Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
В соответствии с классификацией, принятой в теории интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем, вычислены типы критических точек всех рангов интегрального отображения задачи о движении гиростата Ковалевской в двойном силовом поле....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71577 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 27-38. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71577 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715772017-04-20T17:30:38Z Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле Харламов, М.П. Рябов, П.Е. Савушкин, А.Ю. Смирнов, Г.Е. В соответствии с классификацией, принятой в теории интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем, вычислены типы критических точек всех рангов интегрального отображения задачи о движении гиростата Ковалевской в двойном силовом поле. Вiдповiдно до класифiкацiї, прийнятої в теорiї iнтегровних за Лiувiллем гамiльтонових систем, обчислено типи критичних точок всiх рангiв iнтегрального вiдображення задачi про рух гiростата Ковалевської в подвiйному силовому полi. The problem of motion of the Kowalevski type gyrostat in double force field is considered. According to the classification used in the theory of Liouville integrable Hamiltonian systems, the types of critical points of all ranks of the integral map are calculated. 2011 Article Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 27-38. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71577 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В соответствии с классификацией, принятой в теории интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем, вычислены типы критических точек всех рангов интегрального отображения задачи о движении гиростата Ковалевской в двойном силовом поле. |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. Рябов, П.Е. Савушкин, А.Ю. Смирнов, Г.Е. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Рябов, П.Е. Савушкин, А.Ю. Смирнов, Г.Е. Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламов, М.П. Рябов, П.Е. Савушкин, А.Ю. Смирнов, Г.Е. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_short |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_full |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_fullStr |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_full_unstemmed |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_sort |
типы критических точек гиростата ковалевской в двойном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71577 |
| citation_txt |
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 27-38. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp tipykritičeskihtočekgirostatakovalevskojvdvojnompole AT râbovpe tipykritičeskihtočekgirostatakovalevskojvdvojnompole AT savuškinaû tipykritičeskihtočekgirostatakovalevskojvdvojnompole AT smirnovge tipykritičeskihtočekgirostatakovalevskojvdvojnompole |
| first_indexed |
2025-07-05T20:31:45Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:31:45Z |
| _version_ |
1836840392823144448 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
ТИПЫ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
ГИРОСТАТА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ
В соответствии с классификацией, принятой в теории интегрируемых по Лиувиллю га-
мильтоновых систем, вычислены типы критических точек всех рангов интегрального ото-
бражения задачи о движении гиростата Ковалевской в двойном силовом поле.
Ключевые слова: гиростат Ковалевской, двойное поле, тип критической точки.
1. Исходные соотношения. Обобщение случая С.В.Ковалевской, най-
денное благодаря вкладу авторов работ [1–3], до сих пор мало изучено. Систе-
ма, описывающая движение гиростата с условиями типа Ковалевской в двух
силовых полях (например, поле силы тяжести и магнитном), является непри-
водимой интегрируемой гамильтоновой системой с тремя степенями свободы.
Соответствующие уравнения Эйлера–Пуассона запишем в виде
2ω̇1 = ω2(ω3 − λ) + β3, 2ω̇2 = −ω1(ω3 − λ)− α3, ω̇3 = α2 − β1,
α̇1 = α2ω3 − α3ω2, β̇1 = β2ω3 − β3ω2,
α̇2 = α3ω1 − α1ω3, β̇2 = β3ω1 − β1ω3,
α̇3 = α1ω2 − α2ω1, β̇3 = β1ω2 − β2ω1.
Здесь ωi, αj , βk – компоненты в подвижных осях вектора ω угловой скорости
тела и векторов α,β, характеристических для силовых полей, т.е. векторов,
направленных по оси симметрии поля, с модулем, включающим в себя всю
скалярную характеристику взаимодействия тела и поля. Таким образом, ве-
кторы центра масс и магнитного момента поля становятся единичными. В
частности, геометрические интегралы приводятся к виду
α · α = a2, β · β = b2, α · β = 0. (1)
Их совместный уровень в R
9(ω,α,β) обозначим через P6. Меняя при необ-
ходимости порядок векторов в подвижной системе отсчета и считая задачу
несимметричной, получим a > b > 0. Первые интегралы в инволюции таковы:
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − α1 − β2,
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)
2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)
2+
+ 2λ[(ω3 − λ)(ω2
1 + ω2
2) + 2ω1α3 + 2ω2β3],
G =
1
4
(M2
α +M2
β) +
1
2
(ω3 − λ)Mγ − b2α1 − a2β2.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00043, 10-01-97001).
