Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
Представлены два метода приближенного построения решения нелинейной задачи изгиба упругого тонкого стержня под воздействием аэродинамических сил: гамильтонов подход и представление решения в виде отрезка ряда по скорости потока. Основная идея первого метода состоит в сведении исходного уравнения Эйл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71585 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе / А.А. Илюхин, С.А. Шретер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 122-131. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71585 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715852014-12-07T03:01:52Z Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе Илюхин, А.А. Шретер, С.А. Представлены два метода приближенного построения решения нелинейной задачи изгиба упругого тонкого стержня под воздействием аэродинамических сил: гамильтонов подход и представление решения в виде отрезка ряда по скорости потока. Основная идея первого метода состоит в сведении исходного уравнения Эйлера–Кирхгофа к системе уравнений гамильтонова типа с последующей нормализацией функции Гамильтона с учетом определенного числа членов (в зависимости от необходимой точности). В рамках этого подхода осуществлен поиск решения краевой двухточечной задачи с помощью прямого и обратного преобразования Биркгофа. Идея второго подхода – запись уравнения равновесия относительно изменения обобщенной координаты и представление решения в виде отрезка ряда по скорости набегающего потока. Проведено сравнение результатов обоих методов. Представлено два методи наближеної побудови роз’язку нелiнiйної задачi вигину пружного тонкого стержня пiд впливом аеродинамiчних сил: гамiльтонiв пiдхiд i зображення розв’язку у виглядi вiдрiзка ряду по швидкостi потоку. Основна iдея першого методу полягає у зведеннi вихiдного рiвняння Ейлера–Кiрхгофа до системи рiвнянь гамiльтонова типу з наступною нормалiзацiєю функцiї Гамiльтона з урахуванням визначеного числа членiв (в залежностi вiд необхiдної точностi). У рамках цього пiдходу здiйснено пошук розв’язку граничної двоточкової задачi за допомогою прямого та оберненого перетворення Бiркгофа. Iдея другого пiдходу – запис рiвняння рiвноваги вiдносно змiни узагальненої координати i зображення розв’язку у виглядi вiдрiзка ряду по швидкостi набiгаючого потоку. Проведено порiвняння результатiв обох методiв. The paper presents two methods for constructing approximate solutions of the nonlinear problem of bending of an elastic thin rod shape under the influence of aerodynamic forces, they are the Hamiltonian approach and the representation of the solution in the form of a segment of the power series in the flow rate. The main idea of the first method consists in reducing the source of the Euler–Kirchhoff system to equations of Hamiltonian type with subsequent normalization of the Hamiltonian in a certain number of members (depending on the desired accuracy). In this approach, the search of the solution to the two-point boundary value problem is carried out by means of direct and inverse transformation of Birkhoff. The idea of the second approach is to write the equations of equilibrium for a change of the generalized coordinates and to represent the solution in the form of a segment of the power series in the free stream velocity. The results of both methods are compared. 2011 Article Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе / А.А. Илюхин, С.А. Шретер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 122-131. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71585 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Представлены два метода приближенного построения решения нелинейной задачи изгиба упругого тонкого стержня под воздействием аэродинамических сил: гамильтонов подход и представление решения в виде отрезка ряда по скорости потока. Основная идея первого метода состоит в сведении исходного уравнения Эйлера–Кирхгофа к системе уравнений гамильтонова типа с последующей нормализацией функции Гамильтона с учетом определенного числа членов (в зависимости от необходимой точности). В рамках этого подхода осуществлен поиск решения краевой двухточечной задачи с помощью прямого и обратного преобразования Биркгофа. Идея второго подхода – запись уравнения равновесия относительно изменения обобщенной координаты и представление решения в виде отрезка ряда по скорости набегающего потока. Проведено сравнение результатов обоих методов. |
