R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов
В работе описывается структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых на плоскости с метриками Евклида или Минковского относительно R-конформных преобразований....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6304 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов / И.С. Стрельцова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 235-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6304 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63042010-02-24T12:00:45Z R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов Стрельцова, И.С. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" В работе описывается структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых на плоскости с метриками Евклида или Минковского относительно R-конформных преобразований. We describe a structure of the algebra of scalar differential invariants of plane curves with respect to conform transformations. 2009 Article R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов / И.С. Стрельцова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 235-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6304 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Стрельцова, И.С. R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| description |
В работе описывается структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых на плоскости с метриками Евклида или Минковского относительно R-конформных преобразований. |
| format |
Article |
| author |
Стрельцова, И.С. |
| author_facet |
Стрельцова, И.С. |
| author_sort |
Стрельцова, И.С. |
| title |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| title_short |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| title_full |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| title_fullStr |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| title_full_unstemmed |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| title_sort |
r-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6304 |
| citation_txt |
R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов / И.С. Стрельцова // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 235-246. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT strelʹcovais rkonformnaâgeometriâkrivyhnaploskostialgebradifferencialʹnyhinvariantov |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:24Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:24Z |
| _version_ |
1836525986235023360 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 235-246È. Ñ. ÑòðåëüöîâàÀñòðàõàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ÀñòðàõàíüE-mail: strelzova_i�mail.ru
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íàïëîñêîñòè: àëãåáðàäè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ðàáîòå îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà àëãåáðû ñêàëÿðíûõ äè��åðåíöèàëü-íûõ èíâàðèàíòîâ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè ñ ìåòðèêàìè Åâêëèäà èëè Ìèí-êîâñêîãî îòíîñèòåëüíî R-êîí�îðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
We describe a structure of the algebra of scalar differential invariants of
plane curves with respect to conform transformations.Êëþ÷åâûå ñëîâà: di�erential invariants, invariant di�erentiation1. ÂâåäåíèåÏóñòü R2
ε � ïëîñêîñòü ñ ìåòðèêîé ds2 = dy2 + εdx2. Çäåñü
x, y � êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè è ε = ±1. Ïðè ε = 1 ýòî �ïëîñêîñòü Åâêëèäà, à ïðè ε = −1 � ïëîñêîñòü Ìèíêîâñêîãî.Ïðåîáðàçîâàíèå φ ïëîñêîñòè R2
ε íàçûâàåòñÿ êîí�îðìíûì,ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ìåòðèêà óìíîæàåòñÿ íà íåêîòîðóþ ïîëî-æèòåëüíóþ �óíêöèþ, òî åñòü(1) φ∗(ds2) = λds2äëÿ íåêîòîðîé �óíêöèè λ ∈ C∞(R2
