Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості

Одержано достатні умови існування Т-перiодичного неперервно диференцiйовного при t належить R розв'язку системи лiнiйних диференцiально-функцiональних рівнянь з нелiнiйним відхиленням аргументу та досліджено його властивості....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Вельгач, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6315
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / А.В. Вельгач // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 359-372. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6315
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-63152010-02-24T12:01:02Z Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості Вельгач, А.В. Геометрія, топологія та їх застосування Одержано достатні умови існування Т-перiодичного неперервно диференцiйовного при t належить R розв'язку системи лiнiйних диференцiально-функцiональних рівнянь з нелiнiйним відхиленням аргументу та досліджено його властивості. 2009 Article Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / А.В. Вельгач // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 359-372. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6315 517.929 uk Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Вельгач, А.В. Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
description	Одержано достатні умови існування Т-перiодичного неперервно диференцiйовного при t належить R розв'язку системи лiнiйних диференцiально-функцiональних рівнянь з нелiнiйним відхиленням аргументу та досліджено його властивості.
format	Article
author	Вельгач, А.В.
author_facet	Вельгач, А.В.
author_sort	Вельгач, А.В.
title	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
title_short	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
title_full	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
title_fullStr	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
title_full_unstemmed	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
title_sort	періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6315
citation_txt	Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / А.В. Вельгач // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 359-372. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT velʹgačav períodičnírozvâzkisistemlíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipuííhvlastivostí
first_indexed	2025-07-02T09:14:51Z
last_indexed	2025-07-02T09:14:51Z
_version_	1836526014729027584
