Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца
Приводится решение проблемы локальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям с постоянным коэффициентами. Построены нормальные формы: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6297 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца / А.Г. Кушнер // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 91-122. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6297 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-62972010-02-24T12:00:55Z Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца Кушнер, А.Г. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Приводится решение проблемы локальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям с постоянным коэффициентами. Построены нормальные формы: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. We solve a problem of local contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients. We find normal forms for such equations: the telegraph equation and the Helmholtz equation. 2009 Article Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца / А.Г. Кушнер // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 91-122. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6297 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Кушнер, А.Г. Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| description |
Приводится решение проблемы локальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям с постоянным коэффициентами. Построены нормальные формы: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. |
| format |
Article |
| author |
Кушнер, А.Г. |
| author_facet |
Кушнер, А.Г. |
| author_sort |
Кушнер, А.Г. |
| title |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| title_short |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| title_full |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| title_fullStr |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| title_full_unstemmed |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца |
| title_sort |
геометрия уравнений монжа-ампера, телеграфное уравнение и уравнение гельмгольца |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6297 |
| citation_txt |
Геометрия уравнений Монжа-Ампера, телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца / А.Г. Кушнер // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 91-122. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kušnerag geometriâuravnenijmonžaamperatelegrafnoeuravnenieiuravneniegelʹmgolʹca |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:03Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:03Z |
| _version_ |
1836525965399818240 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 91-122À.�.ÊóøíåðÀñòðàõàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, Àñòðàõàíü èÈíñòèòóò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ �ÀÍ, ÌîñêâàE-mail: kushnera�mail.ruÍîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà: òåëåãðà�íîåóðàâíåíèå è óðàâíåíèå �åëüìãîëüöàÏðèâîäèòñÿ ðåøåíèå ïðîáëåìû ëîêàëüíîé êîíòàêòíîé ýêâèâàëåíòíî-ñòè óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìêîý��èöèåíòàìè. Ïîñòðîåíû íîðìàëüíûå �îðìû: òåëåãðà�íîå óðàâ-íåíèå è óðàâíåíèå �åëüìãîëüöà.
We solve a problem of local contact equivalence of Monge-Ampère equa-
tions to linear equations with constant coefficients. We find normal forms
for such equations: the telegraph equation and the Helmholtz equation.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ý��åêòèâíûå äè��åðåíöèàëüíûå �îðìû, èíâàðèàíòûËàïëàñà, êîíòàêòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ1. ÂâåäåíèåÊëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà èìååò ñëåäóþùèéâèä:(1) Avxx + 2Bvxy + Cvyy +D(vxxvyy − v2
xy) + E = 0,ãäå A,B,C,D,E � �óíêöèè îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x, y,íåèçâåñòíîé �óíêöèè v = v(x, y) è åå ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ
vx, vy.Óðàâíåíèÿ ýòîãî òèïà íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíèõ ïîëóòîðàñòîëåòèé ïðèâëåêàëè âíèìàíèå ãåîìåòðîâ.
© À. �.Êóøíåð , 2009
92 À. �.ÊóøíåðÊëàññ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà âûäåëÿåòñÿ èç âñåãî ìíî-ãîîáðàçèÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà òåì, ÷òî îí çàìêíóò îò-íîñèòåëüíî êîíòàêòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è ñîäåðæèò êâàçèëè-íåéíûå óðàâíåíèÿ.Ýòîò �àêò áûë èçâåñòåí åùå Ñî�óñó Ëè.  1870-õ è 1880-õãîäàõ îí èçó÷àë ïðîáëåìû êëàññè�èêàöèè óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà îòíîñèòåëüíî (ïñåâäî)ãðóïïû êîíòàêòíûõ ïðåîáðàçî-âàíèé [21, 22℄.Ñàì Ñî�óñ Ëè íàøåë óñëîâèÿ ïðèâåäåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõóðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ vxy = 0 ïðèíàëè÷èè ó íèõ äâóõ ïðîìåæóòî÷íûõ èíòåãðàëîâ1, íî äîêàçà-òåëüñòâà ýòîãî ðåçóëüòàòà îí òàê è íå îïóáëèêîâàë. Çàìåòèì,îäíàêî, ÷òî ïðîâåðêà íàëè÷èÿ ïðîìåæóòî÷íûõ èíòåãðàëîâ óîáùåãî óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà, à òåì áîëåå èõ ïîñòðîåíèå,ÿâëÿåòñÿ íå ïðîñòîé çàäà÷åé. 1978 ã. Ëû÷àãèí [24℄ ïðåäëîæèë ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèåøèðîêîãî êëàññà äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïî-ðÿäêà íà ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ. Åñëè ðàçìåðíîñòü ìíîãîîá-ðàçèÿ ðàâíà äâóì, òî ýòîò êëàññ ñîâïàäàåò ñ êëàññîì óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà (1).Îñíîâíàÿ èäåÿ Ëû÷àãèíà [24, 25℄ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâ-ëåíèè óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà è èõ ìíîãîìåðíûõ àíàëîãîâäè��åðåíöèàëüíûìè �îðìàìè íà ïðîñòðàíñòâå 1-äæåòîâ�óíêöèé íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè.Ïðåèìóùåñòâîì òàêîãî ïîäõîäà ïåðåä êëàññè÷åñêèì ÿâëÿåò-ñÿ ðåäóêöèÿ ïîðÿäêà ïðîñòðàíñòâà äæåòîâ: èñïîëüçóåòñÿ áîëååïðîñòîå ïðîñòðàíñòâî 1-äæåòîâ J1M âìåñòî ïðîñòðàíñòâà 2-äæåòîâ J2M , â êîòîðîì, áóäó÷è óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà,ad ho
