Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині

В статтi описуються одномiрнi однорiднi розшарування на проективнiй прямiй i знаходяться алгебри їхнiх диференцiальних iнварiантiв. Ми знаходимо нормальнi форми локальної sl2-дiї, класифiкуємо одномiрнi проективнi величини, застосовуємо цi результати до iнтегрування звичайних диференцiальних рiвнян...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Коновенко, Н.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6300
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині / Н.Г. Коновенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 10-34. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6300
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-63002010-02-24T12:00:41Z Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині Коновенко, Н.Г. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" В статтi описуються одномiрнi однорiднi розшарування на проективнiй прямiй i знаходяться алгебри їхнiх диференцiальних iнварiантiв. Ми знаходимо нормальнi форми локальної sl2-дiї, класифiкуємо одномiрнi проективнi величини, застосовуємо цi результати до iнтегрування звичайних диференцiальних рiвнянь, що мають sl2-симетрiю й знаходимо новi класи диференцiальних рiвнянь, що iнтегруються у квадратурах. В этой статье мы описываем одномерные однородные расслоения на проективной прямой и находим алгебры их дифференциальных инвариантов. Мы находим нормальные формы локального sl2-действия и классифицируем одномерные проективные величины. Мы применяем эти результаты к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих sl2-симметрии и находим новые классы дифференциальных уравнений интегрируемых в квадратурах. In this paper we describe 1-dimensional homogeneous bundles of the projective line and find algebras of their differential invariants. We find normal forms of local sl2-actions and classify 1-dimensional projective quantities. We apply these results to integration of ordinary differential equations equipped with sl2-symmetry and find new classes of differential equations integrable in quadratures. 2009 Article Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині / Н.Г. Коновенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 10-34. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6300 uk Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Коновенко, Н.Г. Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
description	В статтi описуються одномiрнi однорiднi розшарування на проективнiй прямiй i знаходяться алгебри їхнiх диференцiальних iнварiантiв. Ми знаходимо нормальнi форми локальної sl2-дiї, класифiкуємо одномiрнi проективнi величини, застосовуємо цi результати до iнтегрування звичайних диференцiальних рiвнянь, що мають sl2-симетрiю й знаходимо новi класи диференцiальних рiвнянь, що iнтегруються у квадратурах.
format	Article
author	Коновенко, Н.Г.
author_facet	Коновенко, Н.Г.
author_sort	Коновенко, Н.Г.
title	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
title_short	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
title_full	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
title_fullStr	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
title_full_unstemmed	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
title_sort	алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6300
citation_txt	Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині / Н.Г. Коновенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 10-34. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT konovenkong algebridiferencíalʹnihínvaríantívgeometričnihveličinnaproektivníjploŝiní
first_indexed	2025-07-02T09:14:13Z
last_indexed	2025-07-02T09:14:13Z
_version_	1836525974496215040
fulltext	Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 10-34Í.�.ÊîíîâåíêîÎäåñüêà íàöiîíàëüíà àêàäåìiÿ õàð÷îâèõ òåõíîëîãié, ÎäåñàE-mail: Konovenko�ukr.netÀëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõiíâàðiàíòiâ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èííà ïðîåêòèâíié ïðÿìiéÂ ñòàòòi îïèñóþòüñÿ îäíîìiðíi îäíîðiäíi ðîçøàðóâàííÿ íà ïðîåêòèâíiéïðÿìié i çíàõîäÿòüñÿ àëãåáðè ¨õíiõ äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ. Ìèçíàõîäèìî íîðìàëüíi �îðìè ëîêàëüíî¨ sl2-äi¨, êëàñè�iêó¹ìî îäíîìiðíiïðîåêòèâíi âåëè÷èíè, çàñòîñîâó¹ìî öi ðåçóëüòàòè äî iíòåãðóâàííÿ çâè-÷àéíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü, ùî ìàþòü sl2-ñèìåòði¨ é çíàõîäèìîíîâi êëàñè äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü, ùî iíòåãðóþòüñÿ ó êâàäðàòóðàõ.