fulltext	Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 359-372517.929À. Â. Âåëüãà÷Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨âÏåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåìëiíiéíèõäè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõðiâíÿíü íåéòðàëüíîãî òèïói ¨õ âëàñòèâîñòiÎäåðæàíî äîñòàòíi óìîâè iñíóâàííÿ Ò-ïåðiîäè÷íîãî íåïåðåðâíî äè�å-ðåíöiéîâíîãî ïðè t ∈ R ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè ëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõ ðiâíÿíü ç íåëiíiéíèì âiäõèëåííÿì àðãóìåíòó òà äî-ñëiäæåíî éîãî âëàñòèâîñòi.�îçãëÿíåìî èñòåìó ëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëü-íèõ ðiâíÿíü âèãëÿäó(1) x′(t)=Ax(t)+ m∑ i=0 Ai(t)x(kit+fi(t))+ m∑ i=0 Bi(t)x ′(lit+gi(t))+F (t),äå t ∈ (−∞; +∞), A � ñòàëà (n × n)-ìàòðèöÿ, Ai(t), Bi(t), i = 0, ...,m, � äåÿêi íåïåðåðâíi T-ïåðiîäè÷íi (n × n)-ìàòðè-öi, F (t) � íåïåðåðâíà T-ïåðiîäè÷íà âåêòîð-�óíêöiÿ, fi(t), gi(t), i = 0, ...,m, � äåÿêi íåâiä'¹ìíi íåïåðåðâíi Ò-ïåðiîäè÷íi �óíêöi¨, ki, li, i = 0, ...,m, � äåÿêi öiëi äîäàòíi ÷èñëà. Óìîâè iñíóâàííÿïåðiîäè÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ îêðåìèõ êëàñiâ òàêèõ ñèñòåì ðiâíÿíüâñòàíîâëåíî â [1�5℄. Ïðîäîâæóþ÷è öi äîñëiäæåííÿ, â äàíié ðî-áîòi ïðîïîíó¹òüñÿ ïåâíèé ñïîñiá ïîáóäîâè T-ïåðiîäè÷íèõ ðîç-â'ÿçêiâ ñèñòåìè ðiâíÿíü (1) i âèâ÷àþòüñÿ ¨õ âëàñòèâîñòi. Ïðèöüîìó âiäíîñíî ñèñòåìè ðiâíÿíü (1) ïðèïóñêàþòüñÿ âèêîíàíè-ìè òàêi óìîâè: © À. Â. Âåëüãà÷, 2009 360 À. Â. Âåëüãà÷1) \|eAt\| ≤ Ne−αt ïðè t ∈ R+, äå N , α � äåÿêi äîäàòíi÷èñëà;2) ìàòðèöi Ai(t), Bi(t), i = 0, ...,m, òàêi, ùî ïðè âñiõ t ∈ Râèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ m∑ i=0 ( \|Ai(t)\| + \|Bi(t)\| ) ≤ δ,äå δ � äåÿêå äîñòàòíüî ìàëå äîäàòí¹ ÷èñëî;3) \|F (t)\| ≤ F ∗ ïðè t ∈ R;4) ∆ = Kδ < 1, äå K = max{Nα , \|A\|Nα + 1}.�îçâ'ÿçêè ñèñòåìè (1) øóêàòèìåìî ó âèãëÿäi ðÿäó(2) x(t) = ∞∑ j=0 xj(t),äå xj(t), j = 0, 1, ..., � äåÿêi íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíi Ò-ïåðiîäè÷íi âåêòîð-�óíêöi¨.Ïiäñòàâèâøè (2) â (1) îòðèìà¹ìî ∞∑ j=0 x′j(t) = A ∞∑ j=0 xj(t) + m∑ i=0 Ai(t) ∞∑ j=0 xj(kit+ fi(t))+ + m∑ i=0 Bi(t) ∞∑ j=0 x′j(lit+ gi(t)) + F (t).Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî ÿêùî âåêòîð-�óíêöi¨ xj(t), j = 0, 1, ..., çàäîâîëüíÿþòü ïîñëiäîâíîñòi ñèñòåì ðiâíÿíü(30) x′0(t) = Ax0(t) + F (t),(3j) x′j(t) = Axj(t) + m∑ i=0 Ai(t)xj−1(kit+ fi(t))+ + m∑ i=0 Bi(t)x ′ j−1(lit+ gi(t)), j = 1, 2, ...,òî ðÿä (2) áóäå �îðìàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (1). Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 361Áåçïîñåðåäíüîþ ïiäñòàíîâêîþ â (30) ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ,ùî âåêòîð-�óíêöiÿ(40) x0(t) = t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ)dτ¹ íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (30). Ïîêà-æåìî, ùî ìà¹ ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ(50) x0(t+ T ) = x0(t).Äiéñíî, x0(t+ T ) = t+T∫ −∞ eA(t+T−τ)F (τ)dτ = t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ + T )dτ = = t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ)dτ = x0(t).Âðàõîâóþ÷è óìîâè 1) i 3), çíàõîäèìî \|x0(t)\| = ∣∣∣∣ t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ)dτ ∣∣∣∣ ≤ t∫ −∞ \|eA(t−τ)\|\|F (τ)\|dτ ≤ ≤ F ∗N t∫ −∞ e−α(t−τ)dτ = F ∗Ne−αt eαt α = F ∗N α ≤M, 362 À. Â. Âåëüãà÷(60) \|x′0(t)\| = ∣∣∣∣A t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ)dτ + F (t) ∣∣∣∣ ≤ ≤ \|A\| ∣∣∣∣ t∫ −∞ eA(t−τ)F (τ)dτ ∣∣∣∣ + \|F (t)\| ≤ ≤ F ∗ ( \|A\|N α + 1 ) ≤M,äå M = F ∗K.