27
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
Здесь обозначено
Mα = 2ω1α1 + 2ω2α2 + (ω3 + λ)α3, Mβ = 2ω1β1 + 2ω2β2 + (ω3 + λ)β3,
Mγ = 2ω1(α2β3 − α3β2) + 2ω2(α3β1 − α1β3) + (ω3 + λ)(α1β2 − α2β1).
Введем интегральное отображение
J = H×K×G : P6 → R
3. (2)
Множество его критических точек состоит из движений тела специального
вида. Во-первых, это положения равновесия (критические точки ранга 0).
Их в рассматриваемой системе ровно четыре [4]. Во-вторых, это так называе-
мые особые периодические движения – такие замкнутые траектории, которые
сами являются орбитами всех трех гамильтоновых полей, определенных об-
щими интегралами H,K,G, т.е. орбитами пуассонова действия на шестимер-
ном фазовом пространстве. Они составлены из критических точек ранга 1. В
это семейство входят и сепаратрисы, возникающие при бифуркации особых
периодических движений при прохождении через неустойчивое положение
равновесия. Все решения такого вида найдены и сведены к эллиптическим
квадратурам в работе [5]. Критические точки ранга 1 организованы в дву-
мерные многообразия.
Наконец, в критическое множество входят двумерные торы Лиувилля,
которые также являются орбитами пуассонова действия, т.е. не получены в
результате случайной соизмеримости частот на движении общего вида. Дву-
мерные торы состоят из критических точек ранга 2 и формируют множества,
которые почти всюду являются четырехмерными симплектическими много-
образиями. Слова “почти всюду” здесь существенны, так как топология та-
ких почти многообразий достаточно сложна и до конца не выяснена даже в
случае нулевого гиростатического момента, когда соответствующие системы
сведены к квадратурам [6, 7]. Однако в рассматриваемой задаче имеется их
аналитическое описание [8, 9]. Приведем здесь необходимые понятия и фор-
мулы.
Бифуркационная диаграмма отображения (2) содержится в объединении
следующих (пересекающихся) подмножеств пространства R
3(h, k, g) [8]:
1) прямых
Π− :
k = (a+ b)2
g = − ab(h− λ2
2
)
, Π+ :
k = (a− b)2
g = ab(h− λ2
2
)
;
2) поверхности
Π1 :
k = p2 + (h− λ2
2
)2 − 4(h− λ2
2
)s+ 3s2 − p4 − r4
4s2
,
g = (h− λ2
2
− s)s2 +
p4 − r4
4s
, s ∈ R\{0};
(3)
28
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
3) поверхности
Π2 :
k = −2λ2(h− λ2
2
− 2s)− λ4 +
r4
4s2
,
g =
1
2
p2(h+
λ2
2
)− λ2s2 − r4
4s
, s ∈ R\{0}.
(4)
Здесь и далее используются обозначения p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2.
Множества Π± порождены семействами маятниковых движений, в кото-
рых ось колебаний ортогональна обоим силовым полям (существование таких
движений для динамически симметричного гиростата с произвольным отно-
шением осевого и экваториального моментов инерции в двойном поле впервые
указано в [10]):
α× β ≡ ±abe3, ω = ϕ̇e3,
α = a(e1 cosϕ− e2 sinϕ), β = ±b(e1 sinϕ+ e2 cosϕ),
ϕ̈ = −(a± b) sinϕ.
(5)
В соответствии с выбором знака обозначим множество точек такого семейства
через M±. Это – два двумерных многообразия, диффеоморфных цилиндру.
