Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами
В статье рассматривается двумерное числовое пространство в виде магической матрицы с неординарными свойствами и подробно описан метод ее построения. Рассматриваются понятия материнской магической матрицы и дочерних магических матриц. Подробно описан метод приложения магических матриц при преобраз...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6713 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами / Л.П. Андреев // Штучний інтелект. — 2008. — № 2. — С. 89-99. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-6713 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-67132010-03-16T12:01:05Z Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами Андреев, Л.П. Научные гипотезы В статье рассматривается двумерное числовое пространство в виде магической матрицы с неординарными свойствами и подробно описан метод ее построения. Рассматриваются понятия материнской магической матрицы и дочерних магических матриц. Подробно описан метод приложения магических матриц при преобразовании координатной системы и при переходе от одной точки к другой в п-мерном векторном пространстве. Описаны методы сжатия информации и определены законы распределений чисел в магических матрицах. Статья рассчитана на научных работников, интересующихся проблемами линейной алгебры, матричного исчисления и теории чисел. У статті розглядається двомірний числовий простір у вигляді магічної матриці з неординарними властивостями. Пояснюється головна відмінність магічної матриці від відомих магічних квадратів і детально описаний метод її побудови. Розглядаються поняття материнської магічної матриці і дочірніх магічних матриць. Детально описаний метод додатку магічних матриць при перетворенні координатної системи і при переході від крапки до крапки в п-мірному векторному просторі. Стаття розрахована на науковців, що цікавляться проблемами лінійної алгебри і матричного числення. In the article the structure of two-dimensional numerical space is examined as a magic matrix with eccentric properties. The main distinction of magic matrix from the known magic squares is explained and the method of its construction is written up. The concepts of maternal magic matrix and daughters' magic matrices are examined. The method of appendix of magic matrices is written up under transformation of the coordinate system and in transition point-to-point in the n-measured vectorial space. 2008 Article Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами / Л.П. Андреев // Штучний інтелект. — 2008. — № 2. — С. 89-99. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6713 519.66 ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научные гипотезы Научные гипотезы |
| spellingShingle |
Научные гипотезы Научные гипотезы Андреев, Л.П. Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| description |
В статье рассматривается двумерное числовое пространство в виде магической матрицы с
неординарными свойствами и подробно описан метод ее построения. Рассматриваются понятия
материнской магической матрицы и дочерних магических матриц. Подробно описан метод
приложения магических матриц при преобразовании координатной системы и при переходе от одной
точки к другой в п-мерном векторном пространстве. Описаны методы сжатия информации и
определены законы распределений чисел в магических матрицах. Статья рассчитана на научных
работников, интересующихся проблемами линейной алгебры, матричного исчисления и теории чисел. |
| format |
Article |
| author |
Андреев, Л.П. |
| author_facet |
Андреев, Л.П. |
| author_sort |
Андреев, Л.П. |
| title |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| title_short |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| title_full |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| title_fullStr |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| title_full_unstemmed |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| title_sort |
магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Научные гипотезы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6713 |
| citation_txt |
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства с уникальными свойствами / Л.П. Андреев // Штучний інтелект. — 2008. — № 2. — С. 89-99. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT andreevlp magičeskaâmatricastrukturadvumernogočislovogoprostranstvasunikalʹnymisvojstvami |
| first_indexed |
2025-07-02T09:33:32Z |
| last_indexed |
2025-07-02T09:33:32Z |
| _version_ |
1836527190602153984 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 2’2008 89
4А
УДК 519.66
Л.П. Андреев
Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт «Искра» (НИПКИ
«Искра»), г. Луганск, Украина
official@iskra.lugansk.ua
Магическая матрица – структура
двумерного числового пространства
с уникальными свойствами
В статье рассматривается двумерное числовое пространство в виде магической матрицы с
неординарными свойствами и подробно описан метод ее построения. Рассматриваются понятия
материнской магической матрицы и дочерних магических матриц. Подробно описан метод
приложения магических матриц при преобразовании координатной системы и при переходе от одной
точки к другой в п-мерном векторном пространстве. Описаны методы сжатия информации и
определены законы распределений чисел в магических матрицах. Статья рассчитана на научных
работников, интересующихся проблемами линейной алгебры, матричного исчисления и теории чисел.
