Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов
Trokhimchuk inner mappings are continuous open isolated endomorphisms. The paper consider the Trokhimchuk inner mappings with infinite number of preimages from a dynamical systems view. Examples given that shows an essential difference from the dynamics of inner mappings with finite number of preim...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6316 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов / И.Ю. Власенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 373-389. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6316 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63162010-02-24T12:00:51Z Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов Власенко, И.Ю. Геометрія, топологія та їх застосування Trokhimchuk inner mappings are continuous open isolated endomorphisms. The paper consider the Trokhimchuk inner mappings with infinite number of preimages from a dynamical systems view. Examples given that shows an essential difference from the dynamics of inner mappings with finite number of preimages. A subclass of Trokhimchuk inner mappings is defined. It is shown that its dynamical properties are similar to ones of inner mappings with finite number of preimages and results on orbit structure are obtained. 2009 Article Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов / И.Ю. Власенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 373-389. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6316 517.5 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Власенко, И.Ю. Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| description |
Trokhimchuk inner mappings are continuous open isolated endomorphisms. The paper consider the Trokhimchuk inner mappings with infinite number of preimages from a dynamical systems view. Examples given that shows an essential difference from the dynamics of inner mappings with finite number of preimages. A subclass of Trokhimchuk inner mappings is defined. It is shown that its dynamical properties are similar to ones of inner mappings with finite number of preimages and results on orbit structure are obtained. |
| format |
Article |
| author |
Власенко, И.Ю. |
| author_facet |
Власенко, И.Ю. |
| author_sort |
Власенко, И.Ю. |
| title |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| title_short |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| title_full |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| title_fullStr |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| title_full_unstemmed |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов |
| title_sort |
особенности динамики бесконечнократных внутренних по трохимчуку эпиморфизмов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6316 |
| citation_txt |
Особенности динамики бесконечнократных внутренних по Трохимчуку эпиморфизмов / И.Ю. Власенко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 373-389. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vlasenkoiû osobennostidinamikibeskonečnokratnyhvnutrennihpotrohimčukuépimorfizmov |
| first_indexed |
2025-07-02T09:14:53Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:14:53Z |
| _version_ |
1836526017470005248 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 373-389ÓÄÊ 517.5È. Þ. ÂëàñåíêîÈíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, ÊèåâE-mail: vlasenko�imath.kiev.uaÎñîáåííîñòè äèíàìèêèáåñêîíå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõïî Òðîõèì÷óêó ýïèìîð�èçìîâ
Trokhimchuk inner mappings are continuous open isolated endomor-
phisms. The paper consider the Trokhimchuk inner mappings with infinite
number of preimages from a dynamical systems view. Examples given that
shows an essential difference from the dynamics of inner mappings with
finite number of preimages.
A subclass of Trokhimchuk inner mappings is defined. It is shown that
its dynamical properties are similar to ones of inner mappings with finite
number of preimages and results on orbit structure are obtained.Êëþ÷åâûå ñëîâà: inner epimorphism, dynami
s1. ÂâåäåíèåÑ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýïèìîð�èçìû, âíóò-ðåííèå ïî Òðîõèì÷óêó, âûäåëÿþòñÿ èç ïðî÷èõ ýïèìîð�èçìîâíàëè÷èåì èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ ðåêóððåíòíûõ è íåáëóæäà-þùèõ òî÷åê, âîçìîæíîñòüþ ðàññìàòðèâàòü ÷àñòíûå òðàåêòî-ðèè òî÷åê âñïÿòü âî âðåìåíè. ðàáîòå ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ïàòîëîãèè äèíàìèêè áåñ-êîíå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõ ïî Òðîõèì÷óêó ýïèìîð�èçìîâ, èóêàçàí äîñòàòî÷íî øèðîêèé ïîäêëàññ âíóòðåííèõ ïî Òðîõèì-÷óêó ýïèìîð�èçìîâ, ðàâíîìåðíûõ íà ïðîîáðàçàõ, äëÿ êîòîðûõóêàçàííûå ïàòîëîãèè íå âîçíèêàþò, è äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèåñõîäíî ñ êîíå÷íîêðàòíûìè ýïèìîð�èçìàìè, âíóòðåííèìè ïîÒðîõèì÷óêó.
