Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм

We give a topological classification of nonconpact surfaces with a boundary.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Міщенко, К.І., Пришляк, О.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Теми:	Геометрія, топологія та їх застосування
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6321
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм / К.І. Міщенко, О.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 440-449. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6321
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-63212010-02-24T12:00:51Z Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм Міщенко, К.І. Пришляк, О.О. Геометрія, топологія та їх застосування We give a topological classification of nonconpact surfaces with a boundary. 2009 Article Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм / К.І. Міщенко, О.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 440-449. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1815-2910 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6321 uk Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle	Геометрія, топологія та їх застосування Геометрія, топологія та їх застосування Міщенко, К.І. Пришляк, О.О. Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
description	We give a topological classification of nonconpact surfaces with a boundary.
format	Article
author	Міщенко, К.І. Пришляк, О.О.
author_facet	Міщенко, К.І. Пришляк, О.О.
author_sort	Міщенко, К.І.
title	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
title_short	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
title_full	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
title_fullStr	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
title_full_unstemmed	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
title_sort	топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Геометрія, топологія та їх застосування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6321
citation_txt	Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм / К.І. Міщенко, О.О. Пришляк // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 440-449. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT míŝenkokí topologíčnaklasifíkacíânekompaktnihpoverhonʹzkraêm AT prišlâkoo topologíčnaklasifíkacíânekompaktnihpoverhonʹzkraêm
