Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора
Предложено эффективное упрощение итерационного метода построения нелинейных нормальных форм колебаний Шоу–Пьера при наличии внутреннего резонанса. Суть упрощения состоит в частичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71584 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора / Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 109-121. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71584 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715842014-12-07T03:01:53Z Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора Перепелкин, Н.В. Михлин, Ю.В. Предложено эффективное упрощение итерационного метода построения нелинейных нормальных форм колебаний Шоу–Пьера при наличии внутреннего резонанса. Суть упрощения состоит в частичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды. Показано, что такой модифицированный метод может быть с успехом применен в задаче о динамике однодискового ротора на нелинейно-упругих массивных опорах. Запропоновано ефективне спрощення iтерацiйного методу побудови нелiнiйних нормальних форм коливань Шоу–П’єра при наявностi внутрiшнього резонансу. Суть спрощення полягає в частковому приведеннi системи до головних координат, яке торкається лише активних координат, що мають найбiльшi амплiтуди. Показано, що такий модифiкований метод може бути з успiхом запропонований в задачi щодо динамiки однодискового ротора на нелiнiйно-пружних масивних опорах. The effective simplification of the iteration method of construction of the nonlinear normal vibration modes by Shaw-Pierre taking into account the inner resonance is proposed. The simplification consists of the system partial reduction to principal coordinates, which affects only active coordinates having the largest amplitudes. It is shown that the modified method can be successfully used in a problem of the one-disk rotor on nonlinear flexible inertial supports dynamics. 2011 Article Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора / Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 109-121. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71584 531; 534 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложено эффективное упрощение итерационного метода построения нелинейных нормальных форм колебаний Шоу–Пьера при наличии внутреннего резонанса. Суть упрощения состоит в частичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды. Показано, что такой модифицированный метод может быть с успехом применен в задаче о динамике однодискового ротора на нелинейно-упругих массивных опорах. |
| format |
Article |
| author |
Перепелкин, Н.В. Михлин, Ю.В. |
| spellingShingle |
Перепелкин, Н.В. Михлин, Ю.В. Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора Механика твердого тела |
| author_facet |
Перепелкин, Н.В. Михлин, Ю.В. |
| author_sort |
Перепелкин, Н.В. |
| title |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| title_short |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| title_full |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| title_fullStr |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| title_full_unstemmed |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| title_sort |
модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71584 |
| citation_txt |
Модифицированный метод построения нормальных форм вынужденных колебаний и его приложение в динамике однодискового ротора / Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 109-121. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT perepelkinnv modificirovannyjmetodpostroeniânormalʹnyhformvynuždennyhkolebanijiegopriloženievdinamikeodnodiskovogorotora AT mihlinûv modificirovannyjmetodpostroeniânormalʹnyhformvynuždennyhkolebanijiegopriloženievdinamikeodnodiskovogorotora |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:02Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:02Z |
| _version_ |
1836840410821951488 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531; 534
c©2011. Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ
НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В ДИНАМИКЕ
ОДНОДИСКОВОГО РОТОРА
Предложено эффективное упрощение итерационного метода построения нелинейных нор-
мальных форм колебаний Шоу–Пьера при наличии внутреннего резонанса. Суть упроще-
ния состоит в частичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает
только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды. Показано, что такой моди-
фицированный метод может быть с успехом применен в задаче о динамике однодискового
ротора на нелинейно-упругих массивных опорах.
Ключевые слова: нелинейные нормальные формы колебаний, главные координаты, выну-
жденные колебания ротора.
Введение. Аппарат теории нелинейных нормальных форм колебаний
представляет собой совокупность методов, позволяющих анализировать по-
ведение как автономных, так и неавтономных динамических систем. Данная
теория, являющаяся обобщением теории нормальных колебаний линейных
систем, позволяет описывать режимы движения, в которых система с не-
сколькими степенями свободы ведет себя подобно системе с одной степенью
свободы. Существуют две концепции нелинейных нормальных форм колеба-
ний (ННФ). Концепция Каудерера–Розенберга [1, 2] пригодна для анализа
консервативных систем и устанавливает взаимосвязь между переменными
конфигурационного пространства описываемой системы в режиме нормаль-
ных колебаний. Концепция Шоу–Пьера [3, 4] пригодна для описания нор-
мальных колебаний в неконсервативных системах и устанавливает взаимо-
связь между переменными фазового пространства системы в таких режимах.
Различные аспекты теории ННФ подробно изложены в работах [5, 6].
В данной работе рассматривается процесс построения ННФ Шоу–Пьера,
излагается и обосновывается ряд модификаций стандартной процедуры по-
строения нормальных колебаний, значительно упрощающих практическую
реализацию данного метода и использование его для случая внутренних ре-
зонансов.