Â ýòîé ñòàòüå ìû îïèñûâàåì îäíîìåðíûå îäíîðîäíûå ðàññëîåíèÿ íàïðîåêòèâíîé ïðÿìîé è íàõîäèì àëãåáðû èõ äè��åðåíöèàëüíûõ èíâà-ðèàíòîâ. Ìû íàõîäèì íîðìàëüíûå �îðìû ëîêàëüíîãî sl2-äåéñòâèÿ èêëàññè�èöèðóåì îäíîìåðíûå ïðîåêòèâíûå âåëè÷èíû. Ìû ïðèìåíÿåìýòè ðåçóëüòàòû ê èíòåãðèðîâàíèþ îáûêíîâåííûõ äè��åðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, èìåþùèõ sl2-ñèììåòðèè è íàõîäèì íîâûå êëàññû äè��å-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èíòåãðèðóåìûõ â êâàäðàòóðàõ. In this paper we describe 1-dimensional homogeneous bundles of the pro- jective line and find algebras of their differential invariants. We find normal forms of local sl2-actions and classify 1-dimensional projective quantities. We apply these results to integration of ordinary differential equations equipped with sl2-symmetry and find new classes of differential equations integrable in quadratures.Êëþ÷îâi ñëîâà: ïðîåêòèâíi ñòðóêòóðè, ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè, äè�å-ðåíöiàëüíi iíâàðiàíòè, iíâàðiàíòíå äè�åðåíöiþâàííÿ. © Í. �.Êîíîâåíêî, 2009 Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 111. ÂñòóïÇãiäíî Åðëàíãåíñüêî¨ ïðîãðàìè Ô. Êëåéíà [3℄ ïðîåêòèâíàãåîìåòðiÿ ïðÿìî¨ ñêëàäà¹òüñÿ ó âèâ÷åííi iíâàðiàíòiâ ïðîåêòèâ-íî¨ (äðîáíî-ëiíiéíî¨) äi¨ ãðóïè Ëi SL2(R). Ìè êîíêðåòèçó¹ìîöå ïîëîæåííÿ é âèâ÷à¹ìî äè�åðåíöiàëüíi iíâàðiàíòè öi¹¨ äi¨. Içöi¹þ ìåòîþ ìè ðîçãëÿäà¹ìî îäíîðiäíi ðîçøàðóâàííÿ íàä ïðî-åêòèâíîþ ïðÿìîþ. Íà ïåðåðiçàõ öèõ ðîçøàðóâàíü, ÿêi ìè íà-çèâà¹ìî ãåîìåòðè÷íèìè ïðîåêòèâíèìè âåëè÷èíàìè [1℄, [2℄, ïðè-ðîäíî äi¹ ãðóïà SL2(R).Â öié ðîáîòi ìè äà¹ìî ïîâíèé îïèñ îäíîìiðíèõ îäíîðiäíèõðîçøàðóâàíü i àëãåáð ¨õíiõ äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ (Òåî-ðåìè 1,2,3,4). Ìàþ÷è íà óâàçi çàñòîñóâàííÿ äî çâè÷àéíèõ äè-�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü, ìè ðîçãëÿäà¹ìî çàäà÷ó êëàñè�iêàöi¨ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí ëîêàëüíî.Â ÿêîñòi ãðóïè, ùî êëàñè�iêó¹òüñÿ ìè ðîçãëÿäà¹ìî ëîêàëü-íi òî÷êîâi äè�åîìîð�içìè, ùî çáåðiãàþòü ñòðóêòóðó ðîçøà-ðóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí. Ó öüîìó âèïàäêó ïðîåêòèâíiãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè ðîçïàäàþòüñÿ íà òðè êëàñè, ÿêi ìè ïî-çíà÷à¹ìî ÷åðåç R,S, T . Áiëüø äåòàëüíà êëàñè�iêàöiÿ óñåðåäèíiöèõ êëàñiâ íàâåäåíà â òåîðåìi 5. Âîíà ìiñòèòü 8 ïiäêëàñiâ.Çàóâàæèìî, ùî çíàéäåíi Ñî�óñîì Ëi äi¨ sl2(R) íà ïëîùèíiìiñòÿòüñÿ óñåðåäèíi öi¹¨ êëàñè�iêàöi¨, àëå íå çáiãàþòüñÿ ç íåþ,òîìó ùî êëàñè�iêàöiéíà ãðóïà äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí ñòðî-ãî ìåíøå ãðóïè âñiõ ëîêàëüíèõ äè�åîìîð�içìiâ ïëîùèíè. Óòåîðåìi 1 äàíî äåòàëüíèé îïèñ öèõ êëàñiâ i âiäïîâiäíèõ äié àë-ãåáðè Ëi sl2(R).Ó òåîðåìàõ 2, 3, 4 äà¹òüñÿ ïîâíèé îïèñ äè�åðåíöiàëüíèõ ií-âàðiàíòiâ äëÿ äàíèõ sl2-äié ó òåðìiíàõ áàçèñíèõ äè�åðåíöiàëü-íèõ iíâàðiàíòiâ i ¨õíiõ iíâàðiàíòíèõ ïîõiäíèõ. Öåé îïèñ âèêî-ðèñòà¹òüñÿ ïîòiì äëÿ iíòåãðóâàííÿ çâè÷àéíèõ äè�åðåíöiàëü-íèõ ðiâíÿíü, ùî ìàþòü sl2 àëãåáðó òî÷êîâèõ ñèìåòðié. À ñà-ìå, êîæíå òàêå ðiâíÿííÿ, ÿêùî çàïèñàòè ó äè�åðåíöiàëüíèõiíâàðiàíòàõ ìîæå áóòè iíòåãðîâàíå "ïî-êðîêîâî". Ñïî÷àòêó ìè 12 Í. �.Êîíîâåíêîiíòåãðó¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ áàçîâîãî äè�åðåíöiàëüíîãî iíâàðiàí-òà, à ïîòiì îòðèìàíi ðîçâ'ÿçêè ðîçãëÿäà¹ìî ÿê çâè÷àéíi äè-�åðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ ïîðÿäêó, ùî ¹ 6 3 òà âîëîäiþòü sl2-ñèìåòði¹þ. Ìè îïèñó¹ìî âèïàäêè, êîëè öi ðiâíÿííÿ, ó ñâîþ÷åðãó,ìîæóòü áóòè ïðîiíòåãðîâàíi ó êâàäðàòóðàõ. Âiäçíà÷èìî,ùî êîíñòðóêòèâíå iíòåãðóâàííÿ ðiâíÿíü äëÿ áàçîâîãî äè�åðåí-öiàëüíîãî iíâàðiàíòà ìîæå áóòè ïðîâåäåíå ïðè íàÿâíîñòi ñèìåò-ðié, ÿêi, ó òåðìiíàõ ñïîêîíâi÷íîãî äè�åðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ,¹ íåëîêàëüíèìè ñèìåòðiÿìè òèïó Áåêëóíäà. Âiäçíà÷èìî òàêîæ,ùî çàñòîñóâàííÿ öüîãî ìåòîäó äî çâè÷àéíèõ äè�åðåíöiàëüíèõðiâíÿíü, ùî âîëîäiþòü 2-ìiðíîþ ðîçâ'ÿçíîþ àëãåáðîþ ñèìåòðié ”ax+ b”, à òàêîæ çâ'ÿçàíîþ ç íåþ à�iííîþ ãåîìåòði¹þ, ìîæíàçíàéòè â [5℄.2. �îçøàðóâàííÿ ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí�åîìåòðiÿ ïðîåêòèâíî¨ ïðÿìî¨ RP 1, àáî ïðîåêòèâíà ãåîìåò-ðiÿ,âèçíà÷à¹òüñÿ ñòðóêòóðíîþ ãðóïîþ SL2(R) i ¨ ¨ äi¹þ äðîáíî-ëiíiéíèìè ïåðåòâîðåííÿìè íà RP 1: λA : [x : y] 7−→ a11x+ a12y a21x+ a22y ,äå A = ‖aij‖ ∈ SL2(R). Âiäïîâiäíî, â à�iííié êàðòi [x : 1], öiéäi¨ ãðóïè Ëi, âiäïîâiäà¹ äiÿ, àáî çîáðàæåííÿ àëãåáðè Ëi sl2(R)ó âåêòîðíèõ ïîëÿõ íà R: [ h a b −h ] ∈ sl2(R) 7−→ (a+ 2hx− bx2)∂x ∈ D(R).Ïðîåêòèâíi ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè ñóòü ïåðåòèíó îäíîðiäíèõðîçøàðóâàíü π : E → RP 1 íàä ïðîåêòèâíîþ ïðÿìîþ [1℄, [2℄, [3℄.