Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов
Продемонстрированы недостатки модели Онзагера и показана возможность применения модифицированных кватернионов для описания состояний локальной области при малых отклонениях от термодинамического равновесия. Использование гиперкомплексного исчисления позволило детализировать понятия локально-равновес...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2013
|
| Назва видання: | Физика и техника высоких давлений |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69667 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов / С.В. Терехов, И.К. Локтионов // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 4. — С. 5-19. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-69667 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-696672014-10-19T03:01:46Z Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов Терехов, С.В. Локтионов, И.К. Продемонстрированы недостатки модели Онзагера и показана возможность применения модифицированных кватернионов для описания состояний локальной области при малых отклонениях от термодинамического равновесия. Использование гиперкомплексного исчисления позволило детализировать понятия локально-равновесной области и слабонеравновесной системы, сформулировать обобщенное определение термодинамических сил в соответствии с теоремой Гельмгольца, выяснить условия нарушения свойства экстенсивности синергетической системы и перехода от слабой неравновесности к локальному равновесию. Проведена классификация стационарных состояний синергетической системы. Продемонстровано недоліки моделі Онзагера та показано можливість застосування модифікованих кватерніонів для опису станів локальної області при малих відхиленнях від термодинамічної рівноваги. Використання гіперкомплексного числення дозволило деталізувати поняття локально-рівноважної області і слабко-нерівноважної системи, сформулювати узагальнене визначення термодинамічних сил відповідно до теореми Гельмгольца, з’ясувати умови порушення властивості екстенсивності синергетичної системи й переходу від слабкої нерівноважності до локальної рівноваги. Проведено класифікацію стаціонарних станів синергетичної системи. 2013 Article Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов / С.В. Терехов, И.К. Локтионов // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 4. — С. 5-19. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 05.70.Ln, 05.70.Np, 47.53.+n, 81.05.Tp http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69667 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Продемонстрированы недостатки модели Онзагера и показана возможность применения модифицированных кватернионов для описания состояний локальной области при малых отклонениях от термодинамического равновесия. Использование гиперкомплексного исчисления позволило детализировать понятия локально-равновесной области и слабонеравновесной системы, сформулировать обобщенное определение термодинамических сил в соответствии с теоремой Гельмгольца, выяснить условия нарушения свойства экстенсивности синергетической системы и перехода от слабой неравновесности к локальному равновесию. Проведена классификация стационарных состояний синергетической системы. |
| format |
Article |
| author |
Терехов, С.В. Локтионов, И.К. |
| spellingShingle |
Терехов, С.В. Локтионов, И.К. Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов Физика и техника высоких давлений |
| author_facet |
Терехов, С.В. Локтионов, И.К. |
| author_sort |
Терехов, С.В. |
| title |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| title_short |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| title_full |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| title_fullStr |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| title_full_unstemmed |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| title_sort |
универсальность синергетических законов. iii. экстенсивная термодинамика и кинетика процессов |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69667 |
| citation_txt |
Универсальность синергетических законов. III. Экстенсивная термодинамика и кинетика процессов / С.В. Терехов, И.К. Локтионов // Физика и техника высоких давлений. — 2013. — Т. 23, № 4. — С. 5-19. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Физика и техника высоких давлений |
| work_keys_str_mv |
AT terehovsv universalʹnostʹsinergetičeskihzakonoviiiékstensivnaâtermodinamikaikinetikaprocessov AT loktionovik universalʹnostʹsinergetičeskihzakonoviiiékstensivnaâtermodinamikaikinetikaprocessov |
| first_indexed |
2025-07-05T19:08:14Z |
| last_indexed |
2025-07-05T19:08:14Z |
| _version_ |
1836835140210262016 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
© С.В. Терехов, И.К. Локтионов, 2013
PACS: 05.70.Ln, 05.70.Np, 47.53.+n, 81.05.Tp
С.В. Терехов1, И.К. Локтионов2
УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ.
III. ЭКСТЕНСИВНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ
1Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
2Донецкий национальный технический университет
ул. Артема, 58, г. Донецк, 83001, Украина
Статья поступила в редакцию 9 октября 2012 года
Продемонстрированы недостатки модели Онзагера и показана возможность
применения модифицированных кватернионов для описания состояний локальной
области при малых отклонениях от термодинамического равновесия. Использова-
ние гиперкомплексного исчисления позволило детализировать понятия локально-
равновесной области и слабонеравновесной системы, сформулировать обобщенное
определение термодинамических сил в соответствии с теоремой Гельмгольца, вы-
яснить условия нарушения свойства экстенсивности синергетической системы и
перехода от слабой неравновесности к локальному равновесию. Проведена класси-
фикация стационарных состояний синергетической системы.
Ключевые слова: термодинамическая сила, поток, экстенсивность, стационарное
состояние, самоорганизация
Продемонстровано недоліки моделі Онзагера та показано можливість застосу-
вання модифікованих кватерніонів для опису станів локальної області при малих
відхиленнях від термодинамічної рівноваги. Використання гіперкомплексного чис-
лення дозволило деталізувати поняття локально-рівноважної області і слабко-
нерівноважної системи, сформулювати узагальнене визначення термодинамічних
сил відповідно до теореми Гельмгольца, з’ясувати умови порушення властивості
екстенсивності синергетичної системи й переходу від слабкої нерівноважності до
локальної рівноваги. Проведено класифікацію стаціонарних станів синергетичної
системи.
