Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика
Исследовано влияние вакансий на формирование состояния синергетической системы при ее удалении от положения термодинамического равновесия. Указано на фрактальную природу спектра флуктуаций, возникающих в системе, и отмечено изменение поведения частиц в зависимости от показателя степени частоты в спе...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2014
|
| Назва видання: | Физика и техника высоких давлений |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69685 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 1. — С. 5-24. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-69685 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-696852014-10-19T03:01:45Z Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика Терехов, С.В. Исследовано влияние вакансий на формирование состояния синергетической системы при ее удалении от положения термодинамического равновесия. Указано на фрактальную природу спектра флуктуаций, возникающих в системе, и отмечено изменение поведения частиц в зависимости от показателя степени частоты в спектральной плотности шумов. Проанализированы виды распределений частиц и показано, что подавление активности частиц порождает степенные распределения, характеризующиеся различными видами динамики. Отмечено, что энтропия Цаллиса описывает разбиение системы на локально-равновесные области, в которых частицы обладают энергией из очень узкого интервала. Получены выражения для свободных энергий и уравнения состояния в различных предельных случаях существования локально-равновесной области, в которой частицы подчиняются статистике Максвелла–Больцмана или статистике «деформированных» ячеек Цаллиса. Досліджено вплив вакансій на формування стану синергетичної системи при її видаленні від положення термодинамічної рівноваги. Вказано на фрактальну природу спектра флуктуацій, що виникають у системі, і відмічено зміну поведінки часток залежно від показника міри частоти в спектральній щільності шумів. Проаналізовано види розподілів часток і показано, що пригнічення активності часток породжує степеневi розподіли, що характеризуються різними видами динаміки. Відмічено, що ентропія Цалліса описує розбиття системи на локально-рівноважні області, в яких частки мають енергію з дуже вузького інтервалу. Отримано вирази вільної енергії для різних видів вакансій і рівняння стану нерівноважної системи, що складається з «деформованих» осередків. Substantial deviation of the state of a synergetics system from the position of thermodynamics equilibrium is accompanied by development of stochastic transients, destroying properties of ergodicity, additiveness and local equilibrium. Adaptation of the system in the changing external terms generates the spectrum of different fluctuations (noises), increase in the number of defects, appearance of «long-tailed» energy distributions of particles and self-organization, resulting in modification of the structure or the aggregate state. Succession of kinetic processes determining the evolutional state of the system depends on the temporal constituent of fluctuations, which is fractal noise. The spectral density of nascent noise is proportional to the frequency to some extent. This index determines the color of noise and the character of the processes ranging from suppression of nascent fluctuations to catastrophic destruction of the system. 2014 Article Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 1. — С. 5-24. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 05.70.Ln, 05.70.Np, 47.53.+n, 81.05.Tp http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69685 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследовано влияние вакансий на формирование состояния синергетической системы при ее удалении от положения термодинамического равновесия. Указано на фрактальную природу спектра флуктуаций, возникающих в системе, и отмечено изменение поведения частиц в зависимости от показателя степени частоты в спектральной плотности шумов. Проанализированы виды распределений частиц и показано, что подавление активности частиц порождает степенные распределения, характеризующиеся различными видами динамики. Отмечено, что энтропия Цаллиса описывает разбиение системы на локально-равновесные области, в которых частицы обладают энергией из очень узкого интервала. Получены выражения для свободных энергий и уравнения состояния в различных предельных случаях существования локально-равновесной области, в которой частицы подчиняются статистике Максвелла–Больцмана или статистике «деформированных» ячеек Цаллиса. |
| format |
Article |
| author |
Терехов, С.В. |
| spellingShingle |
Терехов, С.В. Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика Физика и техника высоких давлений |
| author_facet |
Терехов, С.В. |
| author_sort |
Терехов, С.В. |
| title |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| title_short |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| title_full |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| title_fullStr |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| title_full_unstemmed |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| title_sort |
универсальность синергетических законов. iv. энтропия цаллиса и неэкстенсивная термодинамика |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/69685 |
| citation_txt |
Универсальность синергетических законов. IV. Энтропия Цаллиса и неэкстенсивная термодинамика / С.В. Терехов // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 1. — С. 5-24. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. |
| series |
Физика и техника высоких давлений |
| work_keys_str_mv |
AT terehovsv universalʹnostʹsinergetičeskihzakonovivéntropiâcallisaineékstensivnaâtermodinamika |
| first_indexed |
2025-07-05T19:08:51Z |
| last_indexed |
2025-07-05T19:08:51Z |
| _version_ |
1836835177292103680 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
© С.В. Терехов, 2014
PACS: 05.70.Ln, 05.70.Np, 47.53.+n, 81.05.Tp
С.В. Терехов
УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ.
IV. ЭНТРОПИЯ ЦАЛЛИСА И НЕЭКСТЕНСИВНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 25 февраля 2013 года
Исследовано влияние вакансий на формирование состояния синергетической систе-
мы при ее удалении от положения термодинамического равновесия. Указано на
фрактальную природу спектра флуктуаций, возникающих в системе, и отмечено
изменение поведения частиц в зависимости от показателя степени частоты в
спектральной плотности шумов. Проанализированы виды распределений частиц и
показано, что подавление активности частиц порождает степенные распределе-
ния, характеризующиеся различными видами динамики. Отмечено, что энтропия
Цаллиса описывает разбиение системы на локально-равновесные области, в кото-
рых частицы обладают энергией из очень узкого интервала. Получены выражения
для свободных энергий и уравнения состояния в различных предельных случаях суще-
ствования локально-равновесной области, в которой частицы подчиняются стати-
стике Максвелла–Больцмана или статистике «деформированных» ячеек Цаллиса.
Ключевые слова: флуктуация, функция распределения, энтропия Цаллиса, вакан-
сия, дефект, свободная энергия, неравновесность, уравнение состояния
Досліджено вплив вакансій на формування стану синергетичної системи при її ви-
даленні від положення термодинамічної рівноваги. Вказано на фрактальну природу
спектра флуктуацій, що виникають у системі, і відмічено зміну поведінки часток
залежно від показника міри частоти в спектральній щільності шумів. Про-
аналізовано види розподілів часток і показано, що пригнічення активності часток
породжує степеневi розподіли, що характеризуються різними видами динаміки.
Відмічено, що ентропія Цалліса описує розбиття системи на локально-рівноважні
області, в яких частки мають енергію з дуже вузького інтервалу. Отримано вира-
зи вільної енергії для різних видів вакансій і рівняння стану нерівноважної системи,
що складається з «деформованих» осередків.