first_indexed	2025-07-02T09:15:06Z
last_indexed	2025-07-02T09:15:06Z
_version_	1836526030984052736
fulltext	Çáiðíèê ïðàöüIí-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè2009, ò.6, �2, 440-449Ê. I. ÌiùåíêîÊè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò. Øåâ÷åíêà, Êè¨âE-mail: mis henko.katya�gmail. omÎ. Î. ÏðèøëÿêÊè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò. Øåâ÷åíêà, Êè¨âE-mail: prishlyak�yahoo. omÒîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿíåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç êðà¹ì We give a topological classification of nonconpact surfaces with a boundaryÊëþ÷îâi ñëîâà: íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi,ïîâåðõíi ç êðà¹ì, òîïîëîãi÷íàêëàñè�iêàöiÿÂñòóï. Òåîðåìà êëàñè�iêàöi¨ êîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ¹ îä-íèì ç íàéâàæëèâiøèõ ðåçóëüòàòiâ òåîði¨ êîìïàêòíèõ ïðîñòîðiâ.Ïåðøà ñïðîáà êëàñè�iêóâàòè íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi ç'ÿâèëàñÿó ðîáîòàõ Êåðåêüÿðòî (Íiìå÷÷èíà, ïî÷àòîê 20 ñòîëiòòÿ) [1℄ òà�i÷àðäñà (ÑØÀ, 1961ð.) [2℄, àëå áóëî ðîçãëÿíóòî ëèøå âèïàäîêïîâåðõîíü áåç êðàþ. Ïðè ðîáîòi ç íåêîìïàêòíèìè ïîâåðõíÿìèââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ iäåàëüíî¨ ìåæi ïîâåðõíi òà ¨¨ êiíöiâ. Â ðîáî-òàõ Êåðåêüÿðòî [1℄ âèñâiòëåíî êëþ÷îâi ìîìåíòè òà îñîáëèâîñòiðîáîòè ç íåêîìïàêòíèìè ìíîãîâèäàìè, àëå ïîâíî¨ êëàñè�iêàöi¨íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü íå íàâåäåíî. Äàëi, ßí �i÷àðäñ (ÑØÀ,1961ð.) äîâiâ [2℄, ùî äâi íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi ¹ ãîìåîìîð�íèìèòîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ¨õ iäåàëüíi ìåæi òîïîëîãi÷íî åêâiâàëåíò-íi. Òàêîæ âií äîâiâ, ùî áóäü-ÿêèé äèç'þíêòíèé êîìïàêòíèéñåïàðàáåëüíèé ïðîñòið ¹ iäåàëüíîþ ìåæåþ äåÿêî¨ íåêîìïàêò-íî¨ ïîâåðõíi. I äîñi àêòóàëüíèì ¹ ïèòàííÿ îòðèìàííÿ òîïîëî-ãi÷íî¨ êëàñè�iêàöi¨ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç êðà¹ì. Â äàíié © Ê. I. Ìiùåíêî, Î. Î. Ïðèøëÿê, 2009 Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ... 