Введение
Сжатие информации без потери информации ((lossless) представляет собой
очень сложную задачу – проблему, практически не разрешимую современными
математическими методами. В Научно-исследовательском и проектно-конструкторс-
ком институте «Искра» (НИПКИ «Искра») в 2000 году в плане информационных
технологий была поставлена задача на разработку новых математических методов,
позволяющих снять или хотя бы уменьшить проблему сжатия информации без
потерь.
Известно много методов и приемов по сжатию информации таких, например,
как: уплотнение (сжатие) данных – data compression, сжатие кода или свертывание
кода – code compression, уплотнение (сжатие) при упаковке цифр или разрядов – digit
compression, уплотнение (сжатие) – message compression и др. Но все эти методы и
приемы сжимают информацию с некоторыми незначительными потерями, не
существенными для дальнейшего использования. Если 32-разрядный двоичный код
сжать на 3,125 %, то есть на один бит, то открываются огромные перспективы по
сжатию информации без потерь, то есть появляется возможность сжать программу
или блок данных, или текст в компьютере до одного или нескольких машинных
слов. Но двоичный код без потерь не сжимается! А значит, и информация,
представленная в виде двоичных кодов, также не сжимается без потерь. Если в
качестве носителя информации взять время, имеется в виду время преобразования
информации, то проблему сжатия без потерь можно снять.
Предлагаемая вниманию читателя статья посвящена одному из новых направ-
лений в математике – магической алгебре. Появление магической алгебры явилось
следствием проведенных научно-исследовательских работ по поиску новых мате-
матических методов, которые позволили бы сжимать числовую информацию без
потерь (lossless), причем информация должна быть представлена в виде после-
Андреев Л.П.
«Искусственный интеллект» 2’2008 90
4А
довательности любых целых положительных чисел натурального ряда. Основными
математическими объектами, над которыми проводятся вычислительные операции в
магической алгебре, являются магические матрицы, магические векторы и маги-
ческое пространство. Поэтому алгебра получила название «магическая алгебра».
Словосочетания «магическая матрица», «магический вектор», «магическое
пространство» следует понимать как волшебные, непривычные, не поддающиеся
известным правилам, описания. В предлагаемой статье подробно описан метод
построения магической матрицы, основные свойства и возможные ее приложения.
Основное назначение магической матрицы – это преобразование магических коор-
динат при переходе от одного вектора к другому в магическом пространстве. Такие
понятия, как: магические векторы и их линейные преобразования, система магичес-
ких координат и магическое пространство, будут рассмотрены в следующих статьях.
Цель данной работы – представить метод построения магической матрицы и
ее возможные приложения.
Магическая матрица – это система элементов (чисел) аij, расположенных в
виде таблицы из т строк и п столбцов, причем т = п.
Числовая квадратная таблица называется магической матрицей, если суммы
элементов отдельно взятых диагоналей равны между собой, т.е. суммы элементов
главной диагонали, вспомогательной и диагоналей, параллельных им, одинаковы.
Название «магическая» взято по аналогии с магическими квадратами [1].
1 Метод построения магической матрицы
В качестве числового материала для построения магической матрицы будем
использовать числа натурального ряда от 0 до 255.
Преобразуем все числа натурального ряда в заданном диапазоне в 8-битовые
двоичные коды (байты) и разложим их на четные и нечетные биты. Из четных и
нечетных бит сформируем два соответствующих 4-битовых кода (тетрады) и снова
преобразуем их в десятичные числа, например в виде, представленном на рис. 1.
1 → 0 0 0 0 0 0 0 1
0
0
0
0
0
0
0
1 →
→
0
0
0
0
0
0
1
0
→ а1=1
→ b1=0
.
.
.
9 → 0 0 0 0 1 0 0 1
0
0
0
0
1
0
0
1 →
→
0
0
0
0
0
1
1
0
→ a9 = 1
→ b9 = 2
.
.
.