Множество критических точек интегрального отображения, лежащих в
прообразе поверхности Πi, назовем критической подсистемой Mi (i = 1, 2).
Множества M1,2 почти всюду являются четырехмерными многообразиями.
Нетрудно видеть, что семейство M− целиком содержится в M1, а семейство
M+ пересекается с подсистемой M1 только по движениям со значениями
энергии за пределами интервала
λ2
2
− 2
√
ab < h <
λ2
2
+ 2
√
ab. (6)
Пересечения многообразий M± с критической подсистемой M2 также легко
находятся. Это – движения, лежащие на уровнях h, содержащих положения
равновесия (по два уровня в каждом семействе). Кроме того, в каждом из
семейств имеется по одному уровню h, попадающему в M2, движения на
котором оказываются вырожденными как критические точки ранга 1. Соо-
тветствующие значения энергии указываются ниже при исследовании типов
критических точек.
Введем систему комплексных координат
x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i(α2 + β1),
y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i(α2 − β1),
z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3,
w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3.
Для параметров p, r имеем представление:
p2 =
1
2
(x1x2 + y1y2) + z1z2, r4 = (x1y2 + z21)(x2y1 + z22). (7)
29
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
Описание множеств M1,M2 можно получить следующим образом [8].
Множество M1 есть замыкание подмножества в фазовом пространстве P6,
заданного уравнениями
y1 = − 1
w1w2(w3 − λ)
{w1(w3 − λ)[x2w1 + z2(w3 + λ)]+
+ x2z1w1 + x1z2w2 + z1z2(w3 + λ)},
y2 = − 1
w1w2(w3 − λ)
{w2(w3 − λ)[x1w2 + z1(w3 + λ)]+
+ x2z1w1 + x1z2w2 + z1z2(w3 + λ)}.
(8)
При этом фигурирующий в (3) параметр s – постоянная частного интеграла
S1 на M1:
S1 =
x2z1w1 + x1z2w2 + z1z2(w3 + λ)
2w1w2(w3 − λ)
. (9)
В свою очередь, множество M2 есть замыкание подмножества в фазовом
пространстве P6, заданного уравнениями
y1 =
1
(w1w2 + λw3)(w2x1 + λz1)λ
[w2(w
2
1 + x1)(x2z1w1 + x1z2w2−
−x1x2w3 + 2z1z2λ) + x2(w1w3 + z1)(w1z1 − x1w3)λ−
−(x1w
2
3 − 2z1w1w3 − z21)z2λ
2],
y2 =
1
(w1w2 + λw3)(w1x2 + λz2)λ
[w1(w
2
2 + x2)(x2z1w1 + x1z2w2−
−x1x2w3 + 2z1z2λ) + x1(w2w3 + z2)(w2z2 − x2w3)λ−
−(x2w
2
3 − 2z2w2w3 − z22)z1λ
2].
(10)
Параметр s бифуркационной поверхности (4) – постоянная частного интегра-
ла S2 на M2:
S2 =
x1x2w3 − x2z1w1 − x1z2w2 − λz1z2
2λ(w1w2 + λw3)
.
Подсистемы M1,M2 пересекаются также по множеству критических то-
чек ранга 1, составляющих семейство особых периодических движений, за-
данных уравнениями (27), (29), (30) работы [5]. Их для краткости здесь не
повторяем. Указанная система уравнений, на которую будем далее ссылаться
как на уравнения (ОПД), выражает все фазовые переменные через одну пе-
ременную w, физический параметр λ и два вспомогательных параметра σ, u,
связанных соотношением
λ2(λ2 + σ)2u5 + (λ2 + σ)[2p2λ4 − (λ2 + σ)3σ]σu4+
+r4λ6σ2u3 + 2r4λ4σ4(λ2 + σ)2u2 − r8λ8σ6 = 0.
(11)
30
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
Изменение единственной свободной переменной w(t) определяется дифферен-
циальным уравнением (32) работы [5], которое интегрируется в эллиптиче-
ских функциях.
Отметим, что обращение в нуль знаменателей в выражениях, связанных
с подсистемами M1,M2, приводит либо к той части движений вида (5), ко-
торая лежит в M1, либо к движениям ранга 1, описанным системой (ОПД).