441ðîáîòi äàíî ïîâíó òîïîëîãi÷íó êëàñè�iêàöiþ íåêîìïàêòíèõ ïî-âåðõîíü ç äîâiëüíèì ÷èñëîì êîìïîíåíò êðàþ. Îêðåìî ðîçãëÿ-íóòî âèïàäîê ñêií÷åííî¨ òà íåñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi êîìïîíåíòêðàþ. Êëàñè�iêóþ÷è ïîâåðõíi çà ¨õ òèïîì îði¹íòîâàíîñòi òàðîäîì, ìîæíà îïèñàòè õàðàêòåðèñòè÷íi âëàñòèâîñòi iäåàëüíèõìåæ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç äîâiëüíèì ÷èñëîì êîìïîíåíòêðàþ.Áàçóþ÷èñü íà ðåçóëüòàòàõ Êåðåêüÿðòî [1℄ òà �i÷àðäñà [2℄, îñ-íîâíîþ çàäà÷åþ òóò ¹ êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü çêðà¹ì. Íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi çi ñêií÷åííèì ÷èñëîì êîìïîíåíòêðàþ òà ¨õ òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ âèâ÷àëèñü â ðîáîòi [3℄.Óçàãàëüíåííÿ ñèòóàöi¨ íà äîâiëüíå ÷èñëî êîìïîíåíò êðàþ ïî-âåðõíi ðîçãëÿíóòî â äàíié ðîáîòi, òàêîæ òóò äàíî òîïîëîãi÷íóêëàñè�iêàöiþ òàêèõ ïîâåðõîíü.1. Îñíîâíi ïîíÿòòÿ òà îçíà÷åííÿÎçíà÷åííÿ 1. �ðàíè÷íîþ êîìïîíåíòîþ, àáî êiíöåì ïîâåðõíi, S íàçèâàòèìåìî ïîñëiäîâíiñòü çâ'ÿçíèõ íåîáìåæåíèõ âiäêðè-òèõ ìíîæèí â äàíié òîïîëîãi¨ íà S : P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . .òàêèõ, ùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè:(1) ìåæà Pn â S ¹ êîìïàêòíîþ äëÿ áóäü-ÿêîãî n≥1;(2) äëÿ äîâiëüíî¨ êîìïàêòíî¨ ìíîæèíè A⊂S òà äîñòàò-íüî âåëèêîãî n âèêîíó¹òüñÿ: Pn ∩A = ∅.Îçíà÷åííÿ 2. Äâi ãðàíè÷íèõ êîìïîíåíòè P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . .òà Q1 ⊃ Q2 ⊃ Q3 ⊃ . . . íàçèâàþòüñÿ åêâiâàëåíòíèìè, ÿêùî ∀n ∈ N ∃N òàêå, ùî PN ⊂ QN òà íàâïàêè.Çà äàíîþ êîìïîíåíòîþ P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . . âèçíà÷èìî êëàñåêâiâàëåíòíîñòi ãðàíè÷íèõ êîìïîíåíò, ÿêèé ¨é âiäïîâiäà¹. Êëàñåêâiâàëåíòíîñòi, ÿêèé ìiñòèòü ãðàíè÷íó êîìïîíåíòó P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . ., ïîçíà÷èìî ÷åðåç p∗. 442 Ìiùåíêî Ê.I., Ïðèøëÿê Î.Î.Îçíà÷åííÿ 3. Iäåàëüíîþ ìåæåþ, àáî ìíîæèíîþ êiíöiâ B(S)íåêîìïàêòíî¨ ïîâåðõíi S íàçâåìî òîïîëîãi÷íèé ïðîñòið, åëå-ìåíòàìè ÿêîãî ¹ ïîáóäîâàíi âèùå êëàñè åêâiâàëåíòíîñòi ãðà-íè÷íèõ êîìïîíåíò â S.Îçíà÷åííÿ 4. Íàçâåìî òî÷êó p∗ ïëàíàðíîþ, ÿêùî äëÿ âñiõ¨¨ äîñòàòíüî ìàëèõ âiäêðèòèõ îêîëiâ U ïåðåòèí U∩S ãîìåî-ìîð�íèé ïiäìíîæèíi ïëîùèíè.Îçíà÷åííÿ 5. Íàçâåìî òî÷êó p∗ îði¹íòîâàíîþ, ÿêùî äëÿâñiõ ¨¨ äîñòàòíüî ìàëèõ âiäêðèòèõ îêîëiâ U ïåðåòèí U∩Sîði¹íòîâàíèé.