Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах
Рассмотрены вопросы измерения Фурье-спектров сигналов в базисе дискретных экспоненциальных функций. Предложены методы и алгоритмы скользящих измерений энергетических Фурье-спектров сигналов на конечных интервалах. Исследована инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра сдвигу дискретных де...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70536 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах / В.А. Пономарев, О.В. Пономарева // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2014. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-70536 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-705362017-04-10T13:08:36Z Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах Пономарев, В.А. Пономарева, О.В. Системы передачи и обработки сигналов Рассмотрены вопросы измерения Фурье-спектров сигналов в базисе дискретных экспоненциальных функций. Предложены методы и алгоритмы скользящих измерений энергетических Фурье-спектров сигналов на конечных интервалах. Исследована инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра сдвигу дискретных действительных сигналов, не являющихся периодическими. Приведены теоретические и практические результаты анализа инвариантности текущих энергетических Фурье-спектров тональных компонент. Розглянуто питання вимірювання Фур'є-спектрів сигналів в базисі дискретних експоненційних функцій. Запропоновано методи та алгоритми ковзних вимірювань енергетичних Фур'є-спектрів сигналів на скінченних інтервалах. Досліджено інваріантність поточного енергетичного Фур'є-спектра зсуву дискретних дійсних сигналів, які не є періодичними. Наведено теоретичні та практичні результати аналізу інваріантності поточних енергетичних Фур'є-спектрів тональних компонент. The paper deals with the problems of measuring Fourier spectrum of signals in the base of discrete exponential functions. Methods and algorithms of sliding measurements of energy Fourier spectrum of signals on finite intervals were described. The invariance of current energy Fourier spectrum to moving discrete real signals (which are not periodic) were investigated. The authors identify a new effect of digital spectral analysis — the effect of non-invariance of the current energy Fourier spectrum. Theoretical and practical results of analysis of invariance of current energy Fourier spectrum of tonal components are shown. 2014 Article Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах / В.А. Пономарев, О.В. Пономарева // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2014. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 2225-5818 DOI: 10.15222/tkea2014.1.15 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70536 621.391 ru Технология и конструирование в электронной аппаратуре Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системы передачи и обработки сигналов Системы передачи и обработки сигналов |
| spellingShingle |
Системы передачи и обработки сигналов Системы передачи и обработки сигналов Пономарев, В.А. Пономарева, О.В. Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| description |
Рассмотрены вопросы измерения Фурье-спектров сигналов в базисе дискретных экспоненциальных функций. Предложены методы и алгоритмы скользящих измерений энергетических Фурье-спектров сигналов на конечных интервалах. Исследована инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра сдвигу дискретных действительных сигналов, не являющихся периодическими. Приведены теоретические и практические результаты анализа инвариантности текущих энергетических Фурье-спектров тональных компонент. |
| format |
Article |
| author |
Пономарев, В.А. Пономарева, О.В. |
| author_facet |
Пономарев, В.А. Пономарева, О.В. |
| author_sort |
Пономарев, В.А. |
| title |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| title_short |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| title_full |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| title_fullStr |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| title_full_unstemmed |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| title_sort |
инвариантность текущего энергетического фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах |
| publisher |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системы передачи и обработки сигналов |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/70536 |
| citation_txt |
Инвариантность текущего энергетического Фурье-спектра действительных дискретных сигналов на конечных интервалах / В.А. Пономарев, О.В. Пономарева // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2014. — № 1. — С. 15-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| work_keys_str_mv |
AT ponomarevva invariantnostʹtekuŝegoénergetičeskogofurʹespektradejstvitelʹnyhdiskretnyhsignalovnakonečnyhintervalah AT ponomarevaov invariantnostʹtekuŝegoénergetičeskogofurʹespektradejstvitelʹnyhdiskretnyhsignalovnakonečnyhintervalah |
| first_indexed |
2025-07-05T19:44:30Z |
| last_indexed |
2025-07-05T19:44:30Z |
| _version_ |
1836837419667685376 |
| fulltext |
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
15
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
ÓÄÊ 621.391
Д. т. н. В. А. ПОНОМАРЕВ, к. т. н. О. В. ПОНОМАРЕВА
Рîññèÿ, Ижåâñêèé ãîñóдàðñòâåííыé òåõíèчåñêèé óíèâåðñèòåò èмåíè М. Ò. Êàëàшíèêîâà
E-mail: ponva@mail.ru
ИНВАРИАНÒНОСÒЬ ÒЕÊÓЩЕГО ЭНЕРГЕÒИЧЕСÊОГО
ФÓРЬЕ-СПЕÊÒРА ÄЕЙСÒВИÒЕЛЬНЫХ ÄИСÊРЕÒНЫХ
СИГНАЛОВ НА ÊОНЕЧНЫХ ИНÒЕРВАЛАХ
В íàñòîÿщåå âðåмÿ êðóã ïðèëîжåíèé цèфðî-
âîãî Фóðьå-àíàëèзà дèñêðåòíыõ ñèãíàëîâ íà êî-
íåчíыõ èíòåðâàëàõ ïîñòîÿííî ðàñшèðÿåòñÿ. Эòî
îбъÿñíÿåòñÿ, ñ îдíîé ñòîðîíы, ïðåèмóщåñòâà-
мè цèфðîâîé îбðàбîòêè ñèãíàëîâ, ñðåдè êîòî-
ðыõ ãàðàíòèðîâàííàÿ òîчíîñòь, èдåàëьíàÿ âîñ-
ïðîèзâîдèмîñòь ðåзóëьòàòîâ, âыñîêàÿ ïðîèзâî-
дèòåëьíîñòь è ýêîíîмèчíîñòь, ñ дðóãîé ñòîðî-
íы — ïðîâåдåíèåм èíòåíñèâíыõ èññëåдîâàíèé
â дàííîé îбëàñòè ïî ñîздàíèю è ðàзðàбîòêå íî-
âыõ мåòîдîâ.
Вî мíîãèõ ïðèëîжåíèÿõ цèфðîâîé îбðàбîòêå
ïîдâåðãàюòñÿ ñèãíàëы, ýíåðãåòèчåñêèé Фóðьå-
ñïåêòð (ЭФÑ) êîòîðыõ èзмåíÿåòñÿ âî âðåмåíè
[1]. Нàïðèмåð, ñ èзмåðåíèÿмè èõ ЭФС ïðèõî-
дèòñÿ èмåòь дåëî â òàêèõ ïðåдмåòíыõ îбëàñòÿõ,
êàê ðàдèîëîêàцèÿ, âèбðîàêóñòèчåñêàÿ дèàãíî-
ñòèêà, ðàñïîзíàâàíèå è ñèíòåз ðåчè, ïàññèâíàÿ
ãèдðîëîêàцèÿ, бèîмåдèцèíà [1—4]. Сïîñîб, ïî-
зâîëÿющèé ïðîâîдèòь òàêèå èзмåðåíèÿ è íàзы-
âàющèéñÿ ñêîëьзÿщèм ñïåêòðàëьíым èзмåðåíè-
åм, зàêëючàåòñÿ â èзмåðåíèè òåêóщåãî (ñêîëьзÿ-
щåãî) ЭФС ñèãíàëà âî âðåмåííîм îêíå â N îò-
ñчåòîâ, ïðè ýòîм ïåðåд ïîâòîðíым ñïåêòðàëь-
íым èзмåðåíèåм âðåмåííîå îêíî ñмåщàåòñÿ íà
îдèí îòñчåò. Òàêîé ñïåêòð íîñèò íàзâàíèå òåêó-
щåãî (ñêîëьзÿщåãî) ЭФС (ÒЭФÑ).