Ключові слова: флуктуація, функція розподілу, ентропія Цалліса, вакансія, дефект,
вільна енергія, нерівноважність, рівняння стану
1. Введение
Существенные отклонения состояния открытой системы от положения
термодинамического равновесия приводят к: возникновению протяженно- и
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
6
длительно-корреляционных взаимодействий между отдельными частями
системы; разрушению свойств эргодичности, аддитивности и локальной
равновесности; снижению производства энтропии; фрактализации внутрен-
него строения и протекающих процессов; поиску системой нового устойчи-
вого энерго-вероятностного состояния; перебору возможных конфигураций
структуры и агрегатных состояний [1,2]. Корреляции в расположении и
движении частиц порождают большое число долгоживущих коллективных
мод и приводят к появлению универсальных качеств. Например, все системы
с «медленной» динамикой обладают повышенной чувствительностью своего
макроскопического поведения по отношению к флуктуациям (шумам) вне
зависимости от природы исследуемого объекта. Системами с «медленной»
динамикой являются: пластически деформированный материал с дефектами
[3]; электронная подсистема в металле, подверженном ионизирующему об-
лучению [4,5]; турбулентный поток [6]; неупорядоченные среды типа стекла
[7]; системы с растущими доменами [8] и др.
На микроскопическом уровне организации синергетическая система со-
стоит из большого числа взаимодействующих, подвижных и неточечных
частиц (атомов, молекул, ассоциатов и т.д.). Взаимодействие частиц в клас-
сической механике [9] определяется потенциальной функцией, зависящей от
взаимного расположения частиц в пространстве. При этом зачастую не рас-
сматривают потенциалы гироскопических сил [10, с. 16–20], порождаемых
вращением, и векторные потенциалы соленоидальных полей (согласно тео-
реме Гельмгольца (см., напр., [11, с. 209–220])), ответственные за возникно-
вение вихревых движений. Потенциальная функция задает рельеф (силовое
поле), который вынуждает частицы перераспределяться в пространстве.
Подвижность частиц не дает им оседать в локальных минимумах («ямах»)
рельефа, а на макроуровне порождает флуктуации интенсивных и экстен-
сивных характеристик системы [12].
В начальный момент времени частицы расположены в заданных точках
пространства и имеют определенные скорости. В пределе бесконечно боль-
ших времен перестройка системы приводит к потере информации о началь-
ных условиях (термализация системы), изменению формы сохраняющегося
по величине фазового объема системы и отысканию глобального минимума
(динамического фокуса системы), соответствующего состоянию термодина-
мического равновесия. Равновесное состояние устойчиво по отношению к
флуктуациям характеристик системы, и длительность его существования
обеспечивается обратимостью процессов, протекающих в синергетической
системе. Это, в свою очередь, приводит к сохранению энтропии, т.е. к ста-
ционарности хаотических и детерминистических движений [13].
Флуктуации являются инструментом самонастройки синергетической
системы на заданные условия существования (совокупность аттракторов,
репеллеров и слиперов [14, с. 87] в многомерном фазовом пространстве, оп-
ределяемая видом потенциальной функции). Механизмы ухода из состояния
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
7
термодинамического равновесия и дальнейшая эволюция к новому стацио-
нарному состоянию связаны с протеканием случайных процессов, вынуж-
дающих систему обмениваться частицами и информацией с окружающей
средой, изменять внутреннюю структуру (принцип возрастания энтропии) и
диссипировать энергию (вплоть до смены агрегатного состояния).
Временная составляющая флуктуаций является фрактальным шумом,
спектральная плотность S(ν) которого пропорциональна частоте ν–α [13].
Показатель степени α определяет «цвет» сигнала и является индикатором
корреляционной связи между прошлым и настоящим состояниями системы
[14]. Его изменение указывает на смену кинетических процессов, опреде-
ляющих эволюционное состояние системы. Поэтому рассмотрим режимы
функционирования синергетической системы при изменении показателя
степени α.
При значении α = –1 (синий (голубой) шум) происходит подавление рас-
тущих флуктуаций, термодинамическое равновесие системы определяется ее
средними характеристиками и является устойчивым, а поведение системы –
эргодическим. Напомним, что система называется эргодической, если сред-
нее значение характеристики системы по ансамблю частиц совпадает с ее
средним значением за определенный период времени при стремлении числа
частиц и периода к бесконечности [15]. Увеличение параметра α до 0 (белый
шум) сопровождается отсутствием «памяти» о предыдущих состояниях,
случайным блужданием атомов (молекул) по объему системы, оптимизаци-
ей расстояний между атомами (молекулами) межчастичными взаимодейст-
виями.
Системы с «медленной» динамикой порождают шумы со спектральной
плотностью S(ν) ∝ ν–1
(розовый шум, шум мерцания или фликкер-шум) [16].
Розовый шум возникает в окрестности состояния самоорганизованной кри-
тичности, теоретическое описание которой предложено в работе [17]. Он
представляет собой очередь из коррелированных по времени, низкочастот-
ных и высокоэнергетичных флуктуаций, что указывает на персистентный
(трендоустойчивый) характер протекающих процессов и возникающих
структур в синергетической системе. В работах [18,19] было показано, что
распределение флуктуаций по длительности и размерам имеет степенной
вид. Шум мерцания индуцирует структурно-скейлинговые и кинетические
переходы, обеспечивающие консенсус между процессами минимизации
внутренней энергии и максимизации энтропии.
Появление в системе шумов с показателем степени α > 1 отвечает про-
цессам, которые формируют короткие и длинные корреляционные связи как
в расположении частиц, так и в их движении. Это, в свою очередь, приводит
к возникновению упорядоченных областей с новой структурой, энергетиче-
ским и геометрическим образами (ячейки Бенара, кольца Тейлора, лаби-
ринтная структура в магнитных пленках (см. рис. 13 в работе [19]), суб-
структуры в пластически деформируемых металлах и т.д.). Приближение
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
8
параметра α к значению 2 (черный шум) отвечает перестройке субструктур
(например, в ЦМД-пленках происходит переход от лабиринтной структуры
к доменной). Превышение параметром α значения 2 отвечает развитию в
системе катастрофических случайных процессов, приводящих к разруше-
нию или глобальной перестройке системы (агрегатные фазовые переходы,
развитие пересекающихся трещин в твердом теле, деление клеток и т.д.).
Таким образом, смена стохастических процессов, сопровождающих эво-
люцию синергетической системы, приводит к формированию новых гео-
метрических, кинетических и энергетических образов системы [20–23].
Флуктуационное воздействие способствует появлению в системе про-
странственно-протяженных ансамблей взаимодействующих частиц и про-
теканию процессов их удержания в рамках ограниченного локального объ-
ема при фиксированной скорости диссипации энергии. Максимальный
диаметр ансамбля частиц значительно превышает среднее значение меж-
частичного расстояния, но гораздо меньше характерного размера возни-
кающих субструктур, который, в свою очередь, значительно уступает про-
тяженности системы.
Самоподстройка системы к изменяющимся внешним условиям порождает
ее самоорганизацию, которая отображает нестационарность стохастических
процессов (возрастает внутренняя энтропия, и уменьшается ее производст-
во), разрушающих свойства эргодичности, аддитивности и локального рав-
новесия. Это приводит к появлению «длиннохвостых» распределений раз-
личных величин, например распределения частиц по энергиям.
