О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями
Изучается движение в поле силы тяжести гиростата, имеющего неподвижную точку. Предполагается, что направление переменного гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе. Показано, что для уравновешенного гиростата класс движений, характеризующихся двумя линейными инвариантными соотношени...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71578 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 39-50. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71578 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715782014-12-07T03:02:04Z О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями Волкова, О.С. Изучается движение в поле силы тяжести гиростата, имеющего неподвижную точку. Предполагается, что направление переменного гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе. Показано, что для уравновешенного гиростата класс движений, характеризующихся двумя линейными инвариантными соотношениями, исчерпывается движениями с перманентной осью вращения. Для тяжелого гиростата получены новые семейства решений с одним либо двумя линейными инвариантными соотношениями уравнений движения. Вивчається рух гiростата з нерухомою точкою в полi сили тяжiння. Припускається, що напрямок змiнного гiростатичного моменту фiксовано у пов’язаному iз корпусом гiростата базисi. Показано, що для зрiвноваженого гiростата клас рухiв, якi характеризуються двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями, вичерпується рухами з перманентною вiссю обертання. Для важкого гiростата отримано новi сiм’ї рухiв з одним або двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями рiвнянь руху. The paper concerns a motion of a nonautonomous gyrostat with fixed point in the gravity field under the assumption that the direction of variable gyrostatic momentum is fixed in the rotating frame. For the balanced gyrostat it is shown that motions characterized by two linear invariant relations represent rotations about a permanent axis. The exact solutions of the motion equations are obtained for a heavy gyrostat in the case of one or two linear in angular velocity invariant relations. 2011 Article О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 39-50. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71578 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучается движение в поле силы тяжести гиростата, имеющего неподвижную точку. Предполагается, что направление переменного гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе. Показано, что для уравновешенного гиростата класс движений, характеризующихся двумя линейными инвариантными соотношениями, исчерпывается движениями с перманентной осью вращения. Для тяжелого гиростата получены новые семейства решений с одним либо двумя линейными инвариантными соотношениями уравнений движения. |
| format |
Article |
| author |
Волкова, О.С. |
| spellingShingle |
Волкова, О.С. О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями Механика твердого тела |
| author_facet |
Волкова, О.С. |
| author_sort |
Волкова, О.С. |
| title |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| title_short |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| title_full |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| title_fullStr |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| title_full_unstemmed |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| title_sort |
о движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71578 |
| citation_txt |
О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 39-50. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT volkovaos odviženiâhgirostataharakterizuûŝihsâlinejnymipokomponentamuglovojskorostiinvariantnymisootnošeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-05T20:31:47Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:31:47Z |
| _version_ |
1836840395343921152 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. О.С. Волкова
О ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХСЯ
ЛИНЕЙНЫМИ ПО КОМПОНЕНТАМ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
ИНВАРИАНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ
Изучается движение в поле силы тяжести гиростата, имеющего неподвижную точку. Пред-
полагается, что направление переменного гиростатического момента фиксировано во вра-
щающемся базисе. Показано, что для уравновешенного гиростата класс движений, харак-
теризующихся двумя линейными инвариантными соотношениями, исчерпывается движе-
ниями с перманентной осью вращения. Для тяжелого гиростата получены новые семей-
ства решений с одним либо двумя линейными инвариантными соотношениями уравнений
движения.
Ключевые слова: гиростат с неподвижной точкой, переменный гиростатический
момент, линейное инвариантное соотношение.
Введение. Рассмотрим механическую систему, состояющую из тела-
носителя S, имеющего неподвижную точку, и жестко закрепленных на нем
тел Si, i = 1, 2, .. n, для каждого из которых общая с носителем ось будет
главной центральной осью инерции. Предположим также, что несомые те-
ла обладают динамической симметрией относительно своей оси крепления.
В случаях, когда угловые скорости тел Si – заданные функции времени
либо известна составляющая момента сил, действующих на Si со стороны
S, относительно их общей оси, уравнения движения такой системы имеют
вид (см. [1])
Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)×ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
где J = diag(J1, J2, J3) – обобщенный тензор инерции, ω – угловая скорость
тела-носителя в подвижном базисе, ν – орт вертикали, e – вектор, направлен-
ный вдоль барицентрической оси, λ – переменный гиростатический момент.
Другие конструкции гиростатов как систем, суммарный момент количества
движения которых представим в виде суммы Jω + λ, приведены в [2]. В
частности, гиростатом будет твердое тело с маховиками, вращающимися с
постоянной или переменной угловой скоростью. Такие системы рассматрива-
ли А.И. Лурье, К. Магнус, Й. Виттенбург и другие.
