Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы

Рассмотрена задача об оценке собственных значений и устойчивости линейной механической системы, находящейся под действием потенциальных, гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил. Описаны возможные варианты, когда спектр системы лежит в левой полуплоскости – выполняется критерий Рауса–Гурв...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автори: Пузырев, В.Е., Топчий, Н.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Назва видання:Механика твердого тела
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71586
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы / В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 132-140. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-71586
record_format dspace
spelling irk-123456789-715862014-12-07T03:01:56Z Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы Пузырев, В.Е. Топчий, Н.В. Рассмотрена задача об оценке собственных значений и устойчивости линейной механической системы, находящейся под действием потенциальных, гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил. Описаны возможные варианты, когда спектр системы лежит в левой полуплоскости – выполняется критерий Рауса–Гурвица, но затухание возмущенных движений происходит “слишком медленно”. В качестве примера рассмотрена задача о равномерных вращениях тяжелого твердого тела под действием демпфирующего момента. Розглянуто задачу про оцiнку власних значень i стiйкостi лiнiйної механiчної системи, що перебуває пiд дiєю потенцiальних, гiроскопiчних, дисипативних i циркуляцiйних сил. Описано можливi варiанти, коли спектр системи лежить в лiвiй напiвплощинi – виконується критерiй Рауса–Гурвiца, але згасання збурених рухiв вiдбувається “надто повiльно”. Як приклад розглянуто задачу про рiвномiрнi обертання важкого твердого тiла пiд дiєю демпфiруючого моменту. The problem of eigenvalues estimation and stability for linear mechanical system is considered. The system is under influence of potential, gyroscopic, dissipative, and circulatory forces. Possible variants are described, when the spectrum of the system belongs to the left semi-plane – the conditions of Routh–Hurwitz criterion are fulfilled, but fading of perturbed motions is “too slowly”. As an example, the problem about permanent rotations of rigid body under the action of damping torque is considered. 2011 Article Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы / В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 132-140. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71586 531.38, 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассмотрена задача об оценке собственных значений и устойчивости линейной механической системы, находящейся под действием потенциальных, гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил. Описаны возможные варианты, когда спектр системы лежит в левой полуплоскости – выполняется критерий Рауса–Гурвица, но затухание возмущенных движений происходит “слишком медленно”. В качестве примера рассмотрена задача о равномерных вращениях тяжелого твердого тела под действием демпфирующего момента.
format Article
author Пузырев, В.Е.
Топчий, Н.В.
spellingShingle Пузырев, В.Е.
Топчий, Н.В.
Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
Механика твердого тела
author_facet Пузырев, В.Е.
Топчий, Н.В.
author_sort Пузырев, В.Е.
title Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
title_short Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
title_full Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
title_fullStr Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
title_full_unstemmed Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
title_sort оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71586
citation_txt Оценка собственных значений линейной механической системы с двумя степенями свободы / В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 132-140. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT puzyrevve ocenkasobstvennyhznačenijlinejnojmehaničeskojsistemysdvumâstepenâmisvobody
AT topčijnv ocenkasobstvennyhznačenijlinejnojmehaničeskojsistemysdvumâstepenâmisvobody
first_indexed 2025-07-05T20:32:07Z
last_indexed 2025-07-05T20:32:07Z
_version_ 1836840415659032576