Условия существования последних подробно исследованы в [11].
Цель настоящей работы – вычислить в терминах введенных параме-
тров аналитические характеристики, выражающие тип критических точек
в смысле определения [12]. Знание типа критической точки интегрируемой
системы отвечает и на все вопросы, связанные с характером устойчивости
проходящей через нее траектории. Для положений равновесия и маятнико-
вых движений (5) тип критических точек был представлен в докладе [13].
В частности, было показано, что интервал (6) для движений семейства M+
отвечает особенности типа “фокус-фокус”.
2. Критические точки ранга 2. Тип критической точки x0 ранга 2 в
интегрируемой системе с тремя степенями свободы вычисляется следующим
образом. Необходимо указать первый интеграл F , такой, что dF (x0) = 0 и
dF 6= 0 в окрестности этой точки. Тогда, в частности, точка x0 оказывается
неподвижной для гамильтонова поля sgradF и можно вычислить линеариза-
цию этого поля в точке x0 — симплектический оператор AF в шестимерном
касательном пространстве к фазовому пространству в точке x0. Этот опера-
тор будет иметь четыре нулевых собственных числа, оставшийся сомножи-
тель характеристического многочлена имеет вид µ2 − CF . При CF < 0 полу-
чим точку типа “центр” (соответствующий двумерный тор – эллиптический,
является устойчивым многообразием в фазовом пространстве, пределом кон-
центрического семейства трехмерных регулярных торов), а при CF > 0 полу-
чим точку типа “седло” (соответствующий двумерный тор – гиперболический,
существуют движения, асимптотические к этому тору, лежащие на трехмер-
ных сепаратрисных поверхностях).
В нашей задаче ситуация осложнена тем, что фазовое пространство зада-
но в R
9 тремя неявными уравнениями (1) и вычислять ограничения операто-
ров на касательные пространства затруднительно. Однако функции в левых
частях уравнений (1) служат функциями Казимира для естественного про-
должения на R
9 скобки Пуассона симплектической структуры пространства
TSO(3), поэтому при вычислении симплектических операторов вида AF они
лишь добавят три нулевых корня в характеристический многочлен, имею-
щий в целом девятую степень. Таким образом, мы заранее знаем, что при
условии sgradF = 0 искомый коэффициент CF есть коэффициент при µ7 в
характеристическом многочлене ZF (µ) оператора AF в R
9:
ZF (µ) = −µ7(µ2 −CF ).
Сам же оператор AF вычисляется и при наличии вырожденных скобок Пу-
ассона (для рассматриваемого здесь пространства R
9 они определены явно
31
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
в [1]). Отметим, что при вычислении характеристического многочлена че-
рез определитель соответствующей (9×9)-матрицы трудности для некоторых
функций оказываются слишком высоки даже при использовании мощных
современных систем аналитических вычислений. Однако, заранее зная в дан-
ном случае структуру искомого многочлена, можем найти
CF =
1
2
[
trace(A2
F )− (traceAF )
2
]
= trace(A2
F )/2,
так как след любого симплектического оператора равен нулю.
Теорема 1. Тип критических точек ранга 2 в критической подсистеме
M1 определяется знаком квадрата характеристического показателя
µ2 =
1
2s
[
12s4 − 8(h− λ2
2
)s3 + p4 − r4
] [
2s2 − 2(h+
λ2
2
)s+ p2
]
, (12)
где s – значение параметра в соответствующей точке (3) поверхности
Π1. Критические точки имеют тип “центр” при µ2 < 0 и тип “седло” при
µ2 > 0. При µ = 0 критические точки вырождены. На поверхности Π1 мно-
жество вырожденных критических точек отвечает ребру возврата и ли-
нии касания с поверхностью Π2.