| format |
Article |
| author |
Илюхин, А.А. Шретер, С.А. |
| spellingShingle |
Илюхин, А.А. Шретер, С.А. Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе Механика твердого тела |
| author_facet |
Илюхин, А.А. Шретер, С.А. |
| author_sort |
Илюхин, А.А. |
| title |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| title_short |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| title_full |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| title_fullStr |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| title_sort |
математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71585 |
| citation_txt |
Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе / А.А. Илюхин, С.А. Шретер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 122-131. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ilûhinaa matematičeskoemodelirovaniepovedeniâplastinkivaérodinamičeskojtrube AT šretersa matematičeskoemodelirovaniepovedeniâplastinkivaérodinamičeskojtrube |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:05Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:05Z |
| _version_ |
1836840413179150336 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.38
c©2011. А.А. Илюхин, С.А. Шретер
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
ПЛАСТИНКИ В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Представлены два метода приближенного построения решения нелинейной задачи изгиба
упругого тонкого стержня под воздействием аэродинамических сил: гамильтонов подход
и представление решения в виде отрезка ряда по скорости потока. Основная идея первого
метода состоит в сведении исходного уравнения Эйлера–Кирхгофа к системе уравнений
гамильтонова типа с последующей нормализацией функции Гамильтона с учетом опреде-
ленного числа членов (в зависимости от необходимой точности). В рамках этого подхода
осуществлен поиск решения краевой двухточечной задачи с помощью прямого и обратного
преобразования Биркгофа. Идея второго подхода – запись уравнения равновесия относи-
тельно изменения обобщенной координаты и представление решения в виде отрезка ряда
по скорости набегающего потока. Проведено сравнение результатов обоих методов.
Ключевые слова: гамильтонов подход, преобразование Биркгофа, изгиб стержня, ма-
тематическая модель.
Специфика задач механики гибких стержней состоит в том, что грани-
чные условия в них задаются в нескольких точках оси стержня. Представле-
ние уравнения изгиба упругого стержня в гамильтоновой форме позволяет
привлечь для решения задач статики гибких стержней аппарат гамильтоно-
вой механики. При аналитическом построении приближенного решения при-
ходится вычислять постоянные интегрирования, исходя из граничных усло-
вий. Поэтому в работе предложено строить обратное преобразование Бирк-
гофа для упрощения решения краевой двухточечной задачи. Указан и про-
граммно реализован алгоритм численного построения зависимости угла ата-
ки пластинки от скорости набегающего потока. Уточнены коэффициенты в
решении, полученном в [9].
Рассмотрена задача об изгибе потоком воздуха стержня, жестко закре-
пленного нижним концом, к верхнему концу которого жестко прикреплена
абсолютно твердая пластинка. Предполагается, что поток воздействует толь-
ко на пластинку, изгиб стержня происходит в одной плоскости. Начальное
положение стержня определяется заданием угла ψ.
Цель работы состоит в том, чтобы, получив решение уравнения равно-
весия, установить зависимость между аэродинамическими силами и углом
поворота пластинки (так называемым текущим углом атаки αT ), тем самым
построить математическую модель эксперимента по обдуву тела в аэродина-
мической трубе.
1. Вывод уравнения равновесия. Отличие пластинки (как и те-
ла любой другой формы) от точки в том, что направление силы воздей-
ствия R потока на пластинку может не совпадать с направлением векто-
ра скорости V потока, поэтому вектор R представляют [1] в виде сум-
мы двух векторов: S + P, где S – сила сопротивления и P – подъем-
122
Моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
ная сила, S ‖ V,P ⊥ V. Для аэродинамических сил взяты зависимости:
S =
ρ
2
s (α)VV, P =
ρ
2
p (α) (i × V) , где ρ – плотность воздуха, α – пер-
воначальный угол атаки; i, i⊥V – единичный вектор, лежащий в плоскости
пластинки. Функции s (α), p (α) – коэффициенты аэродинамических сил, за-
висят от формы и размеров пластинки и определяются экспериментально.
