О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для уравнений движения определены условия существования двух линейных инвариантных соотношений по всем переменным. Найдена зависимость от времени величин гиростати...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71579 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 51-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71579 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715792014-12-07T03:01:55Z О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Мазнев, А.В. Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для уравнений движения определены условия существования двух линейных инвариантных соотношений по всем переменным. Найдена зависимость от времени величин гиростатического момента и условия на постоянные параметры обобщенных уравнений Кирхгофа, которые характеризуют новое решение этих уравнений. Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту. Для рiвнянь руху визначено умови iснування двох лiнiйних iнварiантних спiввiдношень за всiма змiнними. Знайдено залежнiсть вiд часу величин гiростатичного моменту й умови на постiйнi параметри узагальнених рiвнянь Кiрхгофа, якi характеризують новий розв’язок цих рiвнянь. The problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces in the case of variable gyrostatic momentum is considered. Existence conditions for two linear in all variables invariant relations of the motion equations are defined. Time dependence of the gyrostatic momentum value and the set of parameter conditions that characterize the new solution of the generalized Kirchhoff equations are found. 2011 Article О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 51-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71579 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для уравнений движения определены условия существования двух линейных инвариантных соотношений по всем переменным. Найдена зависимость от времени величин гиростатического момента и условия на постоянные параметры обобщенных уравнений Кирхгофа, которые характеризуют новое решение этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Механика твердого тела |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
о двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71579 |
| citation_txt |
О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 51-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav odvuhlinejnyhinvariantnyhsootnošeniâhuravnenijdviženiâgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentompoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-05T20:31:50Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:31:50Z |
| _version_ |
1836840397922369536 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. А.В. Мазнев
О ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЯХ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ
ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопиче-
ских сил в случае переменного гиростатического момента. Для уравнений движения опре-
делены условия существования двух линейных инвариантных соотношений по всем пере-
менным. Найдена зависимость от времени величин гиростатического момента и условия на
постоянные параметры обобщенных уравнений Кирхгофа, которые характеризуют новое
решение этих уравнений.
Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение.
Введение. Классическая задача динамики о вращении твердого тела
под действием силы тяжести получила многочисленные обобщения, среди
которых можно отметить задачи о движении гиростата с постоянным гиро-
статическим моментом под действием силы тяжести [1–3] и под действием
потенциальных и гироскопических сил [4]. Последняя задача является акту-
альной, поскольку описывается дифференциальными уравнениями, которые
изоморфны уравнениям движения тела в жидкости [4, 5]. Обзор результатов,
полученных в данном разделе механики, представлен в монографии [6].
Во многих объектах современной техники содержатся элементы, кото-
рые являются твердыми симметричными телами, вращающимися вокруг
осей в теле-носителе. Это обстоятельство является практическим обосновани-
ем актуальности моделирования движений системы связанных твердых тел
класса гиростата [3]. Фундаментальными в этом направлении являются рабо-
ты Ж. Лиувилля [7], В. Вольтерра [8], Н.Е. Жуковского [9], поскольку в них
выведены уравнения движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом. Важным этапом в теоретическом моделировании системы гиростатов
можно считать уравнения П.В. Харламова [3]. Простейшие классы движений
гиростата с переменным гиростатическим моментом рассмотрены в [10–13].
Принципиальным отличием задач о движении гиростата с постоянным
гиростатическим моментом от задач о движении гиростата с переменным ги-
ростатическим моментом является различие свойств взаимодействия тела-
носителя и носимых тел. В первом случае гиростатический момент λ =
= const. Во втором случае λ̇(t) = L(t), где функция L(t) либо задана, либо
подлежит определению.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения гиростата под
действием специального класса потенциальных и гироскопических сил с уче-
51
А.В. Мазнев
том переменности гиростатического момента [3, 4]
ẋ = x × ω + λ(α× ω)− Lα+ ω ×Bν + s× ν + ν ×Cν,
ν̇ = ν × ω, λ̇ = L,
(1)
здесь введены обозначения: x = (x1, x2, x3) – момент количества движения;
ω = ax = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости; a = (aij) – гирационный
тензор; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей; L
– функция, характеризующая взаимодействие тела-носителя и носимых тел;
α = (α1, α2, α3) – постоянный единичный вектор, указывающий направление
вектора гиростатического момента λ = λα; s = (s1, s2, s3) – вектор обобщен-
ного цента масс гиростата; B = (Bij) и C = (Cij) – постоянные симметричные
матрицы третьего порядка; точка над переменными x,ν и λ обозначает диф-
ференцирование по времени.
