Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений
Разработан алгоритм расчета кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений. Проведено сравнение с данными эксперимента расчетных значений зависимости от давления и температуры теплофизических характеристик систем на основе гибкоцепных линейных полимеров....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2006
|
| Назва видання: | Физика и техника высоких давлений |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70240 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений / А.Я. Бомба, С.С. Каштан, В.В. Клепко, Б.Б. Колупаев, Е.В. Лебедев // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 41-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-70240 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-702402014-11-02T03:01:40Z Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений Бомба, А.Я. Каштан, С.С. Клепко, В.В. Колупаев, Б.Б. Лебедев, Е.В. Разработан алгоритм расчета кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений. Проведено сравнение с данными эксперимента расчетных значений зависимости от давления и температуры теплофизических характеристик систем на основе гибкоцепных линейных полимеров. An algorithm of calculation of isotropic-media kinetic properties by the quasiconformal mapping method has been developed. Experimental and calculated data on the dependence of thermophysical characteristics on pressure and temperature have been compared for the case of systems based on flexible linear polymers. 2006 Article Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений / А.Я. Бомба, С.С. Каштан, В.В. Клепко, Б.Б. Колупаев, Е.В. Лебедев // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 41-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 82.35.Cd, 82.35.Lr http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70240 ru Физика и техника высоких давлений Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Разработан алгоритм расчета кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений. Проведено сравнение с данными эксперимента расчетных значений зависимости от давления и температуры теплофизических характеристик систем на основе гибкоцепных линейных полимеров. |
| format |
Article |
| author |
Бомба, А.Я. Каштан, С.С. Клепко, В.В. Колупаев, Б.Б. Лебедев, Е.В. |
| spellingShingle |
Бомба, А.Я. Каштан, С.С. Клепко, В.В. Колупаев, Б.Б. Лебедев, Е.В. Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений Физика и техника высоких давлений |
| author_facet |
Бомба, А.Я. Каштан, С.С. Клепко, В.В. Колупаев, Б.Б. Лебедев, Е.В. |
| author_sort |
Бомба, А.Я. |
| title |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| title_short |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| title_full |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| title_fullStr |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| title_full_unstemmed |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| title_sort |
исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений |
| publisher |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70240 |
| citation_txt |
Исследование кинетических свойств изотропных сред методом квазиконформных отображений / А.Я. Бомба, С.С. Каштан, В.В. Клепко, Б.Б. Колупаев, Е.В. Лебедев // Физика и техника высоких давлений. — 2006. — Т. 16, № 3. — С. 41-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Физика и техника высоких давлений |
| work_keys_str_mv |
AT bombaaâ issledovaniekinetičeskihsvojstvizotropnyhsredmetodomkvazikonformnyhotobraženij AT kaštanss issledovaniekinetičeskihsvojstvizotropnyhsredmetodomkvazikonformnyhotobraženij AT klepkovv issledovaniekinetičeskihsvojstvizotropnyhsredmetodomkvazikonformnyhotobraženij AT kolupaevbb issledovaniekinetičeskihsvojstvizotropnyhsredmetodomkvazikonformnyhotobraženij AT lebedevev issledovaniekinetičeskihsvojstvizotropnyhsredmetodomkvazikonformnyhotobraženij |
| first_indexed |
2025-07-05T19:30:04Z |
| last_indexed |
2025-07-05T19:30:04Z |
| _version_ |
1836836511924879360 |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
41
PACS: 82.35.Cd, 82.35.Lr
А.Я. Бомба1, С.С. Каштан1, В.В. Клепко2, Б.Б. Колупаев3, Е.В. Лебедев2
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД
МЕТОДОМ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
1Ровенский государственный гуманитарный университет
ул. Остафова, 31, г. Ровно, 33000, Украина
2Институт химии высокомолекулярных соединений НАН Украины
Харьковское шоссе, 48, г. Киев, 02160, Украина
3Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
пр. Глушкова, 6, г. Киев, 03127, Украина
Статья поступила в редакцию 18 апреля 2006 года
Разработан алгоритм расчета кинетических свойств изотропных сред методом
квазиконформных отображений. Проведено сравнение с данными эксперимента
расчетных значений зависимости от давления и температуры теплофизических
характеристик систем на основе гибкоцепных линейных полимеров.