ε), λ > 0 [3℄.Åñëè æå ïðè ïðåîáðàçîâàíèè φ ìåòðèêà óìíîæàåòñÿ íà ïî-ëîæèòåëüíóþ êîíñòàíòó (òî åñòü â �îðìóëå (1) λ ∈ R+), òîòàêîå ïðåîáðàçîâàíèå áóäåì íàçûâàòü R-êîí�îðìíûì.Ìíîæåñòâî R-êîí�îðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïëîñêîñòè ÿâ-ëÿåòñÿ ãðóïïîé Ëè, êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü R-êîí�îðìíîé
© È. Ñ. Ñòðåëüöîâà, 2009
236 È.Ñ.Ñòðåëüöîâàãðóïïîé Ëè è îáîçíà÷àòü Gcm. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëó-ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû äâèæåíèé Gm è ãðóïïû ãîìîòå-òèåé Gh. ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå ìû äàåì ïîëíîå îïèñàíèå àëãåáðûäè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ êðèâûõ îòíîñèòåëüíî R-êîí-�îðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïëîñêîñòè R2
ε.Ìû ââîäèì ïîíÿòèå R-êîí�îðìíîé êðèâèçíû êðèâîé, êîòî-ðàÿ â íàøåì ñëó÷àå èãðàåò òàêóþ æå âàæíóþ ðîëü, êàê è îáû÷-íàÿ êðèâèçíà íà ïëîñêîñòè Åâêëèäà. Íî, â îòëè÷èè îò êðè-âèçíû êðèâîé, R-êîí�îðìíàÿ êðèâèçíà � äè��åðåíöèàëüíûéèíâàðèàíò íå âòîðîãî, à òðåòüåãî ïîðÿäêà. Äè��åðåíöèàëüíûåèíâàðèàíòû k-ãî ïîðÿäêà ïîëó÷àþòñÿ èç íåå ïîñëåäîâàòåëüíûìïðèìåíåíèåì îïåðàöèè èíâàðèàíòíîãî äè��åðåíöèðîâàíèÿ.Ïîëó÷åííîå îïèñàíèå àëãåáðû äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðè-àíòîâ ìîæíî ïðèìåíèòü ê èíòåãðèðîâàíèþ íåëèíåéíûõ îáûê-íîâåííûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äîïóñêàþùèõ àëãåá-ðó ñèììåòðèé Gcm.Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [5℄ îïèñàíà ñòðóêòóðà àëãåáðû äè�-�åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ðàññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòèÌèíêîâñêîãî.2. Äè��åðåíöàëüíûå èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûåäè��åðåíöèðîâàíèÿÁàçèñ àëãåáðû Ëè Gcm ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ âåêòîðíûõ ïî-ëåé: X = ∂x, Y = ∂y (ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû), Z = x∂y + εy∂x(ïîâîðîòû1) èH = x∂x+y∂y (ãîìîòåòèè). Çàìåòèì, ÷òî ýòè âåê-òîðíûå ïîëÿ � êîíòàêòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ ñ ïðîèçâîäÿùèìè�óíêöèÿìè(2) h1 = p1, h2 = 1, h3 = x+ εyp1, h4 = y − p1x1Äëÿ ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî � ãèïåðáîëè÷åñêèå ïîâîðîòû.
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè 237ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó àëãåáðó Ëè Gcm ìîæíî îòîæäåñòâèòüñ àëãåáðîé Ëè êîíòàêòíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé Xh ñ ïðîèçâîäÿ-ùèìè �óíêöèÿìè âèäà(3) h(x, y, p1) = a1 + a2p1 + a3(x+ εyp1) + a4(y − p1x),ãäå a1, . . . , a4 � êîíñòàíòû [2, 7℄.Ïóñòü ϕ � íåêîòîðàÿ êðèâàÿ íà R2
ε, çàäàííàÿ â âèäå ãðà�èêà�óíêöèè y = f(x) è ïóñòü JkR � ïðîñòðàíñòâî k-äæåòîâ ãëàä-êèõ �óíêöèé íà R. Íàïîìíèì, ÷òî �óíêöèÿ I ∈ C∞(JkR) íà-çûâàåòñÿ (ñêàëÿðíûì) äè��åðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì êðè-âîé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Ëè G, åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿí-íîé è ñîõðàíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì k-ãî ïðîäîëæåíèÿ ýòîé ãðóï-ïû [1℄. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì äè��åðåíöèàëüíîãî èí-âàðèàíòà.Íàéäåì äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíò êðèâîé òðåòüåãî ïî-ðÿäêà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gcm. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ èñïîëü-çóåì äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïû äâèæåíèé Gm.Ïóñòü x, y, p1, p2, · · · , pk � êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû íà ïðî-ñòðàíñòâå JkR. Êàê èçâåñòíî, ïåðâûé äè��åðåíöèàëüíûé èí-âàðèàíò êðèâîé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gm ýòî � êðèâèçíà êðè-âîé, ÿâëÿþùàÿñÿ èíâàðèàíòîì âòîðîãî ïîðÿäêà:(4) I2 =
p2
(p2
1 + ε)
3
2
.Äè��åðåíöèðîâàíèå ∇ íà J∞R áóäåì íàçûâàòü èíâàðèàíò-íûì äè��åðåíöèðîâàíèåì ãðóïïû Ëè G åñëè äëÿ ëþáîãî âåê-òîðíîãî ïîëÿ X∗ ∈ G∞ äèàãðàììà
C∞(J∞R)
∇ - C∞(J∞R)
C∞(J∞R)
X∗
? ∇ - C∞(J∞R)
X∗
?êîììóòàòèâíà.