Ó öié ðîáîòi ìè âèâ÷à¹ìî ëîêàëüíó ñòðóêòóðó òàêèõ ðîçøàðó-âàíü. Òîìó çàìiñòü ïðîåêòèâíî¨ ïðÿìî¨ RP 1 ìè îáìåæèìîñÿäåÿêîþ îáëàñòþ à�iííî¨ êàðòè R ⊂ RP 1. Áiëüøå òîãî, ìè âèâ-÷à¹ìî îäíîìiðíi ïðîåêòèâíi âåëè÷èíè. Äëÿ íèõ ðîçøàðóâàííÿ Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 13 π, (ëîêàëüíî) ìà¹ âèãëÿä π : R2 → R, π : (x, u) 7−→ x,à îäíîðiäíiñòü öüîãî ðîçøàðóâàííÿ îçíà÷à¹, ùî ñòàíäàðòíà äiÿàëãåáðè Ëi sl2(R) íà ïðÿìié ïiäíÿòà â ðîçøàðóâàííÿ π. Iíøèìèñëîâàìè, âåêòîðíi ïîëÿ X = ∂x, Y = x2∂x, H = x∂x,ÿêi óòâîðþþòü áàçèñ â sl2(R) i çàäîâîëüíÿþòü íàñòóïíi êîìó-òàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ [X,H] = X, [Y,H] = −Y, [X,Y ] = 2H,ïiäíÿòi äî âåêòîðíèõ ïîëiâ â R2 X = ∂x + a(x, u)∂u, Y = x2∂x + b(x, u)∂u, H = x∂x + h(x, u)∂u, (1)òàê ùîá âîíè çàäîâîëüíÿëè êîìóòàöiéíèì ñïiââiäíîøåííÿì àë-ãåáðè sl2(R), òîáòî [X,H] = X, [Y ,H] = −Y , [X,Y ] = 2H. (2)Öi ñïiââiäíîøåííÿ ó ñâîþ ÷åðãó åêâiâàëåíòíi äè�åðåíöiàëü-íèì ðiâíÿííÿì íà �óíêöi¨ a(x, u), b(x, u), h(x, u) −a− xax − hau + hx + ahu = 0, b− xbx − hbu + x2hx + bhu = 0, −2h− x2ax − bau + bx + abu = 0. (3) 14 Í. �.ÊîíîâåíêîÄëÿ ðiøåííÿ öi¹¨ ñèñòåìè äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ââåäåìîäîïîìiæíi �óíêöi¨ A, B, H, òàê ùîá a = A, h = H + xA, b = B + 2xH + x2A.Òîäi ñèñòåìà (3), ÿê ñèñòåìà äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ùîäîäîïîìiæíèõ �óíêöié A,B,H ìà¹ âèãëÿä: Hx +AHu −HAu = 0, B −HBu +BHu = 0, Bx +ABu −BAu = 0. (4)Âiäçíà÷èìî, ùî ó âèïàäêó, êîëè H = 0, B = 0, äîâiëüíà ãëàäêà�óíêöiÿ A çàäîâîëüíÿ¹ ñèñòåìó ðiâíÿíü (4).Ïîäàííÿ, ùî âiäïîâiäàþòü âèïàäêó, êîëè H = 0, B = 0 i A(x, u) � áóäü-ÿêà �óíêöiÿ, ìè âiäíîñèìî äî êëàñó, ÿêèé ïî-çíà÷à¹ìî ÷åðåç T .Íåõàé òåïåð H 6= 0. Ïåðåïèøåìî ïåðøå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè (4)ó âèãëÿäi:(5) ( 1 H ) x + ( A H ) u = 0.Òîäi, iñíó¹ �óíêöiÿ ϕ(x, u), òàêà ùî(6) H = 1 ϕu , A = −ϕx ϕu .ßêùî æ B = 0, òî(7) A = −ϕx ϕu , H = 1 ϕu¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (4).ßêùî æ B 6= 0, òî òðåò¹ ðiâíÿííÿ ñèñòåìè (4) ìîæíà çàïè-ñàòè ó âèãëÿäi:(8) ( 1 B ) x + ( A B ) u = 0. Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 15Îòæå, iñíó¹ �óíêöiÿ ψ(x, u), òàêà ùî(9) B = 1 ψu , A = −ψx ψu .Ó öüîìó âèïàäêó äðóãå ðiâíÿííÿ (4) ñèñòåìè íàáóäå âèãëÿäó: 1 B + ( H B ) u = 0.Òîìó, (ψ+H B ) u = 0, àáî H B +ψ = α(x). Ïiäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ(6) i (9) ó öå ðiâíÿííÿ, îäåðæó¹ìî: ψu ϕu = α(x) − ψ àáî ψu α− ψ = ϕu.Çâiäñè − ln(α− ψ) = ϕ+ β̃(x) àáî α− ψ = e−ϕ · β(x),i îñòàòî÷íî ψ = α(x) + β(x)e−ϕ.Êðiì òîãî, çi ñïiââiäíîøåíü (6) i (9), ìàòèìåìî A = −ϕx ϕu = −ψx ψu ,àáî ϕx ϕu = α′ + β′e−ϕ − βϕxe −ϕ −βϕue−ϕ .Çâiäêè α′ϕu + β′e−ϕϕu − βϕxϕue −ϕ = −βϕxϕue−ϕ,àáî (α′+β′e−ϕ)ϕu = 0. Àëå, îñêiëüêè ϕu 6= 0, òîäi α′+β′e−ϕ = 0,é îòæå, α, β = const.Îòæå, ìè ìà¹ìî òðè òèïè ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè ðiâíÿíü (3):1) a = a(x, u), b = x2a(x, u), h = xa(x, u), äå a(x, u) �äîâiëüíà, ãëàäêà �óíêöiÿ. 16 Í. �.Êîíîâåíêî2) a = −ϕx ϕu ; b = 2x−x2ϕx ϕu ; h = 1−xϕx ϕu , äå ϕ(x, u)− äî-âiëüíà, ãëàäêà �óíêöiÿ.3) a = −ϕx ϕu , b = 2xβ−x2βϕx−eϕ βϕu , h = 1−xϕx ϕu , äå ϕ(x, u) �äîâiëüíà, ãëàäêà �óíêöiÿ, à β ∈ R \ 0.Îòæå, ìè îòðèìàëè íàñòóïíèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 1. Ëîêàëüíî âñi îäíîìiðíi ïðîåêòèâíi âåëè÷èíè ðîç-ïàäàþòüñÿ íà 3 êëàñè, ùî âiäïîâiäàþòü íàñòóïíèì ïîäàííÿìàëãåáðè Ëi sl2(R):T X = ∂x − ϕx ϕu ∂u, H = x∂x − xϕx ϕu ∂u, Y = x2∂x − x2ϕx ϕu ∂u.S X = ∂x − ϕx ϕu ∂u, H = x∂x + 1−xϕx ϕu ∂u, Y = x2∂x + 2x−x2ϕx ϕu ∂u.R X = ∂x − ϕx ϕu ∂u, H = x∂x + 1−xϕx ϕu ∂u, Y = x2∂x + 2xβ − x2βϕx − eϕ βϕu ∂u,äå ϕ = ϕ(x, u) � ãëàäêà �óíêöiÿ, ϕu 6= 0, à β ∈ R \ 0 � êîí-ñòàíòà.Çàóâàæåííÿ 1. k-òåíçîðè, ÿê êîâàðiàíòíi òàê i êîíòðà-âàðiàíòíi, âiäïîâiäàþòü ïðîåêòèâíèì âåëè÷èíàì êëàñó (S)êîëè ϕ = − 1 k ln \|u\|, äëÿ êîâàðiàíòíèõ k-òåíçîðiâ, i ϕ = 1 k ln \|u\|,äëÿ êîíòðàâàðiàíòíèõ k-òåíçîðiâ.Çàóâàæåííÿ 2. Ïðîåêòèâíi âåëè÷èíè êëàñó (T ) âiäïîâiäà-þòü ïåðåðiçàì îäíîìiðíîãî ðîçøàðóâàííÿ π, â ÿêîìó çàäàíà(íåëiíiéíà) çâ'ÿçíiñòü. Ïiäíÿòòÿ äi¨ àëãåáðè Ëi sl2(R) âiäïî-âiäà¹ ãîðèçîíòàëüíîìó ëi�òó âåêòîðíèõ ïîëiâ. Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 17Òåîðåìà 1 ñïðàâåäëèâà â îáëàñòi, äå ϕ(x, u) � ãëàäêà �óíê-öiÿ é ϕu 6= 0. Äiéñíî, ÿê áóäå ïîêàçàíî íèæ÷å, öi ïîäàííÿâ áàãàòüîõ âèïàäêàõ äîïóñêàþòü ïðîäîâæåííÿ â òi òî÷êè, äå ϕu = 0, àáî ϕ, íå âèçíà÷åíà, àáî íå äè�åðåíöiéîâíà. Äåòàëüíåäîñëiäæåííÿ íîðìàëüíèõ �îðì sl2-ïîäàíü áóäå äàíå â ï. 4.ßêùî æ ϕu 6= 0, òî ïîøàðîâå âiäîáðàæåííÿ (x, u) 7→ (x, ϕ(x, u))¹ ëîêàëüíèì äè�åîìîð�içìîì i ïåðåâîäèòü çàçíà÷åíi ïîäàííÿ T , R i S â òi æ ïîäàííÿ, ùî âiäïîâiäàþòü �óíêöi¨ ϕ = u , àáîáóäü-ÿêié �óíêöi¨ ϕ = f(u), äå f ′ 6= 0.ßêùî âçÿòè ϕ = ln \|u\|, ìè îäåðæèìî íàñòóïíi ðåàëiçàöi¨, ÿêiìè ïîçíà÷èìî ÷åðåç T◦, S◦, R◦: T◦ X = ∂x, Y = x2∂x, H = x∂x, S◦ X = ∂x, Y = x2∂x + 2ux∂u, H = x∂x + u∂u, R◦ X = ∂x, Y = x2∂x + (2ux− αx2)∂u, H = x∂x + u∂u,äå α = β−1.