О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана

Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Степанов, C.Е., Гордеева, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6302
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6302
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-63022010-02-24T12:00:58Z О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых классов. 2009 Article О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6302 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Степанов, C.Е. Гордеева, И.А. О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
description	Приведена классификация многообразий Римана-Картана. Изучены геометрические свойства некоторых из выделенных классов многообразий Римана-Картана. Получены условия, которые препятствуют существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана некоторых классов.
format	Article
author	Степанов, C.Е. Гордеева, И.А.
author_facet	Степанов, C.Е. Гордеева, И.А.
author_sort	Степанов, C.Е.
title	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
title_short	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
title_full	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
title_fullStr	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
title_full_unstemmed	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана
title_sort	о существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях римана-картана
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008"
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6302
citation_txt	О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана / C.Е. Степанов, И.А. Гордеева // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 207-222. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT stepanovce osuŝestvovaniipsevdokillingovyhipsevdogarmoničeskihvektornyhpolejnamnogoobraziâhrimanakartana AT gordeevaia osuŝestvovaniipsevdokillingovyhipsevdogarmoničeskihvektornyhpolejnamnogoobraziâhrimanakartana
first_indexed	2025-07-02T09:14:17Z
last_indexed	2025-07-02T09:14:17Z
_version_	1836525980710076416
fulltext	Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 207-222Ñ.Å.ÑòåïàíîâÔèíàíñîâàÿ Àêàäåìèÿ ïðè ïðàâèòåëüñòâå �îññèéñêîéÔåäåðàöèè, ÌîñêâàE-mail: stepanov�vtsnet.ruÈ.À. �îðäååâàÂëàäèìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ãóìàíèòàðíûéóíèâåðñèòåò, ÂëàäèìèðE-mail: igordeeva�list.ruÎ ñóùåñòâîâàíèèïñåâäîêèëëèíãîâûõ èïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ�èìàíà-ÊàðòàíàÏðèâåäåíà êëàññè�èêàöèÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà. èçó÷åíûãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ èç âûäåëåííûõ êëàññîâ ìíîãîîá-ðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, êîòîðûå ïðåïÿòñòâóþò ñó-ùåñòâîâàíèþ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà íåêîòîðûõ êëàññîâ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîîáðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà, ïñåâäîêèëëèíãîâûå èïñåâäîãàðìîíè÷åñêèå âåêòîðíûå ïîëÿ1. ÂâåäåíèåÌåòðè÷åñêè-à��èííûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ òðèïëåò (M,g,∇), ãäå M � äè��åðåíöèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíî-ñòè n > 1 ñ ìåòðèêîé g íåêîòîðîé ñèãíàòóðû è ëèíåéíîé ñâÿç-íîñòüþ ∇ ñ íåíóëåâûì êðó÷åíèåì S, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,íå çàâèñèò îò g. Èìåííî ýòè ïðîñòðàíñòâà â ïîñëåäíèå ïîëâåêàñòàëè îáúåêòîì èíòåíñèâíîãî èçó÷åíèÿ â òåîðåòè÷åñêîé �èçè-êå, ñâèäåòåëüñòâîì ÷åìó ñîòíè îïóáëèêîâàííûõ ñòàòåé. © Ñ.Å. Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâà, 2009 208 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÍàïðîòèâ, â äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè òîëüêî ÷àñòíûåâèäû ìåòðè÷åñêè-à��èííîãî ïðîñòðàíñòâà (M,g,∇) âðåìÿ îòâðåìåíè ïîïàäàëè â ïîëå çðåíèÿ ó÷åíûõ, î ÷åì ìû ñêàæåì íè-æå, íî â öåëîì ãåîìåòðèÿ (M,g,∇) íèêîãäà íå âûçûâàëà èõàêòèâíîãî èíòåðåñà.