Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках

В гейзенберговском представлении для электронов проводящей углеродной нанотрубки в длинноволновом приближении проанализирована временная зависимость операторов координат, содержащих линейно-растущие и осциллирующие во времени слагаемые. Для локализованных электронных состояний проводящей углеродной...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Majid, M.J., Савинский, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України 2013
Назва видання:	Физика и техника высоких давлений
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69629
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках / M.J. Majid, С.С. Савинский // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 3. — С. 5-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-69629
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-696292014-10-18T03:01:21Z Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках Majid, M.J. Савинский, С.С. В гейзенберговском представлении для электронов проводящей углеродной нанотрубки в длинноволновом приближении проанализирована временная зависимость операторов координат, содержащих линейно-растущие и осциллирующие во времени слагаемые. Для локализованных электронных состояний проводящей углеродной нанотрубки изучено явление осциллирующей зависимости средних значений координат, известное в литературе как явление Zitterbewegung (ZBW). У гейзенбергівському представленні для електронів провідної вуглецевої нанотрубки у довгохвильовому наближенні проаналізовано часову залежність операторів координат, які містять доданки, що лінійно зростають та осцилюють у часі. Для локалізованих електронних станів провідної вуглецевої нанотрубки вивчено явище осцилювальної залежності середніх значень координат, відоме в літературі як явище Zitterbewegung (ZBW). For the electrons of conductive carbon nanotubes, the problem of evolution of localized quantum states is solved. The localized quantum states are interpreted as superposition of the valence band and the conduction band. Localization of electronic states results in an oscillatory dependences of the mean values of coordinates and velocities that are known as a phenomenon of Zitterbewegung, which is studied theoretically for free relativistic electrons and the electronic states of graphene. The electronic states in carbon nanotubes are considered by means of linear approximation in momentum operators of the Hamiltonian. This approximation is valid for localized electronic states in the longwave limits. It is shown for the wave packets in the conductive and dielectric nanotubes, that there exist a complicated dynamics related to the states interference of the valence and conduction bands. The dynamic of the wave packet represented by quantum states with cylindrical symmetry is considered, the interference phenomenon in this case results in the axial coordinates oscillations of the packet. For the localized quantum states of the angular and axial coordinates in the carbon nanotubes, oscillations of the mean values of the angular and longitudinal coordinates are present. In this paper, the evaluations of the frequency and amplitude of Zitterbewegung in the conductive carbon nanotube are presented, which can be used for the experimental identification. 2013 Article Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках / M.J. Majid, С.С. Савинский // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 3. — С. 5-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 73.22.−f, 73.63.Fg http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69629 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В гейзенберговском представлении для электронов проводящей углеродной нанотрубки в длинноволновом приближении проанализирована временная зависимость операторов координат, содержащих линейно-растущие и осциллирующие во времени слагаемые. Для локализованных электронных состояний проводящей углеродной нанотрубки изучено явление осциллирующей зависимости средних значений координат, известное в литературе как явление Zitterbewegung (ZBW).
format	Article
author	Majid, M.J. Савинский, С.С.
spellingShingle	Majid, M.J. Савинский, С.С. Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках Физика и техника высоких давлений
author_facet	Majid, M.J. Савинский, С.С.
author_sort	Majid, M.J.