1. Построение нелинейных нормальных форм колебаний Шоу–
Пьера. Рассмотрим уравнения движения механической системы в главных
координатах (1):
{
q̇i = si,
ṡi + ν2i qi + f0i(q, s) = 0, i = 1, N,
(1)
109
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
где q = {q1, q2, ..., qN}T и s = {s1, s2, ..., sN}T – соответственно векторы обоб-
щенных перемещений и скоростей, функции f0i являются аналитическими
относительно компонент векторов q, s.
Среди решений системы (1) существуют такие, которые описывают ре-
жимы нормальных колебаний, т. е. колебательные движения, при которых
система (1) с N степенями свободы ведет себя подобно системе с одной сте-
пенью свободы. Пусть перемещения по одной из обобщенных координат qk
оказываются существенно больше всех остальных. Согласно концепции, ра-
зработанной Шоу (S. Shaw) и Пьером (C. Pierre), 2N −2 переменные фазово-
го пространства динамической системы (1) могут быть выражены через две
преобладающие (активные) фазовые координаты – выделенное обобщенное
перемещение qk и соответствующую скорость sk [3, 4, 6]:
qi = qi(qk, sk), si = si(qk, sk), i = 1, 2, ..., k − 1, k + 1, ..., N. (2)
Совокупность соотношений (2) задает k-ю нелинейную нормальную форму
Шоу–Пьера динамической системы (1). Заметим, что система (1) является
автономной. Обобщение на неавтономные системы возможно с использова-
нием модифицированного метода Раушера, описанного в работах [5, 6].
В условиях внутреннего резонанса, когда имеется пара близких собствен-
ных частот колебаний, в системе выделяются не две, а четыре активные фа-
зовые переменные. Это приводит к выделению пары главных координат и
пары соответствующих скоростей с существенно большими, чем у остальных
переменных, амплитудами колебаний. Такая ситуация возникает в задаче о
вынужденных колебаниях однодискового ротора на изотропно-упругом валу
и опорах, которая решается методом нормальных колебаний в работах [7, 8].
В этом случае в режиме нормальных колебаний все фазовые переменные
должны быть выражены через четыре активные переменные, а система с N
степенями свободы сводится к системе с двумя степенями свободы. Вместо
зависимостей вида (2) используем следующие зависимости:
qi = qi(qk, sk, ql, sl), si = si(qk, sk, ql, sl), i = 1, N, i 6= k, i 6= l. (3)
Таким образом, вводятся новые независимые переменные qk, sk, ql, sl. Рас-
смотрим теперь процесс получения зависимостей вида (3), присвоив для опре-
деленности активным переменным номера k = 1, l = 2. Запишем систему (1)
в матричной форме:
{
q̇ = s, ṡ+ [K0]q + F0(q, s) = 0. (4)
Переходя к новым независимым переменным, дифференцирование по време-
ни t представим в виде линейного дифференциального оператора в частных
производных L:
d
dt
= L = q̇1
∂
∂q1
+ ṡ1
∂
∂s1
+ q̇2
∂
∂q2
+ ṡ2
∂
∂s2
. (5)
110
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
Система (4) в таком случае может быть записана следующим образом:
{
Lq = s, Ls+ [K0]q + F0(q, s) = 0. (6)
В скалярной форме имеем
q̇1 = s1, ṡ1 + ν21q1 + f01(q, s) = 0,
q̇2 = s2, ṡ2 + ν22q2 + f02(q, s) = 0,
q̇1
∂qi
∂q1
+ ṡ1
∂qi
∂s1
+ q̇2
∂qi
∂q2
+ ṡ2
∂qi
∂s2
= si,
i = 3, N
q̇1
∂si
∂q1
+ ṡ1
∂si
∂s1
+ q̇2
∂si
∂q2
+ ṡ2
∂si
∂s2
+ ν2i qi + f0i(q, s) = 0.
(7)
С помощью первых четырех соотношений системы (7) можно исключить
из оставшихся уравнений величины q̇1, ṡ1, q̇2, ṡ2, получив таким образом си-
стему уравнений в частных производных, решением которых являются зави-
симости (3).
Решение полученной системы уравнений в частных производных может
быть получено различными способами, в частности, в виде степенных рядов
[3, 4, 6]:
qn = a
(n)
1 q1 + a
(n)
2 s1 + a
(n)
3 q2 + a
(n)
4 s2 + a
(n)
5 q21 + ...,
sn = b
(n)
1 q1 + b
(n)
2 s1 + b
(n)
3 q2 + b
(n)
4 s2 + b
(n)
5 q21 + ...; n = 3, N.