Зàмåòèм, чòî шèðîêîå ïðèмåíåíèå дèñêðåò-
íîãî ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå дëÿ àíàëèзà ñëó-
чàéíыõ ñèãíàëîâ íà êîíåчíыõ èíòåðâàëàõ âî
мíîãîм îбъÿñíÿåòñÿ òåм, чòî ÒЭФС ïåðèîдè-
чåñêîãî ñèãíàëà, ñîдåðжàщåãî N îòñчåòîâ (дà-
ëåå — N-ïåðèîдèчåñêèé ñèãíàë), èíâàðèàí-
òåí âðåмåííîмó ñдâèãó èñõîдíîãî ñèãíàëà [5,
6]. Одíàêî îбычíî íà ïðàêòèêå èññëåдóåмыé
ñèãíàë íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîдèчåñêèм, ïîñêîëьêó,
Рассмотрены вопросы измерения Фурье-спектров сигналов в базисе дискретных экспоненциальных
функций. Предложены методы и алгоритмы скользящих измерений энергетических Фурье-спектров
сигналов на конечных интервалах. Исследована инвариантность текущего энергетического Фурье-
спектра сдвигу дискретных действительных сигналов, не являющихся периодическими. Приведены
теоретические и практические результаты анализа инвариантности текущих энергетических
Фурье-спектров тональных компонент.
Ключевые слова: дискретный сигнал, конечный интервал, скользящие спектральные измерения, ин-
вариантность текущих энергетических Фурье-спектров, тональные компоненты.
êàê ïðàâèëî, ïåðèîд ñèãíàëà àïðèîðè íå èзâå-
ñòåí, ïîýòîмó íåëьзÿ âыбðàòь êîíåчíыé èíòåð-
âàë àíàëèзà ðàâíым ïåðèîдó èñõîдíîãî ñèãíàëà.
Очåâèдíî, чòî ïîòåðÿ èíâàðèàíòíîñòè ÒЭФС íå-
èзбåжíî ïðèâåдåò ê îшèбêàм мåòîдèчåñêîãî õà-
ðàêòåðà ïðè ðåшåíèè зàдàч îбíàðóжåíèÿ ãàðмî-
íèчåñêèõ êîмïîíåíò è èзмåðåíèÿ èõ ïàðàмåòðîâ.
Пðè ýòîм, êàê ïîêàзыâàåò ïðàêòèêà, íåêîòîðыå
ïðîцåññы è ýффåêòы, âîзíèêàющèå â ïðèëîжå-
íèÿõ цèфðîâîãî ñïåêòðàëьíîãî àíàëèзà, ê ñîжà-
ëåíèю, óñêîëьзàюò îò âíèмàíèÿ èññëåдîâàòåëåé:
â èзâåñòíîé àâòîðàм ëèòåðàòóðå ðàññмîòðåíèå âî-
ïðîñà èíâàðèàíòíîñòè ÒЭФС âðåмåííîмó ñдâè-
ãó ñèãíàëà, íå ÿâëÿющåãîñÿ N-ïåðèîдèчåñêèм,
îòñóòñòâóåò. В íàñòîÿщåé ðàбîòå ñòîÿëà зàдàчà
âîñïîëíåíèÿ ýòîãî ïðîбåëà â òåîðèè ñïåêòðàëь-
íîãî àíàëèзà ïóòåм èññëåдîâàíèÿ èíâàðèàíòíî-
ñòè ÒЭФС дåéñòâèòåëьíыõ дèñêðåòíыõ íåïåðè-
îдèчåñêèõ ñèãíàëîâ íà êîíåчíыõ èíòåðâàëàõ.
Èзмерение Фурье-спектров сигналов на
конечных интервалах в базисе дискретных
экспоненциальных функций
В îñíîâå òåîðèè ñïåêòðàëьíîãî àíàëèзà дèñ-
êðåòíыõ ñèãíàëîâ â ëюбîм êîíåчíîм бàзèñå ëå-
жèò òðè âзàèмîñâÿзàííыõ зàдàчè [1—3]:
— ïðåдñòàâëåíèå ñèãíàëà íà êîíåчíîм мíî-
жåñòâå N òîчåê;
— îïðåдåëåíèå ñдâèãà ñèãíàëà êàê íåêîòîðîé
îïåðàцèè ïî ïåðåñòàíîâêå åãî îòñчåòîâ âíóòðè
êîíåчíîãî èíòåðâàëà;
— îïðåдåëåíèå ñèñòåмы дèñêðåòíыõ бàзèñ-
íыõ фóíêцèé.
Измåðåíèå Фóðьå-ñïåêòðà ñèãíàëà íà êî-
íåчíыõ èíòåðâàëàõ â бàзèñå дèñêðåòíыõ ýêñ-
ïîíåíцèàëьíыõ фóíêцèé îñíîâàíî íà дèñêðåò-
DOI: 10.15222/TKEA2014.1.15
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
16
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
íîм ïðåîбðàзîâàíèè Фóðьå (ÄÏФ), êîòîðîå â
îбычíîé фîðмå зàдàåòñÿ ñëåдóющèм ñîîòíîшå-
íèåм [1, c. 395]:
( ) ( ) ,S k
N
x n W1 –
N N
kn
n
N
0
1
=
=
/
(1)
ãдå – , 0,( –1).expW j
N
k N2
N
π= =c m
Сóщåñòâóåò è îбðàòíîå ïðåîбðàзîâàíèå Фóðьå
(ÎÄÏФ):
( ) ( ) .x n S k W –
–
N N
kn
n
N
0
1
=
=
/
(2)
Сëåдóåò îòмåòèòь, чòî â ðàмêàõ ÄПФ ðåшå-
íы âñå âышåïåðåчèñëåííыå зàдàчè òåîðèè ñïåê-
òðàëьíîãî àíàëèзà дèñêðåòíыõ ñèãíàëîâ íà êî-
íåчíыõ èíòåðâàëàõ:
— ñèãíàë x(n) зàдàåòñÿ íà êîíåчíîм èíòåð-
âàëå , – ;N0 1
— ñдâèã ñèãíàëà x(n) îïðåдåëÿåòñÿ êàê цè-
êëèчåñêàÿ ïåðåñòàíîâêà åãî îòñчåòîâ âíóòðè èí-
òåðâàëà;
— â êàчåñòâå бàзèñíîé îïðåдåëåíà ñèñòåмà
дèñêðåòíыõ ýêñïîíåíцèàëьíыõ фóíêцèé
– ; , 0, –1.exp j
N
kn k n N2π =c m
В ðàмêàõ àïïàðàòà ÄПФ ââîдÿòñÿ ïîíÿòèÿ
ýíåðãåòèчåñêîãî ñïåêòðà GN(k) è ñïåêòðà мîщ-
íîñòè PN(k) [1]:
( )
( )
| ( ) | ;G k
f
P k
N S kN
N
N
2
∆= =
(3)
( ) | ( ) | ,P k S kN N
2= (4)
ãдå Df = 1/N.
Пðè ýòîм ïåðåõîд îò íîðмèðîâàííîé âåëè-
чèíы Df ê «èñòèííîé» Dfèñò îñóщåñòâëÿåòñÿ ñî-
ãëàñíî âыðàжåíèю Dfèñò = Df ⋅ FS, ãдå FS — чà-
ñòîòà дèñêðåòèзàцèè ñèãíàëà x(n).
В ïðàêòèêå ïðèмåíåíèÿ àïïàðàòà ÄПФ íåîб-
õîдèмî óчèòыâàòь ñëåдóющåå:
— ñâîéñòâà ÄПФ ÿâëÿюòñÿ òîчíымè, à íå
ïðèбëèжåííымè, îñíîâàííымè íà ñâîéñòâàõ
ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå íåïðåðыâíыõ ñèãíàëîâ;
— ÄПФ è ОÄПФ «íàâÿзыâàюò» цèêëèчå-
ñêèé ñдâèã ïîñëåдîâàòåëьíîñòÿм âî âðåмåííîé
è чàñòîòíîé îбëàñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî;
— ÄПФ íàðÿдó ñ дîñòîèíñòâàмè èмååò è ðÿд
íåдîñòàòêîâ, ñâÿзàííыõ ñ ïðîÿâëåíèåм ñïåцèфè-
чåñêèõ ýффåêòîâ, ñîïðîâîждàющèõ åãî ïðàêòè-
чåñêîå ïðèмåíåíèå.