Ключові слова: термодинамічна сила, потік, екстенсивність, стаціонарний стан,
самоорганізація
1. Введение
Равновесное состояния термодинамической системы определяется про-
цессами, протекающими на микро- и макроуровнях. При отклонении от рав-
новесия в термодинамической системе протекают необратимые процессы
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
6
(диффузия, теплопроводность и др.), конечной целью которых является воз-
врат системы в термодинамическое равновесие или формирование новых
устойчивых состояний при удалении от него. При отклонении от положения
равновесия термодинамическая система приобретает новые синергетические
качества [1,2]:
– подавляются или сохраняются тенденции, возникающие в результате
внешних воздействий. В персистентном (от лат. persiste – упорствовать)
случае развитие системы определяется внутренними взаимодействиями
компонентов, а в антиперсистентном − доминирующим является взаимодей-
ствие системы с внешними телами;
– при малом отклонении от положения равновесия наблюдается частичная
фрактализация системы, которая не разрушает свойство экстенсивности (ад-
дитивности), а приводит к разбиению фазы на самоподобные локально-
равновесные области с неравновесными границами. Ячеистая структура ве-
щества возникает в результате компенсации изменений локальных, объемных
и поверхностных термодинамических потенциалов внешними (для локальной
области) силами [3]. Ячеистая морфология системы [4] порождает макроско-
пическую периодичность в термодинамической системе, а взаимодействие
между ячейками и перераспределение вещества вдоль границ (эффект кана-
лирования частиц, возникающий в результате стационарного распределения
вакансий и приводящий к ускоренной диффузии атомов [4, с. 234]) – различ-
ные самоорганизующиеся структуры и переход к глобальному равновесию;
– при сильном отклонении от термодинамического равновесия возни-
кающие в системе диссипация энергии, обмен с термостатом веществом и
энтропией (информацией) вызывают нарушение аддитивности системы, из-
менение агрегатного состояния, переструктурирование, преобразование
формы (топологические переходы) и поведения (бихевиористические пере-
ходы). Например, в линейной области растяжений пружина возвращается в
исходное положение после снятия внешнего воздействия. В нелинейной об-
ласти ее поведение изменяется: пружина теряет упругие свойства и сохраня-
ет приобретенный вид после окончания действия внешней силы. Если пру-
жина выполнена из материала с «памятью», то путем нагревания или друго-
го изменения ее состояния можно вернуть характеристики пружины в об-
ласть упругого поведения. В этой связи бихевиористические переходы яв-
ляются особой проблемой синергетического поведения вещества;
– возникают новые адиабатические инварианты движения (например,
сумма информации и энтропии), а также связанные с ними геометрические и
физические ограничения, приводящие к зависимости параметров синергети-
ческой системы от ее размеров;
– образование динамически устойчивых, фрактальных, самоорганизую-
щихся, асимметричных структур способствует созданию информационного
«банка» данных о возможных изменениях окружающего мира и реакциях на
эти изменения;
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
7
– простые процессы вида «воздействие−реакция» замещаются процесса-
ми типа «воздействие−реакция−стимул», приводящими к поиску новых ус-
тойчивых стационарных состояний и к самоорганизации системы.
Протекание необратимых процессов сопровождается вытеснением струк-
турных несовершенств и различного рода неравновесностей из объема упо-
рядочивающейся фазы, а также формированием поверхности раздела фаз с
фрактальным строением [5]. Отметим, что при реализации условий спино-
дального распада локально-равновесная область диспергируется скачком [3]
и переходит из одного агрегатного состояния в другое. Кроме того, исследо-
вания фазовых равновесий, условий формирования полупроводниковых ге-
тероструктур, параметров применения оптической и рентгеновской лито-
графии, характеристик пленочных и нанотехнологий [6−10] поставили це-
лый ряд вопросов, связанных с образованием и устройством фаз, поверхно-
стных слоев (геометрическое и энергетическое ограничения), решеток вих-
ревых структур, а также с межслоевой диффузией и другими процессами
самоорганизации.
Самоорганизующиеся структуры формируются в процессе достижения
термодинамического равновесия или удаления от него. Поэтому представля-
ется целесообразным проведение детального анализа полей различных па-
раметров фазы и ее границы, кинетических потоков характеристик системы
и процессов самоорганизации при малом отклонении от равновесного со-
стояния в рамках экстенсивной термодинамики (модель Онзагера [11,12]).
2. Термодинамические силы, теорема Гельмгольца и кватернионы
Возникновение макроскопической периодичности в синергетической сис-
теме приводит к ее разбиению на локально-равновесные и слабонеравновес-
ные области. В локально-равновесной области сохраняются все взаимосвязи
между характеристиками экстенсивной термодинамики, но они являются
функциями местоположения и времени [4]. В слабонеравновесной области
эти характеристики плавно изменяются при переходе от одной точки про-
странственно-временного континуума к другой [13, с. 237].