(8)
Подставляя выражения (8) в уравнения в частных производных, получим си-
стему полиномиальных равенств относительно переменных q1, s1, q2, s2. При-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях q1, s1, q2, s2, получим алге-
браические уравнения относительно неизвестных коэффициентов a
(n)
j , b
(n)
j . В
этой группе уравнений выделяется замкнутая подсистема нелинейных урав-
нений относительно коэффициентов a
(n)
1 , a
(n)
2 , b
(n)
1 , b
(n)
2 линейных частей ра-
зложений (8). Поскольку активные фазовые переменные q1, s1, q2, s2 в режи-
ме нормальных колебаний имеют наибольшие амплитуды, то искомые зави-
симости (3) являются пологими поверхностями в пространствах переменных
(q1, s1, q2, s2, qi) и (q1, s1, q2, s2, si) соответственно, а значит, a
(n)
1 , a
(n)
2 , b
(n)
1 , b
(n)
2
– малые величины, которые могут быть найдены численно в окрестности ну-
ля. Алгебраические уравнения относительно других коэффициентов разло-
жений (8) являются линейными и имеют рекуррентный характер: исполь-
зуя найденные величины a
(n)
1 , a
(n)
2 , b
(n)
1 , b
(n)
2 , можно определить коэффициен-
ты при квадратичных членах в разложениях (8), затем коэффициенты при
кубических членах разложений (8) и т.д.
Определив разложения (8), систему (1) можно свести к эквивалентной
системе с двумя степенями свободы относительно активных переменных.
111
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
В описанной выше процедуре построения ННФ Шоу–Пьера необходимо
проводить объемные аналитические преобразования на этапе построения си-
стемы вида (7), а также при получении из нее соотношений, необходимых
для нахождения величин a
(n)
j , b
(n)
j . Если число уравнений системы вида (1)
является значительным, то при компьютерной реализации описанного под-
хода вследствие оперирования громоздкими аналитическими выражениями
возможно как неоправданно большое время счета, так и переполнение выде-
ленной программе памяти. Предложенный ниже подход призван значительно
упростить процедуру построения ННФ.
Предварительно отметим, что система вида (1), для которой ведется по-
строение форм Шоу–Пьера, как правило, не является изначальной при прове-
дении исследований. Она получается из другой системы уравнений, имеющей
в матричной форме вид
[M ]ẍ + [C]x +Φ(x, ẋ) = 0, (9)
где [M ], [C] – матрицы масс и жесткости соответственно, вектор Φ содержит
нелинейные, диссипативные и гироскопические члены.
Эта исходная система уравнений (9) связана с системой в главных коор-
динатах (1) линейной заменой переменных x = [U]q, ẋ = [U]s, где [U ] –
матрица собственных форм линеаризованной системы. Для перехода к урав-
нениям в главных координатах необходимо (9) умножить слева на [M ]−1 и
[U ]−1 и сделать соответствующую замену переменных. В результате получим
систему, которая является матричной формой записи системы (1):
q̈ + [K0]q + F0(q, q̇) = 0. (10)
2. Модификация процедуры построения ННФ Шоу–Пьера.
Исходные уравнения (9) значительно проще, чем система (10), но среди пе-
ременных {x1, x2, ..., xN} нельзя выделить преобладающие. Именно систему
(10) приходится использовать при построении ННФ. Однако, так как x ли-
нейно зависит от q, а все компоненты вектора q могут быть выражены через
активные фазовые переменные (например, q1, s1, q2, s2) в форме степенных
рядов, то и компоненты вектора x могут быть представлены в виде степенных
рядов относительно активных фазовых переменных. Иначе говоря, одно и то
же движение системы может быть описано как совокупность зависимостей
qi(q1, s1, q2, s2), si(q1, s1, q2, s2), но в то же время его можно охарактеризовать
зависимостями xi(q1, s1, q2, s2), yi(q1, s1, q2, s2) (где yi – обобщенные скорости
исходной системы уравнений).
Идея модификации процедуры построения форм Шоу–Пьера состоит в
том, чтобы вести построение по стандартной схеме (получение уравнений
в частных производных, представление решения в виде степенных рядов и
т.д.), однако разложения строить не для переменных фазового пространс-
тва системы в главных координатах, а для переменных фазового пространс-
тва исходной системы (9) {x, ẋ}, оперируя системой уравнений, максималь-
но приближенных к уравнениям (9), а значит, более простых.
112
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
Наряду с набором переменных x = {x1, x2..., xN}T , описывающих движе-
ние исходной системы (9), и переменными q = {q1, q2..., qN}T , описывающих
движение системы в главных координатах, рассмотрим некоторый промежу-
точный набор переменных x∗ = {q1, q2, x3, x4..., xN}T и соответствующую ему
промежуточную, частично приведенную к главным координатам, систему
уравнений (11):
q̈1 + ν21q1 + f∗
1 (x
∗, ẋ∗) = 0,
q̈2 + ν22q2 + f∗
2 (x
∗, ẋ∗) = 0,
ẍ3 + k∗31q1 + k∗32q2 + k∗33x3 + ...+ k∗3NxN + f∗
3 (x
∗, ẋ∗) = 0,
ẍ4 + k∗41q1 + k∗42q2 + k∗43x3 + ...+ k∗4NxN + f∗
4 (x
∗, ẋ∗) = 0,
. . .
