Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками
This paper studies smooth functions with isolated critical points. They are considered to within fiber equivalence. The fd-graph, which specifies the f-atom, is constructed. The necessary and sufficient condition for fiber equivalence of smooth functions is formulated.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6320 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками / Д.П. Лычак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 426-439. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6320 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-63202010-02-24T12:01:10Z Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками Лычак, Д.П. Геометрія, топологія та їх застосування This paper studies smooth functions with isolated critical points. They are considered to within fiber equivalence. The fd-graph, which specifies the f-atom, is constructed. The necessary and sufficient condition for fiber equivalence of smooth functions is formulated. 2009 Article Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками / Д.П. Лычак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 426-439. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6320 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування |
| spellingShingle |
Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Лычак, Д.П. Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| description |
This paper studies smooth functions with isolated critical points. They are considered to within fiber equivalence. The fd-graph, which specifies the f-atom, is constructed. The necessary and sufficient condition for fiber equivalence of smooth functions is formulated. |
| format |
Article |
| author |
Лычак, Д.П. |
| author_facet |
Лычак, Д.П. |
| author_sort |
Лычак, Д.П. |
| title |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| title_short |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| title_full |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| title_fullStr |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| title_full_unstemmed |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| title_sort |
послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Геометрія, топологія та їх застосування |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6320 |
| citation_txt |
Послойная эквивалентность гладких функций на поверхностях с изолированными критическими точками / Д.П. Лычак // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 426-439. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lyčakdp poslojnaâékvivalentnostʹgladkihfunkcijnapoverhnostâhsizolirovannymikritičeskimitočkami |
| first_indexed |
2025-07-02T09:15:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:15:04Z |
| _version_ |
1836526028529336320 |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 426-439Ä. Ï. Ëû÷àêÊèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ò.�. Øåâ÷åíêîE-mail: amidl�ukr.netÏîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ�óíêöèé íà ïîâåðõíîñòÿõ ñèçîëèðîâàííûìè êðèòè÷åñêèìèòî÷êàìè
This paper studies smooth functions with isolated critical points. They
are considered to within fiber equivalence. The fd-graph, which specifies
the f-atom, is constructed. The necessary and sufficient condition for fiber
equivalence of smooth functions is formulated.Êëþ÷åâûå ñëîâà: Êëàññè�èêàöèÿ, èçîëèðîâàííûå êðèòè÷åñêèå òî÷êè,�óíêöèè Ìîðñà 1. Ââåäåíèå ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ãëàäêèå �óíêöèè ñ èçîëèðîâàí-íûìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè íà ãëàäêèõ çàìêíóòûõ ïîâåðõíî-ñòÿõ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ ãëàäêóþ �óíêöèþñêîëü óãîäíî ìàëûì øåâåëåíèåì ìîæíî ïðåâðàòèòü â �óíêöèþÌîðñà (�óíêöèÿ, âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè êîòîðîé íåâûðîæäåí-íûå). Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè ñåìåéñòâà �óíêöèé, çàâèñÿ-ùèõ îò ïàðàìåòðà, ïîÿâëÿþòñÿ íåóñòðàíèìûå ìàëûìè øåâåëå-íèÿìè âûðîæäåíèÿ. Ëîêàëüíàÿ êëàññè�èêàöèÿ ãëàäêèõ �óíê-öèé ñ èçîëèðîâàííûìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ñ òî÷íîñòüþ äîòîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè áûëà ïîëó÷åíà À.Î. Ïðèøëÿ-êîì â [3℄. �ëîáàëüíàÿ êëàññè�èêàöèÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè áûëàïðåäëîæåíà Â.Â. Øàðêî â [4℄ è À.Î. Ïðèøëÿêîì â [3℄. íàñòîÿùåé ðàáîòå îáîáùàåòñÿ ñïîñîá êëàññè�èêàöèè�óíêöèé Ìîðñà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòèïðè ïîìîùè àòîìîâ è ìîëåêóë, ïðåäëîæåííûé À.Ò. Ôîìåíêî
© Ä. Ï. Ëû÷àê, 2009
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 427(ñì. [1℄), íà ñëó÷àé âûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Äëÿ êî-äèðîâàíèÿ àòîìîâ ïîñòðîåí fd-ãðà�, ÿâëÿþùèéñÿ îáîáùåíèåìf-ãðà�à, ïðåäëîæåííîãî À.À. Îøåìêîâûì â [2℄.2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÏóñòü äàëåå X � ãëàäêîå çàìêíóòîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðà-çèå, f : X → R è g : X → R � ãëàäêèå �óíêöèè ñ èçîëèðîâàí-íûìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè.Îïðåäåëåíèå 1. Äâå �óíêöèè íàçûâàþòñÿ òîïîëîãè÷åñêèýêâèâàëåíòíûìè, åñëè íàéäóòñÿ ãîìåîìîð�èçìû h : X → Xè µ : R → R òàêèå, ÷òî f(h(x)) = µ(g(x)), è µ ñîõðàíÿåòîðèåíòàöèþ R.Îïðåäåëåíèå 2. Ñëîÿìè �óíêöèè áóäåì íàçûâàòü êîìïî-íåíòû ñâÿçíîñòè å¼ ëèíèé óðîâíÿ. Äâå �óíêöèè áóäåì íà-çûâàòü ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåî-ìîð�èçì ïîâåðõíîñòè íà ñåáÿ, êîòîðûé ïåðåâîäèò ñëîè îäíîé�óíêöèè â ñëîè äðóãîé. Äâå �óíêöèè áóäåì íàçûâàòü îñíà-ù¼ííî ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîð-�èçì ïîâåðõíîñòè íà ñåáÿ, êîòîðûé ïåðåâîäèò ñëîè îä-íîé �óíêöèè â ñëîè äðóãîé ñ ñîõðàíåíèåì íàïðàâëåíèÿ ðîñòà�óíêöèè.Ïðè ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè îä-íîé ëèíèè óðîâíÿ ìîãóò îòîáðàçèòüñÿ íà ðàçíûå óðîâíè. À ïðèòîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè òàêîãî íå ïðîèñõîäèò, è ïî-ýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå êðèòè÷åñêèå óðîâíè �óíêöèèóïîðÿäî÷åíû. Ïîýòîìó êëàññîâ òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíî-ñòè áîëüøå, ÷åì êëàññîâ ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Ïóñòü c è c′ �êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ �óíêöèé f è g ñîîòâåò-ñòâåííî, à ëèíèè óðîâíÿ f−1(c) è g−1(c′) ñâÿçíû.Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèè f è g íàçûâàþòñÿ îñíàù¼ííî ïî-ñëîéíî ýêâèâàëåíòíûìè â îêðåñòíîñòÿõ ñâîèõ îñîáûõ ñëî¼â
f−1(c) è g−1(c′), åñëè ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà ε è
428 Ëû÷àê Ä.Ï.