äîëæíû ëåæàòü óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà.1Ïðîìåæóòî÷íûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà íàçûâàåòñÿäè��åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, êàæäîå ðåøåíèå êîòîðîãîÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 93Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ïîçâîëèëàïî-íîâîìó âçãëÿíóòü íà ïðîáëåìó èõ êëàññè�èêàöèè è ïîñëó-æèëà òîë÷êîì ê ïîÿâëåíèþ ìíîæåñòâà ðàáîò äðóãèõ àâòîðîâ(ñì., íàïðèìåð, [6, 11, 29℄). 1983 ãîäó Ëû÷àãèíûì è �óáöîâûì [27℄ áûëà ðåøåíà ïðî-áëåìà ïðèâîäèìîñòè íåâûðîæäåííûõ óðàâíåíèé (1) ê óðàâíå-íèÿì Ìîíæà-Àìïåðà ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè â ñëó÷àåêîãäà êîý��èöèåíòû A,B,C,D,E íå çàâèñÿò îò ïåðåìåííîé v. 1996 ã. Òóíèöêèé ñíÿë ýòî îãðàíè÷åíèå è ðåøèë ïðîáëåìóäëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà îáùåãî âèäà [29℄.Ïðîáëåìà ëîêàëüíîé ýêâèâàëåíòíîñòè îáùèõ óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà ãèïåðáîëè÷åñêîãî, ýëëèïòè÷åñêîãî è ïåðåìåí-íîãî òèïîâ, êîý��èöèåíòû êîòîðûõ íå çàâèñÿò îò v, áûëà ðå-øåíà â ðàáîòàõ Êðóãëèêîâà [4�6℄ è àâòîðà [8�11℄. Ïîçäíåå àâòîððåøèë ýòó ïðîáëåìó äëÿ óðàâíåíèé îáùåãî âèäà [12℄, à òàêæåïðîáëåìó ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ãèïåðáîëè÷å-ñêîãî è ýëëèïòè÷åñêîãî òèïîâ êîíòàêòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì êëèíåéíûì óðàâíåíèÿì [13�16℄.Ïîäðîáíîå îïèñàíèå èñòîðèè óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà è èõêëàññè�èêàöèè, à òàêæå ñòàðûå è íîâûå ðåçóëüòàòû, ìîæíîíàéòè â ìîíîãðà�èè [19℄ è â ðàáîòå [18℄. ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîáëåìó êîí-òàêòíîé ýêâèâàëåíòíîñòè óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ëèíåéíûìóðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè. �åçóëüòàòû ïîãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèÿì áûëè àíîíñèðîâàíû â ðàáîòå [17℄.Îïèøåì îñíîâíûå èäåè ðàáîòû.Êàê èçâåñòíî [26℄, íåâûðîæäåííûå óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïå-ðà ïîðîæäàþò íà ïÿòè-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå 1-äæåòîâ J1R2òðè ðàñïðåäåëåíèÿ: äâà äâóìåðíûõ C+ è C− è îäíî îäíîìåðíîå
l. Äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåùå-ñòâåííûå, à äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî � êîìïëåêñíûå. Ïðÿìàÿ ñóììà
94 À. �.Êóøíåðïîäïðîñòðàíñòâ C+(a), C−(a) è l(a) â òî÷êå a ∈ J1R2 ñîâïàäà-åò èëè ñî âñåì êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì TaJ
1R2 (äëÿ ãè-ïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé), èëè ñ åãî êîìïëåêñè�èêàöèåé (äëÿóðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ).Ýòî ðàçëîæåíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîðîæäàåò ðàçëîæåíèå âïðÿìóþ ñóììó êîìïëåêñà äå �àìà íà ìíîãîîáðàçèè 1-äæåòîâ.Ïðèìåíÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå, ìû ïîñòðîèëè ÷åòûðå òåíçîðíûõïîëÿ òèïà (2,1) íà ïðîñòðàíñòâå 1-äæåòîâ [12℄.Ïîñòðîåííûå òåíçîðíûå ïîëÿ ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äâåäè��åðåíöèàëüíûå 2-�îðìû λ+ è λ−, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîí-òàêòíûìè èíâàðèàíòàìè óðàâíåíèé.Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî êîý��èöèåíòû ýòèõ �îðì, âû÷èñëåí-íûõ äëÿ ëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðåäñòàâëÿþòñîáîé êëàññè÷åñêèå èíâàðèàíòû Ëàïëàñà [20℄. Ïîýòîìó �îðìû
λ+ è λ− ìû íàçûâàåì �îðìàìè Ëàïëàñà [13℄.Êëàññè÷åñêèå èíâàðèàíòû Ëàïëàñà èìåþò äàâíþþ èñòîðèþ. 1770 ã. Ýéëåð [2℄ ïðè ðåøåíèè ïðîáëåìû èíòåãðèðîâàíèÿ ëè-íåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäà(2) vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)vââåë �óíêöèè h = ab + c − ax è k = ab + c − by. Ýòè �óíêöèèÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè èíâàðèàíòàìè ïðè ïðåîáðàçîâàíè-ÿõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x, y è ïåðåìåííîé v, êîòîðûå íåìåíÿþò âèäà óðàâíåíèÿ (2). Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò ñëå-äóþùèé âèä:(3) (x, y, v) 7→ (X(x), Y (y), Z1(x, y)v + Z2(x, y)),ãäå X,Y,Z1, Z2 � íåêîòîðûå ãëàäêèå �óíêöèè. Ôóíêöèè h è kóìíîæàþòñÿ íà X ′(x)Y ′(y) ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Îêàçà-ëîñü, ÷òî óðàâíåíèå (2) ýêâèâàëåíòíî âîëíîâîìó óðàâíåíèþ
vxy = 0òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èíâàðèàíòû h è k ðàâíû íóëþ è âýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2) ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíî. Åñ-ëè æå â íóëü îáðàùàåòñÿ òîëüêî îäèí èç ýòèõ èíâàðèàíòîâ, òî
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 95äè��åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, îòâå÷àþùèé ïðàâîé ÷àñòè óðàâ-íåíèÿ (2), ðàñêëàäûâàåòñÿ â êîìïîçèöèþ äâóõ äè��åðåíöè-àëüíûõ îïåðàòîðîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà è óðàâíåíèå òàêæå ìîæíîðåøèòü.Ïîçäíåå, â 1773 ã., Ëàïëàñ [20℄ ñóùåñòâåííî ðàçâèë èäåè Ýé-ëåðà, ñîçäàâ òàê íàçûâàåìûé "êàñêàäíûé ìåòîä" èíòåãðèðî-âàíèÿ óðàâíåíèé. Èíâàðèàíòû h è k èãðàþò â íåì êëþ÷åâóþðîëü. 1890-õ ãîäàõ Äàðáó óñîâåðøåíñòâîâàë ìåòîä Ëàïëàñà èíàçâàë �óíêöèè h è k èíâàðèàíòàìè Ëàïëàñà. Ëèíåéíîå ãè-ïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî ìåòîäîì Äàðáóâ çàìêíóòîé �îðìå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü èíâàðèàíòîâ Ëàïëàñà, àññîöèèðîâàííàÿ ñ óðàâíåíèåì,îáðûâàåòñÿ. 2004 ã. Èáðàãèìîâ [3℄ îïèñàë ñòðóêòóðó àëãåáðû äè��å-ðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíå-íèé (2) è ïîêàçàë, ÷òî ëþáîé èõ äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíòîòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (3) ÿâëÿåòñÿ �óíêöèåé îò èíâà-ðèàíòîâ Ëàïëàñà è �óíêöèé, ïîëó÷åííûõ èç ïîñëåäíèõ ïóòåìïðèìåíåíèÿ ê íèì èíâàðèàíòíûõ äè��åðåíöèðîâàíèé.Àíàëîãè èíâàðèàíòîâ Ëàïëàñà äëÿ ëèíåéíûõ ýëëèïòè÷åñêèõóðàâíåíèé áûëè ïîñòðîåíû Êîòòîíîì â 1990 ã. [1℄.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñòðîåííûå íàìè äè��åðåíöèàëüíûå 2-�îðìû λ+ è λ−, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ Ëà-ïëàñà è Êîòòîíà, ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè äè��åðåíöèàëüíû-ìè èíâàðèàíòàìè îòíîñèòåëüíî êîíòàêòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
2. Ïîäõîä Ëû÷àãèíà ê óðàâíåíèÿì Ìîíæà-Àìïåðà2.1. Ý��åêòèâíûå äè��åðåíöèàëüíûå �îðìû. Ïóñêàé
M � n-ìåðíîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, JkM � ìíîãîîáðàçèå
k-äæåòîâ ãëàäêèõ �óíêöèé íà M , à D(JkM) è Ωs(JkM) �
96 À. �.Êóøíåð
C∞(JkM)-ìîäóëè âåêòîðíûõ ïîëåé è äè��åðåíöèàëüíûõ s-�îðì íà JkM ñîîòâåòñòâåííî. (2n+1)-ìåðíîå ãëàäêîå ìíîãîîá-ðàçèå 1-äæåòîâ J1M ñíàáæåíî åñòåñòâåííîé êîíòàêòíîé ñòðóê-òóðîé � ðàñïðåäåëåíèåì Êàðòàíà
C : J1M ∋ a 7→ C(a) ⊂ Ta(J
1M),çàäàâàåìûì äè��åðåíöèàëüíîé 1-�îðìîé Êàðòàíà U . Ïîäïðî-ñòðàíñòâî C(a) = kerUa êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Ta(J1M)íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì Êàðòàíà. êàíîíè÷åñêèõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ Äàðáó
(q, u, p) = (q1, . . . , qn, u, p1, . . . , pn)íà J1M �îðìà Êàðòàíà èìååò âèä
U = du− pdq = du− p1dq1 − · · · − pndqn.Îãðàíè÷åíèå äè��åðåíöèàëà �îðìû Êàðòàíà íà ïîäïðî-ñòðàíñòâî Êàðòàíà íå âûðîæäåíî íà íåì è îïðåäåëÿåò ñèì-ïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó Ωa.Âñÿêàÿ äè��åðåíöèàëüíàÿ n-�îðìà ω ∈ Ωn(J1M) îïðåäå-ëÿåò íåëèíåéíûé äè��åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
∆ω : C∞(M) → Ωn(M),äåéñòâóþùèé íà �óíêöèþ v ∈ C∞ (M) ïî ñëåäóþùåìó ïðàâè-ëó [25℄:(4) ∆ω(v) = ω|j1(v)(M).Çäåñü j1(v)(M) ⊂ J1M � ãðà�èê 1-äæåòà j1(v) è ω|j1(v)(M) �îãðàíè÷åíèå äè��åðåíöèàëüíîé �îðìû ω íà ýòîò ãðà�èê.Îïåðàòîð ∆ω íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Ìîíæà-Àìïåðà, àóðàâíåíèå
Eω
def
= {∆ω(v) = 0} ⊂ J2M� óðàâíåíèåì Ìîíæà-Àìïåðà.