Âiäçíà÷èìî òàê ñàìî, ùî ïîäàííÿ T◦, S◦, R◦ ñóòü ïîäàííÿàëãåáðè Ëi sl2(R) íà ïëîùèíi çíàéäåíi Ñ. Ëi [11℄.Âiäïîâiäíi äi¨ sl2-äi¨ iíòåãðóþòüñÿ é ìè ïðèõîäèìî äî íàñòóï-íèõ ìîäåëüíèõ äié ãðóïè Ëi SL2(R): T◦ λA : (x, u) 7−→ ( a11x+ a12 a21x+ a22 , u ) , S◦ λA : (x, u) 7−→ ( a11x+ a12 a21x+ a22 , u a21x+ a22 ) , R◦ λA : (x, u) 7−→ ( a11x+ a12 a21x+ a22 , 1 a21x+ a22 · u a21(x− αu) + a22 ) , 18 Í. �.Êîíîâåíêîäå A = ‖aij‖ ∈ SL2(R).3. Äè�åðåíöiàëüíi iíâàðiàíòè ïðîåêòèâíèõãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èíÓ öüîìó ðîçäiëi ìè çíàõîäèìî àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ ií-âàðiàíòiâ äëÿ îäíîìiðíèõ ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí.Êëàñè�iêàöiéíà Òåîðåìà 1 äîçâîëÿ¹ çðîáèòè öåé îïèñ êîíñò-ðóêòèâíèì.Íà ïî÷àòêó íàãàäà¹ìî [1℄, [9℄, [15℄, ùî �óíêöiÿ f ∈ C∞(Jkπ),çàäàíà â ïðîñòîði k-äæåòiâ ðîçøàðóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè-÷èí π : R2 → R, íàçèâà¹òüñÿ äè�åðåíöiàëüíèì iíâàðiàíòîìïîðÿäêó ≤ k äëÿ çàäàíî¨ äi¨ àëãåáðè sl2(R), ÿêùî X (k) (f) = Y (k) (f) = H (k) (f) = 0,äå X(k) , Y (k) ,H (k) � k-å ïðîäîâæåííÿ âåêòîðíèõ ïîëiâ X, Y , H.Çàóâàæèìî, ùî ïðè k = 0, �óíêöiÿ ϕ ¹ äè�åðåíöiàëüíèì ií-âàðiàíòîì äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (T ), à òîìó ëîêàëü-íî áóäü-ÿêèé iíâàðiàíò íóëüîâîãî ïîðÿäêó ìà¹ âèãëÿä F (ϕ), äå F - ãëàäêà �óíêöiÿ. Íåâàæêî òàêîæ áà÷èòè, ùî äëÿ ãåîìåò-ðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (S) é (R) äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâíóëüîâîãî ïîðÿäêó íåìà¹.3.1. Iíâàðiàíòè ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èíêëàñó (T ). ßê ìè âæå áà÷èëè �óíêöiÿ ϕ, ùî âõîäèòü â îïèñïîäàíü àëãåáðè Ëi sl2(R), äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (T )¹ äè�åðåíöiàëüíèì iíâàðiàíòîì. Ç iíøî¨ ñòîðîíè áåçïîñåðåäíiîá÷èñëåííÿ ïîêàçóþòü, ùî ðîçìiðíiñòü sl2(R)-îðáiò ó ïðîñòîði 2-äæåòiâ J2(π) äîðiâíþ¹ 3. À îñêiëüêè dimJ2(π) = 4, òî äè-�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ ïîðÿäêó ≤ 2, çà âèíÿòêîì �óíêöi¨ ϕ, íåìà¹. Äëÿ òîãî, ùîá çíàéòè iíâàðiàíòè òðåòüîãî ïîðÿäêóíàãàäà¹ìî, ùî òî÷êîâå ïåðåòâîðåííÿ (x, u) → (x, ϕ(x, u)) ïå-ðåâîäèòü ñòàíäàðòíó ðåàëiçàöiþ àëãåáðè sl2(R), ùî âiäïîâiäà¹ Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 19 ϕ = u â ïîäàííi sl2(R) òèïó (T ), ùî âiäïîâiäà¹ �óíêöi¨ ϕ(x, u).Äëÿ ñòàíäàðòíî¨ ðåàëiçàöi¨ ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî äîäàòêîâèé ií-âàðiàíò òðåòüîãî ïîðÿäêó äà¹òüñÿ ïîõiäíîþ Øâàðöà îáåðíåíî¨�óíêöi¨: 2u1u3 − 3u2 2 2u4 1 .Òîìó, ÿê ëåãêî ïåðåâiðèòè, ó âèïàäêó äîâiëüíî¨ �óíêöi¨ ϕ(x, u)äè�åðåíöiàëüíèì iíâàðiàíòîì ïîðÿäêó 3 ¹ �óíêöiÿ I = 2dϕdx d3ϕ dx3 − 3(d 2ϕ dx2 )2 2(dϕdx )4 .Ç ìiðêóâàíü ðîçìiðíîñòi ñëiäó¹, ùî ïî÷èíàþ÷è ç ïîðÿäêó k = 3,ïðè ïåðåõîäi âiä k-äæåòiâ äî (k + 1)-äæåòiâ, ìè äîäà¹ìî ðiâ-íî îäèí äè�åðåíöiàëüíèé iíâàðiàíò i ðiâíî îäèí iíâàðiàíò ìèîäåðæó¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîõiäíó Òðåññå. Îòæå, ìà¹ìî íà-ñòóïíèé ðåçóëüòàò:Òåîðåìà 2. Àëãåáðà äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ äëÿ ãåî-ìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (T ), ëîêàëüíî ïîðîäæåíà äè�åðåí-öiàëüíèì iíâàðiàíòîì íóëüîâîãî ïîðÿäêó I = ϕ(x, u),äè�åðåíöiàëüíèì iíâàðiàíòîì òðåòüîãî ïîðÿäêó J , à òàêîæâñiìà ïîõiäíèìè Òðåññå DkJ DIk k = 1, 2, . . . .Iíàêøå êàæó÷è, ëîêàëüíî âñÿêèé äè�åðåíöiàëüíèé iíâàðiàíòïîðÿäêó k ìà¹ âèãëÿä: F ( I, J, DJ DI , . . . , Dk−3J DIk−3 ) ,äå F � ãëàäêà �óíêöiÿ. 20 Í. �.Êîíîâåíêî3.2. Iíâàðiàíòè ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èíêëàñó (S). Íàñàìïåðåä çàóâàæèìî, ùî äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âå-ëè÷èí êëàñó (S) íåòðèâiàëüíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâïîðÿäêó ≤ 1 íåìà¹.Äëÿ çíàõîäæåííÿ äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ äðóãîãî ïî-ðÿäêó íåîáõiäíî ðîçâ'ÿçàòè ñèñòåìó ðiâíÿíü(10) X (2) (F ) = Y (2) (F ) = H (2) (F ) = 0âiäíîñíî �óíêöi¨ F ∈ C∝(J2π). Òóò X (2), Y (2), H(2) � äðó-ãi ïðîäîâæåííÿ âåêòîðíèõ ïîëiâ X , Y , H. Ñïî÷àòêó ðîçãëÿ-íåìî âèïàäîê, êîëè ϕ = u. Òîäi â ñòàíäàðòíèõ êîîðäèíàòàõ (x, u, u1, u2) íà J2(π), ìà¹ìî: X (2) = ∂x, Y (2) = x2∂x + 2x∂u − 2(xu1 − 1)∂u1 + 2(2xu2 − u1)∂u2 , H (2) = x∂x + ∂u − u1∂u1 − 2u2∂u2 .Áåçïîñåðåäíi îá÷èñëåííÿ ïîêàçóþòü, ùî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê Föi¹¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü (10) ¹ �óíêöi¹þ âiä e2u(2u2 + u2 1).Àëå, îñêiëüêè ëîêàëüíå òî÷êîâå ïîøàðîâå ïåðåòâîðåííÿ, (x, u) 7−→ (x, ϕ(x, u)),ïåðåâîäèòü öå, ìîäåëüíå, ïîäàííÿ â çàãàëüíå, ùî âiäïîâiäà¹ äî-âiëüíié �óíêöi¨ ϕ(x, u), òî ìîæíà ÷åêàòè, ùî �óíêöiÿ I = e2ϕ ( 2 d2ϕ dx2 + ( dϕ dx )2)¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (10).