При отсутствии внешних сил изменение безразмерной энтропии dΣ ло-
кально-равновесной области с внутренней энергией U (обобщенная коорди-
ната q1), объемом V (q2) и числом частиц N (q3) определяется формулой [14,
с. 82]:
3
B 1
d 1 μd d d d φ d
θ θ θ l l
l
S PU V N q
k =
Σ = = + − =∑ , (1)
где θ = kBT – температура в энергетических единицах измерения, kB − посто-
янная Больцмана, T − температура по шкале Кельвина, P − давление, μ – хи-
мический потенциал частиц. Следовательно, потенциалы термодинамиче-
ских полей фазы (а при учете результатов работы [5] также и границы об-
ласти) ϕl определяются формулами:
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
8
− тепловое поле фазы
,
1φ
θT
V NU
∂Σ⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(для границы
0
0
1φ
θT = , θ0 –
энергетическая температура поверхности раздела фаз или внешней границы
системы);
− механическое поле фазы
,
φ
θP
U N
P
V
∂Σ⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(для границы σ
0
σφ
θ
= , σ –
эффективный коэффициент поверхностного натяжения);
− физико-химическое поле фазы μ
,
μφ
θU VN
∂Σ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(для границы
ξ
0
φ
θ
A
= − , A – физико-химическое сродство суммарной реакции, протекаю-
щей на поверхности раздела фаз или внешней границе системы).
В дальнейшем под потенциалом ϕl будем понимать любой из вышеприве-
денных потенциалов.
Равновесие локальной области синергетической системы наблюдается
при постоянстве полевых потенциалов ϕl (отсутствии кинетических потоков
Jm) и сохранении ее обобщенных координат (экстенсивных величин U, V и
N). При отсутствии источников и стоков неизменность экстенсивных харак-
теристик отображается в виде локальных законов сохранения [13, с. 238]
(для внутренней энергии – закон теплопроводности Фурье, для числа частиц –
первый и второй законы диффузии Фика):
div 0m
m
q
t
∂
+ =
∂
J ( 1m = , 2 ,3 ), (2)
где t – время; divJm = ∇·Jm,
x y z
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = = + +
∂ ∂ ∂ ∂
i j k
r
– оператор градиента
или оператор Гамильтона; i, j и k – орты декартовой системы координат; x, y
и z – пространственные координаты; Jm – поток экстенсивной величины m.
Поток любой экстенсивной величины вызывается термодинамическими
силами
φl l= ∇X , (3)
возникающими в системе при ее отклонении от положения равновесия. Сис-
тема достигает равновесного состояния тогда, когда силы (3) принимают
нулевые значения (ϕl = const) или между силами устанавливается связь, не
противоречащая условию их равенства нулю в равновесии. Например, от-
сутствие в изотермических условиях (T = const) гидравлического сопротив-
ления (XP = ∇P = 0) приводит к установлению в фазе постоянного давления
[14] и к сохранению ее объема. Сохранение экстенсивной характеристики
(при условии divJm = 0 согласно уравнению (2)) сопровождается возникно-
вением стационарного состояния системы по этой переменной. Таким обра-
зом, различия между стационарными состояниями системы определяются
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
9
условиями достижения потоками экстенсивных величин постоянных или
нулевых значений в объеме системы.
В этой связи к недостаткам описания неравновесного состояния в экстен-
сивной неравновесной термодинамике и модели Онзагера следует отнести
такие утверждения:
– не определены термодинамические потенциалы локально-равновесной
и слабонеравновесной областей, не установлена их взаимосвязь;
– внешней поверхности локальной области отведена пассивная роль фор-
мирования граничных условий и не учитывается ее активное влияние на
протекание необратимых процессов в объеме области;
– для ограниченных систем не выяснена роль поверхностных и внешних
сил в формировании локально-равновесных и стационарных состояний.
Возникновение границ порождается полевыми потенциалами структурных
несовершенств и различного рода неравновесностей, которые вытесняются
из объема локальной области на ее периферию. Поверхностные термодина-
мические силы, которые определяются изменениями вышеуказанных потен-
циалов, тормозят установление термодинамического равновесия в синерге-
тической системе и приводят к ее разбиению на локально-равновесные и
слабонеравновесные области;
– не выяснены условия нарушения свойства экстенсивности при сущест-
венном отклонении системы от положения термодинамического равновесия;
– не проведена классификация стационарных состояний синергетической
системы при ее малом отклонении от положения термодинамического рав-
новесия и не выяснена роль кинетических потоков в их формировании;
– если потоки определяются градиентами кинетических потенциалов ψl,
то при постоянстве кинетических коэффициентов (коэффициента диффузии,
коэффициента теплопроводности и т.п.) потенциалы ψl не должны удовле-
творять уравнению Лапласа (см., напр., [15]):
ψ 0lΔ = , (4)
здесь
2 2 2
2 2 2x y z
∂ ∂ ∂
Δ = + +
∂ ∂ ∂
– оператор Лапласа. В противном случае система
не эволюционирует, а пребывает в стационарном состоянии;
– любой поток вызывает образование вихрей, поэтому соотношение (3)
определено с точностью до ротора соленоидального поля W, достаточно бы-
стро убывающего при удалении на бесконечность. Отсутствие такого сла-
гаемого в соотношении (3) можно обосновать тем, что вихревые образова-
ния не влияют на перераспределение экстенсивных величин ql, поскольку
div(rotW) ≡ 0 (rotW = ∇ × W);
– определение термодинамических сил (3) не учитывает теоремы Гельм-
гольца (см., напр., [16, с. 209−220; 17, с. 177−178]), согласно которой любой
вектор B представляется в виде суммы безвихревого (потенциального) ϕ и
соленоидального W полей:
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
10
B = −∇ϕ + rotW. (5)
Например, электрические токи являются безвихревыми линиями магнитного
поля [18]. Однако равенство (5) указывает на то, что одним из вариантов об-
ращения в нуль термодинамических сил является компенсация вихревым век-
торным полем rotW градиента скалярного поля −∇ϕ. Следовательно, обраще-
ние в нуль термодинамических сил − необходимое, но не достаточное условие
достижения системой равновесного состояния, оно устанавливается только
тогда, когда полевые потенциалы ϕ и W достигают постоянных значений.