Ïîçíà÷èìî ÷åðåç B(S)′′ ïiäìíîæèíó âñiõ íåïëàíàðíèõ òî÷îêç B(S), òà ÷åðåç B(S)′ ïiäìíîæèíó âñiõ íåîði¹íòîâàíèõ òî÷îêç B(S). Ç îçíà÷åíü çðîçóìiëî, ùî B(S)′ òà B(S)′′ ¹ âiäêðèòè-ìè ïiäìíîæèíàìè êîìïàêòíîãî öiëêîì íåçâ'ÿçíîãî ìåòðè÷íîãîïðîñòîðó B(S) òà B(S) ⊃ B(S)′ ⊃ B(S)′′.2. Íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi çi ñêií÷åííèì ÷èñëîìêîìïîíåíò êðàþ�îçãëÿíåìî íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi çi ñêií÷åííèì ÷èñëîì êîì-ïîíåíò êðàþ. Êîìïîíåíòè êðàþ ìîæóòü áóòè ÿê êîìïàêòíèìè,òàê i íåêîìïàêòíèìè. Êîëà ìîæíà ñòÿãíóòè â òî÷êó àáî çà-êëå¨òè äèñêîì. Iíòåðâàëè ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿäi êië, çÿêèõ âiäêèíóòî ñêií÷åííå ÷èñëî òî÷îê; îòðèìàíi êîëà çàêëå¨òèäèñêàìè, àëå íà ãðàíèöÿõ öèõ äèñêiâ ïîòðiáíî âiäìiòèòè âiäêè-íóòi òî÷êè: A1, A2, A3, . . . , An, . . . .Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìà¹ìî ïîâåðõíþ áåç êðàþ, äî ÿêî¨ (çàóìîâ, ùî âèõiäíi ïîâåðõíi ìàþòü îäíàêîâó êiëüêiñòü çàêëå¹íèõäèñêiâ òà íà êîæíié ãðàíèöi òàêèõ äèñêiâ êiëüêiñòü âèêîëîòèõòî÷îê ñêií÷åííà òà îäíàêîâà) ìîæíà çàñòîñóâàòè òåîðåìó �i-÷àðäñà [2℄. Ó ðîáîòi [3℄ äîâåäåíî òåîðåìó.Òåîðåìà 1. Äèñê ç âèêîëîòîþ òî÷êîþ íà ãðàíèöi ãîìåîìîð�-íèé äèñêó iç âèêîëîòèì âiäðiçêîì íà ãðàíèöi. Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ... 443Çà ðåçóëüòàòàìè òåîðåìè 1.1 êðàé âèõiäíî¨ íåêîìïàêòíî¨ ïî-âåðõíi ñêëàäà¹òüñÿ ç äèñêiâ iç âèêîëîòèìè òî÷êàìè íà ãðàíèöiàáî ç iíòåðâàëiâ.Òåîðåìà 2. Íåõàé q∗� êiíåöü, ùî íàëåæèòü êðàþ íåêîì-ïàêòíî¨ ïîâåðõíi N . Òîäi iñíó¹ òî÷íî äâi ãðàíè÷íi êîìïîíåí-òè, ÿêi ïðèìèêàþòü äî q∗, òà äëÿ ÿêèõ âií ¹ ãðàíè÷íîþ òî÷-êîþ.Çà òåîðåìîþ 1.2 âñi âiäðiçêè ç êðàþ ìîæíà ç'¹äíóâàòè, â ðå-çóëüòàòi îòðèìàâøè êîëî. Îñêiëüêè äëÿ êîæíîãî êiíöÿ iñíó¹ñâîÿ ïàðà ãðàíè÷íèõ êîìïîíåíò, òî ïîðÿäîê ç'¹äíàííÿ âñòà-íîâëåíî òî÷íî. Ç òåîðåì 1.1 òà 1.2 âèïëèâà¹, ùî êîìïîíåíòèêðàþ òà êðàéîâi êiíöi ìîæíà ðîçáèòè íà ãðóïè òàê, ùî îä-íó ãðóïó ñêëàäà¹ öèêëi÷íà ïîñëiäîâíiñòü, ñêëàäåíà ç êiíöiâ iêîìïîíåíòiâ êðàþ, â ÿêié äâà äîâiëüíi ñóñiäíi åëåìåíòà ¹ êîì-ïîíåíòà êðàþ i ãðàíè÷íèé äî íå¨ êiíåöü. Îòðèìàíó ïîñëiäîâ-íiñòü ãðàíè÷íèõ êîìïîíåíò òà êîìïîíåíò êðàþ íàçèâàòèìåìîêðàéîâèì öèêëîì. Ñòÿãíóâøè êðàéîâi öèêëè äî òî÷îê àáî çà-êëå¨âøè ¨õ äèñêàìè, ìè îòðèìà¹ìî íåêîìïàêòíó ïîâåðõíþ áåçêðàþ. Òàêèì ÷èíîì, êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü çiñêií÷åííèì ÷èñëîì êîìïîíåíò êðàþ çâîäèòüñÿ äî êëàñè�iêàöi¨íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü áåç êðàþ.