Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи
Классическими методами математического анализа с использованием инфинитезимальных гармонических преобразований изучаются солитоны Риччи на некомпактных и компактных многообразиях....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6303 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи / С.Е. Степанов, В.Н. Шелепова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 223-234. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6303 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63032010-02-24T12:00:58Z Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи Степанов, С.Е. Шелепова, В.Н. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Классическими методами математического анализа с использованием инфинитезимальных гармонических преобразований изучаются солитоны Риччи на некомпактных и компактных многообразиях. 2009 Article Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи / С.Е. Степанов, В.Н. Шелепова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 223-234. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6303 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Степанов, С.Е. Шелепова, В.Н. Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| description |
Классическими методами математического анализа с использованием инфинитезимальных гармонических преобразований изучаются солитоны Риччи на некомпактных и компактных многообразиях. |
| format |
Article |
| author |
Степанов, С.Е. Шелепова, В.Н. |
| author_facet |
Степанов, С.Е. Шелепова, В.Н. |
| author_sort |
Степанов, С.Е. |
| title |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| title_short |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| title_full |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| title_fullStr |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| title_full_unstemmed |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи |
| title_sort |
инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны риччи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6303 |
| citation_txt |
Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи / С.Е. Степанов, В.Н. Шелепова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 223-234. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT stepanovse infinitezimalʹnyegarmoničeskiepreobrazovaniâisolitonyričči AT šelepovavn infinitezimalʹnyegarmoničeskiepreobrazovaniâisolitonyričči |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:21Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:21Z |
| _version_ |
1836525983432179712 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 223-234Ñ.Å.ÑòåïàíîâÔèíàíñîâàÿ Àêàäåìèÿ ïðè ïðàâèòåëüñòâå �îññèéñêîéÔåäåðàöèè, ÌîñêâàE-mail: stepanov�vtsnet.ruÂ.Í.ØåëåïîâàÂëàäèìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ãóìàíèòàðíûéóíèâåðñèòåò, �îññèÿE-mail: verro