Оòмåòèм дâà èз óêàзàííыõ íåдîñòàòêîâ ÄПФ.
1. Êîýффèцèåíòы ÄПФ SN(k) ïîñëåдîâà-
òåëьíîñòè x(n), 0, –1n N= , ðàâíы зíàчåíèÿм
åå дèñêðåòíî-âðåмåííîãî ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå
(ÄÂÏФ) [1, 2] íà åдèíèчíîé îêðóжíîñòè.
Одíàêî ÄПФ íå дàåò îòâåòà íà âîïðîñ, êàêîâы
зíàчåíèÿ ÄВПФ ýòîé ïîñëåдîâàòåëьíîñòè мåждó
òîчêàмè, ïîðîждàÿ òåм ñàмым èзâåñòíыé «ýф-
фåêò чàñòîêîëà».
2. Пðèмåíåíèю ÄПФ ñîïóòñòâóåò òàêжå «ýф-
фåêò ðàзмыâàíèÿ ñïåêòðàëьíыõ ñîñòàâëÿющèõ»
(чàñòî íàзыâàåмыé «ýффåêòîм óòåчêè»): ïðè
âыïîëíåíèè ñïåêòðàëьíîãî àíàëèзà èññëåдóåмîé
фóíêцèè èзмåðÿåòñÿ цèêëèчåñêàÿ ñâåðòêà ñïåê-
òðà èññëåдóåмîé фóíêцèè ñ фóíêцèåé âèдà
( /2)
( / ) ,
sin
sin
N x
N x 2$
êîòîðàÿ íå ëîêàëèзîâàíà, à ðàз-
мыòà ïî чàñòîòå.
Ìетоды и алгоритмы скользящих измерений
Фурье-спектров сигналов на конечных интер-
валах в базисе дискретных экспоненциальных
функций
Одíèм èз мåòîдîâ ðåàëèзàцèè ñêîëьзÿщèõ
ñïåêòðàëьíыõ èзмåðåíèé íà k-é чàñòîòå ÿâëÿ-
åòñÿ èñïîëьзîâàíèå îдíîé ñåêцèè (дëÿ íåñêîëь-
êèõ чàñòîò — íåñêîëьêèõ ñåêцèé) îбîбщåííî-
ãî êîмïëåêñíîãî фèëьòðà íà îñíîâå чàñòîòíîé
âыбîðêè (ФÎЧÂ). В îñíîâå ФОЧВ ëåжèò âîз-
мîжíîñòь ðåàëèзàцèè ÊИХ-фèëьòðà ñ N îòâåò-
âëåíèÿмè â âèдå ïîñëåдîâàòåëьíîãî ñîåдèíåíèÿ
ãðåбåíчàòîãî фèëьòðà è бàíêà èз N êîмïëåêñ-
íыõ ðåзîíàòîðîâ, ñõåмà îдíîé ñåêцèè êîòîðîãî
ïðèâåдåíà íà рис. 1 [1, 3]. Сòðóêòóðà, èзîбðà-
жåííàÿ íà ýòîм ðèñóíêå, ïîзâîëÿåò ýффåêòèâ-
íî îñóщåñòâëÿòь ñêîëьзÿщèå ñïåêòðàëьíыå èз-
мåðåíèÿ íà фèêñèðîâàííîм мíîжåñòâå чàñòîò
{2pk/N}, ãдå 0, –1,k N= N — чèñëî îòñчåòîâ
зàдåðжêè âõîдíîé ïîñëåдîâàòåëьíîñòè x(n) â
ãðåбåíчàòîм фèëьòðå.
Äðóãèм мåòîдîм ïðîâåдåíèÿ ñêîëьзÿщèõ
ñïåêòðàëьíыõ èзмåðåíèé ÿâëÿåòñÿ âычèñëåíèå
k-ãî бèíà ÄПФ (1) â ñêîëьзÿщåм îêíå дëèòåëь-
íîñòью â N îòñчåòîâ:
( ) ( ) ,S k
N
x n m W1( )
–
N
r
N
kn
n
N
0
1
= +
=
/
(4)
ãдå , – ;k N0 1= m = 0, 1, 2, ... — чèñëî îòñчå-
òîâ, íà êîòîðîå îêíî â N îòñчåòîâ ñдâèãàåòñÿ
âïðàâî ïî ñèãíàëó x(n).
Нåîбõîдèмî îòмåòèòь, чòî ïðîâåдåíèå ñêîëьз-
ÿщèõ èзмåðåíèé мåòîдîм фèëьòðàцèè íà îñíîâå
чàñòîòíîé âыбîðêè бîëåå ýффåêòèâíî, чåм мå-
òîдîм ÄПФ. Эòî ñâÿзàíî ñ òåм, чòî ñòðóêòóðà
Рèñ. 1. Сòðóêòóðíàÿ ñõåмà фèëьòðà íà îñíîâå
чàñòîòíîé âыбîðêè
Гðåбåíчàòыé фèëьòð Êîмïëåêñíыé ðåзîíàòîð
x(n) y(n)x1(n)
Z–N Z–1W–k
N–1
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
17
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
ФОЧВ, â îòëèчèå îò ÄПФ, дàåò âîзмîжíîñòь
èñïîëьзîâàòь мåòîд ðåêóððåíòíîãî ðàñчåòà зíà-
чåíèé ñïåêòðà íà âыõîдå êîмïëåêñíîãî ðåзî-
íàòîðà. Äåéñòâèòåëьíî, èз àíàëèзà ñòðóêòóðы
ñåêцèè ФОЧВ (ðèñ. 1) ñëåдóåò, чòî â ýòîм ñëó-
чàå дëÿ âыïîëíåíèÿ ñêîëьзÿщåãî ñïåêòðàëьíî-
ãî èзмåðåíèÿ íà k-é чàñòîòå íåîбõîдèмî (ïîñëå
âыõîдà íà ðåжèм ñêîëьзÿщåãî èзмåðåíèÿ) âы-
ïîëíèòь âñåãî дâà êîмïëåêñíыõ óмíîжåíèÿ íà
âõîдíîé îòñчåò (ïðè âыïîëíåíèè ÄПФ íåîбõî-
дèмî, ñîîòâåòñòâåííî, âыïîëíèòь N êîмïëåêñ-
íыõ óмíîжåíèé).
В [3] ðàññмîòðåí àëãîðèòм îдíîбèíîâîãî
ñêîëьзÿщåãî ÄПФ (ÑÄÏФ), êîòîðыé ïîзâîëÿ-
åò ðåêóððåíòíî âычèñëÿòь зíàчåíèå k-ãî бèíà
N-òîчåчíîãî ÄПФ â ñêîëьзÿщåм îêíå дëèòåëь-
íîñòью N îòñчåòîâ. Эòîò àëãîðèòм бîëåå ýффåê-
òèâåí (ñ òîчêè зðåíèÿ âычèñëåíèé), чåм àëãî-
ðèòм ÄПФ, è ïîзâîëÿåò ïðîâîдèòь ñïåêòðàëь-
íыå èзмåðåíèÿ ñ чàñòîòîé ïðèõîдà îòñчåòîâ âõîд-
íîãî ñèãíàëà.
Сëåдóåò îòмåòèòь, чòî îбщèм íåдîñòàòêîм
âñåõ ðàññмîòðåííыõ мåòîдîâ ñêîëьзÿщèõ ñïåê-
òðàëьíыõ èзмåðåíèé ÿâëÿåòñÿ фèêñèðîâàííîñòь
мíîжåñòâà зíàчåíèé чàñòîò, íà êîòîðыõ мîжíî
îñóщåñòâëÿòь ýòè èзмåðåíèÿ [5].
Рàññмîòðèм âîïðîñ èíâàðèàíòíîñòè ÒЭФС
âðåмåííîмó ñдâèãó âõîдíîãî ñèãíàëà дëÿ дâóõ
âèдîâ åãî ïðîдîëжåíèÿ: «åñòåñòâåííîãî» (ðåàëь-
íîãî) è «èñêóññòâåííîãî», «íàâÿзàííîãî» ÄПФ.