Òåîðåìà 3. Äâi íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi S1 òà S2 iç ñêií÷åííèì÷èñëîì êîìïîíåíò êðàþ ¹ ãîìåîìîð�íèìè òîäi i òiëüêè òîäi,êîëè âîíè:(1) ìàþòü îäíàêîâó êiëüêiñòü çàêëå¹íèõ äèñêiâ;(2) ìàþòü îäíàêîâó (ñêií÷åííó) êiëüêiñòü âèêîëîòèõ òî-÷îê íà êîæíié ñâî¨é ãðàíèöi;(3) ìàþòü îäíàêîâèé ðiä òà êëàñ îði¹íòîâàíîñòi;(4) êðiì òîãî, iñíó¹ ãîìåîìîð�içì B(S1) íà B(S2), ÿêèéâiäîáðàæà¹ B ′(S1) òà B ′′(S1) â B ′(S2) òà B ′′(S2) âiä-ïîâiäíî.Ïîâíå äîâåäåííÿ òåîðåì 1 � 3 íàâåäåíî ó ðîáîòàõ [3, 4℄. 444 Ìiùåíêî Ê.I., Ïðèøëÿê Î.Î.3. Íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi ç äîâiëüíèì ÷èñëîìêîìïîíåíò êðàþ�îçãëÿíåìî íåêîìïàêòíi ïîâåðõíi ç äîâiëüíèì ÷èñëîì êîìïî-íåíò êðàþ. Äëÿ ïðîâåäåííÿ êëàñè�iêàöi¨ ïåðø çà âñå ïîòðiáíîêëàñè�iêóâàòè êiíöi, ÿêi ëåæàòü íà êðàþ.Ïîçíà÷èìî ÷åðåç C ìíîæèíó òèõ êiíöiâ, ÿêi ëåæàòü íà êðàþïîâåðõíi. Ìíîæèíó C òàê ñàìî, ÿê i B(S) ìè ðîçáèâà¹ìî íàïiäìíîæèíè íåïëàíàðíèõ òà íåîði¹íòîâàíèõ êiíöiâ C ′ òà C ′′i ðîçãëÿäàòèìåìî â ïîäàëüøîìó ïàðè (B,C), (Â ′, Ñ ′) òà (Â ′′,Ñ ′′). Ñóìiæíèìè íàçèâàòèìåìî òàêi äâà êiíöi, ìiæ ÿêèìè çíàé-äåòüñÿ êîìïîíåíòà êðàþ, êiíöÿìè ÿêî¨ âîíè ¹. Áóäåìî ââàæà-òè, ùî êiíöi íàëåæàòü îäíîìó i òîìó æ êëàñó åêâiâàëåíòíî-ñòi, ÿêùî ¨õ ìîæíà ïîïàðíî ç'¹äíàòè ìiæ ñîáîþ ïîñëiäîâíiñòþñóìiæíèõ êiíöiâ. Ó âèïàäêó íåñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi êîìïîíåíòêðàþ êðàéîâi öèêëè ìîæóòü áóòè íåñêií÷åííèìè. Âiäíîøåí-íÿ åêâiâàëåíòíîñòi ãðàíè÷íèõ êîìïîíåíò íà ìíîæèíàõ Ñ ′ òàC ′′ ââîäèòüñÿ òàê ñàìî, ÿê äëÿ êiíöiâ íà C. Òàêå âiäíîøåííÿåêâiâàëåíòíîñòi ïîðîäæó¹ �àêòîð-ïðîñòið D= C/∼. Íàçâåìî Dìíîæèíîþ êðàéîâèõ öèêëiâ. Âîíà ÿâëÿ¹ ñîáîþ ìíîæèíó êië çâèêîëîòèìè òî÷êàìè.Ëåìà 1. Îá'¹äíàííÿ êðàéîâèõ êiíöiâ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ÿêêîëà ç âêëàäåíèìè â íèõ ïiäìíîæèíàìè êàíòîðîâî¨ ìíîæèíè,ùî ¹ ìíîæèíàìè êðàéîâèõ êiíöiâ.Äîâåäåííÿ. Çà ïîáóäîâîþ ìíîæèíà êðàéîâèõ êiíöiâ ¹ öiëêîìíåçâ'ÿçíîþ. Îòæå, âîíà ãîìåîìîð�íà ïiäìíîæèíi êàíòîðîâî¨ìíîæèíè. Ëåìó äîâåäåíî. �4. Êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç êðà¹ìÂèêîðèñòà¹ìî íàñòóïíó êîíñòðóêöiþ. Íåõàé S � íåêîìïàêò-íà ñåïàðàáåëüíà ïîâåðõíÿ ç êðà¹ì. Êîìïîíåíòè êðàþ αk ìîæíàîðãàíiçóâàòè ó êîëà iç âèêîëîòèìè òî÷êàìè. Âiäêèíóâøè êðàéïîâåðõíi S, îòðèìó¹ìî íåêîìïàêòíó ïîâåðõíþ áåç êðàþ. Äëÿ Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ... 