Применение псевдокватернионов [19] к описанию неравновесных состоя-
ний также приводит к исключению второго слагаемого в равенстве (5) из
определения термодинамической силы (3). Поэтому воспользуемся алгеброй
Гамильтона (см., напр., [20]) с учетом векторной алгебры Гиббса. В отличие
от гиперкомплексной алгебры произведение векторных частей кватернионов
Гамильтона−Гиббса M = m + βY и N = n + βZ (β – цвет кватерниона, в рас-
сматриваемом случае β2 = 1) задается формулой
βYβZ = Y·Z − β[Y × Z], (6)
где первое слагаемое определяет скалярное произведение векторов Y и Z, а
второе – их векторное произведение. Применим кватернионы Гамильто-
на−Гиббса к исследованию локально-равновесной и слабонеравновесной
областей синергетической системы.
3. Локально-равновесная и слабонеравновесные области.
Противодействие внешним изменениям
Локально-равновесная область. Состояние синергетической системы бу-
дем характеризовать безразмерными кватернионами обобщенных координат
Q = q + βJ и полевых потенциалов Φ = ϕ +βW. Тогда обобщенная энтропия
согласно (1) с учетом правила (6) равна
[ ]( )φ β φS Q q q= Φ = + ⋅ + + − ×J W W J J W . (7)
Из соотношения (7) следует, что локальная область будет находиться в гло-
бальном термодинамическом равновесии, если в ее объеме выполняются ра-
венства
[ ]
0 0,
φ :
φ 0 0.
S q
q
⋅ =⎧ →⎧⎪= ⇔⎨ ⎨+ − × = →⎪ ⎩⎩
J W J
W J J W W
(8)
Первое уравнение (8) определяет отсутствие производства энтропии (J⋅W)
за счет взаимодействия потока экстенсивной величины с потенциалом соле-
ноидального поля. Легко показать, что второе равенство системы (8) выпол-
няется только тогда, когда поток экстенсивной величины J коллинеарен век-
торному полю W. Совместное выполнение уравнений (8) описывает переход
локальной области к равновесию при убывании потока J экстенсивной ве-
личины и векторного поля W до нуля.
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
11
Выделенная область синергетической системы будет находиться в ло-
кальном термодинамическом равновесии, если в ее объеме выполняются ра-
венства
[ ]
0,
φ β :
φ 0.
S q
q
⋅ =⎧⎪= + ⎨ = + − × ≠⎪⎩
J W
D
D W J J W
(9)
Таким образом, локально-равновесное состояние характеризуется ортого-
нальностью потока J линиям векторного по ля W ( 0⋅ = ⇔ ⊥J W J W )
при отличии этих характеристик от нуля ( 0≠D ). Если термодинамические
силы отличны от нуля, то в синергетической системе протекают необрати-
мые процессы, сопровождаемые производством энтропии.
Для нахождения изменения состояния локально-равновесной области и
вида термодинамических сил (3) применим безразмерный инфинитезималь-
ный оператор Ли
β
τ
∂
◊ = + ∇
∂
(10)
(здесь λ ∂
∇ =
∂r , τ λ
vt
= , где v – характерная скорость протекания физиче-
ского процесса в синергетической системе, λ – характерный размер выде-
ленной области) к безразмерному кватерниону состояния области Q = q + βJ
и полевому кватерниону Φ = ϕ + βW:
div β rot σ β
τ τ
qQ q∂ ∂⎛ ⎞◊ = + + ∇ + − = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
JJ J Q , (11)
φ div β φ rot β
τ τ
x∂ ∂⎛ ⎞◊Φ = + + ∇ + − = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
WW W X , (12)
где σ div
τ
q∂
= +
∂
J и rot
τ
q ∂
= ∇ + −
∂
JQ J определяют соответственно скаляр-
ный и векторный источники (стоки) экстенсивной величины, а
φ div
τ
x ∂
= +
∂
W и φ rot
τ
∂
= ∇ + −
∂
WX W – соответственно скалярные и вектор-
ные силы, возникающие в синергетической системе при изменении полевых
потенциалов ϕ и W.