2. Виды распределений частиц по энергиям. Энтропия Цаллиса
Широко известным распределением невзаимодействующих частиц p(ε)
по энергии ε при заданной температуре T (по шкале Кельвина) является рас-
пределение Максвелла–Больцмана [24], которое имеет вид
(ε) exp( βε)p A= − , (1)
где коэффициент β = (kBT)–1 = θ–1, kB = 1.3807⋅10–23 J/K – постоянная Больц-
мана. Константу A находят из условия нормировки
ε
(ε) 1p =∑ , (2)
она равна
( ) ( )st
ε
1 exp βμ
exp βε
A = =
−∑
, (3)
здесь μst – химический потенциал невзаимодействующих частиц (в теории
полупроводников – энергия Ферми), который определяется выбором стан-
дартного состояния системы и зависит от давления и температуры. При за-
мене частиц их материальными волнами де Бройля [25] распределение по
энергиям можно описать с помощью непрерывной функции
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
9
( ) exp( )f x x= − , (4)
где введено обозначение x = β(ε – μst). Функция (4) является решением
обыкновенного дифференциального уравнения, представляющего задачу
Коши:
d ( ) ( )
d
f x f x
x
= − , f(0) = 1. (5)
В этой же энергетической системе отсчета квантовые статистики описы-
ваются формулами [24]: распределение Бозе–Эйнштейна (бозоны – частицы
с целым спином)
1( )
exp( ) 1
f x
x
=
−
(6)
и распределение Ферми–Дирака (фермионы – частицы с полуцелым спином)
1( )
exp( ) 1
f x
x
=
+
. (7)
Если функция exp(x) принимает значения, значительно превышающие еди-
ницу, то два последних распределения принимают вид распределения Мак-
свелла–Больцмана. Распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака удов-
летворяют задачам Коши соответственно:
[ ]d ( ) ( ) 1 ( )
d
f x f x f x
x
= − + ,
0
lim ( )
x
f x
→
= ∞ ; (8)
[ ]d ( ) ( ) 1 ( )
d
f x f x f x
x
= − − , f(0) = 0.5. (9)
Уравнения (5), (8) и (9) можно записать в общем виде как частное реше-
ние обыкновенного дифференциального уравнения
[ ]d ( ) ( ) ( )
d
f xa f x a bf x
x
= − − , (0)
1
af
b
=
+
. (10)
Решение уравнения (10) имеет вид
( )
exp( )
af x
x b
=
+
, (11)
где параметр а является масштабным коэффициентом распределения, связан
с равновесностью (а = 1) системы и определяет активность частиц, а пара-
метр b связан со спином образующих систему частиц и задает вид статисти-
ки. При значении параметра а = 1 параметру b = 0 отвечает распределение
(4), а параметрам b = ∓1 – распределения (6) и (7) соответственно.
Легко видеть, что при больших значениях параметра a (a >> bf(x)) функ-
ция распределения удовлетворяет уравнению (5), но с масштабным коэффи-
циентом a. Этот параметр отвечает за перенормировку химического потен-
циала и определяет активность взаимодействующих компонентов системы
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
10
st Bμ μ lnk T a= + . (12)
Из формулы (12) видно, что стандартное состояние μst выбирается при усло-
вии равенства активности частиц a единице [26,27]. При малых значениях
активности частиц a (a << bf(x)) происходит смена распределения максвел-
ловского типа распределением степенного вида, которое с ростом энергии ε
убывает медленнее, чем распределение Максвелла–Больцмана. Малые зна-
чения активности определяются или небольшим числом частиц в ансамбле,
или существенным преобладанием взаимодействия частиц над их тепловой
энергией. Во втором случае возникают сильные корреляционные связи как в
расположении частиц, так и в их мобильности.
Уравнение (10) в фазовой области с малыми значениями активности а за-
меняется задачей Коши вида
d ( ) ( )
d
qf x f x
x
= − , f(0) = 1, (13)
которая при q → 1 определяет решение с асимптотикой в виде распределе-
ния Максвелла–Больцмана. Решение задачи (13) имеет вид
[ ]1/(1 )( ) 1 (1 )( ) qf x q x −= + − − (14)
и называется распределением Цаллиса (Tsallis) [28]. Функция (14) описывает
масштабно-инвариантные системы с фрактальным строением фазового про-
странства [29,30], причем «деформация» вероятности (параметр q) связан с
фрактальной размерностью D соотношением q = 1 – D [31]. В случае муль-
тифрактального [32] строения фазового пространства синергетической сис-
темы этот параметр определяется минимальным αmin и максимальным αmax
индексами Гельдера–Липшица (показателями гладкости функции распреде-
ления) [33]:
min max
1 1 1
1 α αq
= −
−
. (15)
При q < 1 распределение (14) обращается в нуль при значении аргумента
1
1cx
q
=
−
, (16)
т.е. тепловой шум имеет энергетическое ограничение: все флуктуации, для
которых аргумент x превышает (16), подавляются. При q → 1 распределение
(14) вырождается в распределение Максвелла–Больцмана (4). Превышение
параметром q значения единица порождает степенное убывание функции
распределения, связанное с возрастанием роли тепловых и квантовых флук-
туаций, которые при перемешивании образуют шум системы [34].
Безразмерная энтропия Цаллиса из расчета на одну ячейку Больцмана
имеет вид [28]:
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
11
ε
B
1 (ε)
σ
1
q
q
q
p
S
k q
−
= =
−
∑
. (17)
Она обладает свойством псевдоаддитивности, т.е. энтропия системы, со-
стоящей из подсистем A и B, определяется формулой (см., напр., [35]):
σ ( , ) σ ( ) σ ( ) ( 1)σ ( )σ ( )q q q q qA B A B q A B= + + − . (18)
При устремлении параметра q к единице выражение (17) (после применения
правила Лопиталя (см., напр., [36, с. 235]) для раскрытия неопределенности
[0/0] принимает стандартный вид для конфигурационной энтропии Больцмана
1
ε
σ (ε) ln (ε)q p p= = −∑ , (19)
а формула (18) – для сложения энтропий частей аддитивной системы.
Зависимость энтропии Цаллиса от параметра q при заданном распределе-
нии вероятности p(ε) может привести к существованию нового термодина-
мического состояния с локальным максимумом энтропии (параметрический
экстремум). Это состояние может быть лабильным или метастабильным, а
время пребывания системы в нем может принимать довольно большие зна-
чения. Появление параметрического максимума разрушает свойство эрго-
дичности: среднее по ансамблю не будет равно среднему по времени, так
как ансамбли описываются разными функциями распределения с разными
параметрами q. Кроме того, устремление времени и числа частиц к беско-
нечности может привести к различным пределам. Бесконечно большое вре-
мя необходимо для того, чтобы система «забыла» о начальных условиях, а
бесконечно большое число частиц – для стабильности средних характери-
стик ансамбля.
