Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
Изучается влияние начальных возмущений на равномерные вращения уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании и снабженного синхронным электродвигателем. Показано, что при всех значениях угла поворота внутренней рамки, за исключением его четырех особых значен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71582 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 85-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71582 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715822014-12-07T03:01:59Z Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Ю.Б. Изучается влияние начальных возмущений на равномерные вращения уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании и снабженного синхронным электродвигателем. Показано, что при всех значениях угла поворота внутренней рамки, за исключением его четырех особых значений, под влиянием малых начальных возмущений ось ротора получает конечное отклонение за бесконечное время. Найдены в явном виде формулы, позволяющие вычислить предельные приращения кардановых углов. Для зрiвноваженого синхронного гiроскопа у кардановому пiдвiсi знайдено граничне вiдхилення осi ротора при наявностi початкових збуреннь. Limit deviation under initial perturbations is found for a balanced gimbal mounted gyroscope, supplied with the synchronous electric motor. 2011 Article Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 85-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71582 531.38, 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучается влияние начальных возмущений на равномерные вращения уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании и снабженного синхронным электродвигателем. Показано, что при всех значениях угла поворота внутренней рамки, за исключением его четырех особых значений, под влиянием малых начальных возмущений ось ротора получает конечное отклонение за бесконечное время. Найдены в явном виде формулы, позволяющие вычислить предельные приращения кардановых углов. |
| format |
Article |
| author |
Коносевич, Ю.Б. |
| spellingShingle |
Коносевич, Ю.Б. Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе Механика твердого тела |
| author_facet |
Коносевич, Ю.Б. |
| author_sort |
Коносевич, Ю.Б. |
| title |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_short |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_fullStr |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full_unstemmed |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_sort |
предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71582 |
| citation_txt |
Предельное отклонение оси ротора уравновешенного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 85-99. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT konosevičûb predelʹnoeotklonenieosirotorauravnovešennogosinhronnogogiroskopavkardanovompodvese |
| first_indexed |
2025-07-05T20:31:57Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:31:57Z |
| _version_ |
1836840405626257408 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38, 531.36
c©2011. Ю.Б. Коносевич
ПРЕДЕЛЬНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ОСИ РОТОРА
УРАВНОВЕШЕННОГО СИНХРОННОГО ГИРОСКОПА
В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
Изучается влияние начальных возмущений на равномерные вращения уравновешенного ги-
роскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании и снабженного
синхронным электродвигателем. Показано, что при всех значениях угла поворота внутрен-
ней рамки, за исключением его четырех особых значений, под влиянием малых начальных
возмущений ось ротора получает конечное отклонение за бесконечное время. Найдены в
явном виде формулы, позволяющие вычислить предельные приращения кардановых углов.
Ключевые слова: гироскоп в кардановом подвесе, начальные возмущения, синхронный
электродвигатель, статически уравновешенная система, предельное отклонение.
Введение. В первых теоретических исследованиях динамики гироско-
па в кардановом подвесе предполагалось, что трение на осях подвеса и ротора
отсутствует. При более точной постановке задачи учитывают, что быстров-
ращающийся ротор испытывает значительное воздействие сил трения, и для
поддержания вращения ротора прибор снабжают электродвигателем. Его ста-
тором служит внутренняя “рамка” подвеса, а ротором – ротор прибора.
В статье [1], включенной в книгу [2], показано, что при наличии асин-
хронного двигателя малое возмущение начальной угловой скорости наружной
рамки не вызывает систематического ухода, а приводит лишь к конечному
отклонению оси ротора за бесконечное время. Для случая, когда в невозму-
щенном равномерном вращении ось ротора близка к перпендикуляру к нару-
жной оси подвеса, в [1, 2] получена приближенная формула для предельного
отклонения оси ротора. Этот результат распространен в [3] на случай обоб-
щенной механической модели гироскопа в кардановом подвесе при учете всех
начальных возмущений.
При исследовании динамики гироскопа в кардановом подвесе, снабженно-
го синхронным двигателем, часто предполагают, что момент диссипативных
сил относительно оси ротора постоянен. В этом частном случае начальные
возмущения приводят к систематическому уходу [2, 4, 5].
В настоящей работе показано, что в общем случае под воздействием на-
чальных возмущений ось ротора синхронного гироскопа за бесконечное время
получает конечные отклонения по обоим кардановым углам. Для предельного
отклонения по углу поворота внутренней рамки найдено точное выражение.
Для предельного отклонения по углу поворота наружной рамки получены
формулы, позволяющие вычислить это отклонение с погрешностью порядка
куба начальных возмущений. В качестве примера для некоторых конкретных
значений параметров и начальных возмущений по этим формулам построе-
ны графики зависимости предельного отклонения от значения угла поворота
внутренней рамки в невозмущенном движении.
85
Ю.Б. Коносевич
1. Исходные соотношения. Рассматривается задача о движении обоб-
щенной модели [6] гироскопа в кардановом подвесе, установленного на непо-
движном основании. Положение этой механической системы в каждый мо-
мент времени t определяют углы α, β, ϕ поворота наружной и внутренней
“рамок” и ротора. Внутренняя “рамка” и ротор образуют синхронный эле-
ктродвигатель, трение на осях подвеса отсутствует.