Íà÷àëî òåîðèè ìåòðè÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ áûëî ïî-ëîæåíî Êàðòàíîì (ñì. [1℄), ïðåäëîæèâøèì âìåñòî ñâÿçíîñòèËåâè-×èâèòà ∇ â GRT (General Relativity Theory) ðàññìàò-ðèâàòü íåñèììåòðè÷íóþ ëèíåéíóþ ñâÿçíîñòü ∇, îáëàäàþùóþñâîéñòâîì ìåòðè÷íîñòè ∇g = 0.Â ðåçóëüòàòå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ ïîëó÷àëî â äîïîëíåíèå êêðèâèçíå åùå è êðó÷åíèå. Â ïîñëåäñòâèå èì áûëî îïóáëèêîâàíîåùå äâå ðàáîòû (ñì. [2℄, [3℄) â ðàçâèòèå ñâîåé òåîðèè, êîòîðàÿïîëó÷èëà íàçâàíèå Einstein-Cartan Theory of Gravity èëè ñîêðà-ùåííî ECT (ñì. [4℄). �åçóëüòàòû Êàðòàíà íàøëè îòðàæåíèå âèçâåñòíûõ ìîíîãðà�èÿõ ïî äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ïåð-âîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî âåêà (ñì. [5℄, [6℄).Âïëîòü äî íà÷àëà 60-õ ãîäîâ èäåÿ Êàðòàíà íå íàõîäèëà ïîä-äåðæêè ó �èçèêîâ-òåîðåòèêîâ. Òîë÷êîì ê èçó÷åíèþ ÅÑÒ ïî-ñëóæèëè ðàáîòû Êèáëà (ñì. [7℄) è Ñöèÿìû (ñì. [8℄), êîòîðûåíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà óñòàíîâèëè ñâÿçü ìåæäó êðó÷åíèåì Sñâÿçíîñòè ∇ è ñïèí òåíçîðîì ìàòåðèè s (spin tensor of matter).Â ïîñëåäñòâèå áûëè îòêðûòû è äðóãèå �èçè÷åñêèå ïðèëîæå-íèÿ ECT (ñì. [9℄, [10℄).Â ïîñëåäñòâèå òåîðèÿ Ýéíøòåéíà-Êàðòàíà áûëà îáîáùåíàçà ñ÷åò ñíÿòèÿ òðåáîâàíèÿ ìåòðè÷íîñòè äëÿ ëèíåéíîé ñâÿçíî-ñòè ∇. Íîâàÿ òåîðèÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå Metri -A�ne GaugeTheory of Gravity èëè ñîêðàùåííî MAG (ñì. [11℄, [12℄). ×èñëîðàáîò, îïóáëèêîâàííûõ â ðàìêàõ ÅÑÒ èñ÷èñëÿåòñÿ ñîòíÿìè, àâ ðàìêàõ MAG óæå äåñÿòêàìè.Îïóáëèêîâàííûå ðåçóëüòàòû èìåþò â áîëüøåé ñòåïåíè ïðè-êëàäíîé �èçè÷åñêèé õàðàêòåð. Âñå èñõîäíûå �îðìóëû áûëè Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 209ïîçàèìñòâîâàíû �èçèêàìè èç ðàáîò Êàðòàíà âìåñòå ñ åãî ìå-òîäîì, êîòîðûé ñåé÷àñ òàê è íàçûâàåòñÿ �ìåòîä âíåøíèõ �îðìÊàðòàíà�.Òàêæå íåòðóäíî ïðîñëåäèòü çàèìñòâîâàíèÿ è èç ìîíîãðà�èéïî äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, íàïðèìåð, èç èçâåñòíîé ìî-íîãðà�èè Ñõîóòåíà è Ñòðîéêà (ñì. [6℄). Â ýòîì êîíòåêñòå õà-ðàêòåðíà ðàáîòà Ìàê Êðåà (ñì. [13℄), ãäå áûëè âûâåäåíû íåïðè-âîäèìûå îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïñåâäîîðòîãîíàëüíîé ãðóïïûðàçëîæåíèÿ òåíçîðîâ íåìåòðè÷íîñòè Q = −∇g, êðó÷åíèÿ S èêðèâèçíû R ñâÿçíîñòè ∇, îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ íà êîòîðûåáûëè ïðèâåäåíû åùå â ìîíîãðà�èè Ñõîóòåíà è Ñòðîéêà.Â ñâîþ î÷åðåäü, èäåþ ñâîåé ñòàòüè Ìàê Êðåà òàêæå ïîçà-èìñòâîâàë èç äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, ãäå óæå äàâíî èõîðîøî èçâåñòíû íåïðèâîäèìûå ðàçëîæåíèÿ òåíçîðîâ êðèâèç-íû R ðèìàíîâà è êåëåðîâà ìíîãîîáðàçèé.Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì Ìàê Êðåà, öåëûé êîëëåêòèâàâòîðîâ (ñì. [14℄) òàê æå êàê ýòî äåëàëîñü íå ðàç â ðèìàíîâîéãåîìåòðèè, íî ïî äðóãèì ïîâîäàì (ñì., íàïðèìåð, [15℄; [17℄, ñòð.586�620), çà ñ÷åò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïî-ïàðíîãî îáðàùåíèÿ âíóëü íåïðèâîäèìûõ êîìïîíåíò ðàçëîæåíèÿ òåíçîðà êðó÷åíèÿ S âûäåëèë 3 êëàññà ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇).Ïåðâûé êëàññ A õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèåì S = (n− 1)−1trace S ∧ IdTM ,âòîðîé êëàññ B � óñëîâèåì S = Alt S è, íàêîíåö, òðåòèé êëàññ C õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ñòðîåíèåì òåíçîðà êðó÷åíèÿ CS = S −AS −BSäëÿ ïðîèçâîëüíîé x ∈M .Òàêæå â ýòîé ñòàòüå áûëà ïðîâåäåíà ñèñòåìàòèçàöèÿ ðåçóëü-òàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ðàìêàõ ÅÑÒ äëÿ ÷åòûðåõìåðíîãî ïðî-ñòðàíñòâà (M,g,∇). Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ãåîìåòðè÷åñêîéòðàäèöèè (ñì., íàïðèìåð, [17℄, ñòð. 585-620) íàðÿäó ñ êëàññàìè A, B è C ïðîñòðàíñòâ ê ðàññìîòðåíèþ íå áûëè ïðèâëå÷åíûêëàññû A⊕ B, A⊕ C è B ⊕ C. 210 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÍà êîíòðàñòå ñî âñå óâåëè÷èâàþùèìñÿ ïîòîêîì ðàáîò �èçè-êîâ, ãåîìåòðû ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïî÷òè ïîòåðÿëè èíòåðåñê òåîðèè, îñíîâû êîòîðîé çàëîæèë åùå â äâàäöàòûõ ãîäàõ ïðî-øëîãî âåêà èçâåñòíûé ãåîìåòð Êàðòàí. Íàèáîëåå ÿðêèìè è, êñîæàëåíèþ, ïîñëåäíèìè ðåçóëüòàòàìè ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèèïðîñòðàíñòâ (M,g,∇) ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû Âàíõåêêå è Òðè-÷åððè ïî ãåîìåòðèè �ìíîãîîáðàçèé ñ îäíîðîäíîé ñòðóêòóðîé�.Â ïðèíÿòîé ñîâðåìåííîé �èçèêîé òåðìèíîëîãèè ýòà òåîðèÿíàçûâàåòñÿ Riemann-Cartan Theory èëè ñîêðàùåííî RCT. �åî-ìåòðèÿ �èìàíà-Êàðòàíà ýòî ãåîìåòðèÿ ìåòðè÷åñêè-à��èííîãîïðîñòðàíñòâà (M,g,∇), ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (ðèìà-íîâîé) ìåòðèêîé g è ëèíåéíîé ñâÿçíîñòüþ ∇ ñ íåíóëåâûì êðó-÷åíèåì S òàêîé, ÷òî Q = 0,∇R = 0 è ∇T = 0.Âàíõåêêå è Òðè÷åððè ([16℄) ïîëó÷èëè íåïðèâîäèìîå îòíî-ñèòåëüíî äåéñòâèÿ îðòîãîíàëüíîé ãðóïïû ðàçëîæåíèå òåíçîðàäå�îðìàöèè T = ∇ − ∇ è èñïîëüçîâàëè åãî äëÿ êëàññè�èêà-öèè ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇), à çàòåì â äðóãèõ ðàáîòàõ èìè áûëàèçó÷åíà ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâ èç âûäåëåííûõ 6 êëàññîâ.Èç âñåõ âèäîâ à�èííî-ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ (M,g,∇)â ãåîìåòðèè ïîñëåäîâàòåëüíî â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíèèçó÷àëèñü òîëüêî �÷åòâåðòü-ñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðî-ñòðàíñòâà�, è èõ ÷àñòíûé âèä �ïîëóñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷å-ñêèå ïðîñòðàíñòâà�, (ñì. [18℄-[22℄).×åòâåðòü-ñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñóùå-ñòâóþò â ðàìêàõ RCT è ÅCT è âûäåëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìóñëîâèåì T (X,Y ) := U(X)p(Y ) − V (Y )p(X) − g(U(X), Y )W,ãäå g(U(X), Y ) = (Sym F )(X,Y ), g(V (X), Y ) = (Alt F )(X,Y )äëÿ íåêîòîðîãî êîâàðèàíòíîãî 2-òåíçîðà F è p(X) := g(W,X).Ïîëóñèììåòðè÷åñêèå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿ-þòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, óñëîâèåì T (X,Y ) := U(Y )X − U(X)Y Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 211äëÿ ëþáûõ âåêòîðíûõ ïîëåé X è Y íà M .�åîìåòðèÿ �â öåëîì�, ìåòðè÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ çà-ñòûëà íà ðåçóëüòàòàõ ßíî, Áîõíåðà è �îëüäáåðãà (ñì. [23℄-[25℄)ñåðåäèíû ïðîøëîãî âåêà. Â èõ ðàáîòàõ â ðàìêàõ RCT äîêàçû-âàëèñü �òåîðåìû èñ÷åçíîâåíèÿ�, (vanishing theorems) äëÿ ïñåâ-äîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåí-çîðîâ íà êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ (M,g,∇), âûäåëÿåìûõóñëîâèåì trace S = 0.Äàæå íå ñìîòðÿ íà ïîñëåäóþùèå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èõ ðå-çóëüòàòîâ çà ñ÷åò ââåäåíèÿ â ðàññìîòðåíèå êîìïàêòíûõ ìåòðè-÷åñêè-à��èííûõ ïðîñòðàíñòâ ñ ãðàíèöåé (ñì. [26℄) ýòî,ïî-ïðåæíåìó, áûëî äîêàçàòåëüñòâî òåõ æå òåîðåì èñ÷åçíîâå-íèÿ äëÿ òåõ æå âåêòîðíûõ ïîëåé è òåíçîðîâ.Ïðè ýòîì ñ�îðìóëèðîâàííûå â �òåîðåìàõ èñ÷åçíîâåíèÿ�,(vanishing theorems) óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñóùåñòâîâàíèþ ïñåâ-äîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåí-çîðîâ ïîðàæàþò ñâîåé ãðîìîçäêîñòüþ, â îòëè÷èå îò òåîðåì äëÿêèëëèíãîâûõ è ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé è òåíçîðîâ íàðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü,÷òî ãåîìåòðèÿ òàêèõ âåêòîðîâ è òåíçîðîâ íè äî, íè ïîñëå öè-òèðóåìûõ íàìè ðàáîò íèêåì íå èçó÷àëàñü.íàì óäàëîñü íàìåòèòü ïóòè ìîäåðíèçàöèè ýòîé òåõíèêè, ïðèýòîì ïåðâûå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, àíîíñèðîâàííûå íà Ìåæ-äóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ��åîìåòðèÿ â Îäåññå � 2008� è íàÌåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ïî äè��åðåíöèàëüíûì óðàâíå-íèÿì è äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì â Ñóçäàëå â 2008 ãîäó (ñì[27℄, [28℄), èìåþò ãåîìåòðè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíûé è êîìïàêò-íûé âèä, ÷òî âíóøàåò óâåðåííîñòü â ïðàâèëüíîñòè âûáðàííîãîíàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé.Â íàñòîÿùåé ñòàòüå áóäóò èçëîæåíû íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷å-ñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ êëàññîâ ïðîñòðàíñòâ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇), êîòîðûå äî ñèõ ïîð íå ïîïàëè â ïîëå çðåíèÿ ãåîìåò-ðîâ è óñëîâèÿ, ïðåïÿòñòâóþùèå èõ ñóùåñòâîâàíèþ. 212 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÊðîìå òîãî, íàìè áûëè ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñó-ùåñòâîâàíèÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåê-òîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà îòäåëüíûõêëàññîâ. 2. Ìíîãîîáðàçèå �èìàíà-Êàðòàíà2.1. Ìíîãîîáðàçèå �èìàíà-Êàðòàíà îïðåäåëÿåòñÿ (ñì. [12℄)êàê òðèïëåò (M,g,∇), ãäå M - n-ìåðíîå (n ≥ 2) ìíîãîîáðà-çèå ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì gij èëèíåéíîé íåñèììåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòüþ ∇ ñ êîý��èöèåíòàìè Γ i jk òàêîé, ÷òî ∇kgij = ∂kgij − gljΓ l ik − gilΓ l jk = 0, (2.1)ãäå ∂k = ∂/∂xk, â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1, x2, . . . , xn íà M . Ïîñêîëüêó ñâÿçíîñòü ∇ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé,òî äëÿ íåå îïðåäåëåí òåíçîð êðó÷åíèÿ ñâÿçíîñòè S ñ êîìïîíåí-òàìè S k ij = 2−1(Γ k ij − Γ k ji).Êîý��èöèåíòû ñâÿçíîñòè ∇ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñèìâî-ëû Êðèñòî��åëÿ Γijk ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇ ïîñðåäñòâîìðàâåíñòâà (ñì. [25℄, ñòð. 78) Γ k ij = Γkij + S k ij − Skij − Skji. (2.2)Íàðÿäó ñ òåíçîðîì êðó÷åíèÿ S ñâÿçíîñòè ∇ îïðåäåëÿåòñÿòåíçîð äå�îðìàöèè T = ∇ − ∇ ñâÿçíîñòè ∇ â ñâÿçíîñòü ∇,÷üè êîìïîíåíòû T k ij = Γ k ij − Γkij èìåþò ñâÿçü ñ êîìïîíåíòà-ìè òåíçîðà êðó÷åíèÿ S, âûðàæàþùóþñÿ ðàâåíñòâàìè (2.2) è S k ij = 2−1(T k ij − T k ji ). Èç íèõ, â ÷àñòíîñòè, ïîñëåäóåò, ÷òî T l il = 2S l il . (2.3)Îäíîâðåìåííî èç (2.1) âûâîäèì, ÷òî Tikj + Tjki = 0. (2.4) Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 213Èçâåñòíû òàêæå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå êîìïîíåíòû òåí-çîðîâ êðèâèçíû R è R , �è÷÷è Ric è Ric è ñêàëÿðíûå êðèâèçíû Scal è Scal ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, âèäà (ñì. [14℄; [25℄, ñòð. 80) R l ijk = R l ijk + ∇iT l kj −∇jT l ki + T l miT m kj − T l mjT m ki , (2.5) Rjk = Rjk + ∇lT l kj −∇jTk − TmT m kj − T l mjT m kl , (2.6) Scal = Scal − 2∇jT j − TijkT kij − TjT j, (2.7)ãäå T j = gklTjkl.2.2. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìíîãîîáðàçèå M � êîìïàêòíîåè îðèåíòèðîâàííîå ñ ýëåìåíòîì îáúåìà dv = √ det g dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn,òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâîé òåîðåìà �ðèíà (ñì. [25℄, ñòð. 30) ∫ M (div ξ)dv = 0.Çäåñü íà îñíîâàíèè (2.3) èìååì div ξ = ∇iξ i = ∇iξ i + 2ξkSikj,à ïîòîìó íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà B ⊕ C è òîëüêî íà íèõ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà div ξ = trace ∇ξ = trace∇ ξäëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ.Ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå ïîëíûå ñêàëÿðíûå êðèâèçíû Scal(M) = ∫ M Scal dvè Scal(M) = ∫ M Scal dv 214 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàìíîãîîáðàçèÿ (M,g,∇). Ïðè ýòîì íà îñíîâàíèè òåîðåìû �ðèíàèç ðàâåíñòâ (2.7) âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå ñâÿçè Scal(M) = Scal(M) − ∫ M (TijkT kij + 4‖trace S‖2)dv. (2.8)Äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A ⊕ Bóñëîâèÿ ñâÿçè (2.7) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: Scal(M) = Scal(M)−4∇jS j−3SijkS ijk−2(2n−5)(n−1)−1SjS j.