ẍN + k∗N1q1 + k∗N2q2 + k∗N3x3 + ...+ k∗NNxN + f∗
N (x∗, ẋ∗) = 0,
(11)
или в матричном виде
ẍ∗ + [K∗]x∗ + F∗(x∗, ẋ∗) = 0. (12)
Такая система является полностью эквивалентной системам (9) и (10) и свя-
зана с каждой из них с помощью соответствующих линейных преобразований.
Если предположить, что все величины xi (i = 3, N ) в режиме нор-
мальных колебаний могут быть однозначно выражены через q1, q̇1, q2, q̇2,
то определить такую зависимость можно при помощи процедуры, изло-
женной в п. 1, и сводящейся к решению системы дифференциальных
уравнений в частных производных относительно неизвестных функций
xk(q1, q̇1, q2, q̇2), yk(q1, q̇1, q2, q̇2), k = 3, N . Эта система имеет следующий вид:
{
Lx∗ = y∗, Ly∗ + [K∗]x∗ + F∗(x∗,y∗) = 0, (13)
где оператор L введен равенством (5).
Решение системы также можно представить в виде степенных рядов с
неизвестными коэффициентами:
xn = a
∗(n)
1 q1 + a
∗(n)
2 s1 + a
∗(n)
3 q2 + a
∗(n)
4 s2 + a
∗(n)
5 q21 + . . . ,
yn = b
∗(n)
1 q1 + b
∗(n)
2 s1 + b
∗(n)
3 q2 + b
∗(n)
4 s2 + b
∗(n)
5 q21 + . . . ; n = 3, N.
(14)
Процедура поиска коэффициентов аналогична процедуре, изложенной в п. 1.
Поскольку, как будет показано в п. 3, пара векторов x∗ и q, равно как
и пара y∗ и s, связаны между собой линейными соотношениями x∗ = [P ]q,
y∗ = [P ]s, то нетрудно показать, что система (13) полностью эквивалентна
системе, получаемой из уравнений (7).
Итак, одни и те же режимы нормальных колебаний, описываемые нор-
мальными формами Шоу–Пьера, могут быть получены как при рассмотре-
нии уравнений в главных координатах (10), так и при рассмотрении более
простой системы уравнений (12).
113
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
Замечание. Несмотря на то, что, теоретически, коэффициенты при ли-
нейных членах разложений (14) могут быть найдены в результате численного
решения соответствующей системы нелинейных алгебраических уравнений,
реально осуществить это не всегда просто. Это связано с тем, что среди фа-
зовых переменных системы (12) нельзя выделить преобладающие, а значит,
коэффициенты a
∗(n)
1 , a
∗(n)
2 , b
∗(n)
1 , b
∗(n)
2 , в отличие от аналогичных величин в ра-
зложениях (8), не обязательно малы, и искать их в окрестности нуля нельзя.
Для нахождения этих величин необходим ряд дополнительных действий.
Разложения (8) можно представить в таком матричном виде:
q = [A]w, s = [B]w, (15)
где w =
{
q1, s1, q2, s2, q
2
1, s
2
1, q
2
2 , s
2
2, q1s1, q1q2, q1s2, . . . ,
}T
,
[A] =
1 0 0 0 0 . . .
0 0 1 0 0 . . .
a
(3)
1 a
(3)
2 a
(3)
3 a
(3)
4 a
(3)
5 . . .
a
(4)
1 a
(4)
2 a
(4)
3 a
(4)
4 a
(4)
5 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
, [B] =
0 1 0 0 0 . . .
0 0 0 1 0 . . .
b
(3)
1 b
(3)
2 b
(3)
3 b
(3)
4 b
(3)
5 . . .
b
(4)
1 b
(4)
2 b
(4)
3 b
(4)
4 b
(4)
5 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
(16)
Разложения (14) можно записать как
x∗ = [A∗]w, y∗ = [B∗]w, (17)
где матрицы [A∗] и [B∗] аналогичны матрицам [A] и [B] .
С другой стороны, x∗ = [P ]q, y∗ = [P ]s, а значит, справедливо следующее:
[A∗]w = [P ][A]w, [B∗]w = [P ][B]w, (18)
[A∗] = [P ][A], [B∗] = [P ][B]. (19)
Соотношения (19) позволяют связать коэффициенты a
∗(n)
k , b
∗(n)
k разло-
жений (14) с коэффициентами a
(n)
k , b
(n)
k разложений (8), которые являю-
тся малыми. Это позволяет привести разрешающие уравнения относительно
a
∗(n)
1 , a
∗(n)
2 , b
∗(n)
1 , b
∗(n)
2 к уравнениям относительно a
(n)
1 , a
(n)
2 , b
(n)
1 , b
(n)
2 и искать
решение этой системы в окрестности нуля.