Áåçïîñåðåäíÿ ïåðåâiðêà ïîêàçó¹, ùî öå äiéñíî òàê. Òåïåð çòîãî, ùî ðîçìiðíîñòi sl2-îðáiò ó J2(π) äîðiâíþþòü 3, à dimJ2(π) = 4, âèïëèâà¹, ùî ëîêàëüíî áóäü-ÿêèé ðîçâ'ÿçîê (10) ¹ �óíêöi¹þâiä I. Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 21Äëÿ çíàõîäæåííÿ iíâàðiàíòiâ âèùîãî ïîðÿäêó çíàéäåìî ií-âàðiàíòíå äè�åðåíöiþâàííÿ, ñêîðèñòàâøèñü íàñòóïíîþ ëåìîþ.Ëåìà 1. Äëÿ òîãî, ùîá äè�åðåíöiþâàííÿ ∇ = λ d dx : C∞(J∞π) −→ C∞(J∞π),äå λ ∈ C∝(Jk(π)), áóëî êîìóòàòèâíèì iç ïðîäîâæåííÿì âåê-òîðíèõ ïîëiâ X, Y , H, òîáòî áóëî iíâàðiàíòíèì äè�å-ðåíöiþâàííÿì ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí, íåîáõiäíîi äîñòàòíüî, ùîá �óíêöiÿ λ çàäîâîëüíÿëà íàñòóïíié ñèñòåìiäè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü:(11) X (k) (λ) = 0, Y (k) (λ) = 2xλ, H (k) (λ) = λ.Äîâåäåííÿ.Íåõàé V âåêòîðíå ïîëå íà R2: V = A∂x +B∂ui ψ = B−Au1 éîãî ïîõiäíà �óíêöiÿ, òîäi éîãî k-å ïðîäîâæåííÿìà¹ âèãëÿä [6, 13℄: V (k) = ψ ∂ ∂u + dψ dx ∂ ∂u1 + · · · + dkψ dxk ∂ ∂uk + +A ( ∂ ∂x + u1 ∂ ∂u1 + · · · + uk+1 ∂ ∂uk ) .Ìè ðîçãëÿíåìî íåñêií÷åííå ïðîäîâæåííÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ V ,ÿê �îðìàëüíå äè�åðåíöiþâàííÿ âèãëÿäó V • = Θψ +A d dx : C∞(J∞π) −→ C∞(J∞π),äå Θψ = ψ ∂ ∂u + dψ dx ∂ ∂u1 + . . . + dkψ dxk ∂ ∂uk + . . . � åâîëþöiéíå äè�å-ðåíöiþâàííÿ [6℄.Òîäi V •(F ) = V k(F ), ÿêùî F ∈ C∞(Jk).Ïðÿìå îá÷èñëåííÿ ïîêàçó¹, ùî[ λ d dx , V • ] = ( V •(λ) − λ dA dx ) d dx . 22 Í. �.ÊîíîâåíêîIíàêøå êàæó÷è, äè�åðåíöiþâàííÿ λ d dx êîìóòó¹ ç íåñêií÷åííèìïðîäîâæåííÿì V • òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè V •(λ) = λ dA dx .ßêùî âçÿòè çà âåêòîðíå ïîëå V íàøi ïîëÿ X é Y ìè îäåð-æèìî òâåðäæåííÿ ëåìè.�îçâ'ÿçóþ÷è ñèñòåìó (11) ïðè k = 0, ìè îòðèìó¹ìî, ùî ∇ = eϕ d dx¹ iíâàðiàíòíèì äè�åðåíöiþâàííÿì äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èíêëàñó (S). Ïiäðàõóíîê ðîçìiðiâ ïîêàçó¹, ùî ïî÷èíàþ÷è ç ïî-ðÿäêó k = 2 ïðè ïåðåõîäi âiä k-äæåòiâ äî (k + 1)-äæåòiâ äî-äà¹òüñÿ ðiâíî îäèí äè�åðåíöiàëüíèé iíâàðiàíò, ÿêèé ìè ìî-æåìî îäåðæàòè çà äîïîìîãîþ iíâàðiàíòíîãî äè�åðåíöiþâàííÿ,òîìó ìè ïðèõîäèìî äî íàñòóïíîãî ðåçóëüòàòó:Òåîðåìà 3. Àëãåáðà äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ äëÿ ïðîåê-òèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (S), ëîêàëüíî ïîðîäæåíàáàçèñíèì iíâàðiàíòîì äðóãîãî ïîðÿäêó I = 2ψ d2ψ dx2 − ( dψ dx )2 ,i éîãî iíâàðiàíòíèìè ïîõiäíèìè ∇k(I) k = 1, 2, . . . ,äå ψ = eϕ é ∇ = ψ d dx . Iíàêøå êàæó÷è, ëîêàëüíî äè�åðåíöiàëüíiiíâàðiàíòè ïîðÿäêó k ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (S) ìàþòüâèãëÿä: F ( I,∇I, . . . ,∇(k−2)(I) ) ,äå F - ãëàäêà �óíêöiÿ. Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 233.3. Iíâàðiàíòè ïðîåêòèâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èíêëàñó (R). Ïðÿìèé ïiäðàõóíîê ïîêàçó¹, ùî ó ãåîìåòðè÷íèõâåëè÷èí êëàñó (R) íåìà¹ íåòðèâiàëüíèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ií-âàðiàíòiâ íóëüîâîãî é ïåðøîãî ïîðÿäêó. Äëÿ ñèñòåìè äè�åðåí-öiàëüíèõ ðiâíÿíü(12) X (2) (F ) = Y (2) (F ) = H (2) (F ) = 0ìè âèêîðèñòà¹ìî àíàëîãi÷íèé ïðèéîì, ùî é ó âèïàäêó ãåîìåò-ðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (S). À ñàìå, ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó âèïà-äîê êîëè ϕ = u, òîäi X (2) = ∂x, Y (2) = x2∂x + ( 2x− eu β ) ∂u + ( 2 − 2xu1 − eu β u1 ) ∂u1− − ( 2u1 + 4xu2 + eu β u 2 1 + eu β u2 ) ∂u2 , H (2) = x∂x + ∂u − u1∂u1 − 2u2∂u2 .�îçâ'ÿçóþ÷è ñèñòåìó (12) äëÿ öüîãî âèïàäêó, çíàõîäèìî, ùîçàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ¹ �óíêöi¹þ âiä (u2 − u2 1)e 2u + 6βu1e u − 4β2 ( β − u1eu ) 3 2 .Òîìó, òàêîæ ÿê i äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (S), ìè ðî-áèìî âèñíîâîê, ùî �óíêöiÿ I = ψ d 2ψ dx2 − 2 ( Â(ϕ) )2 + 6β dψdx − 4β2 ( β − dψ dx ) 3 2 ,äå ψ = eϕ, ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (12) i âñi äè�åðåíöiàëüíi ií-âàðiàíòè 2-ãî ïîðÿäêó ñóòü �óíêöi¨ I. 24 Í. �.ÊîíîâåíêîÄëÿ çíàõîäæåííÿ iíâàðiàíòiâ âèùîãî ïîðÿäêó ìè âèêîðè-ñòà¹ìî iíâàðiàíòíå äè�åðåíöiþâàííÿ. �îçâ'ÿçóþ÷è ñèñòåìó ðiâ-íÿíü (11) äëÿ k = 1 çíàõîäèìî iíâàðiàíòíå äè�åðåíöiþâàííÿ ∇ = ψ√ β − dψ dx Â(ϕ).Îòæå, îäåðæó¹ìî íàñòóïíèé ðåçóëüòàò:Òåîðåìà 4. Àëãåáðà äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ ãåîìåòðè÷-íèõ âåëè÷èí êëàñó (R) ëîêàëüíî ïîðîäæåíà äè�åðåíöiàëüíèìiíâàðiàíòîì äðóãîãî ïîðÿäêó (I) i âñiìà iíâàðiàíòíèìè ïîõiä-íèìè ∇k(I), äå k = 1, 2, . . .. Iíøèìè ñëîâàìè, áóäü-ÿêèé äè�å-ðåíöiàëüíèé iíâàðiàíò ïîðÿäêó k ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäi F ( I,∇I, . . . ,∇(k−3)(I) ) ,äå F � ãëàäêà �óíêöiÿ.