Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень
The linear fractional transformations from C to C are investigated. Necessary and sufficient conditions for a topological conjugacy of such trans-formations are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6314 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень / T.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 349-358. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6314 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63142010-02-24T12:01:02Z Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень Будницька, T.В. Геометрія, топологія та їх застосування The linear fractional transformations from C to C are investigated. Necessary and sufficient conditions for a topological conjugacy of such trans-formations are obtained. 2009 Article Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень / T.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 349-358. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6314 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Будницька, T.В. Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| description |
The linear fractional transformations from C to C are investigated. Necessary and sufficient conditions for a topological conjugacy of such trans-formations are obtained. |
| format |
Article |
| author |
Будницька, T.В. |
| author_facet |
Будницька, T.В. |
| author_sort |
Будницька, T.В. |
| title |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| title_short |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| title_full |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| title_fullStr |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| title_full_unstemmed |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| title_sort |
топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6314 |
| citation_txt |
Топологічна класифікація дробово-лінійних перетворень / T.В. Будницька // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 349-358. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT budnicʹkatv topologíčnaklasifíkacíâdrobovolíníjnihperetvorenʹ |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:48Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:48Z |
| _version_ |
1836526011877949440 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 349-358Ò. Â. ÁóäíèöüêàÊè¨â. íàö. óí-ò iì. Òàðàñà Øåâ÷åíêàÓêðà¨íà, 01033, Êè¨â-33, âóë. Âîëîäèìèðñüêà, 64E-mail: Budnitska_T�ukr.netÒîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿäðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü
The linear fractional transformations from C to C are investigated. Ne-
cessary and sufficient conditions for a topological conjugacy of such trans-
formations are obtained.Êëþ÷îâi ñëîâà: äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, Ìüîáióñîâi ïåðåòâîðåí-íÿ, òîïîëîãi÷íà ñïðÿæåíiñòü, êëàñè�iêàöiÿ.1. ÂñòóïÄðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ � öå ïåðåòâîðåííÿ âèãëÿäó
f(z) =
az + b
cz + d
,äå a, b, c, d ∈ C òàêi, ùî ad − bc 6= 0. Îñòàííÿ óìîâà ãàðàíòó¹òå, ùî f íå ¹ êîíñòàíòîþ, à òàêîæ, ùî c òà d íå äîðiâíþþòüíóëþ îäíî÷àñíî. Òàêèì ÷èíîì, f âèçíà÷åíå íà âñüîìó C, ÿêùî
c = 0, i íà C\{−d
c}, ÿêùî c 6= 0. Ïîêëàäåìî:
f(∞) = ∞ ïðè c = 0,
f(−d
c ) = ∞, f(∞) = a
c ïðè c 6= 0.Ïiñëÿ öüîãî f áóäå âçà¹ìíî îäíîçíà÷íèì ïåðåòâîðåííÿì Cíà ñåáå.Íåõàé X = C àáî C.Âiäîáðàæåííÿ f , g : X → X íàçèâàþòü òîïîëîãi÷íî ñïðÿ-æåíèìè (ïîçíà÷àòèìåìî f
t∼ g), ÿêùî iñíó¹ ãîìåîìîð�içì
h : X → X òàêèé, ùî g = h ◦ f ◦ h−1.