fulltext ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41 УДК 531.38, 531.36 c©2011. В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Рассмотрена задача об оценке собственных значений и устойчивости линейной механиче- ской системы, находящейся под действием потенциальных, гироскопических, диссипатив- ных и циркуляционных сил. Описаны возможные варианты, когда спектр системы лежит в левой полуплоскости – выполняется критерий Рауса–Гурвица, но затухание возмущен- ных движений происходит “слишком медленно”. В качестве примера рассмотрена задача о равномерных вращениях тяжелого твердого тела под действием демпфирующего момента. Ключевые слова: структура сил, собственные значения, характеристические показатели Ляпунова, скорость затухания колебаний. Вопросы влияния структуры сил на динамику и устойчивость движе- ния механических систем на протяжении последних десятилетий являлись объектом изучения для многих авторов. Наряду с результатами общего характера, посвященными обобщению и развитию классических теорем Томсона–Тэта–Четаева [1], из которых отметим работы [2–7], большое число исследований связано с поведением конкретных систем [8–15]. 1. Постановка задачи. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L = d dt2 Ã+ d dt B̃ + C̃, где Ã, B̃, C̃ − вещественные квадратные матрицы второго порядка, Ã – положительно определенная. Разложим B̃, C̃ на симметрическую и кососимметрическую (с нулевой главной диагональю) составляющие: B̃ = B +G(B ≥ 0), C̃ = C + P и запишем уравнение L(x) = 0, x ∈ R2, (1) которое можно рассматривать как уравнения движения линеаризованной ме- ханической системы, находящейся под действием диссипативной, гироскопи- ческой, циркуляционной1 и потенциальной сил (ДС, ГС, ЦС и ПС соответ- ственно). Как известно [2, 16], всегда можно указать невырожденное пре- образование x = Λx̃ такое, что Λ ⋆AΛ = E, Λ ⋆CΛ = diag(c1, c2). Верхний индекс “⋆” означает транспонирование, E − единичная матрица. Структура матриц G, P не изменится, поэтому, не уменьшая общности, считаем, что Ã = E, B = ( b11 b12 b12 b22 ) , G = gJ , C = ( c1 0 0 c2 ) , P = pJ , J = ( 0 1 −1 0 ) . 1Другое распространенное название – неконсервативная позиционная сила. См. также [2, гл. 6]. 132 Оценка собственных значений линейной механической системы Характеристический многочлен для системы (1) имеет вид f = λ4+(b11+b22)λ 3+(c1+c2+g2+b11b22−b212)λ 2+(b11c2+c1b22+2gp)λ+c1c2+p2. (2) 2. Случай отсутствия циркуляционной силы. Остановимся внача- ле на случае p = 0. Перед тем, как делать оценки собственных значений (СЗ) – корней характеристического многочлена, проанализируем условия устой- чивости нулевого решения системы (1). Для того, чтобы все СЗ имели отри- цательные вещественные части, согласно критерию Рауса–Гурвица [2], необ- ходима и достаточна положительность коэффициентов характеристического многочлена и выражения ∆0 3 = (c1 + c2 + g2 + b11b22 − b212)(b11 + b22)(b11c2 + c1b22)− (b11c2 + c1b22) 2− −c1c2(b11+b22) 2 = b11b22(c1−c2) 2+(c1b22+c2b11)(b11+b22)(g 2+b11b22−b212). (3) Если механическая система в отсутствие диссипативных и гироскопиче- ских сил устойчива (c1 > 0, c2 > 0), то легко видеть, что все коэффициенты многочлена (2) положительные (b212 ≤ b11b22). Очевидной является и нео- трицательность определителя ∆0 3 (сумма двух неотрицательных слагаемых в правой части (3)). Однако имеются следующие возможности для его обраще- ния в нуль: 1) Если b11 > 0, b22 > 0, тогда c1 = c2. Первые две скобки в записи второго слагаемого в правой части (3) строго положительны, а третья равна нулю только при условиях g = 0, b212 = b11b22. Т.е. ГС отсутствует, а диссипация энергии является частичной (функция Рэлея знакопостоянна). В этом случае система (1) является устойчивой неасимптотически, ее СЗ суть: λ1,2 = ±√ c1i, λ3,4 = −b± √ b2 − 4c1, где 2b = b11 + b22 – след матрицы B. 2) При условии c1 6= c2, имеем b11b22 = 0. Если один из сомножителей не нулевой, то b12 = 0 − иначе нарушится предположение detB ≥ 0. То- гда второе слагаемое в правой части (3) обратится в нуль только при условии g = 0. Система (1) распадается на два уравнения, одно из которых описывает колебания обычного осциллятора, а другое – осциллятора с вязким трением. Если же b11 = 0, b22 = 0, и, как следствие, b12 = 0, то характеристиче- ское уравнение (2) – биквадратное, его