127 → 0 1 1 1 1 1 1 1
0
1
1
1
1
1
1
1 →
→
1
0
1
1
1
1
1
1
→ a63 = 15
→ b63 = 7
Рисунок 1 – Преобразование чисел натурального ряда в тетрады an и bn
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства…
«Штучний інтелект» 2’2008 91
4А
Обозначим число – тетраду, сформированную из четных бит, через an, а число –
тетраду, сформированную из нечетных бит, через bn. Здесь индекс n указывает на
номер числа из натурального ряда в диапазоне 0÷255. Проводя вышеописанные
преобразования, сформируем табл. 1, в которой жирным шрифтом изображены
числа натурального ряда, а нежирным шрифтом изображены числа an и bn, причем
верхнее число – an, а нижнее число под ним – bn.
При анализе табл. 1 просматривается некоторая закономерность чисел натураль-
ного ряда для одинаковых (равных) an, то есть просматриваются группы чисел,
имеющих равные an и нарастающие на единицу bn.
Так, при an = 0 получим нулевую группу чисел натурального ряда – 0, 2, 8, 10,
32, 34, …, 170, при этом bn будут соответственно равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 15.
При an = 1 получим первую группу чисел натурального ряда – 1, 3, 9, 11, 33, 35,
…, 171, при этом bn будут соответственно равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 15 и т.д.
Сгруппировав таким образом 16 групп для an = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 15 и распо-
ложив каждую группу в соответствующую строку (нулевая группа – нулевая строка,
первая группа – первая строка и т.д.), построим табл. 2, в которой жирным шрифтом
изображены числа натурального ряда, а нежирным шрифтом изображены числа an и
bn, причем верхнее число – an, а нижнее число под ним – bn.
Таблица 1 – Таблица чисел натурального ряда с тетрадами an и bn
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
0
1
0
0
1
1
1
2
0
3
0
2
1
3
1
0
2
1
2
0
3
1
3
2
2
3
2
2
3
3
3
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
4
0
5
0
4
1
5
1
6
0
7
0
6
1
7
1
4
2
5
2
4
3
5
3
6
2
7
2
6
3
7
3
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
0
4
1
4
0
5
1
5
2
4
3
4
2
5
3
5
0
6
1
6
0
7
1
7
2
6
3
6
2
7
3
7
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
4
4
5
4
4
5
5
5
6
4
7
4
6
5
7
5
4
6
5
6
4
7
5
7
6
6
7
6
6
7
7
7
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
8
0
9
0
8
1
9
1
10
0
11
0
10
1
11
1
8
2
9
2
8
3
9
3
10
2
11
2
10
3
11
3
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
12
0
13
0
12
1
13
1
14
0
15
0
14
1
15
1
12
2
13
2
12
3
13
3
14
2
15
2
14
3
15
3
⋅ ⋅ ⋅
224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239
8
12
9
12
8
13
9
13
10
12
11
12
10
13
11
13
8
14
9
14
8
15
9
15
10
14
11
14
10
15
11
15
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255
12
12
13
12
12
13
13
13
14
12
15
12
14
13
15
13
12
14
13
14
12
15
13
15
14
14
15
14
14
15
15
15
Андреев Л.П.
«Искусственный интеллект» 2’2008 92
4А
Таблица 2 – Таблица чисел натурального ряда, объединенных в группы с рав-
ными тетрадами an и нарастающими на единицу bn
0 2 8 10 32 34 40 42 128 130 136 138 160 162 168 170
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
9
0
10
0
11
0
12
0
13
0
14
0
15
1 3 9 11 33 35 41 43 129 131 137 139 161 163 169 171
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12
1
13
1
14
1
15
4 6 12 14 36 38 44 46 132 134 140 142 164 166 172 174
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
2
11
2
12
2
13
2
14
2
15
5 7 13 15 37 39 45 47 133 135 141 143 165 167 173 175
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
9
3
10
3
11
3
12
3
13
3
14
3
15
16 18 24 26 48 50 56 58 144 146 152 154 176 178 184 186
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
9
4
10
4
11
4
12
4
13
4
14
4
15
17 19 25 27 49 51 57 59 145 147 153 155 177 179 185 187
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
7
5
8
5
9
5
10
5
11
5
12
5
13
5
14
5
15
. . .