© Ò. Â. Áóäíèöüêà, 2009
350 Ò. Â. ÁóäíèöüêàÍàäàëi ái¹êòèâíi âiäîáðàæåííÿ áóäåìî íàçèâàòè ïåðåòâîðåí-íÿìè.Äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ f , g : C → C íàçèâàþòü ñïðÿ-æåíèìè (ïîçíà÷àòèìåìî f ℓf∼ g), ÿêùî iñíó¹ äðîáîâî-ëiíiéíåïåðåòâîðåííÿ h : C → C òàêå, ùî g = h ◦ f ◦ h−1.Î÷åâèäíî, ùî çi ñïðÿæåíîñòi äðîáîâî-ëiíiéíèõ âiäîáðàæåíüâèïëèâ๠¨õ òîïîëîãi÷íà ñïðÿæåíiñòü, àëå îáåðíåíå òâåðäæåííÿíå âiðíå.À. Áåðäîí [1℄ êëàñè�iêóâàâ äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, çòî÷íiñòþ äî ñïðÿæåíîñòi.Êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü, ç òî÷íiñòþ äîòîïîëîãi÷íî¨ ñïðÿæåíîñòi, çàëèøàëàñÿ âiäêðèòîþ ïðîáëåìîþ,òîìó ðîçâ'ÿçàííþ öi¹¨ çàäà÷i é ïðèñâÿ÷åíî äàíó ðîáîòó. Ìèîòðèìàëè íàñòóïíèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 1. Íåõàé f , g : C → C � äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâî-ðåííÿ.ßêùî f òà g ìàþòü õî÷à á ïî 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè ξ1,
ξ2 òà ψ1, ψ2, âiäïîâiäíî, òî f t∼ g òîäi i òiëüêè òîäi, êîëèâèêîíóþòüñÿ òàêi óìîâè:àáî { |f ′(ξ)| 6= 1,
|g′(ψ)| 6= 1,
àáî f ′(ξ) = g′(ψ), àáî f ′(ξ) = g′(ψ),äå ξ ∈ {ξ1, ξ2}, ψ ∈ {ψ1, ψ2}.ßêùî f òà g ìàþòü òiëüêè ïî 1 íåðóõîìié òî÷öi, òî âîíèçàâæäè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè. iíøèõ âèïàäêàõ ïåðåòâîðåííÿ f òà g íå ¹ òîïîëîãi÷íîñïðÿæåíèìè. 2. Ïîïåðåäíi âiäîìîñòiÀ. Áåðäîí [1℄ êëàñè�iêóâàâ äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, çòî÷íiñòþ äî ñïðÿæåíîñòi, à ñàìå: ïîêàçàâ, ùî êîæíå âiäìiííåâiä òîòîæíîãî äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ f , â çàëåæíîñòi
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü 351âiä êiëüêîñòi íåðóõîìèõ òî÷îê, ¹ ñïðÿæåíèì ç îäíi¹þ çi ñòàí-äàðòíèõ (íîðìàëüíèõ) �îðì :(1) mk(z) = kz, äå k 6= 0, 1
m1(z) = z + 1.Òîáòî, ÿêùî âiäìiííå âiä òîòîæíîãî äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâî-ðåííÿ f ì๠2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè, òî iñíó¹ k ∈ C\{0; 1} òàêå,ùî f ℓf∼ mk; ÿêùî f ì๠òiëüêè 1 íåðóõîìó òî÷êó, òî f ℓf∼ m1.Âiäîìî, ùî êîæíà êîìïëåêñíà (2 × 2) ìàòðèöÿ
A =
(
a b
c d
)
, ad− bc 6= 0,âèçíà÷๠äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ
f(z) =
az + b
cz + d
,ùî äi¹ ç ðîçøèðåíî¨ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè íà ñåáå. I íàâïàêè,êîæíå äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ f âèçíà÷๠ìàòðèöþ A, çòî÷íiñòþ äî ìíîæíèêà, ùî íå äîðiâíþ¹ 0.À. Áåðäîí [1℄, âèêîðèñòîâóþ÷è �óíêöiþtr2(f) =
tr2(A)det(A)
, A ∈ GL(2,C),ÿêà ¹ iíâàðiàíòíîþ âiäíîñíî ïåðåòâîðåííÿ A 7→ λA, λ 6= 0, äîâiâòàêó òåîðåìó.Òåîðåìà 2. [1℄ Íåõàé f , g : C → C âiäìiííi âiä òîòîæíîãîäðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ. Òî f ℓf∼ g òîäi i òiëüêè òîäi, êîëètr2(f)=tr2(g).Ó ðîáîòi [2℄ äàíà êëàñè�iêàöiÿ, ç òî÷íiñòþ äî òîïîëîãi÷íî¨ñïðÿæåíîñòi, ëiíiéíèõ âiäîáðàæåíü ç C â C, òîáòî ì๠ìiñöåòàêà ëåìà.