238 È.Ñ.ÑòðåëüöîâàÈíâàðèàíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü íîâûåäè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû èç óæå èçâåñòíûõ. Äåéñòâè-òåëüíî, ïóñòü, íàïðèìåð, I � äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíòãðóïïû Ëè G è ∇ � èíâàðèàíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå. Òîãäà
X∗(∇(I)) = ∇(X∗(I)) = 0äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ X∗ ∈ G∞. Òàêèì îáðàçîì, �óíê-öèÿ ∇(I) òîæå ÿâëÿåòñÿ äè��åðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì.×åðåç d
dx : C∞(J∞R) → C∞(J∞R) îáîçíà÷èì ïîëíóþ ïðîèç-âîäíóþ ïî ïåðåìåííîé x:
d
dx
=
∂
∂x
+ p1
∂
∂y
+ · · · + pk
∂
∂pk−1
· · · .Ïóñòü X = A(x, y)∂x + B(x, y)∂y � âåêòîðíîå ïîëå íà R2 èçàëãåáðû Ëè G. Ñëåäóþùàÿ ëåììà [4℄ óêàçûâàåò ìåòîä âû÷èñ-ëåíèÿ èíâàðèàíòíûõ äè��åðåíöèðîâàíèé.Ëåììà 1. Åñëè �óíêöèÿ λ ∈ C∞(JkR) óäîâëåòâîðÿåò óðàâ-íåíèþ(5) X∗(λ) − λ
dA
dx
= 0äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ X∗ ∈ G∞, òî ∇ = λ d
dx � èíâàðè-àíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå ãðóïïû Ëè G.Ïðèìåíèì äîêàçàííóþ ëåììó ê ãðóïïå äâèæåíèé.Ëåììà 2. Äè��åðåíöèðîâàíèå
D =
1√
p2
1 + ε
d
dxÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì äè��åðåíöèðîâàíèåì ãðóïïû äâèæå-íèé Gm.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòüïðåäûäóùóþ ëåììó ê âåêòîðíûì ïîëÿì X,Y,Z ïðè k = 1.
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè 239Ïðîäîëæåíèÿ ýòèõ âåêòîðíûõ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâî 1-äæåòîâèìåþò ñëåäóþùèé âèä:
X(1) =∂x,
Y (1) =∂y,
Z(1) = − εy∂x + x∂y + (1 + εp2
1)∂p1 .Ñëåäîâàòåëüíî �óíêöèÿ λ = λ(x, y, p1) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòüñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé:
∂λ
∂x
= 0,
∂λ
∂y
= 0, (1 + εp2
1)
∂λ
∂p1
+ p1λ = 0.Åå îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä:
λ =
C√
p2
1 + ε
,ãäå C � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. �Äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíò òðåòüåãî ïîðÿäêà îòíîñè-òåëüíî ãðóïïû äâèæåíèé Gm ïîëó÷èì, ïðèìåíÿÿ ê èíâàðèàíòó
I2 îïåðàòîð D:
I3 =
p3(p
2
1 + ε) − 3p1p
2
2
(p2
1 + ε)3
.3. R-êîí�îðìíàÿ êðèâèçíàÂåêòîðíîå ïîëå H ïîðîæäàåò 1-ïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó
ht : (x, y) 7→ (etx, ety)íà ïëîñêîñòè. Åå ïîäíÿòèå â ïðîñòðàíñòâî 3-äæåòîâ èìååò âèä:
h
(3)
t : (x, y, p1, p2, p3) 7→ (etx, ety, p1, e
−tp2, e
−2tp3).Ïîýòîìó íà äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû I2 è I3 îíà äåé-ñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì:(6) h
(3)∗
t (I2) = e−tI2 è h
(3)∗
t (I3) = e−2tI3.
