О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q)
The generalized left Bol 3-web Bl(p,q,q) on a smooth manifold M, dimM = p+q, defined by a local smooth Bol quasigroup is considered. The symmetric space structure connected with the web Bl(p,q,q)is studied.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6305 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) / Г.А. Толстихина // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 247-255. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6305 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63052010-02-24T12:01:00Z О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) Толстихина, Г.А. Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" The generalized left Bol 3-web Bl(p,q,q) on a smooth manifold M, dimM = p+q, defined by a local smooth Bol quasigroup is considered. The symmetric space structure connected with the web Bl(p,q,q)is studied. 2009 Article О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) / Г.А. Толстихина // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 247-255. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6305 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" Толстихина, Г.А. О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| description |
The generalized left Bol 3-web Bl(p,q,q) on a smooth manifold M, dimM = p+q, defined by a local smooth Bol quasigroup is considered. The symmetric space structure connected with the web Bl(p,q,q)is studied. |
| format |
Article |
| author |
Толстихина, Г.А. |
| author_facet |
Толстихина, Г.А. |
| author_sort |
Толстихина, Г.А. |
| title |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| title_short |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| title_full |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| title_fullStr |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| title_full_unstemmed |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) |
| title_sort |
о локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью бола bl(p,q,q) |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування Праці міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008" |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6305 |
| citation_txt |
О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью Бола Bl(p,q,q) / Г.А. Толстихина // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 247-255. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tolstihinaga olokalʹnosimmetričeskojstrukturesvâzannojsobobŝennojlevojtritkanʹûbolablpqq |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:26Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:26Z |
| _version_ |
1836525988823957504 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 247-255�.À.ÒîëñòèõèíàÒâåðñêîé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ÒâåðüE-mail: s
ien
e�tversu.ruÎ ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêîéñòðóêòóðå, ñâÿçàííîé ñ îáîáùåííîéëåâîé òðè-òêàíüþ Áîëà Bl(p, q, q)
The generalized left Bol 3-web Bl(p, q, q) on a smooth manifold M,
dimM = p + q, defined by a local smooth Bol quasigroup is considered.
The symmetric space structure connected with the web Bl(p, q, q) is stud-
ied.Êëþ÷åâûå ñëîâà: three-web, Bol quasigroup, symmetri
spa
eÏóñòüQ(∗)� ëîêàëüíàÿ äè��åðåíöèðóåìàÿ q-ìåðíàÿ êâàçè-ãðóïïà, Y � ãëàäêîå p-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, (p ≤ q),