ε′ è ãîìåîìîð�èçì h : f−1(c− ε, c+ ε) → g−1(c′ − ε′, c′ + ε′), ïå-ðåâîäÿùèé ëèíèè óðîâíÿ �óíêöèè f â ëèíèè óðîâíÿ �óíêöèè
g è îòîáðàæàþùèé îáëàñòü (f > c) â (g > c′).Îïðåäåëåíèå 4. Àòîìîì íàçûâàåòñÿ îêðåñòíîñòü P 2 êðè-òè÷åñêîãî ñëîÿ, çàäàâàåìàÿ íåðàâåíñòâîì c−ε 6 f 6 c+ε äëÿäîñòàòî÷íî ìàëîãî ε, ðàññëî¼ííàÿ íà ëèíèè óðîâíÿ �óíêöèè
f è ðàññìàòðèâàåìàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíò-íîñòè. f-àòîìîì íàçûâàåòñÿ ïàðà (P 2, f), ðàññìàòðèâàåìàÿ ñòî÷íîñòüþ äî îñíàù¼ííîé ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Èç ëåììû Ìîðñà ñëåäóåò, ÷òî ó �óíêöèè Ìîðñà íà ïîâåðõ-íîñòè ìîãóò áûòü êðèòè÷åñêèå òî÷êè äâóõ òèïîâ: ëîêàëüíûåýêñòðåìóìû è ñåäëîâûå òî÷êè. Ñóùåñòâóþò âñåãî äâà f-àòîìà,ñîîòâåòñòâóþùèå ëîêàëüíûì ýêñòðåìóìàì. �àññìîòðèì ñåäëî-âûå àòîìû. Ñåäëîâîé àòîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê äâóìåðíóþïîâåðõíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç ïëîñêèõ êðåñòîâ è ñîåäèíÿþùèõèõ êîíöû äëèííûõ óçêèõ ëåíò. Ïîýòîìó äëÿ �óíêöèè Ìîðñàìîæíî ñ�îðìóëèðîâàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ñåäëîâîãîàòîìà.Îïðåäåëåíèå 5. Ñåäëîâûì àòîìîì íàçîâ¼ì ïàðó (P 2,K),ãäå P 2 � ñâÿçíàÿ êîìïàêòíàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðà-åì, à K � ñâÿçíûé ãðà� â íåé òàêîé, ÷òî âñå åãî âåðøèíûèìåþò ñòåïåíü 4, êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà
P 2 \K ãîìåîìîð�íà êîëüöó S× (0, 1] è ìíîæåñòâî ýòèõ êîëåöìîæíî ðàçáèòü íà îòðèöàòåëüíûå è ïîëîæèòåëüíûå òàê,÷òîáû ê êàæäîìó ðåáðó ãðà�à K ïðèìûêàëî ðîâíî îäíî ïî-ëîæèòåëüíîå è ðîâíî îäíî îòðèöàòåëüíîå êîëüöî. f-àòîìîìíàçîâ¼ì àòîì, â êîòîðîì çà�èêñèðîâàíî ðàçáèåíèå êîëåö íàïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå.Àòîìû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð�èçìà ïî-âåðõíîñòåé, êîòîðûé ãðà� ïåðåâîäèò â ãðà�. f-àòîìû ðàññìàò-ðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð�èçìà, êîòîðûé ãðà� ïåðå-âîäèò â ãðà�, à ïîëîæèòåëüíûå êîëüöà ïåðåâîäèò â ïîëîæè-òåëüíûå. �ðà� K ÿâëÿåòñÿ ñïàéíîì àòîìà (P 2,K).