240 È.Ñ.ÑòðåëüöîâàÌû âèäèì, ÷òî àáñîëþòíûå èíâàðèàíòû I2 è I3 ãðóïïû Ëè
Gm ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè èíâàðèàíòàìè ãðóïïû Ëè Gcm.Òàêèì îáðàçîì, �óíêöèÿ(7) J3 =
I3
I2
2
=
p3(p
2
1 + ε) − 3p1p
2
2
p2
2ÿâëÿåòñÿ (àáñîëþòíûì) äè��åðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì òðå-òüåãî ïîðÿäêà ãðóïïû Gcm. Ýòîò èíâàðèàíò ìû áóäåì íàçûâàòü
R-êîí�îðìíîé êðèâèçíîé.Ïóñòü ϕ � íåêîòîðàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì y = f(x).Îãðàíè÷åíèå J3 íà ãðà�èê 3-äæåòà �óíêöèè f áóäåì íàçûâàòü
R-êîí�îðìíîé êðèâèçíîé êðèâîé ϕ è îáîçíà÷àòü Kϕ, òî åñòü
Kϕ = J3|j3(f).Î÷åâèäíî, R-êîí�îðìíàÿ êðèâèçíà íå îïðåäåëåíà â òî÷êàõêðèâîé, ãäå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ �óíêöèè f îáðàùàåòñÿ â íóëü. òîì ÷èñëå îíà íå îïðåäåëåíà äëÿ ïðÿìûõ.Ïðèìåð 8. R-êîí�îðìíàÿ êðèâèçíà ïàðàáîëû y = x2 + px+ q(p, q � ïîñòîÿííûå) ðàâíà −6x.Ïðèìåð 9. Íàéäåì êðèâûå, äëÿ êîòîðûõ R-êîí�îðìíàÿ êðè-âèçíà ðàâíà íóëþ. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðåøèòü îáûêíîâåííîåäè��åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðåòüåãî ïîðÿäêà Kϕ = 0, èëè,â òåðìèíàõ �óíêöèè y, óðàâíåíèå
y′′′ =
3y′y′′2
y′2 + ε
.Ïîýòîìó èñêîìûå êðèâûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
(y + a)2 + ε(x+ b)2 = c2,è îïðåäåëÿþò ëèáî îêðóæíîñòè (ïðè ε = 1), ëèáî ãèïåðáîëû(ïðè ε = −1). Çäåñü a, b, c � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Òåîðåìà 1. Äëÿ âñÿêîé ãëàäêîé �óíêöèè λ = λ(x), îïðåäåëåí-íîé â èíòåðâàëå O ⊂ R, ñóùåñòâóåò êðèâàÿ ϕ, òàêàÿ, ÷òî ååêîí�îðìíàÿ êðèâèçíà Kϕ ðàâíà λ(x) â íåêîòîðîì èíòåðâàëå
O′ ⊂ O.
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè 241Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì îáûêíîâåí-íîå äè��åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
y′′′(y′2 + ε) − 3y′y′′2
y′′2
= λ(x)îòíîñèòåëüíî �óíêöèè y.Ïóñòü ε = −1. Çàäàäèì íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ �óíêöèè y âíåêîòîðîé �èêñèðîâàííîé òî÷êå x0 òàê, ÷òîáû y′(x0) 6= ±1 è
y′′(x0) 6= 0. Çíà÷åíèå �óíêöèè y â ýòîé òî÷êå ìîæíî âûáðàòüïðîèçâîëüíûì. Äëÿ ε = 1 íà÷àëüíûå äàííûå äîñòàòî÷íî âû-áðàòü òàê, ÷òîáû y′′(x0) 6= 0. Òîãäà ïî òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿäëÿ çíà÷åíèé x èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ýòî óðàâ-íåíèå èìååò ðåøåíèå y = f(x) . Òàêèì îáðàçîì, êîí�îðìíàÿêðèâèçíà êðèâîé ϕ, çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì y = f(x) ðàâíà
Kϕ(x) = λ(x). �4. Ñòðóêòóðà àëãåáðû ñêàëÿðíûõ äè��åðåíöèàëüíûõèíâàðèàíòîâÍàéäåì àëãåáðó ñêàëÿðíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàí-òîâ êðèâûõ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gcm. Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 êâåêòîðíûì ïîëÿì X,Y,Z,H ïðè k = 2 ìû íàõîäèì, ÷òî
λ =
p2
1 + ε
p2
.Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð
∇ =
p2
1 + ε
p2
d
dxÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì äè��åðåíöèðîâàíèåì. Èñïîëüçóÿ èí-âàðèàíòíîå äè��åðåíöèðîâàíèå ∇, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü äè�-�åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû âûñøèõ ïîðÿäêîâ:
J4 = ∇(J3), . . . , Jk = ∇(Jk−1), . . . .