Пусть ротор динамически симметричен относительно оси его вращения во
внутренней “рамке” а вся рассматриваемая система тел статически уравно-
вешена. Тогда потенциальная энергия системы постоянна, а ее кинетическая
энергия равна [6]
T =
1
2
[
G(β)α̇2 +Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2N(β)α̇β̇ + 2Q(β)α̇ϕ̇+ 2Rβ̇ϕ̇
]
. (1)
Здесь C – осевой момент инерции ротора, функции G(β), N(β), Q(β) являю-
тся тригонометрическими полиномами угла β. В частности,
Q(β) = q0 + q1 sin β, (2)
причем q1 6= 0, так как q1 = C sin θ2 sin θ3, а синусы углов θ2, θ3, которые вну-
тренняя карданова ось образует с наружной кардановой осью и осью ротора,
предполагаются отличными от нуля.
Так как кинетическая энергия (1) – положительно определенная квадра-
тичная форма скоростей α̇, β̇, ϕ̇, то, согласно критерию Сильвестра, имеем
J(β) > 0, J1(β) = G(β)H −N2(β) > 0, G(β) > 0 (3)
при любом β. Здесь J(β) – определитель квадратичной формы (1).
Алгебраическая сумма вращающего момента синхронного двигателя и мо-
мента диссипативных сил относительно оси ротора выражается в виде [2]
L = −λ1γ − λ2γ̇ + λ3γ
2 + λ4γ̇
2 + . . . (λ1, λ2 > 0), (4)
где γ = ϕ−ωt−ϕ0, γ̇ = ϕ̇−ω; ω > 0 – угловая скорость вращения магнитного
поля в статоре электродвигателя.
Лагранжевы уравнения движения системы таковы
d
dt
[α̇G(β) + β̇N(β) + (ω + γ̇)Q(β)] = 0,
d
dt
[α̇N(β) + β̇H + (ω + γ̇)R]− α̇[
1
2
α̇G′(β) + β̇N ′(β) + (ω + γ̇)Q′(β)] = 0,
d
dt
[α̇Q(β) + β̇R+ (ω + γ̇)C] = L(γ, γ̇);
(5)
штрих означает дифференцирование по β. Их можно представить в виде нор-
мальной системы дифференциальных уравнений пятого порядка с фазовым
вектором x = (α̇, β̇, γ̇, β, γ). Уравнения (5) имеют семейство решений
(α̇, β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, 0, β0 , 0), (6)
86
Предельное отклонение оси ротора
где β0 – любое значение угла β. Эти решения описывают равномерные вра-
щения ротора вокруг своей оси симметрии, неподвижной в пространстве. Из
первого уравнения (5) следует интеграл
α̇G(β) + β̇N(β) + (ω + γ̇)Q(β) = p (p = const). (7)
Введем величину p в качестве новой переменной вместо α̇. Тогда получим
из системы (5) преобразованную систему уравнений, которая эквивалентна
нормальной системе с фазовым вектором p, β̇, γ̇, β, γ. Первое уравнение этой
системы имеет вид ṗ = 0, а два других при каждом фиксированном зна-
чении p образуют приведенную систему, которую обозначим через Sp. Она
эквивалентна нормальной системе четвертого порядка с фазовым вектором
y = (β̇, γ̇, β, γ). Решению (6) лагранжевой системы (5) соответствует решение
(β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β0, 0) (8)
приведенной системы Sp0 , где p0 = ωQ(β0).
В случае равномерного вращения уравновешенного синхронного гироско-
па выведенное в [7] характеристическое уравнение системы Sp0 имеет вид
Jσ4 + λ2J1σ
3 + (λ1J1 + ω2CQ
′2)σ2 + λ2ω
2Q
′2σ + λ1ω
2Q
′2 = 0, (9)
где функции J, J1, Q
′ угла β вычислены при β = β0. Так как все рассматри-
ваемые функции угла β являются 2π-периодическими, то без уменьшения
общности полагаем, что β0 ∈ [−π/2, 3π/2). Тогда критерий Рауса–Гурвица
приводит к двум условиям, которые будем предполагать выполненными:
β0 6= ±π/2, (10)
β0 6= 0, π либо θ3 6= ±π/2. (11)
2. Качественный характер возмущенного движения. Из (7) выте-
кает, что для режима равномерного вращения (6) постоянные β0, p0 связаны
соотношением p0 = ωQ(β0). И наоборот, если для пары значений p = p0,
β = β0 выполнено равенство
p = ωQ(β), (12)
то стационарному решению (8) системы Sp0 соответствует стационарное ре-
шение системы (5), на котором, согласно (7), α̇ = 0. Таким образом, равенство
(12) является условием того, что приведенная система Sp имеет решение, опи-
сывающее равномерное вращение ротора при данном значении β.
