О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств
Отримані певні теореми про геодезичні відображення “у цілому” деяких компактних та некомпактних ріманових просторів.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6301 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств / Е.Н. Синюкова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 195-206. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6301 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63012010-02-24T12:00:45Z О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств Синюкова, Е.Н. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Отримані певні теореми про геодезичні відображення “у цілому” деяких компактних та некомпактних ріманових просторів. Получено ряд теорем о геодезических отображениях “в целом” некоторых компактных и некомпактных римановых пространств. Some theorems of geodesic mappings in a whole of certain compact and non-compact Riemannian spaces are obtained. 2009 Article О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств / Е.Н. Синюкова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 195-206. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6301 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Синюкова, Е.Н. О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| description |
Отримані певні теореми про геодезичні відображення “у цілому” деяких компактних та некомпактних ріманових просторів. |
| format |
Article |
| author |
Синюкова, Е.Н. |
| author_facet |
Синюкова, Е.Н. |
| author_sort |
Синюкова, Е.Н. |
| title |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| title_short |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| title_full |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| title_fullStr |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| title_full_unstemmed |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| title_sort |
о геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6301 |
| citation_txt |
О геодезической однозначной определенности в целом некоторых специальных классов римановых пространств / Е.Н. Синюкова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 195-206. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT sinûkovaen ogeodezičeskojodnoznačnojopredelennostivcelomnekotoryhspecialʹnyhklassovrimanovyhprostranstv |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:15Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:15Z |
| _version_ |
1836525977075712000 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 195-206Å.Í.ÑèíþêîâàÞæíîóêðàèíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåòèìåíè Ê. Ä. Óøèíñêîãî, ÎäåññàE-mail: Marbel�ukr.netÎ ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîéîïðåäåëåííîñòè â öåëîì íåêîòîðûõñïåöèàëüíûõ êëàññîâ ðèìàíîâûõïðîñòðàíñòâÎòðèìàíi ïåâíi òåîðåìè ïðî ãåîäåçè÷íi âiäîáðàæåííÿ �ó öiëîìó� äåÿ-êèõ êîìïàêòíèõ òà íåêîìïàêòíèõ ðiìàíîâèõ ïðîñòîðiâ.Ïîëó÷åíî ðÿä òåîðåì î ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèÿõ �â öåëîì� íåêî-òîðûõ êîìïàêòíûõ è íåêîìïàêòíûõ ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
Some theorems of geodesic mappings in a whole of certain compact and
non-compact Riemannian spaces are obtained.Êëþ÷åâûå ñëîâà: riemannian spa
e, a geodesi
mappingÏîä Cr-ìíîãîîáðàçèåì Mn (n ∈ N , r > 1) áóäåì ïîíè-ìàòü õàóñäîð�îâî òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñ÷åòíîé áà-çîé, ó êàæäîé òî÷êè êîòîðîãî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, ãîìåî-ìîð�íàÿ íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà Rn, ëþáûå äâå òà-êèå îêðåñòíîñòè Cr-ñîãëàñîâàíû ìåæäó ñîáîé. Íà ïîäîáíîììíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò ðèìàíîâà Cr−1-ìåòðèêà (çàäàâàåìàÿáåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñïîñîáîâ, íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííàÿ), ïðåâðàùàþùàÿ åãî â ðèìàíîâî Cr-ïðîñòðàíñò-âî V n [2℄.Ïóñòü J � íåïóñòîé èíòåðâàë, îòðåçîê èëè ïîëóèíòåðâàëïðÿìîé R1. Äè��åðåíöèðóåìûì ïóòåì (ïàðàìåòðèçîâàíîéêðèâîé) êëàññà Ck â Cr-ìíîãîîáðàçèè Mn (1 ≤ k ≤ r) íàçû-âàþò Ck-îòîáðàæåíèå l : J → Mn. Ck-ïóòè l1 : J1 → Mn è
l2 : J2 → Mn ñ÷èòàþò Ck-åêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò
© Å.Í.Ñèíþêîâà, 2009
196 Å.Í.Ñèíþêîâàòàêîé Ck-äè��åîìîð�èçì γ : J1 → J2, ÷òî l1 = l2 ◦ γ íà J1.Êëàññ Ck-ýêâèâàëåíòíûõ Ck-ïóòåé íàçûâàþò Ck-êðèâîé âMn,êàæäûé ïóòü ýòîãî êëàññà � ïàðàìåòðèçàöèåé äàííîé êðèâîé.