Если система содержит конечное число частиц и попадает в параметриче-
ский экстремум, то она может находиться в нем весьма длительное время, по-
сле чего переходить в термодинамически равновесное состояние. При увели-
чении числа частиц до бесконечности время пребывания в параметрическом
экстремуме может стать конечным, и система быстро приходит к равновес-
ному состоянию. Приготовленные разным способом равновесные состояния
могут существенно отличаться друг от друга. Поэтому выясним, при каком
условии реализуется параметрический экстремум энтропии Цаллиса
( )
ε
σ
0 (ε); (ε) 1q qC p q p
q
∂
= ⇒ =
∂ ∑ , (20)
где коэффициент ( )(ε); 1 (1 ) ln (ε)C p q q p= + − . Для того чтобы состояние
(20) было похоже на термодинамическое равновесие, оно должно иметь ре-
шение, которое отвечает выполнению нормировки (2), т.е.
( ) 1(ε); 1 (1 ) ln (ε) (ε)qC p q q p p −= + − = . (21)
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
12
Вводя замену u = p1–q(ε), перепишем (21) в виде
1 ln u u+ = . (22)
Уравнение (22) имеет очевидное решение u = 1, т.е. p1–q(ε) = 1, которое вы-
полняется при q = 1 (равновесное состояние) или при значении вероятности
p(ε) = 1. Если вероятность попадания ансамбля частиц в заданный диапазон
энергии [ε; ε + dε] близка к единице, то такие ансамбли частиц могут нахо-
диться в состояниях, похожих на термодинамическое равновесие, хотя и
имеют различные значения параметра q.
Близость к единице одной из вероятностей указывает на формирование
дискретной энергетической структуры для каждой из локальных областей
системы, переходы частиц между которыми формируют равновесное состоя-
ние области. Компьютерное моделирование показывает, что случаю p(ε) ≅ 1
отвечает локализация энергетических шумов в окрестности одного из экс-
тремумов внутренней энергии. Таким образом, модель Цаллиса описывает
возникновение локально-равновесных областей с разными конфигурацион-
ными распределениями частиц и почти достоверной реализацией их пара-
метрически «равновесного» состояния.
3. Конфигурационные и активационные вакансии
1. Конфигурационные вакансии. При достаточно низких температурах
(T ≈ 0 K) состояние вещества характеризуется малыми колебаниями частиц
вблизи их равновесных положений и наличием свободного объема, который
можно описать как совокупность конфигурационных вакансий. Их образо-
вание вызывается присутствием в системе квантовых флуктуаций (даже при
температуре, близкой к абсолютному нулю по шкале Кельвина). Квантовый
шум создает энергетически невыгодные состояния для частиц в ячейках, за-
нятых конфигурационными вакансиями. Поэтому их распределение в окре-
стности температуры, близкой к абсолютному нулю по шкале Кельвина,
должно подчиняться статистике, отличной от классической.
Пусть равновесная (аддитивная) система содержит N1 неточечных (объем
ω1, который отображает короткодействующую часть потенциала межатом-
ного взаимодействия) частиц и N0c конфигурационных вакансий (объем
ω0c). Частицы и вакансии обладают парциальными энергиями 1 1 1ε ε μc = −
(химический потенциал частиц μ1 вычисляется по формуле (12), 1ε – парци-
альная энергия невзаимодействующих частиц) и 0 0 1ε ε μc = − ( 0ε – парци-
альная энергия невзаимодействующих вакансий). Парциальные энергии час-
тиц и вакансий связаны между собой соотношением вида (3):
( ) ( )1 0exp βε exp βε 1c c− + − = . (23)
Будем считать, что компоненты (частицы и вакансии) системы занимают
только одну из N = N1 + N0c ячеек [37], на которые разбит объем системы V,
определяемый по формуле
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
13
1 1 0 0ω ω c cN N V+ = . (24)
Микросостояния (ансамбли частиц) отличаются друг от друга переста-
новками тождественных частиц между собой и с вакансиями, однако эти пе-
рестановки не нарушают термодинамического равновесия системы. Поэтому
вероятность Wc реализации такой конфигурации определим распределением
Бернулли [37]:
[ ] [ ]1 0
1 0
0 1
! exp( βε ) exp( βε )
! !
cN N
c c c
c
NW
N N
= − − . (25)
С учетом формулы Стирлинга ( ! exp( )NN N N≈ − ) свободную энергию Fc
системы запишем в виде
1 0θ lnc c c cF W F F= − = + , (26)
здесь свободные энергии корпускулярной F1c и вакансионной F0c подсистем
равны
1
1 1 1ε θ lnc c
NF N
N
⎧ ⎫⎛ ⎞= +⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
, (27)
0
0 0 0ε θ ln c
c c c
NF N
N
⎧ ⎫⎛ ⎞= +⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
. (28)
Так как свободная энергия системы является экстенсивной величиной, т.е.
пропорциональна числу частиц N1 в системе (принцип аддитивности; усло-
вие аддитивности свободной энергии эквивалентно обращению в нуль хи-
мического потенциала вакансий), то вклад вакансионной подсистемы дол-
жен быть равен нулю. Следовательно, равновесное распределение конфигу-
рационных вакансий определяется формулой
0
1 0
1
exp(βε ) 1
c
vc
c
Nc
N
= =
−
. (29)
Формула (29) показывает, что конфигурационные вакансии подчиняются
статистике Бозе–Эйнштейна (6) и образуются при положительных значениях
энергии 0 0 1ε ε μc = − , т.е. при выполнении неравенства 0 1ε μ> . Вблизи
уровня 0 1ε μ≅ наблюдается конденсация Бозе–Эйнштейна. При достаточно
больших значениях парциальной энергии конфигурационных вакансий или
достаточно низких температурах ( 0exp(βε ) 1c >> ) вакансии распределяются
по закону Максвелла–Больцмана. При этом легко показать (см. равенство
(23)), что парциальная энергия частиц ε1c стремится к нулю. В окрестности
равновесного состояния по Цаллису энергия ε0с связана с относительной до-
лей пустых ячеек cvc соотношением, вытекающим из равенства (29):
( ) 1
0
(1 ) 1
ε θ
1
q
vc vc
c
c c
q
−
+ −
=
−
. (30)
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
14
Отметим, что наличие в кристаллической решетке конфигурационной ва-
кансии вызывает локальное искажение решетки (деформация ячеек в малой
окрестности вакансии) и способствует возникновению локального напряже-
ния, препятствующего диффузионному перемещению вакансии [38].
2. Активационные вакансии. Повышение температуры до определенного
уровня увеличивает амплитуду колебаний частиц вблизи их равновесных
положений. Если атом обладает достаточной энергией, то происходит его
активационный уход на ограничивающую поверхность (дефект Шоттки) или
в межузлие кристаллической решетки (пара Френкеля) [38, с. 660–665]. Об-
разование дефекта может индуцироваться квантовым или тепловым шумом.
В зависимости от вида спектральной плотности шума дефектообразование
может носить различный характер: от случайного до катастрофического. В
частности, в твердых телах при катастрофическом режиме наблюдаются та-
кие явления, как образование макропор (эффект Френкеля I рода), развитие
фрактальной сетки микротрещин, разрушение зерен в кристаллических те-
лах, необратимый процесс разрушения самого твердого тела и др. [39,40].
Дефект Шоттки образуется при уходе атома из узла кристаллической
решетки на поверхность системы. Вероятность WSch образования N0Sch акти-
вационных вакансий Шоттки с парциальной энергией ε0Sch равна
[ ] [ ]1 0Sch 0Sch1
Sch 1Sch 0Sch
0Sch 1 0Sch
! exp( βε ) exp( βε )
! ( )!