С учетом выражения (2) для Q(β) формула (12) определяет синусои-
дальную кривую. В точках β = ±π/2 промежутка [−π/2, 3π/2) функция
(12) принимает свое минимальное и максимальное значения p1 = ω(q0 − q1),
p2 = ω(q0 + q1). Поэтому для значений p ∈ [p1, p2] определена функция, обра-
тная к (12). Она является двузначной при p 6= p1, p2. При условии (10) не-
возмущенное значение β0 угла β лежит в интервале I0 = (−π/2, π/2) или
87
Ю.Б. Коносевич
I1 = (π/2, 3π/2). Пусть n = 0 или n = 1 – номер этого интервала. В открытом
прямоугольнике {(β, p) : β ∈ In, p ∈ (p1, p2)} равенство (12) определяет одно-
значную непрерывную функцию β = β∗(p) такую, что β0 = β∗(p0):
β∗(p) = (−1)n arcsin
p− ωq0
ωq1
+ πn. (13)
Таким образом, любому p ∈ (p1, p2) соответствует стационарное решение
(β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β∗(p), 0) (14)
приведенной системы Sp, которое описывает равномерное вращение ротора.
Рассмотрим теперь решение
x(t) = (α̇(t), β̇(t), γ̇(t), β(t), γ(t)) (15)
лагранжевых уравнений (5), возмущенное по отношению к режиму (6) рав-
номерного вращения ротора. Оно определяется начальными условиями
(α̇(0), β̇(0), γ̇(0), β(0), γ(0)) = (α̇0, β̇0, γ̇0, β0, γ0), (16)
причем начальные возмущения α̇0, β̇0, γ̇0, β0−β0, γ0 предполагаются малыми.
Решению (15) соответствует решение
y(t) = (β̇(t), γ̇(t), β(t), γ(t)) (17)
приведенной системы Sp при начальных условиях
(β̇(0), γ̇(0), β(0), γ(0)) = (β̇0, γ̇0, β0, γ0) (18)
и значении постоянной интеграла (7), равном
p = α̇0G(β0) + β̇0N(β0) + (ω + γ̇0)Q(β0). (19)
Вследствие непрерывной зависимости величины p от начальных данных,
при малых начальных возмущениях это значение p близко к p0, а посколь-
ку p0 ∈ (p1, p2), то p ∈ (p1, p2). В таком случае формула (13) определяет
значение β∗(p), которое близко к β0. Поэтому вместе с условиями (10), (11)
выполняются условия Рауса–Гурвица для решения (14) системы Sp:
β∗(p) 6= ±π/2, (20)
β∗(p) 6= 0, π либо θ3 6= ±π/2. (21)
Если возмущения α̇0, β̇0, γ̇0, γ0 равны нулю, то решение (15) описывает
равномерное вращение ротора при β = β0, в этом случае постоянная p равна
p0 = ωQ(β0). В общем случае, когда хотя бы одно из указанных возмущений
88
Предельное отклонение оси ротора
отлично от нуля, решение (15) описывает нестационарное движение. Посколь-
ку в последнем случае значение p близко p0, то, вследствие непрерывности
функции β∗(p), разность β0 − β∗(p) близка к нулю. Таким образом, все на-
чальные данные (18) для решения (17) системы Sp близки к начальным дан-
ным для стационарного решения (14) этой системы. Поэтому решение (17)
системы Sp, где p определено по формуле (19), можно рассматривать как
возмущенное по отношению к стационарному решению (14) этой системы.
Соответствующий вектор возмущений имеет вид
y1 = (β̇1, γ̇1, β1, γ1), (22)
β̇1 = β̇, γ̇1 = γ̇, β1 = β − β∗(p), γ1 = γ. (23)
С помощью обозначений (22), (23) система Sp записывается в форме
ẏ1 = By1 +G(y1), (24)
где B – постоянная матрица, а G(y1) – нелинейная вектор-функция, разло-
жения компонент которой по степеням возмущений (23) начинаются с членов
второго порядка. Для этой функции справедлива оценка
||G(y1)|| ≤ G0 ||y1||2 (G0 = const > 0). (25)
Здесь и далее норма вектора принимается равной максимальному из модулей
его компонент. Чтобы определение нормы было корректным, предположим,
что за единицу времени взята величина ω−1. Тогда все компоненты векторов
y1, G – безразмерные величины.
Стационарному решению (14) системы Sp соответствует нулевое решение
y1 = 0 системы (24). Как было отмечено выше, при условиях (20), (21) ма-
трица B гурвицева. Следовательно, нулевое решение системы (24) экспонен-
циально устойчиво. Поэтому существуют постоянные K0
y1
, σ0 > 0 такие, что
при всех малых по норме начальных возмущениях
y10 = y1(0) = (β̇0, γ̇0, β0 − β∗(p), γ0) (26)
для решения y1(t) системы (24) справедлива оценка (см. [8, с. 213])
||y1(t)|| ≤ ||y10|| K0
y1
exp(−σ0t) (t ≥ 0). (27)
Отсюда с учетом определения (23) возмущения β1 следует, что в возмущенном
движении угол β(t) при t → ∞ с экспоненциальной скоростью стремится к
значению β∗(p), которое определяется по формуле (13).