84 86 92 94 116 118 124 126 212 214 220 222 244 246 252 254
14
0
14
1
14
2
14
3
14
4
14
5
14
6
14
7
14
8
14
9
14
10
14
11
14
12
14
13
14
14
14
15
85 87 93 95 117 119 125 127 213 215 221 223 245 247 253 255
15
0
15
1
15
2
15
3
15
4
15
5
15
6
15
7
15
8
15
9
15
10
15
11
15
12
15
13
15
14
15
15
Если в табл. 2 убрать числа an и bn и оставить только числа натурального ряда,
то будет сформирована табл. 3, в результате анализа которой можно сделать вывод,
что эта таблица представляет собой магическую матрицу 16-го порядка, так как она
полностью отвечает всем условиям магичности (табл. 3).
2 Основные свойства магической матрицы
Ясно, что основным и главным свойством магической матрицы является то, что
сумма элементов отдельно взятых диагоналей одинакова, то есть суммы, получаемые
от сложения чисел каждой диагонали (основной, вспомогательной и параллельных
им диагоналей), одинаковы.
Магическую матрицу 16-го порядка (n×n = 16×16) будем называть материнской
магической матрицей. Обозначать магические матрицы можно любой большой буквой
английского или греческого алфавитов, но с верхним значком над буквой, который
означает сумму элементов одной (любой) диагонали магической матрицы. Рассмот-
рим некоторые свойства магической матрицы.
Одним из удивительных свойств магической матрицы является то, что любая
матрица порядка m<n является также магической матрицей, независимо от места ее
расположения в числовом пространстве материнской магической матрицы. Такие
матрицы мы будем называть дочерними магическими матрицами. Для примера
рассмотрим магичность и случайно выбранные любые размещения дочерних матриц
2-го, 3-го и 4-го порядков в поле материнской магической матрицы.
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства…
«Штучний інтелект» 2’2008 93
4А
Таблица 3 – Магическая материнская матрица 16-го порядка
=
25525324724522322121521312712511911795938785
25425224624422222021421212612411811694928684
25124924324121921721120912312111511391898381
25024824224021821621020812212011411290888280
23923723122920720519919711110910310179777169
23823623022820620419819611010810210078767068
235233227225203201195193107105999775736765
234232226224202200194192106104989674726664
1911891831811591571511496361555331292321
1901881821801581561501486260545230282220
1871851791771551531471455957514927251917
1861841781761541521461445856504826241816
17517316716514314113513347453937151375
17417216616414214013413246443836141264
1711691631611391371311294341353311931
1701681621601381331301284240343210820
2040
А
Магическая матрица 2-го порядка:
→
→
=
=
Σ
.1
2.
3.
.0
31
20
2221
1211
aa
aa
A ; магичность → a11+ a22= a12+ a21.
Случайно выбранные размещения дочерних матриц в числовом пространстве
материнской магической матрицы:
5856
4745
;
4539
4438
;
93
82
;
31
20
; и т.д.
Магическая матрица 3-го порядка:
;
.6.
9..
..0
12..
..1
.2.
.6.
..1
8..
..4
9..
.2.
..4
.3.
8..
12..
.3.
..0
1264
931
820
333231
232221
131211
→
→
→
→
→
→
=
=
Σ
ааа
ааа
ааа
А
магичность → a11+a22+a33=a13+a22+a31=a12+a23+a31=
=a13+a21+a32=a12+a21+a33= a11+а23+а32.
Случайно выбранные размещения дочерних матриц в числовом пространстве
материнской магической матрицы:
Андреев Л.П.
«Искусственный интеллект» 2’2008 94
4А
1496361
1486260
1455957
;
371513
361412
33119
;
14126
1193
1082
;
1264
931
820
; и т.д.
Магическая матрица 4-го порядка:
;
..7.
.12..
11...
...0
15...
...4
..3.
.8..
.13..
14...
...1
..2.
.13..
..6.
...1
10...
..7.
...4
11...
.8..
...5
14...
.9..
..2.
...5
..6.
.9..
10...
15...
.12..
..3.
...0
151375
141264
11931
10820
44434241
34333231
24232221
14131211
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=
=
Σ
аааа
аааа
аааа
аааа
А
магичность → а11+а22+а33+а44=а14+а23+а32+а41=а12+а23+а34+а41=а13+а24+а31+а42=
=а14+а21+а32+а43=а12+а21+а34+а43=а13+а22+а31+а44=а11+а24+а33+а42.