Уравнения (1) допускают два первых интеграла
(Jω + λ, ν) = g, |ν|2 = 1. (2)
Параметр |e|, равный произведению веса гиростата на расстояние от центра
масс до неподвижной точки, не существенен. Для уравновешенного гироста-
та |e| = 0, в ином случае замена ω̃ = |e|−1/2ω, λ̃ = |e|−1/2λ, t̃ = |e|1/2t
позволяет ввести единичный вектор ẽ = e/|e|.
39
О.С. Волкова
Предположим, что λ = λ(t)α, |α| = 1, где λ(t) – непрерывная и огра-
ниченная вместе со своей производной функция времени. Будем исследовать
движения гиростата, при которых проекция его угловой скорости на неко-
торую фиксированную в подвижном базисе плоскость остается постоянной.
Тогда для любых единичных векторов γ1 и γ2 из этой плоскости выполня-
ется (ω,γ1) = c1, (ω,γ2) = c2, где c1, c2 – постоянные. Случай c1 = c2 = 0
соответствует движениям с перманентной осью вращения, которые изучались
ранее в работах [3, 4]. Здесь же будем считать, что c21 + c22 6= 0. Положим
β1 =
(c1 − c2 cosψ)γ1 + (c2 − c1 cosψ)γ2
sinψ
√
c21 + c22 − 2c1c2 cosψ
, β2 =
c2γ1 − c1γ2
√
c21 + c22 − 2c1c2 cosψ
,
где через ψ обозначен угол между γ1 и γ2. Очевидно, что |β1| = |β2| = 1,
β1 ⊥ β2, а система (1) допускает инвариантные соотношения
(ω,β1) = c, (ω,β2) = 0, где c =
√
c21 + c22 − 2c1c2 cosψ
sinψ
. (3)
В классической постановке (λ = 0) двум линейным инвариантным соот-
ношениям соответствуют решение Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова [5, 6] и
решение задачи о движении физического маятника. При λ = const решение
уравнений (1) с двумя линейными по ω инвариантными соотношениями по-
лучено П.В. Харламовым [7]. Два линейных по ω и ν инвариантных соотно-
шения уравнений Кирхгофа – Пуассона изучались С.В. Скрыпник с учетом
гидродинамической аналогии: в [8] соответствующие результаты П.В. Хар-
ламова для задачи о движении тела в жидкости [9] перенесены на задачу о
движении гиростата в поле потенциальных и гироскопических сил. В настоя-
щей работе будем считать, что гиростатический момент зависит от времени,
т.е. λ(t) 6= const, а инвариантные соотношения имеют вид (3) и не содержат
компонент орта вертикали ν. Тогда вектор угловой скорости ω удовлетво-
ряет разложению
ω = cβ1 + ω (β1 × β2), ω = (ω,β1 × β2) 6= const, (4)
поскольку равномерные вращения здесь не рассматриваются.
Обозначим через K суммарный момент количества движения Jω + λα.
Из разложения (4) следует, что K = ωJ(β1×β2)+λα+cJβ1. Значит, должно
выполняться хотя бы одно линейное по K соотношение, а именно:
(K,σ) = c(Jβ1,σ) при σ = J(β1 × β2)×α 6= 0 (5)
и
(K, r) = c(Jβ1, r), (K,α× r) = c(Jβ1,α× r) при J(β1×β2)‖ α ⊥ r. (6)
Введем x, y, z – проекции K на векторы β2, β1 × β2 и β1 соответственно и
перепишем в этих обозначениях динамические уравнения системы (1):
ẋ = cy − ωz + (e× ν,β2),
ẏ = −cx+ (e× ν,β1 × β2),
ż = ωx+ (e× ν,β1).
(7)
40
О движениях гиростата
Кинематические уравнения с учетом разложения (4) можно записать в виде
(ν̇ ,β1) = ω (ν,β2),
(ν̇ ,β1 × β2) = −c(ν,β2),
(ν̇ ,β2) = c(ν ,β1 × β2)− ω (ν,β1).
(8)
Отметим, что (ν,β2) 6= 0, иначе из (8) следовало бы ν̇ = 0 и ω ‖ (β1 × β2).
1. Два линейных инвариантных соотношения в задаче о движе-
нии уравновешенного гиростата. Изучим движение гиростата с гиро-
статическим моментом λ(t)α в случае Л. Эйлера – Н.Е. Жуковского. Пусть
центр масс системы совпадает с неподвижной точкой, т.е. |e| = 0. Тогда, вдо-
бавок к первым интегралам (2), уравнения движения допускают интеграл
x2 + y2 + z2 = k2 = const, (9)
выражающий постоянство модуля момента количества движения K.
Утверждение 1. Для уравновешенного гиростата класс движе-
ний, характеризующийся инвариантными соотношениями (3), исчерпывае-
тся движениями с перманентной осью вращения.