Èнвариантность текущего энергетического
Фурье-спектра дискретных действительных
сигналов
Шèðîêîå ïðèмåíåíèå ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå
ê àíàëèзó ñòàцèîíàðíыõ ïðîцåññîâ è ñèñòåм
ãëàâíым îбðàзîм îñíîâàíî íà фóíдàмåíòàëьíîм
ñâîéñòâå, îòмåчåííîм Н. Вèíåðîм, — ñâîéñòâå
èíâàðèàíòíîñòè ýêñïîíåíцèàëьíîãî бàзèñà ê цè-
êëèчåñêîмó ñдâèãó [1—3].
Вâåдåм ñèмâîëèчåñêîå îбîзíàчåíèå дëÿ ÄПФ
è ОÄПФ цèêëèчåñêîé (N-ïåðèîдèчåñêîé) ïî-
ñëåдîâàòåëьíîñòè x(n), 0, –1n N= :
( ) ( ).x n S kF
N
(6)
Òîãдà òåîðåмó ñдâèãà дëÿ ÄПФ мîжíî зàïè-
ñàòь â ñëåдóющåм âèдå:
åñëè ( ) ( ),x n S kF
N
òî ( ) ( ),x n m W S k–F
N
km
N+ (7)
ãдå 1,2,3 ...; expm W j
N
k2–
N
k π= = c m — ñдâèã
âðå мåííîãî îêíà.
Из дàííîé òåîðåмы íåïîñðåдñòâåííî ñëå-
дóåò èíâàðèàíòíîñòь ýíåðãåòèчåñêîãî ñïåê-
òðà (3) N-ïåðèîдèчåñêîé ïîñëåдîâàòåëьíîñòè
x(n±pN)=x(n), ãдå p = 1, 2, 3, ...; 0, –1,n N=
åå ñдâèãó (íàïðèмåð, ïðè «èñêóññòâåííîм» ïðî-
дîëжåíèè ñèãíàëà, «íàâÿзàííîм» ÄПФ) [6].
Рàзíîñòíîå óðàâíåíèå СÄПФ ñêîëьзÿщåãî
èзмåðåíèÿ íà k-é чàñòîòå Фóðьå-ñïåêòðà дåé-
ñòâèòåëьíîãî дèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(n) ïðè åñòå-
ñòâåííîм åãî ïðîдîëжåíèè è ñдâèãå âðåмåííî-
ãî îêíà íà m îòñчåòîâ, зàïèшåм â ñëåдóющåм
âèдå [3, ñ. 527]:
( ) ( ),S k W S k–
( – )m N
k
m 1= % (8)
ãдå N — чèñëî îòñчåòîâ âî âðåмåííîм îêíå (дëè-
íà îêíà);
S°(m–1)(k) = S(m–1)(k) – x(m–1) + x(m–1+N);
S0(k) = S(m–1)(k)|m=1 — зíàчåíèå íà k-é чàñòîòå
êîýффèцèåíòà ÄПФ ïðè âыõîдå àëãîðèòмà íà
ðåжèм ñêîëьзÿщåãî èзмåðåíèÿ.
Иñïîëьзóÿ òðèãîíîмåòðèчåñêóю фîðмó зà-
ïèñè êîмïëåêñíîãî чèñëà, зàïèшåм Sm–1(k),
S°m–1(k) â ñëåдóющåм âèдå:
Sm–1(k) = |Sm–1(k)| ⋅ [cosjm–1 + j⋅sinjm–1];
S°m–1(k) = |S°m–1(k)| ⋅ [cosj°m–1 + j⋅sinj°m–1],
ãдå |Sm–1(k)| = [{Re[Sm–1(k)]}2 + {Im[Sm–1(k)]}2]0,5;
|S°m–1(k)| = [{Re[Sm–1(k) – х(m–1) + х(m–1+N)]}2 +
+{Im[Sm–1(k)]}2]0,5;
| ( ) |
( )
;
| ( ) |
( )
;cos
Re
sin
Im
S k
S k
S k
S k
–
–
–
–
–
–
m
m
m
m
m
m
1
1
1
1
1
1ϕ ϕ6 6@ @
| ( ) |
( ) – ( – ) ( – )
;cos
Re
S k
S k x m x m N1 1
–
–
–
m
m
m
1
1
1ϕ =
+ +
%
5
6 @
| ( ) |
( )
.sin
Im
S k
S k
–
–
–
m
m
m
1
1
1ϕ = %
5
6 @
Óчèòыâàÿ, чòî
WN
–k
= cosbk + j⋅sinbk;
2 ;
N
kkβ
π= |WN
–k| = 1;
|(a+jb)(c+jd)| = |(a+jb)| ⋅ |(c+jd)|;
Sm(k) = |Sm(k)| ⋅ [cos(j°m–1 + bk) +
+ j⋅sin(j°m–1 + bk)];
|S°m–1(k)| = |Sm(k)|,
ïðåдñòàâèм ðàзíîñòíîå óðàâíåíèå (8) â ñëåдó-
ющåé фîðмå:
Sm(k)=|Sm(k)|⋅[cos(jm–1+bk)+j⋅sin(jm–1+bk)], (9)
ãдå
| ( ) |
( )
.arccos
Re
S k
S k
–
–
–
m
m
m
1
1
1ϕ = %
%
5
6 @
Из ýòîãî ñîîòíîшåíèÿ íåïîñðåдñòâåííî ñëå-
дóåò, чòî зíàчåíèå ÒЭФС дåéñòâèòåëьíîãî ñèã-
íàëà íà k-é чàñòîòå ðàâíî
Gm(k) = N⋅|S°m–1(k)|2 = N⋅[Re (Sm–1(k) –
– x(m–1) + x(m–1+N))]2 + [Im Sm–1(k)]2. (10)
Òàêèм îбðàзîм, ÒЭФС ñèãíàëà íà k-é чàñòî-
òå бóдåò èíâàðèàíòåí âðåмåííîмó ñдâèãó ñèã-
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
18
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
нала, когда в выражении (10) сумма –x(m–1)+
+x(m–1+N) бóдåò ðàâíà íóëю. Чàñòíыé ñëó-
чàé, êîãдà ýòî бóдåò èмåòь мåñòî íà ïðàêòèêå,
ðàññмîòðåí âышå (ñîîòíîшåíèå (7)). В îбщåм
жå ñëóчàå ÒЭФС дåéñòâèòåëьíîãî ñèãíàëà x(n)
íå бóдåò èíâàðèàíòåí âðåмåííîмó ñдâèãó «åñòå-
ñòâåííîãî» («ðåàëьíîãî») ïðîдîëжåíèÿ ñèãíà-
ëà. Нàзîâåм дàííыé ýффåêò (ïî ïðèмåðó óжå
ñóщåñòâóющèõ, íåêîòîðыå èз êîòîðыõ ðàññмî-
òðåíы âышå) «ýффåêòîм íåèíâàðèàíòíîñòè».
Нà рис. 2 ïðèâåдåíà ãðàфèчåñêàÿ èíòåðïðåòà-
цèÿ èзмåðåíèÿ òåêóщåãî ýíåðãåòèчåñêîãî Фóðьå-
ñïåêòðà дèñêðåòíîãî дåéñòâèòåëьíîãî ñèãíàëà.