Система (1) допускает два первых интеграла
ν · ν = 1, (x + λα) · ν −
1
2
(Bν · ν) = k, (2)
где k – произвольная постоянная.
Поставим задачу определения функции L = L(t) при условии, что система
(1) допускает два линейных инвариантных соотношения
x1 − (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) = 0, x2 − (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3) = 0. (3)
Обозначая x3 = σ(t), продифференцируем левые части соотношений (3) в
силу скалярных уравнений, вытекающих из (1), и учтем уравнение λ̇ = L.
Тогда получим систему
a23σ
2 − λ(D0 +D1ν1 +D2ν2 +D3ν3 +D4σ) + α1λ̇−
−σ(K0 +K1ν1 +K2ν2 +K3ν3)− (E0 + E1ν1 + E2ν2 + E3ν3 + E11ν
2
1
+
+E22ν
2
2
+ E33ν
2
3
+ 2E12ν1ν2 + 2E13ν1ν3 + 2E23ν2ν3) = 0,
(4)
a13σ
2 + λ(F0 + F1ν1 + F2ν2 + F3ν3 + F4σ)− α2λ̇+
+σ(G0 +G1ν1 +G2ν2 +G3ν3) +M0 +M1ν1 +M2ν2 +M3ν3+
+M11ν
2
1
+M22ν
2
2
+M33ν
2
3
+ 2M12ν1ν2 + 2M13ν1ν3 + 2M23ν2ν3 = 0;
(5)
здесь введены следующие обозначения:
D0 = α2C0 − α3B0, D1 = α2C1 − α3B1, D2 = α2C2 − α3B2,
D3 = α2C3 − α3B3, D4 = α2a33 − α3a23, K0 = a33d0 −B0,
52
О двух инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата
K1 = a33n1 − a23n4 −B1, K2 = a33n2 + a23B23 + a13b3 −B2,
K3 = a33n5 − a13b2 + a23n7 −B3, E0 = d0C0,
E1 = d0C1 + n1C0 − n4B0, E2 = d0C2 + n2C0 + b3A0 +B23B0 − s3,
E3 = d0C3 + n5C0 + n7B0 − b2A0 + s2, E11 = n1C1 − n4B1,
E22 = n2C2 +B23B2 + b3A2 + C23, E33 = n5C3 + n7B3 − b2A3 − C23,
2E12 = n2C1 + n1C2 + b3A1 +B23B1 − n4B2 + C13,
2E13 = n1C3 + n5C1 − b2A1 + n7B1 − n4B3 − C12,
2E23 = n2C3 + n5C2 + n7B2 +B23B3 + b3A3 − b2A2 + C33 − C22;
(6)
F0 = α3A0 − α1C0, F1 = α3A1 − α1C1, F2 = α3A2 − α1C2,
F3 = α3A3 − α1C3, F4 = α3a13 − α1a33, G0 = (a11 − a33)b0 + a12d0,
G1 = a11b1 + n3a33 + a12d1 − a13B13 − a23d3,
G2 = a11b2 − n1a33 + a12d2 + n5a13,
G3 = a11b3 − n4a33 + a12d3 − n6a13 + a23d1;
M0 = −b0C0, M1 = n3C0 − b0C1 − d3B0 −B13A0 + s3,
M2 = −n1C0 + n5A0 − b0C2,M3 = −n4C0 + d1B0 − n6A0 − b0C3 − s1,
M11 = n3C1 − d3B1 −B13A1 − C13, M22 = −n1C2 + n5A2,
M33 = −n4C3 + d1B3 − n6A3 +C13,
2M12 = −n1C1 + n3C2 + n5A1 − d3B2 −B13A2 − C23,
2M13 = n3C3 − n4C1 − n6A1 + b1B1 − d3B3 −B13A3 + C11 − C33,
2M23 = −n1C3 − n4C2 + n5A3 − n6A2 + d1B2 + C12.