Доказательство. Пусть c 6= 0. Отдельно рассмотрим два случая:
a) J(β1 × β2) ‖ α. Обозначив (Jα,β1 × β2)ω + λ через p, запишем
x = (α,β2)p+ c(Jβ1,β2),
y = (α,β1 × β2)p+ c(Jβ1,β1 × β2),
z = (α,β1)p+ c(Jβ1,β1).
(10)
Левая часть интеграла (9) представляет собой квадратичную функцию p :
p2 + 2c(Jβ1,α)p+ c2(Jβ1)
2 = k2,
следовательно, p = const, ẋ = ẏ = ż = 0, а из (7) и x = y = z = 0. Согласно
(10), p выражается через c только при Jβ1 ‖ J(β1 × β2). Но поскольку
J(β1 × β2)× Jβ1 = J−1β2 detJ 6= 0, это условие невыполнимо.
b) J(β1 × β2) ∦ α. Пусть сначала (σ,β2) = 0 : в этом случае
(J(β1 × β2),β1) ẏ ≡ (J(β1 × β2),β1 × β2) ż.
Подстановка полученного тождества в систему (7) снова приводит к триви-
альному решению x = y = z = 0. Относительно переменных λ и ω равенства
x = 0, y = 0 – это система линейных неоднородных уравнений с постоянными
коэффициентами, определитель которой (σ,β1) 6= 0, иначе выполнялось бы
J(β1 × β2) ⊥ (β1 × β2). Значит, λ и ω – постоянные величины.
Теперь предположим, что (σ,β2) 6= 0. Тогда
x ≡ Ay +Bz + C, (11)
41
О.С. Волкова
где A = −(σ,β1×β2)/(σ,β2), B = −(σ,β1)/(σ,β2), C = c(σ,Jβ1)/(σ,β2).
Обратимся к системе (7). Поскольку x = 0 влечет за собой y = z = 0, а
значит, и λ, ω = const, будем считать, что x 6= 0. На промежутках знакопо-
стоянства функции x(t) произведем замену t → τ : τ̇ = x. Теперь систему
(7) можно проинтегрировать:
y = −cτ, z =
∫
ω(τ)dτ, x2 = k2 − y2 − z2.
Первый интеграл (9) перепишем с учетом равенства (11):
(A2 + 1)y2 + (B2 + 1)z2 + 2AByz + 2C(Ay +Bz) = const. (12)
Зная зависимости y(τ) и y(ω, λ), z(τ) и z(ω, λ), исключим λ и выразим ω(τ):
ω(τ) =
−1
(σ,β2)
[
(α,β1 × β2)
∫
ω(τ)dτ + (α,β1)cτ + c(Jβ1 ×α,β2)
]
. (13)
Из уравнения (13) находим:
z(τ) =
∫
ω(τ)dτ = z0 −
cτ [(α,β1)τ + 2(Jβ1 ×α,β2)]
2(σ,β2)
при (α,β1×β2) = 0 и
z(τ) =
∫
ω(τ)dτ = z̃0 −
cτ(α,β1) + ω0 exp
−(α,β1×β2)τ
(σ,β2)
(α,β1 × β2)
при (α,β1 ×β2) 6= 0.
Постоянные z0, ω0 здесь произвольны за исключением единственного огра-
ничения ω0 6= 0, а z̃0 зависит от остальных параметров. При (σ,β2) 6= 0 и
(α,β1 × β2) = 0 обязательно (α,β1) 6= 0, поэтому в первом случае z(τ) со-
держит τ2, а (B2+1)z2 – соответственно τ4. Степень остальных слагаемых в
левой части (12) меньше, а следовательно, (12) не может выполняться тожде-
ственно по τ . При (σ,β2) 6= 0, (α,β1 × β2) 6= 0 тождественное выполнение
(12) противоречит трансцендентности функции exp −(α,β1×β2)τ
(σ,β2)
.
Таким образом, предположение c 6= 0 приводит к противоречию.
2. Два линейных инвариантных соотношения в задаче о движе-
нии тяжелого гиростата. В этом случае вспомогательную переменную
времени τ выберем так, чтобы проинтегрировать кинематические уравне-
ния (8):
t→ τ : τ̇ = (ν,β2) при (ν,β2) ≷ 0.
Тогда
(ν,β1 × β2) = −cτ, (ν,β1) =
∫
ω(τ)dτ, (14)
τ̇ = ±
√
1− c2τ2 −
(
∫
ω(τ)dτ
)2
, (15)
42
О движениях гиростата
причем зависимость ω(τ) предстоит найти из условий совместности системы
(1) относительно функции λ(τ).