Общие свойства этих функций: s (α) ≥ s0 > 0, а p (α) меняет свой знак при
α = 0 и α = π/2 (p (0) = p (π/2 ) = 0). Эти коэффициенты принято нормиро-
вать на площадь пластинки. К стержню, кроме силы R, приложен момент в
точке K крепления пластинки и стержня:
M =
ρ
2
d (α)
(
pV cosα + sV 2sinα
)
.
Здесь d (α) – расстояние от центра давления до точки K. Для записи урав-
нения равновесия необходимо знать проекцию внешних сил на направле-
ние касательной к оси стержня τ и нормали n. Если единичные векторы
iv – вдоль скорости, ip – вдоль подъемной силы, то с помощью замены
iv = −τcos θ + nsin θ , ip = τ sin θ + ncos θ , получим
S = Siv =
ρ
2
s (αT )V
2
iv =
(
−ρ
2
s (αT )V
2cos θ
)
τ +
(ρ
2
s (αT )V
2sin θ
)
n,
P = P ip =
ρ
2
p (αT )V ip =
(ρ
2
p (αT )V sin θ
)
τ +
(ρ
2
p (αT )V cos θ
)
n.
Воспользуемся точным уравнением упругого равновесия при плоском
изгибе и для первоначально прямого стержня (ψ = const) постоянного се-
чения (B = const) запишем уравнение равновесия в виде [2]
dM3
dl
+R2 = 0.
Здесь M3 = Bχ – проекция внутреннего момента на бинормаль, χ =
dθ
dl
, R2 –
проекция силы R на нормаль. Подставив все проекции, получим уравнение
равновесия Эйлера–Кирхгофа представленной системы:
B
d2θ
dl2
+
ρ
2
sV 2sin θ +
ρ
2
pV cos θ = 0. (1)
2. Гамильтонов подход. Математическая общность уравнений движе-
ния маятника с уравнением изгиба упругого стержня [3] позволяет осуще-
ствить переход от уравнения равновесия (1) к уравнениям Гамильтона. Одна-
ко в рассматриваемом случае аэродинамические силы не обладают свойством
консервативности, какое присутствует при кинетической аналогии Кирхгофа,
когда внешние силы являются неизменными, т.е. не зависят от деформации
стержня. При описании движения твердого тела в поле силы тяжести вектор
силы сохраняет длину и направление в неподвижном пространстве, поэтому
нет возможности непосредственно воспользоваться аналогией уравнения (1)
123
А.А. Илюхин, С.А. Шретер
с уравнением колебания маятника [4]. Для преобразования уравнения равно-
весия (1) к системе двух уравнений Гамильтона поступим формально: выбе-
рем обобщенную координату θ, укажем сопряженный координате импульс pθ,
и приведем соответствующую такому выбору функцию Гамильтона. Через
обобщенную координату θ(l) обозначен угол наклона касательной деформи-
рованной оси стержня к оси Ox (Ox ‖ V). Введя сопряженные переменные θ и
pθ = B
dθ
dl
, вместо уравнения равновесия (1) получим систему двух уравнений
dθ
dl
=
1
B
pθ,
dpθ
dl
= −1
2
ρsV 2sin θ − 1
2
ρpV cos θ. (2)
Если взять функцию Гамильтона H в виде
H =
1
2B
pθ
2 − 1
2
ρsV 2cos θ +
1
2
ρpV sin θ, (3)
то уравнения (2) будут уравнениями Гамильтона [5] с функцией (3).
Сделаем каноническую замену ζ = θ + δ, pζ = pθ, где cos δ =
=
V
√
V 2 + (p/s)2
. Тогда уравнения (2) примут вид
dζ
dl
=
pζ
B
,
dpζ
dl
= −1
2
Rsin ζ, (4)
где R = ρsV
√
V 2 + (p/s)2, а функция Гамильтона (3) в новых канонических
переменных будет такова:
H =
pζ
2
2B
− 1
2
Rcos ζ. (5)
Система (4) допускает тривиальное решение ζ = 0, pζ = 0. Решение,
отличное от тривиального, найдем методом нормальных форм. Разложим
функцию Гамильтона (5) в ряд по степеням канонических переменных ζ, pζ ,
удерживая в разложении члены до четвертого порядка включительно.