3. Получение системы уравнений, частично приведенной к глав-
ным координатам, и ее свойства. Векторы x,q и x∗, описанные в п. 2,
связаны между собой линейными невырожденными преобразованиями (то же
справедливо и для соответствующих скоростей):
x = [U ]q ⇒ x = [T ]x∗, x∗ = [P ]q, (20)
где [U ] – матрица собственных форм системы (9).
114
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
Вводя новые обозначения x12 = {x1, x2}
T , x3N = {x3, x4, . . . , xN}T ,
q12 = {q1, q2}
T , q3N = {q3, q4, . . . , qN}T , равенства (20) представим в блочно-
матричной форме
[
x12
x3N
]
=
[
2×2
U1
2×m
U2
m×2
U3
m×m
U4
][
q12
q3N
]
,
[
x12
x3N
]
=
[
2×2
T1
2×m
T2
m×2
T3
m×m
T4
][
q12
x3N
]
, (21)
[
q12
x3N
]
=
[
2×2
P1
2×m
P2
m×2
P3
m×m
P4
][
q12
q3N
]
.
Над составляющими матрицы блоками вверху записана их размерность,
при этом m = N − 2. Из соотношений (21) следует, что P1 =
2×2
I , где I –
единичная матрица; P2 =
2×m
O , где O – нулевая матрица; T3 =
m×2
O , T4 =
m×m
I .
Зная это, из условия [U ] = [T ][P ] получаем, что P3 = U3, P4 = U4, что
позволяет полностью определить матрицу [P ]. Тогда [T ] = [P ]−1[U ].
Теперь выведем систему дифференциальных уравнений относительно пе-
ременных x∗, описывающую движение системы. Повторяя процедуру пере-
хода от системы (9) к системе (10) и учитывая, что x = [T ][P ]q, получим
[T ][P ]q̈ + [K][T ][P ]q + F
(
[T ][P ]q, [T ][P ]q̇
)
= 0. (22)
Умножая слева на [U ]−1, т.е. на [P ]−1[T ]−1, и учитывая, что x∗ = [P ]q, полу-
чаем после несложных преобразований
ẍ∗ + [T ]−1[K][T ]x∗ + [T ]−1F
(
[T ]x∗, [T ]ẋ∗
)
= 0, (23)
что представляет иную форму записи уравнений (12) и демонстрирует способ
их получения из уравнений (9). Итак, имеем следующую связь между матри-
цами, которые определяют связь системы (12) с системами (9) и (10):
[T ]−1[K][T ] = [K∗], [P ]−1[K∗][P ] = [K0], (24)
[T ]−1F
(
[T ]x∗, [T ]y∗
)
= F∗
(
x∗,y∗
)
, [P ]−1F∗
(
[P ]q, [P ]s
)
= F0
(
q, s
)
. (25)
Запишем теперь системы (9), (12), (10) в блочно-матричной форме:
[
ẍ12
ẍ3N
]
+
2×2
K1
2×m
K2
m×2
K3
m×m
K4
[
x12
x3N
]
+
[
F12(x, ẋ)
F3N (x, ẋ)
]
= 0, (26)
[
ẍ∗
12
ẍ∗
3N
]
+
2×2
K*
1
2×m
K*
2
m×2
K*
3
m×m
K*
4
[
x∗
12
x∗
3N
]
+
[
F∗
12(x
∗, ẋ∗)
F∗
3N (x∗, ẋ∗)
]
= 0, (27)
115
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
[
q̈12
q̈3N
]
+
2×2
K0 12
2×m
O
m×2
O
m×m
K0 3N
[
q12
q3N
]
+
[
F0 12(q, q̇)
F3N (q, q̇)
]
= 0. (28)
Переход от (26) к (27) сопряжен с умножением системы (26) на [T ]−1, пе-
реход от (27) к (28) сопряжен с умножением системы (27) на [P ]−1. Матрицы
[T ]−1 и [P ]−1 имеют следующую структуру:
[T ]−1 =
2×2
T̃1
2×m
T̃2
m×2
O
m×m
I
, [P ]−1 =
2×2
I
2×m
O
m×2
P̃3
m×m
P̃4
. (29)
Тогда из второго выражения зависимостей (24) при рассмотрении его в бло-
чной форме следует, что K∗
2 =
2×m
O , K∗
1 = K0 12. Также получаем, что первые
два уравнения системы (12) с точностью до замены переменных в векторе, со-
держащем нелинейные и диссипативные члены, совпадают с первыми двумя
уравнениями системы (10) в главных координатах.