Угол α(t) также экспоненциально стремится к конечному пределу при
t → ∞. Действительно, согласно (7), угловая скорость α̇ равна
α̇ =
p− ωQ(β)− β̇N(β)− γ̇Q(β)
G(β)
. (28)
89
Ю.Б. Коносевич
Из (27), (28) с учетом определения (22), (23) вектора y1 вытекает оценка
|α̇(t)| ≤ ||y10|| K0
α̇ exp(−σ0t) (t ≥ 0, K0
α̇ = const > 0). (29)
Следовательно, существует предел α(t) → α0 +∆α (t → ∞), где α0 = α(0),
∆α =
∞∫
0
α̇(t) dt. (30)
Полагая
u0 = (α̇0, β̇0, γ̇0, γ0), (31)
покажем, что
||y10|| ≤ K ||u0|| (K = const > 0). (32)
Для этого запишем сначала выражение (13) стационарного значения угла
β, пользуясь вместо величины p величиной
ε =
1
ωq1
[α̇0G(β0) + β̇0N(β0) + γ̇0Q(β0)]. (33)
Согласно (19), (33), имеем p = ωQ(β0)+ωq1ε. Поэтому, с учетом (2), формула
(12) определяет следующую зависимость ε от β
ε = sin β − sin β0. (34)
Минимальное и максимальное значения ε1 = −1− sin β0, ε2 = 1− sin β0 фун-
кция (34) принимает при β = ±π/2. Так как β0 6= ±π/2, то | sin β0| < 1, и
поэтому ε1 < 0, ε2 > 0. Отсюда следует, что в открытом прямоугольнике
{(β, ε) : β ∈ In, ε ∈ (ε1, ε2)} равенство (34) однозначно определяет непрерыв-
но дифференцируемую функцию β = β∗(ε) такую, что β0 = β∗(0):
β∗(ε) = (−1)n arcsin(sin β0 + ε) + πn.
Здесь n = 0 при β0 ∈ I0 = (−π/2, π/2), n = 1 при β0 ∈ I1 = (π/2, 3π/2).
При удалении ε от средней точки ε = − sinβ0 интервала (ε1, ε2) модуль
производной dβ∗(ε)/dε монотонно возрастает, стремясь к бесконечности при
ε → ε1, ε2. Учитывая, что β∗(0) = β0, запишем формулу Тейлора–Маклорена
β∗(ε) = β0 + ε dβ∗(ε
′)/dε (ε′ ∈ (0, ε)). (35)
Рассмотрим малые начальные возмущения α̇0, β̇0, γ̇0, а именно, такие, что
|ε| ≤ ε0, где ε0 > 0 – величина малая настолько, что отрезок [−ε0, ε0] лежит
в интервале (ε1, ε2). Тогда из (33), (35) получаем
|β0 − β∗(ε)| ≤ Kβ∗
max{|α̇0|, |β̇0|, |γ̇0|} (ε ∈ [−ε0, ε0]).
90
Предельное отклонение оси ротора
Здесь
Kβ∗
=
|G(β0)|+ |N(β0)|+ |Q(β0)|
ωq1
max
ε∈[−ε0,ε0]
∣∣∣∣
dβ∗(ε)
dε
∣∣∣∣ ∈ (0,∞).
Поэтому, согласно (26), имеем
||y10|| ≤ max{ |β̇0|, |γ̇0|, Kβ∗
max(|α̇0|, |β̇0|, |γ̇0|), |γ0|}.
Рассмотрев случаи Kβ∗
> 1 и 0 < Kβ∗
≤ 1, выводим отсюда неравенство (32),
в котором K = max{Kβ∗
, 1}.
Это позволяет получить из неравенств (27), (29) две оценки
||y1(t)|| ≤ ||u0|| Ky1 exp(−σ0t) (t ≥ 0), (36)
|α̇(t)| ≤ ||u0|| Kα̇ exp(−σ0t) (t ≥ 0), (37)
где Ky1 ,Kα̇, σ0 > 0 – постоянные, векторы y1, u0 определены в (22), (31).
Обозначим через x1 вектор возмущений для лагранжевой системы уравнений:
x1 = (α̇1, β̇1, γ̇1, β1, γ1), (38)
α̇1 = α̇, β̇1 = β̇, γ̇1 = γ̇, β1 = β − β∗(p), γ1 = γ. (39)
С помощью этого обозначения оценки (36), (37) объединяются в одну
||x1(t)|| ≤ ||u0|| Kx1
exp(−σ0t) (t ≥ 0, Kx1
= const > 0). (40)
3. Предельное отклонение оси ротора. Запишем второе из уравне-
ний (5) в форме
d
dt
[α̇N(β) + β̇H + γ̇R] =
= ωα̇Q′
∗
+ α̇
[
α̇
2
G′(β) + β̇N ′(β) + γ̇Q′(β) + ω(Q′(β)−Q′
∗
)
]
.