Случайно выбранные размещения дочерних матриц в числовом пространстве
материнской магической матрицы:
19210610498
149636155
148626054
145595751
;
49272519
48262418
3715137
3614126
;
39371513
38361412
3533119
3432108
;
151375
141264
11931
10820
; и т.д.
Из приведенных примеров видно, что как бы мы не перемещали, свободно вы-
бирая матрицу порядка m, при условии, что m< n, всегда дочерняя матрица порядка
m будет магической в поле магического числового пространства матрицы порядка n,
то есть материнской магической матрицы. Поэтому двумерное числовое прост-
ранство материнской магической матрицы порядка n будем называть магическим
двумерным числовым пространством.
Другим очень важным свойством магических матриц является то, что разность
между магической матрицей и её транспонированной даёт магическую матрицу, у
которой суммы элементов отдельно взятых диагоналей одинаковы и равны нулю, то
есть
У
Т
У0
ААА −= . (1)
Например:
−−−
−−
−
=
−
=−=
0145
1034
4301
5410
15141110
131298
7632
5410
151375
141264
11931
10820
30
Т
300
ААА . (2)
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства…
«Штучний інтелект» 2’2008 95
4А
Здесь верхний значок над буквой А означает сумму элементов одной (любой)
диагонали магической матрицы, так как суммы элементов всех отдельно взятых диа-
гоналей одинаковы.
Правило (1) справедливо для всех дочерних магических матриц порядка m<n.
Сумма магической матрицы и ее транспонированной дает магическую
матрицу, у которой суммы элементов одинаковы и в два раза больше исходной
матрицы, то есть
У
Т
У2У
ААА += . (3)
Например:
=
+
=+=
30271815
27241512
181563
151230
15141110
131298
7632
5410
151375
141264
11931
10820
30
Т
3060
ААА ;
при этом,
2У
Т
2У
АА = . (4)
Так как определители всех магических дочерних матриц, кроме дочерних мат-
риц второго порядка, равны нулю )0(det =
У
А , то все они – вырождены, что является
основным недостатком магических матриц. Поэтому, на первый взгляд, магические
матрицы так же бесполезны для линейных преобразований векторов, как и маги-
ческие квадраты; так как построить матрицу, обратную магической, невозможно, а
значит, и восстановить исходный вектор невозможно.
И все же – выход из создавшейся ситуации есть! Рассмотрим подробнее
магическую матрицу типа
0
А (2) и введем понятие «псевдовращения» вектора.
Псевдовращение вектора – это условно принятый, поэлементный сдвиг
элементов вектора (влево, вправо, вниз, вверх); при этом после каждого сдвига
фиксируется вектор-строка с новой последовательностью элементов. Сдвигая таким
образом п – 1 раз, формируется матрица. Выполним такую процедуру для каждой
вектор-строки матрицы
0
А и исходного вектора.
Первая вектор-строка – (0, 1, 4, 5). Сдвигая влево поэлементно («вращение»
против часовой стрелки), формируем матрицу 1А , затем находим ее обратную
матрицу 1
1А−
Матрица:
=
4105
1054
0541
5410
1А , ее обратная матрица:
−−
−−
−−
−−
⋅=−
371317
713173
131737
173713
80
11
1А . (5)
Вторая вектор-строка – (– 1, 0, 3, 4). Аналогично, сдвигая влево поэлементно,
формируем матрицу 2А , затем находим ее обратную матрицу 1
2А− .
Андреев Л.П.
«Искусственный интеллект» 2’2008 96
4А
Матрица:
−
−
−
−
=
3014
0143
1430
4301
2А , ее обратная матрица:
−−
−−
−−
−−
⋅=−
15711
57111
71115
11157
48
11
2А . (6)
Таким же образом формируем матрицу А3 и находим ее обратную матрицу 1
3А−
для третьей вектор-строки, и А4 и ее обратную матрицу 1
4А− для четвертой вектор-
строки.
Далее «вращаем» исходный вектор, то есть сдвигаем поэлементно вниз («вращение»
против часовой стрелки) и формируем матрицу Х.