N N NNW
N N N
−= − −
−
, (31)
здесь ε1Sch – парциальная энергия частицы, участвующей в образовании де-
фекта Шоттки. Используя вышеизложенную методику для термодинамиче-
ского анализа конфигурационных вакансий (формулы вида (26)–(28)), най-
дем, что вклад дефектов Шоттки в свободную энергию системы определяет-
ся формулами
0Sch
1Sch 1Sch 1
1
ε θ ln 1 NF N
N
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎨ ⎬⎜ ⎟
⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
, (32)
0Sch 0Sch
0Sch 0Sch 1Sch 0Sch
1 1
ε ε θ ln ln 1N NF N
N N
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − + − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
. (33)
Свойство аддитивности свободной энергии системы требует обращения в
нуль выражения (33), т.е. распределение дефектов Шоттки имеет вид
( )
0Sch
1 (Sch)
1
exp βε 1a
N
N
=
+
, (34)
где (Sch) 0Sch 1Schε ε εa = − – активационная энергия образования вакансии.
Формула (34) показывает, что дефекты Шоттки подчиняются статистике
Ферми–Дирака (7). При значительном превышении экспонентой единицы
(exp(βεa(Sch)) >> 1) формула (34) совпадает с формулой (19.3) работы [38,
с. 663].
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
15
Дефект (или пара) Френкеля. Появление в кристаллической решетке пары
Френкеля (случайное событие А) является более сложным активационным
процессом, чем образование дефекта Шоттки. Для осуществления события A
необходимо, чтобы атом в узле (общее число атомов в узлах равно N1) обла-
дал достаточной парциальной энергией ε1Fr для совершения прыжка в ме-
жузлие (случайное событие В), и в окрестности узла должно находиться
подходящее межузлие (общее число таких межузлий обозначим через N′) с
парциальной энергией Frε′ для приема атома (случайное событие C), т.е. A = BC.
Следовательно, вероятность WFr(A) образования N0Fr дефектов Френкеля
(при условии независимости случайных событий B и C) с парциальной энер-
гией ε0Fr определяется формулой
Fr Fr Fr( ) ( ) ( )W A W B W C= , (35)
где вероятности WFr(B) и WFr(C) задаются выражениями
[ ]1 0Fr 0Fr1
Fr 1 0FrFr
0Fr 1 0Fr
!( ) exp( βε ) exp( βε )
!( )!
N N NNW B
N N N
−
= − −⎡ ⎤⎣ ⎦−
, (36)
[ ] [ ]0Fr 0Fr
Fr Fr 0Fr
0Fr 0Fr
!( ) exp( βε ) exp( βε )
!( )!
N N NNW C
N N N
′−′
′= − −
′ −
. (37)
Используя формулу вида (26), находим выражения для свободных энергий:
– частиц
0Fr
1Fr 1Fr 1
1
ε θ ln 1 NF N
N
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎨ ⎬⎜ ⎟
⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
, (38)
– межузлий
0Fr
Fr Frε θ ln 1 NF N
N
⎧ ⎫⎛ ⎞′ ′ ′= + −⎨ ⎬⎜ ⎟′⎝ ⎠⎩ ⎭
, (39)
– пар Френкеля
0FrF =
0Fr 0Fr 0Fr 0Fr
0Fr 1Fr Fr 0Fr
1 1
2ε ε ε θ ln ln 1 ln ln 1N N N N N
N N N N
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − − + − − + − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
. (40)
Из требования аддитивности свободной энергии системы следует, что вы-
ражения (39) и (40) обращаются в нуль, т.е. выполняются равенства
0Fr Fr
Fr
exp(βε )
exp(βε ) 1
NN
′
′ =
′ −
, (41)
( )
2
0Fr
(Fr)
1 0Fr 0Fr
exp βε
( )( ) a
N
N N N N
= −
′− −
, (42)
где (Fr) 0Fr 1Fr Frε 2ε ε εа ′= − − – энергия образования пары Френкеля. Формула
(42) совпадает с формулой (19.5) работы [38, с. 663] в случае, когда число
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
16
образующихся вакансий существенно меньше числа частиц N1 и межузлий
N′. Подстановка соотношения (41) в формулу (42) приводит к выражению
( ) ( )
0Fr
1 Fr (Fr) (Fr)
1
exp β(ε ε ) exp βε 1a a
N
N
=
′ + − +
. (43)
Если при температуре T величина Frβε′ является бесконечно малой ( Frβε 1′ << –
число образующихся пар Френкеля существенно меньше числа активиро-
ванных межузлий), а величина (Fr)βεa – бесконечно большой ( (Fr)βε 1a >> –
энергия активации образования дефекта Френкеля значительно превышает
тепловую энергию пары), то выражение (43) принимает вид
( )(Fr)0Fr
1 Fr
θexp βε
ε
aN
N
−
=
′
. (44)
Формула (44) показывает, что процесс образования пар Френкеля характе-
ризуется достаточно медленным увеличением числа дефектов.
Таким образом, появление в системе конфигурационных и активацион-
ных вакансий неразрывно связано с наличием в системе квантового и тепло-
вого шумов. Кроме того, шумы вынуждают флуктуировать термодинамиче-
ские потенциалы [41], которые вызывают появление локальных изменений
плотности и подвижности частиц.
Проведенный анализ показывает, что вакансии не только образуются по
разным механизмам, но и подчиняются разным квантовым статистикам.
Пренебрежение спиновыми эффектами и описание ансамбля вакансий ста-
тистикой Максвелла–Больцмана не обеспечивает неразличимости вакансий,
которая может возникнуть только по истечении продолжительного времени
приготовления термодинамической системы. Кроме того, взаимодействие
частиц (без учета спина) масштабирует их распределение по энергиям путем
изменения их активности.
Стремление системы к глобальному термодинамическому минимуму по-
рождает универсальное свойство аддитивных систем: кинетические процес-
сы протекают в локальных областях и приводят к вытеснению неравновес-
ностей на границы областей. Возникающие при этом различного вида на-
пряжения или изменения других интенсивных потенциалов системы препят-
ствуют эволюции системы, т.е. реализуется принцип локального равновесия.
После установления локальных равновесий система переходит к этапу вы-
равнивания термодинамических потенциалов в локальных областях или ус-
тановления фиксированных скачков этих величин на границах областей [42].
4. Локально-равновесные области с аддитивной
и неэкстенсивной термодинамикой
Отклонение системы от состояния термодинамического равновесия ха-
рактеризуется:
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
17
– появлением шумов различных частот и сопутствующих им вакансий;
– возникновением различий между ансамблями частиц (ансамбли прини-
мают дискретные значения энергии при различных значениях параметра
«деформации» ячейки) и, как следствие, образованием локальных областей с
различной статистикой взаимодействующих частиц;
– существованием параметрического «равновесия»;
– поиском нового термодинамически устойчивого состояния;
– нарушением эргодичности, равновесности распределения вакансионной
и корпускулярной подсистем и свойства аддитивности системы в целом (на-
пример, энтропия системы, состоящей из двух частей, не равна сумме эн-
тропий этих частей – формула (18));
– изменением термодинамических потенциалов системы от точки к точке
пространственно-временного континуума, что сопровождается появлением
термодинамических сил;
– протеканием кинетических и динамических процессов (появлением по-
токов и течений).