После исключения λ из уравнений (1) система сводится к двум интегро-
дифференциальным уравнениям на функцию ω(τ). Как следствие из них, мы
можем получить алгебраические соотношения, представляющие собой мно-
гочлены по ω и τ с коэффициентами, зависящими от параметров. В общем
случае проверка существования функции ω(τ), удовлетворяющей обоим соо-
тношениям, пока не проведена ввиду сложности вычислений.
Исследуем частный случай, при котором проекция суммарного момен-
та количества движения на барицентрическую ось остается постоянной, т.е.
выполняется (K,e) = const. Рассмотрены будут два варианта: когда соотно-
шение (K,e) = const совпадает с каким-либо из линейных по K соотношений
(5),(6) либо когда оно выполняется вдобавок к этим соотношениям.
В качестве вспомогательного утверждения приведем без доказательства
Предложение 1. Если во время движения тяжелого гиростата с
гиростатическим моментом λ = λ(t)α 6= const выполняются условия (3) и
K̇ = 0, то это движение – маятниковое вращение вокруг вертикали.
Докажем основное утверждение работы.
Утверждение 2. Движения тяжелого гиростата с гиростати-
ческим моментом λ = λ(t)α, характеризующиеся инвариантными соотно-
шениями (3) и дополнительным условием (K,e)= const, возможны только
при выполнении
(K,β2) = 0, e ⊥ β2. (16)
Доказательство. Итак, пусть (K̇,e) = 0. При e ⊥ β2 из (7) следу-
ет (K̇,e) = x(e × β2,ω) = 0, откуда при c|e| 6= 0 получаем x = 0.
Предположим, что e 6⊥β2. Здесь уместно отступить от изложенной выше
общей схемы исследования. Начнем с рассмотрения случая
A) α ⊥ e, J(β1×β2) ⊥ e. Из проекции динамического уравнения (1) на
вектор e выразим (K,α) и продифференцируем по ω:
(K,α) =
(Jω,e×α)(ω,α)
(ω,e×α)
, (ω,e×α) 6≡ 0 при e 6⊥β2; (17)
(K,α)′ω =
−(σ,e)(ω,α)
(ω,e×α)
+
c(e,β2)(Jω,e×α)
(ω,e×α)2
.
Проекции на α и e×α позволяют выразить (ν,α× e) и (ν,α) :
(ν,α× e) = (K,α)′ωω̇ − (Jω × ω,α),
(ν,α) = −(σ,e)ω̇ + (Jω × ω,α)(ω,α)(ω,e×α)−1.
(18)
Умножив динамическое уравнение (1) скалярно на ω и разделив обе стороны
на ω̇ (ω 6= const), получим
(ν,e)′ω = (K,α)′ω(ω,α)− (σ,e)(ω,e×α). (19)
43
О.С. Волкова
При (e × α,β1 × β2) = 0 интегрирование (19) дает многочлен 3-й степени
по ω; в ином случае (ν,e) – выражение вида
p1(ω) ln (ω,e×α) + p3(ω)
(ω,e×α)
, где
p1, p3 – многочлены по ω соответственно 1-й и 3-й степени. Теперь из геоме-
трического интеграла (ν,α)2 + (ν,α× e)2 + (ν,e)2 = 1 получаем уравнение
вида
a(ω)ω̇2 + b(ω)ω̇ + c(ω) = 0, (20)
коэффициенты которого здесь приводить не будем.
Второе уравнение для ω̇ получим из равенства (ν̇,ω) = 0. Принимая во
внимание (18),(19) и (ω,α)(ν,α)′ω + (ω,α× e)(ν,α× e)′ω + (ω,e)(ν ,e)′ω = 0,
имеем
(Jω,e×α)(ω,e×α)ω̇′
ω = 2c(J (e×α)×β2,e×α)ω̇ + f(ω), (21)
где
f(ω) =
1
c(e,β2)
[2(σ,e)(ω,e) + (Jω ×α,β1 × β2)] [(ω,e)
2 − ω2](ω,e×α)−
− (ω,α) (Jω ×α,ω + e(ω,e)) .
Левая часть (21) может обращается в нуль только при (Jω,e×α) = 0. Но
тогда (K,e×α) = 0, (K,α) = 0 по формуле (17), а (K,e) = const по
предположению. Следовательно, K̇ = 0. Согласно Предложению 1, движе-
ние в этом случае будет происходить вокруг перманентной оси, т.е. c = 0 в
инвариантных соотношениях (3), что не рассматривается.