Èнвариантность текущего энергетического
Фурье-спектра действительных тональных
компонент и их суммы
Рàññмîòðèм èíâàðèàíòíîñòь ÒЭФС дåéñòâè-
òåëьíыõ ãàðмîíèчåñêèõ êîмïîíåíò âèдà
( ) ( ) ,cosx n
N
k q n2π= +; E
(11)
ãдå 0 ≤ q < 1, 1, /2.k N=
Нåòðóдíî âèдåòь, чòî åñëè ïàðàмåòð q, õà-
ðàêòåðèзóющèé «íåñîãëàñîâàííîñòь» ïåðèîдà
ãàðмîíèчåñêîé êîмïîíåíòы ñ èíòåðâàëîм àíà-
ëèзà N, ðàâåí íóëю, òî дåéñòâèòåëьíыé òîíàëь-
íыé ñèãíàë «óêëàдыâàåòñÿ» íà èíòåðâàëå àíà-
ëèзà цåëîå чèñëî ðàз è åãî ÒЭФС èíâàðèàíòåí
âðåмåííîмó ñдâèãó èñõîдíîãî ñèãíàëà. Òî åñòь
â ýòîм ñëóчàå åñòåñòâåííîå ïðîдîëжåíèÿ ñèãíà-
ëà âî âðåмåííîм îêíå бóдåò ñîâïàдàòь ñ цèêëè-
чåñêèм (ïåðèîдèчåñêèм) ïðîдîëжåíèåм ñèãíàëà,
êîòîðîå «íàâÿзыâàåòñÿ» ÄПФ [1, 7—9].
Вышå быëî ïîêàзàíî, чòî дëÿ èíâàðèàíòíî-
ñòè ÒЭФС ïðîèзâîëьíîãî âõîдíîãî ñèãíàëà x(n)
íà k-é чàñòîòå åãî âðåмåííîмó ñдâèãó дîñòàòîч-
íî ðàâåíñòâà íóëю âыðàжåíèÿ
c(m) = x(m–1+N) – x(m–1).
Äëÿ íàшåãî чàñòíîãî ñëóчàÿ ââåдåм фóíêцèю
дâóõ ïåðåмåííыõ с(m,q), àíàëîãèчíóю фóíê-
цèè c(m):
( , ) ( )( – ) –
– ( )( – ) .
cos
cos
c m q
N
k q m N
N
k q m
2 1
2 1
π
π
= + +
+
;
;
E
E
(12)
Пðèмåíèâ òðèãîíîмåòðèчåñêîå òîждåñòâî
ðàзíîñòè êîñèíóñîâ, ïðåîбðàзóåм ýòî âыðàжå-
íèå ê âèдó
( , ) –2
( )( – ) .
sin
sin
c m q q
N
k q m q2 1
#
#
π
π π
=
+ +; E
(13)
Òàêèм îбðàзîм, фóíêцèÿ с(m,q), õàðàêòå-
ðèзóющàÿ èíâàðèàíòíîñòь ÒЭФС ñèãíàëà x(n)
(11) íà k-é чàñòîòå, ïðè êàждîм êîíêðåòíîм зíà-
чåíèè ïàðàмåòðà q ïðåдñòàâëÿåò ñîбîé ãàðмîíè-
чåñêîå êîëåбàíèå ñ àмïëèòóдîé 2sinpq, фàзîé pq
è чàñòîòîé k+q. Пðè ýòîм èíâàðèàíòíîñòь ÒЭФС
ñèãíàëà x(n) (11) èмååò мåñòî, êàê è ñëåдîâàëî
îжèдàòь, òîëьêî ïðè зíàчåíèè ïàðàмåòðà q=0.
Нà рис. 3 ïîêàзàíî èзмåíåíèå фóíêцèè
с(m,q) ïðè фèêñèðîâàííыõ зíàчåíèÿõ чàñòîòы k
Рèñ. 3. Измåíåíèå àмïëèòóды фóíêцèè с(m,q) â зà-
âèñèмîñòè îò ñдâèãà m ïðè ðàзëèчíыõ зíàчåíèÿõ ïà-
ðàмåòðà q ïðè k=1 è N=64
200 100 0
С
дâèã m
0 0
,2 0
,4 0
,6 0
,8 1,
0
Пàðàмåòð q
2
0
–2
с(
m
,q
)
300 200 100 0
С
дâèã m
0 0,
2 0,4
0,6
0,8
1,0
Пàðàмåòð q
2
0
–2с(
m
,q
)
Рèñ. 2. Рåêóððåíòíîå èзмåðåíèå m-ãî зíàчåíèÿ òå-
êóщåãî Фóðьå-ñïåêòðà дåéñòâèòåëьíîãî ñèãíàëà íà
k-é чàñòîòå
|Sm(k)| = |S°m–1(k)|
Re
j°m–1+bk jm–1 j°m–1
–x(m–1)
+x(m–1+N)
|Sm–1(k)|
Im
|S°m–1(k)|
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
19
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
è дëèòåëьíîñòè îêíà â N îòñчåòîâ. Êàê мы âè-
дèм, ãàðмîíèчåñêàÿ êîмïîíåíòà фóíêцèè с(m,q)
ïðè зíàчåíèè ïàðàмåòðà q=1/2 èмååò мàêñèмàëь-
íóю àмïëèòóдó, ðàâíóю дâóм. Очåâèдíî, чòî ïðè
èзмåíåíèè чàñòîòы ãàðмîíèчåñêîãî ñèãíàëà (11)
àмïëèòóды ãàðмîíèчåñêèõ êîмïîíåíò фóíêцèè
с(m,q) зàâèñÿò èñêëючèòåëьíî îò зíàчåíèÿ ïà-
ðàмåòðà q è íå зàâèñÿò íè îò N, íè îò k.
Рàññмîòðèм õàðàêòåðèñòèêè ãàðмîíèчåñêèõ
êîмïîíåíò фóíêцèè с(m,q).
Еñëè ïðåдñòàâèòь ó дåéñòâèòåëьíîé ãàðмîíè-
чåñêîé êîмïîíåíòы x(n) (11) зíàчåíèå ïàðàмå-
òðà q â âèдå дðîбè q=1/р, ãдå р — цåëîå чèñ-
ëî, òî èíòåðâàë N1 = Np бóдåò ÿâëÿòьñÿ ïåðèî-
дîм дëÿ фóíêцèè x1(n) ïðè ðåàëьíîм ïðîдîëжå-
íèè x(n). Сëåдîâàòåëьíî, ïðè ëюбыõ q è k ñðåд-
íåå зíàчåíèå ãàðмîíèчåñêèõ êîмïîíåíò фóíê-
цèè с(m,q) íà èíòåðâàëå N1 бóдåò ðàâíî íóëю:
( ) ,M
N
x n1 0
–
n
N
1
1
0
11
= =
=
/
à дèñïåðñèÿ
( ) ( )D q
N
x n1
–
n
N
1
1
2
0
11
=
=
/
бóдåò зàâèñåòь îò q è íå бóдåò зàâèñåòь îò k.
Нà рис. 4 ïðèâåдåí ãðàфèê èзмåíåíèÿ дèñ-
ïåðñèè фóíêцèè с(m,q) â зàâèñèмîñòè îò q, îò-
êóдà âèдíî, чòî îíà èмååò мàêñèмàëьíîå зíàчå-
íèå ïðè q = 1/2.
Äëÿ бîëåå ïîëíîãî ïîíèмàíèÿ âîïðîñà èíâà-
ðèàíòíîñòè ÒЭФС ñèãíàëà x(n), ïðåдñòàâëÿю-
щåãî ñîбîé ñóммó дåéñòâèòåëьíыõ ãàðмîíèчå-
ñêèõ êîмïîíåíò âèдà (11), ðàññмîòðèм âзàèмî-
ñâÿзь ÄПФ ñèãíàëà, зàдàííîãî íà êîíåчíîм èí-
òåðâàëå, ñ дèñêðåòíî-âðåмåííым ïðåîбðàзîâà-
íèåм Фóðьå è ñ îïåðàцèåé дîïîëíåíèÿ íóëÿмè.
Изâåñòíî, чòî ÄВПФ ïðåдñòàâëÿåò ñîбîé
z-ïðåîбðàзîâàíèå ñèãíàëà x(n) (1), âычèñëåííîå
íà åдèíèчíîé îêðóжíîñòè [1, ñ. 41; 2, ñ. 151]:
( ) ( ) | ( )
(–2 ), – .exp
S f S z
N
x n
fn f
1
2
1
2
1
(– )
–
expz j f
n
N
2
0
1
#
# # #π
= =$ π=
=
/
(14)
В òî жå âðåмÿ, êîýффèцèåíòы ÄПФ SN(k)
ïîñëåдîâàòåëьíîñòè x(n), 0, –1,n N= â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ (1) ðàâíы зíàчåíèÿм åå z-ïðåîбðàзîâàíèÿ
â òîчêàõ {2pk/N}, 0,( –1),k N= ðàâíîмåðíî ðàñ-
ïîëîжåííыõ íà åдèíèчíîé îêðóжíîñòè (рис. 5).