hka�list.ruÈí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèåïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîëèòîíû �è÷÷èÊëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñ èñïîëüçîâàíèåìèí�èíèòåçèìàëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé èçó÷àþòñÿ ñîëè-òîíû �è÷÷è íà íåêîìïàêòíûõ è êîìïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ,ñîëèòîíû �è÷÷è 1. Ââåäåíèå1.1. Òåîðèÿ ïîòîêîâ �è÷÷è íà ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ, îñíîâûêîòîðîé çàëîæèë �.Ñ. �àìèëüòîí â ñåðèè ñòàòåé, îïóáëèêîâàí-íûõ â 80�90-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà, ñåãîäíÿ ñòàëà íåâåðîÿòíîïîïóëÿðíîé (ñì. [1℄; [2℄ è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó).Ñàìîïîäîáíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé �àìèëüòîíà ïîòîêà �è÷÷èñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì íà ìíîãîîáðàçèè òàê íàçûâàåìîãî ñîëèòîíà�è÷÷è, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí êàê �èêñèðîâàííàÿ�ñòàðòîâàÿ� òî÷êà ýòîãî ïîòîêà (ñì. [1℄, ñòð.21-22; [2℄, ñòð. 154-156).1.2. Èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû â òåîðèè ãàìèëüòîíîâûõ ïîòîêîâ�è÷÷è, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ñîëèòîíû �è÷÷è, ñâÿçàíû, êàê
© Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.Øåëåïîâà, 2009
224 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.Øåëåïîâàïðàâèëî, ñ òðåáîâàíèåì êîìïàêòíîñòè äëÿ ìíîãîîáðàçèé, íàêîòîðûõ îíè ðàññìàòðèâàþòñÿ (ñì. [2℄, ñòð. 128, 245, 266, 388,514; [4℄, ñòð. 7; [5℄, ñòð. 123, 126-127 è äð.).Ñ äðóãîé ñòîðîíû ñïèñîê �îòêðûòûõ ïðîáëåì� â òåîðèè ãà-ìèëüòîíîâûõ ïîòîêîâ �è÷÷è (ñì. [2℄, ñòð. 265, 389-390) íàðÿäóñ çàäà÷àìè, ãäå ïðèñóòñòâóåò óñëîâèå êîìïàêòíîñòè äëÿ ìíîãî-îáðàçèé ñ ñîëèòîíàìè �è÷÷è, âêëþ÷àåò è çàäà÷è ñ ñîëèòîíàìè�è÷÷è íà íåêîìïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ.Íàïðèìåð, òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî íà íåêîìïàêòíîì ìíîãî-îáðàçèèMn(n ≥ 3) íå ñóùåñòâóåò ðàñòÿãèâàþùåãîñÿ ãðàäèåíò-íîãî ñîëèòîíà �è÷÷è ñ ìåòðèêîé ïîëîæèòåëüíî çàùåìëåííîéêðèâèçíû �è÷÷è. Ýòî äîïîëíèëî áû èçâåñòíûé ðåçóëüòàò î ðàñ-òÿãèâàþùåìñÿ ñîëèòîíå �è÷÷è íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè,ãäå îí ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòíûì (ñì. [4℄, ñòð. 7; [5℄, ñòð. 126-127) ñýéíøòåéíîâîé ìåòðèêîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû �è÷÷è (ñì.[1℄, ñòð. 117; [2℄, ñòð. 353; [5℄, ñòð. 123; 127).Ïðèòîì, ÷òî àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñòàáèëüíîãî ñî-ëèòîíà �è÷÷è èçâåñòíû êàê íà êîìïàêòíîì (ñì. òàì æå), òàêè íåêîìïàêòíîì (ñì. [2℄, ñòð. 364) ìíîãîîáðàçèÿõ.  ïîñëåäíåìñëó÷àå óñëîâèåì ïðåïÿòñòâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ãðàäèåíòíî-ãî ñòàáèëüíîãî ñîëèòîíà �è÷÷è ñëóæèò ïîëîæèòåëüíàÿ çàùåì-ë¼ííîñòü êðèâèçíû �è÷÷è åãî ìåòðèêè. íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû èçó÷èì ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîãî àíà-ëèçà ñîëèòîíû �è÷÷è, èñïîëüçóÿ ââåäåííîå ðàíåå ïîíÿòèå èí-�èíèòåçèìàëüíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.�åçóëüòàòû ýòîé ðàáîòû áûëè àíîíñèðîâàíû íà äâóõ ìåæ-äóíàðîäíûõ êîí�åðåíöèÿõ (ñì. [12℄, ñòð. 127-128; [13℄, ñòð. 260-261). 2. Cîëèòîíû è ïîòîêè �è÷÷è2.1. Ñîëèòîíîì �è÷÷è (ñì. [1℄, ñòð. 22; [2℄, ñòð. 353; [3℄) íà n-ìåðíîì (n ≥ 2) ñâÿçíîì äè��åðåíöèðóåìîì ìíîãîîáðàçèè Mníàçûâàåòñÿ ðåøåíèå (g0,X0, λ) äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
−2Ric0 = LX0g0 + 2λg0 (2.1)
Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 225ãäå g0 � ïîëíàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà, X0 � ïîëíîå âåêòîðíîåïîëå, LX0 � ïðîèçâîäíàÿ Ëè ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ïîëþ