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 429Îïðåäåëåíèå 6. Ìîëåêóëîé �óíêöèè f íàçûâàåòñÿ ãðà�, ïî-ëó÷åííûé èç ïîâåðõíîñòè ñòÿãèâàíèåì ñëî¼â �óíêöèè â òî÷-êó, â âåðøèíàõ êîòîðîãî ðàñïîëîæåíû àòîìû ñîîòâåòñòâó-þùèõ êðèòè÷åñêèõ ñëî¼â. Ïðè÷¼ì óêàçàíî âçàèìíî îäíîçíà÷-íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ãðàíè÷íûìè îêðóæíîñòÿìè àòîìàè ð¼áðàìè ãðà�à, èíöèäåíòíûìè âåðøèíå, â êîòîðóþ ïîìåù¼íàòîì. f-ìîëåêóëîé �óíêöèè f íàçûâàåòñÿ ìîëåêóëà, ð¼áðà êî-òîðîé îðèåíòèðîâàíû ïî íàïðàâëåíèþ ðîñòà �óíêöèè f .Åñëè ïîâåðõíîñòü îðèåíòèðóåìà, òî àòîìû-âåðøèíû ìîëåêó-ëû åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü îðèåíòèðîâàííûìè. Åñëè ïîâåðõíîñòüíåîðèåíòèðóåìà, òî àòîìû ðàññìàòðèâàþòñÿ áåç ó÷¼òà îðèåí-òàöèè. Ìîëåêóëû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð-�èçìà ãðà�à, êîòîðûé ïðîäîëæàåòñÿ íà àòîìû. Äëÿ f-ìîëåêóëýòîò ãîìåîìîð�èçì äîëæåí äîïîëíèòåëüíî ñîõðàíÿòü íàïðàâ-ëåíèå ð¼áåð.Òåîðåìà 1. Ôóíêöèè Ìîðñà íà îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíî-ñòè ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíû ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìîëåêóëûýêâèâàëåíòíû. Ôóíêöèè Ìîðñà íà îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõ-íîñòè îñíàù¼ííî ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíû ñ ñîõðàíåíèåì îðè-åíòàöèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èìf-ìîëåêóëû ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [1℄.Ïðèâåä¼ì êîíñòðóêöèþ f-ãðà�à, ââåä¼ííîãî Îøåìêîâûì â [2℄äëÿ êîäèðîâàíèÿ àòîìîâ êðèòè÷åñêèõ ñëî¼â, ñîäåðæàùèõ íåâû-ðîæäåííûå êðèòè÷åñêèå òî÷êè (ñì. òàêæå [1℄).Ïóñòü çàäàí f-àòîì. Ïðîâåä¼ì ñåïàðàòðèñû ñîîòâåòñòâóþùåéåìó �óíêöèè Ìîðñà, êîòîðûå èäóò èç ãðàíèöû îòðèöàòåëüíûõêîëåö â ñ¼äëà. Âåðøèíàìè f-ãðà�à áóäóò êîíöû ñåïàðàòðèñ,ëåæàùèå íà ãðàíèöå îòðèöàòåëüíûõ êîëåö. Êàæäàÿ ïàðà ñå-ïàðàòðèñ çàäà¼ò íåîðèåíòèðóåìîå ðåáðî f-ãðà�à. Çàäàâ ïðî-èçâîëüíûì îáðàçîì îðèåíòàöèþ íà ãðàíèöàõ îòðèöàòåëüíûõ
430 Ëû÷àê Ä.Ï.êîëåö, ïîëó÷èì îðèåíòèðîâàííûå ð¼áðà f-ãðà�à. Íà íåîðèåí-òèðîâàííûõ ð¼áðàõ íóæíî ðàññòàâèòü çíàêè: åñëè ÷àñòè ãðà-íè÷íûõ îêðóæíîñòåé îòðèöàòåëüíûõ êîëåö, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè ïðÿìîóãîëüíèêà-îêðåñòíîñòèïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ñåïàðàòðèñ, çàäàþò ïðîòèâîïîëîæíóþîðèåíòàöèþ íà ãðàíèöå ïðÿìîóãîëüíèêà, òî ñòàâèì ìåòêó −1,èíà÷å �+1.Òàêèì îáðàçîì, f-ãðà�� ýòî ãðà�, êàæäîé âåðøèíå êîòîðî-ãî èíöèäåíòíû òðè ðåáðà: îäíî íåîðèåíòèðîâàííîå ðåáðî ñ ìåò-êîé, à òàêæå äâà îðèåíòèðîâàííûõ ðåáðà � îäíî âõîäèò, äðóãîåâûõîäèò. f-ãðà�û ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíò-íîñòè, êîòîðàÿ çàäà¼òñÿ èçîìîð�èçìîì ãðà�îâ, ñîõðàíÿþùèìîðèåíòàöèþ ð¼áåð è ìåòêè íà ð¼áðàõ, à òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòüþ îïåðàöèé èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âñåõ ð¼áåð íåêîòîðîãîöèêëà ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì ìåòîê íåîðèåíòèðîâàííûõð¼áåð, èíöèäåíòíûõ ýòîìó öèêëó, íà ïðîòèâîïîëîæíûå.Åñëè óäàëèòü èç ïîâåðõíîñòè f-àòîìà âñå ñåïàðàòðèñû ñîîò-âåòñòâóþùåé åìó �óíêöèè, òî ïîâåðõíîñòü ðàñïàä¼òñÿ íà øå-ñòèóãîëüíèêè ñëåäóþùåãî âèäà: äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðî-íû ÿâëÿþòñÿ äóãàìè ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé êîëåö (ïîëîæè-òåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî), à êàæäàÿ èç äâóõ äðóãèõ ïàð ñòî-ðîí ñîñòàâëåíà èç ñåïàðàòðèñ (âõîäÿùåé è âûõîäÿùåé). f-ãðà�ñîäåðæèò èí�îðìàöèþ, êàê íóæíî ñêëåèâàòü ýòè øåñòèóãîëü-íèêè. Çàíóìåðóåì îðèåíòèðîâàííûå ð¼áðà f-ãðà�à è ñ êàæäûìèç íèõ ñîïîñòàâèì øåñòèóãîëüíèê. Çàäàäèì íà øåñòèóãîëüíè-êàõ îðèåíòàöèþ (à òàêæå ïîëîæèòåëüíóþ è îòðèöàòåëüíóþ îá-ëàñòü) è îáîçíà÷èì èõ ñòîðîíû ÷åðåç a±i , p±i , q±i , ãäå i�íîìåðîðèåíòèðîâàííîãî ðåáðà f-ãðà�à (ñì. ðèñ. 4). Íà ïåðâîì ýòàïåñêëåèâàþòñÿ îòðèöàòåëüíûå êîëüöà: îòðåçîê p−i ñêëåèâàåòñÿ ñîòðåçêîì q−j (íàïðàâëåíèÿ ïðè ñêëåéêå ïðîòèâîïîëîæíû), åñ-ëè êîíåö i-ãî ðåáðà ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì j-ãî ðåáðà. Íà âòîðîìýòàïå ñêëåèâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå êîëüöà f-àòîìà: åñëè íåîðè-åíòèðîâàííîå ðåáðî ñîåäèíÿåò âåðøèíó (j, i) (êîíåö j-ãî ðåáðà
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 431è íà÷àëî i-ãî ðåáðà) ñ âåðøèíîé (m,k), òî îòðåçîê q+i p+
j ñêëå-èâàåòñÿ ñ q+k p+
m (åñëè ìåòêà íà ðåáðå +1, òî íàïðàâëåíèÿ ïðèñêëåéêå ïðîòèâîïîëîæíû, èíà÷å � ñîãëàñîâàíû).