Доказательство. Рассмотрим функцию L = 2G− (p2 − τ)H + sK. Вычи-
сляя ее косой градиент в точках (8) и приравнивая его к нулю, найдем
s = S1, τ = T1 = p2 + 2S1(S1 −H +
λ2
2
). (13)
Подчеркнем, что подстановки этих значений s, τ нужно выполнить после
вычисления sgradL. Поэтому полученное поле sgradL обращается в нуль ли-
шь в самой рассматриваемой точке, но не в ее окрестности, следовательно,
основное требование к интегралу L выполнено. Здесь и далее при проверке
тождеств либо соотношений, подобных равенствам (13), используются пред-
ставления (7).
Вычислим trace(A2
L)/2, подставим значения (13), затем – (7) и (9), и, в
последнюю очередь, учтем уравнения (8). Найденное выражение через исхо-
дные фазовые переменные средствами компьютерной алгебры разлагается на
множители, которые дают искомое значение (12). Техника преобразований
здесь фактически совпадает с той, которая применялась в [8] при вычисле-
нии скобок Пуассона инвариантных соотношений, определяющих критиче-
ские подсистемы. Характер критических точек определяется знаком величи-
ны (12). Тот факт, что при равенстве ее нулю критические точки вырождены
(т.е. нельзя указать другого интеграла с ненулевым характеристическим зна-
чением), вытекает из того, что коэффициент при G в функции L отличен от
нуля, а равенство dG = 0 приводит к критическим точкам ранга 1. Связь мно-
жества µ2 = 0 с геометрическими свойствами поверхностей Π1,2 проверяется
непосредственно.
32
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
Теорема 2. Тип критических точек ранга 2 в критической подсистеме
M2 определяется знаком квадрата характеристического показателя
µ2 = −1
s
[
8λ2s3 − r4
]
[
2s2 − 2(h +
λ2
2
)s+ p2
]
, (14)
где s – значение параметра в соответствующей точке (4) поверхности
Π2. Критические точки имеют тип “центр” при µ2 < 0 и тип “седло” при
µ2 > 0. При µ = 0 критические точки вырождены. На поверхности Π2 мно-
жество вырожденных критических точек отвечает ребру возврата и ли-
нии касания с поверхностью Π1.
Для доказательства снова возьмем функцию L, вычислим ее косой гра-
диент и убедимся, что он обращается в нуль на многообразии M2, т.е. в силу
уравнений (9), но уже в подстановке
s = S2, τ = T2 = 2λ2S2.
Вычисляя матрицу линеаризации поля sgradL и находя след ее квадрата,
исключим переменные y1, y2 с помощью уравнений (10). Получим искомое
выражение (14). Дальнейшие рассуждения такие же, как и в доказательстве
теоремы 1.
3. Критические точки ранга 1. Для вычисления типа критической
точки x0 ранга 1 нужно найти два интеграла F1, F2, независимых в проко-
лотой окрестности x0, таких, что в самой точке dF1 = 0, dF2 = 0, симплекти-
ческие операторы AF1
, AF2
независимы и существует их линейная комбина-
ция, имеющая четыре различных собственных значения. Здесь и далее под
дифференциалом функции, заданной на всем пространстве R
9, понимается
ограничение полного дифференциала на касательное пространство к фазо-
вому пространству P6, заданному геометрическими интегралами. Простые
уравнения, позволяющие проверять условие dF = 0 на P6 не вводя неопреде-
ленных множителей для ограничений (1), приведены, например, в [5].
Как показано в [5], особые периодические движения, заданные уравне-
ниями (ОПД), принадлежат пересечению критических подсистем M1,M2.
Фиксируем точку x0 на таком решении и пусть
si = Si(x0), τi = Ti(x0), Li(x) = L(x)|s=si,τ=τi (i = 1, 2).
Как следует из приведенных выше результатов, дифференциалы функций
L1, L2 в точке x0 равны нулю и отличны от нуля в близких к ней точках.
Симплектические операторы, порожденные функциями L1, L2 в точке x0, в
разложении по собственным подпространствам будут отличны от нуля лишь
на двумерных подпространствах в Tx0
P6, трансверсальных, соответственно,
к многообразиям M1,M2, и иметь на этих подпространствах собственные
числа ±µ1, ±µ2, определенные равенствами (12) с s = s1 и (14) с s = s2. Если
ни одно из чисел µ1, µ2 не равно нулю, то поверхности Π1,Π2 пересекаются
33
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
трансверсально, упомянутые двумерные подпространства образуют прямую
сумму, и потому найдется линейная комбинация функций L1, L2, симплекти-
ческий оператор которой имеет все различные собственные числа. Хотя это
рассуждение и не совсем строго, но его можно подтвердить прямым вычи-
слением. Таким образом, если J(x0) принадлежит трансверсальному пересе-
чению бифуркационных поверхностей, то точка x0 является невырожденной.
Теорема 3. Критические точки ранга 1, лежащие на траекториях осо-
бых периодических движений, являются невырожденными за исключением
случаев, когда точка в R
3, образованная значениями первых интегралов, ле-
жит в одном из следующих подмножеств:
1) ребре возврата поверхности Π1, заданном на ней уравнением
12s4 − 8(h − λ2
2
)s3 + p4 − r4 = 0; (15)
2) ребре возврата поверхности Π2, заданном на ней уравнением
8λ2s3 − r4 = 0; (16)
3) кривой касания поверхностей Π1,Π2, заданной на них одним и тем
же уравнением
2s2 − 2(h +
λ2
2
)s+ p2 = 0. (17)
Теперь для определения типа невырожденной критической точки ранга 1,
т.е. такой точки x0, что J(x0) не удовлетворяет ни одному из уравнений (15)–
(17), достаточно указать хотя бы один интеграл, у которого косой градиент
в точке x0 равен нулю, а соответствующий симплектический оператор имеет
четыре ненулевых собственных значения. В качестве такого интеграла мо-
жно взять функцию K − 2σH, послужившую в [5] исходной для построения
множества особых периодических движений.
Теорема 4. Пусть фиксирован параметр λ, а константы σ, u удовле-
творяют уравнению (11). Тогда тип невырожденной критической точки,
заданной уравнениями (ОПД), определяется знаками следующей пары ква-
дратов характеристических показателей (собственных чисел симплекти-
ческого оператора, порожденного интегралом K − 2σH):
ν21 = −4(u3 + r4λ4σ3)
uλ2σ(λ2 + σ)
;
ν22 =
u2(λ2 + σ)2 − r4λ4σ2
u4λ2σ(λ2 + σ)
[
u3λ2 − u2σ(λ2 + σ)2(λ2 + 4σ) + r4λ6σ3
]
.
(18)
Доказательство проводится непосредственным вычислением.
Отметим, что в точках особых периодических движений значения ча-
стных интегралов S1, S2 имеют достаточно простой вид [5]:
s1 =
r4λ4σ2 − u2(λ2 + σ)2
2u2λ2
, s2 = − u
2λ2σ
.
34
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
Применение компьютерной системы аналитических вычислений показывает,
что обращение в нуль какой-либо из величин (18) влечет, в силу уравне-
ния (11), выполнение одного из условий (15)–(17). Это еще раз подчеркивает
связь вырожденных точек и геометрических особенностей бифуркационных
поверхностей. По сказанному выше, вычислять показатели типа (18) еще для
одного интеграла нет необходимости.
Описание типов точек на траекториях маятниковых движений (5), анон-
сированное в [13], получим, заметив, что траектории семейств M± состоят
из критических точек первых интегралов
G± =
2
(a∓ b)
√
ab
(G∓ abH).
Здесь постоянные множители введены для упрощения выражений собствен-
ных чисел.
Теорема 5. Критические точки семейства M− невырождены для всех
значений энергии, кроме
h =
(a+ b)4 + (a− b)2λ4
2(a+ b)2λ2
.
Тип этих точек определяется знаками пары квадратов собственных чисел
симплектического оператора интеграла G−:
ν21,2 = −h+
λ2
2
− 4abλ2
(a+ b)2
±
√
(
h− λ2
2
)2
+ 4ab.
Критические точки семейства M+ невырождены для всех значений
энергии, кроме
h =
λ2
2
± 2
√
ab, h =
(a− b)4 + (a+ b)2λ4
2(a− b)2λ2
.