f : Q× Y → Y, z = f(a, y), (1)� ãëàäêàÿ �óíêöèÿ, òàêàÿ, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà Q×
Y ðàíãè ìàòðèö ßêîáè (∂f/∂a) è (∂f/∂y) ìàêñèìàëüíû è äëÿëþáûõ y ∈ Y è a, b ∈ Q âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
f(a, f−1(b, f(a, y))) = f(a ∗ b, y), (2)ãäå f−1 : Q × Y → Y , y = f−1(a, z). Òîãäà áóäåì ãîâîðèòü(ñì. [5℄), ÷òî êâàçèãðóïïà Q(∗) äåéñòâóåò íà ìíîãîîáðàçèè Yïî ïðàâèëó (2).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî [3℄, �óíêöèÿ f çàäàåò íà ìíî-ãîîáðàçèè M = Q× Y ðàçìåðíîñòè p + q òðè-òêàíü W (p, q, q),îáðàçîâàííóþ òðåìÿ ñëîåíèÿìè
λ1 : a = const, λ2 : y = const, λ3 : z = f(a, y) = const
© �.À.Òîëñòèõèíà, 2009
248 �.À.Òîëñòèõèíàðàçìåðíîñòåé p, q è q ñîîòâåòñòâåííî. Óðàâíåíèå z = f(a, y) íà-çûâàåòñÿ óðàâíåíèåì òðè-òêàíè W (p, q, q) [5℄. Ýòî óðàâíåíèåîïðåäåëÿåò òðåõáàçèñíóþ áèíàðíóþ îïåðàöèþ
(·) : Q× Y → Y, z = a · y ≡ f(a, y),êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì êîîðäèíàòíûì ãðóïïîèäîìòðè-òêàíè W (p, q, q).Ïðè p = q óðàâíåíèå z = a · y ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî îäíîçíà÷íîðàçðåøèìûì îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ a è y, ïîýòîìó îïåðà-öèÿ (·) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ëîêàëüíîé êâàçèãðóïïîé. Íàïîìíèì[1℄, ÷òî ïîñëåäíÿÿ íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé êîîðäèíàòíîé êâàçè-ãðóïïîé ñîîòâåòñòâóþùåé òðè-òêàíè W (q, q, q). Äëÿ òðè-òêàíè
W (p, q, q) ðàçìåðíîñòè ìíîãîîáðàçèé Q è Y , âîîáùå ãîâîðÿ,ðàçëè÷íû, ïîýòîìó îïåðàöèÿ (·) êâàçèãðóïïîé, âîîáùå ãîâîðÿ,íå ÿâëÿåòñÿ.Ïåðåìåííûå a, y è z, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå òêàíè, äîïóñêàþòïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà
ã = α(a), ỹ = β(y), z̃ = γ(z),ãäå α, β, γ � ëîêàëüíûå äè��åîìîð�èçìû. Ïðè ýòîì óðàâíå-íèå òêàíè ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
z̃ = f̃(ã, ỹ) = γ ◦ f(α−1(ã), β−1(ỹ)).Òðîéêà ëîêàëüíûõ áèåêöèé (α, β, γ) íàçûâàåòñÿ èçîòîïè÷åñ-êèì ïðåîáðàçîâàíèåì èëè èçîòîïèåé êîîðäèíàòíîãî ãðóïïîèäàòðè-òêàíè W (p, q, q). [5℄ äîêàçàíàÒåîðåìà 1. Åñëè êâàçèãðóïïà Q(∗) äåéñòâóåò íà ìíîãîîáðà-çèè Y ïî ïðàâèëó (2), òî îíà èçîòîïíà ëåâîé ëóïå Áîëà.Íàïîìíèì [4℄, ÷òî ëóïà (êâàçèãðóïïà ñ åäèíèöåé) íàçûâàåòñÿëåâîé ëóïîé Áîëà, åñëè â íåé âûïîëíÿåòñÿ ëåâîå òîæäåñòâîÁîëà
(u ◦ (v ◦ u)) ◦ w = u ◦ (v ◦ (u ◦ w)).
Î ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðå 249 [5℄ �óíêöèÿ f : Q × Y → Y , óäîâëåòâîðÿþùàÿ òîæäå-ñòâó (2), íàçâàíà êâàçèãðóïïîé Áîëà ïðåîáðàçîâàíèé, à Q(∗) �ïàðàìåòðè÷åñêîé êâàçèãðóïïîé êâàçèãðóïïû Áîëà ïðåîáðàçî-âàíèé. Òðè-òêàíü W (p, q, q), îïðåäåëÿåìàÿ êâàçèãðóïïîé Áîëàïðåîáðàçîâàíèé, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ëåâîé òêàíüþ Áîëà èîáîçíà÷àåòñÿ Bl(p, q, q).Òåîðåìà 2. Áàçà ïåðâîãî ñëîåíèÿ òðè-òêàíè Bl(p, q, q) ÿâëÿ-åòñÿ ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Íà áàçå Q ïåðâîãî ñëîåíèÿ λ1 òðè-òêàíè
Bl(p, q, q) îïðåäåëèì ñåìåéñòâî �óíêöèé Sa(b) = a∗b, ãäå a ∈ Q,
b ∈ Ua ⊂ Q, Ua � äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè a.  ñè-ëó (2) îïåðàöèÿ (∗) èäåìïîòåíòíà: a ∗ a = a, ëåâîîáðàòèìà:
a ∗ (a ∗ b) = b è ëåâîäèñòðèáóòèâíà: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ (a ∗ c)[5℄, ïîýòîìó ñîãëàñíî [4℄ (ñì. òàêæå [2℄) �óíêöèè Sa ÿâëÿþòñÿëîêàëüíûìè ñèììåòðèÿìè, à ìíîãîîáðàçèå {Q,Sa} áóäåò ëî-êàëüíî ñèììåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. �Ïðèìåð 11.  [6℄ íàéäåíû óðàâíåíèÿ íåêîòîðîé îáîáùåííîéëåâîé òêàíè Áîëà Bl(2, 3, 3):
{
z1 = a1 + y1 − a3y2(a2 + y2),
z2 = a2 + y2.