Äàííîå ðàâåíñòâî íà îñíîâàíèè òåîðåìû �ðèíà ïðèâîäèòñÿê âèäó Scal(M) = Scal(M)− ∫ M (3‖S‖2+2(2n−5)(n−1)−1‖trace S‖2)dv.À ïîòîìó ïðè n ≥ 3 ñóùåñòâóåò ïðåïÿòñòâèå äëÿ çàäàíèÿ íå-ñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà A⊕B íà ðè-ìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè (M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ïîëíûå ñêàëÿð-íûå êðèâèçíû Scal(M) ≥ Scal(M) ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åìðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå èõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî èç (2.7) äëÿ ìíîãîîáðàçèé (M,g,∇)êëàññà B èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Scal = Scal − ‖T‖2. À ïîòîìóñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèå äëÿ çàäàíèÿ íåñèììåòðè÷åñêîé ìåò-ðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà B íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè (M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ñêàëÿðíûå êðèâèçíû Scal ≥ Scal ñâÿç-íîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åì ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àåèõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.Äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A èç(2.7) èìååì Scal = Scal − 4(∇jS j + n(n− 1)−1SjS j). Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 215Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M óðàâíåíèÿñâÿçè (2.8) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: Scal(M) = Scal(M) − 4n(n − 1)−1 ∫ M ‖trace S‖2dv.À ïîòîìó ñóùåñòâóåò ïðåïÿòñòâèå äëÿ çàäàíèÿ íåñèììåòðè÷å-ñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ êëàññà A íà ðèìàíîâîì ìíîãî-îáðàçèè (M,g) â âèäå óñëîâèÿ íà ïîëíûå ñêàëÿðíûå êðèâèçíû Scal(M) ≥ Scal(M) ñâÿçíîñòåé ∇ è ∇, ïðè÷åì ðàâåíñòâî âû-ïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå èõ ñîâïàäåíèÿ: ∇ = ∇.3. Ïñåâäîêèëëèíãîâîå âåêòîðíîå ïîëå3.1. Âåêòîðíîå ïîëå Êèëëèíãà ξ îïðåäåëÿåòñÿ íà ðèìàíîâîììíîãîîáðàçèè (M,g) óñëîâèåì Lξg = 0 äëÿ ïðîèçâîäíîé Ëè Lξ ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ïîëþ ξ. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëîâû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé Ëè (ñì. [25℄, ñòð. 40) Lξgij = ξk∂kgij + gkj∂iξ k + gik∂jξ k, (3.1)íàõîäèì âûðàæåíèå ïðîèçâîäíîé Ëè â ñâÿçíîñòè ∇ (ñì. òàìæå) Lξgij = ∇iξj + ∇jξi, (3.2)è â íåñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè ∇ Lξgij = ∇iξj + ∇jξi − 2(Skij + Skji)ξ k. (3.3)Âåêòîðíîå ïîëå ξ íà ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)íàçûâàåòñÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûì (ñì. [25℄, ñòð. 86), åñëè îíî óäî-âëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì ∇iξj + ∇jξi = 0. (3.4)Èç (3.2) è (3.3) âûâîäèì, ÷òî äëÿ Skij + Skji = 0 óðàâíå-íèÿ êèëëèíãîâûõ è ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ñîâ-ïàäàþò, à ïîòîìó íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)êëàññà B êàæäîå âåêòîðíîå ïîëå Êèëëèíãà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäî-êèëëèíãîâûì, âåðíî è îáðàòíîå. 216 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàÎïèðàÿñü íà óñòàíîâëåííûé �àêò çàêëþ÷àåì, ÷òî óñëîâè-åì ïðåïÿòñòâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåê-òîðíûõ ïîëåé íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (M,g,∇) êëàññà B áóäåò õîðîøî èçâåñòíîå óñëîâèå îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåí-íîñòè òåíçîðà �è÷÷è Ric ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇ (ñì. [25℄,ñòð. 36).3.2. Â ìîíîãðà�èè [25℄ áûëè íàéäåíû óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿñóùåñòâîâàíèþ ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà êîì-ïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà B ⊕ C. Óñëîâèÿ ýòè, â ÷åì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, íîñÿò äîâîëüíî ãðî-ìîçäêèé õàðàêòåð. Â êà÷åñòâå îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëü-òàòîâ (òàê ïî òåêñòó) áûëà äîêàçàíà (ñì. [25℄, ñòð. 91-92) ñëå-äóþùàÿ òåîðåìà:Åñëè íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (M,g,∇) ñ òåí-çîðîì êðó÷åíèÿ S, óäîâëåòâîðÿþùèì óðàâíåíèÿì âèäà Sijk − Sikj + gijAk − gikAj = 0, êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåò-ñÿ íåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîêèëëèíî-âîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâàðèàíò-íûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇. Åñëè æå �îð-ìà Rijξ iξj ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî íå ñó-ùåñòâóåò ïñåâäîêèëëèíãîâà âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòëè÷íîãî îòíóëÿ.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà òîëüêîäëÿ ïîëóñèììåòðè÷åñêèõ ñâÿçíîñòåé. Ïðîâåäåì àíàëèç, ïðèâå-äåííîãî â òåîðåìå óðàâíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåíçîð êðó-÷åíèÿ S ñâÿçíîñòè ∇ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Sijk − Sikj + gijAk − gikAj = 0. (3.5)Ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (3.5) äâàæäû: Sijk − Sikj + gijAk − gikAj = 0. (3.5a), Sjik − Sjki + gijAk − gjkAi = 0. (3.5b). Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 217Ñëîæèì îáà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì: −Sikj − Sjki = Skij + Skji = −2gijAk + gikAj + gjkAi.Â èòîãå èìååì: Skij + Skji = −2gijAk + gikAj + gjkAi. (3.6)�àññìîòðèì ýòî óðàâíåíèå ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì (3.5) Skij − Skji + gikAj − gkjAi = 0. (3.5c)Âû÷èòàÿ (3.5 ) èç (3.6), ïîëó÷àåì: 2Skji = 2(−gijAk + gkiAj)èëè Skji = gkiAj − gijAk.Îòêóäà ñâåðòêîé ñ ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì gij íàõîäèì S l kl = Skjig ij = (1 − n)Ak,ò.å. Ak = −(n− 1)−1Sk,ãäå Sk = S l kl . Ïîýòîìó Skji = (n− 1)−1(gijSk − gkiSj)èëè S i kj = (n− 1)−1(δijSk − δikSj),÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì ïîëóñèììåòðè÷åñêîé ñâÿçíîñòè.Â èòîãå çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïðèâåäåííîé âûøå òåîðåìå Ê. ßíîðå÷ü èäåò î ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà Aè òîëüêî î íèõ. À ïîòîìó îá îáîáùåíèè, êîòîðîå áûëî çàÿâëåíî,ãîâîðèòü íå ñîâñåì êîððåêòíî.ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 1. Åñëè â êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàð-òàíà (M,g,∇) êëàññà A êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿíåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîêèëëèíãîâîåâåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâàðèàíòíûå 218 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî êîý��èöèåíòîâ à��èííîé ñâÿçíî-ñòè ìíîãîîáðàçèÿ. Åñëè �îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëü-íî îïðåäåëåííîé, òî íå ñóùåñòâóåò ïñåâäîêèëëèíãîâà âåêòîð-íîãî ïîëÿ, îòëè÷íîãî îò íóëÿ.4. Ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëåÂåêòîðíîå ïîëå ξ íàçûâàåòñÿ ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèì (ñì. [25℄,ñòð. 84), åñëè ∇iξj −∇jξi = 0, ∇iξ i = 0. (4.1)Ïðèòîì, ÷òî ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ Γ k ij = T k ij + Γ k ij , S k ij = 2−1(T k ij − T k ji )è (2.3) óðàâíåíèÿì (4.1) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä ∇iξj −∇jξi + 2ξkS k ij = 0, ∇iξ i + 2ξkS i ki = 0. (4.2)Èç (4.1) è (4.2) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî ñîâïàäåíèå ïñåâ-äîãàðìîíè÷åñêèõ è ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé ìîæíîîæèäàòü òîëüêî íà ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇)êëàññà B ⊕ C.