Введение
Усовершенствование и разработка математических методов, позволяющих
рассчитать кинетические свойства существующих и вновь создаваемых техно-
логических материалов, представляет известный теоретический и прикладной
интерес [1]. При этом изучение механизма процессов переноса энергии и веще-
ства в пространстве и во времени позволит переместить центр тяжести работ по
созданию материалов с прогнозированным комплексом кинетических свойств
из области лабораторного эксперимента в область физических и математиче-
ских исследований. Однако здесь существует немало трудностей, связанных с
решениями задач кинетики энергообмена аналитическими методами [2]. Чтобы
решить поставленные задачи, нередко приходится использовать численные и
другие [3] методы исследования кинетических свойств твердых тел (например,
коэффициента теплопроводности λ, теплоемкостей Cp, СV). Особо следует от-
метить, что развитие ПК стимулирует изучение численной реализации идеи
использования метода конформного и квазиконформного отображения для ре-
шения конкретных типов указанных задач [4,5]. Цель данного исследования – с
помощью численного решения обратных нелинейных краевых задач на кон-
формные и квазиконформные отображения изучить кинетические свойства
изотропных сред на основе поливинилхлорида (ПВХ) и поливинилбутираля
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
42
(ПВБ) как типичных представителей линейных гибкоцепных полимеров, кото-
рые широко используются в науке и технике [6].
Модель
Согласно наиболее строгой модели Кирквуда−Райзмана [5] представим
ПВХ и ПВБ в виде «жемчужного ожерелья», скелетные атомы углерода в
котором изображены в виде «бисерин», а эффективный диаметр сегмента
определяется величиной энергии макромолекулярных связей. При этом над-
молекулярные образования реализуются в виде совокупности микроблоков
или суперсеток с конечным временем жизни τ [6]. Соответственно кинети-
ческие свойства таких систем определяются энергией связи между атомами
цепи главных валентностей, а также между атомами соседних макромоле-
кул. При этом установлено [7], что для рассмотренной системы как сово-
купности структурных подсистем справедливо уравнение теплового баланса
[2], поскольку длина свободного пробега фононов при T < Tg (где Tg − тем-
пература стеклования) ограничивается линейными размерами тела.
Рассмотрим теплоперенос (теплопроводность) в ПВХ и ПВБ. С целью
упрощения решения задачи считаем, что энергообмен осуществляется носи-
телями субстанции одного вида. Выделим из макросистемы некоторый эле-
мент ее площади ∆S (∆S << S, где S − площадь исследуемого образца), пред-
ставляющий собой структурную подсистему. Согласно закону сохранения
энергии найдем величину удельного потока энергии тепловых носителей и
используем уравнение теплового баланса в виде соотношения Фурье с уче-
том, что вектор плотности теплового потока совпадает с направлением гра-
диента температуры T [2].
Из сказанного следует, что для определения количества теплоты, проходя-
щей через поверхность образца, необходимо знать температурное поле внутри
рассматриваемого тела. Таким образом, анализ физического процесса тепло-
переноса и нахождение температурного поля являются главной задачей ис-
следования. Для ее решения рассмотрим кинетику распределения темпера-
турного поля T = T(x, y) в виде криволинейной области Gz = ABCD, ограни-
ченной гладкими кривыми { }1: ( , ) 0AB z x iy f x y= = + = , { }2: ( , ) 0BC z f x y= = ,
( ){ }3: , 0CD z f x y= = , { }4: ( , ) 0DA z f x y= = , ортогональными между собой
в точках их пересечения:
( ) ( ), , , , , , 0Т Тx y Т x y Т
x x y y
∂ ∂ ∂ ∂ λ ψ + λ ψ = ∂ ∂ ∂ ∂
; ABТ Т∗= , *
СDТ Т= ,
d d 0
d dBC DA
Т Т
n n
= = ,
где T1 < T* < T
* < T2, n – внешняя нормаль к соответствующей кривой, λ(x, y,
T, ψ) – коэффициент теплопроводности системы, ψ = ψ(x, y) – изменение те-
плового потока через единицу контурной длины области за единицу време-
(1)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
43
ни. Решение системы (1) общепринятыми методами [1] вызывает опреде-
ленные затруднения. Поэтому, заменив последние два из граничных условий
(1) на соответствующие условия для функции ψ(x, y), квазикомплексно со-
пряженной к функции T(x, y), приходим к задаче на квазиконформное (кон-
формное при λ(x, y, T, ψ) = const) отображение ω = ω(z) = T(x, y) + iψ(x, y)
данной области Gz на соответствующую область квазикомплексного (комплекс-
ного, если λ(x, y, T, ψ) = const) потенциала { }*: , 0G Т Т Т Q∗
ω = ω < < < ψ < :
( ) ( ), , , , , , ,T Tx y T x y T
x y y x
∂ ∂ψ ∂ ∂ψλ ψ = λ ψ = −
∂ ∂ ∂ ∂
, ABT T∗= , CDT T ∗= ,
0ADψ = , BC Qψ = ,
где Q – общие тепловые потери среды. Соответствующая ей обратная
краевая задача на квазиконформное отображение z = z(ω) = x(T, ψ) + iy(T, ψ)
области Gω на Gz при неизвестном Q запишется в виде
( ) ( ) ( )1, , , , , ,
, , ,
x y x yx y T T G
T x y T T ω
∂ ∂ ∂ ∂= λ ψ = − ψ ∈
∂ ∂ψ ∂ψ λ ψ ∂
; (3)
( ) ( )
( ) ( )
1 3
2 4
( , ), ( , ) 0, ( , ), ( , ) 0, 0 ,
( , ), ( , ) 0, ( ,0), ( ,0) 0, .