Òàêèм îбðàзîм, ÄПФ ðàâíî ÄВПФ â òîчêàõ
{2pk/N}, ,( – ).k N0 1= Сëåдîâàòåëьíî, ÒЭФС
íåêîòîðîãî ñèãíàëà, ïîëóчåííыé мåòîдîм ÄПФ,
бóдåò èíâàðèàíòåí âðåмåííîмó ñдâèãó òîãдà è
òîëьêî òîãдà, êîãдà мîдóëь ÄВПФ ýòîãî ñèãíà-
ëà â óêàзàííыõ òîчêàõ íå бóдåò зàâèñåòь îò âðå-
мåííîãî ñдâèãà ñèãíàëà.
С ïîмîщью îïåðàцèè дîïîëíåíèÿ íóëÿмè
мîжíî âычèñëèòь зíàчåíèÿ ÄВПФ мåждó òîчêà-
мè {2pk/N}, ,( – ),k N0 1= íà åдèíèчíîé îêðóж-
íîñòè, óмåíьшèâ òåм ñàмым âëèÿíèå «ýффåêòà
чàñòîêîëà». Сóòь ýòîé îïåðàцèè зàêëючàåòñÿ â
ïîëóчåíèè ñèãíàëà x1(n) ïóòåм дîïîëíåíèÿ èñ-
õîдíîãî ñèãíàëà x(n) íóëåâымè îòñчåòàмè дî
дëèíы М=рN, ãдå р — цåëîå чèñëî (îбычíî М
ÿâëÿåòñÿ цåëîé ñòåïåíью дâóõ), è ïîñëåдóющèм
âычèñëåíèåм ÄПФ ñèãíàëà x1(n). В ðåзóëьòà-
òå ïîëóчàåм íå òîëьêî зíàчåíèÿ ÄПФ, ðàâíыå
зíàчåíèÿм ÄВПФ â òîчêàõ {2pk/N}, íî è èí-
òåðïîëèðîâàííыå зíàчåíèÿ ÄВПФ мåждó ýòèмè
òîчêàмè (ñм. ðèñ. 5). В ïðåдåëьíîм ñëóчàå ïðè
бåñêîíåчíîм чèñëå ââîдèмыõ íóëåâыõ îòñчåòîâ
ÄПФ ñèãíàëà x1(n) мîжåò ðàññмàòðèâàòьñÿ êàê
ÄВПФ ñèãíàëà x(n).
Рèñ. 5. Рàñïîëîжåíèå зíàчåíèé z-ïðåîбðàзîâàíèÿ ñèã-
íàëà íà åдèíèчíîé îêðóжíîñòè, åãî ÄВПФ, ÄПФ, à
òàêжå èíòåðïîëèðîâàííыå зíàчåíèÿ ÄВПФ ïðè М=32
2,0
1,5
1,0
0,5
0
Ä
èñ
ïå
ðñ
èÿ
c
(m
,q
)
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Пàðàмåòð q
Рèñ. 4. Измåíåíèå дèñïåðñèè фóíêцèè с(m,q) â зà-
âèñèмîñòè îò ïàðàмåòðà q
1 0 –1
Im z
–1
0
1
Re z
16
12
8
4
0
М
îд
óë
è
ñï
åê
òð
îâ
S
(f
),
S
N
(k
)
ÄВПФ
ÄПФ Иíòåðïîëèðîâàííыå
зíàчåíèÿ ÄВПФ
Òîчêà íóëåâîé
чàñòîòы z = 1+j0
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
20
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
Пðåждå чåм ïåðåéòè ê èзмåðåíèю ÒЭФС
ãàðмîíèчåñêîé êîмïîíåíòы (11) ïðè ðàзëèч-
íыõ зíàчåíèÿõ ïàðàмåòðà q, ñдåëàåм îдíî âàж-
íîå зàмåчàíèå, êîòîðîå ñëåдóåò èз ïîëóчåííыõ
ðåзóëьòàòîâ.
ТЭФС сигнала x(n), состоящего из суммы
действительных гармонических колебаний вида
(11), периоды некоторых из которых не крат-
ны интервалу анализа N, не будет инвариан-
тен временному сдвигу, т. к. для такого сиг-
нала теорема сдвига не справедлива. Оòмåòèм,
чòî ïðè ýòîм чàñòь ãàðмîíèчåñêèõ êîëåбàíèé
(èëè âñå ãàðмîíèчåñêèå êîëåбàíèÿ), âõîдÿщèå
â ñîñòàâ ñèãíàëà x(n), мîãóò быòь òàêжå ïåðè-
îдèчåñêèмè, íî íà дðóãîм èíòåðâàëå N1>N. В
чàñòíîм ñëóчàå ÒЭФС дåéñòâèòåëьíîé ãàðмîíè-
чåñêîé êîмïîíåíòы x(n) âèдà (11) ïðè q≠0 íå
бóдåò èíâàðèàíòåí åå âðåмåííîмó ñдâèãó.
Äëÿ èëëюñòðàцèè ýффåêòà íåèíâàðèàíòíî-
ñòè ÒЭФС быë âыбðàí ñèãíàë â âèдå ãàðмîíè-
чåñêîé êîмïîíåíòы (11) ïðè ñëåдóющèõ ïàðà-
мåòðàõ: N=16, k=4, q=0; 1/4; 1/2, чèñëî íóëå-
âыõ îòñчåòîâ 240, чèñëî ñдâèãîâ (ïî îдíîмó îò-
ñчåòó) m=10. Эíåðãåòèчåñêèå ñïåêòðы èñõîдíî-
ãî ñèãíàëà, ïîëóчåííыå ñ ïîмîщью îïåðàцèè
дîïîëíåíèÿ íóëÿмè, âыâîдèëèñь íà îдèí ãðà-
фèê, êîòîðыé ïðåдñòàâëåí íà рис. 6 (íà ãðàфè-
êå â ñèëó ñèммåòðèчíîñòè ýíåðãåòèчåñêîãî ñïåê-
òðà дåéñòâèòåëьíыõ ñèãíàëîâ îòíîñèòåëьíî òîч-
êè N/2 âыâåдåíà òîëьêî åãî ëåâàÿ ïîëîâèíà).
«Рàзмыòîñòь» êðèâîé íà ðèñ. 6 õàðàêòåðèзóåò
èзмåíåíèå ÄВПФ ñèãíàëà ( ) ( )cosx n q n
8
4π= +8 B
îò ñдâèãà ïðè «åñòåñòâåííîм» (ðåàëьíîм) ïðî-
дîëжåíèè âõîдíîãî ñèãíàëà è, ñëåдîâàòåëьíî
(óчèòыâàÿ âзàèмîñâÿзь ÄПФ è ÄВПФ), íåèí-
âàðèàíòíîñòь ÒЭФС èñõîдíîãî ñèãíàëà.
С дðóãîé ñòîðîíы, ýффåêò íåèíâàðèàíòíîñòè
ÒЭФС мîдåëьíîãî ñèãíàëà (11) мîжíî ïðîèëëю-
ñòðèðîâàòь ðåзóëьòàòàмè èзмåðåíèÿ åãî ÒЭФС
ïðè ðàзëèчíыõ зíàчåíèÿõ ïàðàмåòðà q, êîòîðыå
ïðèâåдåíы íà рис. 7.
Нà ðèñ. 7 мîжíî óâèдåòь ïðîÿâëåíèå ñðàзó
дâóõ ÿâëåíèé, ñîïðîâîждàющèõ цèфðîâóю ñïåê-
òðàëьíóю îбðàбîòêó ðàññмàòðèâàåмîãî ñèãíàëà.