Ïðèêëàä 1. Çàñòîñîâóþ÷è îïåðàòîð ∇ äî iíâàðiàíòà I ìèçíàõîäèìî, äè�åðåíöiàëüíèé iíâàðiàíò òðåòüîãî ïîðÿäêó: ∇(I) = ψ2 d3ψ dx3( β − dψ dx )2 + 3ψ2 ( dψ dx )2 2 ( β − dψ dx )3 ,äå ψ = eϕ.4. Íîðìàëüíi �îðìè é äi¨ àëãåáðè Ëi sl2(R)Â öüîìó ðîçäiëi ìè ïðèâîäèìî ëîêàëüíó êëàñè�iêàöiþ 1-ìiðíèõ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí íàä ïðîåêòèâíîþ ïðÿìîþ. À ñà-ìå ìè êëàñè�iêó¹ìî ëîêàëüíi äi¨ àëãåáðè Ëi sl2(R) â ðîçøàðó-âàííi ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí π : R2 −→ R âiäíîñíî ïñåâäîãðóïèòî÷êîâèõ ïîøàðîâèõ ïåðåòâîðåíü, òîáòî ïåðåòâîðåíü âèäó: (x, u) 7−→ (x, F (x, u)). Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 25Âiäçíà÷èìî, ùî ëîêàëüíà êëàñè�iêàöiÿ äié àëãåáðè Ëi sl2(R)âiäíîñíî ïñåâäîãðóïè âñiõ ëîêàëüíèõ äè�åîìîð�içìiâ R2 , áóëàçíàéäåíà Ñî�óñîì Ëi [11℄, i âîíà ñêëàäà¹òüñÿ ç òðüîõ êëàñiâ T0, S0, R0.Çàóâàæèìî, ùî âåêòîðíå ïîëå X òðàíñâåðñàëüíå øàðàì ðîç-øàðóâàííÿ π, i îòæå ëîêàëüíî ìà¹ ïåðøèé iíòåãðàë h(x, u) òà-êèé, ùî hu 6= 0. Âèáðàâøè ëîêàëüíèé ïîøàðîâèé äè�åîìîð-�içì (x, u) 7−→ (x, h(x, u)),ìè ïåðåâåäåìî âåêòîðíå ïîëå X â ∂x. Ó öüîìó âèïàäêó âåêòîðíiïîëÿ Y , H íàáóäóòü âèãëÿäó (1), äå A ≡ 0.Ç ðiâíÿíü (4) ìà¹ìî, ùî Bx = Hx = 0, i �óíêöi¨ B = B(u), H = H(u)çàäîâîëüíÿþòü ñïiââiäíîøåííþ:(13) B −HBu +HuB = 0.Âiäçíà÷èìî, ùî ïðè B ≡ 0, äîâiëüíà �óíêöiÿH(u) çàäîâîëüíÿ¹ðiâíÿííþ (13).Ó öüîìó âèïàäêó X = ∂x, Y = x2∂x + 2xH∂u, H = x∂x +H∂u,à êëàñè�iêàöiÿ sl2-äié çâîäèòüñÿ äî êëàñè�iêàöi¨ âåêòîðíèõïîëiâ H(u)∂u ùîäî ëîêàëüíèõ äè�åîìîð�içìiâ u 7−→ F (u).ßê äîáðå âiäîìî, îäíîìiðíi íåíóëüîâi âåêòîðíi ïîëÿ â îêîëiòî÷êè u = 0 ëîêàëüíî åêâiâàëåíòíi (âiäíîñíî ïñåâäîãðóïè ëî-êàëüíèõ äè�åîìîð�içìiâ ïðÿìî¨) âåêòîðíèì ïîëÿì ç íàñòóï-íîãî ïåðåëiêó ∂u, λu∂u, ±uk∂u, α(u)∂u, 26 Í. �.Êîíîâåíêîãäå λ ∈ R \ 0, k ∈ N , k ≥ 2, à α(u) � ïëîñêà â íóëi �óíê-öiÿ. Òîìó, ó öüîìó âèïàäêó, â îêîëi òî÷êè (x = 0, u = 0), ìèîäåðæó¹ìî íàñòóïíi íîðìàëüíi �îðìè:1) H = x∂x,ÿêùî H = 0.2) H = x∂x + ∂u,ÿêùî H(0) 6= 0.3) H = x∂x + λu∂u,ÿêùî H(0) = 0, àëå H ′(0) = λ 6= 0.4) H = x∂x + u2k∂u,ÿêùî H(0) = . . . = H2k−1(0) = 0, àëå H(2k)(0) 6= 0.5) H = x∂x ± u2k+1∂u,ÿêùî H(0) = . . . = H2k(0) = 0, àëå H(2k+1)(0) 6= 0.6) H = x∂x + λu∂u,ÿêùî λ(u) ïëîñêà â íóëi �óíêöiÿ, òîáòî λ(i)(0) = 0, i = 0, 1, . . ..Íåõàé òåïåð B 6= 0, i H(0) 6= 0. Òîäi âåêòîðíå ïîëå H(u)∂uëîêàëüíèì äè�åîìîð�içìîì çâîäèòüñÿ äî âèãëÿäó ∂u; òîáòîìè ìîæåìî ââàæàòè H ≡ 1. Òîäi B − Bu = 0, i B = Ceu.Òðàíñëÿöi¹þ u 7→ u+const ìè ìîæåìî ïåðåâåñòè �óíêöiþ B = Ceu ó �óíêöiþ ±eu é îòæå H = x∂x + ∂u, Y = x2∂x + (±eu + 2x)∂u.Íàðåøòi, ÿêùî H(0) = 0, àëå B(0) 6= 0, òî ïîäàâøè �óíêöiþ H ó âèãëÿäi H = ψB, îäåðæó¹ìî Bψu + 1 = 0, àáî B = − 1 ψu , H = − ψ ψu .Ìè ðîçãëÿíåìî òiëüêè âèïàäîê, êîëè âåêòîðíå ïîëå H(u)∂uìà¹ íóëü êiíöåâîãî ïîðÿäêó. Ó öüîìó âèïàäêó âåêòîðíå ïîëå H(u)∂u ìîæíà çâåñòè äî íîðìàëüíî¨ �îðìè λu∂u, ÿêùîH ′(0) = λ 6= 0, àáî äî âèãëÿäó ±uk∂u, ÿêùî H(0) = . . . = H(k−1)(0) = 0, H(k)(0) 6= 0, k ≥ 0. Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 27Iíòåãðóþ÷è ðiâíÿííÿ H = − ψ ψu âiäíîñíî ψ, i ïðèïóñêàþ÷è, ùî ψ ìà¹ îäíó iç çàçíà÷åíèõ âèùå íîðìàëüíèõ �îðì, ìè îäåðæó¹-ìî: ψ(u) = Ce− R du Hi B = − 1 ψu = 1 C He− R du H .Îòæå, ãëàäêèé ðîçâ'ÿçîê B(u) iñíó¹ òiëüêè ó âèïàäêó, êîëè H(u) ìà¹ íóëü ïåðøîãî ïîðÿäêó, òîáòî H(u) = λu, λ 6= 0.Òîäi ψ(u) = Cu− 1 λ ,i B = λ C u1+ 1 λ .Îòæå, äëÿ òîãî ùîá �óíêöiÿ B(u) áóëà ãëàäêîþ â íóëi ïîêàç-íèê ñòåïåíÿ (1 + 1 λ) ïîâèíåí áóòè íàòóðàëüíèì ÷èñëîì.Íåõàé n = 1 + 1 λ ∈ N, òîäi λ = 1 n− 1 , H(u) = u n− 1 , B(u) = Cun, n = 0, 2, 3, . . .. Ìàñøòàáíi ïåðåòâîðåííÿ u 7→ tu, t 6= 0,çáåðiãàþòü âåêòîðíå ïîëå H(u)∂u, àëå ïåðåâîäÿòü ïîëå B(u)∂u = Cun∂uâ ïîëå Ctn−1un∂u. Òîìó, çàëåæíî âiä ïàðíîñòi n, âåêòîðíå ïîëå B(u)∂u ìîæå áóòè ïåðåâåäåíå â ïîëå un∂u, ÿêùî n - ïàðíå, àáîâ ïîëå ±un∂u, ÿêùî n - íåïàðíå.Iíàêøå êàæó÷è, ìè îäåðæó¹ìî íàñòóïíi íîðìàëüíi �îðìè: H = x∂x + u n− 1 ∂u, Y = x2∂x + (un + 2ux n− 1 )∂u, 28 Í. �.Êîíîâåíêîÿêùî n - ïàðíå, i H = x∂x + u n− 1 ∂u, Y = x2∂x + (±un + 2ux n− 1 )∂u,ÿêùî n � íåïàðíå, i n 6= 1.Äëÿ òîãî, ùîá âèêëþ÷èòè ç ðîçãëÿäó âèïàäêè ïëîñêèõ âåê-òîðíèõ ïîëiâ (òîáòî âèïàäêè, êîëè �óíêöiÿ H(u) � ïëîñêà âíóëi) ìè îáìåæèìîñÿ òiëüêè ãåîìåòðè÷íèìè âåëè÷èíàìè êiíöå-âîãî ïîðÿäêó, òîáòî òèìè âèïàäêàìè, êîëè �óíêöiÿ H(u) ìà¹íóëü êiíöåâîãî ïîðÿäêó. Äëÿ òàêèõ âåëè÷èí ìè îäåðæó¹ìî íà-ñòóïíèé êëàñè�iêàöiéíèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 5. Ïðîåêòèâíi ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè êiíöåâîãî ïî-ðÿäêó â îêîëi òî÷êè (0,0) ëîêàëüíî åêâiâàëåíòíi, âiäíîñíî ïñåâ-äîãðóïè ïîøàðîâèõ òî÷êîâèõ ïåðåòâîðåíü, ãåîìåòðè÷íèì âå-ëè÷èíàì, ùî âiäïîâiäàþòü ïîäàííÿì àëãåáðè Ëi sl2(R) ç íà-ñòóïíîãî ñïèñêó: T1) X = ∂x, Y = x2∂x, H = x∂x, S1) X = ∂x, Y = x2∂x + 2x∂u, H = x∂x + ∂u, S2) X = ∂x, Y = x2∂x + 2λx∂u, H = x∂x + λu∂u,äå λ 6= 0. S3) X = ∂x, Y = x2∂x + 2xu2k∂u, H = x∂x + u2k∂u,äå k ∈ N. S4) X = ∂x, Y = x2∂x ± 2xu2k+1∂u, H = x∂x ± u2k+1∂u,äå k ∈ N. S5) X = ∂x, Y = x2∂x + “ 2ux 2k−1 + u2k ” ∂u, H = x∂x + u 2k−1 ∂u,äå k ∈ N. S6) X = ∂x, Y = x2∂x + ` ux k ± u2k+1 ´ ∂u, H = x∂x + u 2k ∂u,äå k ∈ N, k > 0. R±) X = ∂x, Y = x2∂x + (2x ± eu)∂u, H = x∂x + ∂u, Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 295. Çàñòîñóâàííÿ äî äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíüÓ öüîìó ðîçäiëi ìè îáãîâîðèìî çàñòîñóâàííÿ îïèñàíèõ âèùåñòðóêòóð àëãåáð äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ äî çâè÷àéíèõ äè-�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü. Íàñàìïåðåä âiäçíà÷èìî, ùî �óíêöiÿ ϕ, ùî âõîäèòü â îïèñ sl2(R)-ïîäàíü êëàñiâ R,S, T , ¹ ïåðøèìiíòåãðàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ X. Ç iíøîãî áîêó, ñïiââiäíîøåííÿ [H,X ] = X ïîêàçó¹, ùî ðîçïîäië íà ïëîùèíi R2, ïîðîäæóâàíèéâåêòîðíèì ïîëåì X , äîïóñêà¹ ñèìåòðiþ. Äëÿ ïîäàíü êëàñiâ Ri S âåêòîðíi ïîëÿ X, H ëiíiéíî íåçàëåæíi, i òîìó iíòåãðàëè X,ìîæóòü áóòè çíàéäåíi êâàäðàòóðàìè [10℄. Òèì ñàìèì äiÿ ãðóïèËi SL2(R) äëÿ ïîäàíü êëàñiâ R i S çíàõîäèòüñÿ êâàäðàòóðàìè.Äëÿ ïîäàíü êëàñó T öå ñïðàâåäëèâî, ÿêùî âiäîìî ïåðøèé ií-òåãðàë âåêòîðíîãî ïîëÿ X .5.1. Ïðîåêòèâíi ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè êëàñó (T ). Ó öüî-ìó âèïàäêó êîæíèé äè�åðåíöiàëüíèé iíâàðiàíò F ( I, J, DJ DI , . . . , DkJ DIk )ïîðÿäêó (k + 3) âèçíà÷à¹ çâè÷àéíå äè�åðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ(14) F ( I, J, DJ DI , . . . , DkJ DIk ) = const.Àëãåáðà Ëi sl2(R), ðàçîì ç ïîäàííÿì êëàñó T , ¹ àëãåáðîþ òî÷-êîâèõ ñèìåòðié (14). Ìè áóäåìî ïðèïóñêàòè, ùî ïåðøi iíòåãðà-ëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X âiäîìi, i òîìó âiäîìà äiÿ ãðóïè SL2(R).Öå îçíà÷à¹, ùî äëÿ ðîçâ'ÿçêiâ (14) çàãàëüíîãî ïîëîæåííÿ, òîá-òî òàêèõ ðîçâ'ÿçêiâ, ÿêi íå ¹ iíâàðiàíòíèìè ùîäî íåíóëüîâèõåëåìåíòiâ àëãåáðè sl2(R), ìè ìîæåìî çà äîïîìîãîþ êâàäðàòóðâêàçàòè 3 - ïàðàìåòðè÷íå ñiìåéñòâî ðîçâ'ÿçêiâ (14). À ñàìå, sl2(R)-îðáiòó îáðàíîãî ðîçâ'ÿçêó.Ïðèïóñòèìî, ùî ðiâíÿííÿ (14), ÿê äè�åðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿâ ïîõiäíèõ Òðåññå, ìà¹ ðîçâ'ÿçîê:(15) J = F (I). 30 Í. �.ÊîíîâåíêîÖå ñïiââiäíîøåííÿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè, ÿê äè�åðåíöiàëüíå ðiâ-íÿííÿ J − F (I) = 0 ⊂ J3(π) 3-ãî ïîðÿäêó äëÿ ïðîåêòèâíèõãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó T . �îçìið ïðîñòîðó ðîçâ'ÿçêiâ òà-êîãî ðiâíÿííÿ äîðiâíþ¹ 3, i òîìó çíàííÿ îäíîãî ÷àñòèííîãî ðîç-â'ÿçêó ðàçîì ç SL2(R)-äi¹þ, äîçâîëÿ¹ çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ'ÿ-çîê ðiâíÿííÿ (15).Âèáðàâøè êîîðäèíàòè (x, u) òàêèì ÷èíîì, ùîá ϕ(x, u) = u,ìè ìîæåìî çàïèñàòè öå ðiâíÿííÿ ó âèãëÿäi:(16) S̃(y) = F (y),äå S̃(y) = y′y′′′ − 3 2y ′′2 y′4 ,òà u = y(x). Îñêiëüêè y′ 6= 0, òî, ïðèíàéìíi ëîêàëüíî, ìè ìî-æåìî ïåðåéòè äî îáåðíåíî¨ �óíêöi¨ x = x(y).Íåâàæêî ïåðåâiðèòè, ùî S̃(y) = −S(x),äå S(x) = x′x′′′− 3 2 x′′2 x′2 � ïîõiäíà Øâàðöà, òîìó ðiâíÿííÿ (16) äëÿîáåðíåíî¨ �óíêöi¨ x = x(y) ìà¹ âèãëÿä(17) S(x) = −F (y).Ç iíøîãî áîêó, òåîðåìà Øâàðöà [8℄ ñòâåðäæó¹, ùî çàãàëüíèéðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (17) ìà¹ âèãëÿä x(y) = z1(y) z2(y) ,äå z1(y) é z2(y) - ëiíiéíî íåçàëåæíi ðîçâ'ÿçêè ëiíiéíîãî ðiâíÿí-íÿ Øðüîäiíãåðà: z′′ = 1 2 F (y)z.Òàêèì ÷èíîì, iíòåãðóâàííÿ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü âèäó (15)åêâiâàëåíòíî iíòåãðóâàííþ ëiíiéíèõ ðiâíÿíü Øðüîäiíãåðà ç ïî-òåíöiàëîì −1 2F . Çîêðåìà, ÿêùî ïîòåíöiàë iíòåãðó¹ìî (ó çìiñòi[6℄), òî iíòåãðóâàííÿ (15) ìîæå áóòè çâåäåíå äî êâàäðàòóð. Öå Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 31íàïðèêëàä òàê, êîëè ïîòåíöiàë ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñòàöiîíàðíîãî ðiâ-íÿííÿ Êîðòâåãà-äå Âðiçà, àáî éîãî âèùèõ àíàëîãiâ [12℄.Òâåðäæåííÿ 1. Ïðèïóñòèìî, ùî äè�åðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ(14), äëÿ ïðîåêòèâíèõ âåëè÷èí êëàñó T , ÿê äè�åðåíöiàëüíå ðiâ-íÿííÿ â ïîõiäíèõ Òðåññå, ¹ ñòàöiîíàðíèì ðiâíÿííÿì Êîðòâåãà-äå Âðiçà, àáî éîãî âèùèì àíàëîãîì. Òîäi ðiâíÿííÿ (14), ÿê ðiâ-íÿííÿ íà ïðîåêòèâíi ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè, iíòåãðó¹òüñÿ óêâàäðàòóðàõ.Ïðèêëàä 2. Äè�åðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ 6-îãî ïîðÿäêó u3 1(u1u6 − 15u2u5) + u2 1(99u 2 2 − 16u1u3)u4+ +u1u2u3(96u1u3 − 390u2 2) + 234u5 2 = 0äîïóñêà¹ sl2(R)-àëãåáðó ñèìåòðié êëàñó T i ϕ = u. ßêùî çàïè-ñàòè éîãî â äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòàõ, òî âîíî çâîäèòüñÿäî ðiâíÿííÿ Êîðòâåãà-äå Âðiçà: D3J DI3 + 6J DJ DI = 0i òîìó iíòåãðó¹òüñÿ ó êâàäðàòóðàõ.5.2. Ïðîåêòèâíi ãåîìåòðè÷íi âåëè÷èíè êëàñiâ(R) è (S).Äëÿ ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñiâ (R) i (S) êîæíèé äè�åðåí-öiàëüíèé iíâàðiàíò F (J,∇J, . . . ,∇kJ)âèçíà÷à¹ äè�åðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ ïîðÿäêó (k + 2)(18) F (J,∇J, . . . ,∇kJ) = const,ÿêå äîïóñêà¹ àëãåáðó Ëi sl2(R), ÿê àëãåáðó òî÷êîâèõ ñèìåòðié.