Â ìîíîãðà�èè [25℄ áûëè íàéäåíû, óñëîâèÿ ïðåïÿòñòâèÿ ñó-ùåñòâîâàíèþ ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà êîì-ïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà B ⊕ C. Óñëîâèÿ ýòè, êàê è â ñëó÷àå ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõïîëåé, íîñèëè çà÷àñòóþ äîâîëüíî ãðîìîçäêèé õàðàêòåð. Íàìèáóäåò äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2. Åñëè íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàð-òàíà (M,g,∇) êëàññà A⊕B êâàäðàòè÷íàÿ �îðìà Rijξiξj ÿâëÿ-åòñÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî êàæäîå ïñåâäîãàðìî-íè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþ êîâà-ðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇. Åñëè æå�îðìà Rijξiξj ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, òî íå Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 219ñóùåñòâóåò ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòëè÷íî-ãî îò íóëÿ.Â íà÷àëå äîêàçàòåëüñòâà ñîøëåìñÿ íà òåîðåìó 7.20 ìîíîãðà-�èè [25℄, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî íà êîìïàêòíîì ìíîãî-îáðàçèè (M,g,∇) íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî (Rij +Rji)ξ iξj − 2(Sijk + Sikj − gijBk − gikBj)ξ i∇ kξj+ + (gjlgkm + gjmgkl)∇ kξj∇ mξl ≥ 0äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ Bk è ïñåâäîãàðìîíè÷åñêîãî âåê-òîðíîãî ïîëÿ ξ, åñëè òîëüêî íå èìååò ìåñòà ñîîòâåòñòâóþùååðàâåíñòâî. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òåíçîð êðó÷åíèÿ óäîâëå-òâîðÿåò óðàâíåíèþ âèäà Sijk + Sikj = gikBj + gijBk + gjkAi, (4.3)ïðèâåäåííîå âûøå óñëîâèå çàïèøåòñÿ òàê (Rij +Rji)ξ iξj + (gjlgkm + gjmgkl)∇ kξj∇ mξl ≥ 0 (4.4)è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðà-òè÷íîé �îðìû Rijξ iξj èç (4.4) ïîñëåäóåò, ÷òî êàæäîå ïñåâäî-ãàðìîíè÷åñêîå âåêòîðíîå ïîëå ξ äîëæíî èìåòü ðàâíûå íóëþêîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè ∇.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðà-òè÷íîé �îðìû Rijξ iξj óñëîâèå (4.4) âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷å-ñêè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïñåâäîãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé ξ íà òàêîì ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) íå ñóùå-ñòâóåò.Ïðîâåäåì àíàëèç óðàâíåíèé (4.3). Äëÿ ýòîãî íàéäåì Ai è Bi,ñâåðíóâ (4.3) ïîñëåäîâàòåëüíî ñ gjk, à çàòåì ñ gij . Ó÷èòûâàÿ,÷òî Sijk + Sjik = 0, ïîëó÷èì: { 2Si = 2Bi + nAi −Sk = (1 + n)Bk +Ak , 220 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâàîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Bi = − (n− 1)Si, Ai =2(n− 1)Si.Â èòîãå ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà Sijk + Sikj = (n− 1)−1(2gjkSi − gikSj − gijSk),êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè äëÿ ìíîãîîáðàçèé �èìàíà-Êàðòàíà êëàññà ∇ ∈ A⊕ B.Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû 7.10 (ñì.[25℄, ñòð. 85) íà ñëó÷àé íåñèììåòðè÷åñêîé ìåòðè÷åñêîé ñâÿçíî-ñòè êëàññà A⊕ B.Â çàêëþ÷åíèå ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó ìíîãîîá-ðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññà A⊕ B âêëþ÷àþò â ñå-áÿ â êà÷åñòâå ÷àñòíûõ âèäîâ ìíîãîîáðàçèÿ �èìàíà-Êàðòàíà (M,g,∇) êëàññîâ A è B, òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà èìååò ìåñòîè äëÿ ýòèõ êëàññîâ ìíîãîîáðàçèé.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Cartan E. Sur les vari�et�es �a onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part I. // Ann. �E . Norm. � 1923. � 40. � Pp. 325�412.[2℄ Cartan E. Sur les vari�et�es �a onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part I. // Ann. �E . Norm. � 1924. � 41. � Pp. 1�25.[3℄ Cartan E. Sur les vari�et�es à onnexion a�ne et la th�eorie de la relativ�eg�en�eralis�ee. Part II. // Ann. �E . Norm. � 1925. � 42. � Pp. 17�88.[4℄ Arkuszewski W., Kop zynski W., Ponomariev V.N. Mat hing Conditionsin the Einstein-Cartan Theory of Gravitation // Commun. math. Phys. �1975.�45. � Pp. 183-�190.[5℄ Ýéçåíõàðò Ë.Ï. �èìàíîâà ãåîìåòðèÿ, �Ì.: ÈË, 1948[6℄ Ñõîóòåí È.À., Ñòðîéê Ä.Äæ. Ââåäåíèå â íîâûå ìåòîäû äè��åðåí-öèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ò.1.: Ïåð. ñ íåì. � Ì.: ÈË, 1939. � 181 ñ.