f x T y T f x T y T Q
f x T Q y T Q f x T y T T T T
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
ψ ψ = ψ ψ = ≤ ψ ≤
= = ≤ ≤
(4)
В случае, когда ( ) ( ), , , ,x y T Tλ ψ = λ ψ , имеем
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
( , )
( , ) ( , ) ( , ) 0,
( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , ) 0.
( , )
Tx x x xT T T
T TT
Ty y y yT T T
T TT
ϕ
ψ
ϕ
ψ
′ λ ψ∂ ∂ ∂ ∂′+ λ ψ − + λ ψ λ ψ = λ ψ ∂ ∂ψ∂ ∂ψ
′λ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ′+ λ ψ − + λ ψ λ ψ = λ ψ ∂ ∂ψ∂ ∂ψ
(5)
Разностный аналог уравнений (4) и (5) для равномерной сетевой области
( ){ ,i jG Tγ
ω = ψ : , iT T Ti∗= + ∆ 0, +1;i m= ,j jψ = ∆ψ 0, +1;j n= ,1
T TT m
∗
∗−∆ = +
,1
Q
n∆ψ =
+ }, ,T m n∆γ = ∈∆ψ N запишем в виде [8]:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
,2 2
1, 1, , , , , 1 , 1 1, 1,,
,
2 2 2 2 2 2
, , 1 , 1 1, 1, , , , , 1 , 1
,
, , 1 , 1,
2 1
2
0, 2 1
2
i j
i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j
i j
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j
i j
i j i j i ji j
i
Tx x x x x x x
x x y y y y y
T y y
ϕ
+ − ψ + − + −
− + + − − +
ϕ
ψ + −
′λ ∆ ′ + − +γ λ + γλ λ − − − +
λ
+γ λ + = + − + γ λ + γ λ + +
′λ∆ ′+ γλ λ − −
λ
( )1, 1,
,
0, = 1, , = 1, ;i j i j
j
y y i m j n+ −
− =
(2)
(6)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
44
( ) ( )
( ) ( )
1 0, 0, 3 1, 1,
2 , 1 , 1 4 ,0 ,0
, 0, , 0, 0, +1,
, 0, , 0, 0, +1;
j j m j m j
i n i n i i
f x y f x y j n
f x y f x y i m
+ +
+ +
= = =
= = =
(7)
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
1 0, 0, 1, 0, 1 0, 0, 1, 0,
3 1, 1, , 1, 3 1, 1, , 1,
2 , 1 , 1 , , 1 2 , 1 , 1 , , 1
4 ,0 ,0 ,1 ,0
, , 0,
0, +1,
, , 0,
, , 0,
,
j j j j j j j jx y
m j m j m j m j m j m j m j m jx y
i n i n i n i n i n i n i n i nx y
i i i ix
f x y y y f x y x x
j n
f x y y y f x y x x
f x y y y f x y x x
f x y y y f
+ + + + + +
+ + + + + +
′ ′− − − =
=
′ ′− − − =
′ ′− − − =
′ − − ( )( )4 ,0 ,0 ,1 ,0
0, +1,
, 0,i i i iy
i m
x y x x
=
′ − =
( )( )
,
1 1, 0 ,
2 2
1 1
1 1
m n
i j i j
m n = + +
γ =
+ + λ∑ ×
×
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1, , 1, , 1, 1 , 1 1, 1 , 1
2 2 2 2
, 1 , , 1 , 1, 1 1, 1, 1 1,
i j i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j i j i j
x x y y x x y y
x x y y x x y y
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
− + − + − + −
− + − + − + −
, (9)
где , , ,( , ), ( , ), ( , ).i j i j i j i j i j i jx x Т y y Т Т= ψ = ψ λ = λ ψ
Согласно [8] алгоритм решения задачи строим по разностному аналогу
уравнений (6)−(8), определенным граничными условиями, условиям ортого-
нальности и квазиконформного подобия, проверяя выполнение неравенства
( 1) 1kD +
∗− < ε , ( 1) ( )
, ,
k k
i j i jD D+ − < ε , (10)
где
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1, 1 , 1, 1 ,
, 2 2
, 1 1, , 1 1,
i j i j i j i j
i j
i j i j i j i j
x x y y
D
x x y y
+ + + +