(41)
Звездочкой отмечаем значения функций угла β при β = β∗(p). Рассматривая
уравнение (41) на решении (15) системы (5), проинтегрируем обе его части
по t от 0 до ∞. Существование таких интегралов следует из оценки (40). С
учетом начальных условий (16) и определения (30) получаем
∆α = − 1
ωQ′
∗
[α̇0N(β0) + β̇0H + γ̇0R]− 1
ωQ′
∗
X, (42)
X =
∞∫
0
α̇(t)
[1
2
α̇(t)G′(β(t)) + β̇(t)N ′(β(t)) + γ̇(t)Q′(β(t))+
+ω(Q′(β(t))−Q′
∗
)
]
dt.
(43)
91
Ю.Б. Коносевич
Интеграл (43) определен на решении (15) лагранжевой системы (5), или на
решении x1(t) соответствующей системы уравнений возмущенного движения
ẋ1 = Ax1 + F (x1). Здесь A – постоянная матрица, а разложения компонент
вектор-функции F (x1) по возмущениям (компонентам вектора x1) начина-
ются с членов второго порядка. Согласно оценке (40), при малом по норме
векторе начальных возмущений u0 возмущенное решение x1(t) мало по норме
при всех t ≥ 0. Это позволяет предположить, что решение x1(t) с высокой то-
чностью аппроксимируется решением x1l(t) линейной системы ẋ1 = Ax1 при
заданных начальных условиях. Учитывая это, заменим под знаком интегра-
ла (43) компоненты вектора x1(t) компонентами вектора x1l(t) и, с учетом их
малости, удержим только ведущие члены второго порядка по возмущениям.
В результате получим для интеграла (43) приближенную формулу
Xl =
∞∫
0
α̇1l(t)
[
1
2
α̇1l(t)G
′
∗
+ β̇1l(t)N
′
∗
+ γ̇1l(t)Q
′
∗
+ ωβ1l(t)Q
′′
∗
]
dt. (44)
Обоснованием этой формулы является малость ее погрешности (см. п. 4).
Интеграл (44) определен на решении x1l(t) системы ẋ1 = Ax1. Чтобы за-
писать эту систему в подробном виде, подставим в уравнения (5) выражения
фазовых переменных через возмущения, вытекающие из (38), (39):
α̇ = α̇1, β̇ = β̇1, γ̇ = γ̇1, β = β∗ + β1, γ = γ1, (45)
а также выражение (4), и удержим только члены, линейные по возмущениям.
Приходим к следующей линейной системе с постоянными коэффициентами
G∗α̈1 +N∗β̈1 +Q∗γ̈1 + ωQ′
∗
β̇1 = 0,
N∗α̈1 +Hβ̈1 +Rγ̈1 − ωQ′
∗
α̇1 = 0,
Q∗α̈1 +Rβ̈1 + Cγ̈1 + λ2γ̇1 + λ1γ1 = 0.
(46)
Система (46) не содержит переменной β1. Чтобы преобразовать ее к си-
стеме нормального вида с фазовым вектором α̇1, β̇1, γ̇1, γ1, следует разрешить
уравнения (46) относительно производных по t от α̇1, β̇1, γ̇1 и к полученным
трем уравнениям присоединить уравнение dγ1/dt = γ̇1. Согласно (16), (45),
для переменных α̇1, β̇1, γ̇1, γ1 имеем начальные условия
α̇1(0) = α̇0, β̇(0) = β̇0, γ̇(0) = γ̇0, γ(0) = γ0. (47)
При таком выборе переменных характеристическое уравнение системы
(46) совпадает с характеристическим уравнением приведенной системы Sp,
линеаризованной в окрестности ее стационарного решения (14). Рассмотрим
случай, когда это характеристическое уравнение имеет две различные пары
92
Предельное отклонение оси ротора
σ1, σ2 и σ3, σ4 комплексно сопряженных корней с отрицательными действи-
тельными частями. Тогда решение системы (46) представляется в виде
α̇1l =
4∑
j=1
C1je
σjt, β̇1l =
4∑
j=1
C2je
σjt, γ̇1l =
4∑
j=1
C3je
σjt, γ1l =
4∑
j=1
C4je
σjt, (48)
где Ckj (k, j = 1, 4) – комплексные постоянные. Так как решение (48) дей-
ствительно, то
Ck2 = Ck1, Ck4 = Ck3 (k = 1, 4). (49)
Как показано выше, β1l(t) → 0 (t → ∞) при условиях (20), (21). Поэтому
после того, как решение (48) найдено, функция β1l определяется по формуле
β1l(t) = −
∞∫
t
β̇1l(τ) dτ =
4∑
j=1
C2j
σj
eσj t. (50)
Подставив выражения (48), (50) в формулу (44), с учетом (49) получаем
Xl = 2Re
4∑
j=1
(
C11
σ1 + σj
+
C13
σ3 + σj
)
Ej , (51)
Ej =
1
2
G′
∗
C1j + (N ′
∗
+
ωQ′′
∗
σj
)C2j +Q′
∗
C3j (j = 1, 4). (52)
4. Погрешность приближенной формулы для предельного откло-
нения. Найдем погрешность решения x1l(t) системы ẋ1 = Ax1. Последние
четыре компоненты вектор-функций x1(t), x1l(t) образуют вектор-функции
y1(t) = (β̇1(t), γ̇1(t), β1(t), γ1(t)), y1l(t) = (β̇1l(t), γ̇1l(t), β1l(t), γ1l(t)),
которые являются, соответственно, решениями квазилинейной системы (24)
и линейной системы ẏ1 = By1 с одинаковыми начальными значениями y10
в момент t = 0. При подстановке данных решений в эти системы получаем
равенства, которые с учетом начальных условий записываются в виде
y1(t) = eBty10 +
t∫
0
eB(t−τ)G(y1(τ)) dτ, y1l(t) = eBty10, (53)
где eBt – фундаментальная матрица системы ẏ1 = By1. Вычитая второе ра-
венство (53) из первого и переходя к нормам, имеем
||y1(t)− y1l(t)|| ≤
t∫
0
||eB(t−τ)|| ||G(y1(τ))|| dτ, t ≥ 0. (54)
93
Ю.Б. Коносевич
Так как матрица B гурвицева, то существуют постоянные KB , σ0 > 0
такие, что
||eBt|| ≤ KB e−σ0t, t ≥ 0. (55)
Не уменьшая общности, число σ0 можно выбрать тем же, что и в оценке (40).