q−i p−ia−i
q+i p+
i
a+
i
�èñ. 4. Øåñòèóãîëüíèê�ðàíè÷íûì îêðóæíîñòÿì f-àòîìà ñîîòâåòñòâóþò öèêëû íà f-ãðà�å. �ðàíèöû îòðèöàòåëüíûõ êîëåö � ýòî ïðîñòî îðèåíòèðî-âàííûå öèêëû. �ðàíèöû ïîëîæèòåëüíûõ êîëåö çàäàþòñÿ ñìå-øàííûìè öèêëàìè, â êîòîðûõ îðèåíòèðîâàííûå è íåîðèåíòè-ðîâàííûå ð¼áðà ÷åðåäóþòñÿ, ïðè÷¼ì çíàê íåîðèåíòèðîâàííîãîðåáðà îïðåäåëÿåò, ïî êàêîìó îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó ñëåäó-åò ïðîäîëæèòü îáõîä ãðà�à: åñëè çíàê ïëþñ, òî íàïðàâëåíèåñëåäóþùåãî îðèåíòèðîâàííîãî ðåáðà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíè-åì ïðåäûäóùåãî ðåáðà. Ïðè ýòîì êàæäîå îðèåíòèðîâàííîå ðåá-ðî ïðèíàäëåæèò îäíîìó öèêëó, à íåîðèåíòèðîâàííîå ðåáðî �òî÷íî äâóì öèêëàì, êîòîðûå çàäàþò ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòèïîëîæèòåëüíûõ êîëåö.Äëÿ îðèåíòèðóåìîãî àòîìà ìîæíî òàê ïîäîáðàòü îðèåíòà-öèþ ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé îòðèöàòåëüíûõ êîëåö, ÷òî âñåìåòêè íà íåîðèåíòèðîâàííûõ ð¼áðàõ f-ãðà�à áóäóò ïîëîæè-òåëüíû, à çíà÷èò, èõ ìîæíî îïóñòèòü.3. Àòîìû âûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ ñëî¼â [1℄ ðàññìàòðèâàþòñÿ �óíêöèè ñ íåâûðîæäåííûìè êðèòè-÷åñêèìè òî÷êàìè, íî äîïóñêàåòñÿ ðàñïîëîæåíèå íåñêîëüêèõ èçíèõ íà îäíîì óðîâíå. Ìû ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ
432 Ëû÷àê Ä.Ï.�óíêöèþ íà ãëàäêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè ñ èçîëèðîâàííû-ìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè (âîçìîæíî, âûðîæäåííûìè).Îïðåäåëåíèå 7. Áóäåì íàçûâàòü âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè,îòëè÷íûå îò ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ, ñåäëîâûìè, à ñîîòâåò-ñòâóþùèå àòîìû� ñåäëîâûìè àòîìàìè.Èçâåñòíî (ñì. [3℄), ÷òî äëÿ ëþáîé èçîëèðîâàííîé ñåäëîâîéêðèòè÷åñêîé òî÷êè ãëàäêîé �óíêöèè íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòèñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé �óíêöèÿ ïîñëîéíî ýêâèâà-ëåíòíà �óíêöèè f(x, y) = ℜe (x+iy)k äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëü-íîãî k. Ïðè k = 1 îò êðèòè÷åñêîé òî÷êè ìîæíî èçáàâèòüñÿ.Ïðè k = 2 ýòî áóäåò ìîðñîâñêîå ñåäëî x2 − y2.Ïîýòîìó ìîæíî ïåðå�îðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ñåäëîâîãîàòîìà ñëåäóþùèì îáðàçîì.Îïðåäåëåíèå 8. Ñåäëîâûì àòîìîì íàçîâ¼ì ïàðó (P 2,K),ãäå P 2 � ñâÿçíàÿ êîìïàêòíàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðà-åì, à K � ñâÿçíûé ãðà� â íåé òàêîé, ÷òî åãî âåðøèíû èìåþò÷¼òíóþ ñòåïåíü áîëüøå äâóõ, êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòàìíîæåñòâà P 2 \ K ãîìåîìîð�íà êîëüöó S × (0, 1] è ìíîæå-ñòâî ýòèõ êîëåö ìîæíî ðàçáèòü íà îòðèöàòåëüíûå è ïîëî-æèòåëüíûå òàê, ÷òîáû ê êàæäîìó ðåáðó ãðà�à K ïðèìûêàëîâ òî÷íîñòè îäíî ïîëîæèòåëüíîå è â òî÷íîñòè îäíî îòðèöà-òåëüíîå êîëüöî. f-àòîìîì íàçîâ¼ì àòîì, â êîòîðîì çà�èêñè-ðîâàíî ðàçáèåíèå êîëåö íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå.Àòîìû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð�èçìà ïî-âåðõíîñòåé, êîòîðûé ãðà� ïåðåâîäèò â ãðà�. f-àòîìû ðàññìàò-ðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìåîìîð�èçìà, êîòîðûé ãðà� ïå-ðåâîäèò â ãðà�, à ïîëîæèòåëüíûå êîëüöà ïåðåâîäèò â ïîëîæè-òåëüíûå. Ïîíÿòèå ìîëåêóëû è f-ìîëåêóëû äëÿ íåâûðîæäåííîãîñëó÷àÿ ïåðåíîñèòñÿ áåç èçìåíåíèé íà âûðîæäåííûé ñëó÷àé.Òåîðåìà 2. �ëàäêèå �óíêöèè ñ èçîëèðîâàííûìè êðèòè÷åñêè-ìè òî÷êàìè íà îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè ïîñëîéíî ýêâè-âàëåíòíû ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè òîãäà è òîëüêî òîãäà,