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 97Çàìåòèì, ÷òî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó äè��åðåíöèàëüíûìè n-�îðìàìè íà J1M è îïåðàòîðàìè Ìîíæà-Àìïåðà íå ÿâëÿåò-ñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷-íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó äè��åðåíöèàëüíûìè �îðìàìè è îïå-ðàòîðàìè íåîáõîäèìî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî òàê íàçûâàåìûìèý��åêòèâíûìè �îðìàìè.Äè��åðåíöèàëüíûå n-�îðìû íà J1M , èñ÷åçàþùèå íà ëþ-áîì èíòåãðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè ðàñïðåäåëåíèÿ Êàðòàíà, è ïî-ýòîìó ïîðîæäàþùèå íóëåâîé äè��åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, îá-ðàçóþò ãðàäóèðîâàííûé èäåàë I∗ =
⊕
s≥0I
s (Is ⊂ Ωs
(
J1M
)
)âî âíåøíåé àëãåáðå Ω∗ (J1M
). Ýëåìåíòû �àêòîð-ìîäóëÿ
Ωs
ε
(
J1M
)
= Ωs
(
J1M
)
/Is.íàçûâàþòñÿ ý��åêòèâíûìè s-�îðìàìè (s ≤ n), à ñàì ìîäóëü� ìîäóëåì ý��åêòèâíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ �îðì.Èìåÿ â âèäó êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà (1),äàëåå ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì n = 2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà�àêòîð-ìîäóëÿ Ω2
ε ìîæåò áûòü âûáðàí åäèíñòâåííûé ïðåäñòà-âèòåëü ω ∈ Ω2
(
J1M
) òàêîé, ÷òî X1⌋ω = 0 è ω ∧ dU = 0. Çäåñü
X1 � êîíòàêòíîå âåêòîðíîå ïîëå ñ ïðîèçâîäÿùåé �óíêöèåé 1. êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ Äàðáó X1 = ∂/∂u è òàêèå ïðåä-ñòàâèòåëè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
ω = Edq1 ∧ dq2 +B (dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2)+(5)
+ Cdq1 ∧ dp2 −Adq2 ∧ dp1 +Ddp1 ∧ dp2,ãäå A,B,C,D,E � íåêîòîðûå ãëàäêèå �óíêöèè íà J1M .Äè��åðåíöèàëüíûå �îðìû âèäà (5) ìû òàêæå áóäåì íàçû-âàòü ý��åêòèâíûìè.Çàìåòèì, ÷òî �îðìå (5) îòâå÷àåò óðàâíåíèå (1).2.2. Îïåðàòîð Aω. Ïóñòü Ω � îãðàíè÷åíèå äè��åðåíöèàëà�îðìû Êàðòàíà íà ðàñïðåäåëåíèå Êàðòàíà: Ωa = dU |C(a). Çà-ìåòèì, ÷òî Ω íå ÿâëÿåòñÿ äè��åðåíöèàëüíîé 2-�îðìîé íà J1,òàê êàê ýòîò îáúåêò îïðåäåëåí òîëüêî íà ðàñïðåäåëåíèè Êàð-òàíà.
98 À. �.ÊóøíåðÎïðåäåëèì àññîöèèðîâàííûé ñ �îðìîé ω îïåðàòîð
Aω : D(C) 7→ D(C),äåéñòâóþùèé íà ìîäóëå âåêòîðíûõ ïîëåéD(C), êîòîðûå ëåæàòâ ðàñïðåäåëåíèè Êàðòàíà [27℄:
X ⌋ω = AωXa⌋ Ω,ãäå X ∈ D(C) � ïðîèçâîëüíîå âåêòîðíîå ïîëå.Ôóíêöèÿ Pf(ω) ∈ C∞ (J1M
), îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì
Pf(ω)Ω ∧ Ω = ω ∧ ω,íàçûâàåòñÿ ï�à��èàíîì �îðìû ω.Ïóñòü h � íå îáðàùàþùàÿñÿ â íóëü �óíêöèÿ íà J1M . Äè�-�åðåíöèàëüíûå ý��åêòèâíûå 2-�îðìû ω è hω îïðåäåëÿþò îä-íî è òî æå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà, ò.å. Ehω = Eω. Êðîìåòîãî, Ahω = hAω è Pf(hω) = h2 Pf(ω).Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðà Aω.
• Îïåðàòîð Aω ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî Ω, òî åñòü,
Ω (AωX,Y ) = Ω (X,AωY )äëÿ ëþáûõ âåêòîðíûõ ïîëåé X,Y ∈ D(C);
• Âåêòîðíûå ïîëÿ X, è AωX ∈ D(C) êîñîîðòîãîíàëüíû,òî åñòü
Ω (AωX,X) = 0.
• Êâàäðàò îïåðàòîðà Aω ñêàëÿðåí è(6) A2
ω + Pf (ω) = 0.2.3. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðÿìàÿ ñóì-ìà ðàñïðåäåëåíèé. Ïîäïðîñòðàíñòâî Êàðòàíà â êàæäîé òî÷-êå a ∈ J1M ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó ñîáñòâåííûõ ïîäïðî-ñòðàíñòâ îïåðàòîðà Aa: C(a) = C+(a) ⊕ C−(a), ãäå C±(a) =
{X ∈ C(a)|AaX = ±X}. Ìû ïîëó÷àåì äâà 2-ìåðíûõ ðàñïðåäå-ëåíèÿ íà J1M :
C± : J1M ∋ a 7−→ C±(a) ⊂ C(a).
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 99Ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîñîîðòîãîíàëüíû, ò.å. Ωa(Pa, Qa) = 0 äëÿëþáûõ âåêòîðîâ Pa ∈ C+(a) è Qa ∈ C−(a). Êðîìå òîãî, íàêàæäîì èç ïîäïðîñòðàíñòâ C+(a) è C−(a) ñèìïëåêòè÷åñêàÿñòðóêòóðà Ωa íå âûðîæäåíà. �àñïðåäåëåíèÿ C± íàçûâàþòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêèìè. Ýòî îïðåäåëåíèå îïðàâäàíî òåì, äëÿëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñóùåñòâóåò åñòåñòâåí-íàÿ ïðîåêöèè ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé íà ïëîñêîñòü (x, y). Ýòè ïðî-åêöèè îäíîìåðíû è èõ èíòåãðàëüíûå êðèâûå ïðåäñòàâëÿþò ñî-áîé îáû÷íûå õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Äëÿ îáùèõíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òàêîé åñòåñòâåííîé ïðîåêöèè íå ñóùå-ñòâóåò.Çàìåòèì, ÷òî ïðè óìíîæåíèè 2-�îðìû íà −1 ñîáñòâåííûåïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà Aa ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, òàê÷òî óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ïîðîæäàåò ðàçëîæåíèå ïîäïðî-ñòðàíñòâà Êàðòàíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè C+(a) è C−(a).Îáðàòíî: âñÿêîå ðàçëîæåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà Êàðòàíà C(a)â ïðÿìóþ ñóììó äâóõ äâóìåðíûõ êîñîîðòîãîíàëüíûõ îòíîñè-òåëüíî Ωa ïîäïðîñòðàíñòâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ñèìïëåêòè-÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íå âûðîæäåíà, ïîðîæäàåò íåêîòîðîå ãèïåð-áîëè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(k)
± èõ k-å ïðîèçâîäíûå.1 Ïåðâûå ïðîèç-âîäíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ÿâëÿþòñÿ 3-ìåðíû-ìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, à èõ ïåðåñå÷åíèå ïîðîæäàåò 1-ìåðíîå ðàñ-ïðåäåëåíèå
l : J1M ∋ a 7→ l(a) = C
(1)
+ (a) ∩ C(1)
− (a) ⊂ Ta(J
1M),êîòîðîå íå ëåæèò â ðàñïðåäåëåíèè Êàðòàíà: Ua(Za) 6= 0 äëÿëþáîãî âåêòîðà Za ∈ l(a).1Ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ P (1) ðàñïðåäåëåíèÿ P = F〈X1, . . . , Xn〉 � ýòî ðàñ-ïðåäåëåíèå, ïîðîæäåííîå âåêòîðíûìè ïîëÿìè X1, . . . , Xn è èõ âñåâîçìîæ-íûìè êîììóòàòîðàìè. Äàëåå � ïî èíäóêöèè.
100 À. �.ÊóøíåðÒàêèì îáðàçîì, â êàæäîé òî÷êå a ∈ J1M êàñàòåëüíîå ïðî-ñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþ 1-äæåòîâ ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóì-ìó òðåõ ïîäïðîñòðàíñòâ [26℄:
Ta(J
1M) = C+(a) ⊕ l(a) ⊕ C−(a).Ïîýòîìó ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê ïðÿìóþ ñóììó ïðÿìóþ ñóììó òðåõ ðàñïðå-äåëåíèé:
P = C− ⊕ l ⊕ C+.Ïóñòü òåïåðü Eω � ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðàè �îðìà ω íîðìèðîâàíà. Ýòîò ñëó÷àé ñõîäåí ñ ãèïåðáîëè÷å-ñêèì, òîëüêî âìåñòî êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Ta(J1M) íóæ-íî ðàññìàòðèâàòü åãî êîìïëåêñè�èêàöèþ TC
a (J1M). Êîìïëåê-ñè�èêàöèÿ êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþñóììó òðåõ êîìïëåêñíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ:
TC
a (J1M) = C+(a) ⊕ l(a) ⊕ C−(a),ãäå C±(a) � ñîáñòâåííûå êîìïëåêñíûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïå-ðàòîðà Aa, îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ±ι (ι =
√
−1)è l(a) = C
(1)
+ (a) ∩ C
(1)
− (a) � êîìïëåêñíàÿ ïðÿìàÿ. Îòìåòèì,÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà C+(a) è C−(a) êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû:
C+(a) = C−(a), à êîìïëåêñíàÿ ïðÿìàÿ l(a) ïîðîæäåíà äåéñòâè-òåëüíûì âåêòîðîì: l(a) = CZa, Za ∈ Ta(J
1M).Òàêèì îáðàçîì, ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ñóììó êîìïëåêñíûõ ðàñïðåäåëå-íèé. 3. Äè��åðåíöèàëüíûå òåíçîðíûå èíâàðèàíòûóðàâíåíèé3.1. �àçëîæåíèå êîìïëåêñà äå �àìà. �àññìîòðèì ãèïåð-áîëè÷åñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àïìåðà.