�îçãëÿäàþ÷è ïîñëiäîâíî ñèñòåìè ðiâíÿíü (3j), j ∈ N, ìîæíàïîêàçàòè, ùî âåêòîð-�óíêöi¨(4j) xj(t) = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)xj−1(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ j−1(liτ+gi(τ)) ) dτ, j = 1, 2, ...,¹ ¨õ ðîçâ'ÿçêàìè. Ïîêàæåìî, ùî âèêîíóþòüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ(5j) xj(t+ T ) = xj(t), j = 1, 2, ...,i ìàþòü ìiñöå îöiíêè \|xj(t)\| ≤M∆j, \|x′j(t)\| ≤M∆j, j = 1, 2, .... (6j)Äiéñíî, ïðè j = 1, âðàõîâóþ÷è (50), (60) i óìîâè 1)�4) ìà¹ìî x1(t+ T ) = t+T∫ −∞ eA(t+T−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)x0(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ 0(liτ + gi(τ)) ) dτ = = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ + T )x0(ki(τ + T ) + fi(τ + T ))+ Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 363 + m∑ i=0 Bi(τ + T )x′0(li(τ + T ) + gi(τ + T )) ) dτ = = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)x0(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ 0(liτ + gi(τ)) ) dτ = x1(t), \|x1(t)\| = ∣∣∣∣ t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)x0(kiτ + fi(τ)) + + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ 0(liτ + gi(τ)) ) dτ ∣∣∣∣ ≤ ≤ t∫ −∞ ∣∣eA(t−τ)∣∣ ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣∣∣x0(kiτ + fi(τ)) ∣∣ + + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣∣∣x′0(liτ + gi(τ)) ∣∣ ) dτ ≤ ≤ MN t∫ −∞ e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣+ m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣ ) dτ ≤ ≤ MNδ t∫ −∞ e−α(t−τ)dτ = M N α δ = M∆, \|x′1(t)\| = ∣∣Ax1(t) + m∑ i=0 Ai(t)x0(kit+ fi(t)) + 364 À. Â. Âåëüãà÷ + m∑ i=0 Bi(t)x ′ 0(lit+ gi(t)) ∣∣ ≤ ≤ \|A\|\|x1(t)\| + m∑ i=0 \|Ai(t)\|\|x0(kit+ fi(t))\| + + m∑ i=0 \|Bi(t)\|\|x′0(lit+ gi(t))\| ≤ ≤ \|A\|MN α δ +Mδ = M(\|A\|N α + 1)δ ≤M∆.Ìiðêóþ÷è ïî iíäóêöi¨, ïðèïóñòèìî, ùî ñèñòåìà (3j), j ≥ 1,ìà¹ íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèé T-ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîê xj(t), ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ �îðìóëîþ (4j), ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè(6j), i ïîêàæåìî, ùî ðîçâ'ÿçîê xj+1(t) ñèñòåìè (3j+1): xj+1(t) = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)xj(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ j(liτ + gi(τ)) ) dτòàêîæ ¹ Ò-ïåðiîäè÷íîþ âåêòîð-�óíêöi¹þ, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìî-âè (6j+1). Äiéñíî, âðàõîâóþ÷è (5j), îòðèìó¹ìî xj+1(t+ T ) = t+T∫ −∞ eA(t+T−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)xj(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ j(liτ + gi(τ)) ) dτ = = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ + T )xj(ki(τ + T ) + fi(τ + T ))+ Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 365 + m∑ i=0 Bi(τ + T )x′j(li(τ + T ) + gi(τ + T )) ) dτ = = t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)xj(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ j(liτ + gi(τ)) ) dτ = xj+1(t),òîáòî âåêòîð-�óíêöiÿ xj+1(t) ¹ Ò-ïåðiîäè÷íîþ. Òåïåð ïîêàæå-ìî, ùî âåêòîð-�óíêöiÿ xj+1(t) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè (6j+1).