Отметим, что из второго равенства (53) и (32) следует априорная оценка
||y1l(t)|| ≤ ||u0||Ky1l exp(−σ0t) (t ≥ 0, Ky1l = const > 0). (56)
Воспользовавшись соотношениями (55), (36), (25), получаем из (54)
||y1(t)− y1l(t)|| ≤ ||u0||2 Ky1l exp(−σ0t)(t ≥ 0,Ky1l = KBG0K
2
y1
σ−1
0 > 0). (57)
Чтобы вывести отсюда оценку погрешности для α̇1l(t), запишем формулу
α̇1 =
p− ωQ(β∗ + β1)− β̇1N(β∗ + β1)− γ̇1Q(β∗ + β1)
G(β∗ + β1)
, (58)
которая вытекает из (28), (39). Величина α̇1l(t) определяется выражением
α̇1l =
−ωβ1lQ
′
∗
− β̇1lN∗ − γ̇1lQ∗
G∗
, (59)
представляющим главную линейную по возмущениям часть формулы (58). С
помощью формулы Тейлора выводим из (58) равенство
α̇1 =
1
G∗ + G̃′β1
[
−ωQ′
∗
β1 −
1
2
ωQ̃′′β2
1 − β̇1(N∗ + Ñ ′β1)− γ̇1(Q∗ + Q̃′β1)
]
,
где знаком “тильда” отмечены значения произодных в промежуточных то-
чках отрезка [β∗, β∗ + β1]. Вычитая из него равенство (59) и пользуясь оцен-
ками (36), (56), (57), получаем
|α̇1(t)− α̇1l(t)| ≤ ||u0||2 Kα̇1l
exp(−σ0t) (t ≥ 0, Kα̇1l
= const > 0). (60)
Оценки (57), (60) можно объединить в одну:
||x1(t)− x1l(t)|| ≤ ||u0||2 Kx1l
exp(−σ0t) (t ≥ 0, Kx1l
= const > 0). (61)
Определим теперь погрешность формулы (44). Под знаком интеграла (43)
перейдем к возмущениям (39) и представим функции угла β = β∗ + β1 по
формуле Тейлора. Отмечая знаком “тильда” значения производных в проме-
жуточных точках отрезка [β∗, β∗ + β1], имеем
X =
t∫
0
α̇1
[1
2
α̇1(G
′
∗
+ G̃′′β1) + β̇1(N
′
∗
+ Ñ ′′β1) + γ̇(Q′
∗
+ Q̃′′β1)+
+ω(Q′′
∗
β1 +
1
2
Q̃′′′β2
1)
]
dt.
94
Предельное отклонение оси ротора
Чтобы оценить модуль разности X−Xl, преобразуем это выражение, выделяя
в нем интеграл (44). В результате для разности X −Xl получаем формулу
X −Xl = X(1) +X(2) +X(3), (62)
где
X(1) =
t∫
0
α̇1β1
[1
2
α̇1G̃
′′ + β̇1Ñ
′′ + γ̇1Q̃
′′ +
1
2
ωβ1Q̃
′′′
]
dt,
X(2) =
t∫
0
(α̇1 − α̇1l)
[1
2
α̇1G
′
∗
+ β̇1N
′
∗
+ γ̇1Q
′
∗
+ ωβ1Q
′′
∗
]
dt,
X(3) =
t∫
0
α̇1l
[1
2
(α̇1 − α̇1l)G
′
∗
+ (β̇1 − β̇1l)N
′
∗
+ (γ̇1 − γ̇1l)Q
′
∗
+
+ω(β1 − β1l)Q
′′
∗
]
dt.
Из соотношений (40), (56), (61) следует, что модули подынтегральных фун-
кций ограничены здесь экспоненциально убывающими функциями порядка
||u0||3. Поэтому X(1),X(2),X(3) = O(||u0||3), и из (62) получаем искомую оцен-
ку погрешности формулы (44) для интеграла (43)
X −Xl = O(||u0||3). (63)
В соответствии с (38)–(40) имеем X = O(||u0||2). Поэтому из оценки (63)
с учетом (31) следует, что при малых начальных возмущениях α̇0, β̇0, γ̇0, γ0
формула (44) позволяет с малой погрешностью вычислить интеграл (43), а
вместе с ним и предельное отклонение (42).