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 101Îáîçíà÷èì ðàñïðåäåëåíèÿ C+, l è C− ÷åðåç P1, P2 è P3 ñîîò-âåòñòâåííî. Ïóñòü Dj � ìîäóëü âåêòîðíûõ ïîëåé èç ðàñïðåäå-ëåíèÿ Pj . Ïðîñòðàíñòâî âíåøíèõ s-�îðì íà Ta(J1M) ðàñïàäà-åòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó(7) Λs
(
T ∗
a (J1M)
)
=
⊕
|k|=s
Λk
(
T ∗
a (J1M)
)
,ãäå k � ìóëüòèèíäåêñ, k =(k1, k2, k3), ki ∈ {0, 1, . . . ,dimPi},
|k| = k1 + k2 + k3,
Λk
(
T ∗
a (J1M)
)
=
∑
j1+j2+j3=|k|
θj1 ∧ θj2 ∧ θj3 , ãäå θji
∈ Λki(Pi(a)
∗)
è Λs(Pi(a)
∗) � âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî âíåøíèõ s-�îðì íà
Pi(a).Ïóñòü Ωs(Pi) � ìîäóëü ãëàäêèõ ñå÷åíèé âåêòîðíîãî ðàññëî-åíèÿ
πi :
⋃
a∈J1M
Λs(Pi(a)
∗) → J1M.Ýòîò ìîäóëü åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïîäìî-äóëåì
Ωs
i = {α ∈ Ωs(J1M)| X⌋α = 0 ∀ X ∈ Dj , j 6= i} ⊂ Ωs(J1M)è â äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì äåëàòü ðàçëè÷èé ìåæäó Ωs(Pi) è
Ωs
i .�àçëîæåíèå (7) â ñâîþ î÷åðåäü âëå÷åò ðàçëîæåíèå â ïðÿìóþñóììó ìîäóëÿ äè��åðåíöèàëüíûõ s-�îðì íà J1M :
Ωs
(
J1M
)
=
⊕
|k|=s
Ωk.Çäåñü
Ωk =
∑
j1+j2+j3=|k|
αj1 ∧ αj2 ∧ αj3 , ãäå αji ∈ Ωki
i
⊂
3⊗
i=1
Ωki
i .
102 À. �.ÊóøíåðÂíåøíèé äè��åðåíöèàë òàêæå ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó
d =
⊕
|t|=1
dt,ãäå tj ∈ Ij = {z ∈ Z| |z| ≤ dimPj} è
dt : Ωk → Ωk+t.Çäåñü ïîä ñóììîé ìóëüòèèíäåêñîâ a = (ai)i è b = (bi)i ìûïîíèìàåì ìóëüòèèíäåêñ a + b = (ai + bi)i.�àçëîæåíèå òðåõ ïåðâûõ ÷ëåíîâ êîìïëåêñà äå �àìà ïðåä-ñòàâëåíî íà ñëåäóþùåé äèàãðàììå:
Åñëè îäíà èç êîìïîíåíò ti ìóëüòèèíäåêñà t îòðèöàòåëüíà, òîîïåðàòîð dt ÿâëÿåòñÿ C∞(J1M)�ãîìîìîð�èçìîì [12℄. Íå ñëîæ-íî ïîêàçàòü, ÷òî òàêèõ íåòðèâèàëüíûõ ãîìîìîð�èçìîâ âñåãî÷åòûðå: d−1,1,1, d1,1,−1, d2,−1,0 è d0,−1,2.
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 1033.2. Ôîðìû Ëàïëàñà. Ïóñòü 1i = (0, 1i, 0)
1 � ìóëüòèèíäåêñäëèíû 3. �îìîìîð�èçì d1j+1k−1s (s, j, k = 1, 2, 3; s 6= j, k) ìîæ-íî ðàññìàòðèâàòü êàê C∞(J1M)-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
d1j+1k−1s : Ω1s → Ω1j+1k ,èëè êàê C∞(J1M)-áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå(8) d1j+1k−1s : Dj ×Dk → Ds.Ýòè ãîìîìîð�èçìû ìû èñïîëüçóåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåíçîð-íûõ ïîëåé τ1j+1k−1s íà J1M , ïîëîæèâ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåê-òîðíûõ ïîëåé X,Y íà J1M(9) τ1j+1k−1s(X,Y ) = τ1j+1k−1s (PjX,PkY ) ,ãäå Pj : D(J1M) → Dj � ïðîåêòîð âåêòîðíûõ ïîëåé íà ðàñ-ïðåäåëåíèå Pj (j = 1, 2, 3).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ÷åòûðå òåíçîðíûõ ïîëÿ
τ−1,1,1, τ1,1,−1, τ2,−1,0 è τ0,−1,2íà J1M . Â ñèëó (8) èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèëèíåéíûåîòîáðàæåíèÿ
τ2,−1,0 : C+ × C+ → l,
τ0,−1,2 : C− × C− → l,
τ−1,1,1 : C− × l → C+,
τ1,1,−1 : C+ × l → C−.Ïóñòü s 6= j, k. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé X è Yíà J1M(10) τ1j+1k−1s(X,Y ) = −Ps [PjX,PkY ] .Îïðåäåëèì äâå äè��åðåíöèàëüíûå 2-�îðìû λ− è λ+ èç ìî-äóëÿ Ω101 êàê "êîñóþ ñâåðòêó" òåíçîðíûõ ïîëåé:(11) λ+ = 〈τ0,−1,2, τ1,1,−1〉 , λ− = 〈τ2,−1,0, τ−1,1,1〉 .1åäèíèöà ñòîèò òîëüêî íà i-ì ìåñòå.
104 À. �.ÊóøíåðÇäåñü ñêîáêà 〈·, ·〉 îïðåäåëåíà �îðìóëîé
〈α⊗X,β ⊗ Y 〉 = (Y ⌋α) ∧ (X⌋β)äëÿ òåíçîðîâ âèäà α ⊗ X è β ⊗ Y . Íà ëèíåéíûå êîìáèíàöèèòàêèõ òåíçîðîâ îíà ïðîäîëæàåòñÿ ïî ëèíåéíîñòè.Ôîðìû λ+ è λ− ìû áóäåì íàçûâàòü �îðìàìè Ëàïëàñà [13℄.Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, ýòî îïðåäåëåíèå îïðàâäà-íî.Ïðèìåð 4. Äëÿ ëèíåéíîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(12) vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)�îðìû Ëàïëàñà èìåþò âèä
λ− = (ab+ c− bq2)dq1 ∧ dq2, λ+ = −(ab+ c− aq1)dq1 ∧ dq2.Êîý��èöèåíòû k = ab+ c− bq2 è h = ab+ c− aq1 ïðè dq1 ∧ dq2â ýòèõ âûðàæåíèÿõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êëàññè÷åñêèå èíâà-ðèàíòû Ëàïëàñà [20℄.Ïðèìåð 5. Äëÿ óðàâíåíèÿ(13) vxy = f (x, y, v, vx, vy)�îðìû Ëàïëàñà(14) λ− = fp2p2 (fp1dq1 ∧ du− dq1 ∧ dp2)+
(fu − p2fp2u + fp1fp2 − p2fp1fp2p2 − ffp1p2 − fq2p2) dq1 ∧ dq2,(15) λ+ = fp1p1 (fp2dq2 ∧ du− dq2 ∧ dp1)+
(−fu + p1fp1u − fp1fp2 + p1fp2fp1p1 + ffp1p2 + fq1p1) dq1 ∧ dq2.Ïðèìåð 6. Óðàâíåíèå
vxxvyy − v2
xy
(1 + v2
x + v2
y)
2
= K(x, y),
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 105îïèñûâàåò ïîâåðõíîñòè ãàóñ
îâîé êðèâèçíû K(x, y), êîòîðûåçàäàþòñÿ êàê ãðà�èêè �óíêöèé v = v(x, y). Äëÿ K = −1 ýòîóðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîå è åãî �îðìû Ëàïëàñà èìåþò âèä:
λ− =
1
2(1 + p2
1 + p2
2)
(dq1∧dp2−dq2∧dp1−p2du∧dp1+p1du∧dp2),
λ+ = −λ−.Äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé âñå íàøè êîíñòðóêöèè îñòà-þòñÿ â ñèëå. Íóæíî òîëüêî âìåñòî êîìïëåêñà äå �àìà ðàññìàò-ðèâàòü åãî êîìïëåêñè�èêàöèþ. Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì �îðìûËàïëàñà áóäóò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè.Ïðèìåð 7. Äëÿ ëèíåéíîãî ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(16) vxx + vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)�îðìû Ëàïëàñà èìåþò âèä(17) λ± =
1
4
(
bx − ay ±
(
1
2
(a2 + b2) + 2c− ax − by
)
ι
)
dx∧dy.Êîý��èöèåíòû ýòèõ �îðì(18) K = bx − ay, and H =
1
2
(a2 + b2) + 2c− ax − byïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíâàðèàíòû Êîòòîíà [1℄.Óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà áóäåì íàçûâàòü ðåãóëÿðíûì, åñëèïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëå-íèé òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó,÷òî ðàíã �îðì Ëàïëàñà íå ìåíÿåòñÿ â ðàññìàòðèâàåìîé îáëà-ñòè. Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå óðàâíåíèÿ.4. Êîíòàêòíàÿ ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé�àññìîòðèì ïðîáëåìó ëîêàëüíîé ýêâèâàëåíòíîñòè íåâûðîæ-äåííûõ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì âèäà(19) vxx ± vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y).