(7)
В формулах (6), (7) введены обозначения
Ai = a11bi + a12di, Bi = a12bi + a22di, Ci = a13bi + a23di (i = 0, 3);
n1 = d1 + b2 − b12, n2 = d2 − b1 −B22, n3 = d2 − b1 +B11, (8)
n4 = b3 −B13, n5 = d3 −B23, n6 = d2 +B33, n7 = b1 +B33.
В силу инвариантных соотношений (3), обозначений (8) и равенства x3 = σ
компоненты вектора угловой скорости таковы
ω1 = A0 +A1ν1 +A2ν2 +A3ν3 + a13σ,
ω2 = B0 +B1ν1 +B2ν2 +B3ν3 + a23σ,
ω3 = C0 + C1ν1 +C2ν2 + C3ν3 + a33σ.
(9)
53
А.В. Мазнев
Выпишем, используя соотношения (9), скалярные уравнения, вытекаю-
щие из второго уравнения системы (1):
ν̇1 = C0ν2 −B0ν3 + C1ν1ν2 −B1ν1ν3 + (C3 −B2)ν2ν3 + C2ν
2
2
−
−B3ν
2
3
+ σ(a33ν2 − a23ν3),
ν̇2 = A0ν3 − C0ν1 − C2ν1ν2 + (A1 − C3)ν1ν3 +A2ν2ν3 +A3ν
2
3
−
−C1ν
2
1
+ σ(a13ν3 − a33ν1),
ν̇3 = B0ν1 −A0ν2 + (B2 −A1)ν1ν2 +B3ν1ν3 −A3ν2ν3 +B1ν
2
1
−
−A2ν
2
2
+ σ(a23ν1 − a13ν2).
(10)
Дифференциальное уравнение на функцию σ+α3λ получим, спроектировав
динамическое уравнение из (1) на третью координатную ось
(σ + α3λ)
. = λ(Q0 +Q1ν1 +Q2ν2 +Q3ν3 +Q4σ)+
+σ(L0 + L1ν1 + L2ν2 + L3ν3) +R0 +R1ν1 +R2ν2 +R3ν3+
+R11ν
2
1
+R22ν
2
2
+R33ν
2
3
+ 2R12ν1ν2 + 2R13ν1ν3 + 2R23ν2ν3,
(11)
где
Q0 = α1B0 − α2A0, Q1 = α1B1 − α2A1, Q2 = α1B2 − α2A2,
Q3 = α1B3 − α2A3, Q4 = α1a23 − α2a13, L0 = a23b0 − a13d0,
L1 = a23m1 − a13m2, L2 = a23m3 − a13m4, L3 = a23n4 − a13n5,
R0 = b0B0 − d0A0, R1 = m1B0 + b0B1 −m2A0 − d0A1 − s2,
R2 = m3B0 + b0B2 −m4A0 − d0A2 + s1, (12)
R3 = n4B0 + b0B3 − n5A0 − d0A3, R11 = m1B1 −m2A1 + C12,
R22 = m3B2 −m4A2 − C12, R33 = n4B3 − n5A3,
2R12 = m3B1 +m1B2 −m4A1 −m2A2 + C22,
2R13 = n4B1 +m1B3 − n5A1 −m2A3 + C23,
2R23 = n4B2 +m3B3 − n5A2 −m4A3 − C13,
m1 = b1 −B11, m2 = d1 −B12, m3 = b2 −B12, m4 = d2 −B22.
Интеграл моментов из (2) позволяет выразить переменную σ через перемен-
ные νi (i = 1, 3) и λ:
σ =
1
ν3
[
k − b0ν1 − d0ν2 + (
1
2
B11 − b1)ν
2
1 + (
1
2
B22 − d2)ν
2
2+
+
1
2
B33ν
2
3 − λ(α1ν1 + α2ν2 + α3ν3)
]
.
(13)
54
О двух инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата
Таким образом, задача исследования условий существования у уравнений
(1) инвариантных соотношений (3) может быть сведена к интегрированию
уравнений (4), (5), (11) с интегралами ν · ν = 1 и (13).
Случай λ = λ0+λ1ν1 +λ2ν2 +λ3ν3. Рассмотрим случай, когда λ(t)
является линейной функцией от ν1(t), ν2(t), ν3(t), т.е. положим в (4), (5),
(11), (13)
λ = λ0 + λ1ν1 + λ2ν2 + λ3ν3. (14)
Подставим (14) в выражение (13) и воспользуемся равенством ν2
3
= 1−ν2
1
−ν2
2
.
Тогда получим
σ =
1
ν3
(
ε0 + ε1ν1 + ε2ν2 + ε3ν3 + ε11ν
2
1 + ε22ν
2
2+
+2ε12ν1ν2 + 2ε13ν1ν3 + 2ε23ν2ν3
)
,
(15)
где
ε0 = k − λ3α3 +
1
2
B33, ε1 = −b0 − λ0α1, ε2 = −d0 − λ0α2,
ε3 = −λ0α3, ε11 =
1
2
(B11 −B33 − 2b1 − 2λ1α1 + 2λ3α3),
ε22 =
1
2
(B22 −B33 − 2α2 − 2λ2α2 + 2λ3α3),
2ε12 = B12 − α1 − b2 − λ1α2 − λ2α1,
2ε13 = B13 − b3 − λ1α3 − λ3α1, 2ε23 = B23 − α3 − λ2α3 − λ3α2.
(16)
Подставим выражения (14), (15) в уравнения (4), (5) и учтем уравнения Пуас-
сона (10) на инвариантном соотношении (15). Потребуем, чтобы полученные
уравнения выполнялись для всех значений ν1, ν2, ν3. Тогда нетрудно показать,
что должны выполняться равенства
a13 = 0, a23 = 0. (17)
Поворот подвижной системы координат вокруг третьей координатной оси
не изменяет структуры инвариантных соотношений (3), т. е. выбором этой
системы можно добиться условия a12 = 0. Уравнения Пуассона (10) в обозна-
чениях (8) при выполнении условий a12 = a13 = a23 = 0 примут вид
ν̇1 =
1
ν3
[
a3ν2(ε0 + ε1ν1 + ε2ν2 + ε3ν3 + ε11ν
2
1 + ε22ν
2
2 + 2ε12ν1ν2+
+2ε13ν1ν3 + 2ε23ν2ν3)− a2ν
2
3
(d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3)
]
,
ν̇2 =
1
ν3
[
a1ν
2
3(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3)− a3ν1(ε0 + ε1ν1 + ε2ν2 + ε3ν3+
+ε11ν
2
1
+ ε22ν
2
2
+ 2ε12ν1ν2 + 2ε13ν1ν3 + 2ε23ν2ν3)
]
,
ν̇3 = a0d0ν1 − a1b0ν2 + (a2d2 − a1b1)ν1ν2 + a2d3ν1ν3 − a1b3ν2ν3+
+a2d1ν
2
1
− a1b2ν
2
2
.
(18)
55
А.В. Мазнев
В уравнениях (18) учтены обозначения aii = ai (i = 1, 3), которые будем
использовать и в дальнейшем.