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 433êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìîëåêóëû ýêâèâàëåíòíû. �ëàäêèå�óíêöèè íà îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè îñíàù¼ííî ïîñëîé-íî ýêâèâàëåíòíû ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì f-ìîëåêóëû ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìî-ëåêóëû. Äîñòàòî÷íîñòü äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî íåâûðîæäåí-íîìó ñëó÷àþ. Äåéñòâèòåëüíî, èç îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòèìîëåêóë ñëåäóåò, ÷òî àòîìû �óíêöèé îäèíàêîâû. Èç ïîñëåä-íåãî âûòåêàåò, ÷òî �óíêöèè ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíû â îêðåñò-íîñòÿõ êðèòè÷åñêèõ ñëî¼â. Ïîñêîëüêó ãîìåîìîð�èçì ìîëåêóëçàäà¼ò áèåêöèþ ìåæäó ðåãóëÿðíûìè ñëîÿìè �óíêöèé, à íàêîíöàõ òðóáîê, êîòîðûå ñîåäèíÿþò àòîìû, ãîìåîìîð�èçì óæåçàäàí, òî åãî ìîæíî ïðîäîëæèòü íà ýòè òðóáêè. �Çàìå÷àíèå 1. Âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò äâà ñïîñîáà ïðè-êëåéêè öèëèíäðà (òðóáêè), êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ðåáðó ìî-ëåêóëû, ê ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè àòîìà. Íî â îðèåíòèðîâàí-íîì ñëó÷àå ìîëåêóëà îäíîçíà÷íî çàäà¼ò �óíêöèþ, ïîñêîëüêóïðèêëåéêó ñëåäóåò ñîâåðøàòü ñ ñîãëàñîâàíèåì îðèåíòàöèé. Âíåîðèåíòèðóåìîì ñëó÷àå â âåðøèíàõ ìîëåêóëû íåîáõîäèìî çà-äàòü äîïîëíèòåëüíóþ èí�îðìàöèþ, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùååóòâåðæäåíèå áûëî âåðíî.4. Êîäèðîâàíèå àòîìîâ êðèòè÷åñêèõ ñëî¼âÎáîáùèì êîíñòðóêöèþ f-ãðà�à íà ñëó÷àé âûðîæäåííûõ êðè-òè÷åñêèõ òî÷åê. Âåðøèíû è îðèåíòèðîâàííûå ð¼áðà îïðåäåëÿ-þòñÿ àíàëîãè÷íî íåâûðîæäåííîìó ñëó÷àþ. Êàæäàÿ ïàðà ñå-ïàðàòðèñ, ïðîõîäÿùèõ ïî îòðèöàòåëüíûì êîëüöàì, êîòîðûå âîêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé òî÷êè ãðàíè÷àò ñ îäíèì è òåì æå ïî-ëîæèòåëüíûì êîëüöîì, çàäà¼ò íåîðèåíòèðîâàííîå ðåáðî.Çàìå÷àíèå 2. Åñëè ðàññòàâèòü ìåòêè-çíàêè àíàëîãè÷íî íå-âûðîæäåííîìó ñëó÷àþ, òî òàêîé ãðà� íå áóäåò ðàçëè÷àòüíåêîòîðûå àòîìû. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå ñêëåéêè èç øåñòè-óãîëüíèêîâ îòðèöàòåëüíûõ êîëåö åñòü 2k âàðèàíòîâ ñêëåéêè
434 Ëû÷àê Ä.Ï.àòîìà (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà êðèòè÷åñêîì óðîâíå åñòüòîëüêî îäíà âûðîæäåííàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà èíäåêñà Ïóàí-êàðå 1 − k, òî åñòü å¼ òèï òàêîé æå, êàê è ó òî÷êè (0, 0)äëÿ �óíêöèè ℜe (x + iy)k). À êîëè÷åñòâî çíàêîâ íà íåîðèåí-òèðîâàííûõ ð¼áðàõ, õîòÿ è ðàâíî k, íî îäèí èç íèõ îïðåäå-ëÿåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå, òî åñòü íå íåñ¼ò íèêàêîé èí�îð-ìàöèè. Íàïðèìåð, äâà ðàçíûõ àòîìà, ñïàéíû êîòîðûõ èçîáðà-æåíû íà ðèñ. 5(a), èìåþò îäèí è òîò æå îáîáù¼ííûé f-ãðà�.Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè íóæåí åù¼ îäèí áèò èí�îðìàöèè.