[7℄ Kibble T.W.B. Lorenz invarian e and the gravitational �eld // J. Math.Phys. � 1961. � 2. � Pp. 212�221.[8℄ S iama D.W. On the analogy between hange and spin in general relativity// Re ent developments in General Relativity. � Oxford: Pergamon Press & Warszawa: PWN. � 1962. � Pp. 415�439. Î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêèëëèíãîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 221[9℄ Ruggiero M.L. and Tartaglia A. Einstein�Cartan theory as a theory ofdefe ts in spa e-time. // Amer. J. Phys. � 2003. � 71. � Pp. 1303�1313.[10℄ Penrose R. Spinors and torsion in general relativity. // Found. of Phys.,� 1983. � 13. � Pp. 325-339.[11℄ Hehl F.W., M Crea J.D., Mielke E.W., Ne'eman Y.Metri -A�ne GaugeTheory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, andBreaking of Dilation Invarian e. // Phys. Rep. � 1995. � 258.[12℄ Trautman A. The Einstein�Cartan theory // En y lopedia ofMathemati al Physi s // Oxford: Elsevier. � 2006. � 2. � Pp. 189�195.[13℄ M Crea J. D., Irredu ible de ompositions of non-metri ity, torsion, urvature and Bian hi identities in metri a�ne spa e-times. //Class.Quant.Grav.�1992. � 9. � Pp. 553-568.[14℄ Capozziello S., Lambiase G., Stornaiolo C. Geometri lassi� ation of thetorsion tensor in spa e-time. // Annalen Phys. � 2001. � 10. � Pp. 713�727.[15℄ Gray A. and Hervella L. M. The sixteen lasses of almost Hermitianmanifolds and their linear invariants. // Ann. Mat. Pura e Appl. � 1980.� 123. � Pp.35�58.[16℄ Tri erri F. and Vanhe ke L. Homogeneous stru tures on Riemannianmanifolds. // London Math. So . Le ture Notes Series, Cambridge Univ.Press, Cambridge. � 1983., 83.[17℄ Áåññå À. Ìíîãîîáðàçèÿ Ýéíøòåéíà: Â 2-õ ò. Ò. II. Ïåð. ñ àíãë. � Ì.:Ìèð, 1990. � 384 ñ.[18℄ Yano K. On semi-symmetri metri onne tion. // Revue Romanie math.pur. appl. � 1970. � 15. � Pp. 1579-1586.[19℄ De U.C., Sengupta J. On a type of semi-symmetri metri onne tion onan almost onta t metri manifold. // Filomat. � 2000. � 14. � Pp. 33�42.[20℄ Prasad B., Verma R.K. On a type of semi-symmetri non-metri onne tion on a Riemannian manifold // Bull. Cal utta Math. So . � 2004.� 96. �6. � Pp.483�488.[21℄ Uysal S.A., Laleo�glu R. �O. On weakly symmetri spa es with semi-symmetri metri onne tion // Publ. Math. � 2005. � 67. �1�2. � Pp.145�154.[22℄ Ya�sar E., C�oken A.C., Y�u esan A. Totally umbili al lightlikehypersurfa es in semi�Riemannian manifold with semi-symmetri metri onne tion // Int. J. Pure Appl. Math. � 2005. � 23. �3. � Pp. 379�391.[23℄ Bo hner S., Yano K. Tensor-�elds in non-symmetri onne tions. // TheAnnals of Mathemati s, 2nd Ser. � 1952. � 56. �3. � Pp. 504�519.[24℄ Goldberg S.I. On pseudo-harmoni and pseudo-Killing ve tor in metri manifolds with torsion. // The Annals of Mathemati s, 2nd Ser. � 1956. �64. �2. � Pp. 364�373. 222 C.Å.Ñòåïàíîâ, È.À. �îðäååâà[25℄ ßíî Ê., Áîõíåð Ñ. Êðèâèçíà è ÷èñëà Áåòòè.: Ïåð. ñ àíãë. � Ì.: ÈË.,1957. � 152 ñ.[26℄ Kubo Y. Ve tor �elds in a metri manifold with torsion and boundary. //Kodai Math. Sem. Rep. � 1972. � 24. � Pp. 383�395.[27℄ �îðäååâà È.À. Ïñåâäîêèëëèíãîâûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà ìíîãîîáðàçè-ÿõ �èìàíà-Êàðòàíà. � Òåçèñû äîêëàäîâ Ìåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè��åîìåòðèÿ â Îäåññå� (Îäåññà, 19-24 ìàÿ 2008 ã.), Ôîíä �Íàóêà�, Îäåññà,� 2008. 73�75 .[28℄ �îðäååâà È.À., Ñòåïàíîâ Ñ.Å. Òåîðåìà èñ÷åçíîâåíèÿ äëÿ ïñåâäîãàð-ìîíè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèè �èìàíà-Êàðòàíà. Òå-çèñû äîêëàäîâ Ìåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè ïî äè��åðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì è äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì (Ñóçäàëü, 27 èþíÿ-2 èþëÿ 2008ã.), Âë�Ó, Âëàäèìèð, � 2008, 71�73 .

О существовании псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана

Репозитарії

Схожі ресурси