Тип этих точек определяется знаками пары квадратов собственных чисел
симплектического оператора интеграла G+:
ν21,2 = h− λ2
2
− 4abλ2
(a− b)2
±
√
(
h− λ2
2
)2
− 4ab.
В частности, на интервале значений энергии (6) оператор имеет четыре
комплексных собственных числа, поэтому соответствующие критические
точки ранга 1 на траекториях M+ имеют тип “фокус-фокус”.
35
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
4. Критические точки ранга 0. Особенность нулевого ранга предпо-
лагает, в частности, равенство dH = 0, что возможно лишь в неподвижных
точках гамильтоновой системы. Здесь их ровно четыре:
ck : ω = 0, α = (ε1a, 0, 0), β = (0, ε2b, 0), (19)
где ε21 = ε22 = 1 и k = 1, . . . , 4. Упорядочим ck по возрастанию h:
h1 = −a− b, h2 = −a+ b, h3 = a− b, h4 = a+ b.
Тогда c1, c4 ∈ M+, c2, c3 ∈ M−. Точки (19) принадлежат обеим критиче-
ским подсистемам M1,M2 за одним исключением, а именно, точка c4 самого
верхнего положения равновесия не принадлежит M1, если h = a+ b лежит в
интервале (6).
Как показано в работе [4], индекс Морса гамильтониана H в точке ck ра-
вен k − 1, что в значительной мере определяет поведение системы в ее окре-
стности. В частности, отсюда сразу следует, что лишь самое нижнее положе-
ние равновесия устойчиво. Однако исследование характера неустойчивости
остальных точек и строгая классификация требуют вычисления типа этих
точек как критических точек интегрального отображения.
Теорема 6. Точки c1,2 для всех значений λ > 0 являются невырожден-
ными критическими точками ранга 0 интегрального отображения. При
этом c1 имеет тип “центр-центр-центр”, c2 — тип “центр-центр-седло”.
Точка c3 при всех λ > 0 имеет тип “центр-седло-седло”, однако, размер-
ность алгебры симплектических операторов в этой точке падает до двух
при λ2 = q−, где
q− =
(a+ b)2
a− b
.
Точка c4 является невырожденной при значениях λ2 /∈ {q+, q1, q2}, где
q+ =
(a− b)2
a+ b
, q1 = 2
(
√
a−
√
b
)2
< q2 = 2
(
√
a+
√
b
)2
. (20)
Она имеет тип “седло-седло-седло” при λ2 < q1, “седло-фокус-фокус” при
λ2 ∈ (q1, q2), и “седло-центр-центр” при λ2 > q2, значение λ2 = q+ отвечает
падению размерности алгебры операторов и на тип не влияет.
Доказательство. Поскольку все точки ck являются невырожденными
критическими точками гамильтониана в смысле Морса, то в этих точках
также dK = 0, dG = 0. Независимость операторов AH , AK , AG в точках (19)
проверяется непосредственно в пространстве R
9 и нарушается лишь для то-
чек c3,4 при значениях λ2 = q∓ соответственно. Одновременно иметь по паре
совпадающих собственных чисел эти три оператора могут лишь в точке c4
при λ2 = q1,2, где q1, q2 определены в (20). Переменную характеристического
многочлена оператора AH в точке ck ∈ R
9 обозначим через κ. После со-
кращения на множитель κ
3, отвечающий геометрическим интегралам, этот
36
Типы критических точек гиростата Ковалевской в двойном поле
многочлен имеет следующие корни относительно κ
2:
κ
2
1 = hk, κ
2
2,3 =
1
4
hk −
λ2
2
±
√
(
hk −
λ2
2
)2
− 4ε1ε2ab
.
Поэтому AH не является регулярным элементом соответствующей подалге-
бры лишь для точки c4 при одном из условий λ2 = q1,2. Утверждение теоремы
следует теперь из анализа знаков найденных корней.