X0 è λ � íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Ñîëèòîí �è÷÷è íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíûì (steady), åñëè λ = 0,ñòÿãèâàþùèìñÿ (shrinking), åñëè λ < 0, è, íàêîíåö, ðàñòÿãè-âàþùèìñÿ (expanding), åñëè λ > 0 (ñì. [1℄, ñòð. 22; [2℄, ñòð. 154;353).Ñîëèòîí �è÷÷è íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòíûì (ñì. [1℄, ñòð. 22; [2℄,ñòð. 154), åñëè âåêòîðíîå ïîëå X0 ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòîì íåêî-òîðîé ñêàëÿðíîé �óíêöèè f .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (2.1)ïðèíèìàþò âèä
−Ric0 = ∇0∇0f + λg0 (2.2)äëÿ ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇0 ìåòðèêè g0. Äëÿ ãðàäèåíòíîãîñîëèòîíà �è÷÷è ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå (g0, f, λ).2.2. Åñëè íà n-ìåðíîì (n ≥ 2) ñâÿçíîì äè��åðåíöèðóåìîììíîãîîáðàçèè Mn çàäàí ñîëèòîí �è÷÷è (g0,X0, λ), òî íà âêëþ-÷àþùåì 0 èíòåðâàëå J ⊂ R ñóùåñòâóåò ïîðîæäàåìîå âåêòîð-íûìè ïîëÿìè Yt = (1 + λt)−1X0 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâîäè��åîìîð�èçìîâ ψt = ψ(t) ìíîãîîáðàçèÿ Mn, êîòîðîå, âñâîþ î÷åðåäü, çàäàåò 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ìåòðèê gt =
g(t) = (1 + λt)ψ∗
t g0, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé �àìèëü-òîíà ïîòîêà �è÷÷è (ñì. [1℄, ñòð. 21-22; [2℄, ñòð. 154-156)
∂
∂t
g(t) = −2Rictäëÿ òåíçîðà �è÷÷è Rict ìåòðèêè gt = g(t). Âåðíî è îáðàòíîå.3. Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèåïðåîáðàçîâàíèÿ3.1. Èí�èíèòåçèìàëüíûì ãàðìîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåìðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ (Mn, g) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå Õ
226 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.Øåëåïîâàòàêîå, ÷òî èíäóöèðîâàííàÿ èì 1-ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà ëî-êàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîãîîáðàçèÿ (Mn, g) ñîñòîèò èç ëî-êàëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ äè��åîìîð�èçìîâ (ñì. [6℄ - [8℄).Ìíîæåñòâî èí�èíèòåçèìàëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçî-âàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ R-ìîäóëü, êîòîðûé íà êîìïàêòíîììíîãîîáðàçèè (Mn, g) èìååò êîíå÷íóþ ðàçìåðíîñòü (ñì. [6℄; [8℄).Ïðè ýòîì àëãåáðà Ëè èí�èíèòåçèìàëüíûõ èçîìåòðèé ìíîãî-îáðàçèÿ (Mn, g) ñîäåðæèòñÿ â R-ìîäóëå èí�èíèòåçèìàëüíûõãàðìîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé (ñì. òàì æå).Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîñòàâ-ëÿþò ÿäðî îïðåäåëåííîãî â [6℄ ñàìîñîïðÿæåííîãî ëàïëàñèàíàßíî
2 = δ ◦ δ∗ − δ∗ ◦ δ,ãäå δ � îïåðàòîð êîäè��åðåíöèðîâàíèÿ, �îðìàëüíî ñîïðÿæåí-íûé îïåðàòîðó δ∗X = LXg = 0 . Óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäó èç-âåñòíûì (ñì., íàïð., [10℄, ñòð. 167) ëàïëàñèàíîì Õîäæà ∆H èëàïëàñèàíîì ßíî 2, èìåþùàÿ âèä (ñì. [6℄; [8℄)
2 = ∆H − 2Ric∗, (3.1)ãäå Ric∗- îïåðàòîð �è÷÷è, ñîîòâåòñòâóþùèé îòíîñèòåëüíî ìåò-ðèêè g òåíçîðó �è÷÷è Ri
.3.2. �àññìîòðèì ñîëèòîí �è÷÷è (g0,X0, λ) íà n-ìåðíîì (n ≥ 2)ñâÿçíîì äè��åðåíöèðóåìîì ìíîãîîáðàçèè Mn. ÑïðàâåäëèâàËåììà 1. Âåêòîðíîå ïîëå X0 ñîëèòîíà �è÷÷è (g0,X0, λ), çà-äàííîãî íà n-ìåðíîì (n ≥ 2) ìíîãîîáðàçèè Mn, ÿâëÿåòñÿ èí-�èíèòåçèìàëüíûì ãàðìîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ðèìàíîâàìíîãîîáðàçèÿ (Mn, g0).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (2.1) ñîëèòîíà �è÷÷è
(g0,X0, λ) â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x1, . . . , xn ìíîãîîáðàçèÿ