title	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
title_short	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
title_full	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
title_fullStr	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
title_full_unstemmed	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
title_sort	динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках
publisher	Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69629
citation_txt	Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках / M.J. Majid, С.С. Савинский // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 3. — С. 5-14. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Физика и техника высоких давлений
work_keys_str_mv	AT majidmj dinamikaélektronnyhvolnovyhpaketovvuglerodnyhnanotrubkah AT savinskijss dinamikaélektronnyhvolnovyhpaketovvuglerodnyhnanotrubkah
first_indexed	2025-07-05T19:07:40Z
last_indexed	2025-07-05T19:07:40Z
_version_	1836835102780293120
fulltext	Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 © M.J. Majid, С.С. Савинский, 2013 PACS: 73.22.−f, 73.63.Fg M.J. Majid1, С.С. Савинский2 ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ 1University of Basrah /IRAQ-Basrah 2Удмуртский государственный университет ул. Университетская, 1, г. Ижевск, 426034, Россия Статья поступила в редакцию 25 марта 2013 года В гейзенберговском представлении для электронов проводящей углеродной нанот- рубки в длинноволновом приближении проанализирована временная зависимость операторов координат, содержащих линейно-растущие и осциллирующие во вре- мени слагаемые. Для локализованных электронных состояний проводящей углерод- ной нанотрубки изучено явление осциллирующей зависимости средних значений координат, известное в литературе как явление Zitterbewegung (ZBW). Ключевые слова: углеродные нанотрубки, локализованные квантовые состояния, волновые пакеты У гейзенбергівському представленні для електронів провідної вуглецевої нанотруб- ки у довгохвильовому наближенні проаналізовано часову залежність операторів координат, які містять доданки, що лінійно зростають та осцилюють у часі. Для локалізованих електронних станів провідної вуглецевої нанотрубки вивчено явище осцилювальної залежності середніх значень координат, відоме в літературі як явище Zitterbewegung (ZBW). Ключові слова: вуглецеві нанотрубки, локалізовані квантові стани, хвильові пакети Авторами работы [1] в длинноволновом приближении ak0 ≤ 1 (где a – межатомное расстояние в углеродной нанотрубке, k0 − несущий волновой вектор пакета) рассмотрена задача эволюции локализованных квантовых со- стояний с использованием модельного гамильтониана Ando. Показано, что для волновых пакетов в проводящих нанотрубках может иметь место слож- ная динамика, связанная с интерференцией квантовых состояний валентной зоны и зоны проводимости. Впервые эта задача для локализованных элек- тронных квантовых состояний, обладающих цилиндрической симметрией, в полупроводниковой углеродной нанотрубке анализировалась в работе [2]. В дополнение к [2] нами рассмотрена общая постановка задачи об эволюции локализованного квантового состояния в проводящей углеродной нанотрубке. Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 6 Интерференция квантовых состояний валентной и проводящих зон элек- тронного спектра приводит к осциллирующим зависимостям средних значе- ний координат и скоростей электрона, известным в литературе как явление ZBW, теоретически изученным в ряде работ применительно к графену и двумерным полупроводниковым структурам (см. обзор [3]). Сходство явлений ZBW в графене и проводящей углеродной нанотрубке связано с особенностями электронного спектра и «наследованием» электрон- ными свойствами углеродной нанотрубки электронных свойств графена. Факт наследования электронных свойств имеет геометрическую интерпретацию: углеродную нанотрубку можно представить как результат сворачивания гра- фенового