Например, сдвигая исходный вектор х(9, 2, 11, 6) поэлементно вниз, сформи-
руем следующую матрицу:
=
92116
69211
11692
21169
Х . (7)
Умножим магическую матрицу
0
А на матрицу Х.
−−−−
−−−−
=
⋅
−−−
−−
−
=⋅=′
60886864
32604036
52244448
80527276
92116
69211
11692
21169
0145
1034
4301
5410
ХАА
00
. (8)
Полученная матрица
0
А′ – также магическая матрица, так как сумма элемен-
тов отдельно взятых диагоналей одинакова и равна нулю.
Для восстановления исходного вектора необходимо умножить обратную
матрицу 1
iА− , сформированную из любой вектор-строки матрицы
0
А , на
соответствующую вектор-строку аi′ матрицы
0
А′ , то есть
х= 1
iА− ⋅аi′ , (9)
где i – номер вектор-строки.
Например:
=
=
⋅
−−
−−
−−
−−
=⋅= −
6
11
2
9
480
880
160
720
80
1
80
52
72
76
371317
713173
131737
173713
80
1'1
1
1Ах a . (10)
При сложении магической матрицы с любым числом или вычитании любого
числа из матрицы магичность результирующей матрицы не нарушается.
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства…
«Штучний інтелект» 2’2008 97
4А
3 Закон распределения чисел натурального ряда в
магической матрице
Если представлять любую строку или столбец материнской магической
матрицы в виде дискретной случайной величины п, то функция распределения
вероятностей будет равна { }хnPnF ==)( , и будет иметь вид некоторой ступенчатой
функции распределения, а плотность вероятностей будет представлять собой перио-
дическую функцию )(nf ′ . Для большей наглядности на рис. 2 функция распределе-
ния изображена в упрощенном виде, то есть по оси ординат отложены не вероят-
ности, а числа случайной величины.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0
F ( n )
n
F ( n )
f ' ( n )
Рисунок 2 – Функция распределения случайной величины (первого столбца
магической матрицы) и ее плотность
Зная закон распределения )(nF и плотность вероятностей )(nf ′ , можно по
любой случайно выбранной дочерней магической матрице восстановить материн-
скую магическую матрицу. Так как все дочерние магические матрицы имеют свои
функции распределения и соответственно свои плотности вероятностей, то знание
этих законов позволяет значительно сжимать информацию, если она представлена в
виде магической матрицы. Знание закона распределения позволяет хранить в памяти
не всю магическую матрицу, а только первую вектор-строку и первый вектор-
столбец, то есть для магической матрицы четвертого порядка можно хранить в
памяти не 16 чисел, а всего 7, что составляет 56,25 % сжатия информации. Процент
сжатия информации зависит от порядка матрицы. Из графика на рис. 3 видно, что
чем выше порядок матрицы, тем выше процент сжатия информации.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
1 0 0
%
n
Рисунок 3 – Зависимость процента сжатия магической информации
от порядка матрицы
Андреев Л.П.
«Искусственный интеллект» 2’2008 98
4А
Например:
исходная матрица:
=
19210610498
149636155
148626054
145595751
366
А ; сжатая матрица:
=
...98
...55
...54
145595751
У
А .
Здесь закон распределения известен – это последовательность чисел первой
вектор-строки. Вычислим плотность вероятности, то есть первую производную.
Производную будем вычислять в конечных разностях по следующей формуле:
п
ааа пп
п ∆
−
=∆ +
+
1
1 ,
где п = (0, 1, 2, 3) и ∆п = 1.
Тогда )(nf ′ = (51, 6, 2, 86); заменим первый элемент, то есть число «51» в )(nf ′
на первый элемент второй вектор-строки, то есть на число «54» и проинтегрируем
)(nf ′ по следующей итерационной формуле:
naanF nnn ∆∆+∆= ++ )()( 11 ,
где п = (0, 1, 2, 3) и ∆п = 1.
Получим вторую вектор-строку, то есть )(2 nF = (54, 60, 62, 148). Проделав такую
же процедуру для третьей и четвертой вектор-строк, восстановим магическую матрицу.