445êëàñè�iêàöi¨ òàêèõ ïîâåðõîíü ñëiä çàñòîñóâàòè òåîðåìó �i÷àðä-ñà [2℄: âíóòðiøíîñòi ïîâåðõîíü ãîìåîìîð�íi òà iñíóþòü ïîñëi-äîâíîñòi êîìïàêòíèõ çàìêíåíèõ ïîâåðõîíü Fk, êîæíà íàñòóïíàç ÿêèõ ìiñòèòü ïîïåðåäíþ: ∀k ≥ 1 : Fk ⊂ Fk+1.Îñêiëüêè çâ'ÿçíà êîìïàêòíà îáìåæåíà ïîâåðõíÿ òîïîëîãi÷-íî âèçíà÷åíà îði¹íòîâàíiñòþ, ðîäîì i êiëüêiñòþ ãðàíè÷íèõ êðè-âèõ, òî, ïîâ'ÿçàâøè êîæíó ç êîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü Fk ç êîìïî-íåíòàìè αk, ìè îòðèìà¹ìî ìîæëèâiñòü êëàñè�iêóâàòè íåêîì-ïàêòíi ïîâåðõíi ç êðà¹ì: äî êîæíî¨ ïiäïîâåðõíi Fk ïðèêëå¨ìîñìóæêè, ÿêi áóäóòü íåïåðåðâíî ç'¹äíóâàòè ¨¨ ç êîìïîíåíòîþ αk(ðèñ. 1). �èñ. 1.Îñêiëüêè íà êîëi ðîçìiùåíi âèêîëîòi òî÷êè, òî öå êîëî ìîæ-íà ïðåäñòàâèòè ãðàíèöåþ ïîñëiäîâíîñòi îá'¹äíàíü çàìêíåíèõâiäðiçêiâ. Òàê, íàïðèêëàä, äëÿ êîìïîíåíòè êðàþ αk iñíó¹ {βik, i ≥ 1} i→∞−→ αk.Òîäi iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü îá'¹äíàíü ñêií÷åííîãî ÷èñëà βik :    ⋃ k, i βik, i ≥ 1    . 446 Ìiùåíêî Ê.I., Ïðèøëÿê Î.Î.Ôiêñóþ÷è íîìåðè öèõ âiäðiçêiâ, ïî÷èíàþ÷è ç íàéìåíøîãî, ïðè-êëåþâàííÿ ïðîâåäåìî â òàêèé ñïîñiá (ðèñ. 1): ç'¹äíà¹ìî íå-ïåðåðâíèì øëÿõîì ïåðøèé âiäðiçîê ç ïåðøîþ (íàéìåíøîþ)ïiäïîâåðõíåþ F1. Âèìàãàòèìåìî, ùîá øëÿõ ïåðåòèíàâ êðàéêîæíî¨ ïîâåðõíi Fk òðàíñâåðñàëüíî â îäíié òî÷öi.Ùîá îòðèìàòè ïîâåðõíþ ç êðà¹ì, íå ïîðóøóþ÷è çàãàëüíîñòi,ðîçøèðþ¹ìî öåé øëÿõ äî çàìêíåíîãî îêîëó. Äëÿ óíèêíåííÿíåâèçíà÷åíîñòi â ïîäàëüøîìó ïðèêëåþâàííi, ïåðøèé ðàç òî÷êàíà ïîâåðõíi îáèðà¹òüñÿ äîâiëüíèì ÷èíîì, à êîæåí íàñòóïíèéðàç � ó âiäïîâiäíîñòi äî ïîáóäîâàíèõ ìíîæèí D òà D ′. Íåâàæêîçðîáèòè òàê, ùîá êîæíèé íàñòóïíèé îêië øëÿõó, ùî ç'¹äíó¹÷åðãîâó âèêîëîòó òî÷êó íà êîëi ç ïiäïîâåðõíåþ ç âiäïîâiäíèìíîìåðîì, ìiñòèâ ïîïåðåäíié. Íà êîæíîìó åòàïi ïðèêëåþâàííÿñìóæîê ìè ìà¹ìî ñêií÷åííó êiëüêiñòü âiäðiçêiâ.Ëåìà 2. Íåõàé äëÿ ïåâíîãî k iñíó¹ äâà øëÿõè γ1 òà γ2, ùîç'¹äíóþòü ïîâåðõíþ Fk ç âiäïîâiäíîþ êîìïîíåíòîþ êðàþ. Òîäiïîâåðõíi, îòðèìàíi ïðèêëåþâàííÿì ñòði÷îê çà öèìè øëÿõàìè¹ ãîìåîìîð�íèìè.Äîâåäåííÿ. Çà ïîáóäîâîþ êîæíèé øëÿõ ïåðåòèíà¹ êðàé òðàíñ-âåðñàëüíî, òîäi, íå ïîðóøóþ÷è çàãàëüíîñòi, ìîæåìî ââàæàòè,ùî øëÿõè γ1 òà γ2 ñïiâïàäàþòü â äåÿêîìó îêîëi êîìïîíåíòèêðàþ (ðèñ. 2): �èñ. 2. Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ... 