Разрушение принципа аддитивности порождает необходимость построе-
ния неэкстенсивной модели явлений, наблюдаемых в синергетических сис-
темах. Неэкстенсивность термодинамического описания подразумевает учет
влияния на выражение для свободной энергии как неравновесности вакан-
сионной подсистемы, так и деформирования ячеек, на которые разбивается
весь объем системы.
Предположим, что число конфигурационных вакансий значительно пре-
вышает число других дефектов, тогда неравновесное состояние синергети-
ческой системы описывается формулами (24)–(26). Случай невзаимодейст-
вующих вакансий (ε0c = 0 – все вакансии расположены на уровне Ферми)
был исследован в работе [37], где была продемонстрирована широкая об-
ласть применения предложенной модели. Кроме того, эта модель в качестве
предельных случаев содержит результаты, полученные другими исследова-
телями. Поэтому она представляет несомненный интерес при описании не-
равновесного состояния синергетической системы.
Прежде чем переходить к построению термодинамической модели нерав-
новесной системы, рассмотрим равенство (23) в рамках подхода Цаллиса.
Для этого представим экспоненты при значении параметра q ≈ 1 в виде фор-
мулы, приведенной в правой части равенства (14), и воспользуемся разло-
жением бинома Ньютона ((1 + x)m ≈ 1 + mx [43, с. 35]). В результате указан-
ных действий получим
1 0ε ε θc c+ = или 01
1 1 1
εε θ 2
μ μ μ
+ − = . (43)
Последнее равенство (43) указывает на существование в энергетическом
пространстве правильного многогранника, топологически эквивалентного
сфере. Выражение аналогичного вида впервые было получено Эйлером (см.,
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
18
напр., [44]). Следовательно, равновесному состоянию по Цаллису (параметр
q ≈ 1) отвечает такая нормировка распределений, при которой в энергетиче-
ском пространстве образуется правильный многогранник.
Неравновесное состояние синергетической системы возникает при раз-
биении системы на локально-равновесные области с аддитивной (q = 1), не-
экстенсивной (q ≠ 1) и смешанной (перемешивание аддитивных и неэкстен-
сивных областей) термодинамикой. В силу того, что система содержит кор-
пускулярную и вакансионную подсистемы, каждая из них может играть до-
минирующую роль в формировании того или иного неравновесного состоя-
ния (равновесная или неравновесная подсистема). Поэтому рассмотрим воз-
можные варианты равновесий в выделенной локальной области синергети-
ческой системы при определенных ограничениях, накладываемых на под-
системы.
4.1. Аддитивная локально-равновесная область
1. Равновесные конфигурационные вакансии. В этом случае распределе-
ние вакансий задается выражением (29), а свободная энергия (28) корпуску-
лярной подсистемы определяет термодинамический потенциал локальной
области. Получим и проанализируем уравнение состояния такой области
(индекс «c» опустим):
1
1
1
0,
θξ
ωN T
F NP N
V N
∂⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
, (44)
где P – общее давление в области; ( )
11 ,ξ ε N TV= − ∂ ∂ – давление, произво-
димое одной частицей за счет изменения парциальной энергии. Если это
давление значительно меньше давления, осуществляемого за счет теплового
движения ( 0ξ θ (ω )N<< ), то состояние системы с учетом определений числа
ячеек N = N1 + N0 и ее объема (24) описывается соотношением
1
0 1 1
θ
(ω ω )
NP
V N
=
+ −
. (45)
При совпадении парциальных объемов частиц и вакансий (ω0 = ω1) выражение
(45) переходит в уравнение Менделеева–Клапейрона (см., напр., [37, с. 68]).
Давление является интенсивной величиной, поэтому оно должно описываться
однородной функцией нулевого порядка по числу частиц N1, т.е. P ~ (N1)0. Сле-
довательно, уравнение (45) (при учете определения объема системы (24)) про-
тиворечит определению интенсивности давления и не может описывать реаль-
ные системы, т.е. оно отображает поведение идеального газа.
Если конфигурационные вакансии обладают значительно меньшим пар-
циальным объемом, чем частицы (ω0 << ω1), или система содержит точеч-
ные вакансии (ω0 → 0), то уравнение (45) принимает вид первого члена
уравнения Ван-дер-Ваальса
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
19
1
1 1
θ
ω
NP
V N
=
−
, (46)
в котором учтено наличие «свободного» объема.
Для случая, когда парциальная энергия частиц обратно пропорциональна
объему системы
1
1
ε с
VN
= − (47)
(коэффициент c связан с парными дальнодействующими взаимодействиями
частиц [45, с. 257]), уравнение (44) описывает газ Ван-дер-Ваальса.
2. Неравновесные конфигурационные вакансии. В этом случае свободная
энергия системы задается формулой (26), которая отображает возникнове-
ние псевдораствора «частицы + вакансии», причем вакансии образуют под-
систему «пустоты» [46]. Отличие от нуля свободной энергии вакансионной
подсистемы указывает на ее неравновесное состояние и нарушение свойства
аддитивности системы. Однако в данном случае на смену аддитивности по
числу частиц возникает более общая «аддитивность» по числу ячеек в сис-
теме, т.е.
[ ]1 1 0 0 1 1 0 0βε βε ln ln θ ( ,ε ,θ)i iF p p p p p p N f p N= + + + = , (48)
где pi = Ni/N – вероятность заполнения наудачу выбранной ячейки вакансией
(i = 0) или частицей (i = 1), причем p0 = 1 – p1; ( ,ε ,θ)i if p – свободная энер-
гия из расчета на одну ячейку.
Пусть выделенная локальная область синергетической системы находится
в параметрически «равновесном» состоянии (см. заключительный абзац
пункта 2), а его реализация не разрушает нормировку вероятностей (23). Не-
равновесность вакансионной подсистемы приводит к отличию от нуля хи-
мического потенциала вакансий, которые в этом случае становятся дополни-
тельным и самостоятельным компонентом синергетической системы. В этой
связи исследуем их влияние на вид свободной энергии и уравнение состоя-
ния системы.