5. Интегрирование линеаризованной лагранжевой системы урав-
нений. После подстановки выражений (48) в систему (46), дополненную
уравнением dγ1/dt = γ̇1, при каждом j = 1, 4 для постоянных Ckj (k = 1, 4)
имеем линейную однородную систему алгебраических уравнений
G∗C1j +N∗C2j +Q∗C3j = −ωQ′
∗
σj
C2j ,
N∗C1j +HjC2j +RC3j =
ωQ′
∗
σj
C1j ,
Q∗C1j +RC2j + CC3j = −λ2
σj
C3j −
λ1
σj
C4j ,
C4j =
1
σj
C3j (j = 1, 4).
(64)
95
Ю.Б. Коносевич
Кроме того, из (48), (47) вытекают четыре сотношения
C11 + C12 + C13 + C14 = α̇0,
C21 + C22 + C23 + C24 = β̇0,
C31 + C32 + C33 + C34 = γ̇0,
C41 + C42 + C43 + C44 = γ0.
(65)
При каждом j = 1, 4 определитель системы (64) равен нулю, так как он
совпадает с левой частью характеристического уравнения, взятой при σ = σj .
Чтобы вывести достаточно простые и единообразные выражения посто-
янных Ckj (k, j = 1, 4) через начальные данные, воспользуемся следующим
приемом. Рассматривая четыре соотношения (65) как одно равенство для
векторов-столбцов, умножим обе его части слева на невырожденную вслед-
ствие (3) матрицу коэффициентов левой части системы (64). В полученных
четырех соотношениях выделим левые части уравнений (64) и заменим их
правыми частями этих уравнений. Применяем такую процедуру еще дважды.
В результате для каждого из векторов-столбцов Ck = (Ck1, Ck2, Ck3, Ck4)
T
(T – знак транспонирования) получаем систему линейных уравнений
WCk = V T
k (k = 1, 4). (66)
Здесь V T
k – k-й столбец матрицы V T , получающейся транспонированием ма-
трицы V . Первый столбец матрицы V равен V1 = (α̇0, β̇0, γ̇0, γ0)
T , а остальные
последовательно определяются по формуле Vi = MVi−1 (i = 2, 4), где
M =
N∗
ωQ′
∗
H
ωQ′
∗
R
ωQ′
∗
0
− G∗
ωQ′
∗
− N∗
ωQ′
∗
− Q∗
ωQ′
∗
0
0 0 0 1
−Q∗
λ1
− R
λ1
− C
λ1
−λ2
λ1
.
Через W в (66) обозначена матрица, у которой строка с номером n = 1, 4
имеет вид (σ1−n
1 , σ1−n
2 , σ1−n
3 , σ1−n
4 ). Ее определителем является определитель
Вандермонда, который отличен от нуля в рассматриваемом случае различных
σj (j = 1, 4). Поэтому уравнения (66) однозначно определяют постоянные
Ckj (k, j = 1, 4), а вместе с ними и решение (48), (50) системы (46).
6. Приближенные выражения корней характеристического урав-
нения. В формулы (30), (51), (52) для предельного отклонения синхронно-
го гироскопа в кардановом подвесе входят корни характеристического урав-
нения приведенной системы Sp, линеаризованной в окрестности режима рав-
номерного вращения при β = β∗(p). Данное уравнение имеет вид (9), причем
функции угла β, входящие в его коэффициенты, вычисляются при β = β∗(p).
96
Предельное отклонение оси ротора
Так как q1 6= 0 в (2), то Q
′
∗
6= 0 в соответствии с (20). Это позволяет
привести характеристическое уравнение к виду
x4 + (k + 1)x2 + (x2 + 1)(µ2x+ µ1) = 0, (67)
где неизвестная x и безразмерные параметры k, µ1, µ2 определены формулами
x = σ
√
J1∗
ω2Q
′2
∗
, k =
J1∗C − J∗
J∗
, µ1 = λ1
J2
1∗
ω2Q
′2
∗
J∗
, µ2 = λ2
J1∗
J∗
√
J1∗
ω2Q
′2
∗
. (68)
В [9] показано, что k > 0 при условии (21). Поэтому с учетом (3) имеем
µ1 > 0, µ2 > 0, k > 0.