Ck-êðèâàÿ L îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ëþáûì ñâîèì ïóòåì l. Âêàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Ck-ïóòü l çàäàåòñÿ óðàâ-íåíèÿìè:
xh = xh(t), t ∈ J, xh(t) ∈ Ck.Òî÷êà M(t) íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé òî÷êîé C2-êðèâîé Lðèìàíîâà Cr-ïðîñòðàíñòâà V n, (r ≥ 2), åñëè êàñàòåëüíûé ê Lâåêòîð
ηh(t) =
dxh
dtóäîâëåòâîðÿåò â ýòîé òî÷êå óñëîâèþ(1) ηh, αη
α ≡ dηh
dt
+ �hαβηαηβ = ρηh,ãäå èíâàðèàíò ρ çàâèñèò òîëüêî îò t. Åñëè C2-êðèâàÿ L ðèìàíî-âà Cr-ïðîñòðàíñòâà V n, (r ≥ 2) ñîñòîèò ëèøü èç ãåîäåçè÷åñêèõòî÷åê, òî îíà íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé ýòîãî ïðîñòðàí-ñòâà.Ñîîòíîøåíèÿ (1) ãîâîðÿò î òîì, ÷òî êðèâàÿ L ÿâëÿåòñÿ ãåî-äåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàñàòåëüíûé âåêòîð êíåé êîëëèíåàðåí âäîëü íåå.  ëþáîì ðèìàíîâîì ïðîñòðàíñòâå
V n êëàññà Cr (r > 1) ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó M0 â êàæäîì íà-ïðàâëåíèè ηh0 ìîæíî ïðîâåñòè ãåîäåçè÷åñêóþ ëèíèþ è ïðèòîìòîëüêî îäíó (ñì., íàïðèìåð, [3℄).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåæäó ðèìàíîâûìè Cr-ïðîñòðàíñòâàìè
V n è V n (n ≥ 1, r > 1) óñòàíîâëåí Cr-äè��åîìîð�èçì. Åñëèïðè ýòîì âñå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ïðîñòðàíñòâà V n ïåðåõîäÿòâ ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ïðîñòðàíñòâà V n, òî ãîâîðÿò, ÷òî äàí-íûé Cr- äè��åîìîð�èçì ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêèì îòîáðàæå-íèåì (ãëîáàëüíî, â öåëîì) ðèìàíîâà ïðîñòðàíñòâà V n íà ðèìà-íîâî ïðîñòðàíñòâî V n.×àùå, îäíàêî, ðàññìàòðèâàþò ëîêàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèåîòîáðàæåíèÿ ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f ,
Î ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè â öåëîì 197îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè M0 ðèìàíîâà
Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n ≥ 1, r > 1) Cr-äè��åîìîð�íî ïåðå-âîäèò ýòó îêðåñòíîñòü â îêðåñòíîñòü U íåêîòîðîãî Cr-ïðîñò-ðàíñòâà V n òàê, ÷òî ïðè ýòîì âñå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ñî-äåðæàùèåñÿ â îêðåñòíîñòè U , ïåðåõîäÿò â ãåîäåçè÷åñêèå ëè-íèè îêðåñòíîñòè U . Òîãäà f åñòü îòîáðàæåíèå, ãåîäåçè÷åñêîå âîêðåñòíîñòè òî÷êè M0. Åñëè òàêèå îòîáðàæåíèÿ ìîæíî îïðå-äåëèòü äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà
V n, òî ãîâîðÿò, ÷òî V n ëîêàëüíî äîïóñêàåò ãåîäåçè÷åñêèå îòîá-ðàæåíèÿ.Î÷åâèäíî, âñÿêîå ãåîäåçè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà
V n íà ïðîñòðàíñòâî V n ÿâëÿåòñÿ è ëîêàëüíûì ãåîäåçè÷åñêèìîòîáðàæåíèåì. Áîëåå òîãî, èç îïðåäåëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîãî îòîá-ðàæåíèÿ òîò÷àñ æå âûòåêàåò, ÷òî Cr-äè��åîìîð�èçì ìåæäóðèìàíîâûìè Cr-ïðîñòðàíñòâàìè V n è V n, ÿâëÿþùèéñÿ ëîêàëü-íûì ãåîäåçè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì, áóäåò è ãåîäåçè÷åñêèì îòîá-ðàæåíèåì V n íà V n â öåëîì. Ñóùåñòâóþò, îäíàêî, øèðîêèåêëàññû ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ëîêàëüíî äîïóñêàþùèõ íåòðè-âèàëüíûå (îòëè÷íûå îò à��èííûõ) ãåîäåçè÷åñêèå îòîáðàæå-íèÿ, íî íå äîïóñêàþùèå òàêèõ îòîáðàæåíèé â öåëîì [4℄.Ïóñòü êîîðäèíàòíàÿ îêðåñòíîñòü U Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n >
1, r > 1) Cr-äè��åîìîð�íà íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíî-ñòè U Cr-ïðîñòðàíñòâà V n. Äîêàçàíî (ñì., íàïðèìåð, [6℄), ÷òîýòîò Cr-äè��åîìîð�èçì òîãäà è òîëüêî òîãäà áóäåò ãåîäåçè-÷åñêèì îòîáðàæåíèåì U íà U , êîãäà â îáùåé ïî îòîáðàæåíèþñèñòåìå êîîðäèíàò âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:(2) gij,k = 2ψkgij + ψigkj + ψjgki.Çäåñü gij � ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðîñòðàíñòâà V n, ψi � íåêîòî-ðûé êîâåêòîð, êîâàðèàíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèò-ñÿ â ïðîñòðàíñòâå V n. �àâåíñòâî (2) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîâûáîðà ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííûìè âûøå îïðåäåëåíèÿìè, ñî-îòíîøåíèå (2), î÷åâèäíî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ èçó÷åíèÿ
198 Å.Í.Ñèíþêîâàãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ â öåëîì:äëÿ òîãî, ÷òîáû Cr-äè��åîìîð�èçì ìåæäó Cr-ïðîñòðàíñòâà-ìè V n è V n (n ≥ 2, r > 1) áûë ãåîäåçè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì
V n íà V n íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â îêðåñòíîñòè êàæ-äîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà V n â îáùåé ïî îòîáðàæåíèþ ñèñòåìåêîîðäèíàò âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ (2).Ôèãóðèðóþùèé â (2) êîâåêòîð ψi îïðåäåëÿåò ðàññìàòðèâàå-ìîå ãåîäåçè÷åñêîå îòîáðàæåíèå. Òàê êàê â êàæäîì ðèìàíîâîìïðîñòðàíñòâå V n �αiα =
1
2
∂i ln |g|,ãäå g = det ||gij ||(6= 0), òî(3) ψi =
1
2(n+ 1)
∂i ln
∣∣∣∣
g
g
∣∣∣∣ ,ãäå g = det ||gij||(6= 0). Â ñèëó òîãî, ÷òî g
g ïðè ïðåîáðàçîâàíèèêîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíâàðèàíò, êîâåêòîð ãðàäèåíòåí: ψi = ∂iψ. Ïðè ψi ≡ 0 ãåîäåçè÷åñêîå îòîáðàæåíèå âûðîæäàåò-ñÿ â à��èííîå è, êàê óæå ãîâîðèëîñü, ñ÷èòàåòñÿ òðèâèàëüíûì,ïðè ψi íå ñîâïàäàþùåì òîæäåñòâåííî ñ íóëåì � íåòðèâèàëü-íûì.Åñëè ïðîñòðàíñòâî V n íå äîïóñêàåò (ëîêàëüíî èëè ãëîáàëü-íî) íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, òî ãîâîðÿò, ÷òîîíî (ëîêàëüíî èëè ãëîáàëüíî) ãåîäåçè÷åñêè îäíîçíà÷íî îïðåäå-ëåíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî îáúåêò à��èííîé ñâÿçíîñòè åäèí-ñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ åãî ãåîäåçè÷å-ñêèõ ëèíèé.