b
−+−
+−+
b
−
+
−
+ − +
(a) Ñïàéíû àòîìîâ
b b
b
+
++(b) f-ãðà��èñ. 5Çà�èêñèðóåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà êàæäîì íåîðèåíòè-ðîâàííîì ìíîãîóãîëüíèêå îðèåíòàöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íåîðè-åíòèðîâàííûå ð¼áðà ïðèîáðåòóò îðèåíòàöèþ, â äàëüíåéøåì ìû
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 435áóäåì èõ íàçûâàòü âíóòðåííèìè ð¼áðàìè è èçîáðàæàòü ïóíê-òèðîì, â îòëè÷èå îò ãðàíè÷íûõ ð¼áåð, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþòäóãàì ãðàíèöû àòîìà. Çíàêè áóäåì ðàññòàâëÿòü íå íà ð¼áðàõ, àâ âåðøèíàõ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. �àññìîòðèì îêðåñòíîñòüòîé ÷àñòè ñåïàðàòðèñû, èäóùåé èç ãðàíèöû îòðèöàòåëüíîãîêîëüöà â êðèòè÷åñêóþ òî÷êó, êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò êðèòè÷å-ñêóþ òî÷êó. Îäíà ñòîðîíà ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ïðèíàäëåæèòãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè, à çíà÷èò, íà íåé çàäàíà îðèåíòàöèÿ, íà-ïðàâëåíèå ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû çàäà¼òñÿ ðàíåå çà�èêñè-ðîâàííîé îðèåíòàöèåé ìíîãîóãîëüíèêà. Åñëè îíè èíäóöèðóþòîäíó è òó æå îðèåíòàöèþ ïðÿìîóãîëüíèêà, òî â ñîîòâåòñòâóþ-ùåé âåðøèíå ñòàâèì çíàê ïëþñ, èíà÷å � ìèíóñ.Îïðåäåëåíèå 9. Òàê îïðåäåë¼ííûé ãðà� íàçîâ¼ì fd-ãðà�îì.Ýêâèâàëåíòíîñòü fd-ãðà�îâ çàäà¼òñÿ èçîìîð�èçìîì, ñîõðàíÿ-þùèì îðèåíòàöèè ð¼áåð è ìåòêè âåðøèí, à òàêæå îïåðàöèåéèçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âñåõ ð¼áåð ëþáîãî îäíîöâåòíîãî öèê-ëà ñ îäíîâðåìåííîé çàìåíîé çíàêîâ èíöèäåíòíûõ âåðøèí íàïðîòèâîïîëîæíûå.Òî åñòü fd-ãðà�� ýòî ãðà�, âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòå-ïåíü 4 è ñîäåðæàò ìåòêó-çíàê, à ð¼áðà îðèåíòèðîâàíû è ðàñ-êðàøåíû â äâà öâåòà. Ïðè÷¼ì, â êàæäóþ âåðøèíó âõîäèò èèç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò ïî îäíîìó ðåáðó êàæäîãî öâåòà,è âíóòðåííèå ð¼áðà îáðàçóþò îðèåíòèðîâàííûå öèêëû äëèíû
kj , j = 1, . . . , n, ãäå n�êîëè÷åñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñëîÿ,â îêðåñòíîñòÿõ êîòîðûõ �óíêöèÿ ýêâèâàëåíòíà ℜe (x + iy)kj ,
j = 1, . . . , n. �ðàíè÷íûì îêðóæíîñòÿì îòðèöàòåëüíûõ êîëåöf-àòîìà ñîîòâåòñòâóþò öèêëû ãðàíè÷íûõ ð¼áåð fd-ãðà�à. �ðà-íè÷íûì îêðóæíîñòÿì ïîëîæèòåëüíûõ êîëåö f-àòîìà ñîîòâåò-ñòâóþò ñìåøàííûå öèêëû, ãäå âíóòðåííèå è ãðàíè÷íûå ð¼á-ðà ÷åðåäóþòñÿ, ïðè÷¼ì çíàê âåðøèíû îïðåäåëÿåò ïî ðåáðó ñêàêîé îðèåíòàöèåé ñëåäóåò ïðîäîëæàòü ïóòü (åñëè ïëþñ, òîíàïðàâëåíèå ñëåäóþùåãî ðåáðà äîëæíî ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëå-íèåì ïðåäûäóùåãî). Êàæäîå ðåáðî ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó
436 Ëû÷àê Ä.Ï.èç öèêëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûì îêðóæíîñòÿì ïîëîæè-òåëüíûõ êîëåö.Îïèøåì àëãîðèòì ñêëåéêè f-àòîìà ïî fd-ãðà�ó. Ñîïîñòàâèìêàæäîìó ãðàíè÷íîìó ðåáðó fd-ãðà�à øåñòèóãîëüíèê. Ïåðâûéýòàï ñêëåéêè îòðèöàòåëüíûõ êîëåö f-àòîìà ïðîèñõîäèò, êàê è âíåâûðîæäåííîì ñëó÷àå. Íà âòîðîì ýòàïå ñëåäóåò ñêëåèòü îòðå-çîê p+
i ñ q+j (íàïðàâëåíèÿ ïðè ñêëåéêå ïðîòèâîïîëîæíû), åñëèñóùåñòâóåò âíóòðåííåå ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû (i, ∗) (i-å ãðàíè÷íîå ðåáðî âõîäèò, âûõîäèò ëþáîå) è (∗, j) è ïðè ýòîìíàïðàâëåííîå îò (i, ∗) ê (∗, j), åñëè ìåòêè â âåðøèíàõ +1, è îò