+ + + +
− + −
=
− + −
– отношение длин диагоналей
четырехугольной криволинейной области исследуемого образца;
( ) ( )
,
,
, 0
1
1 1
m n
i j
i j
D D
m n =
=
+ + ∑ , 0, 0∗ε > ε > .
Условиями окончания расчета являются
( )( 1) ( ) ( 1) ( )
, , , ,
, ,
max ,
,
k k k k
i j i j i j i j
i j i j z
x x y y
x y G
+ +− − < ε
∈∂
, ( 1) ( )k kQ Q+ − < ε . (11)
Эксперимент, результаты и их обсуждение
В качестве объектов исследования выбраны ПВХ марки С-65 и ПВБ мар-
ки ПШ [5]. Образцы готовили в Т−р-режиме при Т = 393 K и р = 10.0 MPa.
Температурную зависимость λ и Cp определяли с помощью модифициро-
ванных установок ИТ-λ-400 и ИТ-С-400 при T = 3427−1000°C [5] и скорости
(8)
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
45
нагрева образцов v = 3 deg/min. В качестве наполнителя использовали высо-
кодисперсный вольфрам W с диаметром частиц (5−7)·10−6 m.
Описанный выше алгоритм численного решения сформулированной за-
дачи реализован в виде пакета программ для ПК, а расчетные и эксперимен-
тальные значения λ(х, у, Т) и Cp(х, у, Т) систематизированы в виде табл. 1. С
учетом (4), (5) и (9) получаем
( ) ( )
( , , )d ( , )d
( , , ) l T
р
х у Т l x y T
С х у Т
mv
λ
=
∫ ∫
(12)
(где т – масса образца).
Таблица 1
Расчетные и экспериментальные значения λλλλ и Ср для ПВХ и ПВБ
λ, J·m−1·s−1·K−1 Ср·103, J·kg−1·K−1
Образец Т, K
эксперимент расчет эксперимент расчет
293 – 0.150 0.96 0.96
303 0.151 0.156 1.00 0.98
313 0.157 0.160 1.12 1.10
323 0.162 0.161 1.16 1.15
333 0.171 0.168 1.20 1.26
343 0.173 0.171 1.22 1.28
353 0.164 0.169 1.35 1.36
363 0.161 0.166 1.51 1.60
ПВХ
373 0.159 0.162 1.53 1.55
293 0.210 0.210 1.20 1.20
303 0.213 0.215 1.30 1.26
313 0.230 0.225 1.40 1.36
323 0.237 0.235 1.44 1.47
333 0.240 0.240 1.42 1.45
343 0.235 0.230 1.44 1.47
353 0.227 0.230 1.48 1.48
363 0.215 0.220 1.50 1.52
ПВБ
373 0.190 0.200 1.47 1.50
Характер температурной зависимости величины теплоемкости исследуе-
мых материалов можно представить как
( ){ }
1 0
2 1 max
2 max
( , , ) , ,
( , , ) ( , , ) ( , , )exp , ,
( , , ) , ,
c
р c c
С х у Т С аТ T T
С х у Т С х у Т C х у Т T T T T T
С х у Т T T T
= + <
= = α − ≤ <
+ ξ >
где для ПВХ: C0 = Cp(293 K) = 0.96·103 J·kg−1·K−1, а = 8.0·10−4 J·kg−1·K−2, α =
= 2.0·10−3 K−1, ξ = 3.0·10−3 J·kg−1 K−2, Тс = 359 K;
для ПВБ: C0 = Cp(293 K) = 1.20·103 J·kg−1·K−1, а = 1.2·10−4 J·kg−1·K−2, α =
= 3.0·10−3 K−1, ξ = 6.0·10−3 J·kg−1 K−2, Тс = 330 K.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
46
Зависимость величины λ от температуры рассчитывали согласно (9) в
области 293 K < Tmax и интерполировали по формуле Симпсона−Лагранжа
[7] к виду
2
0( , , )х у Т АТ ВТλ = λ + + , (13)
где для ПВХ: λ0(293 K) = 0.150 J·m−1·s−1·K−1, А = 1.36·10−4 J·m−1·s−1·K−2,
В = −0.200·10−6 J·m−1·s−1·K−3;
для ПВБ: λ0(293 K) = 0.210 J·m−1·s−1·K−1, А = 7.00·10−4 J·m−1·s−1·K−2,
В = −0.460·10−6 J·m−1·s−1·K−3.