(3)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óðàâíåíèÿ (3) çàäàþò äåéñòâèå íåêîòî-ðîé òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé êâàçèãðóïïû Áîëà Q(∗) íà äâóìåð-íîì ìíîãîîáðàçèè Y . Íàéäåì óðàâíåíèÿ c = a ∗ b ýòîé êâàçè-ãðóïïû. Çàïèøåì òîæäåñòâî (2) â âèäå äâóõ ðàâåíñòâ:
f(a, y) = f(b, ȳ), f(c, y) = f(a, ȳ) (4)((2) ïîëó÷àåòñÿ èç (4) èñêëþ÷åíèåì ïåðåìåííîé ȳ).
250 �.À.ÒîëñòèõèíàÄëÿ òðè-òêàíè (3) èìååì:
a1 + y1 − a3y2(a2 + y2) = b1 + ȳ1 − b3ȳ2(b2 + ȳ2),
a2 + y2 = b2 + ȳ2,
c1 + y1 − c3y2(c2 + y2) = a1 + ȳ1 − a3ȳ2(a2 + ȳ2)
c2 + y2 = a2 + ȳ2.Èñêëþ÷àÿ ȳ = (ȳ1, ȳ2) èç ïîñëåäíåé ñèñòåìû, ïîëó÷èì óðàâ-íåíèÿ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþòñÿ òîæäåñòâåííî îòíîñèòåëü-íî y = (y1, y2) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âûïîëíÿþòñÿðàâåíñòâà
c1 = 2a1 − b1 − (a2 − b2)(a2(a3 − b3) + a3(a2 − b2)),
c2 = 2a2 − b2,
c3 = 2a3 − b3.
(5)Óðàâíåíèÿ (5) îïðåäåëÿþò òðåõïàðàìåòðè÷åñêóþ êâàçèãðóïïóÁîëà êâàçèãðóïïû Áîëà ïðåîáðàçîâàíèé (3). Ñ äðóãîé ñòîðî-íû, ñîãëàñíî òåîðåìå 2 óðàâíåíèÿ (5) çàäàþò ëîêàëüíûå ñèì-ìåòðèè Sa(b) = a ∗ b íà òðåõìåðíîé áàçå Q ïåðâîãî ñëîåíèÿðàññìàòðèâàåìîé òðè-òêàíè Bl(2, 3, 3).Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïàðàìåò-ðè÷åñêàÿ êâàçèãðóïïà (5) ÿâëÿåòñÿ èäåìïîòåíòíîé, ëåâîîáðà-òèìîé è ëåâîäèñòðèáóòèâíîé, à èçîòîïíàÿ åé ëóïà � ëåâîé ëó-ïîé Áîëà. Ìîæíî ïîêàçàòü òàêæå, ÷òî ëåâàÿ îáðàòíàÿ êâàçèã-ðóïïà ïîñëåäíåé îïðåäåëÿåò èçâåñòíóþ øåñòèìåðíóþ ñðåäíþþòêàíü Áîëà (òêàíü Bm) ñ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì êðó÷åíèÿ aij(i, j = 1, 2, 3) ðàíãà 1 [7℄:
w1 = u1 + v1 − u2v2(u3 + v3),
w2 = u2 + v2,
w3 = u3 + v3. [8℄ ïîêàçàíî, ÷òî ýòà òðè-òêàíü Bm ÿâëÿåòñÿ ýëàñòè÷íîé(òêàíüþ E), òî åñòü â åå êîîðäèíàòíûõ ëóïàõ âûïîëíÿåòñÿ òîæ-äåñòâî ýëàñòè÷íîñòè: (u ◦ v) ◦ u = u ◦ (v ◦ u).  [8℄ ýòà òêàíüîáîçíà÷åíà E1.