Mn
−Rij =
1
2
LX0gij + λgij (3.2)
Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 227äëÿ LX0gij := ∇iXj + ∇jXi. Çäåñü Xi = gijX
j , Rij è gij � êîì-ïîíåíòû 1-�îðìû ω0, äâîéñòâåííîé âåêòîðíîìó ïîëþ X0, òåí-çîðîâ �è÷÷è Ric0 è g0, à òàêæå ∇k � ñèìâîë êîâàðèàíòíîãîäè��åðåíöèðîâàíèÿ ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇0 â íàïðàâëåíèè
∂k = ∂/∂xk, â çàïèñè êîòîðûõ ñèìâîë �0� ìû äëÿ óïðîùåíèÿîáîçíà÷åíèé îïóñêàåì.Äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòî��åëÿ Γkij ñâÿçíîñòè Ëåâè-×èâèòà ∇0ñïðàâåäëèâû �îðìóëû ([9℄, �ëàâà 1, �îðìóëû (5.12) è (5.21))
LXΓkij = ∇i∇jX
k +RkiljX
l;
LXΓkij =
1
2
gkl{∇i(LXglj) + ∇j(LX)gil −∇l(LXgij)},Ñâåäåì ýòè äâå �îðìóëû â îäíó è íà îñíîâàíèè (5.1) ïðèäà-äèì åé ñëåäóþùèé âèä
∇i∇jX
k +Rkilj =
1
2
gkl{−∇iRlj −∇jRil + ∇lRij}. (3.3)Åñëè ñâåðíóòü ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.3) ñ gij , ïî-ëó÷èì
2Xk := −(gij∇i∇jX
k +RklX
l) = 0, (3.4)ïîñêîëüêó 2gij∇iRjl = ∇ls0.Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðíîå ïîëå X0 ñîëèòîíà �è÷÷è
(g0,X0, λ),êàê è äâîéñòâåííàÿ åìó 1-�îðìà ω0, ïðèíàäëåæàò ÿäðó îïåðà-òîðà Ê. ßíî 2 (ñì. [9℄, ñòð. 40). Ïîñëåäíåìó, êàê ýòî ïîêàçàíîâ [6℄ è [8℄, ìîæíî ïðèäàòü âèä 2 = δ ◦ δ∗ − δ∗ ◦ δ.  ñèëó (3.1)ðàâåíñòâî (3.4) ìîæíî åùå ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå (ñì.[7℄)
∆HX
j = 2RjkX
k, (3.5)ãäå Rjk - êîìïîíåíòû îïåðàòîðà �è÷÷è Ric∗0. �Çàìå÷àíèå 1. Çíàÿ, ÷òî âåêòîð X0 ñîëèòîíà �è÷÷è
(g0,X0, λ)
228 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.Øåëåïîâàÿâëÿåòñÿ èí�èíèòåçèìàëüíûì ãàðìîíè÷åñêèì ïðåîáðàçî-âàíèåì, ñâîéñòâà ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðèïèñàòü ñî-ëèòîíó �è÷÷è íå òîëüêî íà ðèìàíîâîì, íî êåëåðîâîì ìíîãî-îáðàçèÿõ (ñì. [6℄ - [8℄).4. Ýíåðãèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ñîëèòîíà �è÷÷è4.1. Äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ X0 ñîëèòîíà �è÷÷è (g0,X0, λ) ââåäåìâ ðàññìîòðåíèå ñêàëÿðíóþ �óíêöèþ E(X0) = 2−1g0(X0,X0),íàçûâàåìóþ ýíåðãèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ X0 (ñì., íàïð., [11℄).ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 1. Ïóñòü (g0,X0, λ) � ñîëèòîí �è÷÷è íà íåêîì-ïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè Mn(n ≥ 2). Åñëè ýíåðãèÿ E(X0) âåê-òîðíîãî ïîëÿ X0 èìååò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x ∈Mn , â êîòî-ðîé X0(x) 6= 0, òîãäà ñîëèòîí �è÷÷è áóäåò ñòÿãèâàþùèìñÿ(ñîîòâåòñòâåííî ðàñòÿãèâàþùèìñÿ èëè ñòàáèëüíûì), åñëè âýòîé òî÷êå Ric0(X0,X0) > 0 (ñîîòâåòñòâåííî Ric0(X0,X0) <
0 èëè Ric0(X0,X0) = 0).Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óðàâíåíèé ñîëèòîíà �è÷÷è (3.2) ïîñëåäó-åò
−Ric0(X0,X0) = X0(E(X0)) + 2λE(X0), (4.1)ïîñêîëüêó
X0(E(X0)) = g(X0,∇0
X0
X0).Ïóñòü òåïåðü x ∈ Mn � êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà �óíêöèè E(X0),òîãäà â ýòîé òî÷êå X0(E(X0)) = 0.  èòîãå
Ric0(X0(x),X0(x)) = −2λE(X0)(x).Åñëè ïðè ýòîì X0(x) 6= 0, òî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1 ñòàíîâÿò-ñÿ î÷åâèäíûìè. �Çàìå÷àíèå 2. Èç òåîðåìû, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íàêîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè ñîëèòîí �è÷÷è ñ ïîëîæèòåëüíîéêðèâèçíîé �è÷÷è è íåîáðàùàþùèìñÿ â íóëü âåêòîðíûì ïîëåì
X0 ñ íåîáõîäèìîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ñòÿãèâàþùèìñÿ.
Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 229Òåîðåìà 2. Ïóñòü (g0,X0, λ) � ñîëèòîí �è÷÷è íà íåêîì-ïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè Mn(n ≥ 2) òàêîé, ÷òî ìåòðèêà g0èìååò îòðèöàòåëüíóþ êðèâèçíó �è÷÷è, òîãäà ñîëèòîí �è÷÷èáóäåò ðàñòÿãèâàþùèìñÿ, åñëè ýíåðãèÿ E(X0) âåêòîðíîãî ïîëÿ
X0 èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì â íåêîòîðîé òî÷êå x ∈Mn.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ýíåðãèÿ E(X0) âåêòîðíîãî ïî-ëÿ X0 èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì â íåêîòîðîé òî÷êå x ∈ Mn, òîãäà â ýòîé òî÷êå ∆E(X0) ≤ 0 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ
E(X0) íåïîñðåäñòâåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåí-ñòâà (3.4) äàþò
∆E(X0) := traceg(Hess(E(X0)) =
= g0(∇0X0,∇0X0) −Ric0(X0,X0). (4.2)Èç (4.2) â ïðåäïîëîæåíèè îá îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèêðèâèçíû �è÷÷è ñëåäóåò, ÷òî íà Mn âñþäó ∆E(X0) > 0 , åñëèòîëüêî X0 6= 0. Èç ýòèõ äâóõ íåðàâåíñòâ çàêëþ÷àåì, ÷òî X0äîëæåí áûòü íóëåì â òî÷êå x ∈ Mn. Íî òàê êàê E(X0) èìååòëîêàëüíûé ìàêñèìóì â x ∈ Mn è ïðè ýòîì E(X0) > 0 âñþäóíà Mn, åñëè òîëüêî X0 6= 0, òî X0 äîëæåí îáðàùàåòñÿ â íóëüâ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Ux òî÷êè x ∈Mn.Òîãäà æå â îêðåñòíîñòè Ux óðàâíåíèÿ (2.1) ïðèìóò âèä
Ric0 = −λg0,èç êîòîðûõ ïîñëåäóåò, ÷òî λ > 0, à ïîòîìó (g0,X0, λ) - ðàñòÿ-ãèâàþùèéñÿ ñîëèòîí �è÷÷è. �4.2.  çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì êîìïàêòíûé âàðèàíò òåîðåìû 1.Òåîðåìà 3. Ïóñòü íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè Mn çàäàíñîëèòîí �è÷÷è (g0,X0, λ). Åñëè òåíçîð �è÷÷è Ric0 ìåòðèêè
g0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ric0(X0,X0) ≤ 0 , òî ñîëèòîí �ñòàáèëüíûé, ìåòðèêà g0 � �è÷÷è-ïëîñêàÿ, à âåêòîðíîå ïîëå
X0 � êîâàðèàíòíî ïîñòîÿííîå. Åñëè æå òåíçîð �è÷÷è îòðè-öàòåëüíî îïðåäåëåí, òî ñîëèòîí � ðàñòÿãèâàþùèéñÿ, ìåò-ðèêà g0 � ýéíøòåéíîâàÿ, à âåêòîðíîå ïîëå X0 � íóëåâîå.