Условия (17) и уравнения (18) позволяют несколько упростить указанные
выше преобразования системы (4), (5). Потребуем, чтобы редуцированные
уравнения были тождествами на сфере Пуассона:
λ0α2a3 + (a3 − a2)d0 = 0, λ0α1a3 + (a3 − a1)b0 = 0,
λ1α2a3 + (a3 − a2)d1 + a3(b2 −B12 + α1λ2) = 0
λ2α2a3 + (a3 − a2)d2 − a3(b1 +B22 + α1λ1) = 0,
λ1α1a3 + (a3 − a1)b1 − a3(d2 +B11 + α2λ2) = 0,
λ2α1a3 + (a3 − a1)b2 + a3(d1 −B12 + α2λ1) = 0;
(19)
λ0D0 + ε0β0 + λ3D3 + α1(λ1a2d3 − λ2a1b3) + E0 + E33 = 0,
λ0D1 + ε1β1 + λ1D0 − α1λ3a2d0 + E1 = 0,
λ0D2 + ε2β0 + λ2D0 + α1λ3a1b0 + E2 = 0,
λ0D3 + ε3β0 + λ3D0 + α1(λ1a2d0 − λ2a1b0) + E3 = 0,
λ1D3 + λ3D1 + α1(λ1a2d1 − λ2a1b1 − λ3a2d3) + 2ε13β0 + 2E13 = 0,
λ2D3 + λ3D2 + α1(λ1a2d2 − λ2a1b2 + λ3a1b3) + 2ε23β0 + 2E23 = 0,
λ1D1 − λ3D3 + β0ε11 + α1(λ2a1b3 − λ1a2d3 − λ3a2d1) + E11 − E33 = 0,
λ2D2 − λ3D3 + β0ε22 + α1(λ2a1b3 − λ1a2d3 + λ3a1b2) + E22 − E33 = 0,
λ2D1 + λ1D2 + 2β0ε12 − α1λ3(a2d2 − a1b1) + 2E12 = 0;
(20)
λ0F0 + λ3F3 + ε0γ0 + α2(λ1a2d3 − λ2a1b3) +M0 +M33 = 0,
λ0F1 + λ1F0 + ε1γ0 − α2λ3a2d0 +M1 = 0,
λ0F2 + λ2F0 + ε2γ0 + α2λ3a1b0 +M2 = 0,
λ1F1 − λ3F3 + ε11γ0 + α2(λ2a1b3 − λ1a2d3 − λ3a2d1) +M11 −M33 = 0,
λ2F2 − λ3F3 + ε22γ0 + α2(λ2a1b3 − λ1a2d3 − λ3a1b2) +M22 −M33 = 0,
λ1F2 + λ2F1 + 2ε12γ0 − α2λ3(a2d2 − a1b1) + 2M12 = 0,
λ3F0 + λ0F3 + ε3γ0 + α2(λ1a2d0 − λ2a1b0) +M3 = 0,
λ3F1 + λ1F3 + 2ε13γ0 + α2(λ1a2d1 − λ2a1b1 − λ3a2d3) + 2M13 = 0,
λ3F2 + λ2F3 + 2ε23γ0 + α2(λ1a2d2 − λ2a1b1 + λ3a1b3) + 2M23 = 0,
(21)
где
β0 = α2λ3a3 + (a3 − a2)d3 − a3B23, γ0 = α1λ3a3 + (a3 − a1)b3 − a3B13. (22)
Учитывая обозначения (6)–(8), (16), в равенствах (19)–(21) получим усло-
вия существования у уравнений (1) инвариантных соотношений (3) с учетом
56
О двух инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата
(14), (15). Для завершения интегрирования системы (1) необходимо найти ре-
шение уравнения (11), в обозначениях (12), а также решение уравнений Пуас-
сона (18). Поскольку выражение для σ из (15) получено на основании первого
интеграла моментов из (2), то одно из уравнений (4), (5), (11) можно заме-
нить соотношением (15). Прямой подстановкой (14), (15), с учетом уравнений
(18), в уравнение (11) можно показать, что оно выполняется тождественно
на основании равенств (19)–(21). Таким образом, необходимо показать разре-
шимость системы (19)–(21) и выполнить интегрирование уравнений (18).