Эòî èзâåñòíыé ýффåêò ðàзмыâàíèÿ ñïåêòðàëь-
íыõ ñîñòàâëÿющèõ (íàзыâàåмыé чàñòî ýффåê-
òîм óòåчêè, àíãëèéñêèé òåðмèí — leakage) è ýф-
фåêò íåèíâàðèàíòíîñòè, âыÿâëåííыé â íàñòîÿ-
щåé ðàбîòå (ïðåдëàãàåмыé àíãëèéñêèé òåðмèí
«non-invariance»). Пðè ýòîм, åñëè зíàчåíèå ïà-
ðàмåòðà ðàâíî íóëю, òî íè îдèí èз ýффåêòîâ
íå ïðîÿâëÿåòñÿ. Оòñóòñòâèå ïðîÿâëåíèÿ â ýòîм
ñëóчàå ýффåêòà óòåчêè îбъÿñíÿåòñÿ òåм, чòî êî-
ýффèцèåíòы ÄПФ «ïîïàдàюò» â íóëè ÄВПФ íà
åдèíèчíîé îêðóжíîñòè îòðåзêà ãàðмîíèчåñêîé
êîмïîíåíòы. Оòñóòñòâèå жå ïðîÿâëåíèÿ ýффåêòà
íåèíâàðèàíòíîñòè ñâÿзàíî ñ òåм, чòî åñòåñòâåí-
íîå ïðîдîëжåíèå ñèãíàëà âî âðåмåííîм îêíå ñî-
âïàдàåò ñ цèêëèчåñêèм (ïåðèîдèчåñêèм) ïðîдîë-
жåíèåм, «íàâÿзыâàåмым» ÄПФ. Еñëè жå зíà-
чåíèå ïàðàмåòðà íå ðàâíî íóëю, òî ïðîÿâëÿåò-
ñÿ è ýффåêò ðàзмыâàíèÿ ñïåêòðàëьíыõ ñîñòàâ-
ëÿющèõ, è ýффåêò íåèíâàðèàíòíîñòè.
Заключение
Иññëåдîâàíèÿ âыÿâëåííîãî àâòîðàмè ýффåê-
òà íåèíâàðèàíòíîñòè òåêóщåãî ýíåðãåòèчåñêîãî
Фóðьå-ñïåêòðà, ïðîâåдåííыå â íàñòîÿщåé ðàбî-
òå, ïîзâîëÿюò:
— ïî-íîâîмó âзãëÿíóòь íà ðåзóëьòàòы èз-
мåðåíèÿ íà êîíåчíыõ èíòåðâàëàõ òåêóщèõ
Фóðьå-ñïåêòðîâ è òåêóщèõ ýíåðãåòèчåñêèõ
Фóðьå-ñïåêòðîâ ñèãíàëîâ, à òàêжå дàòь чèñëåí-
4
2
0
Ò
Э
Ф
С
6
4
2
0
Ò
Э
Ф
С
6
4
2
0
Ò
Э
Ф
С
1 2 3 4 5 6 7 8
Чàñòîòà
1 2 3 4 5 6 7 8
Чàñòîòà
à)
б)
â)
1 2 3 4 5 6 7 8
Чàñòîòà
q=1/2
q=1/4
q = 0
Рèñ. 6. Нåèíâàðèàíòíîñòь ÒЭФС ñèãíàëà
( ) ( )cosx n q n
8
4π= +8 B, дîïîëíåííîãî 240 íóëå-
âымè îòñчåòàмè, ïðè N=16, k=4, m=10 è ðàзëèчíыõ
зíàчåíèÿõ q
Рèñ. 7. ÒЭФС ãàðмîíèчåñêîé êîмïîíåíòы
( ) ( )cosx n
N
k q n2π= +; E ïðè q = 1/4 (а) è q = 1/2 (б)
20
40
60
Чàñòîòà
15
10
5
0Ò
Э
Ф
С
60 40 20 Сдâèã m 0
20
40
60
Чàñòîòà
10
5
0Ò
Э
Ф
С
60 40 20 Сдâèã m
à)
б)
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
21
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
íóю îцåíêó íåíâàðèàíòíîñòè òåêóщèõ ýíåðãåòè-
чåñêèõ Фóðьå-ñïåêòðîâ дåéñòâèòåëьíыõ òîíàëь-
íыõ êîмïîíåíò;
— ïîâыñèòь ýффåêòèâíîñòь ïðèмåíåíèÿ цèф-
ðîâîãî ñïåêòðàëьíîãî àíàëèзà âî мíîãèõ åãî ïðè-
ëîжåíèÿõ, â чàñòíîñòè ïðè ðåшåíèè зàдàч ïî
îбíàðóжåíèю è âыÿâëåíèю ñêðыòыõ ïåðèîдèч-
íîñòåé (ãàðмîíèчåñêèõ, òîíàëьíыõ êîмïîíåíò)
â òàêèõ ïðåдмåòíыõ îбëàñòÿõ, êàê ðàдèîëîêà-
цèÿ, âèбðîàêóñòèчåñêàÿ дèàãíîñòèêà, ïàññèâíàÿ
ãèдðîëîêàцèÿ, бèîмåдèцèíà è ò.ï.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСÒОЧНИÊИ
1. Рàбèíåð Л., Гîóëд Б. Òåîðèÿ è ïðèмåíåíèå цèфðî-
âîé îбðàбîòêè ñèãíàëîâ.— Мîñêâà: Мèð, 1978.
2. Оïïåíãåéм Э. Пðèмåíåíèå цèфðîâîé îбðàбîòêè ñèã-
íàëîâ.— Мîñêâà: Мèð, 1980.
3. Лàéîíñ Р. Цèфðîâàÿ îбðàбîòêà ñèãíàëîâ.— Мîñêâà:
ООО «Бèíîм-Пðåññ», 2007.
4. Пîíîмàðåâ В.А., Пîíîмàðåâà О.В. Вèбðîàêóñòèчåñêîå
дèàãíîñòèðîâàíèå êîðîбîê ïåðåдàч ñòàíêîâ цèфðîâымè мåòî-
дàмè // Сòàíêè è èíñòðóмåíò.— 1983.— ¹ 9.— С. 18—21.
5. Пîíîмàðåâ В.А., Пîíîмàðåâà О.В. Òåîðèÿ è ïðèмåíå-
íèå ïàðàмåòðèчåñêîãî дèñêðåòíîãî ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå //
Цèфðîâàÿ îбðàбîòêà ñèãíàëîâ.— 2011.— ¹ 1.— C. 2—6.
6. Пîíîмàðåâà О.В., Пîíîмàðåâ А.В., Пîíîмàðåâà Н.В.
Сêîëьзÿщåå ïàðàмåòðèчåñêîå ÄПФ â зàдàчàõ îбíàðóжå-
íèÿ òîíàëьíыõ êîмïîíåíò // Цèфðîâàÿ îбðàбîòêà ñèãíà-
ëîâ.— 2012.— ¹ 4.— C. 2—7.
7. Пîíîмàðåâ В.А., Пîíîмàðåâà О.В.Обîбщåíèå
дèñêðåòíîãî ïðåîбðàзîâàíèÿ Фóðьå дëÿ èíòåðïîëÿ-
цèè âî âðåмåííîé îбëàñòè // Изâåñòèÿ Вóзîâ СССР.
Рàдèîýëåêòðîíèêà.— 1983.— T. XXVI, ¹ 9.— С. 67—68.
8 . Пîíîмàðåâà О.В., Пîíîмàðåâ А.В., Пîíîмàðåâà Н.В.
Мåòîд быñòðîãî âычèñëåíèÿ дèñêðåòíîãî ïðåîбðàзîâàíèÿ
Фóðьå дåéñòâèòåëьíыõ ïîñëåдîâàòåëьíîñòåé // Цèфðîâàÿ
îбðàбîòêà ñèãíàëîâ.— 2013.— ¹ 2.— С. 10—15.