230 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.ØåëåïîâàÄîêàçàòåëüñòâî. �àññìîòðèì äëÿ êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
Mn (n ≥ 2) îðèåíòèðîâàííîå äâóëèñòíîå íàêðûòèå è âîñïîëü-çóåìñÿ òåîðåìîé �ðèíà ∫Mn divXdv = 0 äëÿ divX = ∆E(X0).Òîãäà â ñîîòâåòñòâèå ñ (4.2) ïîëó÷èì:
∫
Mn
[g0(∇0X0,∇0X0) −Ric0(X0,X0)] = 0. (4.3)Ïðè Ric0(X0,X0) ≤ 0 èç (4.3) çàêëþ÷àåì, ÷òî Ric0(X0,X0) = 0è ∇0X0 = 0 . Ïðè ýòîì èç (4.1) ïîñëåäóåò, ÷òî λ = 0 , à èç (2.1),÷òî Ric0 = 0. Áîëåå òîãî, åñëè Ric0(X0,X0) < 0, òî èç (4.3)çàêëþ÷àåì, ÷òî X0 = 0, à ýòî àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò, ÷òî λ > 0.Ïðè ýòîì èç (2.1) ïîñëåäóåò, ÷òî Ric0 = −λg0. �Çàìå÷àíèå 3. Ïîñêîëüêó äîêàçàíî (ñì. Ââåäåíèå), ÷òî ðàñ-òÿãèâàþùèéñÿ è ñòàáèëüíûé ñîëèòîíû �è÷÷è íà êîìïàêò-íîì ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿþòñÿ ãðàäèåíòíûìè ñ ìåòðèêàìè ñî-îòâåòñòâåííî ýéíøòåéíîâîé ñ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíîé�è÷÷è è �è÷÷è-ïëîñêîé, òî òåîðåìó 3 ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê îáðàòíîå, äîïîëíÿþùåå äàííîå óòâåðæäåíèå.5. Ñîëèòîíû �è÷÷è ñ ìåòðèêîé ïîñòîÿííîéñêàëÿðíîé êðèâèçíû5.1. Ïóñòü ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà s0 ìåòðèêè g0, îïðåäåëÿåìàÿêàê ñëåä îïåðàòîðà �è÷÷è Ric∗0, ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷è-íîé. ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 4. Ïóñòü (g0,X0, λ) � ñîëèòîí �è÷÷è íà íåêîì-ïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè Mn(n ≥ 2) ñ ìåòðèêîé g0 ïîñòîÿííîéñêàëÿðíîé êðèâèçíû s0. Åñëè s0 = 0, òî ìåòðèêà g0 áóäåò�è÷÷è-ïëîñêîé, à âåêòîðíîå ïîëå X0 � èí�èíèòåçèìàëüíîéãîìîòåòèåé. Åñëè æå s0 6= 0, òî íåíóëåâûå λ è s0 èìåþòðàçíûå çíàêè è ïðè ýòîì äëÿ(1) ñòàáèëüíîãî ñîëèòîíà ìåòðèêà g0 áóäåò �è÷÷è-ïëîñ-êîé, à âåêòîðíîå ïîëå X0 - èí�èíèòåçèìàëüíîé èçî-ìåòðèåé;
Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 231(2) ñòÿãèâàþùåãîñÿ ñîëèòîíà 0 < s0 ≤ n|λ|;(3) ðàñòÿãèâàþùåãîñÿ ñîëèòîíà −nλ ≤ s0 < 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà δ∆H = ∆hδ (ñì.[10℄, ñòð. 167) èç óðàâíåíèé (5.4) âûâîäèì:
∆HδX0 = δ(2Ric∗0X0),ãäå â ëåâîé ÷àñòè èìååì íóëü, ïîñêîëüêó
∆HδX0 = −∆HdivX0 = ∆H(s0 + nλ) = 0,è îäíîâðåìåííî â ïðàâîé ÷àñòè èìååì:
δ(2Ric∗0X0) = −(2∇kRkj)X
j − 2Rkj∇kXj =
= −Xj∇js0 −Rkj(∇kXj + ∇jXk) = −Rkj(∇kXj + ∇jXk). èòîãå ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
Rkj(∇kXj + ∇jXk) = 0. (5.1)Èç óðàâíåíèé ñîëèòîíà �è÷÷è (3.2) íàõîäèì:
LX0gij = −2(Rij + λgij),ñ ó÷åòîì ýòîãî èç (5.1) âûâîäèì, ÷òî
−2Rkj(R
kj + λgkj) = −2(‖Ric‖2 + λs0) = 0,îòêóäà