© È. Þ. Âëàñåíêî, 2009
374 È. Þ. ÂëàñåíêîÅñòåñòâåííî, ÷òî äèíàìèêà áåñêîíå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõîòîáðàæåíèé èìååò ñâîè îñîáåííîñòè, êîòîðûå íå âîçíèêàþòäëÿ êîíå÷íîêðàòíûõ îòîáðàæåíèé.  òî âðåìÿ êàê êëàññû êî-íå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõ îòîáðàæåíèé ïî Ñòîèëîâó è ïî Òðî-õèì÷óêó ñîâïàäàþò, ýòî íå òàê äëÿ áåñêîíå÷íîêðàòíûõ îòîáðà-æåíèé.Êàê èçâåñòíî, îòîáðàæåíèÿ çàìêíóòûõ äâóìåðíûõ ïîâåðõíî-ñòåé, âíóòðåííèå ïî Ñòîèëîâó, ÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì àíà-ëîãîì àíàëèòè÷åñêèõ �óíêöèé. Îäíàêî âíå ýòîãî êëàññà ïðî-ñòðàíñòâ îòîáðàæåíèÿ, âíóòðåííèå ïî Ñòîèëîâó, ìîãóò âåñòèñåáÿ äîñòàòî÷íî ïëîõî. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè íà àáñòðàêò-íûõ ïðîñòðàíñòâàõ âìåñòî êëàññà âíóòðåííèõ îòîáðàæåíèé ïîÑòîèëîâó ðàññìàòðèâàþò åãî ïîäêëàññ îòîáðàæåíèé, âíóòðåí-íèõ ïî Òðîõèì÷óêó. äàííîé ðàáîòå âíóòðåííèå îòîáðàæåíèÿ ðàññìîòðåíû ñòî÷êè çðåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïîñòðîåíû ïðèìåðû, êî-òîðûå ïîêàçûâàþò, ÷òî áåñêîíå÷íîêðàòíûå âíóòðåííèå ïî Òðî-õèì÷óêó (è òåì áîëåå ïî Ñòîèëîâó) ýïèìîð�èçìû â ñâîèõ äèíà-ìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò êîíå÷íîêðàò-íûõ âíóòðåííèõ ýïèìîð�èçìîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî óñëîâèå ýïè-ìîð�íîñòè è ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè íà ïðîîáðàçàõ âû-äåëÿåò èç êëàññà âíóòðåííèõ ïî Òðîõèì÷óêó ýïèìîð�èçìîâïîäêëàññ âíóòðåííèõ ýïèìîð�èçìîâ, ñâîéñòâà êîòîðûõ ñ òî÷êèçðåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïîäîáíû ñâîéñòâàì êîíå÷íîêðàò-íûõ âíóòðåííèõ ýïèìîð�èçìîâ.Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé áåñêîíå÷íîêðàòíûéâíóòðåííèé ýïèìîð�èçì f : M → M çàäàí íà ëîêàëüíî ñâÿç-íîì ìåòðèçóåìîì ïðîñòðàíñòâå M (â ÷àñòíîñòè, ïîëíîå ìåòðè-÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ñâÿçíûì). Ýòî óñëîâèåòåõíè÷åñêîå. Îíî óäîáíî äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæ-äåíèé, ïîñêîëüêó ó îòîáðàæåíèÿ íà òàêîì ïðîñòðàíñòâå ïðî-îáðàç îêðåñòíîñòè åñòåñòâåííî è åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàñïà-äàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 375Ýòè æå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïûòàòüñÿ ïåðåíåñòè è íà ñëó÷àé,êîãäà ïðîñòðàíñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ñâÿçíûì, âîñïîëü-çîâàâøèñü òåì, ÷òî îòîáðàæåíèå èçîëèðîâàííî, ïîýòîìó íàé-äóòñÿ îêðåñòíîñòè, êîòîðûå îòäåëÿþò òî÷êè ïðîîáðàçà äðóã îòäðóãà. Îäíàêî ýòî óñëîæíÿåò ðàññóæäåíèÿ è äåëàåò èõ ÷åðåñ-÷óð ãðîìîçäêèìè. Ïîýòîìó â ðàññóæäåíèÿõ îãðàíè÷èìñÿ òîëü-êî ñëó÷àåì ëîêàëüíî ñâÿçíîãî ìåòðèçóåìîãî ïðîñòðàíñòâà.2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ2.1. Ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé. Ïóñòü M � ìåòðèçóåìîå òî-ïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è f : M →M � íåïðåðûâíûé ýïè-ìîð�èçì.Îïðåäåëåíèå 1. Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì,åñëè îáðàç ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà îòêðûò.Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ íóëüìåðíûì,åñëè ïðîîáðàç ëþáîãî íóëüìåðíîãî ìíîæåñòâà íóëüìåðåí.Îïðåäåëåíèå 3. Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ âíóòðåííèì(interor) ïî Ñòîèëîâó, åñëè îíî íóëüìåðíî è îòêðûòî.Ïóñòü O+
f (x) � ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ òî÷êè x, ò. å.ìíîæåñòâî {fn(x)| n ≥ 0}. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O−
f (x) îòðèöàòåëü-íóþ ïîëóòðàåêòîðèþ òî÷êè x, ò. å. ìíîæåñòâî {fn(x)| n < 0}.Îïðåäåëåíèå O−
f (x) êîððåêòíî, òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
f � ýïèìîð�èçì.Îòìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ O+
f (x) ñîñòîèò èç òî÷åê, â òîâðåìÿ êàê â îáùåì ñëó÷àå óæå {f−1(x)} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéíè÷òî áîëüøåå ÷åì çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Îäíàêî, åñëè f �íóëüìåðíîå îòîáðàæåíèå, òî â òàêîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî âîñ-ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíóþ ïîëóòðàåêòîðèþ òî÷êè x êàê íàáîððàçëè÷íûõ òî÷åê.Îïðåäåëåíèå 4. Ïîëíîé òðàåêòîðèåé Of (x) òî÷êè x íàçî-âåì ìíîæåñòâî ∪y∈O+
f (x)O
−
f (y).