При большой угловой скорости ω вращения магнитного поля в статоре
электродвигателя величина µ2 мала, и выполнено неравенство µ2
2 − 4µ1 ≤
≤ 0, достаточное для того, чтобы уравнение (67) имело две различные пары
комплексно-сопряженных корней [9]. Пользуясь тем, что при µ2 = 0 уравне-
ние (67) становится биквадратным, при малых µ2 получаем приближенные
выражения его корней в виде разложений по степеням µ2:
xj = −µ2
4
(
1± µ1 + k − 1√
D
)
± i
√
µ1 + k + 1±
√
D
2
+O(µ2
2) (j = 1, 4). (69)
Здесь D = (µ1 + k + 1)2 − 4µ1, знак “плюс” перед
√
D соответствует паре
x1 = x2, а знак “минус” соответствует паре x3 = x4. Записав определение
√
D
в виде D = (µ1+k−1)2+4k, заключаем, что D > (µ1+k−1)2 ≥ 0, поскольку
k > 0. Поэтому
√
D ± (µ1 + k − 1) > 0, и, следовательно, в формулах (69)
члены, содержащие µ2, являются действительными отрицательными. Так как
µ1 > 0, то из определения D вытекает неравенство D < (µ1+ k+1)2. Отсюда
следует, что µ1 + k + 1±
√
D > 0. Поэтому в формулах (69) члены с мнимой
единицей являются ненулевыми чисто мнимыми.
7. Пример. Рассмотрим обычную модель уравновешенного гироскопа в
кардановом подвесе. Следуя [1], выбираем для механических параметров та-
кие числовые значения: C = 5 ·103 г · см2, A = 3 ·103 г · см2, A1 = 2 ·103 г · см2,
B1 = 2 · 103 г · см2, C1 = 4 · 103 г · см2, C2 = 3 · 103 г · см2. Параметры, характе-
ризующие синхронный электродвигатель, полагаем равными ω = 1500 с−1,
λ1 = 3,691406 · 109 г · см2 · с−2, λ2 = 4,018694 · 104 г · см2 · с−1. Здесь значения
λ1, λ2 выбраны из условия, чтобы при β∗ = π/6 параметры µ1 и µ2 (см. (68))
были равны 1 и 0,01.
Угол β∗ входит в формулу для предельного отклонения по углу α только
через интеграл (44), который является величиной второго порядка относи-
тельно начальных возмущений. А поскольку, согласно (26), (32), разность
β∗ − β0 имеет первый порядок по возмущениям, то при расчетах без умень-
шения точности можно использовать величину β0 вместо β∗.
97
Ю.Б. Коносевич
а) α̇0 6= 0 б) β̇0 6= 0
в) γ̇0 6= 0 г) γ0 6= 0
д) α̇0, β̇0, γ̇0 6= 0 е) α̇0, β̇0, γ̇0, γ0 6= 0
Рис. 1. Графики зависимости предельного отклонения ∆α от угла β0.
98
Предельное отклонение оси ротора
Для выбранных значений параметров на рис. 1 показаны графики зави-
симости предельного отклонения ∆α (в градусах) от угла β0 при наличии
одного из начальных возмущений α̇0, β̇0, γ̇0, γ0 (варианты а-г), а также при
одновременном воздействии первых трех (вариант д) и всех возмущений (ва-
риант е). В расчетах принято α̇0 = β̇0 = γ̇0 = 1 с−1, γ0 = 1◦.
1. Харламов С.А. О движении гироскопа в кардановом подвесе при наличии момента
вокруг оси собственного вращения // Докл. АН СССР. – 1961. – 139, № 2. – С. 83-86.
2. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. – М.: Наука,
1978. – 208 с.
3. Коносевич Б.И. О влиянии начальных возмущений на равномерные вращения асин-
хронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 1985. –
Вып. 17. – С. 54-61.
4. Харламов С.А. Нутационные колебания и уход синхронного гироскопа, установлен-
ного в кардановом подвесе // Докл. АН СССР. – 1962. – 146, № 3. – С. 86-90.
5. Борзов В.И. Систематический уход гироскопа с синхронным двигателем // Изв. АН
СССР. Механика твердого тела. – 1973. – № 4. – С. 149-154.
6. Коносевич Б.И. Скорость ухода оси ротора в обобщенной задаче о гироскопе в кар-
дановом подвесе // Механика твердого тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 82-92.
7. Коносевич Ю.Б. Условия устойчивости стационарных режимов движения синхрон-
ного гироскопа в кардановом подвесе // Там же. – 2003. – Вып. 33. – С. 90-96.
8. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2-е изд. – М.: Наука,
1965. – 332 с.
9. Коносевич Ю.Б. Исследование характеристического уравнения для стационарных
движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Тр. ИПММ НАН Украи-
ны. – 2004. – 9. – С. 112-121.
Yu.B. Konosevich
Limit deviation of the rotor axis of a balanced gimbal mounted synchronous
gyroscope
Limit deviation under initial perturbations is found for a balanced gimbal mounted gyroscope,
supplied with the synchronous electric motor.
Keywords: gimbal mounted gyroscope, initial disturbances, synchronous electric motor, stati-
cally balanced system, limit deviation.
Ю.Б. Коносевич
Граничне вiдхилення осi ротора зрiвноваженого синхронного гiроскопа
в кардановому пiдвiсi
Для зрiвноваженого синхронного гiроскопа у кардановому пiдвiсi знайдено граничне вiд-
хилення осi ротора при наявностi початкових збуреннь.
Ключовi слова: гiроскоп у кардановому пiдвiсi, початковi збурення, синхронний електро-
двигун, статично зрiвноважена система, граничне вiдхилення.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
konos@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 14.03.11
99
|