447Îòæå, iñíó¹ òàêèé íîìåð n∈N, ùî øëÿõè γ1 òà γ2 íå áó-äóòü ñïiâïàäàòè íà M = Fk+n\Fn. Öå îçíà÷à¹, ùî iñíó¹ ãîìåî-ìîð�içì öi¹¨ ìíîæèíè íà ñàìó ñåáå, ÿêèé ïåðåâîäèòü γ1 â γ2: ϕ: M→M : ϕ( γ1)=γ2. Ëåìó äîâåäåíî. �Îòæå, ìiæ äâîìà äîâiëüíèìè âèêîëîòèìè òî÷êàìè íà êîëi,êîæåí çàìêíåíèé âiäðiçîê íåïåðåðâíèì øëÿõîì ç'¹äíàíèé içâiäïîâiäíîþ ïiäïîâåðõíåþ Fk. Ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèöi, ìè îò-ðèìà¹ìî âèõiäíó íåêîìïàêòíó ïîâåðõíþ ç êðà¹ì ÿê ãðàíèöþêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç êðà¹ì.Ëåìà 3. Ïîáóäîâàíà â êîíñòðóêöi¨ ïîñëiäîâíiñòü ïîâåðõîíü çêðà¹ì ç ïðèêëå¹íèìè ñìóæêàìè çáiãà¹òüñÿ äî íåêîìïàêòíî¨ïîâåðõíi S.Äîâåäåííÿ. Ïîçíà÷èìî ïîáóäîâàíó ïîñëiäîâíiñòü ïîâåðõîíü çêðà¹ì ç ïðèêëå¹íèìè ñìóæêàìè ÷åðåç F∧ k . Òîäi ∀ k≥1: F k⊂F∧ k .À îòæå lim k→∞ Fk ⊂ lim k→∞ F∧ k .Â ñâîþ ÷åðãó lim k→∞ Fk = Int S ⊂ lim k→∞ F∧ k .Çà ïîáóäîâîþ F∧ k ìiñòèòü êîæíó êîìïîíåíòó êðàþ. Òàêèì ÷è-íîì, îá'¹äíàííÿ êîìïîíåíò êðàþ ç âíóòðiøíiñòþ ïîâåðõíi S iäà¹ ïîâåðõíþ S. Ëåìó äîâåäåíî. �ßêùî S1 òà S2 � äâi íåêîìïàêòíi ñåïàðàáåëüíi ïîâåðõíi çêðà¹ì, òî, ùîá âñòàíîâèòè ìiæ íèìè ãîìåîìîð�içì, íà ïîâåðõ-íi S1 âñi øëÿõè ñëiä áóäóâàòè äîâiëüíèì ÷èíîì ç âèìîãîþ òîãî,ùî ÿêùî øëÿõ âèõîäèòü iç êðàþ ïîâåðõíi Fk , òî âií ïîâèíåí ïå-ðåòèíàòè êðàé êîæíî¨ ïîâåðõíi Fn(n>k) òðàíñâåðñàëüíî â îä-íié òî÷öi, à íà ïîâåðõíi S2 øëÿõè áóäóþòüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì:ïåðøèé � äîâiëüíî, ðåøòà øëÿõiâ îáèðà¹òüñÿ òàê, ùîá êðè-âîëiíiéíi ÷îòèðèêóòíèêè, óòâîðåíi ÷àñòèíàìè êðà¨â ïîâåðõîíü Fk i ÷àñòèíàìè öüîãî øëÿõó òà ðàíiøå ïîáóäîâàíèõ øëÿõiâ, áó-ëè ãðàíèöÿìè îáëàñòåé, ãîìåîìîð�íèõ âiäïîâiäíèì îáëàñòÿì 448 Ìiùåíêî Ê.I., Ïðèøëÿê Î.Î.ïîâåðõíi S1. Òîáòî, âîíè ïîâèííi ìàòè îäíàêîâå ÷èñëî êiíöiâ,ðó÷îê àáî ëèñòiâ Ìüîáióñà (ðèñ. 3): �èñ. 3.Òåîðåìà 4. Íåêîìïàêòíi ñåïàðàáåëüíi ïîâåðõíi ç êðà¹ì S1òà S2 ¹ ãîìåîìîð�íèìè ìiæ ñîáîþ òîäi i òiëüêè òîäi, êî-ëè âîíè ìàþòü îäíàêîâèé ðiä, îäèí êëàñ îði¹íòîâàíîñòi òàiñíó¹ ãîìåîìîð�içì, ÿêèé âiäîáðàæà¹ B(S1) íà B(S2), D(S1)íà D(S2), C(S1) íà C(S2), Â ′(S1) íà B ′(S2), D ′(S1) íà D ′(S2),C ′(S1) íà C ′(S2), Â ′′(S1) íà B ′′(S2), D ′′(S1) íà D ′′(S2), C ′′(S1)íà C ′′(S2).Äîâåäåííÿ. Íåîáõiäíiñòü. ßêùî íåêîìïàêòíi ñåïàðàáåëüíi ïî-âåðõíi ç êðà¹ì ¹ ãîìåîìîð�íèìè, òî âîíè ìàþòü îäíàêîâèéðîä, îäèí êëàñ îði¹íòîâàíîñòi i iñíó¹ ãîìåîìîð�içì, ÿêèé âi-äîáðàæà¹ âñi âêàçàíi ìíîæèíè îäíi¹¨ ïîâåðõíi íà òàêi æ ñàìiìíîæèíè iíøî¨ ïîâåðõíi.Äîñòàòíiñòü.