376 È. Þ. ÂëàñåíêîÎïðåäåëåíèå 5. ×àñòíîé òðàåêòîðèåé of (x) òî÷êè x íàçî-âåì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî âèäà
{xi|f(xi) = xi+1, i ∈ Z, x0 = x}.Åñëè i ≤ 0, òî áóäåì ãîâîðèòü î ÷àñòíîé îòðèöàòåëüíîé òðà-åêòîðèè. Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ âñå-ãäà ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé ïîëîæèòåëüíîé òðàåêòîðèåé.2.1.1. Èçîëèðîâàííûå îòîáðàæåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 6. Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàí-íûì, åñëè ïðîîáðàç òî÷êè ñîñòîèò èç èçîëèðîâàííûõ òî÷åê.Çàìå÷àíèå 1. Èçîëèðîâàííîå îòîáðàæåíèå íóëüìåðíî.Îïðåäåëåíèå 7. Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ âíóòðåííèì(interor) ïî Òðîõèì÷óêó, åñëè îíî îòêðûòî è èçîëèðîâàííî.Çàìåòèì, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíîå âíóòðåííåå ïîÑòîèëîâó îòîáðàæåíèå ìîæåò è íå áûòü èçîëèðîâàííûì.Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A, ñîñòîÿùåå èç ñòàí-äàðòíîãî Êàíòîðîâà ìíîæåñòâà íà îòðåçêå [0, 1] è èçîëèðîâàí-íîé òî÷êè {2}. Âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì A â ñåáÿ, çàäàííûé�îðìóëîé f(x) = min{3x, 2}, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðî-âàííûì â òî÷êå {2}.Ëåììà 1. Åñëè M � êîìïàêò, à f ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûìâ x, òî f−1 èìååò â x êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîîáðàçîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî f−1 èìååòâ x áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïðîîáðàçîâ. Ïîñêîëüêó M � êîìïàêò,
f−n(x) ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå p ïîäïîñëå-äîâàòåëüíîñòü pi. Ïîñêîëüêó fn(pi) = x, òî ïî íåïðåðûâíîñòè
fn(p) = x. Íî ïðîèçâîëüíàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè p ñîäåðæèò òî÷-êè ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè pi. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. �
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 3772.2. �åêóððåíòíûå òî÷êè. Îïðåäåëèì äëÿ êàæäîé òî÷êè x
ω-ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî ω(x) è α-ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî α(x):
ω(x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
N
fn(x) α(x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
N
f−n(x)Çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ýòè ìíîæåñòâà çàìêíóòû.Îïðåäåëåíèå 8. Íàçîâåì òî÷êó x ω-(α-) ðåêóððåíòíîé,åñëè x ∈ ω(x) (ñîîòâåòñòâåííî, x ∈ α(x)).Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rec+(f) ìíîæåñòâî ω-ðåêóððåíòíûõ òî÷åê,÷åðåç Rec−(f) ìíîæåñòâî α-ðåêóððåíòíûõ òî÷åê, è ÷åðåç
Rec(f) = Rec+(f) ∪ Rec−(f)� ìíîæåñòâî âñåõ ðåêóððåíòíûõ1 òî÷åê.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lim(f) = Lim+(f) ∪ Lim−(f) ïðåäåëüíîåìíîæåñòâî f , îáúåäèíåíèå ω-ïðåäåëüíûõ ìíîæåñòâ è α-ïðå-äåëüíûõ ìíîæåñòâ âñåõ òî÷åê. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Rec(f) ⊂ Lim(f).Ëåììà 2. Ïóñòü f : M →M � âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì. Òî-ãäà åñëè x � ω-(α-)ðåêóððåíòíàÿ òî÷êà, òî åå ïîëîæèòåëü-íàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ O+
f (x) ñîñòîèò èç ω-(α-)ðåêóððåíòíûõòî÷åê.Åñëè f : M → M � âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì, òî ìíîæåñòâà
ω-(α-)ðåêóððåíòíûõ è ðåêóððåíòíûõ òî÷åê f � èíâàðèàíòíû( [7℄).2.2.1. Íåáëóæäàþùèå òî÷êè. Äàëåå è âñþäó ïîä îêðåñòíîñòüþòî÷êè ìû áóäåì ïîíèìàòü îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååýòó òî÷êó.1Òàêîå îïðåäåëåíèå ðåêóððåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ åùå ðåêóððåíòíîñòüþïî �îòòøàëêó è Õåäëóíäó,
378 È. Þ. ÂëàñåíêîÎïðåäåëåíèå 9. Òî÷êà x ∈ M íàçûâàåòñÿ ω-áëóæäàþ-ùåé òî÷êîé f , åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü U , ÷òî
fm(U) ∩ U = ∅ äëÿ âñåõ m > 0.Îïðåäåëåíèå 10. Òî÷êà x ∈ M íàçûâàåòñÿ ω-íåáëóæäà-þùåé òî÷êîé f , åñëè äëÿ ëþáîé åå îêðåñòíîñòè U íàéäåòñÿòàêîå m > 0, ÷òî fm(U) ∩ U 6= ∅.Îïðåäåëåíèå 11. Òî÷êà x ∈ M íàçûâàåòñÿ α-íåáëóæäà-þùåé òî÷êîé f , åñëè äëÿ ëþáîé åå îêðåñòíîñòè U íàéäåòñÿ÷èñëî l > 0, òàêîå, ÷òî f−l(U) ∩ U 6= ∅Îïðåäåëåíèå 12. Òî÷êà x ∈ M íàçûâàåòñÿ α-áëóæäàþ-ùåé òî÷êîé f , åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü U , ÷òî
f−l(U) ∩ U = ∅ äëÿ âñåõ l > 0.Çàìåòèì, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî äîïîëíè-òåëüíûìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè òî÷êà íå ÿâëÿåòñÿ ω- (α-)áëóæäàþùåé, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ω-(α-)íåáëóæäàþùåé è íàîáî-ðîò.Îïðåäåëåíèå 13. Òî÷êà x ∈ M íàçûâàåòñÿ áëóæäàþùåéòî÷êîé f , åñëè îíà îäíîâðåìåííî ω- è α- áëóæäàþùàÿ.Îïðåäåëåíèå 14.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå òî÷êà x ∈ M íàçû-âàåòñÿ íåáëóæäàþùåé òî÷êîé f .Ìíîæåñòâî áëóæäàþùèõ òî÷åê f îáîçíà÷èì ÷åðåçW (f). Ýòîìíîæåñòâî îòêðûòî â M , ïîñêîëüêó êàæäàÿ áëóæäàþùàÿ òî÷-êà âõîäèò â áëóæäàþùåå ìíîæåñòâî âìåñòå ñî ñâîåé îêðåñòíî-ñòüþ. Òî÷êè, íå ÿâëÿþùèåñÿ áëóæäàþùèìè â ñìûñëå îïðåäåëå-íèÿ 13, ÿâëÿþòñÿ íåáëóæäàþùèìè. Ìíîæåñòâî íåáëóæäàþùèõòî÷åê f îáîçíà÷èì Ω(f). Îíî çàìêíóòî â M êàê äîïîëíåíèå ê
W (f).Ïîñêîëüêó ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåìíåáëóæäàþùåé òî÷êè, òî ìíîæåñòâî Per(f) ïåðèîäè÷åñêèõ òî-÷åê ñîäåðæèòñÿ â Ω(f).
