,0 + u0,2))u1,0
4 − u0,1((−u2,1 + u0,3)u0,1 − 6 u1,1
2+
+ (u0,2 − u2,0)(−2 u2,0 + u0,2))u1,0
3 − ((−u3,0 + u1,2)u0,1−
− 9 u1,1(u0,2 − u2,0))u0,1
2u1,0
2 − u0,1
3((−2 u2,1 + u0,3)u0,1−
− u2,0
2 + 6 u1,1
2 + 3 u2,0u0,2 − 2 u0,2
2)u1,0+
+ (u0,1u1,2 − 2 u1,1(−1/2 u2,0 + u0,2))u0,1
4).Ýòèìè èíâàðèàíòàìè èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå äè��åðåíöèàëü-íûå èíâàðèàíòû òðåòüåãî ïîðÿäêà.Äåéñòâèòåëüíî, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà äè��åðåíöèàëü-íûõ èíâàðèàíòîâ � ýòî êîðàçìåðíîñòü ðåãóëÿðíûõ îðáèò ïðî-äîëæåíèÿ ïñåâäîãðóïïû Ëè G â ðàññëîåíèå Jk(π). Íàïðèìåð,ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà 1-äæåòîâ J1(π) ðàâíà ïÿòè. Îðáèòàîáùåãî ïîëîæåíèÿ ïîðîæäåíà ïðîäîëæåíèÿìè X(1), Y (1), Z(1)âåêòîðíûõ ïîëåé X,Y,Z â Jk(π), à òàêæå ïðîäîëæåíèÿìè â
Jk(π) âåêòîðíûõ ïîëåé ∂
∂u è u ∂
∂u è ïîýòîìó òîæå èìååò ðàçìåð-íîñòü ïÿòü.Òàêèì îáðàçîì, ó ðà
ñëîåíèÿ êðèâûõ ϕ íå ñóùåñòâóåò äè�-�åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà. �àçìåðíîñòü îð-áèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ â Jk(π) ðàâíà k+4, à ðàçìåðíîñòü ïðî-ñòðàíñòâà Jk(π) ðàâíà 2+Ckk+2. Ïîýòîìó êîðàçìåðíîñòü îðáèòûðàâíà(4) ν(k) = Ckk+2 − k − 2.Ýòî ÷èñëî ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì �óíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõäè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå âûøå k.Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî µ(k) èíâàðèàíòîâ k-ãî ïîðÿäêà ìîæíîâû÷èñëèòü ïî �îðìóëå:(5) µ(k) = ν(k) − ν(k − 1) = k.
Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ êðèâûõ 89 ÷àñòíîñòè, ÷èñëî �óíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ äè��åðåí-öèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïîðÿäêà íå âûøå 3 ðàâíî ïÿòè.Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî èíâàðèàíòû I1,
I2, I1,1, I1,2, I2,1 è I2,2 �óíêöèîíàëüíî çàâèñèìû. Ïîýòîìó ìåæ-äó ïîñòðîåííûìè èíâàðèàíòàìè äîëæíî áûòü îäíî ñîîòíîøå-íèå (òèïà óðàâíåíèÿ Gala â [5℄).Èíâàðèàíòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ìîæíî ïîëó÷èòü èç èíâà-ðèàíòîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà òàêæå ïðèìåíÿÿ ê íèì îïåðàòîðû
∇t è ∇n.  ñèëó �îðìóëû (3) êîìïîçèöèè îïåðàòîðîâ ∇t ◦ ∇nè ∇n ◦ ∇t ïîðîæäàþò îäíè è òå æå èíâàðèàíòû ïî ìîäóëþèíâàðèàíòîâ áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà.Ìû ïîëó÷àåì 6 èíâàðèàíòîâ 4-ïîðÿäêà. Âñåãî æå ìû ïîëó÷è-ëè 12 èíâàðèàíòîâ ïîðÿäêà íå ìåíåå 4. Ïîýòîìó ÷èñëî �óíêöè-îíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ ïîðÿäêà íå ìåíåå ÷åòûðåõðàâíî äåâÿòè è ìåæäó ïîñòðîåííûìè èíâàðèàíòàìè äîëæíûñóùåñòâîâàòü òðè ñîîòíîøåíèÿ. Îäíî èç íèõ � ñîîòíîøåíèå, îêîòîðîì ìû óïîìèíàëè âûøå. Äâà äðóãèõ ìû ïîëó÷àåì, ïðè-ìåíÿÿ ê íåìó îïåðàòîðû ∇t è ∇n.Àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü äè��åðåíöèàëüíûå èíâà-ðèàíòû ëþáîãî ïîðÿäêà.Èòàê, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñòðóêòóðó äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ðàññëîåíèÿ êðè-âûõ íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.Òåîðåìà 1. Âñå äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿêðèâûõ íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî îòíîñèòåëüíî ãðóïïû äâè-æåíèé ïîðîæäåíû äè��åðåíöèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè âòî-ðîãî ïîðÿäêà I1 è I2 è èõ âñåâîçìîæíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî
∇t è ∇n. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Àëåêñååâñêèé Ä.Â., Âèíîãðàäîâ À.Ì., Ëû÷àãèí Â.Â. Îñíîâíûå èäåèè ïîíÿòèÿ äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìûìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Ò.28. Ì., 1988.
90 Â.Ì.Êóçàêîíü[2℄ Âèíîãðàäîâ À.Ì., Êðàñèëüùèê È.Ñ., Ëû÷àãèí Â.Â. Ââåäåíèå âãåîìåòðèþ íåëèíåéíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì., "Íàó-êà 1986. 336 ñòð.[3℄ Êóçàêîíü Â. Ì. Äè�åðåíöiàëüíi iíâàðiàíòè ñóáìåðñié ìíîãîâèäiâ //Âiñí. äåðæ. óí-òó ¾Ëüâiâ. ïîëiòåõíiêà¿. Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà. �1999. � � 364. � Ñ. 295-�298.[4℄ Êóçàêîíü Â.Ì. Âû÷èñëåíèå äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ âòîðî-ãî ïîðÿäêà ñóáìåðñèé åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ // Ìàò. ìåòîäè òà�iç.-ìåõ. ïîëÿ. 2005. 48, �4. � Ñ. 95�99[5℄ Êóçàêîíü Â.Ì., Ñòðåëüöîâà È.Ñ. Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòûðàññëîåíèé êðèâûõ íà ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî., Íàóêîâèé æóðíàëÌàòåìàòè÷íi ìåòîäè òà �içèêî-ìåõàíi÷íi ïîëÿ. Iíñòèòóò ïðèêëàäíèõïðîáëåì ìåõàíiêè i ìàòåìàòèêè iì. ß.Ñ. Ïiäñòðèãà÷à, ò. 50, �4. -Ëüâiâ; 2007. - C. 49�55.[6℄ Êóçàêîíü Â.Ì., Ñòðåëüöîâà È.Ñ. �àññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòèÌèíêîâñêîãî, "Ñèììåòðèè: òåîðåòè÷åñêèé è ìåòîäè÷åñêèé àñïåêòû"Ñáîðíèê íàó÷íûõ òðóäîâ II ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà, (12 � 14 ñåí-òÿáðÿ 2007 ã., Àñòðàõàíü), Àñòðàõàíü, 2007. C. 53 � 58.
|