Cr-äè��åîìîð�íûå ðèìàíîâû Cr-ïðîñòðàíñòâà V n è V n,êàê è Cr-äè��åîìîð�íûå îêðåñòíîñòè ýòèõ ïðîñòðàíñòâ, âñå-ãäà ìîæíî îòíåñòè ê îáùåìó ïî ðàññìàòðèâàåìîìó äè��åî-ìîð�èçìó àòëàñó, òî åñòü, �àêòè÷åñêè, ñ÷èòàòü, ÷òî ìåòðè-÷åñêèå òåíçîðû gij è gij îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå Cr-ìíîãîîáðàçèè Mn (íåêîòîðîé åãî îêðåñòíîñòè). Ïîýòîìó âî-ïðîñ î òîì, äîïóñêàåò ëè äàííîå V n ëîêàëüíî èëè ãëîáàëüíî
Î ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè â öåëîì 199íåòðèâèàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ, ñâîäèòñÿ ê âîïðî-ñó ñóùåñòâîâàíèÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè V nèëè íà âñåì V n ñèììåòðè÷íîãî íåîñîáåííîãî Cr−1-òåíçîðà gij è
Cr−2-êîâåêòîðà ψi(6= 0), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì (2), (3).Ñëåäîâàòåëüíî, â çàäàííîì ðèìàíîâîì ïðîñòðàíñòâå V n (2) è(3) îáðàçóþò îñíîâíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òåîðèè ãåîäåçè÷å-ñêèõ îòîáðàæåíèé (â �îðìå Ëåâè-×èâèòû). Ýòî ñèñòåìà íåëè-íåéíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â êîâàðèàíòíûõ ïðîèç-âîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò òåíçîðà gij,íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñèñòåìîé òèïà Êîøè.  îáùåì ñëó÷àå òàêèå ñè-ñòåìû íå äîïóñêàþò ý��åêòèâíîãî èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðíûìèìåòîäàìè íà ïðåäìåò ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè èõ ðå-øåíèé.Ïîëîæèâ(4) aij = e2ψgαβgαigβj ,(5) λi = −e2ψψαgαβgβi,(6) µ = e2ψ[(n+ 1)ψαψβ − ψα, β]g
αβ,Í.Ñ. Ñèíþêîâ ïåðåøåë [3℄ ê ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå äè��åðåí-öèàëüíûõ óðàâíåíèé, äîïóñêàþùåé ðåãóëÿðíûå ìåòîäû èññëå-äîâàíèÿ. Òî÷íåå, èì áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ðè-ìàíîâî Cr-ïðîñòðàíñòâî V n (n ≥ 2, r > 3) äîïóñêàëî íåòðèâè-àëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû ñèñòåìà äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(7) aij, k = λ(igj)k,(8) nλi, k = µgik + aαiR
α
. k − aαβR
α
ik
β
. ,(9) (n− 1)µ, k = 2(n− 1)λαR
α
. k + aαβ
(
2Rα. k ,
β
. −Rαβ.., k
)
,èìåëà â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ñèììåòðè÷-íîãî íåîñîáåííîãî äâàæäû êîâàðèàíòíîãî Cr−1-òåíçîðà aij , êî-âàðèàíòíîãî Cr−2-âåêòîðà λi(6= 0) è Cr−3-èíâàðèàíòà µ.
200 Å.Í.ÑèíþêîâàÑèñòåìà (7)�(9) ïåðâîãî ïîðÿäêà, òèïà Êîøè, ëèíåéíàÿ, ñ îä-íîçíà÷íî îïðåäåëåííûìè ïðîñòðàíñòâîì V n êîý��èöèåíòàìè.Êîâåêòîð λi, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèÿì ñèñòåìû (7)�(9),ãðàäèåíòåí:(10) λi = ∂iλ,ãäå, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé, λ = 1
2a
γ
.γ
µ ≡ λα.,α ≡ gij
(
∂2λ
∂xi∂xj
− λα�αij) .Ïî èçâåñòíîìó ðåøåíèþ ñèñòåìû (7)�(9) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð
gij ïðîñòðàíñòâà V n, íà êîòîðîå â ñèëó íàëè÷èÿ ýòîãî ðåøå-íèÿ, ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî V n äîïóñêàåò íåòðèâèàëü-íîå ãåîäåçè÷åñêîå îòîáðàæåíèå, íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèé, îá-ðàòíûõ ê (4)�(6). Èìåííî, èç (4) è (5) âûòåêàåò, ÷òî(11) ψi = −λαaαβgβi =
1
2
∂i ln
∣∣∣∣
g̃
g
∣∣∣∣ ,ãäå aαβ � ýëåìåíòû ìàòðèöû, îáðàòíîé ê ||aij ||, g̃ = det ||aij.. ||.Çíà÷èò, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé
ψ =
1
2
ln
∣∣∣∣
g̃
g