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 3792.3. Ëîêàëüíûå ýïèìîð�èçìû. Ïóñòü X � ëîêàëüíî ñâÿç-íîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå 15. Ìû íàçîâåì îòîáðàæåíèå f ïîëíûì ëî-êàëüíûì ýïèìîð�èçìîì â òî÷êå x, åñëè íàéäåòñÿ òà-êàÿ îêðåñòíîñòü U(x) òî÷êè x, ÷òî íà êàæäîé èç êîìïîíåíòñâÿçíîñòè ïðîîáðàçà îêðåñòíîñòè U(x) îòîáðàæåíèå f ÿâëÿ-åòñÿ ýïèìîð�èçìîì.
U(x) áóäåì íàçûâàòü îêðåñòíîñòüþ ïîëíîé ëîêàëüíîéýïèìîð�íîñòè f â òî÷êå x.Îòìåòèì íåñêîëüêî òðèâèàëüíûõ ñëåäñòâèé ýòîãî îïðåäåëå-íèÿ.Ñëåäñòâèå 1. Åñëè f ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð-�èçìîì â òî÷êå x, òî f ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð-�èçìîì è âî âñåé îêðåñòíîñòè ïîëíîé ëîêàëüíîé ýïèìîð�íî-ñòè f â òî÷êå x.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëî-êàëüíûì ýïèìîð�èçìîì â òî÷êå x
îêðåñòíîñòüþ ïîëíîéëîêàëüíîé ýïèìîð�íîñòè U(x), òî äëÿ êàæäîé ïîäîêðåñòíî-ñòè U ′(x) ⊂ U(x) òî÷êè x íà êàæäîé èç êîìïîíåíò ñâÿçíî-ñòè ïðîîáðàçà îêðåñòíîñòè U ′(x) îòîáðàæåíèå f òîæå áó-äåò ýïèìîð�èçìîì.Îïðåäåëåíèå 16. Ìû íàçîâåì îòîáðàæåíèå f ïîëíûì ëî-êàëüíûì ýïèìîð�èçìîì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëî-êàëüíûì ýïèìîð�èçìîì â êàæäîé òî÷êå.Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî âíóòðåííåå îòîáðàæå-íèå ìîæåò è íå áûòü ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì.Ïðèìåð 18. Ïðèìåð âïîëíå äèñêðåòíîãî, óäîâëåòâîðÿþùå-ãî àêñèîìàì �1 è �2 âíóòðåííåãî ýïèìîð�èçìà, êîòîðûé íåÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì.Ïîñòðîåíèå. Ïóñòü ìíîæåñòâî A çàäàíî íà ïëîñêîñòè êàêîáúåäèíåíèå íàáîðà îòðåçêîâ
{(x, y)|x ∈ (−1/n, 1/n), y = n}, n > 0,
380 È. Þ. Âëàñåíêî
∞
�èñ. 1. Ê ïðèìåðó 18è îñè y = 0 (�èñ. 1). Âîçüìåì ñ÷åòíîå ÷èñëî ìíîæåñòâ À, íà-ïðèìåð, ðàçìåñòèâ èõ â R3, èñïîëüçóÿ öåëûå ïîëîæèòåëüíûåçíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû z (z ∈ Z+). Çàäàäèì ýïèìîð�èçì f êàêïðîåêöèþ À íà îñü y = 0 ïðè z = 0 è êàê ñäâèã z 7→ z − 1 ïðè
z > 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî f âïîëíå äèñêðåòíî, íî â òî÷êå (0, 0, 0)íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì. 2Ëåììà 3. Êîíå÷íîêðàòíûé âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì f ÿâ-ëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì òî÷êó x è îêðåñòíîñòü U(x). �àñ-ñìîòðèì f−1(U(x)). Ïîñêîëüêó f � íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå,
f−1(U(x)) � îòêðûòî. Ïðè ýòîì f−1(U(x)) èìååò êîíå÷íîå ÷èñ-ëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, òàê êàê f � êîíå÷íîêðàòíîå îòîáðà-æåíèå. Îáðàç êàæäîé êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûììíîæåñòâîì, òàê êàê f � îòêðûòîå îòîáðàæåíèå. Èõ ïåðåñå÷å-íèå îòêðûòî êàê êîíå÷íîå ïåðåñå÷åíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, èäàåò èñêîìóþ îêðåñòíîñòü ïîëíîé ëîêàëüíîé ýïèìîð�íîñòè fâ òî÷êå x. Ëåììà äîêàçàíà. � ÷àñòíîñòè, âíóòðåííèå îòîáðàæåíèÿ êîìïàêòíûõ äâóìåð-íûõ ìíîãîîáðàçèé âïîëíå äèñêðåòíû è ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè ëî-êàëüíûìè ýïèìîð�èçìàìè.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 3812.3.1. Êðèòåðèé ïîëíîé ëîêàëüíîé ýïèìîð�íîñòè. Ïðèâåäåìîäèí êðèòåðèé, êîãäà îòîáðàæåíèå áóäåò ïîëíûì ëîêàëüíûìýïèìîð�èçìîì, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî íåïîñðåäñòâåííî ñëå-äóåò èç îïðåäåëåíèÿ.Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå ïðîñòðàíñòâà M â êà÷åñòâåëîêàëüíî êîíå÷íîãî êëåòî÷íîãî êîìïëåêñà, òàêîãî, ÷òî f ÿâëÿ-åòñÿ åãî êëåòî÷íûì ýïèìîð�èçìîì (êëåòêà îòîáðàæàåòñÿ íàîáúåäèíåíèå êëåòîê òîé æå èëè ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè), òî fÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì.2.4. Àêñèîìû îòäåëèìîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîîáðàçà.Åùå îäíîé íåïðèÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ âîçíèêàåò â ñëó÷àå áåñêî-íå÷íîêðàòíûõ îòîáðàæåíèé, äàæå âíóòðåííèõ ïî Òðîõèì÷óêó,ÿâëÿåòñÿ îáåäíåíèå òîïîëîãèè, èíäóöèðîâàííîé íà ïðîîáðàçåïðè ïîìîùè f−1, ïî ñðàâíåíèþ ñ óæå èìåþùåéñÿ.Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îòäåëèìûåçàìêíóòûå ìíîæåñòâà íåâîçìîæíî îòäåëèòü, èñïîëüçóÿ òîëüêîïðîîáðàçû îòêðûòûõ îêðåñòíîñòåé.Îïðåäåëåíèå 17. Ñêàæåì, ÷òî îòêðûòûé íåïðåðûâíûéýïèìîð�èçì f óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå P0 îòäåëèìîñòèïðîîáðàçàìè, åñëè ∀V ⊂M , ãäå V � çàìêíóòîå ìíîæåñòâî,
∀U
(
f−1(V )
) � îòêðûòîé îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà f−1(V )
∃U ′(V ) � îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà V òàêàÿ, ÷òî
f−1 (U ′(V )) ⊂ U(V ).Ïðèìåð 19. Îòêðûòûé êîíå÷íîêðàòíûé ýïèìîð�èçì f óäî-âëåòâîðÿåò àêñèîìå P0 îòäåëèìîñòè ïðîîáðàçàìè.Óñëîâèå P0 îòäåëèìîñòè ïðîîáðàçàìè, êîòîðîå ñîáëþäàþò-ñÿ äëÿ êîíå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõ îòîáðàæåíèé, íàðóøàòñÿäëÿ áåñêîíå÷íîêðàòíûõ âíóòðåííèõ ïî Òðîõèì÷óêó îòîáðàæå-íèé. Äëÿ ïðèìåðà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïðîåêöèþ ïðÿìîéíà îêðóæíîñòü x 7→ x mod 1 è îáðàç ñåìåéñòâà îêðåñòíîñòåé
{(n− 1
|n| , n+ 1
|n|)‖n ∈ Z}.
382 È. Þ. Âëàñåíêî�àññìîòðèì áîëåå ñëàáûå ÷àñòíûå ñëó÷àè àêñèîìû P0. Âû-ïèøåì èõ êàê íàáîð àêñèîì îòäåëèìîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîîá-ðàçîâ.Ñêàæåì, ÷òî îòêðûòîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f óäîâëå-òâîðÿåò îäíîé èç àêñèîì P1 � P2 îòäåëèìîñòè ïðîîáðàçàìè,åñëèP1. ∀x ∈ M ∃U(x) � îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x òàêàÿ,÷òî ∀yi, yj ∈ f−1(x), i 6= j Ui ∩Uj = ∅, ãäå Ui � ñâÿçíàÿêîìïîíåíòà ìíîæåñòâà f−1 (U(x)), ñîäåðæàùàÿ yi.P2. ∀x ∈ M ∀n > 0 ∃Un(x) � îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè
x òàêàÿ, ÷òî
(
f−n (Un(x)) \ Cn(x)
)
∩ Un(x) = ∅,ãäå Cn(x) � ëèáî ïóñòîå ìíîæåñòâî, åñëè x 6∈ f−n(x),ëèáî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà f−n (Un(x)), ñîäåð-æàùàÿ òî÷êó x, åñëè x ∈ f−n(x).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî àêñèîìû P1 è P2 îòäåëèìîñòè ïðîîáðà-çàìè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè àêñèîìû P0. Òåì íå ìåíåå,âíóòðåííèå ïî Òðîõèì÷óêó îòîáðàæåíèÿ ìîãóò è íå óäîâëåòâî-ðÿòü àêñèîìàì P1 è P2. �àññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå àêñèîìûîòäåëèìîñòè ïðîîáðàçàìè äåòàëüíåå.2.4.1. Âïîëíå äèñêðåòíûå îòîáðàæåíèÿ (P1).Îïðåäåëåíèå 18. Îòîáðàæåíèå f íàçîâåì âïîëíå äèñêðåò-íûì â òî÷êå x, åñëè íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü U(x) òî÷êè x òà-êàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî f−1(U(x)) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåîáúåäèíåíèÿ îêðåñòíîñòåé Ui ïðîîáðàçîâ òî÷êè x òàêèõ, ÷òîêàæäàÿ Ui ñîäåðæèò â òî÷íîñòè ïî îäíîìó ïðîîáðàçó òî÷êè
x è ýòè îêðåñòíîñòè ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé.Îïðåäåëåíèå 19. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî U(x) � îêðåñòíîñòüòî÷êè x, îòäåëÿþùàÿ ïðîîáðàçû, åñëè U(x) óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèÿì îïðåäåëåíèÿ 18.Îïðåäåëåíèå 20. Îòîáðàæåíèå f íàçîâåì âïîëíå äèñêðåò-íûì, åñëè îíî âïîëíå äèñêðåòíî â êàæäîé òî÷êå.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 383Ïðèìåð 20. Âñÿêèé êîíå÷íîêðàòíûé âíóòðåííèé ýïèìîð-�èçì ÿâëÿåòñÿ âïîëíå äèñêðåòíûì.Ïðèìåð 21. Âíóòðåííèé èçîëèðîâàííûé, íî íå âïîëíå äèñ-êðåòíûé ýïèìîð�èçì.