Из (21) следует, что x12 = T1q12 + T2x3N , тогда после подстановки x =
= [T ]x∗ в (26) получим
ẍ∗
3N +K3T1q12 + (K3T2 +K4)x
∗
3N + F3N
(
[T ]x∗, [T ]ẋ∗
)
= 0. (30)
Уравнения (30) представляют собой уравнения с номерами от 3 до N
исходной системы (26), в которых была произведена замена переменных x =
= [T ]x∗. Уравнения (30) являются частью системы (27), или в иной форме,
уравнений (12).
Таким образом, система (12), частично приведенная к главным коор-
динатам и сформулированная относительно вектора переменных x∗ =
= {q1, q2, x3, x4, ..., xN}T , состоит из двух дифференциальных уравнений
второго порядка, взятых из системы (10) в главных координатах, а также
из N − 2 уравнений исходной системы (9), причем во всех этих уравнениях
исключены переменные, не входящие в вектор x∗, что возможно сделать с
использованием условия x = [U ]q.
Замечание. Активными координатами можно заменять любые два пере-
мещения, входящие в вектор x (при условии, что это не породит вырожденные
матрицы [T ] и [P ]).
4. Динамика однодискового неуравновешенного ротора на нели-
нейно-упругих массивных опорах. В этом пункте описанная выше ме-
тодика используется для исследования динамики неуравновешенного одно-
дискового ротора с изотропно-упругим валом на податливых изотропных
нелинейно-упругих опорах. В отличие от модели, рассмотренной в [7], здесь
учитываются инерционные силы в опорах. Учитывается наличие внутренне-
го резонанса, который всегда имеет место для ротора с изотропно-упругими
116
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
опорами и валом. Краткий обзор литературы, относящейся к нелинейной ди-
намике роторов, также можно найти в работе [7].
Рассмотрим однодисковый неуравновешенный асимметричный ротор с
изотропно-упругими валом и опорами в неподвижной системе координат
XY Z (рис. 1, a).
X
Y
Z
x
y
x1 x2
y2y1
m1
m2
A B
O
C
l1 l2
ε
θ1 θ2
m
lp
le
θ1
θ1
θ2
θ2
θ3
θ3
Xx′
Y
Z
y′y′′
y′′′
x′′
x′′′
z′′
z′′′
z′
а) б)
Рис. 1. Модель однодискового ротора с нелинейными массивными опорами (а);
подвижная и неподвижная системы координат диска (б).
Пусть восстанавливающая сила в опорах описывается следующим выра-
жением: P = k1x+k2x
3. Подвижная система координат, связанная с вращаю-
щимся диском, показана на рис. 1, б. Позиционные углы θ1, θ2, θ3 определяют
взаимосвязь подвижной и неподвижной систем координат.
Уравнения вынужденных колебаний данной системы имеют следующий
вид:
mẍ+ ρ1ẋ+ c11(x− h1x2 − h2x1) + c12(θ2 − (x2 − x1)/I) = εΩ2m cos Ωt,
mÿ + ρ1ẏ + c11(y − h1y2 − h2y1) + c12(−θ1 − (y2 − y1)/l) = εΩ2m sinΩt,
Ieθ̈1 + ρ2θ̇1 + IpΩθ̇2 − c21(y − h1y2 − h2y1)− c22(−θ1 − (y2 − y1)/l) = 0,
Ieθ̈2 + ρ2θ̇2 − IpΩθ̇1 + c21(x− h1x2 − h2x1) + c22(θ2 − (x2 − x1)/l) = 0, (31)
m1ẍ1 + βẋ1 + s1(x− h1x2 − h2x1) + s2(θ2 − (x2 − x1)/l) + c(1)x x1 + c(2)x x31 = 0,
m1ÿ1 + βẏ1 + s1(y − h1y2 − h2y1) + s2(−θ1 − (y2 − y1)/l) + c(1)y y1 + c(2)y y31 = 0,
m2ẍ2 + βẋ2 + s3(x− h1x2 − h2x1) + s4(θ2 − (x2 − x1)/l) + k(1)x x2 + k(2)x x32 = 0,
m2ÿ2 + βẏ2 + s3(y − h1y2 − h2y1) + s4(−θ1 − (y2 − y1)/l) + k(1)y y2 + k(2)y y32 = 0,
где m, Ip, Ie – масса и моменты инерции диска; m1,m2 – массы опор;
c11 = 3EJ
l31 + l32
l31l
3
2
, c12 = c21 = 3EJl
l1 − l2
l21l
2
2
, c22 = 3EJ
l
l1l2
– статические
коэффициенты жесткости вала; ε – эксцентриситет диска; Ω – частота вра-
щения ротора; β, ρ1, ρ2 – коэффициенты демпфирования перемещений опор
117
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
и диска; c
(1)
x , c
(1)
y и k
(1)
x , k
(1)
y – коэффициенты, характеризующие линейную
часть восстанавливающих сил в опорах (для левой и правой опор соответ-
ственно); c
(2)
x , c
(2)
y и k
(2)
x , k
(2)
y – аналогичные коэффициенты, определяющие
нелинейные компоненты восстанавливающих сил; h1 = l1/l, h2 = l2/l,
s1 = c12/l− c11h2, s2 = c22/l− c12h2, s3 = −c12/l− c11h1, s4 = −c22/l− c12h1.