листа. Отличие явлений ZBW в углеродной нанотрубке и графене обусловлено квантованием поперечной компоненты импульса электрона при сворачивании графенового листа, а также различной размерностью: графен − двумерный объект, углеродная нанотрубка − квазиодномерный. В длинноволновом пределе гамильтониан электрона углеродной нанот- рубки наследуется от гамильтониана графена: ( )F x x y yH V p p= σ +σ , (1) где VF − скорость носителей; px, py − компоненты оператора импульса; σx, σy – матрицы Паули. Из (1) следует сохранение импульса, собственные функции оператора Гамильтона представляют собой плоские волны. В настоящей работе рассмотрим уравнения эволюции операторов коорди- наты в гейзaенберговском представлении для гамильтониана (1), используя соотношения [ ]( ) , ( )i x t H x t− = , [ ]( ) , ( )i y t H y t− = , (2) где x(t), y(t) – гейзенберговские операторы координаты; ħ – постоянная Планка; квадратными скобками обозначен коммутатор операторов. Вычис- ление правых частей (2) с учетом коммутационных соотношений операторов импульса и координаты [ ], ( )xp x t i= − , , ( )yp y t i⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ приводит к эволю- ционным уравнениям ( ) ( )x Fi x t i t V− = − σ , ( ) ( )y Fi y t i t V− = − σ , [ ]( ) , ( )x xi t H t− σ = σ , ( ) , ( )y yi t H t⎡ ⎤− σ = σ⎣ ⎦ , где σx(t), σy(t) – гейзенберговские операторы, соответствующие в исходный (ну- левой) момент времени матрицам Паули σx(0), σy(0). Интегрирование уравнений (3) приводит к следующим временным зависимостям операторов координат от времени: ( ) 2 1( ) (0) (0) exp( 2 / ) 1 2 F x F xF x V p t V pi Vx t x iHt H H H ⎛ ⎞= + + σ − − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ( ) 2 1( ) (0) (0) exp( 2 / ) 1 2 F y F yF y V p t V pi Vy t y iHt H H H ⎛ ⎞ = + + σ − − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (4) (3) Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 7 где x(0), y(0) – начальные значения координат, 1/H – обратный оператор Га- мильтона. Формулы (4) содержат линейно-растущие во времени слагаемые и осциллирующие во времени слагаемые, ответственные за явление ZBW. Дифференцируя по времени уравнения (4), можно получить гейзенбергов- ские операторы для проекций скорости электрона и тока. Рассмотрим геометрическую процедуру получения углеродной нанотруб- ки путем сворачивания полосы на графеновой плоскости, определяемой век- тором хиральности C = i1a1 + i2a2, где a1, a2 − базисные векторы элементарной ячейки графена; i1, i2 − целые числа (индексы хиральности). Тип проводимости углеродной нанотрубки определяется из условий [4]: разность индексов хиральности удовлетворяет соотношению \|i1 − i2\| = 3N + v (где N − целое число; v принимает три значения v = 0, ±1: значение v = 0 оп- ределяет проводящие углеродные нанотрубки, v = ±1 − полупроводнико- вые). Трансформацию электронного спектра при сворачивании графеновой полосы можно понять из следующих соображений: для гамильтониана (1) рассмотрим собственные функции, представляющие собой плоские волны, которые соответствуют условию периодичности на противоположных краях полосы; направление вектора хиральности примем за направление коорди- натной оси Ox. Это условие приводит к собственным функциям [1]: ( ) ( , )1 1exp ( ) 2y y k nS x y b n k ik n x ik y SBL ⎛ ⎞ ψ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 2 ( ) ( , ) ( ) x y y x y k n ik b n k k n k − = + , (5) здесь B – длина полосы в направлении оси Oy; L – ширина графеновой поло- сы в направлении оси Ох; 2( )x nk n L π = – дискретная компонента проекции волнового вектора на ось Ox, где n – число, нумерующее дискретные кван- товые состояния на полосе, 0 ≤ x ≤ L. Волновая функция (5) представляет собой двухкомпонентный псевдоспинор, каждая из компонент которого оп- ределяет координатную волновую функцию электрона, локализованного на одной из двух атомных подрешеток графеновой полосы. В формуле (5) па- раметр S = ±1 нумерует положительную