�èñ. 2. Ïðîñòðàíñòâî X. Ê ïðèìåðó 21.Ïîñòðîåíèå. Ïîñòðîèì ïðîñòðàíñòâî X, èçîáðàæåííîå íàðèñ. 2, â âèäå äåðåâà èç îòðåçêîâ [0, 1], ñêëåèâàÿ èõ â ãðàíè÷-íûõ òî÷êàõ.  êà÷åñòâå ñòðîèòåëüíîãî ýëåìåíòà âîçüìåì êðóã,îáðàçîâàííûé ñêëåéêîé ãðàíè÷íûõ òî÷åê îòðåçêà [0, 1], è ëó-÷è [0,∞), ïîëó÷åííûå ñêëåéêîé áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ.Âîçüìåì ñ÷åòíîå ÷èñëî ëó÷åé [0,∞) è çàíóìåðóåì èõ ÷èñëàìè
n ∈ N. Îòîæäåñòâèì òî÷êó 0 êàæäîãî ëó÷à ñ òî÷êîé 0 ≡ 1êðóãà.Çàìåòèì, ÷òî �àêòîð-òîïîëîãèÿ â òî÷êå 0 ≡ 1 êðóãà îòëè-÷àåòñÿ îò òîé, êîòîðàÿ áûëà áû èíäóöèðîâàíà, íàïðèìåð, âëî-æåíèåì êàðòèíêè èç ðèñ. 2 â ïëîñêîñòü: îòêðûòûå îêðåñòíîñòèâ ýòîé òî÷êå, ïîðîæäàþùèå â íåé áàçó òîïîëîãèè, îáðàçîâàíûîáúåäèíåíèåì îòêðûòûõ ïîëóèíòåðâàëîâ íà êàæäîì îòðåçêåïðîèçâîëüíîé, íå ñâÿçàííîé ìåæäó ñîáîé äëèíû. Òàêóþ òîïî-ëîãèþ è ìåòðèêó ëåãêî ïðè æåëàíèè èíäóöèðîâàòü èç âëîæå-íèÿ ïðîñòðàíñòâà X â íåêîòîðîå áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàí-ñòâî.
384 È. Þ. ÂëàñåíêîÇàäàäèì îòîáðàæåíèå f . Íà êàæäîì ëó÷å ïîëîæèì
f : x ∈ [1,∞) 7→ x− 1 ∈ [0,∞).Îñòàâøóþñÿ ÷àñòü [0, 1] ëó÷à ñ íîìåðîì n îòîáðàçèì íà êðóã. ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ îòîáðàæåíèå f ïóñòü âûãëÿäèò êàê
f =
{
2
π arc tg(n tg(π∗x2 )), x < 1,
1, x = 1.Êðóã îòîáðàçèì íà ñåáÿ òîæäåñòâåííî.Ïîñëå ïîñòðîåíèÿ ìû ïîëó÷èì äåðåâî X è îòîáðàæåíèå f :
X → X, ïî ïîñòðîåíèþ çàäàííîå âñþäó íàX. Ïîëó÷åííîå îòîá-ðàæåíèå f â òî÷êå 0 ≡ 1 êðóãà èçîëèðîâàíî, íî íå âïîëíå äèñ-êðåòíî. 2Äëÿ âïîëíå äèñêðåòíûõ âíóòðåííèõ ýïèìîð�èçìîâ ëîêàëü-íî ñâÿçíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ïðîîáðàç äîñòàòî÷-íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿç-íîñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò â òî÷íîñòè îäèí ïðîîáðàçýòîé òî÷êè.2.4.2. Ñóïåðíåáëóæäàþùèå òî÷êè (P2).Íàïîìíèì, ÷òî X � ëîêàëüíî ñâÿçíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðî-ñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå 21. Íàçîâåì òî÷êó x ñóïåðíåáëóæäàþùåéñòåïåíè n, åñëè äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè U(x) òî÷êè x íàé-äåòñÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà U ′ ìíîæåñòâà f−n (U(x)), x 6∈ U ′,òàêàÿ, ÷òî U(x) ∩ U ′(x) 6= ∅.Îïðåäåëåíèå 22. Íàçîâåì òî÷êó x êîíå÷íî îòäåëèìîé,åñëè îíà íå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðíåáëóæäàþùåé íèêàêîé ñòåïåíè.Îïðåäåëåíèå 23. Íàçîâåì îòîáðàæåíèå f êîíå÷íî îòäå-ëèìûì, åñëè îíî êîíå÷íî îòäåëèìî âî âñåõ òî÷êàõ.Ïðèìåð 22. Ïîëíûé ëîêàëüíûé âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì ññóïåðíåáëóæäàþùèìè òî÷êàìè.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 385
�èñ. 3. Ïðîñòîå çâåíî. Ê ïðèìåðó 22.Ïîñòðîåíèå. Ïîñòðîèì ïðîñòðàíñòâî X â âèäå äåðåâà èç îò-ðåçêîâ [0, 1], ñêëåèâàÿ èõ â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ.  êà÷åñòâå ñòðî-èòåëüíîãî ýëåìåíòà âîçüìåì çâåíî, èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 3. Ýòîçâåíî ñîñòîèò èç �ñòâîëà� âíèçó è ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà �âåòâåé�ââåðõó. Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà êàæäîì îòðåçêå íàïðàâëå-íû ñíèçó ââåðõ. Âåòâè çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè n ∈ N, ó êàæäîéâåòâè òî÷êà 0 îòîæäåñòâëåíà ñ òî÷êîé 1 �ñòâîëà�. Íà êàæäîéâåòâè ñ íîìåðîì n çàäàäèì îòîáðàæåíèå f :
f =
{
2
π arc tg(n tg(π∗x2 )), x < 1,
1, x = 1.Ñêëåèì ñ÷åòíîå ÷èñëî òàêèõ çâåíüåâ â ïðîñòðàíñòâî X. Äëÿýòîãî, âî-ïåðâûõ, íàðàñòèì âåòâè. Ñ ýòîé öåëüþ êàæäóþ âåòâüðàññìîòðèì êàê �ñòâîë� è îïÿòü ïðèêëåèì ê íåé ñ÷åòíîå êîëè-÷åñòâî �âåòâåé�, ïîëó÷èâ íà êàæäîé âåòâè çâåíî âòîðîãî óðîâ-íÿ. Âî-âòîðûõ, íàðàñòèì ñòâîë, âçÿâ åùå îäíî çâåíî è îòîæ-äåñòâèâ ñòâîë ñ ïåðâîé âåòâüþ âòîðîãî çâåíà. Ïîâòîðÿåì ýòîòïðîöåññ áåñêîíå÷íî.Ïîñëå ïîñòðîåíèÿ ïîëó÷àåì äåðåâî X è îòîáðàæåíèå
f : X → X,êîòîðîå áóäåò îïðåäåëåíî óæå âñþäó íà X.