Ñïðàâäi, \|xj+1(t)\| = ∣∣∣∣ t∫ −∞ eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)xj(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)x ′ j(liτ + gi(τ)) ) dτ ∣∣∣∣ ≤ ≤ t∫ −∞ ∣∣eA(t−τ)∣∣ ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣∣∣xj(kiτ + fi(τ)) ∣∣+ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣∣∣x′j(liτ + gi(τ)) ∣∣ ) dτ ≤ ≤M∆jNδ t∫ −∞ e−α(t−τ)dτ = M∆jN α δ = M∆j+1, \|x′j+1(t)\| = ∣∣Axj+1(t) + m∑ i=0 Ai(t)xj(kit+ fi(t)) + + m∑ i=0 Bi(t)x ′ j(lit+ gi(t)) ∣∣ ≤ 366 À. Â. Âåëüãà÷ ≤ \|A\|\|xj+1(t)\| + m∑ i=0 \|Ai(t)\|\|xj(kit+ fi(t))\| + + m∑ i=0 \|Bi(t)\|\|x′j(lit+ gi(t))\| ≤ ≤ \|A\|M∆jN α δ +M∆jδ = = M∆j(\|A\|N α + 1)δ ≤M∆j+1.Òàêèì ÷èíîì, ìè ïîêàçàëè, ùî âñi ÷ëåíè ðÿäó x(t) = ∞∑ j=0 xj(t)¹ íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèìè Ò-ïåðiîäè÷íèìè âåêòîð-�óíê-öiÿìè, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (6j). Îñêiëüêè ∆ < 1, òî ðÿä x(t) = ∞∑ j=0 xj(t) (ðàçîì iç ïåðøîþ ïîõiäíîþ) ðiâíîìiðíî çái-ãà¹òüñÿ ïðè âñiõ t ∈ R äî íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíî¨ Ò-ïåðiî-äè÷íî¨ âåêòîð-�óíêöi¨ x(t), ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (1) i äëÿÿêî¨ âèêîíóþòüñÿ óìîâè \|x(t)\| ≤ M 1 − ∆ , \|x′(t)\| ≤ M 1 − ∆ .Òàêèì ÷èíîì, äîâåäåíà òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1)�4). Òîäi ñèñòåìà(1) ìà¹ Ò-ïåðiîäè÷íèé íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèé ïðè t ∈ Rðîçâ'ÿçîê γ(t).Âèêîíóþ÷è â (1) âçà¹ìî-îäíîçíà÷íó çàìiíó çìiííèõ(7) x(t) = y(t) + γ(t),äå γ(t) � íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèé Ò-ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿ-çîê ñèñòåìè (1), îòðèìó¹ìî ñèñòåìó ðiâíÿíü äëÿ y(t):(8) y′(t) = Ay(t)+ m∑ i=0 Ai(t)y(kit+fi(t))+ m∑ i=0 Bi(t)y ′(lit+gi(t)). Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 367Äëÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü (8) ìà¹ ìiñöå íàñòóïíà òåîðåìà.Òåîðåìà 2. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1)�2) òåîðåìè 1 ióìîâà:4′) ∆̃ = K̃δ < 1, äå K̃ = max{ N α−β , \|A\| N α−β + 1}, β � äåÿêà äîäàòíà ñòàëà òàêà, ùî β < α.Òîäi ñèñòåìà ðiâíÿíü (8) ìà¹ ñiì'þ íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâ-íèõ ïðè t ∈ R+ ðîçâ'ÿçêiâ y(t)=y(t,C), äå Ñ � äîâiëüíèé ñòà-ëèé âåêòîð ðîçìiðíîñòi n, ó âèãëÿäi ðÿäó:(9) y(t) = ∞∑ j=0 yj(t),äå yj(t), j = 0, 1, ..., � äåÿêi íåïåðåðâíî äè�åðåíöiéîâíi ïðè t ∈ R+ âåêòîð-�óíêöi¨, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó lim t→+∞ \|y(t)\| = 0, lim t→+∞ \|y′(t)\| = 0. (10)Äîâåäåííÿ. Ïiäñòàâèâøè (9) â (8), îòðèìà¹ìî(11) ∞∑ j=0 y′j(t) = A ∞∑ j=0 y′j(t) + m∑ i=0 Ai(t) ∞∑ j=0 yj(kit+ fi(t))+ + m∑ i=0 Bi(t) ∞∑ j=0 y′j(lit+ gi(t)).Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî ÿêùî âåêòîð-�óíêöi¨ yj(t), j = 0, 1, ..., ¹ðîçâ'ÿçêàìè ïîñëiäîâíîñòi ñèñòåì ðiâíÿíü(120) y′0(t) = Ay0(t),(12j) y′j(t) = Ayj(t) + m∑ i=0 Ai(t)yj−1(kit+ fi(t))+ + m∑ i=0 Bi(t)y ′ j−1(lit+gi(t)), j = 1, 2, ...,òî ðÿä (9) ¹ �îðìàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè (8). 368 À. Â. Âåëüãà÷Î÷åâèäíî, ùî ñèñòåìà (120) ìà¹ ñiì'þ íåïåðåðâíî äè�åðåí-öiéîâíèõ ïðè t ∈ R+ ðîçâ'ÿçêiâ y0(t) = eAtC , äå C � äîâiëüíèéñòàëèé âåêòîð ðîçìiðíîñòi n. Âðàõîâóþ÷è óìîâó 1) ìà¹ìî: \|y0(t)\| = \|eAtC\| ≤ \|eAt\|\|C\| ≤ Ne−αt\|C\| ≤ M̃e−βt, \|y′0(t)\| = \|Ay0(t)\| ≤ \|A\|\|eAt\|\|C\| ≤ \|A\|Ne−αt\|C\| ≤ M̃e−βt,äå M̃ = max{N \|C\|, \|A\|N \|C\|}, β < α.Ïîñëiäîâíî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ðîçâ'ÿçêàìè ñèñòåì ðiâíÿíü(12j), j = 1, 2, ..., ïðè t ∈ R+ ¹ âåêòîð-�óíêöi¨ yj(t) = t∫ 0 eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)yj−1(kiτ + fi(τ))+ + m∑ i=0 Bi(τ)y ′ j−1(liτ + gi(τ)) ) dτ.Ïîêàæåìî, ùî ïðè âñiõ t ∈ R+ âèêîíóþòüñÿ îöiíêè \|yj(t)\| ≤ M̃∆je−βt, \|y′j(t)\| ≤ M̃∆je−βt, j = 1, 2, .... (13j)Äiéñíî, ïðè j = 1 ìà¹ìî \|y1(t)\| = ∣∣∣∣ t∫ 0 eA(t−τ) ( m∑ i=0 Ai(τ)y0(kiτ + fi(τ)) + + m∑ i=0 Bi(τ)y ′ 0(liτ + gi(τ)) ) dτ ∣∣∣∣ ≤ ≤ t∫ 0 Ne−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣∣∣y0(kiτ + fi(τ)) ∣∣+ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣∣∣y′0(liτ + gi(τ)) ∣∣ ) dτ ≤ Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 369 ≤ N t∫ 0 e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣M̃e−β(kiτ+fi(τ)) + + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣M̃e−β(liτ+gi(τ)) ) dτ ≤ ≤ N t∫ 0 e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣M̃e−βkiτ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣M̃e−βliτ ) dτ ≤ ≤ N t∫ 0 e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣M̃e−βτ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣M̃e−βτ ) dτ ≤ ≤ NM̃e−αt t∫ 0 e(α−β)τ ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣+ m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣ ) dτ ≤ ≤ NM̃δe−αt t∫ 0 e(α−β)τdτ ≤ NM̃δe−αt ( e(α−β)t α− β − 1 α− β ) ≤ ≤ M̃ N (α− β) δ ( e−βt − e−αt ) ≤ M̃ N (α− β) δe−βt ≤ M̃∆̃e−βt, \|y′1(t)\| ≤ \|A\|\|y1(t)\| + m∑ i=0 \|Ai(t)\|\|y0(kit+ fi(t))\| + + m∑ i=0 \|Bi(t)\|\|y′0(lit+ gi(t))\| ≤ ≤ \|A\|M̃ N (α − β) δe−βt + m∑ i=0 \|Ai(t)\|M̃e−β(kit+fi(t)) + + m∑ i=0 \|Bi(t)\|M̃e−β(lit+gi(t)) ≤ ≤ \|A\|M̃ N (α − β) δe−βt + m∑ i=0 \|Ai(t)\|M̃e−βt + 370 À. Â. Âåëüãà÷ + m∑ i=0 \|Bi(t)\|M̃e−βt ≤ ≤ M̃ ( \|A\| N (α− β) δ + δ ) e−βt = = M̃ ( \|A\| N (α − β) + 1 ) δe−βt ≤ M̃∆̃e−βt,òîáòî ìàþòü ìiñöå îöiíêè (131). Ïðèïóñòèìî, ùî îöiíêà (13j)äîâåäåíà âæå äëÿ äåÿêîãî j ≥ 1, i ïîêàæåìî ¨¨ ñïðàâåäëèâiñòüïðè j + 1. Äiéñíî, âíàñëiäîê óìîâ 1), 2), 4′) i (13j), îòðèìó¹ìî \|yj+1(t)\| ≤ t∫ 0 Ne−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣∣∣yj(kiτ + fi(τ)) ∣∣+ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣∣∣y′j(liτ + gi(τ)) ∣∣ ) dτ ≤ ≤ N t∫ 0 