и отрицательную ветви энергии 2 2( ) yk nS F x yE SV k n k= + , yk – импульс электрона вдоль оси Oy. Приведенные выше формулы (5) позволяют идентифицировать волновые функции и энергии электронных состояний в длинноволновом приближении на поверхности углеродной нанотрубки. Для этого в формулах сделаем за- мену переменных и введем новые обозначения: x → Rϕ, y → z, L = 2πR, R – радиус нанотрубки, 0 ≤ ϕ ≤ 2π – полярная координата. В результате волно- вые функции (5), определенные на графеновой полосе в цилиндрических ко- ординатах (ϕ, z) на поверхности углеродной нанотрубки, могут быть пред- ставлены в следующем виде [1]: Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 8 1 1 ( , )exp( ) 2 2kmS b m kim ikz SR ⎛ ⎞ψ = ϕ+ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ , 2 2 ( ) ( , ) ( ) k m ik b m k k m k ϕ ϕ − = + , (6) 2 2( )kmS FE SV k m kϕ= + , где 1( ) 3 vk m m Rϕ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , m = 0, ±1, ±2, … – магнитное квантовое число, насле- дуемое от используемого в формуле (5) квантового числа n; волновой вектор k наследуется от компоненты волнового вектора ky. В дальнейшем мы огра- ничимся случаем v = 0, который соответствует проводящим углеродным на- нотрубкам. Заметим, волновая функция (6), построенная из (5), представляет собой двухкомпонентный псевдоспинор, компоненты которого определяют волновые функции электрона, локализованного на двух подрешетках угле- родной нанотрубки. Условие нормировки для функций (6) имеет вид ( )kmS k m S mm SSk k′ ′ ′ ′ ′′ψ ψ = δ − δ δ , (7) где в правой части стоит произведение дельта-функции Дирака и символов Кронекера, интегрирование в левой части (7) ведется по бесконечной ци- линдрической поверхности нанотрубки радиуса R. Нормировочные множи- тели волновой функции (6) формально можно получить из формулы (5), рас- смотрев предел B → ∞. Квантовое состояние (6) представляет собой волну, локализованную на цилиндрической поверхности. Величина ħk в квантовом состоянии опреде- ляет импульс электрона вдоль образующей цилиндра, значение магнитного квантового числа m определяет момент импульса электрона ħm. Рассмотрим произвольное квантовое состояние в исходный (нулевой) момент времени для электрона на углеродной нанотрубке, которое предста- вим в виде суперпозиции по собственным функциям (6): , (0) dkmS kmS m S a k ∞ −∞ ψ = ψ∑ ∫ , (0)kmS kmSa = ψ ψ . (8) Средние значения цилиндрических координат для квантового состояния (8) в произвольный момент времени могут быть вычислены с помощью приве- денных выше формул для гейзенберговских операторов координаты: опера- торы ϕ(t), z(t) определяются из формул (4) путем переобозначения коорди- нат x(t) → Rϕ(t), y(t) → z(t) и замены операторов импульса: 1 xр i R ∂ → − ∂ϕ , yp i z ∂ → − ∂ . Формулы для вычисления средних значений цилиндрических координат квантового состояния Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 9 ( ) (0) ( ) (0)R t R tϕ = ψ ϕ ψ , ( ) (0) ( ) (0)z t z t= ψ ψ (9) содержат матричные элементы операторов ( )kmS k m SR t ′ ′ ′ψ ϕ ψ и ( )kmS k m Sz t ′ ′ ′ψ ψ . Интегрирование по пространственным цилиндрическим переменным в матричных элементах с учетом (6) приводит к множителю, который равен произведению дельта-функции Дирака и символа Кронекера ( ) mmk k ′′δ − δ . Суммирование по индексу m′ в (9) приводит окончательно к следующим формулам: , 1 , 1 ( ) ( ) d d , ( ) ( ) dkd . kmS k mS kmS k mS m S S kmS k mS kmS k mS m S S R t a a R t k k z t a a z t k ∞ ∞∞ ∗ ′ ′ ′ ′ ′=−∞ =± −∞ −∞ ∞ ∞∞ ∗ ′ ′ ′ ′ ′=−∞ =± −∞ −∞ ′ϕ = ψ ϕ ψ ′= ψ ψ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ (10) Здесь отличные от нуля матричные элементы операторов координаты вы- числяются с использованием формул (4) и (6): 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F km k m km k m V k m t R t R t k k k m k ϕ ′ ′+ + − − ϕ ′ψ ϕ ψ = − ψ ϕ ψ = δ − + , * 1 1 1 1( ) ( )km k m k m kmR t R t′ ′+ − − +ψ ϕ ψ = ψ ϕ ψ = ( )2 2 2 2 1 exp 