H = H2 +H4, H2 =
pζ
2
2B
+
1
4
Rζ2, H4 = − 1
48
Rζ4. (6)
Введем безразмерные величины
p′ζ =
pζ√
BR
, l′ = l
√
R
2B
, ζ ′ =
ζ√
2
, H ′ =
H
R
, H ′
i =
Hi
R
(i = 2, 4) .
Опуская штрихи, представим разложение (6) в безразмерном виде и в резуль-
тате получим нормализованную функцию Гамильтона
H =
1
2
(pζ
2 + ζ2)− 1
12
ζ4. (7)
124
Моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
Для последующих преобразований удобнее ввести комплексно сопряжен-
ные канонические переменные p = pζ + iζ, q = pζ − iζ, причем необходимо
учесть валентность такого преобразования H = −2iH. Здесь H – новая функ-
ция Гамильтона, которая в переменных p и q примет вид
H = −i
[
pq − 1
96
(p4 − 4p3q + 6p2q2 − 4pq3 + q4)
]
. (8)
Предполагаем, что в системе (4) нет резонансов второго и третьего порядков
[6]. При отсутствии соответствующих резонансов функцию Гамильтона (8)
каноническим преобразованием приводим к нормальной форме в членах до
четвертого порядка [7]. В качестве канонического преобразования выберем
преобразование Биркгофа [8] с порождающей функцией S4:
p = u+
∂S4(u, v)
∂v
, q = v − ∂S4(u, v)
∂u
,
S4 = S04v
4 + S13uv
3 + S22u
2v2 + S31u
3v + S40u
4.
Специальным выбором коэффициентов порождающей функции
S4 =
1
96
(
1
4
v4 − 2uv3 + 2u3v − 1
4
u4)
приводим функцию (8) к нормальному виду в переменных u и v:
H∗ = −i(uv − 1
16
u2v2). (9)
Следует напомнить, что функция H∗, определяемая равенством (9), не
тождественна функции H, преобразованной к переменным u и v. Необходи-
мо учитывать, что приведение функции Гамильтона исходной системы (2)
к нормальной форме осуществлено только в членах до четвертого порядка
включительно [7]. Поэтому рассматриваемая система с функцией Гамильтона
(9) является приближением исходной системы (2).
Соответствующая система дифференциальных уравнений с функцией Га-
мильтона (9) допускает общий интеграл r = uv = const, что дает возможность
представить точное решение этой системы в явном виде
v = (a+ ib) eiml, u = (a− ib)e−iml, где m = i
∂H∗
∂(uv)
= const,
где m зависит как от параметров стержня, так и от граничных условий [7]:
m = i
(
−i+ i
1
8
uv
)
= 1− 1
8
uv = 1− 1
8
(
a2 + b2
)
.
Запишем результирующее преобразование к исходным переменным p′ζ и ζ ′ и
подставим найденные зависимости для u и v. В результате получим зависи-
мости p′ζ и ζ ′ от дуговой координаты l:
p′ζ =
(
a− 1
16
(
a2 + b2
)
a
)
cosml +
(
−b+ 1
16
(
a2 + b2
)
b
)
sinml +
125
А.А. Илюхин, С.А. Шретер
+
1
32
a
(
a2 − 3b2
)
cos 3ml +
1
32
b
(
b2 − 3a2
)
sin 3ml ,
ζ ′ =
(
−b− 1
16
(
a2 + b2
)
b
)
cosml +
(
−a− 1
16
(
a2 + b2
)
a
)
sinml +
+
1
96
b
(
b2−3a2
)
cos 3ml +
1
96
a
(
−a2 + 3b2
)
sin 3ml .