(∗, j) ê (i, ∗), åñëè ìåòêè −1. Îòðåçêè p+
i è P+
j ñêëåèâàþòñÿ(îðèåíòàöèè ñîãëàñîâàíû), åñëè ñóùåñòâóåò âíóòðåííåå ðåáðî,ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû (i, ∗) è (j, ∗) è íàïðàâëåííîå îò (i, ∗) ê
(j, ∗), åñëè ìåòêè â âåðøèíàõ +1 è −1 ñîîòâåòñòâåííî, èëè æåîò (j, ∗) ê (i, ∗), åñëè ìåòêè −1 è +1. Îòðåçêè q+i è q+j ñêëåè-âàþòñÿ (îðèåíòàöèè ñîãëàñîâàíû), åñëè ñóùåñòâóåò âíóòðåííååðåáðî, ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû (∗, i) è (∗, j) è íàïðàâëåííîå îò
(∗, i) ê (∗, j), åñëè ìåòêè â âåðøèíàõ −1 è +1 ñîîòâåòñòâåííî,èëè æå îò (∗, j) ê (∗, i), åñëè ìåòêè +1 è −1.Òåîðåìà 3. Äâà f-àòîìà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òî-ãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì fd-ãðà�û ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Õîòÿ fd-ãðà� ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê àáñòðàêò-íûé ãðà�, åãî ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì âëîæèòü â ïîâåðõ-íîñòü f-àòîìà. À ïîñêîëüêó ãîìåîìîð�èçì, êîòîðûé çàäà¼ò ýê-âèâàëåíòíîñòü f-àòîìîâ, ïåðåâîäèò îòðèöàòåëüíûå êîëüöà â îò-ðèöàòåëüíûå, à ñïàéí f-àòîìà â ñïàéí, òî îí ïîðîæäàåò èçîìîð-�èçì fd-ãðà�îâ, êîòîðûé ñîõðàíÿåò íàïðàâëåíèÿ ð¼áåð è ìåò-êè â âåðøèíàõ. Ïðè÷¼ì, ïðè îäèíàêîâûõ îðèåíòàöèÿõ ñîîòâåò-ñòâóþùèõ ð¼áåð, ìåòêè áóäóò ðàâíû, ïîñêîëüêó ãîìåîìîð�èçìïåðåâîäèò ñïàéí f-àòîìà â ñïàéí.Äîñòàòî÷íîñòü äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî íåâûðîæäåííîìóñëó÷àþ. Ñíà÷àëà íóæíî èçìåíèòü îðèåíòàöèþ íåêîòîðûõ öèê-ëîâ íà îäíîì èç fd-ãðà�îâ, ÷òîáû îíè ñòàëè èçîìîð�íû êàê
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 437îðèåíòèðîâàííûå ãðà�û ñ ìåòêàìè (âîçìîæíîñòü ñëåäóåò èçîïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè fd-ãðà�îâ). Èçîìîð�èçì fd-ãðà-�îâ ïîðîæäàåò ãîìåîìîð�èçìû ñïàéíîâ è ãðàíè÷íûõ îêðóæ-íîñòåé f-àòîìîâ, êîòîðûå íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðîäîëæàþòñÿíà îòðèöàòåëüíûå è ïîëîæèòåëüíûå êîëüöà. �5. Ïðèìåðû�àññìîòðèì �óíêöèè, ó êîòîðûõ ïîìèìî ëîêàëüíûõ ýêñòðå-ìóìîâ åñòü ðîâíî îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà. Òàêèå �óíêöèè îä-íîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíò-íîñòè ñåäëîâûì àòîìîì è ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàù¼ííî ïîñëîéíîéýêâèâàëåíòíîñòè ñåäëîâûì f-àòîìîì, à çíà÷èò, fd-ãðà�îì.�àññìîòðèì �óíêöèè ñ îäíîé ñåäëîâîé òî÷êîé, â îêðåñòíî-ñòè êîòîðîé îíè ýêâèâàëåíòíû �óíêöèè ℜe (x+ iy)3. Ñîîòâåò-ñòâóþùèé fd-ãðà� èìååò òðè âåðøèíû, òðè ãðàíè÷íûõ è òðèâíóòðåííèõ ðåáðà. Òðè âíóòðåííèõ ðåáðà îáðàçóþò òðåóãîëü-íèê, à äëÿ ãðàíè÷íûõ ð¼áåð ñóùåñòâóþò òðè âàðèàíòà: ëèáîîíè ÿâëÿþòñÿ ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà, ëèáî êàæäîå ðåáðî îá-ðàçóåò ïåòëþ, ëèáî äâà èç íèõ îáðàçóþò äâóóãîëüíèê, à òðå-òüå � ïåòëþ.  êàæäîì èç òð¼õ ñëó÷àåâ ñëåäóåò çà�èêñèðî-âàòü íàïðàâëåíèÿ ð¼áåð è ðàññòàâèòü çíàêè â âåðøèíàõ.  