Локальная равновесность выделенной области обеспечивается нулевым
значением 4-градиента кватерниона состояния (11), т.е. отсутствием источ-
ников и стоков экстенсивных величин, что приводит к следующей системе
уравнений:
div 0,
τ0 :
rot 0.
τ
q
Q
q
∂⎧ + =⎪⎪∂◊ = ⎨∂⎪ − +∇ =
⎪∂⎩
J
J J
(13)
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
12
Невыполнение соотношений (13) порождает отклонение состояния локаль-
ной области от равновесия, при этом существенное отклонение нарушает
свойство экстенсивности синергетической системы. Отметим, что после
дифференцирования первого уравнения (13) по времени и подстановки в не-
го скорости изменения потока во времени из второго уравнения (13) полу-
чим уравнение Даламбера (или волновое уравнение) с единичной скоростью
распространения волны экстенсивной характеристики
2
2 0
τ
q q∂
− Δ =
∂
. (14)
Следовательно, распространение волн экстенсивных характеристик в си-
нергетической системе не изменяет ее состояния. Если реализуются гра-
ничные условия Бриллюэна, то согласно теореме Вейля−Куранта (см.,
напр., [20, с. 286−291]) происходит квантование экстенсивных величин.
Квантование внутренней энергии, объема и числа частиц определяет свойст-
во аддитивности синергетической системы, которое нарушается при силь-
ных отклонениях от термодинамического равновесия. Диссипативные про-
цессы приводят к затуханию волн экстенсивных величин при приближении
к границам локальных областей. При отсутствии рассеяния в локальной об-
ласти возможно образование стоячих волн аддитивных характеристик, в том
числе и нелинейных.
При малых отклонениях синергетической системы от положения равно-
весия термодинамические силы, стремящиеся вернуть систему в равновесие,
определяются уравнениями вида
φ div ,
τβ :
φ rot .
τ
x
x
∂⎧ = +⎪⎪ ∂◊Φ = + ⎨ ∂⎪ = ∇ − +
⎪ ∂⎩
W
X
WX W
(15)
Первое равенство (15) указывает на наличие в синергетической системе ска-
лярных сил x, появление которых определяется локальными изменениями
полевых потенциалов ϕ и W. Если скалярный потенциал ϕ не зависит явно
от времени ( φ 0
τ
∂
=
∂
), а расходимость соленоидального поля W равна нулю
(divW = 0), то в соответствии с первым равенством системы (15) скалярная
сила x обращается в нуль. Если векторное поле W не изменяется с течением
времени, то второе равенство (15) с точностью до знака соответствует тео-
реме Гельмгольца, т.е. является обобщением указанной теоремы.
Отклонение выделенной области синергетической системы от состояния
равновесия может происходить за счет возникновения малых градиентов экс-
тенсивных величин ( 1 1( )S Q S◊ = Φ ◊ << или 1 1( )S Q S′ ′◊ = ◊ Φ << ; Q Q◊ << ) и
приводить к образованию слабонеравновесных областей аддитивного типа.
Возникновение градиентов полевых потенциалов (◊Φ ≠ 0) вызывает появле-
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
13
ние в выделенной области синергетической системы напряженного состояния
и формирование в ней слабовыраженного неравновесия (◊S2 = Q(◊Φ) << S2
или 2 2( )S Q S′ ′◊ = ◊Φ << ) неаддитивного типа.
Слабонеравновесная область аддитивного типа. В этом случае состоя-
ние выделенной области синергетической системы можно охарактеризовать
4-градиентом энтропии аддитивного вида (см. равенство (1)):
( )1 ( ) φσ β φ σS Q◊ = Φ ◊ = + ⋅ + + −W Q Q W M (16)
или
( )1 ( ) φσ β φ σS Q′◊ = ◊ Φ = + ⋅ + + +W Q Q W M , (17)
где вектор M = W × Q. Эти состояния отличаются только ориентацией по-
следнего вектора в соотношениях (16) и (17), что указывает на появление
выбора у синергетической системы или ветвления в протекающих процес-
сах. Различие между правыми и левыми тройками векторов M, W и Q поро-
ждает два структурных уровня (например, для частиц со спином – это ори-
ентация спина вверх или вниз), между которыми происходят колебания си-
нергетической системы.
Слабонеравновесная область неаддитивного типа. При неизменности
положения синергетической системы в термодинамическом пространстве
экстенсивных величин (◊Q = 0) ее состояние может изменяться за счет воз-
никновения градиентов полевых потенциалов. Это приводит к появлению
слабонеравновесных областей неаддитивного вида.
Изменение обобщенной энтропии слабонеравновесной области равно
[ ]( )2 ( ) βS Q qx q x◊ = ◊Φ = + ⋅ + + − ×J X X J J X (18)
или
[ ]( )2 ( ) βS Q qx q x′◊ = ◊Φ = + ⋅ + + + ×J X X J J X . (19)
Слабонеравновесная область будет находиться в динамически устойчивом
состоянии (например, пограничная область или межфазная граница), если в
ней будут протекать процессы без производства энтропии при выполнении
соотношений
[ ]2
0 0,
:
μ 0 0.