242 È.Ñ.ÑòðåëüöîâàÓêàæåì âèä äè��åðåíöèàëüíîãî èíâàðèàíòà ÷åòâåðòîãî ïî-ðÿäêà â êîîðäèíàòàõ:
J4 = −1 + p2
1
p4
2
(3p4
2 − 2p2
2p1p3 + 2p2
3 + 2p2
3p
2
1 − p2p4 − p2p4p
2
1).Òåîðåìà 2. Ôóíêöèè J3, J4, . . . , Jk, . . . îáðàçóþò ïîëíóþ ñè-ñòåìó ëîêàëüíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ êðèâîé îò-íîñèòåëüíî R-êîí�îðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïëîñêîñòè R2
ε.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîñòîé ïîäñ÷åò ðàçìåðíîñòè àëãåáðû äè�-�åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Gcm ïîêàçûâàåò, ÷òî íåñóùåñòâóåò äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïîðÿäêà < 3 è ñó-ùåñòâóåò ðîâíî k−2 äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïîðÿäêàíå âûøå k (k ≥ 3). ñàìîì äåëå, ðàçìåðíîñòü îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðî-äîëæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâî 3-äæåòîâ ãðóïïû Ëè Gcm ðàâíà ÷å-òûðåì, à ðàçìåðíîñòü ñàìîãî ïðîñòðàíñòâà J3R ðàâíà ïÿòè.Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðè-àíò òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ïðè ïîâûøåíèè ïîðÿäêà äæåòîâ íà åäè-íèöó ðàçìåðíîñòü îðáèòû ãðóïïû Gcm íå ìåíÿåòñÿ, à ðàçìåð-íîñòü ïðîñòðàíñòâà äæåòîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íà åäèíèöó. Ïîýòî-ìó êàæäûé ðàç ïðè ïåðåõîäå îò ïðîñòðàíñòâà (k − 1)-äæåòîâê ïðîñòðàíñòâó k-äæåòîâ âîçíèêàåò òîëüêî îäèí íîâûé äè�-�åðåíöèàëüíûé èíâàðèàíò, êîòîðûé èìååò ïîðÿäîê k. Íî òàêêàê èíâàðèàíò Jk ïîëó÷àåòñÿ èç Jk−1 ïðèìåíåíèåì ê ïîñëåäíå-ìó èíâàðèàíòíîãî äè��åðåíöèðîâàíèÿ ∇, òî (ñ òî÷íîñòüþ äîêàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ) Jk è åñòü ýòîò íîâûé èíâàðè-àíò. �Ñëåäñòâèå 1. Âñÿêèé ëîêàëüíûé äè��åðåíöèàëüíûé èíâàðè-àíò êðèâîé ïîðÿäêà ≤ k (k ≥ 3) èìååò âèä
F (J3, . . . , Jk),ãäå F � íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ �óíêöèÿ.
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè 2435. R-êîí�îðìíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü êðèâûõÄâå êðèâûå ϕ è γ íà ïëîñêîñòè R2
ε áóäåì íàçûâàòü êîí�îðì-íî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò R-êîí�îðìíîå ïðåîáðà-çîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå îäíó êðèâóþ â äðóãóþ.Ó ãðóïïû Ëè Gcm åñòü âûðîæäåííûå îðáèòû.Êðèâóþ ϕ áóäåì íàçûâàòü íåâûðîæäåííîé åñëè åå ïîäíÿòèåâ J4R íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ âûðîæäåííîé îðáèòîé.Ïóñòü ϕ � êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè, íà êîòîðîé äè��åðåíöèàëêîí�îðìíîé êðèâèçíû íåâûðîæäåí, òî åñòü dKϕ 6= 0. Òîãäà�óíêöèþ Kϕ ìîæíî ïðèíÿòü çà íîâûé ïàðàìåòð t íà êðèâîéè îãðàíè÷åíèå äè��åðåíöèàëüíîãî èíâàðèàíòà J = J4 íà êðè-âóþ ϕ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå íåêîòîðîé �óíêöèè îòýòîãî ïàðàìåòðà: Jϕ = Fϕ(t).Òåîðåìà 3. Åñëè íà äâóõ íåâûðîæäåííûõ êðèâûõ ϕ è γ äè�-�åðåíöèàëû êîí�îðìíûõ êðèâèçí íå âûðîæäàþòñÿ, òî îäíàêðèâàÿ ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà â äðóãóþ R-êîí�îðìíûì ïðå-îáðàçîâàíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Fϕ ≡ Fγ .Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Äîêàæåì äîñòà-òî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ êðèâûõ γ = {y = g(x)} è ϕ = {y = f(x)}âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Fϕ ≡ Fγ ≡ F . �àññìîòðèì îáûêíîâåííîåäè��åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà(8) J = F (K),îïðåäåëÿþùåå ãèïåðïîâåðõíîñòü E â ïðîñòðàíñòâå 4-äæåòîâ.Òàê êàê �óíêöèè y = g(x) è y = f(x) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìèýòîãî äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, òî ïîäíÿòèÿ êðèâûõ γ è
ϕ â ïðîñòðàíñòâî J4R ëåæàò íà ãèïåðïîâåðõíîñòè E.Ïóñòü γ(4) è ϕ(4) � ïîäíÿòèÿ êðèâûõ γ è ϕ â ïðîñòðàíñòâî
4-äæåòîâ ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêàæåì, ÷òî êðèâóþ γ(4) ñäâèãîìâäîëü òðàåêòîðèé âåêòîðíûõ ïîëåé X,Y,Z,H ìîæíî ïåðåâå-ñòè â êðèâóþ ϕ(4). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïîä-íÿòèå ãðóïïû Gcm â J4R äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî íà ðåøåíèÿõóðàâíåíèÿ (8).
244 È.Ñ.ÑòðåëüöîâàËþáîå âåêòîðíîå ïîëå X ∈ G(4)
cm ÿâëÿåòñÿ èí�èíèòåçèìàëü-íîé ñèììåòðèåé óðàâíåíèÿ E. Çäåñü G(4) � ïîäíÿòèå àëãåáðûËè G â J4R. Êàæäàÿ ñèììåòðèÿ óðàâíåíèÿ ðàñêëàäûâàåòñÿ íàäâå ñîñòàâëÿþùèå � õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñèììåòðèþ è òàñóþ-ùóþ ñèììåòðèþ [7℄.Íàïîìíèì [7℄, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñèììåòðèè äåéñòâó-þò íà ïðîñòðàíñòâå JkR âäîëü ðåøåíèé è, ñòàëî áûòü, ïåðå-âîäÿò êàæäîå ðåøåíèå â ñåáÿ. Ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà�óíêöèþ îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåêòîðíîå ïîëå
∆k =
∂
∂x
+ p1
∂
∂y
+ · · · + pk
∂
∂pk−1
.Òàñóþùèå æå ñèììåòðèè, íàïðîòèâ, ïåðåâîäÿò îäíî ðåøåíèå âäðóãèå. Óêàæåì âèä òàñóþùèõ ñèììåòðèé. Ïîäíÿòèå âåêòîð-íîãî ïîëÿ X = A(x, y) ∂
∂x + B(x, y) ∂∂y ∈ Gcm â ïðîñòðàíñòâî
k-äæåòîâ èìååò âèä:
X
(k)