∣∣∣∣è â ñèëó (4),(12) gij = e2ψaαβgαigβj .Ñîîòíîøåíèÿ ïåðåõîäà (4)�(6) è (11)�(12) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñè-ñòåìà (7)�(9), ïîäîáíî ñèñòåìå îñíîâíûõ óðàâíåíèé â �îðìåËåâè-×èâèòû, õàðàêòåðèçóåò êàê ëîêàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèåîòîáðàæåíèÿ, òàê è ãåîäåçè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ â öåëîì. Åå ðå-øåíèÿ íîñÿò òîãäà ñîîòâåòñòâåííî ëîêàëüíûé èëè ãëîáàëüíûéõàðàêòåð.Ïðèìåíåíèå èçâåñòíîé òåîðåìû �ðèíà [2,5℄ ïîçâîëÿåò äîêà-çàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà
Î ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè â öåëîì 201Òåîðåìà 1. �åîäåçè÷åñêîå îòîáðàæåíèå â öåëîì êîìïàêòíî-ãî, îðèåíòèðóåìîãî, ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìåòðèêîéðèìàíîâà Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n > 1, r > 2) íà ðèìàíîâî
Cr-ïðîñòðàíñòâî V n òðèâèàëüíî, åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåí-ñòâî(13) ∫
V n
e4ψgαβgγσTαγσβdv ≥ 0,ãäå(14) Tαγσβ = gγβRασ −Rαγσβ .Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ðåøåíèÿ aij, λi(6= 0), µ ñèñòåìû (7)�(9), îòâå÷àþùåãî îïðåäåëåííîìó íåêîòîðûì êîâåêòîðîì ψi(6=
0) íåòðèâèàëüíîìó ãåîäåçè÷åñêîìó îòîáðàæåíèþ â öåëîì ðàñ-ñìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà V n íà Cr-ïðîñòðàíñòâî V n, â ñî-îòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû (7)�(9) èìåþò ìåñòî ñîîò-íîøåíèÿ: (
λi.a
γ
. γ
)
,i
= µaγ. γ + 2λαλ
α
. ,
(
λαa
αi
. .
)
,i
=
1
n
µaγ. γ +
1
n
aαβ. . a
γσ
. . Tαγσβ + (n + 1)λαλ
α
. .Íî ïî òåîðåìå �ðèíà
∫
V n
(
λi.a
γ
. γ
)
,i
dv = 0;
∫
V n
(
λαa
αi
. .
)
,i
dv = 0.Ñëåäîâàòåëüíî,(15) ∫
V n
µaγ. γdv = −2
∫
V n
λαλ
α
. dv,(16) ∫
V n
µaγ. γdv +
∫
V n
aαβ. . a
γσ
. . Tαγσβdv + n(n+ 1)
∫
V n
λα. λαdv = 0.
202 Å.Í.ÑèíþêîâàÏîäñòàâèâ (15) â (16) è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, íàéäåì:(17) ∫
V n
aαβ. . a
γσ
. . Tαγσβdv + (n− 1)(n + 2)
∫
V n
λαλ
α
. dv = 0.Êîãäà(18) ∫
V n
aαβ. . a
γσ
. . Tαγσβdv ≥ 0,(17) âîçìîæíî ëèøü ïðè λi ≡ 0. Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå îòîáðà-æåíèå ïðîñòðàíñòâà V n íå ìîæåò áûòü íåòðèâèàëüíûì. Ïîä-ñòàâèâ â (18) âìåñòî òåíçîðà aij. . åãî âûðàæåíèå ÷åðåç ìåòðè÷å-ñêèé òåíçîð gij ïðîñòðàíñòâà V n (�îðìóëû (4)) ìû ïåðåéäåìê íåðàâåíñòâó (13). �Èç ýòîé òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåòÒåîðåìà 2. Êîìïàêòíûå, îðèåíòèðóåìûå, ñ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé ìåòðèêîé ðèìàíîâû Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n >
1, r > 2), â êîòîðûõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåí-çîðà bij èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
bαβbγσTαγσβ ≥ 0â öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðà-æåíèé.Èçâåñòíî [4℄, ÷òî îáëàäàþùèå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìåòðèêîé êîìïàêòíûå ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé íåïîëîæèòåëü-íîé êðèâèçíû â öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷å-ñêèõ îòîáðàæåíèé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî òàêèå ïðîñòðàíñòâà óäî-âëåòâîðÿþò è óñëîâèÿì òåîðåìû 2.  ñàìîì äåëå, â ýòîì ñëó÷àå
Tijkl = −k (ngjlgik − gjkgil)è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij
bilbjkTijkl = −k
(
nb..αβb
αβ −
(
bγ .