106 À. �.ÊóøíåðÅñëè óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâà-ëåíòíî ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ âèäà (19), òî åãî �îðìû Ëàïëàñàóäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:(1) λ+ = λ− = 0,(2) λ+ 6= 0 è λ− 6= 0,(3) îäíà èç �îðì Ëàïëàñà � íóëåâàÿ, à äðóãàÿ � íåò.Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê �îðìû Ëàïëàñà äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõóðàâíåíèé êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû, òî äëÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àéíå ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ äëÿ òàêèõ óðàâíåíèé.�àññìîòðèì êàæäûé èç ýòèõ ñëó÷àåâ îòäåëüíî.4.1. Îáå �îðìû Ëàïëàñà îáðàùàþòñÿ â íóëü. Èçâåñòíî,÷òî åñëè èíâàðèàíòû Ëàïëàñà k è h äëÿ ëèíåéíîãî ãèïåðáî-ëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (12) òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ, òî òàêîåóðàâíåíèå çàìåíîé ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âîë-íîâîìó óðàâíåíèþ vxy = 0. Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðå-ìà [17℄, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà.Òåîðåìà 1. Íåâûðîæäåííîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ëî-êàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî ëèáî âîëíîâîìó óðàâíåíèþ
vxy = 0, ëèáî óðàâíåíèþ Ïóàññîíà vxx + vyy = f(x, y) òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îáå åãî �îðìû Ëàïëàñà ðàâíû íóëþ.4.2. Îáå �îðìû Ëàïëàñà íå îáðàùàþòñÿ â íóëü. Çàìå-òèì, ÷òî �îðìû Ëàïëàñà äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (19) óäîâëå-òâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:(20) λ± ∧ λ± = 0, λ+ ∧ λ− = 0, dλ± = 0.Ïîýòîìó ýòè æå óñëîâèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ äëÿ óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà, êîòîðûå êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíû ëèíåéíûìóðàâíåíèÿì. Îêàçûâàåòñÿ, ýòè óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ è äîñòàòî÷-íûìè. À èìåííî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ íåâûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà îáå �îðìû Ëàïëàñà íå îáðàùàþòñÿ â íóëü. Óðàâíåíèå
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 107ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ (19)òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óñëîâèÿ (20) âûïîëíÿþòñÿ.4.3. Îäíà èç �îðì Ëàïëàñà ðàâíà íóëþ, à äðóãàÿ � íåò.Êàê îòìåòèëè âûøå, ýòîò ñëó÷àé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ ëèøüäëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïî-ëîæèì, ÷òî λ− = 0 è λ+ 6= 0.Ìû äîëæíû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî λ+ ∧ λ+ = 0, èáî ýòî óñëî-âèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
λ+ = η− ∧ ϑ+, ãäå η− ∈ Ω001 è ϑ+ ∈ Ω100 � íåêîòîðûå äè��å-ðåíöèàëüíûå 1-�îðìû.Òåîðåìà 3 (ñì. [13℄). Äîïóñòèì, ÷òî îäíà èç �îðì Ëàïëà-ñà íóëåâàÿ, à âòîðàÿ, ñêàæåì λ+, � íåò. Óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó óðàâíå-íèþ
vxx − vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y).òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà dλ+ = 0, λ+ = η− ∧ ϑ+ è ðàñïðå-äåëåíèå F〈ϑ+〉 âïîëíå èíòåãðèðóåìî.5. Óðàâíåíèå vxy = k(x,y)vÑëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè óðàâíå-íèé Ìîíæà-Àìïåðà ëèíåéíûì ãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèÿì(19), ó êîòîðûõ a = b = 0.Òåîðåìà 4.  îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 ∈ J1M ãèïåðáîëè÷åñêîåóðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíîóðàâíåíèþ(21) vxy = k(x, y)väëÿ íåêîòîðîé �óíêöèè k (k(a0) 6= 0) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(1) λ+ 6= 0 è λ− 6= 0,(2) λ+ ∧ λ+ = λ− ∧ λ− = λ+ ∧ λ− = 0(3) dλ+ = dλ− = 0,
108 À. �.Êóøíåð(4) λ+ + λ− = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèÿ 1�4 ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè, ïîñ-êîëüêó îíè âûïîëíÿþòñÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (21). Äîêàæåì èõ äî-ñòàòî÷íîñòü.Çà�èêñèðóåì òî÷êó a0(q
0, u0, p0) ∈ J1M . Èç óñëîâèé 2 è 3ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî ëè-íåéíîìó óðàâíåíèþ (ñì. [13℄)
vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y).Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ý��åêòèâíàÿ �îðìà
ω = dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2 − 2(ap1 + bp2 + cu+ g)dq1 ∧ dq2.Çäåñü a, b, c, g � �óíêöèè îò q1, q2. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 4 òåîðå-ìû, ïîëó÷àåì, ÷òî bq2 = aq1 , òî åñòü a = ϕq2 è b = ϕq1 äëÿ íåêî-òîðîé �óíêöèè ϕ = ϕ(q). Ýòà �óíêöèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþäî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé, êîòîðóþ ìû âûáåðåì òàê, ÷òîáû âòî÷êå a �óíêöèÿ ϕ îáðàùàëàñü â íóëü, òî åñòü ϕ(q0) = 0.Êîíòàêòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
φ :
q1 7→ q1,
q2 7→ q2,
u 7→ eϕ(u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2)),
p1 7→ eϕ(p1 − α+ (u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2))ϕq1),
p2 7→ eϕ(p2 − β + (u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2))ϕq2),ãäå α = u0ϕq1(q
0) è β = u0ϕq2(q
0), ñîõðàíÿåò òî÷êó a0. Ïðè-ìåíèâ ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ê ω è âûäåëèâ ó ïîëó÷åííîé �îðìûý��åêòèâíóþ ÷àñòü, ìû ïîëó÷èì �îðìó
φ∗(ω)ε =eϕ(dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2) − 2(g + eϕ(u+ α(q01 − q1)+
β(q02 − q2))(c + ϕq1ϕq2 − ϕq1q2))dq1 ∧ dq2.Åé îòâå÷àåò óðàâíåíèå(22) vq1q2 = c̃v + g̃,ãäå
c̃ = c+ ϕq1ϕq2 − ϕq1q2
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 109è
g̃ = ge−ϕ + (α(q01 − q1) + β(q02 − q2))c̃.Ïóñòü v = ψ(q1, q2) � ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22), óäîâëåòâîðÿ-þùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì Êîøè:
ψ|q2=q02
= γ0(q1) è ∂ψ
∂q2
∣∣∣∣
q2=q02
= γ1(q1),ãäå �óíêöèè γ0 è γ1 ãëàäêèå è òàêèå, ÷òî γ0(q
0
1) = γ′0(q
0
1) =
γ1(q
0
1) = 0. Ñîãëàñíî òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (22), â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åãî ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðå-ìåííîé q1 îáðàùàåòñÿ â íóëü â ýòîé òî÷êå, ò.å. ∂v
∂q1
∣∣∣
a
= 0. Êîí-òàêòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
(q1, q2, u, p1, p2) 7→ (q1, q2, u+ ψ, p1 + ψq1 , p2 + ψq2),ñîõðàíÿåò òî÷êó a0 è ïåðåâîäèò óðàâíåíèå (22) â óðàâíåíèå(21). �6. Óðàâíåíèå vxx + vxx = k(x,y)v + f(x,y)Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 4, ñïðàâåäëèâà è äëÿ ýëëèï-òè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Òåîðåìà 5.  îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 ∈ J1M ýëëèïòè÷å-ñêîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà E ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâè-âàëåíòíî óðàâíåíèþ(23) vxx + vyy = k(x, y)v + f(x, y)äëÿ íåêîòîðûõ �óíêöèé k (k(a0) 6= 0) è f òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(1) λ+ 6= 0 è λ− 6= 0,(2) λ+ ∧ λ+ = λ− ∧ λ− = λ+ ∧ λ− = 0,(3) dλ+ = dλ− = 0,(4) λ+ + λ− = 0.