ïåð-âîì ñëó÷àå ïðè �èêñèðîâàííîé îðèåíòàöèè êàæäîãî èç öèêëîââîçìîæíû ÷åòûðå âàðèàíòà ðàññòàíîâêè çíàêîâ, êîòîðûå çà-äàþò íåýêâèâàëåíòíûå fd-ãðà�û: (+,+,+), (+,+,−), (+,−,−)è (−,−,−) (ïîñêîëüêó èç-çà ñèììåòðè÷íîñòè ãðà�à âåðøèíûðàâíîïðàâíû). Âî âòîðîì ñëó÷àå ëþáàÿ ðàññòàíîâêà çíàêîâ çà-äà¼ò ýêâèâàëåíòíûå fd-ãðà�û, òàê êàê, èçìåíÿÿ îðèåíòàöèþïåòåëü, ìû ìîæåì èçìåíèòü ëþáîé çíàê.  òðåòüåì ñëó÷àåçíàê â âåðøèíå, êîòîðàÿ èíöèäåíòíà ïåòëå, íå ñóùåñòâåíåí,à â äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèíàõ âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáîçíàêè ñîâïàäàþò, ëèáî ðàçëè÷íû. Ïîñëåäíåå âåðíî, ïîñêîëü-êó ãðàíè÷íûå ð¼áðà îáðàçóþò öèêë äëèíû äâà è èçìåíåíèå èõíàïðàâëåíèé íå èçìåíèò ãðà�. Òàêèì îáðàçîì, âñåãî èìååì 7
438 Ëû÷àê Ä.Ï.
+ +
+
(a) + +
−
(b) − −
+
(
)
− −
−
(d) ± ±
±
(e) + +
±
(f)
+ −
±
(g)�èñ. 6. fd-ãðà�û�óíêöèé, ðàññìàòðèâàåìûõ ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàù¼ííî ïîñëîé-íîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Èç íèõ 4 çàäàíû íà îðèåíòèðóåìûõ ïî-âåðõíîñòÿõ, à 3�íà íåîðèåíòèðóåìûõ. Ôóíêöèÿ íà ðèñ. 6(a)çàäàíà íà òîðå, �óíêöèè íà ðèñ. 6(d), ðèñ. 6(e) è ðèñ. 6(f) �íà ñ�åðå, �óíêöèè íà ðèñ. 6(
) è ðèñ. 6(g) � íà ïðîåêòèâíîéïëîñêîñòè è �óíêöèÿ íà ðèñ. 6(b) çàäàíà íà áóòûëêå Êëåéíà.
Ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ �óíêöèé 439Åñëè ðàññìàòðèâàòü ýòè �óíêöèè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîé-íîé ýêâèâàëåíòíîñòè, òî, ïîñêîëüêó íåêîòîðûì f-àòîìàì ñîîò-âåòñòâóåò îäèí àòîì, íåêîòîðûå �óíêöèè áóäóò ïðèíàäëåæàòüîäíîìó êëàññó ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Òàê, �óíêöèè íàðèñ. 6(d) è ðèñ. 6(e) ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíû, à òàêæå ��óíê-öèè íà ðèñ. 6(
) è ðèñ. 6(g). Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò 5 ðàç-íûõ (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè) �óíêöèé òà-êîãî âèäà. 6. Âûâîäû ðàáîòå äîêàçàíî, ÷òî ãëàäêèå �óíêöèè ñ èçîëèðîâàííû-ìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâà-ëåíòíîñòè (îñíàù¼ííî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè) çàäàþòñÿïðè ïîìîùè ìîëåêóë (f-ìîëåêóë). Äëÿ êîäèðîâàíèÿ f-àòîìîâïîñòðîåí fd-ãðà�, ÿâëÿþùèéñÿ îáîáùåíèåì f-ãðà�à íà âûðîæ-äåííûé ñëó÷àé. Äîêàçàíî, ÷òî fd-ãðà� îäíîçíà÷íî çàäà¼ò f-àòîì. Íàéäåíû âñå �óíêöèè (ðàññìàòðèâàåìûå êàê ñ òî÷íî-ñòüþ äî ïîñëîéíîé, òàê è ñ òî÷íîñòüþ äî îñíàù¼ííî ïîñëîéíîéýêâèâàëåíòíîñòè) ñ îäíîé ñåäëîâîé òî÷êîé, â îêðåñòíîñòè êî-òîðîé îíè ýêâèâàëåíòíû �óíêöèè ℜe (x+ iy)3.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.�åîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, êëàññè�èêàöèÿ:  2-õ ò. �Èæåâñê: Èçäàòåëü-ñêèé äîì
”
Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò“, 1999.[2℄ Îøåìêîâ À.À. Ôóíêöèè Ìîðñà íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Êîäèðîâà-íèå îñîáåííîñòåé // Òðóäû Ìàò. èí-òà �ÀÍ.� 1994. � Ò. 205. �Ñ. 131�140.[3℄ Prishlyak A.O. Topologi
al equivalen
e of smooth fun
tions with isolated
riti
al points on a
losed surfa
e // Topology and its appli
ation. �V. 119,� 3. � 2002.[4℄ Øàðêî Â.Â. �ëàäêàÿ è òîïîëîãè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü �óíêöèé íàïîâåðõíîñòÿõ // Óêðà. ìàò. æóðí. � 2003. �Ò. 55, � 5. � Ñ. 687�700.
|