Параметрически «равновесное» состояние реализуется в двух предельных
случаях:
а) вероятность обнаружения частицы в наудачу выбранной ячейке близ-
ка к нулю, т.е. 0βε 1c << ( 0 0exp( βε ) 1 βεc c− ≅ − ). Тогда из равенства (23) сле-
дует, что
0 1ε θexp( βε )c c= − . (49)
Формула (49) показывает, что вакансии обладают малой парциальной
энергией при фиксированной парциальной энергии частиц в области малых
температур или при фиксированной температуре в области больших значе-
ний парциальной энергии частиц (конденсированная среда, содержащая
сильно взаимодействующие между собой частицы). Таким образом, парци-
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
20
альной энергией вакансий можно пренебречь, как это было сделано в работе
[37]. Однако для полноты исследования учтем равенство (49) в выражении
(26) свободной энергии системы (индекс «с» опустим):
01
1 1 0 1 1 0ε θ exp( βε ) θ ln ln NNF N N N N
N N
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
. (50)
Тогда уравнение состояния системы принимает вид
[ ]
1
1 1 1
0 0,
θ1 exp( βε ) ξ ln exp( βε )
ωv
N T
F NP N c
V N
⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎛ ⎞= − = − − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
, (51)
где cv – относительная доля пустых ячеек (см. первое равенство формулы
(29)). В силу того, что exp(–βε1) является бесконечно малой величиной, ее
вклад в выражения (50) и (51) незначителен, т.е. уравнение (51) принимает
вид, найденный при исследовании обобщенной решеточной модели (gener-
alized lattice model – GLM) [47, с. 173–181]:
GLM 1
0 0
θξ ln
ω
NP N
N
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. (52)
Если первое слагаемое в формуле (52) существенно меньше второго, то (52)
переходит в уравнение состояния идеального решеточного газа [48];
б) вероятность нахождения частицы в наудачу выбранной ячейке близка
к единице, т.е. 1βε 1c << ( 1 1exp( βε ) 1 βεc c− ≅ − ). Указанное неравенство вы-
полняется для систем с фиксированной парциальной энергией вакансий в
области достаточно высоких температур или систем, в которых вакансии
обладают достаточно большой парциальной энергией при фиксированной
температуре (разреженный газ, содержащий слабо взаимодействующие ме-
жду собой частицы). Тогда из соотношения (23) следует, что
1 0ε θexp( βε )c c= − или 0 1ε θ ln(βε )c c= − , (53)
а свободная энергия системы (26) принимает вид (индекс «с» опустим)
01
1 1 0 1 1 0ε θ ln(βε ) θ ln ln NNF N N N N
N N
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
. (54)
В этом случае частицы с малой парциальной энергией могут дать сущест-
венный вклад в выражение (54) даже тогда, когда число вакансий значительно
меньше числа частиц. Уравнение состояния локальной области имеет вид
1
0
GLM 1
1 0,
θξ ln(βε )
βε ωN T
NFP P
V
∂⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
, (55)
где давление PGLM определяется равенством (52).
Проведенное исследование показывает, что свободная энергия (48) не
только описывает различные состояния корпускулярно-вакансионной систе-
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
21
мы, но и содержит в качестве предельных случаев ранее полученные резуль-
таты. Поэтому воспользуемся формулами (23) и (48) для описания состояния
локально-равновесной области с неэкстенсивной термодинамикой.
4.2. Локально-равновесная область с неэкстенсивной термодинамикой
Стремлению вакансий к устойчивому распределению при отклонении си-
нергетической системы от положения термодинамического равновесия пре-
пятствует перераспределение частиц. В результате этих процессов происхо-
дит «деформация» ячеек Больцмана при сохранении нормировки вероятно-
стей обнаружения вакансии или частицы в наудачу выбранной ячейке (ра-
венство (23)). Перепишем равенство (23) в рамках подхода Цаллиса (см.
формулу (14)):
[ ] [ ]1/(1 ) 1/(1 )
1 01 (1 )( βε ) 1 (1 )( βε ) 1q qq q− −+ − − + + − − = , (56)
откуда найдем выражение для безразмерной парциальной энергии вакансий
[ ]{ }11/(1 )
1
0
1 1 (1 )( βε ) 1
βε
1
qqq
q
−−− + − − −
=
−
. (57)
Выражение для свободной энергии (формула (48)) по Цаллису принимает вид
11
1 1 0 1 1 1
(1 ) 1
βε βε (1 ) θ ( ,ε ,θ, )
1
q qp p
F p p N f p q N
q
⎡ ⎤+ − −
= + − + =⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
. (58)
Равенство (58) отображает тот факт, что свободная энергия 1 1( ,ε ,θ, )f p q
наудачу выбранной ячейки определяется вероятностью p1 ее занятия части-
цей, взаимодействием и мобильностью частиц (параметр ε1), энергетической
температурой системы θ и параметром «деформации» ячеек q.
При известной зависимости парциальной энергии частиц ε1 от температу-
ры θ и вероятности P1 формулы (57), (58) позволяют исследовать тепловые
свойства вещества. В частности, уравнение состояния локально-равновесной
области имеет вид
1
1 1
1 1 1
0 1,
1 ( ,ε ,θ, )( ,ε ,θ, )
ωN T
F f p qP f p q p
V p
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦
. (59)
Выражение в квадратных скобках формулы (59) представляет собой преоб-
разование Лежандра (см., напр., [14, п. 7.3]), которое используется в механике,
термодинамике, теории фракталов, при исследовании дифференциальных
уравнений гидродинамики и т.п. Например, в классической механике его при-
менение к функции Лагранжа осуществляет переход к формализму Гамильто-
на. В данной модели преобразование Лежандра отображает явление (мульти-)
фрактализации системы, связанное с выбором оптимального состояния, при
удалении системы от положения термодинамического равновесия.
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
22
5. Заключение
Построение термодинамических и кинетических моделей систем, удален-
ных от положения механического, теплового и химического равновесий, яв-
ляется одной из актуальных проблем современной термодинамики. Физика
и геометрия процессов в открытых системах существенным образом отлича-
ется от их аналогов в равновесных системах. Поиск системой нового устой-
чивого состояния приводит к замене евклидовой геометрии на фрактальную,
когда из множества состояний локальных областей выбирается то состоя-
ние, которое более всего подходит для компенсации внешнего воздействия.
Затем происходит подстройка всей системы к состоянию этой локальной об-
ласти, т.е. осуществляется переход в новое стационарное и устойчивое со-
стояние. Его описание на традиционном языке термодинамических потен-
циалов представляет несомненный научный интерес для развития как неэкс-
тенсивной термодинамики, так и кинетики неравновесных процессов.
1. А.И. Олемской, А.В. Хоменко, Синергетика конденсированной среды, СумДУ,
Сумы (2002).
2. Ю.В. Баяндин, В.А. Леонтьев, О.Б. Наймарк, С.Л. Пермяков, Математическое
моделирование систем и процессов № 13, 4 (2005).
3. О.Б. Наймарк, Ю.В. Баяндин, В.А. Леонтьев, С.Л. Пермяков, Физическая мезо-
механика 8, № 5, 23 (2005).
4. В.Е. Новиков, С.С. Моисеев, В.П. Семиноженко, Физика и техника полупровод-
ников 14, 402 (1980).
5. В.Е. Новиков, С.С. Моисеев и др., Радиофизика и радиоастрономия 4, 160 (1999).
6. А.Н. Колмогоров, ДАН СССР 30, 299 (1941).
7. И.Ю. Еремчев, Ю.Г. Вайнер, А.В. Наумов, L. Kador, ФТТ 55, 652 (2013).
8. Г.С. Кандаурова, УФН 172, 1165 (2002).