Çàóâàæèìî, ùî ó âèïàäêó ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñiâ (R)i (S) äiÿ àëãåáðè Ëi sl2(R) iíòåãðó¹òüñÿ ó êâàäðàòóðàõ, i òèìñàìèì äiÿ ãðóïè Ëi SL2(R) ìîæå áóòè çíàéäåíà ó êâàäðàòóðàõ.Òîìó, äè�åðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ 3-ãî ïîðÿäêó(19) F (J,∇J) = C 32 Í. �.Êîíîâåíêîìîæóòü áóòè ïðîiíòåãðîâàíi ó êâàäðàòóðàõ, ÿêùî âiäîìi ÷à-ñòèííi ðîçâ'ÿçêè (19).Òàêi ðîçâ'ÿçêè ìîæíà çíàéòè òàêèì ñïîñîáîì.Äè�åðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ 2-îãî ïîðÿäêó(20) J = C1äîïóñêàþòü 3-ìiðíó àëãåáðó ñèìåòðié sl2(R), i òîìó áóäü-ÿêà2-ìiðíà ðîçâ'ÿçíà ïiäàëãåáðà (ñêàæåìî, ïiäàëãåáðà, ùî ïîðîä-æåíà X i H) äîçâîëÿ¹ ïðîiíòåãðóâàòè (20) ó êâàäðàòóðàõ [10℄.Òîìó, ìè ìîæåìî øóêàòè ÷àñòèííi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (19)ñåðåä ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿíü (20), çà óìîâè, ùî ïîñòiéíi C i C1çâ'ÿçàíi ñïiââiäíîøåííÿì: F (C1, 0) = C.Ìåòîä iíòåãðóâàííÿ çàãàëüíèõ ðiâíÿíü (18) ïîëÿãà¹ â çíàõîä-æåííi çàãàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó (18), ðîçãëÿíóòîãî ÿê ðiâíÿííÿ ùî-äî iíâàðiàíòíîãî äè�åðåíöiþâàííÿ ∇, ó âèãëÿäi (20).Äëÿ öüîãî ââåäåìî ïðîåêòèâíèé ïàðàìåòð s, ùî íàçâåìî ïðî-åêòèâíèì ïàðàìåòðîì, òàê, ùîá ∇ = d ds . Òîäi ðiâíÿííÿ (18)ìîæíà �îðìàëüíî çàïèñàòè ó âèãëÿäi:(21) F ( J, dJ ds , . . . , dkJ dsk ) = C.Ïðèïóñòèìî, ùî J = f(s) ¹ ðîçâ'ÿçêîì (21), òîäi, äè�åðåíöiþ-þ÷è, îäåðæó¹ìî J = f(s), ∇J = f ′(s),i âèêëþ÷àþ÷è s, ïðèõîäèìî äî ðiâíÿííÿ âèäó (20), ùî âæå ií-òåãðó¹òüñÿ ó êâàäðàòóðàõ.Ïðèêëàä 3. Êëàñè÷íi ðiâíÿííÿ ×àçi (Chazy) (äèâ. íàïðè-êëàä [7℄) ìàþòü âèãëÿä (19) äëÿ âèïàäêó ïðîåêòèâíèõ ãåîìåò-ðè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó (R), ïðè âiäïîâiäíîìó âèáîði �óíêöi¨ ϕ Àëãåáðè äè�åðåíöiàëüíèõ iíâàðiàíòiâ 33é ïàðàìåòðà β. Òîìó ðiâíÿííÿ âèäó (19) ÿê äëÿ ãåîìåòðè÷-íèõ âåëè÷èí êëàñó (R) òàê i äëÿ âåëè÷èí êëàñó (T ) ìè íàçè-âà¹ìî óçàãàëüíåíèìè ðiâíÿííÿìè ×àçi. ßê áóëî ïîêàçàíî âè-ùå öi ðiâíÿííÿ iíòåãðóþòüñÿ ó êâàäðàòóðàõ, ÿêùî ðiâíÿííÿ F (C1, 0) = C ìàþòü ðîçâ'ÿçêè âiäíîñíî ïîñòiéíî¨ C1.Ëiòåðàòóðà[1℄ Ä. Â. Àëåêñååâñêèé, À. Ì. Âèíîãðàäîâ, Â. Â. Ëû÷àãèí. Îñíîâíûåèäåè è ïîíÿòèÿ äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Ñîâðåìåííûå ïðî-áëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. // �åîìåòðèÿ-1,Ò.28. � Ìîñêâà, � 1988.[2℄ Î. Âåáëåí, Äæ. Óàéòõåä. Îñíîâàíèÿ äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè// Ì., ÈL , � 1949.[3℄ Ô. Êëåéí. Ñðàâíèòåëüíîå îáîçðåíèå íîâåéøèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ èñ-ñëåäîâàíèé // Â êí.: Îá îñíîâàíèÿõ ãåîìåòðèè, Pp.399�434.[4℄ Í. �. Êîíîâåíêî. Àëãåáðû äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ íà ïðî-åêòèâíîé ïðÿìîé// �åîìåòðèÿ â Àñòðàõàíè - 2007, Òåçèñû äîêëàäîâII Ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà �Ñèììåòðèè: òåîðåòè÷åñêèé è ìåòî-äè÷åñêèé àñïåêòû�, Èçä. äîì �Àñòðàõàíñêèé óíèâåðñèòåò�, � 2007,Pp.33�35.[5℄ Í. �. Êîíîâåíêî. Àëãåáðû äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ãåîìåò-ðè÷åñêèõ âåëè÷èí íà à��èííîé ïðÿìîé // â ïå÷àòè.[6℄ È. Ñ. Êðàñèëüùèê, Â. Â. Ëû÷àãèí, À. Â. Âèíîãðàäîâ. Ââåäåíèå âãåîìåòðèþ íåëèíåéíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Ìîñêâà,"Íàóêà", � 1986.[7℄ P. A. Clarkson, P. J. Olver. Symmetry and Chazy equation. // Journalof Di�. equations, vol. 124 � 1996, Pp. 225-246.[8℄ E. Hill. Ordinary Di�erential Equations in Complex Domain //, JonhWilley, N.Y. � 1976.[9℄ A. Kumpera. Invariants di�erentiels d'un pseudogroupe de Lie. I-II. //J. Di�erential Geometry 10 (1975), no. 2, 289�345; 10 (1975), no. 3,Pp.347�416.[10℄ A. Kushner, V. Ly hagin, V. Roubtsov. Conta t geometry and non-lineardi�erential equations // Cambridge University Press � 2007.[11℄ S. Lie. Klassi�kation und Integration von gew�ohnli hen x, y, die eineGruppe von Transformationen gestatten I,II // Math. Ann. 32 (1888)Pp.213-281.[12℄ V. V. Ly hagin, O. V. Ly hagina. Finite dimensional dynami s forevolutionary equations // Nonlinear Dynami s (2007) 48 Pp.29-48. 34 Í. �.Êîíîâåíêî[13℄ P. Olver. Appli ations of Lie groups to di�erential equations // GraduateTexts in Mathemati s, 107, Springer-Verlag, New York � 1986.[14℄ L. V. Ovsiannikov. Group analysis of di�erential equations // Russian:Nauka, Mos ow � 1978; Engl. transl.: A ademi Press, New York �1982.[15℄ A. Tresse. Sur les invariants di�erentiels des groupes ontinus de trans-formations// A ta Math. 18 � 1894, 1�88.

Алгебри диференціальних інваріантів геометричних величин на проективній площині

Репозитарії

Схожі ресурси