γ
)2)
.
Î ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè â öåëîì 203Íî nb..αβbαβ − (bγ .
γ
)2 ≥ 0, åñëè ìåòðèêà ðàññìàòðèâàåìîãî ïðî-ñòðàíñòâà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Çíà÷èò, ïðè k ≤ 0
bilbjkTijkl ≥ 0äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij.Òåîðåìà 3. Êîìïàêòíûå, îðèåíòèðóåìûå, ñ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé ìåòðèêîé ðèìàíîâû Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n >
1, r > 2), â êîòîðûõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåí-çîðà bij ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî(19) bαβbγσRαγσβ ≤ 0â öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðà-æåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, â óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâè-ÿì òåîðåìû 3 ïðîñòðàíñòâå V n bαβbγσRαγσβ ≤ 0 äëÿ ëþáîãîñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij . Ïîëîæèì bij = piqj + pjqi, ãäå
gijp
iqj = 0, gijp
ipj = gijq
iqj = 1.(Äëÿ êàæäîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà V n âåêòîðû pi, qj , óäîâëå-òâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì õîòÿ áû â äàííîé òî÷êå V n, ìîæíîâûáðàòü âñåãäà [56℄). Òîãäà
Rαγσβb
αβbγσ = Rαγσβ
(
pαqβ + pβqα
)
(pγqσ + pσqγ) =
= Rαγσβp
αpσqβqγ +Rαγσβp
γpβqαqσ =
= −2Rαγσβp
αpβqγqσ.Îòñþäà, â ñèëó (19), ïîëó÷èì(20) Rαγσβp
αpβqγqσ ≥ 0 ïðîèçâîëüíîé òî÷êå èññëåäóåìîãî ïðîñòðàíñòâà V n ðàññìîò-ðèì òåïåðü åäèíè÷íûé âåêòîð pi è (n − 1) åäèíè÷íûõ âåêòî-ðîâ qi(1), qi(2),. . . ,qi(n−1), îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðó pi è ìåæäó ñî-áîé. (Èõ òàêæå ìîæíî âûáðàòü âñåãäà [6℄). Èç (20) âûòåêàåò,
204 Å.Í.Ñèíþêîâà÷òî Rαγσβpαpβqγ(a)qσ(a) ≥ 0, a = 1, n− 1. Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî,
Rαγσβp
αpβpγpσ ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî,(21) Rαγσβp
αpβ
(
pγpσ +
n−1∑
a=1
qγ(a)q
σ
(a)
)
≥ 0.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [8℄), ÷òî
pγpσ +
n−1∑
a=1
qγ
(a)
qσ(a) = gγσ .Ïîýòîìó (21) îçíà÷àåò, ÷òî(22) Rαβp
αpβ ≥ 0äëÿ ïðîèçâîëüíîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà pi. Òàê êàê ìåòðèêàðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà,(22) èìååò ìåñòî íå òîëüêî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî åäèíè÷íîãî, íîè âîîáùå äëÿ ëþáîãî âåêòîðà pi â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà
V n. Íî òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij âêàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà V n
Rαβgγσb
αγbβσ ≥ 0. ñàìîì äåëå, â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå V n äâå �îðìû gγσ è Rγσ(gγσ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà) ìîæíî îäíîâðåìåííî ïðèâåñòèê äèàãîíàëüíîìó âèäó [1℄. Òîãäà
Rαβgγσb
αγbβσ =
n∑
i=1
Rii
(
bii
)2 ≥ 0â ñèëó (21).Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ïðîñòðàíñòâå V n
Tαγσβb
αβbγσ = (gγβRασ −Rαγσβ) b
αβbγσ ≥ 0.Ïî òåîðåìå 1 òàêèå ïðîñòðàíñòâà â öåëîì íå äîïóñêàþòíåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé. �
Î ãåîäåçè÷åñêîé îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè â öåëîì 205 [7℄ È. Ñàòî èññëåäîâàë ñâîéñòâà òàê íàçûâàåìûõ ðèìàíî-âûõ ïðîñòðàíñòâ �îòäåëèìîé�, êðèâèçíû, òåíçîð �èìàíà êîòî-ðûõ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì
Rijkl = σSijSkl,ãäå σ � íåíóëåâàÿ ïîñòîÿííàÿ, Sij � íåêîòîðûé êîñîñèììåòðè-÷åñêèé òåíçîð. Ïðè ýòîì, â ÷àñòíîñòè, íà òàêèå ïðîñòðàíñòâàíàêëàäûâàëèñü óñëîâèÿ êîìïàêòíîñòè, îðèåíòèðóåìîñòè, ïîëî-æèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìåòðèêè.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè σ ≤ 0 êîìïàêòíûå, îðèåí-òèðóåìûå, ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìåòðèêîé ðèìàíîâûïðîñòðàíñòâà "îòäåëèìîé" êðèâèçíû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿìòåîðåìû 3 è, çíà÷èò, â öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåî-äåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé.Ñïðàâåäëèâîñòü èçâåñòíîé òåîðåìû �ðèíà äëÿ âåêòîðíûõïîëåé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì, çàäàííûõ è íà íåêîìïàêòíûõîðèåíòèðîâàííûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ñ �èêñèðîâàííûì ýëåìåíòîìîáúåìà [2℄, ïîçâîëÿåò ðàñïðîñòðàíèòü äîêàçàííûå òåîðåìû 1�3è íà íåêîìïàêòíûå ðèìàíîâû ïðîñòðàíñòâà. ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû.Òåîðåìà 4. Îðèåíòèðóåìûå, ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìåòðèêîé ðèìàíîâû Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n > 1, r > 2), âêîòîðûõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij ñïðà-âåäëèâî íåðàâåíñòâî
bαβbγσTαγσβ ≥ 0,â öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðà-æåíèé, äëÿ êîòîðûõ êîâåêòîð ψi èìååò êîìïàêòíûé íîñè-òåëü.Òåîðåìà 5. Îðèåíòèðóåìûå, ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìåòðèêîé ðèìàíîâû Cr-ïðîñòðàíñòâà V n (n > 1, r > 2), âêîòîðûõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà bij ñïðà-âåäëèâî íåðàâåíñòâî
bαβbγσRαγσβ ≤ 0
206 Å.Í.Ñèíþêîâàâ öåëîì íå äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðà-æåíèé, äëÿ êîòîðûõ êîâåêòîð ψi èìååò êîìïàêòíûé íîñè-òåëü. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ �àíòìàõåð Ô.�. Òåîðèÿ ìàòðèö //Ì.: �îñòåõèçäàò, 1953, 419 ñ.[2℄ Êîáàÿñè Ø., Íîìèäçó Ê. Îñíîâû äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, ò. I.// Ì.: Íàóêà, 1981, 344 ñ.[3℄ Ñèíþêîâ Í.Ñ. �åîäåçè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ, //Ì.: Íàóêà, 1979, 255 ñ.[4℄ Ñèíþêîâà Å.Í. Î ãåîäåçè÷åñêèõ îòîáðàæåíèÿõ íåêîòîðûõ ñïåöèàëü-íûõ ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ, // Ìàòåì. çàìåòêè � 1981 � 30, âûï.6,ñ. 889�894[5℄ Ñòåïàíîâ Ñ.Å. Òåîðåìû èñ÷åçíîâåíèÿ â à��èííîé, ðèìàíîâîé è ëî-ðåíöåâîé ãåîìåòðèÿõ // Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà� 2005 � ò. 11 � 1, ñ. 35�84[6℄ Ýéçåíõàðò Ë. Ï. �èìàíîâà ãåîìåòðèÿ, Ì. :ÈË, 1948, 316ñ.[7℄ Sato I. On Riemannian manifolds of separated
urvature //Tohoku Math.J. � 1960.� 2. � Pp.23�34.[8℄ ßíî Ê., Áîõíåð Ñ. Êðèâèçíà è ÷èñëà Áåòòè //Ì., ÈË, 1957, 152 ñ.
|