Таким образом, для функции ω̇(ω) имеем алгебраическое (20) и линейное
дифференциальное (21) уравнения. Общее решение однородной части уравне-
ния (21) имеет вид w̃0(ω,e×α)2(Jω,e×α)−2, а общее решение неоднородного
уравнения представимо суммой
ω̇ =
p2(ω) ln (ω,e×α) + p5(ω)
(Jω,e×α)2
, (22)
где p2, p5 – многочлены по ω не выше 2-й и 5-й степени соответствен-
но. Подставим (22) в уравнение (20) и потребуем, чтобы полученное равен-
ство выполнялось тождественно по ω. Отдельно рассмотрим возможности
α ∦ J(β1 × β2) и α ‖ J(β1 × β2).
a) α ∦ J(β1×β2). В этом случае всегда выполняется J(e×α) 6⊥ (β1×β2).
Если дополнительно (e × α,β1 × β2) = 0, то числитель в (20) будет много-
членом 12-й степени по ω, старший коэффициент которого исчезает только
при α ‖ β1×β2. Но коэффициент при ω10 в этом случае строго больше нуля.
При (e×α,β1×β2) 6= 0 числитель в (20) – квадратичная функция относи-
тельно ln (ω,e×α), коэффициенты которой – полиномы по ω. Коэффициент
при ω14 ln0 (ω,e×α) равен нулю, только если (e,β1 × β2) = 0. Но тогда
коэффициент при ω12 ln0 (ω,e×α) будет строго положительным.
b) α ‖ J(β1×β2). В этом случае необходимо потребовать J(e×α) 6⊥β1,
иначе K̇ = 0. Если при этом (e × α,β1 × β2) = 0, то (20) – полином 6-й
степени по ω. Его старший член равен нулю только при α ‖ β1 × β2, но
44
О движениях гиростата
тогда коэффициент при ω4 равен сумме квадратов, один из которых в нуль
не обращается. Если же (e × α,β1 × β2) 6= 0, то левая часть (20) квадра-
тична по ln (ω,e×α). Равенство нулю коэффициента при ω6 ln0 (ω,e×α)
можно обеспечить только за счет требования (Jβ1 × α,β1 ×β2) = 0. Тогда
коэффициент при ω4 ln2 (ω,e×α) исчезает в единственном случае: когда
(α,β1 ×β2) = 0. Но при условии b) это равенство невыполнимо.
Таким образом, предположение e 6⊥β2 приводит к противоречию.
B) α ‖ J(β1 ×β2) 6⊥ e. В этом случае дополнительное к (6) соотношение
(K,e) = const влечет за собой K̇ = 0. Применяя Предложение 1 заключаем,
что при ненулевой постоянной c решений нет.
C ) α×J(β1×β2) ∦ e. Как уже было показано, e⊥β2 приводит к K⊥β2.
Пусть теперь e 6⊥β2. Тогда проекции динамического уравнения на e, σ и ω
образуют полную систему. Рассмотрим первую из них с учетом (K,e) = K0:
(Jω × ω,e) + (α× ω,e)λ = 0 при (Jω,e) + (α,e)λ = K0. (23)
Отметим, что (α,e) 6= 0, иначе выполнялось бы и (Je,β1 × β2) = 0. Исклю-
чив из (23) λ и получив квадратное уравнение относительно ω, потребуем,
чтобы его коэффициенты были нулевыми. Старший коэффициент исчезает
при
((e× σ)× e, β1 × β2) = 0. (24)
Далее, аналогично доказательству случая A), из проекций на ω и σ получаем
(ν,e)(α,e) = (e× σ,β1 × β2)
ω2
2
+ c(e× σ,β1)ω + h,
(ν,e× σ)(α,e) = (Jω ×α, (ω × σ)× e) +K0(α× ω,σ).
(25)
С учетом выражений (14) и равенства (24), из уравнений (25) выразим τ(ω):
(e× σ, e× β1)cτ = (ν,e× σ)(e,β2)− (ν,e)(e × σ,β2).
Коэффициент (e × σ,e × β1) 6= 0, поскольку вместе с (24) это привело бы к
e ⊥ β2. Таким образом, τ – квадратичная функция ω. Значит,
∫
ωdτ =
=
∫
ωτ ′(ω)dω – многочлен от ω не выше 3-й степени. Воспользовавшись
разложением (e,β2)τ̇ = (ν,e)+(e,β1×β2)cτ−(e,β1)
∫
ωdτ и учтя выражение
(15) для τ̇ , получим многочлен 6-й степени от ω, который тождественно в нуль
не обращается. Отсюда делаем вывод, что предположение e 6⊥β2 не верно.
Таким образом, e ⊥ β2 и K ⊥ β2. Утверждение доказано.
Условиям (16) соответствуют три различных семейства решений.