Таким образом, найдено решение поставленной задачи:
αT = α0 +
√
2ζ ′(L)− δ − ψ.
Для определения постоянных интегрирования a и b воспользуемся грани-
чными условиями
l = 0 : θ = ψ;
l = L: B
(
dθ
dl
)
=
1
2
ρd
(
sV 2sinαT + pV cos αT
)
.
Перепишем граничные условия в новых переменных p′ζ и ζ ′:
ζ ′ =
√
2
2
(ψ + δ), p′ζ =
√
2
2
d
L
Y sin
(
α0 − ψ +
√
2ζ ′
)
, где Y = L
√
R
2B
. (10)
Заменим уравнения получившейся системы для p′ζ и ζ ′ приближенными, ко-
торые получаются после разложения до третьего порядка по a и b всех вхо-
дящих в равенства и зависящих от них величин. Воспользуемся граничными
условиями и будем иметь систему уравнений для нахождения неизвестных
постоянных интегрирования a и b:
− b
96
(
96 + 9a2 + 5b2
)
=
√
2
2
(ψ + δ),
(
1
16
sinY +
1
8
Y cos Y − 3
32
sin 3Y )a2b+(− 1
16
cos Y +
1
8
Y sinY − 3
32
cos 3Y )ab2+
+(− 1
16
cosY +
1
8
Y sinY +
1
32
cos 3Y )a3 +(
2
32
sinY +
1
8
Y cosY +
1
32
sin 3Y )b3+
+acosY − bsinY =
√
2
2
d
L
Y sin
(
α0 − ψ +
√
2ζ ′
)
, ζ ′ = −bcos Y − asinY −
−(
1
16
cos Y +
1
8
Y sinY +
1
32
cos 3Y )a2b− (
1
16
sinY − 1
8
Y cos Y − 1
32
sin 3Y )ab2+
+(− 1
16
sinY +
1
8
Y cos Y − 1
96
sin 3Y )a3 + (− 1
16
cos Y − 1
8
Y sinY +
1
96
cos 3Y )b3.
126
Моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
3. Обратное преобразование Биркгофа. Построенное приближен-
ное решение задачи явным образом зависит от постоянных интегрирования a
и b. Но непосредственная подстановка граничных значений в построенное ре-
шение приводит к нелинейному алгебраическому уравнению относительно a и
b. Интересно, что для нахождения постоянных интегрирования нет необходи-
мости решать полученную нелинейную систему, если известны значения всех
исходных переменных при l = 0. При решении каждой конкретной задачи, из
общего решения необходимо знать зависимость постоянных интегрирования
a и b от задаваемых величин. Такую зависимость дает преобразование, обра-
тное уже выполненному. Поэтому явный вид a и b можно получить, используя
обратное преобразование Биркгофа [7]
u = p− 1
96
(
q3 − 6pq2 + 2p3
)
, v = q +
1
96
(−2q3 + 6p2q − p3).
Возвращаясь к переменным p′ζ , ζ
′, получим систему для нахождения неиз-
вестных постоянных интегрирования a и b, где p′ζ и ζ ′ вычисляются при l = 0:
a− ib = p′ζ + i ζ ′ − 1
96
((p′ζ − i ζ ′)
3 − 6(p′ζ + i ζ ′)
(
p′ζ − i ζ ′
)2
+ 2
(
p′ζ + i ζ ′
)3
),
a+ ib = p′ζ − i ζ ′ − 1
96
(2
(
p′ζ − i ζ ′
)3 − 6
(
p′ζ + i ζ ′
)2 (
p′ζ − i ζ ′
)
+
(
p′ζ + i ζ ′
)3
).