9. Пîíîмàðåâà О. В. Рàзâèòèå òåîðèè ñïåêòðàëьíîãî àíà-
ëèзà дèñêðåòíыõ ñèãíàëîâ íà êîíåчíыõ èíòåðâàëàõ â бàзè-
ñå ïàðàмåòðèчåñêèõ дèñêðåòíыõ ýêñïîíåíцèàëьíыõ фóíêцèé
// Цифровая обработка сигналов.— 2010.– № 2.– C. 7—12.
Дата поступления рукописи
в редакцию 01.10 2013 г.
PONOMAREV V. A., PONOMAREVA O. V.
Russia, Kalashnikov Izhevsk State Technical University
E-mail: ponva@mail.ru
THE INVARIANCE OF CURRENT ENERGY FOURIER SPECTRUM
OF DISCRETE REAL SIGNALS ON FINITE INTERVALS
Digital spectral analysis of signals based on DFT has a number of advantages. However, the transition
from analog to digital methods and techniques is accompanied by a number of undesirable effects. Signals
in each subject area usually have their own specifics. Therefore, it is necessary to study these effects in
applications of spectral Fourier analysis.
Such research is important for three reasons. Firstly, DFT properties are accurate, have their own specificity
and significantly differ from the properties of the Fourier transform of continuous signals. Secondly, signals
in each subject area have their own specificity. Thirdly, researchers often have prevailing knowledge in some
particular domain, rather than in the field of digital signal processing techniques. As a result, in practice,
some of the processes and effects arising in applications of digital spectral analysis, unfortunately, escape
the attention of researchers which can result in erroneous conclusions. The paper deals with the problems of
measuring Fourier spectrum of signals in the base of discrete exponential functions. Methods and algorithms of
sliding measurements of energy Fourier spectrum of signals on finite intervals were described. The invariance
of current energy Fourier spectrum to moving discrete real signals (which are not periodic) were investigated.
The authors identify a new effect of digital spectral analysis — the effect of non-invariance of the current
В. О. ПОНОМАРЬОВ, О. В. ПОНОМАРЬОВА
Рîñіÿ, Іжåâñьêèé дåðжàâíèé òåõíічíèé óíіâåðñèòåò ім. М. Ò. Êàëàшíèêîâà
E-mail: ponva@mail.ru
ІНВАРІАНÒНІСÒЬ ПОÒОЧНОГО ЕНЕРГЕÒИЧНОГО ФÓР'Є-СПЕÊÒРА
ÄІЙСНИХ ÄИСÊРЕÒНИХ СИГНАЛІВ НА СÊІНЧЕННИХ ІНÒЕРВАЛАХ
Розглянуто питання вимірювання Фур'є-спектрів сигналів в базисі дискретних експоненційних функцій.
Запропоновано методи та алгоритми ковзних вимірювань енергетичних Фур'є-спектрів сигналів на
скінченних інтервалах. Досліджено інваріантність поточного енергетичного Фур'є-спектра зсуву дис-
кретних дійсних сигналів, які не є періодичними. Наведено теоретичні та практичні результати аналізу
інваріантності поточних енергетичних Фур'є-спектрів тональних компонент.
Ключові слова: дискретний сигнал, скінченний інтервал, ковзні спектральні вимірювання, інваріантність
поточних енергетичних Фур'є-спектрів, тональні компоненти.
DOI: 10.15222/TKEA2014.1.15
ÓÄÊ 621.391
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2014, ¹ 1
22
ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÅÐÅÄÀЧÈ È ÎÁÐÀÁÎÒÊÈ ÑÈÃÍÀËÎÂ
REFERENCES
1. Rabiner L. R., Gold B. Theory and application digital
signal processing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, USA, 1975. 762 p.
2. Oppenheim A.V. Application of digital signal
processing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
USA, 1978. 499 p.
3. Lyons R. G., Understanding digital signal processing.
Prentice Hall PTR Upper Saddle River, New Jersey, USA, 2004.
4. Ponomarev V.A., Ponomareva O.V. [Digital methods
of vibroacoustic diagnosting of machines transmission] Stanki
i instrument, 1983, no 9, pp. 18-21 (in Russian)
5. Ponomarev V.A., Ponomareva O.V. [Theory and
application of parametric discrete Fourier transform] Tsifrovaya
obrabotka signalov, 2011, no 1, pp. 2-6 (in Russian)
6. Ponomareva O.V., Ponomarev A.V., Ponomareva
N.V [Sliding parametric DFT in problems of detecting tonal
components] Tsifrovaya obrabotka signalov, 2012, no 4, pp.
2-7. (in Russian)
7. Ponomarev V.A., Ponomareva O.V. Generalization of
discrete Fourier transform for interpolation in time domain.
Electronic and Electrical Engineering, 1984, no 3, pp. 27-30
8. Ponomareva O.V., Ponomarev A.V., Ponomareva N.V.
[Method for fast evaluation discrete Fourier transform real
sequence] Tsifrovaya obrabotka signalov, 2013, no 2, pp.
10-15 (in Russian)
9. Ponomareva O.V. [Development of the theory of
spectral analysis of discrete signals in a finite interval in
basis parametric discrete exponential functions] Tsifrovaya
obrabotka signalov, 2010, no 2, pp. 7-12 (in Russian)
energy Fourier spectrum. Theoretical and practical results of analysis of invariance of current energy Fourier
spectrum of tonal components are shown.
The conducted studies allow us:
— to see in a new light the measurement results on finite intervals of current Fourier spectrum and the
current energy Fourier spectra of signals; give a numerical estimate of the non-invariance of the current energy
Fourier spectrum of real tonal components.
— to increase the effectiveness of digital spectral analysis in its many applications, in particular, for
solving the problems on detection and identification of hidden periodicities in such subject areas as radar,
vibroacoustic diagnostics, passive sonar, biomedicine, etc.
Keywords: digital signal, final interval, «sliding» spectral measurement basis, invariance of current Fourier
spectrum, tonal components.
ÍÎÂÛÅ ÊÍÈÃÈ
Í
Î
Â
Û
Å
Ê
Í
È
Ã
È
Äворкович Â. Ï., Äворкович À. Â. Îконные функции для гармони-
ческого анализа сигналов.— Ìîñêâà: Òåõíîñôåðà, 2014.
Êíèãà ñîдåðжèò ñâåдåíèÿ î êëàññèчåñêèõ îêîííыõ
фóíêцèÿõ è èõ ïàðàмåòðàõ, à òàêжå ïðåдëîжåííыå
àâòîðàмè íîâыå мåòîды ñèíòåзà îêîííыõ фóíêцèé ñ
ïðèмåíåíèåм ñëåдóющèõ àëãîðèòмîâ:
— мèíèмèзàцèè ñïåêòðàëьíыõ ñîñòàâëÿющèõ îêîííыõ
фóíêцèé âíå ïðåдåëîâ зàдàííîãî èíòåðâàëà;
— мèíèмèзàцèè ðàзëèчèé фîðмы è ñïåêòðà îêîííыõ
фóíêцèé;
— мàêñèмèзàцèè ñêîðîñòè ñïàдà óðîâíåé бîêîâыõ ëå-
ïåñòêîâ ñïåêòðà îêîííыõ фóíêцèé;
— ïåðåмíîжåíèÿ îòíîñèòåëьíыõ ñïåêòðîâ îêîííыõ
фóíêцèé.
В ïðèëîжåíèÿõ ïðèâîдèòñÿ îïèñàíèå мåòîдîâ ñèíòåзà
îïòèмàëьíыõ ñèãíàëîâ, îãðàíèчåííыõ ïî ñïåêòðó è ïðàêòèчåñêè îãðàíèчåí-
íыõ ïî дëèòåëьíîñòè, è ñèíòåзà ñèãíàëîâ, фîðмà êîòîðыõ ñîâïàдàåò ñ îãè-
бàющåé èõ ñïåêòðà, ðàзðàбîòàííыõ íà бàзå àëãîðèòмîâ âычèñëåíèÿ íîâыõ
îêîííыõ фóíêцèé.
|