S qx
q x
⋅ =⎧ →⎧⎪◊ = ⇔⎨ ⎨+ × = →⎪ ⎩⎩
J X J
X J J X X
(20)
Первое уравнение (20) описывает отсутствие производства энтропии, а вто-
рое – коллинеарность потока J и термодинамической силы X в соответствии
с моделью Онзагера. Слабонеравновесная система достигает термодинами-
ческого равновесия при стремлении скалярных сил x к нулю (полевые по-
тенциалы являются гармоническими функциями, т.е. удовлетворяют урав-
нению Даламбера).
Отметим, что в скалярной части формулы (20) источник производства эн-
тропии описывается диссипативным слагаемым J⋅X [2, с. 51; 21, с. 48]. Если
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
14
производство энтропии является положительной величиной (J⋅X > 0), то
энергетически выгодно термодинамическое равновесие. В силу того, что оно
характеризуется максимумом энтропии, в этом случае синергетическая сис-
тема деградирует [22]. Если синергетическая система отдает энтропию во
внешнюю среду (J⋅X < 0), то синергетическая система удаляется от термо-
динамической «ловушки» и эволюционирует, используя стационарные со-
стояния в виде «ступенек» для подъема из потенциальной ямы термодина-
мического равновесия. Этот процесс может сопровождаться диссипацией
энергии, переструктурированием, агрегатным превращением, накоплением
информации, изменением геометрического вида и поведения (реакция сис-
темы в целом на изменение внешнего окружения).
Противодействие внешним изменениям. Стабилизация состояния слабоне-
равновесной области неаддитивного типа возможна только при уравновешива-
нии внутренних сил внешним воздействием окружающей среды. Формирова-
ние слабонеравновесных областей неаддитивного типа происходит до установ-
ления равенства между суммой внутренней X0 и поверхностной X1 сил и соот-
ветствующей внешней силой X2 (адаптация системы к внешним условиям):
X0 + X1 = X2. (21)
При отсутствии векторных полей силы Онзагера (3) являются потенциаль-
ными. Если они уравновешиваются потенциальными внешними силами, то,
выполнив разложение термодинамических потенциалов ϕl по плоским про-
странственным волнам (k0, k1, k2 – волновые векторы соответствующих
термодинамических потенциалов), запишем (21) в виде
k0 + k1 = k2. (22)
Равенство (22) аналогично связи между волновыми векторами исходной и
обратной решеток при решении задачи о движении электрона в периодиче-
ском потенциале [36, с. 138−148]. В терминах физики твердого тела можно
утверждать, что локально-равновесным областям отвечают зоны с разре-
шенными, а границам – с запрещенными значениями экстенсивных величин.
Таким образом, условие локальной равновесности эквивалентно требованию
макроскопической периодичности, а локально-равновесные области и их
границы формируются пространственными волнами экстенсивных характе-
ристик. Другими словами, локальная равновесность порождает ячеистую
(зернистую) морфологию синергетической системы [4,5].
При выполнении неравенства
X0 + X1 > X2 (23)
синергетическая система развивается согласно внутренним закономерно-
стям и является персистентной, а при выполнении неравенства
X0 + X1 < X2 (24)
− антиперсистентной, т.е. изменяется под действием внешнего окружения.
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
15
Следовательно, неравновесность возникает как в результате изменения
положения синергетической системы в термодинамическом пространстве
экстенсивных параметров, так и за счет изменения полевых потенциалов. В
первом случае определяют тип протекающих процессов (обратимые (dΣ = 0)
или необратимые (dΣ > 0)), а во втором – исследуют кинетику возврата к
равновесию или перехода к новому состоянию при наличии (отсутствии)
источника производства энтропии. Изменения полевых потенциалов поро-
ждают термодинамические силы и кинетические потоки экстенсивных ве-
личин. Действие сил и перераспределение аддитивных характеристик вы-
зывают установление равновесия в локальных областях, а затем и в самой
синергетической системе. Локализация равновесных состояний указывает
на иерархию взаимодействий (скейлинговую инвариантность), порождает
макроскопическую периодичность синергетической системы и формирует
ее стационарные состояния. Поэтому проанализируем возможные стацио-
нарные состояния синергетической системы и их связь с кинетическими
потоками.
4. Потоки, стационарные состояния и самоорганизация
Реализация того или иного макросостояния синергетической системы оп-
ределяется плотностью вероятности перескока частиц из одного микросо-
стояния в другое. Если плотность вероятности какого-либо состояния в бу-
дущий момент времени не зависит от состояний системы в прошлом, а зави-
сит только от ее состояния в текущий момент времени, то переход из одного
состояния в другое определяется марковским процессом [14, с. 10−14]. Он
описывается уравнением параболического типа (уравнением Фоккера−План-
ка, см., напр., [22, с. 63]), вследствие чего необратимые процессы (диффузия,
теплопроводность, внутренняя вязкость и др.) описываются аналогичными
уравнениями вида (2).