Î ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðå 251Ïðèìåð 12. �àññìîòðèì äðóãóþ øåñòèìåðíóþ ýëàñòè÷íóþòðè-òêàíü E2 (ñì. [8℄), îïðåäåëÿåìóþ óðàâíåíèÿìè
z1 = x1 + y1,
z2 = x2 + y2e−2x1
+ (x3y1 − x1y3)e−2x1
,
z3 = x3 + y3.Ïîñêîëüêó ýëàñòè÷íûå òêàíè îáðàçóþò ñîáñòâåííûé ïîäêëàññòêàíåé Bm [8℄, òî ýòà òêàíü ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåé òêàíüþ Áîëà.Èçîòîïè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì
x2e2x
1
+ x1x3 → x2, y2 − y1y3 → y2, z2e2z
1
+ z3z1 → z2óðàâíåíèÿ òêàíè E2 ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó
z1 = x1 + y1,
z2 = (x2 + y2)e2y
1
+ (x3 + y3)(x1 + y1 + (y1 − x1)e2y
1
),
z3 = x3 + y3.
(6)Íàéäåì ëåâóþ îáðàòíóþ êâàçèãðóïïó äëÿ êâàçèãðóïïû (6),çàòåì ïåðåîáîçíà÷èì ïåðåìåííûå: xi → zi, zi → ai, yi → −yi. ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ
z1 = a1 + y1,
z2 = (a2 − a3a1)e2y
1
+ y2 + a3(a1 + 2y1),
z3 = a3 + y3.
(7)Ýòè óðàâíåíèÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, îïðåäåëÿþò øåñòèìåðíóþ ëå-âóþ òêàíü Áîëà, à, ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàäàþò äåéñòâèå íåêîòî-ðîé òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé êâàçèãðóïïû Áîëà Q(∗) íà òðåõìåð-íîì ìíîãîîáðàçèè Y .Íàéäåì óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðàìåòðè÷åñêîé êâà-çèãðóïïû c = a ∗ b. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ðàâåíñòâà (4) ñ ó÷åòîì(7) è èñêëþ÷èì èç ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïåðåìåííûå yi è ȳi.Ïîñëå âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì:
c1 = 2a1 − b1,
c2 = a2(e−2(a1−b1) + e2(a
1−b1)) − b2,
c3 = 2a3 − b3.
(8)Ýòî è åñòü óðàâíåíèÿ èñêîìîé êâàçèãðóïïû c = a ∗ b.