9. Л.А. Парс, Аналитическая динамика, Наука, Москва (1971).
10. Г. Циглер, Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и
механика сплошной среды, Мир, Москва (1966).
11. Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного анализа, Наука, Москва
(1965).
12. Ю.Г. Рудой, А.Д. Суханов, УФН 170, 1265 (2000).
13. Ш.М. Коган, УФН 145, 285 (1985).
14. С.В. Терехов, Фракталы и физика подобия, Цифровая типография, Донецк (2011).
15. А.И. Ахиезер, С.В. Пелетминский, Методы статистической физики, Наука, Мо-
сква (1977).
16. Ю.Л. Климонтович, Статистическая теория открытых систем, Янус, Москва (1995).
17. P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A38, 364 (1988).
18. В.П. Коверда, В.Н. Скоков, ДАН 420, 610 (2008).
19. В.П. Коверда, В.Н. Скоков, ЖТФ 80, № 3, 9 (2010).
20. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 1, 33 (2012).
21. А. Лихтенберг, Регулярная и стохастическая динамика, Мир, Москва (1984).
22. Г. Хакен, Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся сис-
темах и устройствах, Мир, Москва (1985).
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
23
23. Дж. Николис, Динамика иерархических систем: эволюционное представление,
Мир, Москва (1989).
24. И.А. Квасников, Термодинамика и статистическая физика, Едиториал УРСС,
Москва (2002), т. 2.
25. Л. де Бройль, Революция в физике (Новая физика и кванты), Атомиздат, Москва
(1965).
26. М.И. Шахпаронов, Введение в молекулярную теорию растворов, Гостехтеорет-
издат, Москва (1956).
27. Н.А. Смирнова, Молекулярные теории растворов, Химия, Ленинград (1987).
28. C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52, 479 (1988).
29. P.A. Alemany, Phys. Lett. A235, 452 (1997).
30. А.И. Олемской, Письма в ЖЭТФ 69, 391 (1999).
31. A.I. Olemskoi, A.D. Kiselev, Phys. Lett. A247, 221 (1998).
32. С.В. Божокин, Д.А. Паршин, Фракталы и мультифракталы, НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», Ижевск (2001).
33. M.L. Lyra, C. Tsallis, Phys. Rev. Lett. A235, 452 (1997).
34. В.Ф. Гантмахер, В.Т. Долгополов, УФН 178, 3 (2008).
35. P. Caruso, C. Tsallis, Phys. Rev. E78, 021102 (2008).
36. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов, Математический анализ, МГУ, Мо-
сква (1985).
37. С.В. Терехов, Моделирование тепловых и кинетических свойств реальных сис-
тем, Вебер, Донецк (2007).
38. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Наука, Москва (1978).
39. Ю.П. Райзер, УФН 100, 329 (1970).
40. А. Рузбехани, М.П. Внук, Физическая мезомеханика 8, № 5, 91 (2005).
41. С.В. Терехов, ФТВД 23, № 1, 33 (2013).
42. С.В. Терехов, ФТВД 22, № 2, 22 (2012).
43. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведе-
ний, Физматгиз, Москва (1963).
44. И. Лакатос, Доказательства и опровержения, Наука, Москва (1967).
45. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, Т. 5. Статистическая физи-
ка, Наука, Москва (1976), ч. 1.
46. В.И. Фистуль, В.И. Петровский, Н.С. Рытова, П.М. Гринштейн, Физика и тех-
ника полупроводников 13, 1402 (1979).
47. А.Ю. Захаров, С.В. Терехов, в кн.: Математические задачи химической термо-
динамики, Наука, Новосибирск (1985).
48. Ю.В. Шулепов, Е.В. Аксененко, Решеточный газ. Введение в теорию и избран-
ные приложения, Наукова думка, Киев (1981).
S.V. Terekhov
UNIVERSALITY OF SYNERGETICS LAWS.
IV. TSALLIS ENTROPY AND UNEXTENSIVE THERMODYNAMICS
Substantial deviation of the state of a synergetics system from the position of thermo-
dynamics equilibrium is accompanied by development of stochastic transients, destroying
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 1
24
properties of ergodicity, additiveness and local equilibrium. Adaptation of the system in
the changing external terms generates the spectrum of different fluctuations (noises), in-
crease in the number of defects, appearance of «long-tailed» energy distributions of parti-
cles and self-organization, resulting in modification of the structure or the aggregate state.
Succession of kinetic processes determining the evolutional state of the system de-
pends on the temporal constituent of fluctuations, which is fractal noise. The spectral
density of nascent noise is proportional to the frequency to some extent. This index de-
termines the color of noise and the character of the processes ranging from suppression of
nascent fluctuations to catastrophic destruction of the system.
At fractalization of the system, the law of energy distribution of particles is changed,
being associated with violation of additiveness of entropy in obedience to Tsallis. Such
approach leaves unanswered question about destruction of additiveness of other extensive
parameters, for example, internal energy and volume. The known laws of energy distri-
bution of particles were analysed and their generalized kind was offered regardless of the
statistics of particles. This fact allowed to find out that Tsallis entropy does not take into
account the spin parameters of particles, and power cells are characterized by the coeffi-
cient of «deformation», different from unit. The tendency of this coefficient to unit on the
left is accompanied by suppression of noises with the energy, exceeding the threshold
level. The right-side approach to unit is characteristic for the systems with nonadditive
entropy. The presence of coefficient of «deformation» of power cells allows Tsallis en-
tropy to reach a self-reactance extremum, so existence of local areas is possible, with the
state similar to thermodynamics equilibrium. These states are realized by the ensembles
of particles with different values of the coefficient of «deformation». In-process approach
developed by the author is also shown: the additiveness of all extensive thermodynamics
functions of the number of particles is replaced by additiveness of the number of cells in
the system.
Quantum and thermal noises are the reasons why the part of volume of the synergetics
system remains free of particles, i.e. occupied by vacancies. Vacancies are not only gen-
erated by different mechanisms but also they obey to different quantum statistics. Ignor-
ing spin effects and description of ensemble of vacancies by Maxwell–Boltzmann statis-
tics does not provide the indistinguishability of vacancies, which can arise up only after
expiration of long time of preparation of the thermodynamics system. In addition, co-
operation of particles scales their energy distribution by the change of their activity.
By virtue of that the system contains corpuscular subsystem and subsystem of vacan-
cies, each of them can play the dominant role in forming of one or another non-
equilibrium state of local area with additive or unextensive thermodynamics. In the local
areas of the system with additive thermodynamics, the non-equilibrium state of the sub-
system of vacancies results in a difference from zero of the chemical potential of vacan-
cies which become an additional and independent component of the synergetics system.
In local areas with unextensive thermodynamics, the pressure in the system is related free
energy of a single particle by probability transformation of Legendre. This transformation
represents the phenomenon of (multi-) fractalization of the system, related to the choice
of the optimal state, when the system is far from the position of thermodynamics equilib-
rium.
Keywords: fluctuation, function of distribution, Tsallis entropy, vacancy, defect, free
energy, nonequilibrium, equalization of the state
|