Граничная поверхность формируется противодействием внешней среды
внутренним процессам в локальной области. В соответствии с первым урав-
нением (9) ориентацию кинетического потока J определяет потенциальный
рельеф соленоидального поля W. Установление коллинеарности этих векто-
ров и их стремление к нулю переводит область в состояние локального рав-
новесия. Кинетика достижения равновесия или удаления от него (система
уравнений (13)) сопровождается возникновением стационарных состояний
[21, с. 47−50], которые характеризуются неизменностью экстенсивных вели-
чин и их потоков во времени. Следовательно, при отсутствии источников и
стоков экстенсивных величин стационарные состояния синергетической
системы описываются уравнениями (13), решения которых зависят от вида
кинетического потока J:
div 0,
rot .q
=⎧
⎨ = ∇⎩
J
J
(25)
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
16
Первое уравнение (25) описывает отсутствие расходимости векторного по-
тока экстенсивной величины. Если градиент экстенсивной величины про-
порционален ее потоку
∇q = aJ (26)
(a – коэффициент пропорциональности), то второе уравнение (26) описывает
винтовое движение [24, с. 44]. Отметим, что второе уравнение (26) эквива-
лентно уравнению
rot(rot J) = 0, (27)
так как rot(∇q) = 0.
Классификацию стационарных состояний осуществим на основе опреде-
ления потока J экстенсивной величины в соответствии с обобщенной теоре-
мой Гельмгольца (см. второе уравнение системы (15)):
ψ rot
τ
∂
= −∇ + −
∂
ZJ Z , (28)
где ψ – скалярный кинетический потенциал, Z − потенциал векторного поля.
При малых отклонениях от локального термодинамического равновесия
возникают следующие основные стационарные состояния:
а) дендриты: отсутствует соленоидальное поле (Z = 0; J = −∇ψ), скаляр-
ный кинетический потенциал ψ удовлетворяет уравнению Лапласа (Δψ = 0,
см. первое уравнение системы (27)). Градиент соответствующей экстенсив-
ной характеристики по второму уравнению (27) обращается в нуль (необра-
тимый процесс затормаживается), и наблюдается фрактализация синергети-
ческой системы с образованием дендритных структур [25, с. 142−148; 26, с.
38−39];
б) домены: скалярное потенциальное поле ψ не изменяется при переходе
от одной пространственной точки к другой (∇ψ = 0), а векторное соленои-
дальное поле Z не зависит явно от времени ( 0
τ
∂
=
∂
Z ; rot=J Z ). Первое урав-
нение системы (25) превращается в тождество (div(rotZ) ≡ 0), а второе – опи-
сывает возникновение градиентов экстенсивных величин без их изменения с
течением времени. Используя тождество [27]:
(div ) rot(rot )Δ = ∇ −Z Z Z , (29)
перепишем второе уравнение (27) в виде (поскольку потенциал Z определя-
ется с точностью до градиента произвольной функции, его можно выбрать
так, чтобы
divZ = 0 (30)
[24, с. 61])
ΔZ = −∇q = −ω, (31)
где ω – поле завихренности [24, с. 60−64]. Уравнение (31) описывает образо-
вание в локальной области синергетической системы вихревых нитей (до-
менная структура) и конвективных структур, аналогичных тем, которые
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
17
возникают в динамических системах [28]. При отсутствии поля завихренно-
сти (ω = 0) проекции векторного поля Z описываются гармоническими
функциями, удовлетворяющими уравнению Лапласа;
в) энтропийная структура: скалярное поле обладает пространственной
однородностью (∇ψ = 0) и отсутствует завихренность векторного поля (rotZ =
= 0; по уравнению (30) divZ = 0). Кинетический поток экстенсивной величи-
ны определяется векторным потенциалом Z, который зависит только от
времени (
τ
∂
= −
∂
ZJ ). Согласно уравнениям (25) и (13) выделенная область
будет характеризоваться отсутствием градиентов экстенсивных величин и
находиться в локально-равновесном состоянии. Структура области будет
задаваться теми микросостояниями частиц, при которых энтропия области
достигает максимума, а ее свободная энергия – минимума. Таким образом,
переменное во времени векторное поле с нулевыми значениями расходимо-
сти и завихренности вынуждает частицы локальной области осциллировать
между двумя зонами микросостояний [5]. Внешний вид границы определя-
ется выполнением соотношения (21).
5. Заключение
Использование разновидности кватернионного исчисления при описании
необратимых процессов в синергетических системах позволяет не только
обосновать применение модели Онзагера, но и провести классификацию со-
стояний локально-равновесных и слабонеравновесных состояний выделен-
ных областей, а также возникающих структур. Отличительной чертой пред-
лагаемого подхода является естественность возникновения ветвления необ-
ратимых процессов ввиду различия ориентации векторных составляющих
кватернионов. В развитом формализме получено обобщение теоремы
Гельмгольца на случай, когда соленоидальное поле изменяется с течением
времени. Кватернионное описание неравновесных состояний позволяет вы-
делить ряд стационарных состояний (фрактальные кластеры, домены) и оп-
ределить отличительные черты локального равновесия по отношению к гло-
бальному термодинамическому минимуму.
1. С.В. Терехов, Введение в синергетику, Цифровая типография, Донецк (2009).
2. Б.П. Корольков, Термодинамические основы самоорганизации, ИрГУПС, Ир-
кутск (2011).
3. В.С. Воробьев, С.П. Малышенко, Теплофизика высоких температур 48, 1005
(2010).