В предположении о статистическом распределении направлений валент-
ных связей и пропорциональности λ всей полимерной сетки значению λ ван-
дер-ваальсовых связей проведен расчет зависимости величины коэффициен-
та теплопроводности системы от внешнего давления в Т−р-режиме согласно
соотношению [9]:
1 d 5.8
dT
λ ∆ = − ∆α λ
,
где ∆α − объемный коэффициент теплового расширения [5].
В табл. 2 представлены результаты зависимости λ ПВБ-систем при Т = 313 K
от величины давления прессования. В области давлений до 120 MPa наблю-
дается некоторый рост теплопроводности, а при давлении 200 MPa величина
λ достигает минимального значения для всех систем. С увеличением содер-
жания наполнителя глубина минимума λ растет, смещаясь в область более
низких давлений.
Таблица 2
Расчетные и экспериментальные значения λλλλ для ПВБ-систем
с различным содержанием наполнителя W (T = 313 K)
р, MPaW, % λ, J·m−1·s−1·K−1
10 60 120 200 300
Эксперимент 0.9 0.9 1.0 0.6 0.830 Теория 0.9 0.9 1.0 0.7 0.9
Эксперимент 0.7 0.7 0.8 0.5 0.610 Теория 0.7 0.7 0.8 0.4 0.5
Эксперимент 0.5 0.5 0.5 0.4 0.45 Теория 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5
Эксперимент 0.4 0.4 0.4 0.3 0.30 Теория 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3
Таким образом, предложенный метод позволяет исследовать действие
внешних силовых и температурных полей на кинетические свойства изо-
тропных тел при хорошем соответствии экспериментальных и теоретиче-
ских результатов.
Физика и техника высоких давлений 2006, том 16, № 3
47
1. А.В. Лыков, Теория теплопроводности, Высшая школа, Москва (1967).
2. H.S. Carslaw, J.G. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford
(1963).
3. Г.И. Марчук, Методы вычислительной математики, Наукова думка, Киев
(1980).
4. А.Я. Бомба, С.С. Каштан, Вісник Львівського національного університету.
Серія: Прикладна математика 2, 3 (2000).
5. Б.С. Колупаев, Релаксационные и термические свойства наполненных полимер-
ных систем, Вища школа, Львов (1980).
6. С.Я. Френкель, И.М. Цыгельный, Б.С. Колупаев, Молекулярная кибернетика,
Свит, Львов (1990).
7. А.Л. Фрадков, УФН 175, 113 (2005).
8. А.Я. Бомба, Волинський математичний вісник 7, 17 (2000).
9. Ю.К. Годовский, Теплофизические методы исследования полимеров, Химия,
Москва (1976).
A.Ya. Bomba, S.S Kashtan, V.V. Klepko, B.B. Kolupaev, E.V. Lebedev
INVESTIGATION OF KINETIC PROPERTIES OF ISOTROPIC MEDIA
BY THE QUASICONFORMAL MAPPING METHOD
An algorithm of calculation of isotropic-media kinetic properties by the quasiconformal
mapping method has been developed. Experimental and calculated data on the depend-
ence of thermophysical characteristics on pressure and temperature have been compared
for the case of systems based on flexible linear polymers.
|