352 Ò. Â. ÁóäíèöüêàËåìà 1. [2℄ Íåõàé f , g : C → C, f(z) = az, g(z) = cz, a,
c ∈ C, � ëiíiéíi âiäîáðàæåííÿ. Òî f t∼ g òîäi i òiëüêè òîäi, êîëèâèêîíóþòüñÿ òàêi óìîâè:àáî { 0 < |a| < 1,
0 < |c| < 1,
àáî { |a| > 1,
|c| > 1,
àáî a = c, àáî a = c̄,(òîáòî êîëè |a|, |c| àáî îäíî÷àñíî ìåíøi 1 òà íå äîðiâíþþòü 0,àáî îäíî÷àñíî áiëüøi 1, àáî a = c, àáî a = c̄).Íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè òîïîëîãi÷íî¨ ñïðÿæåíîñòi ëiíié-íèõ âiäîáðàæåíü ç C â C ä๠íàñòóïíà ëåìà.Ëåìà 2. Íåõàé f , g : C → C, f(z) = az, g(z) = cz, a, c ∈ C,� ëiíiéíi âiäîáðàæåííÿ. Ó öüîìó âèïàäêó f t∼ g òîäi i òiëüêèòîäi, êîëè âèêîíóþòüñÿ òàêi óìîâè:àáî { |a| /∈ {0; 1},
|c| /∈ {0; 1}, àáî a = c, àáî a = c̄,(òîáòî êîëè |a|, |c| àáî îäíî÷àñíî íå äîðiâíþþòü 0 òà 1, àáî
a = c, àáî a = c̄).Äîâåäåííÿ. Íåõàé f(z) = az, g(z) = cz, äå a, c ∈ C, òàêi,ùîàáî { 0 < |a| < 1,
0 < |c| < 1,
àáî { |a| > 1,
|c| > 1,
àáî a = c, àáî a = c̄.ßêùî öi ëiíiéíi âiäîáðàæåííÿ f òà g äiþòü ç C â C, òî çà ëå-ìîþ 1 âîíè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè, òîáòî iñíó¹ ñïðÿãàþ÷èé¨õ ãîìåîìîð�içì h, ùî äi¹ ç C â C.Íåñêëàäíî ïåðåâiðèòè, ùî ïåðåòâîðåííÿ h̃ : C → C òàêå, ùî
h̃(∞) = ∞, h̃(z) = h(z) ïðè z 6= ∞,¹ ãîìåîìîð�içìîì. Òîìó öi æ ëiíiéíi âiäîáðàæåííÿ f òà g, ùîäiþòü ç C â C, òåæ ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè, áî h̃ � âiäïî-âiäíèé ñïðÿãàþ÷èé ¨õ ãîìåîìîð�içì.Âiäîáðàæåííÿ f , g : C → C, f(z) = az, g(z) = 1
az, äå |a| /∈
{0; 1}, ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè, áî iñíó¹ ãîìåîìîð�içì φ :
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü 353
C → C, φ(z) = 1
z òàêèé, ùî g = φ ◦ f ◦ φ−1. ßêùî |a| = 1, òî
f(z) = eiϕz, g(z) = e−iϕz, òîáòî a = c̄, à äàíèé âèïàäîê âæå áóâðîçãëÿíóòèé.Îòæå, âiäîáðàæåííÿ f , g : C → C, f(z) = az, g(z) = cz,
a, c ∈ C, áóäóòü òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè òîäi i òiëüêè òîäi,êîëè àáî { |a| /∈ {0; 1},
|c| /∈ {0; 1}, àáî a = c, àáî a = c̄.Ëåìà äîâåäåíà.Íàñëiäîê 1. Íåõàé f , g : C → C, f(z) = az, g(z) = cz, a, c ∈
C\{0}, � ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ. Ó öüîìó âèïàäêó f t∼ g òîäii òiëüêè òîäi, êîëè àáî |a| òà |c| îäíî÷àñíî íå äîðiâíþþòü 1,àáî a = c, àáî a = c̄.3. Êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü, çòî÷íiñòþ äî òîïîëîãi÷íî¨ ñïðÿæåíîñòiÍåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè òîïîëîãi÷íî¨ ñïðÿæåíîñòi äðîáî-âî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü ä๠òàêà òåîðåìà.Òåîðåìà 3. Íåõàé f , g : C → C � äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâî-ðåííÿ.ßêùî f òà g ìàþòü õî÷à á ïî 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè ξ1,
ξ2 òà ψ1, ψ2 âiäïîâiäíî, òî f t∼ g òîäi i òiëüêè òîäi, êîëèâèêîíóþòüñÿ òàêi óìîâè:àáî { |f ′(ξ)| 6= 1,
|g′(ψ)| 6= 1,