Если же значения p′ζ и ζ ′ заданы в некоторой текущей точке l = lT , то пра-
вые части необходимо поделить соответственно на e−iml и eiml. Однако, в
этом случае возникают определенные трудности при вычислении a и b, так
как m зависит от a и b. Поэтому задача нахождения постоянных интегриро-
вания решается значительно проще, когда p′ζ и ζ ′ заданы при l = 0 [7]. В
том случае, когда значения p′ζ и ζ ′ не заданы одновременно в одной точке,
необходимо решать нелинейную систему. Данную систему предлагается ре-
шать методом последовательных приближений. Идея метода состоит в выбо-
ре некоторого нулевого приближения величины αT0
, которое соответствует
текущей скорости потока. Далее, решаем систему: по найденному значению
ζ ′ в точке крепления стержня с пластинкой (за счет жесткости крепления)
находим значение αT1
и используем его в качестве приближения на следу-
ющем шаге итерации. Как показывают вычисления, каждый шаг итерации
уточняет значение угла на один знак после запятой.
На рис. ?? представлены графические зависимости θ = θ (l) при разных
значениях скорости потока для полученного решения при следующих пара-
метрах стержня и пластинки:
ρ = 1.293кг/м3, ψ =
π
4
, α0 =
π
6
, L = 0.3м, d = 0.05м, B = 11.34кг·м3/c2.
4. Решение в виде отрезка ряда по скорости потока. Если запи-
сать уравнение равновесия (1) относительно изменения угла наклона каса-
тельной к оси стержня ν = θ − ψ, то получим
B
d2ν
dl2
+
ρ
2
s (αT )V
2sin(ψ + ν) +
ρ
2
p (αT )V cos(ψ + ν) = 0. (11)
127
А.А. Илюхин, С.А. Шретер
V=50м/с
V=80м/с
V=100м/с
V=110м/с
0.30.20.10
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ,рад
l,м
Рис. 1. Графики зависимости θ = θ(l).
Граничные условия задачи таковы:
l = 0 : ν = 0; l = L: B
dν
dl
∣
∣
∣
k
=M. (12)
Предположим, что решение граничной задачи (11), (12) представимо в
виде степенного ряда по V :
ν (l, V ) =
∞
∑
n=1
µn(l)V
n. (13)
Наша задача – получить зависимость угла атаки αT = α0 + νk от скорости
набегающего потока.
Заменим уравнение равновесия (11) приближенным и, подставив ряд (13),
получим, после группировки коэффициентов по степеням V , уравнение
1
2
ρ
3
∑
j=1
qjV
j = 0,
где коэффициенты qj равны
V :
V 2:
V 3 :
q1 =
2B
ρ
d2µ1
dl2
+ pcosψ = 0,
q2 =
2B
ρ
d2µ2
dl2
+ ssinψ − pµ1sinψ = 0,
q3 =
2B
ρ
d2µ3
dl2
− 1
2
pµ1
2cosψ + sµ1cosψ − pµ2sinψ = 0,
(14)
а граничные условия к полученным дифференциальным уравнениям таковы
l = 0 : µn = 0, n = 1, 2, 3; (15)
128
Моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
l = L :
V :
V 2:
V 3:
dµ1
dl
= ρ
2B
dpcosα0 ,
dµ2
dl
= ρ
2B
d(s − pµ1)sinα0 ,
dµ3
dl
= ρ
2B
d
[(
s− p
2
µ1
)
µ1cosα0 − pµ2sinα0
]
.
(16)
Теперь, имея дифференциальные уравнения второго порядка (14) и два
граничных условия (15), (16) на каждое из уравнений, можем найти ко-
эффициенты µn ряда (13). Таким образом, может быть получена прибли-
женная зависимость угла атаки от скорости набегающего потока: αT =
= α0 + µ1V + µ2V
2 + µ3V
3, где все µn (n = 1, 2, 3) вычислены при l = L:
µ1 =
ρ
2B
p cosψL2
2
+ ρ
2B
pd cosα0L,
µ2 = −( ρ
2B
)2p2cosψ sinψ 5L4
4!
+ ( ρ
2B
)2p2d(cosα0 sinψ − 3sin(ψ + α0))
L3
3!