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) F k iV k m k t k k k m k ϕ ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′⎜ ⎟= − + + − δ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+⎝ ⎠ , 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) F km k m km k m V ktz t z t k k k m k ′ ′+ + − − ϕ ′ψ ψ = − ψ ψ = δ − + , * 1 1 1 1( ) ( )km k m k m kmz t z t′ ′+ − − +ψ ψ = ψ ψ = ( )2 2 2 2 ( )1 exp 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) F k m iV k m k t k k k m k ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′⎜ ⎟= + + − δ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+⎝ ⎠ . Заметим, что в формулах (11) значения матричных элементов в нулевой мо- мент времени полагаются равными нулю. Для вычисления волновой функции и распределения электронной плотности на цилиндрической поверхности нанотрубки в произвольный мо- мент времени для квантового состояния необходимо воспользоваться шре- дингеровским представлением для волновой функции квантового состояния: ( )( ) exp / (0)t iHtψ = − ψ . (11) Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 10 Используя формулу (8), имеем , ( ) exp kmS kmS kmS m S it E t a ∞ −∞ ⎛ ⎞ψ = − ψ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ . (12) Рассмотрим локализованное электронное состояние, представляющее со- бой в нулевой момент времени волновой пакет, центрированный на поверх- ности углеродной нанотрубки для значения угла (0)ϕ = π и координаты (0) 0z = : 2 2 0 02 2 ( )(0) exp exp 2 2 zA ik z im d ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ϕ− π α ψ = − + − + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ βσ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 2 2 1 erf A dR = π⎛ ⎞α + β π σ ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ , где d определяет размер области локализации пакета по осевой координате, параметр σ – область локализации пакета по угловой переменной, k0 – несу- щий волновой вектор, m0 – магнитное квантовое число. Параметры α и β оп- ределяют соотношения между компонентами псевдоспиновой функции. Ко- эффициенты разложения волновой функции (13) по собственным функциям (6) (0)kmS kmSa = ψ ψ приводят к следующим формулам: 2 2 2 20 0 0 0 ( )( ( , ) )exp exp ( ) ( ) 2 22 2kmS k k dAd Ra b m k S i m m m m∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−σ σ = α +β − π − − − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 0 0( ) ( )erf erf 2 2 i m m i m m⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞π+ σ − π− σ − × +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ , (14) где erf(…) – функция Лапласа [5]. Заметим, что из формулы (13) для кванто- вого локализованного состояния следует: при любых параметрах α и β име- ются состояния с положительной и отрицательной энергией (для значений параметра S = ±1). Рассмотрим каждое из локализованных квантовых состояний с положи- тельной и отрицательной энергией как два независимых волновых пакета. Скорости движения этих волновых пакетов вдоль оси цилиндра определя- ются через групповые скорости, вычисленные для k = k0, m = m0: 0 0 0 gr 2 2 0 0 1 ( ) km S F k k E SV kV k k m k= ϕ ∂ = = ∂ + , (15) знак групповой скорости определяется через значение параметра S. Угловая скорость вращения волновых пакетов по цилиндрической поверхности мо- жет быть приближенно оценена по формуле (13) Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 11 0 2 2 0 0 ( ) ( ) FSV k m R k m k ϕ ϕ Ω ≈ + , (16) где Ω − угловая скорость вращения. Таким образом, два волновых пакета, формирующих квантовое состояние (13), совершают во времени вращение и смещение по цилиндрической по- верхности нанотрубки в направлениях, определяемых знаком параметра S. Траекторию движения отдельного волнового пакета можно представить как винтовую линию на цилиндрической поверхности. Заметим, что для каждо- го из уединенных волновых пакетов может быть вычислена средняя коорди- ната ( )z t по формулам (10) и (11) с учетом только