1) Решение существует при условиях α ⊥ e ⊥ β2 ‖ Jβ2 ⊥ α ‖ J(β1×β2),
λ(τ) = −(J(β1 × β2),α)ω(τ) + (α× e,β2)τ + λ0, λ0 = const,
а функция ω(τ) задана уравнением
[(α× e,β2)τ + λ0](α× β2,ω) + c(Jβ1 × β2,ω) =
=(e,β1 × β2)
∫
ωdτ + (e,β1)cτ.
(26)
45
О.С. Волкова
При e ∦ β1 из (26) получаем
ω(τ)=
ω0
[(e,β1 × β2)τ − c(Jβ1,β1)− λ0(α,β1)]2
− c(e,β1)
(e,β1 × β2)
, ω0 = const.
Зависимость компонент вектора ν от τ вычисляется по формулам (14), а
функция τ(t) определяется эллиптической квадратурой (15).
При e ‖ β1 из перечисленных выше условий на параметры следует, что
все три вектора β1, β2, β1×β2 направлены вдоль главных осей эллипсоида
инерции. Уравнение (26) при этом вырождается в алгебраическое,
ω(τ)=
2τ(e,β1) + λ0
J1
; λ(τ)=
(J1 − 2J3)(e,β1)τ + λ0(J1 − J3)
J1
.
Положив J1 = 2J3, λ0 = 0, получим известное решение Бобылева – Стеклова
задачи о движении твердого тела. При J1 6= 2J3 функции λ(τ), ω(τ) линейны
по τ , зависимость τ(t) – эллиптическая.
2) Набор условий e ‖ β1, α ⊥ β2 ‖ Jβ2, (Jβ1,β1 × β2)(α,e)|σ| 6= 0
обеспечивает существование решения с
λ(τ) =
−(Je,β1× β2)τ
(σ,β2)
+ λ0, ω(τ) =
(α,e)τ
(σ,β2)
+ ω0,
причем постоянные λ0 и ω0 здесь однозначно определены параметрами
гиростата и инвариантными соотношениями (3):
λ0 =
2c(σ,β2)
(α,β1)2
− c(Jβ1,β1) + ω0(Jβ1,β1× β2)
(α,β1)
,
ω0 = c
(
2(α,β1× β2)
(α,β1)
+
(Jβ1 ×α,β2)
(σ,β2)
)
.
3) Условия e ‖ β1 ⊥ σ×β2, (Jβ1×α,β1×β2)=−2(σ,β1) 6= 0, (α,β2) 6= 0
приводят к
λ(τ) =
(Jβ2,β1 × β2)(e,β1)τ
(σ,β1)
+ λ0, ω(τ) =
−(e,β1)(α,β2)τ
(σ,β1)
+ ω0, где
λ0 = −(Jβ2,β1 × β2)ω0 + c(Jβ2,β1)
(α,β2)
, ω0 =
c(Jβ1 ×α,β1)
(σ,β1)
.
Требование (Jβ1 ×α,β1× β2)=−2(σ,β1) эквивалентно условию
3(Jβ1 ×α,β1× β2) = 2[(α,β2)trJ − (α,Jβ2)], (27)
которое не противоречит равенству (σ,β1×β2)= (J (β1×β2)×α,β1×β2) = 0.
Например, если β1 ⊥ J(β1 × β2) 6⊥ β2 , α ‖ β2, то (σ,β1) 6= 0, λ 6= const, а
(27) принимает вид (Jβ1,β1) = 2(J (β1× β2),β1× β2).
46
О движениях гиростата
Поскольку в случаях 2), 3) функция ω(τ) линейна по τ , то уравнение
(15), задающее зависимость τ(t), интегрируется в эллиптических функциях;
проекции (ν,β1), (ν,β1 × β2) вычисляются по формулам (14).
Решения 1)–3) обладают некоторыми общими свойствами, которые следу-
ют из (K̇,e)=(K,β2)=(e,β2) = 0 и без этих условий выполняться не могут.
Показано, что:
a) все решения с инвариантными соотношениями (3), при которых три
компоненты вектора K линейны по τ , описываются наборами условий 1)–3);
б ) все решения с инвариантными соотношениями (3), при которых
λ(τ) = c1ω(τ) + c2, c1, c2 = const, описываются наборами условий 2), 3)
и 1) с дополнительным ограничением J(β1 × β2) ‖ (β1 × β2).
3. Одно линейное инвариантное соотношение в задаче о движе-
нии тяжелого гиростата. Получим аналогичные результаты и для задачи
с ровно одним инвариантным соотношением (ω,β) = 0 : выпишем все реше-
ния при условиях (K,e) = K0, (K,β) = 0, e ⊥ β.