386 È. Þ. Âëàñåíêî ïîëó÷åííîì îòîáðàæåíèè âñå òî÷êè ñêëåéêè ñóïåðíåáëóæ-äàþùèå. 2Êàê âèäíî íà ïðèìåðå 22, ñóïåðíåáëóæäàþùèå òî÷êè ìî-ãóò ñóùåñòâîâàòü äàæå ó ïîëíûõ ëîêàëüíûõ âíóòðåííèõ ýïè-ìîð�èçìîâ. Ïðè ýòîì f äîëæåí áûòü áåñêîíå÷íîêðàòíûì è ïîëåììå 1 X íå ìîæåò áûòü êîìïàêòîì.2.4.3. Îòîáðàæåíèÿ, îáðàòíî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå íà ïðî-îáðàçàõ. Ïðè ðàññìîòðåíèè îòîáðàæåíèé, êîòîðûå óäîâëåòâî-ðÿþò àêñèîìàì P1 è P2, åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ, íà-ñêîëüêî øèðîê ýòîò êëàññ îòîáðàæåíèé.Äàäèì äîñòàòî÷íûé êðèòåðèé, êîãäà îòîáðàæåíèå óäîâëå-òâîðÿåò ýòèì àêñèîìàì. Çàìåòèì, ÷òî ýòî óñëîâèå íå ÷òî èíîå,êàê ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü. Îäíàêî, òàê êàê f−1 � ìíî-ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, óñëîâèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè âåãî òðàäèöèîííîì âèäå äëÿ îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé èñïîëü-çîâàòü íåëüçÿ, ïîýòîìó çäåñü îíî çàïèñàíî â íåñêîëüêî íåïðè-âû÷íîì äëÿ âîñïðèÿòèÿ âèäå, êîòîðûé äàëåå â òåêñòå áóäåòíàçûâàòüñÿ îáðàòíîé ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòüþ íà ïðîîá-ðàçàõ.Îïðåäåëåíèå 24. Ñêàæåì, ÷òî íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
f : M → M îáðàòíî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà ïðîîáðàçàõòî÷êè x, åñëè ∀ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî
∀y : ρ(y, f−1(x)) > δ ⇒ ρ(f(x), f(y)) > ε .Îïðåäåëåíèå 25. Ñêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : M → Mîáðàòíî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà ïðîîáðàçàõ, åñëè îíî ðàâ-íîìåðíî íåïðåðûâíî íà ïðîîáðàçàõ âî âñåõ òî÷êàõ.Ëåììà 4. Åñëè îáðàòíî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûé íà ïðîîá-ðàçàõ âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì f : M →M , âïîëíå äèñêðåòåíè êîíå÷íî îòäåëèì.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ñîîòâåò-ñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 3872.5. Ïðîîáðàçû íåáëóæäàþùèõ òî÷åê.Ïóñòü f : M → M � íåïðåðûâíûé íà ïðîîáðàçàõ ïîëíûéëîêàëüíûé âíóòðåííèé ýïèìîð�èçì, óäîâëåòâîðÿþùèé àêñèî-ìàì P1 è P2.Òåîðåìà 1. Åñëè x � íåáëóæäàþùàÿ òî÷êà (ñîîòâåòñòâåí-íî, α-,ω-íåáëóæäàþùàÿ), òî ëèáî ïðîîáðàç x ñîäåðæèò íå-áëóæäàþùóþ òî÷êó (α-, ω-íåáëóæäàþùóþ òî÷êó), ëèáî ìíî-æåñòâî ïðîîáðàçîâ òî÷êè x è íåáëóæäàþùåå ìíîæåñòâî (α-, ω-íåáëóæäàþùåå ìíîæåñòâî) íå ÿâëÿþòñÿ ε-îòäåëèìûìèäðóã îò äðóãà 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåì äëÿ òîãî ñëó÷àÿ,êîãäà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ α-íåáëóæäàþùåé. Íàïîìíèì, ÷òî M �ëîêàëüíî ñâÿçíîå ïðîñòðàíñòâî (íàïðèìåð, ïîëíîå ìåòðè÷åñ-êîå).  ýòîì ñëó÷àå ïðîîáðàç ìàëîé îêðåñòíîñòè îäíîçíà÷íîðàñïàäàåòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.Åñëè ìíîæåñòâî ïðîîáðàçîâ òî÷êè x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûìäëÿ α-íåáëóæäàþùåãî ìíîæåñòâà, óòâåðæäåíèå ëåììû âûïîë-íåíî. Ïóñòü ìíîæåñòâî ïðîîáðàçîâ òî÷êè x îòäåëåíî îò α-íå-áëóæäàþùåãî ìíîæåñòâà íà ðàññòîÿíèå δ1. ïîñêîëüêó f ðàâ-íîìåðíî íà ïðîîáðàçàõ, íàéäåòñÿ δ2 òàêîå, ÷òî ïðîîáðàç øàðî-âîé îêðåñòíîñòè Bδ2(x) ìíîæåñòâî f−1(Bδ2(x)) íàõîäèòñÿ â δ1- îêðåñòíîñòè f−1(x), è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîèò èç α-áëóæäà-þùèõ òî÷åê. Ñóçèâ ïðè íåîáõîäèìîñòè U ′(x) = Bδ2(x), ìîæíîïîëàãàòü, ÷òî ýòî âïîëíå îòäåëèìàÿ îêðåñòíîñòü x, â êîòîðîé
f ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ëîêàëüíûì ýïèìîð�èçìîì.Ïóñòü ïðîîáðàçû òî÷êè x çàíóìåðîâàíû èíäåêñàìè i ∈ I.Ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó f−1(Bδ2(x)), ñîäåðæàùóþ òî÷êó x−1,i ∈
f−1(x), îáîçíà÷èì ÷åðåç U(x−1,i).