Заключение. В работе представлена вся информация об аналитиче-
ских характеристиках критических точек интегрального отображения для
неприводимой интегрируемой системы с тремя степенями свободы, описыва-
ющей движение гиростата типа Ковалевской в двойном силовом поле. С
использованием условий существования критических движений, найденных
в [11], предоставляется возможность построения диаграмм критических под-
систем, т.е. таких множеств на плоскости констант двух независимых (почти
всюду) первых интегралов, которые классифицируют критические точки по
рангам и типам. После этого в большинстве случаев можно указать и ха-
рактер бифуркации интегрального многообразия, происходящей при пересе-
чении соответствующего участка бифуркационной поверхности в пространс-
тве R
3 констант общих интегралов. В силу высокой технической сложности
задачи вряд ли можно рассчитывать на получение полной аналитической
классификации топологических инвариантов (т.е. построения всех разделя-
ющих поверхностей с указанием условий существования движений в про-
странстве всех параметров задачи), однако с помощью компьютерного моде-
лирования можно построить новые интересные примеры трехмерной фазовой
топологии.
1. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие
в задачах математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1984. – 48, 5. –
С. 883–938.
2. Yehia H.M. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun.
– 1986. – 13, 3. – P. 169–172.
3. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным
параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило-
жения. – 1988. – 22, 2. – С. 87–88.
4. Зотьев Д.Б., Харламов М.П. Изоэнергетические многообразия и области возможно-
сти движения твердого тела в двойном поле сил // Нелинейная динамика. – 2005. –
1, 1. – С. 23–31.
5. Харламов М.П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном
поле // Механика твердого тела. – 2007. – № 37. – С. 85–96.
6. Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообра-
зия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр.
мат. вестн. – 2004. – 1, 4. – С. 564–582.
7. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения // Ме-
ханика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 20–30.
8. Харламов М.П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных
полях // Нелинейная динамика. – 2007. – 3, 3. – С. 331–348.
37
М.П. Харламов, П.Е. Рябов, А.Ю. Савушкин, Г.Е. Смирнов
9. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams and critical subsystems of the Kowalevski gyrostat
in two constant fields // Hiroshima Math. J. – 2009. – 39, 3. – P. 327–350.
10. Yehia H.M. On certain integrable motions of a rigid body acted upon by gravity and
magnetic fields // Int. J. of Non-Linear Mech. – 2001. – 36, 7. – P. 1173-1175.
11. Харламова И.И., Смирнов Г.Е. Условия существования периодических движений ги-
ростата Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. –
С. 50–62.
12. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, то-
пология, классификация. В 2-х т. – Ижевск: Изд-во РХД, 1999. – Т. 1. – 444 с.; Т. 2.
– 448 с.
13. Рябов П.Е. Классификация особенностей в задаче о движении гиростата Ковалевской
в двойном поле сил // X Междунар. конф. “Устойчивость, управление и динамика
твердого тела”: Тез. докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2008. – С. 78.
M.P. Kharlamov, P.E. Ryabov, A.Y. Savushkin, G.E. Smirnov
Types of critical points of the Kowalevski gyrostat in double field
The problem of motion of the Kowalevski type gyrostat in double force field is considered.
According to the classification used in the theory of Liouville integrable Hamiltonian systems,
the types of critical points of all ranks of the integral map are calculated.
Keywords: Kowalevski gyrostat, double field, type of critical point.
М.П. Харламов, П.Є. Рябов, О.Ю. Савушкiн, Г.Є. Смiрнов
Типи критичних точок гiростата Ковалевської в подвiйному полi
Вiдповiдно до класифiкацiї, прийнятої в теорiї iнтегровних за Лiувiллем гамiльтонових
систем, обчислено типи критичних точок всiх рангiв iнтегрального вiдображення задачi
про рух гiростата Ковалевської в подвiйному силовому полi.
Ключовi слова: гiростат Ковалевської, подвiйне поле, тип критичної точки.
Волгоградский филиал РАНХиГС, Россия
Финансовый ун-т, Москва, Россия
МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
mharlamov@vags.ru, glebevgen@yandex.ru
Получено 10.11.11
38
|