110 À. �.ÊóøíåðÄîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèÿ 1�4 ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè, ïîòî-ìó ÷òî îíè âûïîëíÿþòñÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (23). Äîêàæåì èõ äî-ñòàòî÷íîñòü.Èòàê, ïóñòü ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ äëÿ íåêîòîðîãî óðàâ-íåíèÿ E òèïà H2,2. Çà�èêñèðóåì òî÷êó
a0(q
0
1 , q
0
2 , u
0, p0
1, p
0
2) ∈ J1M.Èç óñëîâèé 2 è 3 ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå E ëîêàëüíî êîíòàêòíîýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ [13℄(24) vxx + vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y).Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 4 òåîðåìû, ïîëó÷àåì, ÷òî bq1 = aq2 , òîåñòü a = ϕq1 è b = ϕq2 äëÿ íåêîòîðîé �óíêöèè ϕ = ϕ(q). Ýòà�óíêöèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé,êîòîðóþ ìû âûáåðåì òàê, ÷òîáû â òî÷êå a0 �óíêöèÿ ϕ îáðà-ùàëàñü â íóëü, òî åñòü ϕ(q0) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ý��åêòèâíàÿ �îðìà, êîòîðàÿ îòâå÷àåò ýòî-ìó óðàâíåíèþ èìååò âèä
ω = dq1 ∧ dp2 − dq2 ∧ dp1 − (ϕq1p1 + ϕq1p2 + cu+ g)dq1 ∧ dq2.Êîíòàêòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
φ :
q1 7→ q1,
q2 7→ q2,
u 7→ (u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2))e
ϕ
2 ,
p1 7→ (p1 − α+
ϕq1
2 (u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2)))e
ϕ
2 ,
p2 7→ (p2 − β +
ϕq2
2 (u+ α(q01 − q1) + β(q02 − q2)))e
ϕ
2 ,ãäå α = 1
2u
0ϕq1(q
0) è β = 1
2u
0ϕq2(q
0), ñîõðàíÿåò òî÷êó a0. Ïðè-ìåíèâ ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ê ω è âûäåëèâ ó ïîëó÷åííîé �îðìûý��åêòèâíóþ ÷àñòü, ìû ïîëó÷èì �îðìó
φ∗(ω)ε = (k(q)u + f(q))dq1 ∧ dq2 + dq1 ∧ dp2 − dq2 ∧ dp1,ãäå
k(q) =
1
2
(ϕq2q2 + ϕq1q1) −
1
4
(ϕ2
q1 + ϕ2
q2) − c(q)
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 111è
f(q) = k(q)(α(q01 − q1) + β(q02 − q2)) − ge−
ϕ
2 .Åé îòâå÷àåò óðàâíåíèå vxx + vyy = k(x, y)v + f(x, y). �Çàìå÷àíèå 1. Åñëè êîý��èöèåíòû óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïå-ðà � àíàëèòè÷åñêèå �óíêöèè ñâîèõ ïåðåìåííûõ, òî ïðè âû-ïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 5 îíî ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî êîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ(25) vxx + vyy = k(x, y)väëÿ íåêîòîðîé �óíêöèé k (k(a0) 6= 0).7. Ïðèâîäèìîñòü óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà êëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìèêîý��èöèåíòàìè�àññìîòðèì ïðîáëåìó ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïå-ðà ê ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè âñëåäóþùåé �îðìóëèðîâêå: íàéòè óñëîâèÿ ïðè êîòîðûõ óðàâ-íåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà (1) çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðèâîäÿòñÿ êóðàâíåíèþ âèäà(26) vxx ± vyy = αvx + βvy + γv + f(x, y) = 0,ãäå α, β, γ � ïîñòîÿííûå.Ïåðåä òåì êàê ðåøàòü ýòó ïðîáëåìó äëÿ îáùèõ óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà, âûÿñíèì, êàêèå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïðèâî-äÿòñÿ çàìåíîé ïåðåìåííûõ ê óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîý�-�èöèåíòàìè. �èïåðáîëè÷åñêèé è ýëëèïòè÷åñêèé òèïû ìû ðàñ-ñìîòðèì ðàçäåëüíî.7.1. �èïåðáîëè÷åñêèå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ïðåæäå âñå-ãî çàìåòèì, ÷òî â ãèïåðáîëè÷åñêîì ñëó÷àå âìåñòî óðàâíåíèÿ(26) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ýêâèâàëåíòíîå åìó óðàâíåíèå(27) vxy = λv,
112 À. �.Êóøíåðãäå λ � íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Åñëè ýòà ïîñòîÿííàÿ íå ðàâíàíóëþ, ýòî óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ(28) vxy = v.Óðàâíåíèå (28) íàçûâàåòñÿ òåëåãðà�íûì.Ñ�îðìóëèðóåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ëèíåéíûå óðàâíåíèÿâèäà(29) vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì âèäà (27).Ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî ðàññìàòðè-âàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà(30) (x, y, v) 7→ (X(x), Y (y), Z1(x, y)v + Z2(x, y)),ãäå X,Y,Z1, Z2 � íåêîòîðûå ãëàäêèå �óíêöèè, èáî òîëüêî òà-êèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðàíÿþò âèä óðàâíåíèé (29).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óðàâíåíèé (27) �îðìû Ëàïëàñà èìåþò âèä
λ− = −λ+ = λdq1 ∧ dq2.Ëåììà 1. Ïóñòü óðàâíåíèå(31) vxy = k(x, y)vðåãóëÿðíî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 ∈ R2. Ýòî óðàâ-íåíèå ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ(32) vxy = λväëÿ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé λ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êî-ãäà �óíêöèÿ k óäîâëåòâîðÿåò äè��åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ(33) kkxy − kxky = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x0, y0) � êîîðäèíàòû òî÷êè a0. Ôîð-ìû Ëàïëàñà äëÿ óðàâíåíèÿ (31) èìåþò âèä
λ+ = k(x, y)dx ∧ dy è λ− = −k(x, y)dx ∧ dy.Òàê êàê ýòî óðàâíåíèå ðåãóëÿðíî, òî ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿäâå âîçìîæíîñòè: k ≡ 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 èëè
k(x0, y0) 6= 0.
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 113 ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (31) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîëíîâîåóðàâíåíèå.�àññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà �óíêöèÿ k íå àííóëèðóåò-ñÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a.Èç óñëîâèÿ (33) ñëåäóåò, ÷òî
∂2 ln |k|
∂q1∂q2
= 0è ïîýòîìó k(q1, q2) = X̃(q1)Ỹ (q2) äëÿ íåêîòîðûõ �óíêöèé X̃ è
Ỹ .Ïóñòü X è Y � ïåðâîîáðàçíûå �óíêöèé X̃ è Ỹ ñîîòâåòñòâåí-íî, òàêèå, ÷òî X(q01) = q01 è Y (q02) = q02. Ý��åêòèâíàÿ �îðìà,îòâå÷àþùàÿ óðàâíåíèþ (31), èìååò ñëåäóþùèé âèä:
ω = dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2 − 2X ′(q1)Y
′(q2)udq1 ∧ dq2. ñèëó òîãî, ÷òî �óíêöèÿ k íå àííóëèðóåòñÿ, äëÿ �óíêöèé
X è Y â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñóùåñòâóþò îáðàòíûå �óíêöèè,êîòîðûå îáîçíà÷èì χ è ψ ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî
χ(q01) = q01, ψ(q02) = q02, χ′(q01) 6= 0, ψ′(q02) 6= 0.Êîíòàêòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
(q1, q2, u, p1, p2) 7→
(
χ(q1), ψ(q2), u− ξq1 − ηq2,
p1 − ξ
χ′(q1)
,
p2 − η
ψ′(q2)
)
,ãäå
ξ = p0
1
(
1
χ′(q01)
− 1
) è η = p0
2
(
1
ψ′(q02)
− 1
)
,ñîõðàíÿåò òî÷êó a0 è ïåðåâîäèò �îðìó ω â �îðìó
ω̃ =dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2−
2X ′(χ(q1))Y
′(ψ(q2))(u − ξq1 − ηq2)χ
′(q1)ψ
′(q2)dq1 ∧ dq2.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
χ′(q1) =
1
X ′(χ(q1))
è ψ′(q2) =
1
Y ′(ψ(q2))
,
114 À. �.Êóøíåðïîëó÷àåì, ÷òî
ω̃ = dq1 ∧ dp1 − dq2 ∧ dp2 − 2(u+ γ(q))dq1 ∧ dq2,ãäå
γ(q) = −X ′(χ(q1))Y
′(ψ(q2))(ξq1 + ηq2).Ôîðìå ω̃ îòâå÷àåò óðàâíåíèå(34) vq1q2 = v + γ(q).Ïóñòü v = z(q1, q2) � ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþ-ùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì Êîøè:
z|q2=q02
= ξ0(q1) è ∂z
∂q2
∣∣∣∣
q2=q02
= ξ1(q1),ãäå �óíêöèè ξ0 è ξ1 ãëàäêèå è òàêèå, ÷òî
ξ0(q
0
1) = ξ′0(q
0
1) = ξ1(q
0
1) = 0.Ñîãëàñíî òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿ, òàêîå ðåøåíèå âñåãäà íàé-äåòñÿ. Êîíòàêòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
(q1, q2, u, p1, p2) 7→ (q1, q2, u+ z, p1 + zq1 , p2 + zq2),ïåðåâîäèò óðàâíåíèå (34) â óðàâíåíèå vxy = v.
�Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óêàçûâàåò óñëîâèÿ ïðèâîäèìîñòè ëè-íåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ê òåëåãðà�íîìó óðàâíå-íèþ.Òåîðåìà 6. Óðàâíåíèå(35) vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)â îêðåñòíîñòè òî÷êè a0(x0, y0) ∈ R2 ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýê-âèâàëåíòíî òåëåãðà�íîìó óðàâíåíèþ(36) vxy = v
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 115òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ðåãóëÿðíî, ax = by, à �óíêöèÿ
Φ = ab+ c− by íå îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå a0 è óäîâëåòâî-ðÿåò ñëåäóþùåìó äè��åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:(37) ΦΦxy − ΦxΦy = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (37)èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé âèäà (30).Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿòåëåãðà�íîãî óðàâíåíèÿ ïåðâûå èíòåãðàëû ðàñïðåäåëåíèé C(2)
+è C(2)
− ðàâíû q1 è q2 ñîîòâåòñòâåííî, à �îðìû Êàðòàíà
λ− = −λ+ = dq1 ∧ dq2.Ôóíêöèÿ Φ = 1 è ïîýòîìó óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (37).Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü a0 ∈ J1M � �èêñèðîâàííàÿòî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (q0, u0, p0) è ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (35)âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû. Òîãäà ýòî óðàâíåíèå ëîêàëüíîêîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ vxy = k(x, y)v äëÿ íåêîòî-ðîé ãëàäêîé �óíêöèè k.Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ �óíêöèÿ Φ = k. Ïðèìåíèâ ëåììó 1,ìû çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî.
�7.2. Ýëëèïòè÷åñêèå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ýëëèïòè÷åñ-êîå óðàâíåíèå âèäà (26) ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ(38) vxx + vyy =
1
4
(α2 + β2 + 4γ)u + f̃(x, y),ãäå f̃ � íåêîòîðàÿ �óíêöèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé ïðîáëåìû âìåñòîóðàâíåíèé (26) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå âèäà(39) vxx + vyy = κv + f(x, y),ãäå κ � íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òàêîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿóðàâíåíèåì �åëüìãîëüöà.
116 À. �.ÊóøíåðÍàéäåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ëèíåéíûå ýëëèïòè÷åñêèåóðàâíåíèÿ âèäà çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì�åëüìãîëüöà.Ëåììà 2. Äëÿ âñÿêîé ãàðìîíè÷åñêîé �óíêöèè w(x, y) íàé-äåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ �óíêöèÿ h(x, y), òàêàÿ, ÷òî(40) h2
x + h2
y = ew.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïî-êàçàòü, ÷òî ïåðåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà(41) {
hxx + hyy = 0,
h2
x + h2
y = ewîòíîñèòåëüíî �óíêöèè h ñîâìåñòíà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãàðìî-íè÷åñêîé �óíêöèè w. Çàïèøåì ñèñòåìó (41) â âèäå
{
F = 0,
G = 0,ãäå
F = p11 + p22, G = p2
1 + p2
2 − ew,
x1 = x, x2 = y, pi = hxi , pij = hxixj äëÿ i, j = 1, 2. ÑêîáêàÊðóãëèêîâà-Ëû÷àãèíà-Ìàéåðà [7℄ äëÿ ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä:
[F,G] = D2
2(G) +D2
1(G) − 2p2D2(F ) − 2p1D1(F )
= 2p2
11 + 4p2
12 + 2p2
22 − ew(wx1x1 + wx2x2 + w2
x1
+ w2
x2
),ãäå
Di =
∂
∂xi
+pi
∂
∂u
+pi1
∂
∂p1
+pi2
∂
∂p2
+pi11
∂
∂p11
+pi12
∂
∂p12
+pi22
∂
∂p22� îïåðàòîð ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî ïåðåìåííîé xi (i = 1, 2). Âñèëó òîãî, ÷òî �óíêöèÿ w � ãàðìîíè÷åñêàÿ,(42) [F,G] = 2(h2
xx + 2h2
xy + h2
yy) − ew(w2
x + w2
y).Íå ñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ñêîáêà ðàâíà íóëþ â ñèëó ñèñòåìû(41).
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 117Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî [7℄, ñèñòåìà (41) �îðìàëüíî èíòå-ãðèðóåìà. À òàê êàê ýòà ñèñòåìà êîíå÷íîãî òèïà, òî îíà èìååòãëàäêîå ðåøåíèå h. �Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ(43) vxx + vyy = k(x, y)v + f(x, y).Ôîðìû Ëàïëàñà äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä
λ+ =
ι
2
k(x, y)dx ∧ dy è λ− = − ι
2
k(x, y)dx ∧ dy.Òåîðåìà 7. Ïóñòü óðàâíåíèå (43) ðåãóëÿðíî â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè òî÷êè a0 ∈ R2. Ýòî óðàâíåíèå ëîêàëüíî êîí-òàêòíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ �åëüìãîëüöà (39) òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà �óíêöèÿ k óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìóóðàâíåíèþ:(44) k(kxx + kyy) = k2
x + k2
y .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x0, y0) � êîîðäèíàòû òî÷êè a0. Òàêêàê ýòî óðàâíåíèå ðåãóëÿðíî, òî ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ äâå âîç-ìîæíîñòè: k ≡ 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a èëè
k(x0, y0) 6= 0. ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (43) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèåÏóàññîíà è òåîðåìà äîêàçàíà.�àññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà �óíêöèÿ k íå àííóëèðóåò-ñÿ â òî÷êå a0.Ïóñòü �óíêöèÿ k óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (44). Åãî ìîæíîçàïèñàòü â âèäå
∆(ln |k|) = 0,ãäå ∆ � îïåðàòîð Ëàïëàñà. Ïîýòîìó �óíêöèÿ k èìååò âèä
k(x, y) = εew(x,y),ãäå w � íåêîòîðàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ �óíêöèÿ è ε = ±1.Ñîãëàñíî ëåììå 2 íàéäåòñÿ òàêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ �óíêöèÿ
h = h(x, y), ÷òî k = ε(h2
x + h2
y). Òàêèì îáðàçîì, ý��åêòèâíàÿ
118 À. �.Êóøíåðäè��åðåíöèàëüíàÿ 2-�îðìà, îòâå÷àþùàÿ óðàâíåíèþ (43) èìå-åò âèä:
ω = dq1 ∧ dp2 − dq2 ∧ dp1 − (ε(h2
q1 + h2
q2)u+ f)dq1 ∧ dq2.Ïóñòü g = g(x, y) � ãàðìîíè÷åñêàÿ �óíêöèÿ, ãàðìîíè÷åñêè ñî-ïðÿæåííàÿ ñ �óíêöèåé h, ò.å. hx = gy è hy = −gx. Ôóíêöèè
h è g îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíûõ ïîñòîÿííûõ, êî-òîðûå ìû âûáåðåì òàê, ÷òîáû h(x0, y0) = x0 è g(x0, y0) = y0.Ïîñòðîèì ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè R2, ñîõðàíÿþùåå òî÷êó
a0:
(q1, q2) 7→ (Q1 = h(q), Q2 = g(q)).Ò.ê. �óíêöèÿ k(a0) 6= 0, òî ÿêîáèàí ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
∣∣∣∣
hx hy
gx gy
∣∣∣∣ = hxgy − hygx = h2
x + h2
y 6= 0â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 è îíî îáðàòèìî. Äëÿ îáðàò-íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
(Q1, Q2) 7→ (q1 = H(Q), q2 = G(Q))�óíêöèè H è G òîæå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûìèè, êðîìå òîãî,1
HQ1 =
gq2
h2
q1 + h2
q2
, HQ2 = − hq2
h2
q1 + h2
q2
,
GQ1 = − gq1
h2
q1 + h2
q2
, GQ2 =
hq1
h2
q1 + h2
q2
.Ïîýòîìó
h2
q1 + h2
q2 =
1
H2
Q1
+H2
Q2
.Ïîñòðîèì òåïåðü ìàñøòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå
φ : (q1, q2, u) 7→ (Q1 = h(q), Q2 = g(q), U = u)1Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîäíûå �óíêöèé h è g âûðàæåíû ÷å-ðåç Q1 è Q2
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 119è ïðîäîëæèì åãî äî êîíòàêòíîãî. Ïðèìåíÿÿ ýòî ïðåîáðàçîâà-íèå ê �îðìå ω è âûäåëÿÿ ó ïîëó÷åííîé �îðìû ý��åêòèâíóþ÷àñòü, ìû ïîëó÷èì �îðìó
φ∗(ω)ε = dQ1 ∧ dP1 − dQ2 ∧ dP2 − (εU + f̃(Q))dQ1 ∧ dQ2,ãäå
f̃(Q) =
f(H(Q), G(Q))
H2
Q1
+H2
Q2
.Ýòîé äè��åðåíöèàëüíîé �îðìå îòâå÷àåò óðàâíåíèå (39), ãäå
κ = −1 èëè κ = 1. �Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îáùèì ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì.Òåîðåìà 8. Óðàâíåíèå(45) vxx + vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)â îêðåñòíîñòè òî÷êè a0(x0, y0) ∈ R2 ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýê-âèâàëåíòíî óðàâíåíèþ �åëüìãîëüöà (39), ãäå κ 6= 0, òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç èíâàðèàíòîâ Êîòòîíà H ðàâåííóëþ, à âòîðîé, K, íå îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå a0 è óäî-âëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó äè��åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:(46) K(Kxx +Kyy) = K2
x +K2
y .Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû î÷åâèäíà.Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5, óðàâíåíèå (45)ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (23), à ñîãëàñ-íî òåîðåìå 7, ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ�åëüìãîëüöà (39), ãäå κ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ −1, 0, 1. �7.3. Óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà. Äëÿ óðàâíåíèé âèäà (26)ëèáî îáå �îðìû Ëàïëàñà íóëåâûå, ëèáî îáå íå îáðàùàþòñÿ âíóëü è(47) λ± ∧ λ± = 0.Ýòè æå óñëîâèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ è äëÿ óðàâíåíèé Ìîí-æà-Àìïåðà, êîòîðûå êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíû óðàâíåíèþ (26).