диагонального матрично- го элемента для z координаты. Получаемая при этом линейная зависимость от времени ( ) zz t V t= содержит среднюю по состояниям скорость zV , совпа- дающую с групповой скоростью движения волнового пакета вдоль оси ци- линдра (15). К аналогичным выводам для уединенного волнового пакета можно прийти, рассматривая диагональный матричный элемент оператора координаты ϕ при вычислении среднего ( )tϕ . Получаемая при этом линей- ная зависимость ( )t tϕ = Ω содержит среднюю по состояниям угловую ско- рость вращения Ω , которая приближенно может быть вычислена по форму- ле (16). На рис. 1,а схематически показаны локализованное квантовое состояние (13) в исходный (нулевой) момент времени и трансформация этого состоя- ния в последующие моменты времени в виде двух волновых пакетов (расче- ты проводили по формуле (12)). Зависимости средних значений осевой и уг- ловой координат данного состояния от времени представлены на рис. 2,I. При численных расчетах средних значений ( )z t и ( )tϕ по формулам (10) с учетом (11) использовали безразмерные переменные: волновой вектор q = kR, несущий волновой вектор q0 = k0R, безразмерный параметр локализации квантового состояния вдоль оси цилиндра d/R. Как следует из рис. 2,I, имеет t = 0 t ≠ 0 t = 0 t ≠ 0 а б Рис. 1. Временная эволюция плотности вероятности лока- лизованных квантовых со- стояний (13) (а) и (20) (б) на углеродной нанотрубке Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 12 I а б II а б Рис. 2. Временная зависимость средних значений осевой (а) и угловой (б) коорди- нат локализованных квантовых состояний (13) (I) и (20) (II) с параметрами α = 1, β = 0: I − q0 = 5, m0 = 10, d/R = 0.5, σ = 0.4; II − q0 = 5, m0 = 5, d/R = 1 место осциллирующая зависимость от времени средних значений координат квантового состояния (13) ( )z t и ( )tϕ . Осциллирующая зависимость сред- них значений координат от времени связана с недиагональными матричны- ми элементами операторов координаты (11), характерная частота которых для локализованного квантового состояния (13) может быть оценена по формуле ZBW 2 2 0 02 ( )FV k m kϕω ≈ + . (17) Соответственно, характерный пространственный масштаб этих осцилляций по осевой и угловой координатам также может быть оценен из формулы (11) для слагаемых, ответственных за ZBW: ZBW 0 2 2 0 0 mz R d d m q ⎛ ⎞Δ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ , ZBW 0 2 2 0 0 q m q Δϕ ≈ + . (18) Осциллирующие зависимости на рис. 2,I являются затухающими, времена затухания могут быть оценены из кинематических характеристик движения волновых пакетов (см. рис. 1,а): Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 13 2 2 0 0ZBW 0 ( ) z F d k m k t V k ϕ + Δ ≈ , 2 2 0 0ZBW 0 ( ) ( )F R k m k t V k m ϕ ϕ ϕ σ + Δ ≈ . (19) Рассмотрим еще один пример локализованного квантового состояния, ко- торое можно рассматривать как предельный случай выбора параметра σ → ∞ в формуле (13): 2 0 02(0) exp 2 zA ik z im d ⎛ ⎞⎛ ⎞α ψ = − + + ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ β⎝ ⎠⎝ ⎠ , 2 2 1 2 A dR = α + β π π . (20) Коэффициенты (0)kmS kmSa = ψ ψ в данном случае могут быть легко вы- числены, отличным от нуля будет коэффициент akmS при значении квантово- го числа m = m0: 0 2 2 0 0 0 ( )( ( , ) ) exp 2km S k k da Ad R b m k S∗ ⎛ ⎞− = π α +β −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . На рис. 1,б схематически показано локализованное квантовое состояние (20) и трансформация данного состояния в последующие моменты времени. Вре- менные зависимости средних значений осевой и угловой координат данного квантового состояния в различные моменты времени представлены на рис. 2,II. Видно, что имеют место затухающие осциллирующие зависимости средних значений координат. Численные расчеты были проведены по формулам (10) с учетом зависимости коэффициентов akmS от квантового числа m состояния (20): 0 0 0 0 , 1 ( ) ( ) dkm S km S km S km S S S R t a a R t k ∞ ∗ ′ ′ ′=± −∞ ϕ = ψ ϕ ψ∑ ∫ , 0 0 0 0 , 1 ( ) ( ) dkm S km S km S km S S S z t a a z t k ∞ ∗ ′ ′ ′=± −∞ = ψ ψ∑ ∫ . Как следует из рис. 2,II, средние значения координат для состояния (20) имеют осциллирующий временной характер, подобно данным рис. 2,I. Для численной оценки приведенных в работе данных по ZBW необходимо определить следующие величины: скорость носителей в графене, радиус на- нотрубки, параметры локализованных состояний в формулах (13) и (20). Значе- ние скорости носителей в графене (см., напр., [3]) VF ≈ 106 m/s; для радиуса на- нотрубки R = 10−8 m временной масштаб на рис. 2 равен 10−14 s; пространст- венный масштаб осевых осцилляций на рисунках определяется через значение параметра d, для R = 10−8 m на рис. 2,I d = 0.5·10−8 m, на рис. 2,II d = 10−8 m. Не- сущий волновой вектор k0 на рисунках для R = 10−8 m равен 5·108 m−1. Таким образом, в настоящей работе аналитически показана возможность существования явлений ZBW для локализованных квантовых состояний Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 3 14 электрона на поверхности проводящей углеродной нанотрубки. В качестве локализованных квантовых состояний рассмотрены квантовые волновые па- кеты, построенные из состояний валентной и проводящих зон электронного спектра, явления ZBW возможны только в данной ситуации. Приведенные в работе оценки для частот и амплитуд ZBW в проводящей углеродной нанотрубке могут быть использованы для их экспериментальной идентификации. 1. T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005). 2. T.M. Rusin, W. Zawadzki, Phys. Rev. B76, 195439 ( 2007). 3. W. Zawadzki, T.M. Rusin, J. Phys.: Condens. Matter 23, 143201 (2011). 4. F. Leonard, The physics of carbon nanotube devices, William Andrew Inc., Norwich, NY, USA (2009). 5. В.А. Диткин, Л.Н. Кармазина, Справочник по специальным функциям, Наука, Москва (1979). M.J. Majid, S.S. Savinsky DYNAMICS OF ELECTRONIC WAVE PACKETS IN CARBON NANOTUBES For the electrons of conductive carbon nanotubes, the problem of evolution of local- ized quantum states is solved. The localized quantum states are interpreted as superposi- tion of the valence band and the conduction band. Localization of electronic states results in an oscillatory dependences of the mean values of coordinates and velocities that are known as a phenomenon of Zitterbewegung, which is studied theoretically for free rela- tivistic electrons and the electronic states of graphene. The electronic states in carbon nanotubes are considered by means of linear approximation in momentum operators of the Hamiltonian. This approximation is valid for localized electronic states in the long- wave limits. It is shown for the wave packets in the conductive and dielectric nanotubes, that there exist a complicated dynamics related to the states interference of the valence and conduction bands. The dynamic of the wave packet represented by quantum states with cylindrical symmetry is considered, the interference phenomenon in this case results in the axial coordinates oscillations of the packet. For the localized quantum states of the angular and axial coordinates in the carbon nanotubes, oscillations of the mean values of the angular and longitudinal coordinates are present. In this paper, the evaluations of the frequency and amplitude of Zitterbewegung in the conductive carbon nanotube are pre- sented, which can be used for the experimental identification. Keywords: carbon nanotubes, localized quantum states, wave packets Fig. 1. Time evolution of probability density of the localized quantum states (13) (а) and (20) (б) in a carbon nanotube Fig. 2. Time dependence of the expectation values of axial (а) and angular (б) coordi- nates of localized quantum states (13) (I) and (20) (II) with parameters α = 1, β = 0: I − q0 = 5, m0 = 10, d/R = 0.5, σ = 0.4; II − q0 = 5, m0 = 5, d/R = 1

Динамика электронных волновых пакетов в углеродных нанотрубках

Репозитарії

Схожі ресурси