àáî f ′(ξ) = g′(ψ), àáî f ′(ξ) = g′(ψ),äå ξ ∈ {ξ1, ξ2}, ψ ∈ {ψ1, ψ2}.ßêùî f òà g ìàþòü òiëüêè ïî 1 íåðóõîìié òî÷öi, òî âîíèçàâæäè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè. iíøèõ âèïàäêàõ ïåðåòâîðåííÿ f òà g íå ¹ òîïîëîãi÷íîñïðÿæåíèìè.Äîâåäåííÿ. Äîâiëüíå äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ ìîæåìàòè àáî 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè, àáî 1, àáî íåñêií÷åííî áàãàòî
354 Ò. Â. Áóäíèöüêà(òîáòî áóòè òîòîæíèì ïåðåòâîðåííÿì). Îñêiëüêè ó òîïîëîãi÷íîñïðÿæåíèõ ïåðåòâîðåíü îäíàêîâà êiëüêiñòü íåðóõîìèõ òî÷îê,òî äîâåäåìî òåîðåìó äëÿ êîæíîãî êëàñó òàêèõ ïåðåòâîðåíü, óÿêèõ êiëüêiñòü íåðóõîìèõ òî÷îê îäíàêîâà.Îòæå, ìà¹ìî 3 âèïàäêè.1) Äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, ùî ìàþòü òiëüêè ïî 2 ðiçíiíåðóõîìi òî÷êè.Çàóâàæèìî, ùî äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ
f(z) =
az + b
cz + dì๠òiëüêè 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè, à ñàìå:
ξ1, 2 =
a−d±
√
(a−d)2+4bc
2còîäi i òiëüêè òîäi, êîëè (a− d)2 + 4bc 6= 0.Âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâè (1), ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî òàêåïåðåòâîðåííÿ f ¹ ñïðÿæåíèì (à îòæå, ¹ é òîïîëîãi÷íî ñïðÿæå-íèì) ç äåÿêîþ ñòàíäàðòíîþ �îðìîþ mk(z) = kz, k ∈ C\{0, 1}.Ç òåîðåìè 2 âèïëèâà¹, ùî tr2(f)=tr2(mk), òîáòî (a+d)2
ad−bc =
(k+1)2
k . Çà äîïîìîãîþ öüîãî âèðàçó îá÷èñëþ¹ìî çíà÷åííÿ k, îò-ðèìó¹ìî:
k1 =
a+d+
√
(a−d)2+4bc
a+d−
√
(a−d)2+4bc
, k2 =
a+d−
√
(a−d)2+4bc
a+d+
√
(a−d)2+4bc
.Çíàéøîâøè çíà÷åííÿ ïîõiäíî¨ ïåðåòâîðåííÿ f ó íåðóõîìèõòî÷êàõ ξ1 òà ξ2, íåñêëàäíî ïåðåâiðèòè, ùî
k1 = 1
f ′(ξ1) , k2 = 1
f ′(ξ2) .Ëåãêî áà÷èòè, ùî k1 = 1
k2
, k1, k2 ∈ C\{0; 1}, òîìó é(2) f ′(ξ1) = 1
f ′(ξ2) , f
′(ξ1), f ′(ξ2) ∈ C\{0, 1}.Îòæå, ìà¹ìî äâi ñòàíäàðòíi �îðìè:
mk1(z) = k1z =
1
f ′(ξ1)
z = f ′(ξ2) z
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü 355òà
mk2(z) = k2z =
1
f ′(ξ2)
z = f ′(ξ1) z,ÿêi ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè ìiæ ñîáîþ (áî iñíó¹ ãîìåîìîð-�içì h : C → C, h(z) = 1
z òàêèé, ùî mk1 = h ◦mk2 ◦ h−1). Òîìóäàëi âiäïîâiäíó ñòàíäàðòíó �îðìó ïåðåòâîðåííÿ f áóäåìî ïî-çíà÷àòè:(3) mf (z) = f ′(ξ) z,äå f ′(ξ) ∈ C\{0; 1}, ξ ∈ {ξ1, ξ2} � äîâiëüíà íåðóõîìà òî÷êà f .Îòæå, äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ f òà g, ùî ìàþòü òiëüêèïî 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè, áóäóòü òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè òîäii òiëüêè òîäi, êîëè òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè áóäóòü âiäïîâiäíiñòàíäàðòíi �îðìè mf (z) = f ′(ξ) z òà mg(z) = g′(ψ) z.Âèêîðèñòîâóþ÷è íàñëiäîê 1, ìà¹ìî, ùî mf
t∼ mg òîäi i òiëü-êè òîäi, êîëèàáî { |f ′(ξ)| 6= 1 ,
|g′(ψ)| 6= 1 ,