∀k < 0 fk(U(x−1,i)) ∩ U(x−1,i) = ∅.1Ê ïðèìåðó, íà ïðÿìîé ìíîæåñòâà {n ∈ N} è {n+ 1
n
‖n ∈ N} íå ÿâëÿþòñÿ
ε-îòäåëèìûìè
388 È. Þ. ÂëàñåíêîÏî óñëîâèþ x � α-íåáëóæäàþùàÿ òî÷êà. Ïîýòîìó ∃m è ∃U ′′� ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà f−m(U ′(x)) òàêàÿ, ÷òî U ′′ ∩
U ′ 6= ∅.Ïîñêîëüêó f êîíå÷íî îòäåëèì, ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òîm >
1. Äàëåå, òàê êàê f � ïîëíûé ëîêàëüíûé ýïèìîð�èçì, òî äëÿêàæäîé èç îêðåñòíîñòåé U(x−1,i) íàéäåòñÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíî-ñòè ìíîæåñòâà f−1(U ′′), èìåþùàÿ ñ íåé íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç U ′′
i . Èìååì, ÷òî ∀i U(x−1,i) ∩ U ′′
i 6= ∅.Ïîñêîëüêó U ′′ ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà
f−m(U ′(x)), à m > 1, òî íàéäåòñÿ k òàêîå, ÷òî U ′′ ÿâëÿåòñÿêîìïîíåíòîé ñâÿçíîñòè f−m+1(U(x−1,k)). Íî òîãäà ïî ïîñòðîå-íèþ, âñå U ′′
i , â ÷àñòíîñòè, U ′′
k , ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè ñâÿçíî-ñòè f−m(U(x−1,k)).Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ îêðåñò-íîñòü U(x−1,k) áëóæäàþùàÿ.Çàìåòèì, ÷òî åñëè x � íå α-íåáëóæäàþùàÿ òî÷êà, à ω-íå-áëóæäàþùàÿ, òî äîêàçàòåëüñòâî â ýòîì ñëó÷àå óïðîùàåòñÿ, òàêêàê U ′′ óæå ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì êàæäîé U(x−1,i). Çà èñêëþ÷åíè-åì ýòîãî ìîìåíòà, äîêàçàòåëüñòâî ïåðåíîñèòñÿ íà ñëó÷àé ω-íåáëóæäàþùåé òî÷êè äîñëîâíî.Åñëè æå x � íåáëóæäàþùàÿ òî÷êà, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ëèáî α-íåáëóæäàþùåé òî÷êîé, ëèáî ω-íåáëóæäàþùåé. Êàê ñëåäñòâèå,äîêàçàòåëüñòâî â ýòîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííûìñëó÷àÿì. Òåîðåìà äîêàçàíà. �Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Akin E., Hurley M, Kennedy J. Dynami
s of topologi
ally generi
homeomorphisms. // Memoirs of the A.M.S. � 2003. � 164, No. 783.[2℄ Bonatti C. The global dynami
s of generi
di�eomorphisms. // Le
tures.SMR.1573-14. Trieste. � 2003.[3℄ Conley C. Isolated invariant sets and the Morse index // CBMS Reg.Reg. Conf. Ser. in Math. AMS, Providen
e. � 1978. � 38.[4℄ Hurley, M. Chain re
urren
e, semi�ows, and gradients // J. Dynam.Di�erential Equations. � 1995. � 7, No. 3. � p. 437�456.[5℄ Ñòîèëîâ Ñ. Î òîïîëîãè÷åñêèõ ïðèíöèïàõ òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ�óíêöèé. // � Ì.: Ìèð, 1964.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè... 389[6℄ Òðîõèì÷óê Þ. Þ. Äè��åðåíöèðîâàíèå, âíóòðåííèå îòîáðàæåíèÿè êðèòåðèè àíàëèòè÷íîñòè // Ïðàöi Èíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓêðàiíè. Êèåâ. � 2008. � T. 70.[7℄ Âëàñåíêî È. Þ. // Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. (ïðèíÿòî â ïå÷àòü).
|