Случай α3 = α2 = 0. Положим в равенствах (19)–(21) α1 = 1,
α3 = α2 = 0. Тогда они существенно упрощаются и можно привести при-
мер разрешимости уравнений (19)–(21)
b0 = d0 = 0, λ0 =
s1
a1b3
, λ1 =
a1B13
a1 − a3
, λ2 =
a2B23
a2 − a3
,
λ3 = B33 +
a3(a1 + a2)
a2∆
[(a2 − a3)B11 − a3B22],
(23)
b2 = 0, d1 = 0, b1 =
a3
∆
[(a2 − a3)B11 − a3B22],
d2 =
a3
∆
[(a1 − a3)B22 − a3B11], ∆ = a2a3 + a1a3 − a1a2,
b3 =
a3B13
a3 − a1
, d3 =
a3B23
a3 − a2
,
(24)
s3 = −
s1b1
b3
, s2 = −
s1a2d3
a1b3
, B12 = 0, (25)
B11(a2a3 + a1a2 − a1a3) +B22(a2a3 − a1a3 − a1a2) = 0,
C12 = 0, C13 =
a1a3b1B13
a1 − a3
, C23 =
a1a3b1B23
a2 − a3
,
(26)
C22 = C33 +
a1a
2
3
B2
13
(a1 − a3)2
+
a2a
2
3
B2
23
(a2 − a3)2
−
a2
1
b2
1
a2
,
C11 = C33 +
a1a
2
3
B2
13
(a1 − a3)2
+
a2a
2
3
B2
23
(a2 − a3)2
− a1b
2
1,
(27)
ε1 = 0, ε2 = 0, ε12 = 0, ε13 = 0, ε23 = 0. (28)
В условиях (23)–(28) другие значения параметров из (15) не выписаны,
поскольку выражение (15) удобно представить в виде
σ =
1
ν3
(g0 + g3ν3 + g33ν
2
3), (29)
где
g0 = k − b1 +
1
2
B11, g3 = −λ0, g33 = −d2 −
1
2
(B11 +B33). (30)
57
А.В. Мазнев
При выполнении условий (23)–(30) уравнения (4), (5) становятся тожде-
ствами, если λ задана в виде (14), а в уравнениях Пуассона (18) учтены усло-
вия d0 = 0, b0 = 0, b2 = 0, d1 = 0. Запишем (18) с учетом обозначения (29)
ν̇1 =
1
ν3
[
g0a3ν2 + a3g3ν2ν3 + (a3g33 − a1b1)ν2ν
2
3 − a2d3ν
3
3
]
,
ν̇2 =
1
ν3
[
−g0a3ν1 − a3g3ν1ν3 − (a3g33 − a1b1)ν1ν
2
3 + a1b3ν
3
3
]
,
ν̇3 = ν3(a2d3ν1 − a1b3ν2).
(31)
Проанализируем условия (23)–(28): в условиях (23) указаны значения ко-
эффициентов в разложении (14), а в условиях (24) – коэффициентов при νi,
x1, x2. Равенства (25)–(27) являются условиями на параметры динамических
уравнений из системы (1). Равенства (28) определяют структуру функции
(15). Условия (30) характерны тем, что g0 зависит от произвольной постоян-
ной k.
Уравнения (31) имеют первый интеграл с фиксированной постоянной:
ν2
1
+ ν2
2
+ ν2
3
= 1. Для интегрирования системы (31) необходимо найти до-
полнительный интеграл. Этот интеграл можно указать, например, при до-
полнительном условии g3 = 0. В силу условий (23), (25) получим равенства
si = 0 (i = 1, 3), т.е. центр масс гиростата неподвижен. Тогда уравнения (31)
допускают первый интеграл
a1b3ν1 + a2d3ν2 + (a3g33 − a1b1)ν3 −
a3g0
ν3
= c, (32)
где c – произвольная постоянная.
Введем вместо νi переменные θ, ϕ:
ν1 = sin θ cosϕ, ν2 = sin θ sinϕ, ν3 = cos θ. (33)
Используя первый интеграл (32), из системы (31) получим
ν̇3 = −
√
F (ν3), (34)
где
F (ν3) = h0 + h1ν3 + h2ν
2
3
+ h3ν
3
3
+ h4ν
4
3
,
h0 = −a2
3
g2
0
, h1 = −2ca3g0, h2 = a2
1
b2
3
+ a2
2
d2
3
− 2a3g0(a1b1 − a3g33)− c2,
h3 = −2c(a1b1 − a3g33), h4 = −a2
1
b2
3
− a2
2
d2
3
− (a1b1 − a3g33)
2.