4. С.В. Терехов, Моделирование тепловых и кинетических свойств реальных сис-
тем, Вебер, Донецк (2007).
5. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 2, 22 (2012).
6. Ж.И. Алферов, Физика и техника полупроводников 32, № 1, 3 (1998).
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
18
7. В.Ч. Жуковский, В.Д. Кревчик, М.Б. Семенов, А.И. Тернов, Квантовые эффекты в
мезоскопических системах, Ч. 1. Квантовое туннелирование с диссипацией,
МГУ, Москва (2002).
8. М.В. Алфимов, Р.М. Кадушников, Н.А. Штуркин и др., Российские нанотехно-
логии 1, № 1−2, 127 (2006).
9. А.В. Федоров, Физика и технология гетероструктур, оптика квантовых наност-
руктур, СПбГТУ ИТМО, Санкт-Петербург (2009).
10. Н.А. Азаренков, В.М. Береснев, А.Д. Погребняк и др., Наноматериалы, нанопо-
крытия, нанотехнологии, ХНУ им. В.Н. Каразина, Харьков (2009).
11. Я.Е. Гегузин, Диффузионная зона, Наука, Москва (1979).
12. L. Onsager, Phys. Rev. 37, 405 (1931).
13. L. Onsager, Phys. Rev. 38, 2265 (1931).
14. И.П. Базаров, Термодинамика, Высшая школа, Москва (1983).
15. Д.А. Франк-Каменецкий, Диффузия и теплопередача в химической кинетике,
Наука, Москва (1987).
16. А.Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям математической физики,
Физматлит, Москва (2001).
17. Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного анализа, Наука, Москва
(1965).
18. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике, Наука, Москва (1973).
19. С.В. Терехов, ФТВД 16, № 2, 55 (2006).
20. И.Л. Кантор, А.С. Солодовников, Гиперкомплексные числа, Наука, Москва (1973).
21. А.Г. Самойлович, Термодинамика и статистическая физика, Гостехтеориздат,
Москва (1955).
22. П. Гленсдорф, И. Пригожин, Термодинамическая теория структуры, устойчи-
вости и флуктуаций, Мир, Москва (1973).
23. Ю.Л. Климонтович, УФН 158, № 1, 59 (1989).
24. Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, Мир, Москва (1979).
25. С.В. Алексеенко, П.А. Куйбин, В.Л. Окулов, Введение в теорию концентриро-
ванных вихрей, Институт теплофизики СО РАН, Новосибирск (2003).
26. С.В. Терехов, Фракталы и физика подобия, Цифровая типография, Донецк (2011).
27. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 1, 33 (2012).
28. А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов, Векторный анализ и начала тензорного исчисле-
ния, Вища школа, Харьков (1986).
29. Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Введение в нелинейную физику: от маятника до
турбулентности и хаоса, Наука, Москва (1988).
S.V. Terekhov, I.K. Loktionov
UNIVERSALITY OF SYNERGETICS LAWS.
III. EXTENSIVE THERMODYNAMICS AND KINETICS
OF THE PROCESSES
Small deviation of the macroscopic system from thermodynamics equilibrium is ac-
companied by appearance of spatial periodicity. Every emerged microscopic area is lo-
cated in the state of local thermodynamics equilibrium, or evolves in vicinity. The last
case requires to distinguish extensive and non-extensive areas.
Физика и техника высоких давлений 2013, том 23, № 4
19
There are small gradients of extensive parameters in the areas of the first type. These
parameters are selected as independent arguments at description of behavior of the system
in the thermodynamics space. The areas of the second type are formed by small gradients
of intensive descriptions (thermodynamics potentials). In this case, internal thermody-
namics forces form two levels limiting possible oscillation of the system.
Thus, non-equilibrium arises up both as a result of changed position of the system in
the thermodynamics space of extensive parameters and due to the change of the field po-
tentials originating internal thermodynamics forces. Therefore realization of the detailed
analysis is expedient within the framework of extensive thermodynamics of the fields of
different characteristics of the system and processes of self-organizations at small devia-
tion of the system from equilibrium.
The existing models of the non-equilibrium phenomena and processes have a number
of defects. For example, classification of steady-states of the system at a small deviation
from position of thermodynamics equilibrium have not been conducted and the role of
kinetic streams has not been found out. The theory of quaternions of Hamilton and vector
algebra of Gibbs was therefore applied. They allowed not only to classify local areas but
also to get a number of new results:
– substantiation of Onsager model application;
– generalization of Helmholtz theorem about the presentation of any vector as a sum
of potential and solenoid fields;
– evolutional equation for the stream of an extensive parameter;
– system of the constrained equalizations, one of consequences of which is possibility
of existence of hierarchy of processes, et al.
In addition, the offered model allows setting distinctive signs and distinguishing the
different steady-states of the thermodynamics system. The transition of the system from
one steady-state to another is accompanied by the change of structure of the macroscopic
system.
The obtained correlations are of universal character and do not depend on the physical
nature of the thermodynamics system. Universality is a consequence of scale invariance,
i.e. it represents fractal nature of the physical level of existence of matter.
Keywords: thermodynamics force, stream, extensiveness, steady-state, self-organization
|