h = S
(k)
h +A∆k,ãäå h = B − p1A. Ïîýòîìó
S
(k)
h = X
(k)
h −A∆k,òî åñòü
S
(k)
h = h
∂
∂y
+ ∆1(h)
∂
∂p1
+ · · · + ∆
(k)
k (h)
∂
∂pk
,Âåêòîðíîå ïîëå S(k)
h íàçûâàþò ýâîëþöèîííûì äè��åðåíöè-ðîâàíèåì. ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèÿ E, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òðàíçèòèâíîñòü äåéñòâèÿãðóïïû G
(3)
cm íà ïðîñòðàíñòâå íà÷àëüíûõ äàííûõ ðåøåíèé. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ãðóïïà Ëè, ïîðîæäåííàÿ âåêòîðíûìè ïî-ëÿìè S(4)
h1
, . . . S
(4)
h4
äåéñòâóåò íà E ãëîáàëüíî òðàíçèòèâíî. Òà-êèì îáðàçîì, ëþáàÿ òî÷êà a0 ∈ E ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà âëþáóþ äðóãóþ òî÷êó a1 ∈ E êîìáèíàöèåé ñäâèãîâ âäîëü âåê-òîðíûõ ïîëåé S(4)
h1
, . . . S
(4)
h4
. Ïîýòîìó èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè
R-êîí�îðìíàÿ ãåîìåòðèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè 245ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ E ñëåäóåò, ÷òî êðèâàÿ γìîæåò áûòü (ëîêàëüíî) ïåðåâåäåíà â êðèâóþ ϕ. �Ïðèìåð 10. Ïðîèëëþñòðèðóåì äîêàçàííóþ òåîðåìó íà ïðè-ìåðå êðèâûõ
ϕ = {y = −x2|x < 0}è
γ = {y = −√
x|x > 0}.Âû÷èñëÿÿ äëÿ íèõ êîí�îðìíûå êðèâèçíû, ïîëó÷èì: Kϕ = 6xè Kγ = −6
√
x. Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ÷åòâåðòîãîïîðÿäêà ðàâíû
Jϕ = 3 + 12x2è
Jγ = 12x
(
1 +
1
4x
)ñîîòâåòñòâåííî. Ìû âèäèì, ÷òî �óíêöèè F äëÿ ýòèõ êðèâûõñîâïàäàþò:
Fϕ(t) = Fγ(t) = 3 +
t2
3
. òîæå âðåìÿ î÷åâèäíî, ÷òî ïîâîðîòîì íà óãîë π
2 âîêðóãíà÷àëà êîîðäèíàò êðèâàÿ ϕ ñîâìåùàåòñÿ ñ êðèâîé γ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Àëåêñååâñêèé Ä.Â., Âèíîãðàäîâ À.Ì., Ëû÷àãèí Â.Â. Îñíîâíûå èäåèè ïîíÿòèÿ äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìûìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ, 28, Ì., 1988, 297 ñòð.[2℄ Âèíîãðàäîâ À.Ì., Êðàñèëüùèê È.Ñ., Ëû÷àãèí Â.Â. Ââåäåíèå âãåîìåòðèþ íåëèíåéíûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, Ì., "Íàó-êà 1986. 336 ñòð.[3℄ Êîáàÿñè Ø. �ðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé â äè��åðåíöèàëüíîé ãåîìåò-ðèè, Ì. "Íàóêà" , 1986. 224 ñòð.[4℄ Êîíîâåíêî Í.�. Àëãåáðû äè��åðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ãåîìåò-ðè÷åñêèõ âåëè÷èí íà à��èííîé ïðÿìîé. (â ïå÷àòè)[5℄ Êóçàêîíü Â.Ì., Ñòðåëüöîâà È.Ñ. �àññëîåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòèÌèíêîâñêîãî, "Ñèììåòðèè: òåîðåòè÷åñêèé è ìåòîäè÷åñêèé àñïåêòû"Ñáîðíèê íàó÷íûõ òðóäîâ II ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà, (12 � 14 ñåí-òÿáðÿ 2007 ã., Àñòðàõàíü), Àñòðàõàíü, 2007. ñòð. 53 � 58.
246 È.Ñ.Ñòðåëüöîâà[6℄ Êóçàêîíü Â.Ì., Ñòðåëüöîâà È.Ñ. Äè��åðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòûðàññëîåíèé êðèâûõ íà ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî., Íàóêîâèé æóðíàëÌàòåìàòè÷íi ìåòîäè òà �içèêî-ìåõàíi÷íi ïîëÿ. Iíñòèòóò ïðèêëàäíèõïðîáëåì ìåõàíiêè i ìàòåìàòèêè iì. ß.Ñ. Ïiäñòðèãà÷à, ò. 50, �4. -Ëüâiâ; 2007. - ñ.49.[7℄ Kushner A., Ly
hagin V., Rubtsov V., Conta
t Geometry and NonlinearDi�erential Equations, Cambridge University Press, 496 pp., (2007).
|