+
+ ρ
2B
(s sinψ − ρ
2B
p2d2 sin 2α0)
L2
2!
+ ρ
2B
dssinα0L,
µ3 = ( ρ
2B
)3p3 cosψ(−94cos2ψ + 61)L
6
6!
+
+( ρ
2B
)3p3d(45cos2ψ sinα0 + 16 cosα0 − 49cos2ψ cosα0)
L5
5!
+
+( ρ
2B
)2p(ρp
2d2
2B
(4 sin 2α0 sinψ − 27 cosψcos2α0 + 12 cosψ) + 5s cos 2ψ)L
4
4!
+
+( ρ
2B
)2dp(5s cos(ψ + α0)− 3 ρ
2B
d2p2 cosα0(−3
2
cos2α0 + 1))L
3
3!
+
+( ρ
2B
)2pd2s cos 2α0L
2.
В коэффициенты µn входят параметры p и s, зависящие от угла αT , зна-
чение которого было определено ранее в гамильтоновом подходе для каждого
шага алгоритма. Стоит отметить, что поток воздуха оказывает стабилизиру-
ющее воздействие на пластинку, если с ростом скорости потока воздуха угол
атаки уменьшается [9]. Укажем скорости, при которых реализуется разделя-
ющий случай: V1 =
−µ2+
√
µ2
2
−3µ3µ1
3µ3
, V2 =
−µ2−
√
µ2
2
−3µ3µ1
3µ3
. Здесь V1, V2 –
скорости, при которых dα/dV = 0.
5. Сравнение результатов. Для сравнения результатов решений, по-
лученных двумя способами (1-м – с использованием гамильтонова подхода и
2-м – представление решения в виде отрезка ряда по скорости), на рис. 2
представлены графические зависимости θ = θ(l), а в таблице – зависимости в
радианах (1, 2 строки) и градусах (3, 4 строки) угла поворота пластинки αT
от скорости потока V . Значения αT в первой и третьей строчках получены
1-м способом, во второй и четвертой строчках – 2-м способом.
Таблица
№ V , м/с 40 50 60 70 80 90 100 110
1 αT , рад 0.566 0.591 0.621 0.668 0.733 0.837 1.032 1.219
2 αT , рад 0.591 0.627 0.672 0.742 0.829 0.964 1.201 1.422
3 αT , град 32.41 33.79 35.58 38.31 42.01 47.96 59.13 69.85
4 αT , град 33.86 35.97 38.50 42.51 47.51 55.25 68.81 81.47
129
А.А. Илюхин, С.А. Шретер
0.30.20.10
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
θ,рад
l,м
Решение
методом rkf45
Гамильтонов
подход
В ряд по
скорости
Рис. 2. Сравнение решений θ = θ(l) при V = 100м/с.
Для построения графиков и таблицы вычисления производились для
следующих параметров стержня, пластинки и потока: ρ = 1.293 кг/м3,
ψ =
π
4
, α0 =
π
6
, L = 0.3 м, d = 0.05 м, B = 11.34 кг·м3/c2, p = 0.012 м3/c,
s = 0.033 м2, V = 100 м/c .
Выводы. Из таблицы видно, что при малых скоростях потока (до 40 м/с)
расхождение решений, полученных обоими методами, достаточно мало (по-
рядка 0.5–1.5 градуса). С ростом же скорости потока решения начинают силь-
но отклоняться друг от друга. Это видно, как и по значениям, приведенным
в таблице, так и наглядно на рис. 2. Для того, чтобы выяснить, какой из
методов решения при больших скоростях “ближе к истине”, было проведе-
но сравнение решения θ, полученного с помощью гамильтонова подхода и
численным методом rkf45 (Рунге–Кутта–Фельберга 4–5 порядка). Сравнение
показало “хорошую” близость решений даже при больших скоростях (поряд-
ка 100 м/с). Из всего вышесказанного следует, что гамильтонов подход дает
достаточно близкое к “истинному” решение, но при математическом моде-
лировании заставляет каждое решение получать с помощью последователь-
ных итераций, что не всегда удобно для реализации. Второй подход, через
представление решения в виде отрезка ряда по скорости, при моделирова-
нии дает аналитические формулы для всех решений, однако его применение
целесообразно лишь при малых скоростях потока. Из сравнения решений,
полученных тремя различными методами, можно сделать вывод: решение,
полученное численным интегрированием, всегда можно сделать сколь уго-
дно близким к точному. Тогда решение, полученное на основе гамильтонова
подхода, дает заниженное значение угла θ, в том числе и для угла атаки α.