252 �.À.ÒîëñòèõèíàÏîêàæåì, ÷òî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (7):
{
z1 = a1 + y1,
z2 = (a2 − a3a1)e2y
1
+ y2 + a3(a1 + 2y1)
(9)çàäàþò äåéñòâèå êâàçèãðóïïû (8) íà íåêîòîðîì äâóìåðíîì ìíî-ãîîáðàçèè.  ñàìîì äåëå, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèé (9) íå âõî-äèò ïåðåìåííàÿ y3. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (9) îïðåäåëÿþò ãðóïïîèä
f : Q × Ȳ → Ȳ , ãäå Ȳ = {(y1, y2)}, Ȳ ⊂ Y . Íåïîñðåäñòâåííîéïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðà-âåíñòâà (2) óäîâëåòâîðÿþòñÿ òîæäåñòâåííî â ñèëó (8). Ñëåäî-âàòåëüíî, óðàâíåíèÿ (9) çàäàþò äåéñòâèå òðåõïàðàìåòðè÷åñêîéêâàçèãðóïïû Áîëà (8) íà äâóìåðíîé ïëîñêîñòè Ȳ è îïðåäåëÿ-þò îáîáùåííóþ ëåâóþ òêàíü Áîëà Bl(2, 3, 3) íà ïÿòèìåðíîììíîãîîáðàçèè Q × Ȳ . Íà òðåõìåðíîé áàçå Q ïåðâîãî ñëîåíèÿýòîé òêàíè óðàâíåíèÿ (8) çàäàþò ëîêàëüíûå ñèììåòðèè âèäà
Sa(b) = a ∗ b.Ïðèìåð 13. Äëÿ êîîðäèíàòíîé êâàçèãðóïïû øåñòèìåðíîéòðè-òêàíè Bm ñ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì aij ðàíãà 2 (ñì. [7℄):
z1 = x1 + y1e−2z3 ,
z2 = x2e−2z3 + y2 − 2z1y3,
z3 = x3 + y3
(10)óðàâíåíèÿ ëåâîé îáðàòíîé êâàçèãðóïïû íåêîòîðûì èçîòîïè÷å-ñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó
z1 = a1 + y1e−a
3
,
z2 = a2 + (y2 − a1y3)ea
3
,
z3 = a3 + y3.
(11)Ýòè óðàâíåíèÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, îïðåäåëÿþò øåñòèìåðíóþ ëå-âóþ òêàíü Áîëà, à, ñ äðóãîé, çàäàþò íà òðåõìåðíîì ìíîãîîáðà-çèè Y äåéñòâèå òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé ëåâîé êâàçèãðóïïû Áîëà
Î ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðå 253
Q(∗):
c1 = a1 + (a1 − b1)eb
3−a3 ,
c2 = a2 + (a2 − b2)ea
3−b3 − (a1 − b1)(a3 − b3)ea
3
,
c3 = 2a3 − b3.
(12)Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ
{
z2 = a2 + (y2 − a1y3)ea
3
,
z3 = a3 + y3,
(13)(âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (11)), çàäàþò äåéñòâèåòðåõïàðàìåòðè÷åñêîé êâàçèãðóïïû (12) íà äâóìåðíîé ïëîñêî-ñòè Ȳ = {(y2, y3)}, Ȳ ⊂ Y .Óðàâíåíèÿ (13) îïðåäåëÿþò òàêæå îáîáùåííóþ ëåâóþ òêàíüÁîëà Bl(2, 3, 3) íà ïÿòèìåðíîì ìíîãîîáðàçèè Q × Ȳ . Ìíîæå-ñòâî Q ñ ëîêàëüíûìè ñèììåòðèÿìè Sa(b) = a ∗ b, êîòîðûå çà-äàþòñÿ óðàâíåíèÿìè (12), áóäåò òðåõìåðíûì ñèììåòðè÷åñêèìïðîñòðàíñòâîì.Ïðèìåð 14. �àññìîòðèì ïîñëåäíþþ èç òðåõ øåñòèìåðíûõòêàíåé Bm, óðàâíåíèÿ êîòîðûõ íàéäåíû â [7℄:
z1 = x1e2z
3
+ y1 + 2z2x3,
z2 = x2 + y2e2z
3
,
z3 = x3 + y3.
(14)Äëÿ ýòîé òêàíè, êàê è äëÿ òêàíè (10), òåíçîð aij èìååò ðàíã 2.Óðàâíåíèÿ ëåâîé òêàíè Áîëà Bl, îïðåäåëÿåìîé ëåâîé îáðàò-íîé êâàçèãðóïïîé êîîðäèíàòíîé êâàçèãðóïïû (14), ìîãóò áûòüïðèâåäåíû ê âèäó
z1 = a1 + (y1 − y3a2)e−a
3
,
z2 = a2 + y2ea
3
,
z3 = a3 + y3.