Теорию нелинейных нормальных форм колебаний можно использовать и в
неавтономных системах, что позволяет построить резонансные вынужденные
колебания [5, 6]. При этом используется метод Раушера, впервые предложен-
ный для систем с одной степенью свободы [9], который позволяет в режиме
вынужденных колебаний заменить неавтономную систему эквивалентной ав-
тономной. Обобщение метода Раушера на системы с несколькими степенями
свободы было предложено в работе [10]. Система уравнений (31), в соответ-
ствие с методикой, описанной в пп. 2, 3, должна быть представлена в виде
системы, частично приведенной к главным координатам. При этом вводятся
активные в окрестности первого резонанса главные координаты q1, q2 (изме-
нение каждой из них соответствует первой форме собственных колебаний)
вместо координат x, y. Таким образом, первые два уравнения из системы (31)
заменяются на два уравнения из системы уравнений в главных координатах.
Полученная система, частично приведенная к главным координатам, здесь
не представлена.
Для дальнейших числовых расчетов используются следующие значения
параметров ротора:
m1 = m2 = 2 кг, m = 12 кг, Ie = 0.1225 кг · м2, Ip = 0.24 кг · м2, l = 0.8м,
l1 = 0.24м, ε = 0.00003м, c
(1)
x = c
(1)
y = k
(1)
x = k
(1)
y = 7 · 105H/м,
c
(2)
x = c
(2)
y = k
(2)
x = k
(2)
y = 8 · 1010H/м3, E = 2.1 · 1011Па, β = 60H · с/м ,
ρ1 = 5Н · с/м , ρ2 = 5Н · с, J = 3.976 · 10−8 м4.
Было произведено масштабирование всех переменных с масштабным ко-
эффициентом 0.001, а также произведена нормировка времени: τ = ν1t,
ω = Ω/ν1, где ν1 – первая собственная частота, равная для выбранных зна-
чений параметров 211.54 с−1. Полагаем, что выполняется условие резонанса
Ω ≈ ν1 ≈ ν2. (Для рассматриваемой модели ротора ν1 = ν2).
Процедура применения метода Раушера описана в работах [7, 8]. В этом
случае после некоторых преобразований внешнее периодическое воздействие
приближенно заменяется следующим разложением по активным переменным
q1, s1, q2, s2:
cos(Ωt) = α1q1 + α2s1 + α3q2 + α4s2 + α5q
2
1 + α6s
2
1 + ... ; sin(Ωt) = ... . (32)
В результате в режиме нормальных форм вынужденных колебаний исходная
неавтономная система заменяется эквивалентной автономной системой, по-
лучаемой в результате подстановки (32). Именно в переходе к автономной
118
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
системе и состоит основная идея метода Раушера. Далее следует, как опи-
сано в пп. 2, 3, построить нормальные формы Шоу–Пьера в новой, эквива-
лентной системе. Нелинейные нормальные формы колебаний определяются в
виде степенных рядов вида (14) по четырем выделенным фазовым перемен-
ным. В результате в режиме нормальных колебаний исходная система (31),
имеющая восемь степеней свободы, сводится к системе с двумя степенями
свободы, что позволяет найти периодическое решение для активных фазо-
вых переменных методом гармонического баланса, а затем определить новые
зависимости вида (32). Далее, как описано в работах [7, 8], можно построить
итерационный процесс нахождения резонансных вынужденных колебаний с
необходимой точностью.
На рис. 2 представлены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) ро-
тора вблизи первого резонанса. На рис. 2, a избражены амплитуды первой
гармоники активной обобщенной координаты q1; на рис. 2, б – амплитуды
первой гармоники перемещения диска θ1. АЧХ получены с помощью приме-
нения итерационной процедуры метода ННФ к уравнениям в главных коор-
динатах (линии), к частично приведенной системе уравнений (окружности),
а также методом гармонического баланса (точки).
Aq1 × 10−3 Aθ1 × 10−3
Ω/ν1 Ω/ν1
3
2
1
0.90 0.95 1.00 1.05 0.90 0.95 1.00 1.05
0.4
0.8
1.2
1.6
а) б)
Рис. 2. Сравнение АЧХ ротора, полученных тремя методами.
Очевидно, что процедура частичного приведения к главным координатам
дает столь же точные результаты, как и стандартная процедура, и не усту-
пает в точности другим методам расчета резонансных колебаний. Однако
эта процедура значительно облегчает проведение аналитических и числовых
преобразований при конкретном расчете.