(35)
Пусть
µ0 =
√
a2
1
b2
3
+ a2
2
d2
3
, sinσ0 =
a2d3
µ0
, cos σ0 =
a1b3
µ0
. (36)
58
О двух инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата
Зависимость ν3 = ν3(t) определим на основе формулы (34) путем обращения
интеграла
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
√
F (ν3)
= −(t− t0). (37)
Тогда θ(t) = arccos ν3(t) в силу (33), а в силу (32), (36)
ϕ = σ0 + arccos
2
[
(a1b1 − a3g33) cos
2 θ + c cos θ + a3g0
]
µ0 sin 2θ
. (38)
Компоненты вектора x, функцию λ(t) найдем, используя (3), (29), (33), (37),
(38):
x1 = b1 sin θ cosϕ+ b3 cos θ, x2 = d2 sin θ sinϕ+ d3 cos θ,
x3 =
1
cos θ
(g0 + g33 cos
2 θ), λ = (λ1 cosϕ+ λ2 sinϕ) sin θ + λ3 cos θ.
(39)
Функцию L(t) найдем, используя значение λ из (39).
Действительность решения (37)–(39) зависит от действительности фун-
кции ν3(t). Поскольку g0 и c – произвольные постоянные, то принимая их до-
статочно малыми, можно добиться малых значений h0, h1 и положительного
значения величины h2. Это значит, что существуют такие значения параме-
тров задачи, для которых функция ν3(t) действительна.
Вывод. В статье построено новое решение уравнений (1), которое ха-
рактеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями (3) по ком-
понентам x1, x2, νi, одним рациональным соотношением (15) для x3 и ли-
нейным соотношением (14) для λ(t). Решение выражается эллиптическими
функциями времени.
1. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб.
ун-та, 1965. – 221 с.
2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела // Киев: Наук. думка. – 1978. – 296 с.
3. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
4. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces,
I: The equations of motion and their transformations // J. Mecan. theor. appl. – 1986. –
5, № 5. – P. 742–745.
5. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхно-
стью // Ж. прикл. математики и техн. физики. – 1963. – № 4. – С. 17–29.
6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2010. – 364 с.
7. Liouville J. Developpements sur un chapitre de la Mecanique de Poisson // J. math. pures
et appl. – 1858. – 3. – P. 1–25.
8. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. –
P. 201–358.
59
А.В. Мазнев
9. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью // Собр. соч.: В 8 т. – М.;Л.: Гостехиздат, 1949. – Т. 2.
– С. 152–309.
10. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего
маховик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.
11. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. ИПММ НАНУ. – 2009. – 19. – С. 30–35.
12. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
13. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Там же. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91–104.
A.V. Maznev
On two linear invariant relations of gyrostat motion equations with a variable
gyrostatic momentum under the action of potential and gyroscopic forces
The problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces in the case of
variable gyrostatic momentum is considered. Existence conditions for two linear in all variables
invariant relations of the motion equations are defined. Time dependence of the gyrostatic
momentum value and the set of parameter conditions that characterize the new solution of
the generalized Kirchhoff equations are found.
Keywords: gyrostat, gyrostatic momentum, invariant relation.
О.В.Мазнєв
Про два лiнiйнi iнварiантнi спiввiдношення рiвнянь руху гiростата
зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю потенцiальних
i гiроскопiчних сил
Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку
змiнного гiростатичного моменту. Для рiвнянь руху визначено умови iснування двох лiнiй-
них iнварiантних спiввiдношень за всiма змiнними. Знайдено залежнiсть вiд часу величин
гiростатичного моменту й умови на постiйнi параметри узагальнених рiвнянь Кiрхгофа,
якi характеризують новий розв’язок цих рiвнянь.
Ключовi слова: гiростат, гiростатичний момент, iнварiантне спiввiдношення.
Донецкий национальный ун-т
maznev_av@rambler.ru
Получено 28.10.11
60
|