120 À. �.ÊóøíåðÅñëè äëÿ óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà îáå �îðìû Ëàïëàñà íóëå-âûå, òî îíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1, çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðèâîäèò-ñÿ ê ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè.Ïîýòîìó íàì îñòàëîñü ðàññìîòðåòü âòîðîé ñëó÷àé. Îòâåò íàâîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [16℄.Òåîðåìà 9. Ïóñòü îáå �îðìû Ëàïëàñà íåâûðîæäåííîãî óðàâ-íåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà íå îáðàùàþòñÿ â íóëü. Óðàâíåíèå ëî-êàëüíî êîíòàêòíî ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ (26) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà �îðìû Ëàïëàñà èìåþò âèä(48) λ+ = Φ(g, h)dg ∧ dh and λ− = −Φ(g, h)dg ∧ dh,ãäå g è h � ïåðâûå èíòåãðàëû ðàñïðåäåëåíèé C(2)
+ è C(2)
− ñîîò-âåòñòâåííî è �óíêöèÿ Φ(g, h) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü è óäîâëå-òâîðÿåò ñëåäóþùåìó äè��åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:(49) ΦΦgh − ΦgΦh = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2 ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà ëîêàëüíî êîíòàêòíî ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó óðàâíå-íèþ (19). Ïðèìåíÿÿ òåðåìó 6 äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé,è òåîðåìó 8 � äëÿ óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ, ìû ïîëó÷àåì, ÷òîïîñëåäíåå óðàâíåíèå ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíî ëèáî òåëåãðà�íî-ìó óðàâíåíèþ, ëèáî óðàâíåíèþ �åëüìãîëüöà. �Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Cotton, E.: Sur les invariants di��erentiels de quelques �equations lineariesaux d�eriv�ees partielles du se
ond ordre. Ann. S
i. E
ole Norm. Sup. 17,211�244 (1900)[2℄ Euler, L.: Cal
uli integralis. Vol.3. Petropoli, Impen�s A
ademia
Imperialis S
ientiarium, 1770.[3℄ Ibragimov, N.H.: Invariants of hyperboli
equations: solution of the Lapla
eproblem. Prikladnaya Mekhanika i Tekhni
heskaya Fizika 45(2), 11�21(2004) (Russian); English Translation in Journal of Applied Me
hani
sand Te
hni
al Physi
s 45(2), 158�166, (2004)[4℄ Kruglikov, B.S.: On some
lassi�
ation problems in four-dimensionalgeometry: distributions, almost
omplex stru
tures, and the generalizedMonge-Amp�ere equations. Matem. Sbornik 189(11), 61�74 (1998)
Íîðìàëüíûå �îðìû äëÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà 121[5℄ Kruglikov, B.S.: Symple
ti
and
onta
t Lie algebras with appli
ation tothe Monge-Amp�ere equations. Tr. Mat. Inst. Steklova 221, 232�246 (1998)[6℄ Kruglikov, B.S.: Classi�
ation of Monge-Amp�ere equations with twovariables. CAUSTICS'98 (Warsaw), Polish A
ad. S
i., Warsaw, 179�194(1999)[7℄ Kruglikov, B.S., Ly
hagin, V.V.: Mayer Bra
kets and PDEs solvability �I. Di�er. Geom. Appl. 17(2-3), 251�272 (2002)[8℄ Kushner, A.G.: Chaplygin and Keldysh normal forms of Monge-Amp�ere equations of variable type. Mathem. Zametki 52(5) 63�67,(1992)(Russian). English translation in Mathemati
al Notes 52(5), 1121�1124 (1992)[9℄ Kushner, A.G.: Classi�
ation of mixed type Monge-Amp�ere equations.In: Pr�astaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Di�erentialEquations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World S
ienti�
,173�188 (1993)[10℄ Kushner, A.G.: Symple
ti
geometry of mixed type equations. In:Ly
hagin, V.V. (ed) The Interplay between Di�erential Geometry andDi�erential Equations. Amer. Math. So
. Transl. Ser. 2, 167, 131�142(1995)[11℄ Êóøíåð À.�.: ÓðàâíåíèÿÌîíæà-Àìïåðà è e-ñòðóêòóðû.ÄÀÍ, 361(5),595�596 (1998).[12℄ Kushner, A.G.: Almost produ
t stru
tures and Monge-Amp�ere equations.Loba
hevskii Journal of Mathemati
s, http://ljm.ksu.ru 23, 151�181(2006)[13℄ Kushner, A.G.: A
onta
t linearization problem for Monge-Amp�ereequations and Lapla
e invariants. A
ta Appl. Math. 101(1�3), 177�189(2008)[14℄ Êóøíåð À.�.: Êîíòàêòíàÿ ëèíåàðèçàöèÿ íåâûðîæäåííûõ óðàâíåíèéÌîíæà-Àìïåðà. Èçâ. ÂÓÇîâ, Ìàòåìàòèêà, �4, 43�58 (2008).[15℄ Êóøíåð, À.�.: Êîíòàêòíàÿ ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðàè èíâàðèàíòû Ëàïëàñà. ÄÀÍ, 422(5), 597�600 (2008).[16℄ Kushner, A.G.: Conta
t equivalen
e of Monge-Amp�ere equations to linearequations with
onstant
oe�
ients. A
ta Appl. Math. (2008) (to bepublished)[17℄ Êóøíåð, À.�.: Ïðèâåäåíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìîíæà-Àìïåðà ê ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè.ÄÀÍ, 423(5), 609�611 (2008).[18℄ Kushner, A.G.: Classi�
ation of Monge-Amp�ere equations. Pro
eedingsof the Abel Symposium - 2008, June 18-21, 2008, Tromso, Norway (to bepublished)
122 À. �.Êóøíåð[19℄ Kushner, A.G., Ly
hagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Conta
t geometry andnonlinear di�erential equations. En
y
lopedia of Mathemati
s and ItsAppli
ations 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xxii+496pp.[20℄ Lapla
e, P.S.: Re
her
hes sur le
al
ul intégrals aux di�éren
es partielles.Mémoires de l'A
adémie royale des S
ien
es de Paris 23 24 (1773).Reprinted in: Lapla
e, P.S.: Oevre
omplètes, t. IX, Gauthier-Villars, Paris,1893; English Translation, New York, 1966.[21℄ Lie, S.: Ueber einige partielle Di�erential-Glei
hungen zweiter Orduung,Math. Ann. 5, 209�256 (1872)[22℄ Lie, S.: Begrundung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen. Math. Ann. 8, 215�303 (1874)[23℄ Lie, S.: Classi�
ation und integration von gew�ohnli
hendi�erentialglei
hungen zwis
hen x, y, die eine Gruppe vonTransformationen gestatten. Math. Ann. 32, 213�281 (1888)[24℄ Ly
hagin, V.V.: Conta
t geometry and nonlinear se
ond-order partialdi�erential equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR 238(5), 273�276 (1978).English translation in Soviet Math. Dokl. 19(5), 34�38 (1978)[25℄ Ly
hagin, V.V.: Conta
t geometry and nonlinear se
ond-order di�erentialequations. Uspekhi Mat. Nauk 34(1 (205)), 137�165 (1979). Englishtranslation in Russian Math. Surveys 34(1), 149�180 (1979)[26℄ Ly
hagin, V.V.: Le
tures on geometry of di�erential equations. Vol. 1,2.�La Sapienza�, Rome, 1993.[27℄ Ly
hagin, V.V., Rubtsov, V.N.: The theorems of Sophus Lie for theMonge�Amp�ere equations (Russian). Dokl. Akad. Nauk BSSR 27(5), 396�398 (1983)[28℄ Ly
hagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Lo
al
lassi�
ation of Monge-Ampredi�erential equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR 272(1), 34�38 (1983)[29℄ Tunitskii, D.V.: On the
onta
t linearization of Monge-Amp�ere equations.Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Matem. 60(2), 195�220 (1996)
|