Íåõàé ¹ äâi íåêîìïàêòíi ñåïàðàáåëüíi ïîâåðõ-íi ç êðà¹ì S1 òà S2, ÿêi ìàþòü îäíàêîâèé ðiä, îäèí êëàñ îði¹í-òîâàíîñòi òà iñíó¹ ãîìåîìîð�içì, ÿêèé âiäîáðàæà¹ B(S1) íà B(S2),D(S1) íàD(S2), C(S1) íà C(S2), B′(S1) íà B′(S2),D′(S1)íà D′(S2), C ′(S1) íà C ′(S2), ′′(S1) íà B′′(S2), D ′′(S 1) íà D ′′(S 2),C ′′(S 1) íà C ′′(S 2). Çàñòîñó¹ìî äî íèõ êîíñòðóêöiþ. Çà ëåìîþ2 ïîâåðõíi F 1 k � òà F 1 k ¹ ãîìåîìîð�íèìè, ÿê i F 2 k � òà F 2 k . Òîäi çàëåìîþ 3 ïîñëiäîâíîñòi {F 1 k �, k ≥ 1}→ S1, {F 2 k �, k ≥ 1}→ S2 òà Òîïîëîãi÷íà êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü ... 449 ∀k ≥1 Fk⊂ F k+1. Îòæå, iñíó¹ fk : F 1 k �→ F 2 k� òà ïîñëiäîâíiñòüãîìåîìîð�içìiâ {fk, k ≥1} çàäà¹ ãîìåîìîð�içì f : S1→S2, äå f = lim k→∞ fk. Òåîðåìó äîâåäåíî. �Âèñíîâîê. Â äàíié ðîáîòi ïîáóäîâàíî êëàñè�iêàöiþ íåêîì-ïàêòíèõ ïîâåðõîíü ç êðà¹ì ç âèêîðèñòàííÿì ðåçóëüòàòiâ Êåðå-êüÿðòî [1℄ òà �i÷àðäñà [2℄. Äåòàëüíî ðîçãëÿíóòî óçàãàëüíåííÿñèòóàöi¨ íà äîâiëüíå ÷èñëî êîìïîíåíò êðàþ ïîâåðõíi. Çà äîïî-ìîãîþ âïðîâàäæåíî¨ êîíñòðóêöi¨, äîâåäåíî òåîðåìó 4, ÿêà ïðåä-ñòàâëÿ¹ òîïîëîãi÷íó êëàñè�iêàöiþ íåêîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü çäîâiëüíèì ÷èñëîì êîìïîíåíò êðàþ. Îñíîâíèì ðåçóëüòàòîì ðî-áîòè ¹ òåîðåìà ïðî òîïîëîãi÷íó êëàñè�iêàöiþ íåêîìïàêòíèõïîâåðõîíü ç êðà¹ì (òåîðåìà 4). Äàíi ðåçóëüòàòè ìîæóòü áó-òè çàñòîñîâàíi ó êîìïëåêñíîìó àíàëiçi òà òåîði¨ ãàðìîíi÷íèõ�óíêöié. Ëiòåðàòóðà[1℄ Ker�ekj�art�o B. Vorlesungen �uber Topologie // Verlag von Julius Berlin,Springer, 1923. � 270 p.[2℄ Ri hards I.On the lassi� ation of non ompa t surfa es // Trans AMS.� 1963. � Vol.106, �2. � P. 259-269.[3℄ Ìiùåíêî Ê.I., Ïðèøëÿê Î.Î. Êëàñè�iêàöiÿ íåêîìïàêòíèõ ïîâåð-õîíü çi ñêií÷åííîþ êiëüêiñòþ êîìïîíåíò êðàþ // Âiñíèê Êè¨â. óí-òó.Ñåðiÿ: Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíiêà. � 2004. � Âèï. 11-12. � Ñ. 89-91.[4℄ Ìiùåíêî Ê. I., Ïðèøëÿê Î. Î. Ïîâíèé òîïîëîãi÷íèé iíâàðiàíò�óíêöié iç ñêií÷åííèì ÷èñëîì îñîáëèâîñòåé íà êëàñè÷íèõ íåêîì-ïàêòíèõ ïîâåðõíÿõ // Âiñíèê Êè¨â. óí-òó.Ñåðiÿ: Ìàòåìàòèêà. Ìå-õàíiêà. � 2006. � Âèï. 15-16. � Ñ. 83-85.[5℄ Ahlfors L. V., Sario L. Riemann surfa es � N. J.: Prin eton UniversityPress, 1960. � 382 pp.[6℄ Brahana H. R. Systems of ir uits on two-dimentional manifolds //Ann. Of Math. � 1921. � �23. � P. 144-168.

Топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм

Репозитарії

Схожі ресурси