Результаты сравнительного расчета траектории перемещения в опоре B, а
119
Н.В. Перепелкин, Ю.В. Михлин
также изменение перемещения в опоре x2 во времени представлены на рис. 3
(единица измерения – мм).
y2
x20 0.2 0.4−0.2−0.4
x2
τ
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.2
0.4
0
−0.2
−0.4
5 10 15 20
а) б)
Рис. 3. Результаты сравнительного расчета траектории y2 = y2(x2) и изменения
во времени перемещения x2 = x2(τ ).
На рис. 3, а представлена траектория перемещения в опоре B, на рис. 3, б
– изменение во времени перемещения x2. Линии представляют результаты
расчета с применением итерационной процедуры метода ННФ, применяемой
к уравнениям в главных координатах. Окружности соответствуют аналоги-
чному расчету для частично приведенной системы уравнений. Точки соответ-
ствуют результатам, полученным с использованием метода гармонического
баланса.
Выводы. Показано, что вычислительную процедуру определения нели-
нейных нормальных форм колебаний Шоу–Пьера при наличии внутреннего
резонанса можно существенно упростить. Основное упрощение состоит в ча-
стичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает
только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды. Модифици-
рованный метод расчета нелинейных нормальных форм колебаний исполь-
зован для расчета вынужденных резонансных колебаний однодискового ро-
тора на нелинейно-упругих массивных опорах. При этом, помимо наличия
вынужденного резонанса в системе, учтено также наличие инерционных сил
в нелинейно-упругих опорах. Предложенная процедура расчета может быть
использована в задачах динамики различных механических систем в услови-
ях внутреннего резонанса.
1. Rosenberg R. Nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Adv. of
Appl. Mech. – 1966. – 9. – P. 156–243.
2. Mikhlin Yu. Normal vibrations of a general class of conservative oscillators // Nonl. Dyn.
– 1996. – 11. – P. 1–16.
120
Метод построения нормальных форм вынужденных колебаний
3. Shaw S., Pierre C. Nonlinear normal modes and invariant manifolds // J. of Sound and
Vibration. – 1991. – 150. – P. 170–173.
4. Shaw S. and Pierre C. Normal modes for nonlinear vibratory systems //J. of Sound and
Vibration. – 1993. – 164. – P. 85–124.
5. Vakakis A., Manevitch L., Mikhlin Yu., Pilipchuk V., Zevin A. Normal modes and locali-
zation in nonlinear systems. – New-York: Wiley, 1996. – 552 p.
6. Аврамов К.В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. – М.;Ижевск:
НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010. – 704 с.
7. Перепелкин Н.В., Михлин Ю.В. Анализ вынужденных форм колебаний однодисково-
го ротора на нелинейно-упругих опорах // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40.
– С. 221–232.
8. Mikhlin Y.V., Perepelkin N.V. Non-linear normal modes and their applications in mechani-
cal systems // Proc. of the Institution of Mechanical engineers, Part C: J. of Mechanical
engineering science. – 2011. – 225(10). – P. 2369–2384.
9. Rauscher M. Steady oscillations of system with nonlinear and unsymmetrical elasticity //
J. Appl. Mech. – 1938. – 5. – A–169.
10. Mikhlin Yu.V. Resonance modes of near-conservative nonlinear systems // Appl. Math.
Mech. (PMM USSR). – 1974. – 38(3). – P. 425–429.
N.V. Perepelkin, Yu.V. Mikhlin
Analysis of forced vibration modes of a one-disk rotor on a nonlinear flexible
base
The effective simplification of the iteration method of construction of the nonlinear normal
vibration modes by Shaw-Pierre taking into account the inner resonance is proposed. The sim-
plification consists of the system partial reduction to principal coordinates, which affects only
active coordinates having the largest amplitudes. It is shown that the modified method can
be successfully used in a problem of the one-disk rotor on nonlinear flexible inertial supports
dynamics.
Keywords: nonlinear normal vibration modes, principal coordinates, forced vibrations of a
rotor.
М.В.Перепелкiн, Ю.В.Мiхлiн
Модифiкований метод побудови нормальних форм вимушених коливань
та його застосування в динамiцi однодискового ротора
Запропоновано ефективне спрощення iтерацiйного методу побудови нелiнiйних нормаль-
них форм коливань Шоу–П’єра при наявностi внутрiшнього резонансу. Суть спрощення
полягає в частковому приведеннi системи до головних координат, яке торкається лише
активних координат, що мають найбiльшi амплiтуди. Показано, що такий модифiкований
метод може бути з успiхом запропонований в задачi щодо динамiки однодискового ротора
на нелiнiйно-пружних масивних опорах.
Ключовi слова: нелiнiйнi нормальнi форми коливань, головнi координати, вимушенi
коливання ротора.
Национальный техн. ун-т “Харьковский политехн. ин-т”
muv@kpi.kharkov.ua
Получено 14.10.11
121
|