e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣M̃∆̃je−β(kiτ+fi(τ))+ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣M̃∆̃je−β(liτ+gi(τ)) ) dτ ≤ ≤ N t∫ 0 e−α(t−τ) ( m∑ i=0 ∣∣Ai(τ) ∣∣M̃∆̃je−βτ+ + m∑ i=0 ∣∣Bi(τ) ∣∣M̃∆̃je−βτ ) dτ ≤ ≤ NM̃∆̃jδe−αt t∫ 0 e(α−β)τdτ ≤ ≤ M̃∆̃j N (α− β) δ ( e−βt − e−αt ) ≤ M̃∆̃j+1e−βt, Ïåðiîäè÷íi ðîçâ'ÿçêè ñèñòåì ðiâíÿíü 371 \|y′j+1(t)\| ≤ \|A\|\|yj+1(t)\| + m∑ i=0 \|Ai(t)\|\|yj(kit+ fi(t))\|+ + m∑ i=0 \|Bi(t)\|\|y′j(lit+ gi(t))\| ≤ ≤ \|A\|M̃∆̃j N (α− β) δe−βt + m∑ i=0 \|Ai(t)\|M̃∆̃je−β(kit+fi(t))+ + m∑ i=0 \|Bi(t)\|M̃∆̃je−β(lit+gi(t)) ≤ ≤ \|A\|M̃∆̃j N (α− β) δe−βt + m∑ i=0 \|Ai(t)\|M̃∆̃je−βt+ + m∑ i=0 \|Bi(t)\|M̃∆̃je−βt ≤ ≤ M̃∆̃j ( \|A\| N (α− β) + 1 ) δe−βt ≤ M̃∆̃j+1e−βt,Òàêèì ÷èíîì, ñïðàâåäëèâiñòü îöiíîê (13j), j = 1, 2, ..., ïî-âíiñòþ äîâåäåíà. Çâiäñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâà¹, ùî ðÿä y(t) = ∞∑ j=0 yj(t)i éîãî ïåðøà ïîõiäíà çáiãàþòüñÿ ðiâíîìiðíî ïðè t ∈ R+ äî íåïå-ðåðâíî äè�åðåíöiéîâíî¨ âåêòîð-�óíêöi¨ y(t), ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçêîìñèñòåìè (8), äëÿ ÿêîãî âèêîíóþòüñÿ îöiíêè y(t) ≤ M̃ 1 − ∆̃ e−βt, y′(t) ≤ M̃ 1 − ∆̃ e−βt,i îòæå, òàê ïîáóäîâàíi ðîçâ'ÿçêè âiäïîâiäàþòü óìîâi (10). Òèìñàìèì òåîðåìà 2 ïîâíiñòþ äîâåäåíà.Âðàõîâóþ÷è (7) i äîâåäåíi âèùå òåîðåìè 1, 2 ïðèõîäèìî äîòàêî¨ òåîðåìè. 372 À. Â. Âåëüãà÷Òåîðåìà 3. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1)�3) òåîðåìè 1 ióìîâà 4′) òåîðåìè 2. Òîäi ñèñòåìà ðiâíÿíü (1) ìà¹ ñiì'þ íåïå-ðåðâíî äè�åðåíöiéîâíèõ ðîçâ'ÿçêiâ x(t) = x(t, C), ÿêà âèçíà-÷à¹òüñÿ �îðìóëîþ x(t) = y(t) + γ(t),äå y(t) âèçíà÷à¹òüñÿ ðÿäîì (9) i γ(t) � Ò-ïåðiîäè÷íèé ðîçâ'ÿçîêñèñòåìè ðiâíÿíü (1).Çàóâàæåííÿ. Ïðè äåÿêèõ äîäàòêîâèõ ïðèïóùåííÿõòåîðåìà 1 ìà¹ ìiñöå i ó âèïàäêó, êîëè âiäõèëåííÿ àðãóìåíòó fi(t), gi(t), i = 1, ...,m, çàëåæàòü âiä íåâiäîìî¨ �óíêöi¨.Ëiòåðàòóðà[1℄ Äæ. Õåéë. Òåîðèÿ �óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:Ïåð. ñ àíãë. � Ì.:Ìèð, 1984. � 421 ñ.[2℄ Êóðáàòîâ Â.�. Ëèíåéíûå äè��åðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. �Âîðîíåæ. Èçä-âî Âîðîíåæñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1990. � 167 ñ.[3℄ Ïåëþõ �.Ï., Áëàùàê Í.I. Ïðî iñíóâàííÿ i ¹äèíiñòü ïåðiîäè÷íèõ ðîç-â'ÿçêiâ ñèñòåì íåëiíiéíèõ äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõ ðiâíÿíü çëiíiéíèì âiäõèëåííÿì àðãóìåíòà. //Äîï. ÍÀÍÓêðà¨íè. � 1997. � �8. �Ñ. 10-13.[4℄ Ñàìîéëåíêî À.Ì., Ïåëþõ �.Ï. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ ñè-ñòåì íåëèíåéíûõ äè��åðåíöèàëüíî-�óíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íåé-òðàëüíîãî òèïà. //Äîï. ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 1994. � �3. � Ñ. 19-21.[5℄ Ïåëþõ �.Ï., Âåëüãà÷ À.Â. Ïðî ñòðóêòóðó ìíîæèíè íåïåðåðâ-íî äè�åðåíöiéîâíèõ ðîçâ'ÿçêiâ îäíi¹¨ ãðàíè÷íî¨ çàäà÷i äëÿ ñè-ñòåì äè�åðåíöiàëüíî-�óíêöiîíàëüíèõ ðiâíÿíü íåéòðàëüíîãî òèïó.//Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. � 2007. � �2. � Ñ. 277-289.

Періодичні розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості

Репозитарії

Схожі ресурси