àáî f ′(ξ) = g′(ψ), àáî f ′(ξ) = g′(ψ),äå ξ ∈ {ξ1, ξ2}, ψ ∈ {ψ1, ψ2}.Îòæå, ìè îòðèìàëè íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè òîïîëîãi÷íî¨ñïðÿæåíîñòi äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü, ùî ìàþòü òiëüêèïî 2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè.2) Äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, ùî ìàþòü íåñêií÷åííî áà-ãàòî íåðóõîìèõ òî÷îê.Äîâiëüíå äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ, ùî ì๠íåñêií÷åííîáàãàòî íåðóõîìèõ òî÷îê ¹ òîòîæíèì ïåðåòâîðåííÿì. Òîìó òà-êi ïåðåòâîðåííÿ f òà g çàâæäè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè, áî
f(z) = g(z) = id
C
(z).3) Äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, ùî ìàþòü òiëüêè ïî 1 íå-ðóõîìié òî÷öi.Âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâè (1), ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî òàêåïåðåòâîðåííÿ ¹ ñïðÿæåíèì çi ñòàíäàðòíîþ �îðìîþm1(z) = z+
1. Òîìó äâà äîâiëüíi äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, ÿêi ìàþòüòiëüêè ïî 1 íåðóõîìié òî÷öi, çàâæäè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè.
356 Ò. Â. ÁóäíèöüêàÎá'¹äíóþ÷è ðåçóëüòàòè ïåðøèõ äâîõ âèïàäêiâ, îòðèìà¹ìî,ùî ïåðåòâîðåííÿ f òà g, ùî ìàþòü õî÷à á ïî 2 ðiçíi íåðóõîìiòî÷êè ξ1, ξ2 òà ψ1, ψ2, âiäïîâiäíî, áóäóòü òîïîëîãi÷íî ñïðÿæå-íèìè òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè(4) àáî { |f ′(ξ)| 6= 1 ,
|g′(ψ)| 6= 1 ,
àáî f ′(ξ) = g′(ψ), àáî f ′(ξ) = g′(ψ),äå ξ ∈ {ξ1, ξ2}, ψ ∈ {ψ1, ψ2}.Çàóâàæèìî, ùî ïî¹äíàííÿ 1)-ãî òà 2)-ãî âèïàäêiâ ¹ êîðåêò-íèì, áî â 1)-ó âèïàäêó ðîçãëÿäàþòüñÿ òàêi ïåðåòâîðåííÿ f , ùî
f ′(ξ) 6= 1 (äèâ. (2)), à â 2)-ó � òàêi f̃ , ùî f̃ ′(z) = 1, à çà óìîâà-ìè (4) òàêi ïåðåòâîðåííÿ f òà f̃ íå ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè.Ó âèïàäêó 3) äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, ùî ìàþòü òiëü-êè ïî 1 íåðóõîìié òî÷öi, çàâæäè ¹ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèìè.Ìè îòðèìàëè íåîáõiäíi òà äîñòàòíi óìîâè äàíî¨ òåîðåìè. Òàîñêiëüêè ó äîâåäåííi ìè âèêîðèñòîâóâàëè íå ëèøå òîïîëîãi÷-íî ñïðÿæåíi, àëå é ñïðÿæåíi äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåííÿ, òîìîæå âèíèêíóòè ïðèïóùåííÿ, ùî äàíà êëàñè�iêàöiÿ íå ¹ ïî-âíîþ. Òîáòî, ùî iñíó¹ ãîìåîìîð�içì φ : C → C òàêèé, ùî
f = φ ◦ g ◦ φ−1, ïðîòå óìîâè (4) íå âèêîíóþòüñÿ.Òà õèáíiñòü öüîãî ïðèïóùåííÿ äîâîäÿòü òàêi ìiðêóâàííÿ.Íåõàé f òà g � âiäìiííi âiä òîòîæíèõ äðîáîâî-ëiíiéíi ïå-ðåòâîðåííÿ, à mf òà mg � ¨õíi âiäïîâiäíi ñòàíäàðòíi �îðìè(äèâ. (3)). Çà óìîâàìè (1) iñíóþòü äðîáîâî-ëiíiéíi ïåðåòâîðåí-íÿ d1 òà d2 òàêi, ùî f = d1 ◦ mf ◦ d−1
1 òà g = d2 ◦ mg ◦ d−1
2 .Îòæå, d1 ◦mf ◦ d−1
1 = φ ◦ d2 ◦mg ◦ d−1
2 ◦ φ−1, òîáòî mf
t∼ mg,à ç íàñëiäêó 1 âèïëèâà¹, ùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè (4). Îòðèìàëèïðîòèði÷÷ÿ.Òîìó äàíà êëàñè�iêàöiÿ ¹ ïîâíîþ, à óìîâè òåîðåìè êîðåêòíîñ�îðìóëüîâàíèìè.Òåîðåìà äîâåäåíà.
Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü 3573.1. �åîìåòðè÷íà iíòåðïðåòàöiÿ òîïîëîãi÷íî ñïðÿæåíèõäðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü ç C â C. ßê âæå çàçíà÷àëî-ñÿ, ÿêùî âiäìiííå âiä òîòîæíîãî äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ
f(z) = az+b
cz+d ì๠2 ðiçíi íåðóõîìi òî÷êè, òî iñíó¹ k ∈ C\{0; 1}òàêå, ùî f ¹ ñïðÿæåíèì çi ñòàíäàðòíîþ �îðìîþ mk(z) = kz,äå k = f ′(ξ), ξ � äîâiëüíà íåðóõîìà òî÷êà f (äèâ. óìîâè (3)). çàëåæíîñòi âiä çíà÷åííÿ ÷èñëà k ∈ C\{0; 1} ðîçðiçíÿþòü 3âèïàäêè:1) k � ÷èñëî äiéñíå òà äîäàòíå,2) k = eiα ïðè α 6= 2πl, l ∈ Z,3) k = r eiα ïðè r 6= 1, α 6= 2πl, l ∈ Z.Ó ïåðøîìó âèïàäêó ïåðåòâîðåííÿ f íàçèâàþòü ãiïåðáîëi÷-íèì, ó äðóãîìó � åëiïòè÷íèì, à â òðåòüîìó � ëîêñîäðîìi÷-íèì.Äîâiëüíå äðîáîâî-ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ, ùî ì๠òiëüêè îäíóíåðóõîìó òî÷êó íàçèâàþòü ïàðàáîëi÷íèì.Çàñòîñîâóþ÷è êëàñè�iêàöiþ äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíüçà âèùå ïåðåðàõîâàíèìè òèïàìè, îòðèìàóìî òàêó òåîðåìó.Òåîðåìà 4. Ñåðåä íååëiïòè÷íèõ ïåðåòâîðåíü iñíó¹ 3 òîïî-ëîãi÷íî íåñïðÿæåíèõ êëàñè äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü:
1) ïåðøèé êëàñ ñêëàäà¹òüñÿ ç óñiõ ïàðàáîëi÷íèõ ïåðåòâî-ðåíü,
2) äðóãèé � ç ãiïåðáîëi÷íèõ òà ëîêñîäðîìi÷íèõ ïåðåòâî-ðåíü,
3) òðåòié � ç òîòîæíîãî ïåðåòâîðåííÿ.Ñåðåä åëiïòè÷íèõ ïåðåòâîðåíü êîæåí êëàñ òîïîëîãi÷íî¨ñïðÿæåíîñòi äðîáîâî-ëiíiéíèõ ïåðåòâîðåíü çàäà¹òüñÿ âåëè÷è-íîþ êóòà ïîâîðîòó (ùî âèçíà÷åíèé ç òî÷íiñòþ äî 2πl, l ∈ Z).4. ÂèñíîâîêÓ äàíié ðîáîòi âñòàíîâëåíî êëàñè�iêàöiþ äðîáîâî-ëiíiéíèõïåðåòâîðåíü, ç òî÷íiñòþ äî òîïîëîãi÷íî¨ ñïðÿæåíîñòi.
358 Ò. Â. ÁóäíèöüêàËiòåðàòóðà[1℄ Áåðäîí À. �åîìåòðèÿ äèñêðåòíûõ ãðóïï / Ïåð. ñ àíãë. � 1986. � Ì.:Íàóêà, 304ñ.[2℄ Áóäíèöüêà Ò.Â. Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ à�iííèõ âiäîáðàæåíü ç C â
C // Âiñí. Êè¨â. íàö. óí-òó. � 2009 (ñòàòòÿ ïîäàíà äî äðóêó).
|