Кинематические уравнения запишем в виде
(ν,β) = τ̇ , (ν,e) =
∫ τ
τ0
(ω,e× β)dτ + ν0, (ν,e× β) =−
∫ τ
τ0
(ω,e)dτ + ν∗0 , (28)
τ̇ = ±
√
1−
(
∫ τ
τ0
(ω,e× β)dτ + ν0
)2
−
(
∫ τ
τ0
(ω,e)dτ − ν∗0
)2
. (29)
I) Если выполняется α ⊥ β ‖ Jβ ⊥ e, J(α× β) ⊥ (e× β), K0(α,e) 6= 0,
то
(ω,e)=
(α,e)τ−K0(α× e,β)
(Je,α× β)
, (ω,e× β)=
3(α,e)K−1
0 τ2− 4(α× e,β)τ+ ω0
2(Je,α× β)
,
λ =
−3(Je,e× β)K−1
0 τ2+ 2[2(Jα,e× β)(α,e× β)− (Je,e)]τ + λ0
2(Je,α× β)
,
где λ0 = (Jα,e× β)[2(α,e)K0− ω0 ]. Таким образом, λ− квадратичная фун-
кция τ , а квадратура (29), задающая τ(t)− гиперэллиптическая. Отметим,
что выражение (Je,α× β) при заданных условиях в нуль не обращается.
Зависимость от τ компонент вектора ν вычисляется согласно (28).
Постоянную ν0 можно выбирать произвольно, а ν∗0 связана с остальными
параметрами соотношением
ν∗0 = [τ(ω,e)−K0(ω,e× β)]τ=τ0 .
II) Если же выполнено α ⊥ β ‖ Jβ ⊥ e, (J(α× β),e× β)(α,e) 6= 0, то
(ω,e) =
K0(α,e)
2(J(α× β),e× β)
+ c0(τ + a)−2, a =
(J(α× β),e)K0
(J(α× β),e× β)
, c0 = const,
(ω,e× β) =
(α,e)τ −K0(α× e,β)− (J(α× β),e)(ω,e)
(J(α× β),e× β)
,
47
О.С. Волкова
λ =
−(Je,e× β)τ +K0(J(e× β),e× β)− (J(e× β),Je× β)(ω,e)
(J(α× β),e × β)
.
В случае, когда постоянная c0 принимает нулевое значение, имеем второе
инвариантное соотношение (ω,e) = const, и выписанное выше решение соот-
ветствует решению 2) из пункта 2.
III) Следующий набор условий на параметры и начальные значения
J(α× (e× β)) ‖ β ⊥ e, K0 = 0, (α,β) 6= 0, J(e× β) ∦ α
обеспечивает существование решения вида
(ω,e) = c0τ
−2, (ω,e× β) =
(α,β)τ − c0(Je,e×α)τ−2
(J(e×α),e× β)
, c0 = const,
λ = −(Jβ,e× β)τ + c0(J(e× β),Jβ × β)τ−2
(J(e×α),e × β)
.
Положив и в этом случае c0 = 0, приходим к маятниковому вращению ги-
ростата с переменным λ вокруг неглавной горизонтальной оси (см. [4]). При
c0 6= 0 функция τ(t), аналогично случаям A),B), задается обращением гипер-
эллиптического интеграла. Если дополнительно выполняется α ‖ Je, имеем
вырожденный случай: зависимость τ2(t) – эллиптическая.
Вопрос об ограниченности функций λ(t), λ̇(t) в общем случае пока оста-
ется открытым. Приведем результаты численного моделирования для неко-
торых конкретных наборов параметров, удовлетворяющих условиям I)–III).
I) Пусть β = (0, 0, 1), J1 = 2, J2 = 3, J3 = 4, α1 =
√
2
2
, α2 =
√
2
2
, α3 = 0,
e1 =
J1α2
√
J2
1α
2
2 + J2
2α
2
1
, e2 = − J2α1
√
J2
1α
2
2 + J2
2α
2
1
, e3 = 0,
τ0 = −0.1, ω0 = 7
√
13/2, K0 = 0.1, ν0 = −0.35.
Графики функций ω1(t), ω2(t), ω3(t) и ν1(t), ν2(t) приведены на рис.1а),б ).
II) Пусть β = (0, 0, 1), J1 = 2, J2 = 3, J3 = 4, α1 =
−1√
30
, α2 =
√
29
30
,
e1 =
J2α1
√
J2
1α
2
2 + J2
2α
2
1
, e2 =
J1α2
√
J2
1α
2
2 + J2
2α
2
1
, e3 = 0, α3 = 0,
τ0 = −2, c0 = −0.05, K0 = 0.1, ν0 = 0.9.
Соответствующие зависимости ω(t) и ν1(t), ν2(t) изображены на рис.1в),г).