Соответственно значения углов, вычисленных с помощью отрезка ряда по
степеням скорости, будут больше точных значений.
130
Моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе
1. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении тела в
сопротивляющейся среде. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 86 с.
2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. – М.: Наука, 1986. – 296 с.
3. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: ЧеРо, 1999. – 572 с.
4. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения
механических систем. – Киев: Наук. думка, 1984. – 288 с.
5. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2002. – 264 с.
6. Арнольд В.И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1979. – 304 с.
7. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. – Ки-
ев: Наук. думка, 1979. – 216 с.
8. Биркгоф Г.Д. Динамические системы. – М.; Л.: Гостехиздат, 1941. – 320 с.
9. Илюхин А.А., Ступко С.А. Приближенное решение задачи о равновесии пластинки
на упругом стержне в потоке воздуха // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30.
– С. 242–245.
A.A. Ilyukhin, S.A. Schreter
Mathematical modeling of the behavior of a plate in a wind tunnel
The paper presents two methods for constructing approximate solutions of the nonlinear problem
of bending of an elastic thin rod shape under the influence of aerodynamic forces, they are the
Hamiltonian approach and the representation of the solution in the form of a segment of the
power series in the flow rate. The main idea of the first method consists in reducing the source
of the Euler–Kirchhoff system to equations of Hamiltonian type with subsequent normalization
of the Hamiltonian in a certain number of members (depending on the desired accuracy). In this
approach, the search of the solution to the two-point boundary value problem is carried out by
means of direct and inverse transformation of Birkhoff. The idea of the second approach is to
write the equations of equilibrium for a change of the generalized coordinates and to represent
the solution in the form of a segment of the power series in the free stream velocity. The results
of both methods are compared.
Keywords: Hamiltonian approach, Birkhoff transformation, bending of the rod, the mathemat-
ical model.
О.О. Iлюхiн, С.О. Шретер
Математичне моделювання поведiнки пластинки в аеродинамiчнiй трубi
Представлено два методи наближеної побудови роз’язку нелiнiйної задачi вигину пружного
тонкого стержня пiд впливом аеродинамiчних сил: гамiльтонiв пiдхiд i зображення розв’яз-
ку у виглядi вiдрiзка ряду по швидкостi потоку. Основна iдея першого методу полягає у
зведеннi вихiдного рiвняння Ейлера–Кiрхгофа до системи рiвнянь гамiльтонова типу з на-
ступною нормалiзацiєю функцiї Гамiльтона з урахуванням визначеного числа членiв (в
залежностi вiд необхiдної точностi). У рамках цього пiдходу здiйснено пошук розв’язку
граничної двоточкової задачi за допомогою прямого та оберненого перетворення Бiркгофа.
Iдея другого пiдходу – запис рiвняння рiвноваги вiдносно змiни узагальненої координати i
зображення розв’язку у виглядi вiдрiзка ряду по швидкостi набiгаючого потоку. Проведено
порiвняння результатiв обох методiв.
Ключовi слова: гамiльтонiв пiдхiд, перетворення Бiркгофа, вигин стержня, матема-
тична модель.
Таганрогский гос. пед. ин-т им.А.П.Чехова, Россия
aleilyukhin@yandex.ru, sergshre@yandex.ru
Получено 11.11.11
131
|