λs0 = −‖Ric‖2 ≤ 0. (5.2)Èç (5.2) ñëåäóåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî íåíóëåâûå λ è s0 èìåþò ðàç-íûå çíàêè è, âî-âòîðûõ, ÷òî ïðè λ = 0 èëè s0 = 0 ìåòðèêà g0 ñíåîáõîäèìîñòüþ ñòàíîâèòñÿ �è÷÷è-ïëîñêîé. Ïðè÷åì â ïåðâîìñëó÷àå âåêòîðíîå ïîëå X0 � èí�èíèòåçèìàëüíàÿ èçîìåòðèÿ,÷òî î÷åâèäíî, à âî âòîðîì � èí�èíèòåçèìàëüíàÿ ãîìîòåòèÿ,ïîñêîëüêó LX0g0 = −2λg0.Ñîãëàñíî (3.2) èìååì: Rij = −2−1LX0gij − λgij è òîãäà èç(5.1) ïîñëåäóåò, ÷òî ‖LX0gij‖2 − 4λ(s0 + nλ) = 0, îòêóäà
λ(s0 + nλ) =
1
4
‖LX0gij‖2 ≥ 0 (5.3)
232 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.ØåëåïîâàÅñëè òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî s0 > 0, òîãäà èç (5.3) ïðè λ < 0ñëåäóåò, ÷òî 0 < s0 ≤ n | λ |. Åñëè æå s0 < 0 è λ > 0, òî èç (5.3)ñëåäóåò, ÷òî −nλ ≤ s0 < 0. �5.2. Ïîñêîëüêó ãåîìåòðèÿ ðàñòÿãèâàþùåãîñÿ è ñòàáèëüíîãî ñî-ëèòîíîâ �è÷÷è íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè èçâåñòíà (ñì. òåî-ðåìó 3), òî êîìïàêòíûé âàðèàíò òåîðåìû 4 ñ�îðìóëèðóåì êàêòåîðåìó î ñòÿãèâàþùèìñÿ ñîëèòîíå �è÷÷è.Òåîðåìà 5. Äëÿ òîãî ÷òîáû íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè
Mn (n > 2) ìåòðèêà g0 ñòÿãèâàþùåãîñÿ ñîëèòîíà �è÷÷è
(g0,X0, λ)áûëà ýéíøòåéíîâîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ñêà-ëÿðíàÿ êðèâèçíà s0 áûëà ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìåòðèêà g0 ñîëèòîíà �è÷÷è (g0,X0, λ),çàäàííîãî íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèèMn, èìååò ïîñòîÿííóþñêàëÿðíóþ êðèâèçíó s0. Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíîé �îðìó-ëîé Ê. ßíî (ñì. [9℄, �ëàâà II, �îðìóëà (1.14))
∫
Mn
(g(2X + n−1(n− 2)∇δX,X) − 2−1 ‖ LXg + 2n−1δXg ‖2)dV = 0,ÿâëÿþùåéñÿ îäíîé èç ðàçíîâèäíîñòåé òåîðåìû �ðèíà.Äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ X0 ñîëèòîíà �è÷÷è (g0,X0, λ) è ïîñòî-ÿííîé ñêàëÿðíîé êðèâèçíû s0 èìååì 2X0 = 0 è
∇0δX0 = ∇0(s0 + nλ) = 0. ðåçóëüòàòå èç �îðìóëû ïîñëåäóåò, ÷òî LX0g = −2n−1δX0g0.Áîëåå òîãî, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû �ðèíà ∫Mn δXdv = 0 íàõîäèì,÷òî s0 = −nλ > 0, à ñ ó÷åòîì (5.3) è LX0g0 = 0. Òîãäà óðàâíå-íèÿ (2.1) ñîëèòîíà �è÷÷è ïðèìóò âèä Ric0 = −λg0 = n−1s0g0.Îáðàòíîå î÷åâèäíî. �Çàìå÷àíèå 4. Åñëè â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì òåîðåìû 5 ïî-òðåáîâàòü çàùåìë¼ííîñòü êðèâèçíû �è÷÷è âèäà Ric0 < 1
2s0g0,
Èí�èíèòåçèìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 233òî ìåòðèêà g0 áóäåò èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ ïîñòîÿííóþñåêöèîííóþ êðèâèçíó.6. Äâóìåðíûå ãðàäèåíòíûå ñîëèòîíû �è÷÷è6.1. �àññìîòðèì ñîëèòîí �è÷÷è (g0,X0, λ) íà äâóìåðíîì ñâÿç-íîì ìíîãîîáðàçèè M2. Òîãäà Ric0 = 2−1s0g0, ïðè÷åì â îáùåìñëó÷àå s0 6= const. Îäíîâðåìåííî èç óðàâíåíèé ñîëèòîíà �è÷÷è(2.1) âûâîäèì