Процент сжатия информации магических матриц можно еще увеличивать, если
хранить в памяти законы распределения в виде номеров (адресов). Тогда вместо
магической матрицы любого порядка можно хранить всего четыре числа:
а11 – первый элемент матрицы;
а12 – номер закона распределения первой вектор-строки;
а21 – номер закона распределения первого вектор-столбца;
а22 – порядок матрицы.
При увеличении порядка матрицы процент сжатия в пределе будет стремиться
к 100 %.
Таким образом, зная законы распределения чисел в магических матрицах
можно преобразовать любое положительное целое число в магическую матрицу.
4 Возможные приложения магических матриц
Известно, что основным назначением матриц является преобразование коорди-
нат при переходе от одной координатной системы к другой либо переход от одной
точки к другой в n-мерном пространстве [2].
Во втором разделе был описан метод, как пользоваться произведением
магической матрицы на вектор, который позволяет проводить преобразования
координат как в евклидовом пространстве, так и в магическом пространстве.
Удачные сочетания магических матриц и магических векторов позволяют
деформировать евклидово пространство и перемещать замкнутое евклидово
пространство в магическом пространстве так же, как перемещение точки в евклидо-
вом пространстве. Теория магических векторов и теория магического пространства
будут описаны в следующих работах. Теперь, получив произведение магической
матрицы на вектор, все операции линейной алгебры справедливы и для магических
матриц.
Магическая матрица – структура двумерного числового пространства…
«Штучний інтелект» 2’2008 99
4А
В предыдущем разделе описаны методы сжатия магической информации и
определены законы распределения чисел в магических матрицах.
Кроме того, сам метод построения материнской магической матрицы позволяет
разложить любой исходный вектор на два составляющих вектора, элементы которых
по величине значительно меньше элементов исходного вектора и не превышают
число «15», при условии, что элементы исходного вектора находятся в диапазоне
0÷255.
Для этого элементы исходного вектора находят в табл. 1 (цифры жирного
шрифта) и записывают аn в один вектор, а bn – в другой.
Например: пусть исходный вектор х(242, 95, 36, 231), по табл. 1 находим
элементы вектора х и, выписывая аn и bn , получим
х`(12, 15, 2, 11),
х(242, 95, 36, 231)
х``(13, 3, 4, 13).
Заключение
В заключение следует отметить самое главное – это преобразование одно-
мерного числового пространства (натурального ряда чисел) в двухмерное числовое
пространство (магическую материнскую матрицу). Уникальная материнская маги-
ческая матрица может породить большое многообразие дочерних магических матриц
порядка m < n, где n – порядок материнской магической матрицы. Каждая дочерняя
магическая матрица может быть использована для решения тех или иных задач
линейной алгебры, сжатия магической информации и использоваться в приложениях
при решении некоторых задач [2].
Литература
1. Постников М.М. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1967. – Т. I.
3. Левкович-Маслюк Л.И. Динамические системы и сжатие информации. – М.: Институт прикладной
математики им. М.В. Келдышева РАН, 2003.
4. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – Москва; Ленинград, 1963
Л.П. Андрєєв
Магічна матриця – структура двомірного числового простору з унікальними властивостями
У статті розглядається двомірний числовий простір у вигляді магічної матриці з неординарними
властивостями. Пояснюється головна відмінність магічної матриці від відомих магічних квадратів і
детально описаний метод її побудови. Розглядаються поняття материнської магічної матриці і
дочірніх магічних матриць. Детально описаний метод додатку магічних матриць при перетворенні
координатної системи і при переході від крапки до крапки в п-мірному векторному просторі. Стаття
розрахована на науковців, що цікавляться проблемами лінійної алгебри і матричного числення.
L.P. Andrejev
Magic Matrix – the Structure of Two-dimensional Numerical Space with Eccentric Properties
In the article the structure of two-dimensional numerical space is examined as a magic matrix with eccentric
properties. The main distinction of magic matrix from the known magic squares is explained and the method
of its construction is written up. The concepts of maternal magic matrix and daughters' magic matrices are
examined. The method of appendix of magic matrices is written up under transformation of the coordinate
system and in transition point-to-point in the n-measured vectorial space.
Статья поступила в редакцию 31.10.2008.
|