(15)Ýòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò òàêæå äåéñòâèå íåêîòîðîé òðåõïà-ðàìåòðè÷åñêîé ëåâîé êâàçèãðóïïû Áîëà Q(∗) íà òðåõìåðíîì
254 �.À.Òîëñòèõèíàìíîãîîáðàçèè Y . Óðàâíåíèÿ êâàçèãðóïïû Q(∗) íàõîäÿòñÿ íåïî-ñðåäñòâåííûìè âû÷èñëåíèÿìè è èìåþò âèä
c1 = a1 + (a1 − b1)eb
3−a3 − (a2 − b2)(a3 − b3)e−a
3
,
c2 = a2 + (a2 − b2)ea
3−b3,
c3 = 2a3 − b3.
(16)Êàê è âûøå, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ
{
z1 = a1 + (y1 − a2y3)e−a
3
,
z3 = a3 + y3,
(17)(ïåðâîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (15)), çàäàþò äåéñòâèåêâàçèãðóïïû (16) íà äâóìåðíîé ïëîñêîñòè Ȳ = {(y1, y3)}, Ȳ ⊂
Y . Óðàâíåíèÿ (17) îïðåäåëÿþò òàêæå îáîáùåííóþ ëåâóþ òêàíüÁîëà Bl(2, 3, 3) íà ïÿòèìåðíîì ìíîãîîáðàçèè Q×Ȳ . Áàçà Q ïåð-âîãî ñëîåíèÿ ýòîé òêàíè ñ ëîêàëüíûìè ñèììåòðèÿìè Sa(b) =
a ∗ b, êîòîðûå çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè (16), áóäåò òðåõìåðíûìñèììåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Àêèâèñ Ì. À. Ëîêàëüíûå äè��åðåíöèðóåìûå êâàçèãðóïïû è òðè-òêàíè ìíîãîìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé// Èññëåä. ïî òåîðèè êâàçèãðóïï èëóï.� Êèøèíåâ.� Øòèèíöà.� 1973.� Ñ. 3�12.[2℄ Àêèâèñ Ì. À., �åðàñèìåíêî Ñ. À. Î íåêîòîðûõ �èãóðàõ çàìûêàíèÿíà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ ñèììåòðèåé// Òêàíè è êâàçèãðóïïû.� Êàëèíèí.�1982.� Ñ. 7�11.[3℄ Àêèâèñ Ì. À., �îëüäáåðã Â. Â. Î ìíîãîìåðíûõ òðè-òêàíÿõ, îáðàçîâàí-íûõ ïîâåðõíîñòÿìè ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé// Äîêë. ÀÍ ÑÑÑ�.� 1972.�Ò. 203.� � 2.� Ñ. 263�266.[4℄ Ñàáèíèí Ë. Â., Ìèõååâ Ï. Î. Òåîðèÿ ãëàäêèõ ëóï Áîëà// Ìîñêâà.�Óí-ò äðóæáû íàðîäîâ.� 1985.� 80 ñ.[5℄ Òîëñòèõèíà �. À., Øåëåõîâ A. M. Î êâàçèãðóïïàõ Áîëà ïðåîáðàçîâà-íèé// Äîêë. �ÀÍ.� 2005.� Ò. 401.� � 2.� Ñ. 166�168.[6℄ Òîëñòèõèíà �. À., Øåëåõîâ A. M. Î òðè-òêàíè Áîëà, îáðàçîâàííîéñëîåíèÿìè ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé// Èçâ. Âóçîâ. Ìàò.� 2005.� � 5(516).�Ñ. 56�62.[7℄ Ôåäîðîâà Â. È. Øåñòèìåðíûå òðè-òêàíè Áîëÿ ñ ñèììåòðè÷íûì òåí-çîðîì aij// Òêàíè è êâàçèãðóïïû, Êàëèíèí, 1981, Ñ. 10�123.
Î ëîêàëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðå 255[8℄ Øåëåõîâ À. Ì.Î òðè-òêàíÿõ ñ ýëàñòè÷íûìè êîîðäèíàòíûìè ëóïàìè//Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 02.12.1987. �8465-Â87.
|