LX0g0 = −2(2−1s0 + λ)g0 (6.1)è, ñëåäîâàòåëüíî, X0 � èí�èíèòåçèìàëüíîå êîí�îðìíîå ïðå-îáðàçîâàíèå. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 6. Ïóñòü íà ñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè M2 ñóùåñòâó-åò ãðàäèåíòíûé ñîëèòîí �è÷÷è (g0, f, λ), òîãäà ïðè f 6= constðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå (M2, g0) êîí�îðìíî ñ�åðå 3-ìåðíîãî åâ-êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R3.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ãðàäèåíòíîãî ñîëèòîíà (g0, f, λ) óðàâíå-íèÿ (6.1) ïðåäñòàíóò â ñëåäóþùåì âèäå
∇0∇0f = −(2−1s0 + λ)g0,îòêóäà ïîñëåäóåò, ÷òî ∆f = −2(2−1s0 +λ), à ïîòîìó óðàâíåíèÿãðàäèåíòíîãî ñîëèòîíà �è÷÷è çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
∇0∇0f = 2−1∆fg0.Òåïåðü îñòàëîñü ñîñëàòüñÿ íà òåîðåìó (ñì. [9℄, �ëàâà 2, Òåîðå-ìà 6.3), ñîãëàñíî êîòîðîé íàëè÷èå íà n-ìåðíîì (n ≥ 2) ñâÿçíîìïîëíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè (Mn, g0) ñêàëÿðíîé �óíêöèè
f (f 6= const) ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé
∇0∇0f = n−1∆fg0,ñëóæèò íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì êîí�îðìíîñòèðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ (Mn, g0) ãèïåðñ�åðå n-ìåðíîãî åâêëè-äîâà ïðîñòðàíñòâà Rn+1. �
234 Ñ.Å.Ñòåïàíîâ, Â.Í.ØåëåïîâàÑïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Chow B., Knopf D. The Ri
i �ow: An introdu
tion // Ameri
an Ma-themati
al So
iety, S
ien
e Press. � 2004.[2℄ Chow B., Lu P., Ni L. Hamilton's Ri
i �ow. // Ameri
an Mathemati
alSo
iety, S
ien
e Press. � 2006.[3℄ Hamilton R.S. The Ri
i �ow on surfa
es. // Contemp.Math. � 1988.� 71.� Pp.237�261.[4℄ Perelman G. The entropy formula for the Ri
i �ow and its geometri
appli
ations. // arXiv:math.DG/0211159v1 [math.DG℄� 11 Nov 2002[5℄ Cao H.-D. Geometry of Ri
i solitons. // Chin. Ann. Math., Series B. �2006.� 27. � Pp.142.[6℄ Stepanov S.E., Shandra I.G. Geometry of in�nitesimal harmoni
trans-formations. // Annals of Global Analysis and Geometry. � 2003.� 24. �Pp.291�299.[7℄ Ñòåïàíîâ Ñ.Å., Øàíäðà È.�. �àðìîíè÷åñêèå äè��åîìîð�èçìû ìíî-ãîîáðàçèé. // Àëãåáðà è Àíàëèç. � 2004.� 16. �2. � Pp.154�171.[8℄ Ñìîëüíèêîâà Ì.Â., Ñòåïàíîâ Ñ.Å., Øàíäðà È.�. Èí�èíèòèòåçèìàëü-íûå ãàðìîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. �2004.� 5. � Pp.69�75.[9℄ Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry. // New York, Mar
elDekker. � 1970.[10℄ Æ.äå �àì. Äè��åðåíöèðóåìûå ìíîãîîáðàçèÿ. // M. � 1956[11℄ Udriste C. Properties of torse forming ve
tor �elds. // Tensor, N.S. �1985.� 42. � Pp.137�144.[12℄ Ñòåïàíîâ Ñ.Å., Øåëåïîâà Â.Í. Î ñîëèòîíàõ �è÷÷è ñ óñëîâèÿìè íàñêàëÿðíóþ êðèâèçíó è êðèâèçíó �è÷÷è. // Òåçèñû äîêëàäîâ ìåæä.êîí�. ��åîìåòðèÿ â Îäåññå-2008�. � 2008.� Pp.127�128.[13℄ Øåëåïîâà Â.Í. Ñîëèòîíû �è÷÷è íà äâóìåðíîì ïîëíîì ìíîãîîáðàçèè.// Ìåæä. êîí�. ïî äè��åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è äèíàìè÷åñêèìñèñòåìàì, Ñóçäàëü. � 2008.� Pp.260�261.
|