III) Пусть β1 =
√
1− J1(J2 − J3)
J3(J2 − J1)
β23 , β2 = β3
√
J2(J1 − J3)
J3(J2 − J1)
, β3 = 0.1,
α1 = 0, α2 =
−J2β3
√
J2
2β
2
3 + J2
3β
2
2
, α3 =
J3β2
√
J2
2β
2
3 + J2
3β
2
2
,
48
О движениях гиростата
J1 = 3, J2 = 2, J3 = 4, e1 = 0, e2 =
β3
√
β22 + β23
, e3 =
−β2
√
β22 + β23
,
τ0 = 10, c0 = −2, K0 = 0, ν0 = 0.4.
На рис.1д),е) приведены графики функций ω1(t), ω2(t), ω3(t) и ν1(t), ν2(t) .
0 2 4 6 8
−3
−2
−1
0
ω
1,
ω 2,
ω 3
1
2
3
0 1 2 3 4
−0.6
−0.2
0.2
0.6
1
ν 1,
ν 2
1
2
а) ω(t) в случае I б ) ν1(t), ν2(t) в случае I
0 3 7 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
ω
1,
ω 2,
ω 3
1
2
3
0 1 2 3 4 5
−0.6
−0.2
0.2
0.6
1
ν 1,
ν 2
1
2
в) ω(t) в случае II г) ν1(t), ν2(t) в случае II
0 2 4 6 8
−3
−2
−1
0
0.7
ω
1, ω
2, ω
3
1
2
3
(ω,β)
0 1 2 3 4
−1
−0.6
−0.2
0.2
0.6
1
ν 1,
ν 2
1
2
д) ω(t) в случае III е) ν1(t), ν2(t) в случае III
Рис. 1. Зависимость ω и ν1, ν2 от времени.
Поскольку λ – линейная комбинация (ω,e) и (ω,e × β), а значит, и
ω1, ω2, ω3, то в указанных случаях функция λ(t) также будет ограниченной.
49
О.С. Волкова
Заключение. Таким образом, задача о движении уравновешенного ги-
ростата в случае, когда проекция угловой скорости на некоторую фиксиро-
ванную в подвижном пространстве плоскость остается постоянной, решена
полностью. Для тяжелого гиростата проведен полный анализ при допол-
нительном предположении (K,e) = const; выписаны точные решения 1)–3)
уравнений движения. Решения I)–III) с подобными свойствами найдены и в
задаче только с одним инвариантным соотношением (ω,β) = 0.
1. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел// Механика твердого
тела – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
2. Харламов П.В. Гiростати // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1988. – № 9. – С. 37-40.
3. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата// Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5 – С. 825–826.
4. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с перемен-
ным гиростатическим моментом// Механика твердого тела. – 2009. – 39. – С. 42–49.
5. Стеклов В.А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподви-
жную точку// Тр. отд. физ. наук О–ва любителей естествознания. – 1896. – 8, вып. 2.
– С. 19–21.
6. Бобылев Д.К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки// Там же. – С. 21–25.
7. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд–во Новосибир.
ун-та, 1965. – 221 с.
8. Скрыпник С.В. Об одном классе двух линейных инвариантных соотношений в обоб-
щенной задаче динамики// Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28. – С. 31–40.
9. Харламов П.В. О решениях уравнений динамики твердого тела// Прикл. математика
и механика. – 1965. – 29, вып. 3. – С. 567–572.
О.S. Volkova
On gyrostat motions characterized by linear in angular velocity
invariant relations
The paper concerns a motion of a nonautonomous gyrostat with fixed point in the gravity
field under the assumption that the direction of variable gyrostatic momentum is fixed in the
rotating frame. For the balanced gyrostat it is shown that motions characterized by two linear
invariant relations represent rotations about a permanent axis. The exact solutions of the motion
equations are obtained for a heavy gyrostat in the case of one or two linear in angular velocity
invariant relations.
Keywords: gyrostat with fixed point, variable gyrostatic momentum, linear invariant relation.
О.С. Волкова
Рухи гiростата, що характеризуються лiнiйними за компонентами
кутової швидкостi iнварiантними спiввiдношеннями
Вивчається рух гiростата з нерухомою точкою в полi сили тяжiння. Припускається, що
напрямок змiнного гiростатичного моменту фiксовано у пов’язаному iз корпусом гiростата
базисi. Показано, що для зрiвноваженого гiростата клас рухiв, якi характеризуються двома
лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями, вичерпується рухами з перманентною вiссю
обертання. Для важкого гiростата отримано новi сiм’ї рухiв з одним або двома лiнiйними
iнварiантними спiввiдношеннями рiвнянь руху.
Ключовi слова: гiростат з нерухомою точкою, змiнний гiростатичний момент,
лiнiйне инварiантне спiввiдношення.
Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, Донецк
volkova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 14.04.11
50
|