дискриминант равен D = (c1 − c2) 2+ +2g2(c1 + c2) + g4 и строго положителен, значит СЗ чисто мнимые и ра- зличные, движение устойчиво неасимптотически. Последний вывод следует также из первой теоремы Томсона–Тета–Четаева [2]. Оба описанных случая возможны только при условии, что гироскопиче- ская сила отсутствует, а диссипация является неполной. Другими словами, если ГС не равна нулю, или функция Рэлея положительно определенная, то любое движение системы (1) устойчиво асимптотически. Если механическая система в отсутствие диссипативных и гироскопи- ческих сил неустойчива, и степень неустойчивости нечетная (c1c2 < 0), то свободный член характеристического многочлена отрицателен. Если же c1 < 0, c2 < 0 (четная степень неустойчивости потенциальной системы), то коэффициент при λ отрицателен. Как следствие, в обоих случаях хотя бы 133 В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий одно СЗ имеет положительную вещественную часть. Движение неустойчиво при любой гироскопической и диссипативной силах. Перейдем к получению оценок для собственных значений. Пусть 0 < c2 ≤ c1 = ω2 0 (ω0 > 0), b > 0. Положим b11 = 2bδ1, b22 = 2b(1 − δ1), b12 = 2bδ2 √ δ1(1− δ1), 0 ≤ δ1 ≤ 1, −1 ≤ δ2 ≤ 1 (4) и введем безразмерные параметры и время по формулам b = ω0b̃, g = ω0g̃, c2 = ω2 0 c̃2, λ = ω0λ̃, t = t̃/ω0. (5) Знак “тильда” ниже опускаем. Обозначим v = max(b, g) и рассмотрим случай v ≫ 1. Характеристи- ческое уравнение f(λ) = 0 можно рассматривать как уравнение с большим параметром или (разделив обе части на v) как сингулярно возмущенное урав- нение с малым параметром ε = 1/v. Чтобы избавиться от малого параметра при старшей степени, сделаем подстановку λ = σ/ε, b = b1/ε, g = g1/ε (оче- видно, что max(b1, g1) = 1, ε > 0) и с помощью методов теории возмущений (см., например, [17]) найдем асимптотические разложения корней многочлена f1(σ, ε) = σ4 + 2b1σ 3 + [4b21δ1(1− δ1)(1− δ22) + g21 + ε2(1 + c2)]σ 2+ +2b1ε 2[1− δ1(1− c2)]σ + ε4c2. Соответствующий порождающий многочлен f1(σ, 0) имеет двукратный ну- левой корень (σ0)1,2 = 0. Определим порядок корней σ1,2(ε). С этой целью подставим σ = σ1ε m (m > 0) в многочлен f1(σ, ε) и выделим главную часть. Рассматривая последовательность степеней ε для каждого из слагаемых, выпишем их показатели: 4m, 3m, 2m, 2(m + 1), m + 2, 4. Среди первых четырех показателей наименьшим является 2m, и для определения m по- лучаем условие 2m = min(m+ 2, 4), т.е. m = 2. Для второй пары корней порождающего уравнения находим (σ0)3,4 = −b1 ± √ D1, D1 = b21[1− 4δ1(1− δ1)(1 − δ22)]− g21 . (6) Нетрудно видеть, что, вследствие условий (4), выражение в квадратных скоб- ках неотрицательно. Оно равняется нулю только при условии δ1 = 1/2, δ2 = 0 и принимает наибольшее значение 1, если одно (и только одно) из значений δ1, 1 − δ1, 1 − δ22 равно нулю, что соответствует неполной дис- сипации энергии. В первом из этих случаев корни (x0)3,4 сопряженные (и различные), поэтому корни многочлена f1 можно искать в виде рядов отно- сительно целых степеней ε. 2 Для всех остальных пар значений δ1, δ2 дис- криминант D1 может обратиться в нуль при соответствующем соотношении между коэффициентами b1 и g1, характеризующими величины (относитель- но времени t̃) диссипативной и гироскопической силы соответственно. Тогда (σ0)3 = (σ0)4 = −b1, и, как это было сделано выше, подставим σ = −b1 + αεn в f1 и выделим главную часть: 2Точнее ε2, поскольку малый параметр представлен в f1 только своими четными сте- пенями. 134 Оценка собственных значений линейной механической системы α4ε4n − 2b1α 3ε3n + α2ε2+2n(1 + c2)− 2b1αε 2+n[δ1 + (1− δ1)c2]+ +b21α 2ε2n + c2ε 4 + b21ε 2(1− c2)(2δ1 − 1). Если δ1 6= 1/2, то наименьшими показателями будут 2n и 2, откуда выво- дим n = 1. Значение α будет при этом вещественным, если δ1 ∈ [0, 1/2) и мнимым при δ1 ∈ (1/2, 1]. При δ1 = 1/2 наименьшими показателями будут 2+n, 2n и 4, откуда имеем n = 2. Следовательно, для поиска корней f1(σ, ε) можно пользоваться разложениями в ряд по целым степеням ε, хотя, исклю- чая частный случай D1 = 0 (δ1 6= 1/2), эти разложения будут содержать только четные степени малого параметра. Коэффициенты разложений легко вычисляются с использованием любой системы аналитических вычислений (MAPLE, MATLAB, Mathematica). Так, с помощью пакета MAPLE 12 имеем (σ2)3,4 = − σ0(1 + c2) + b1(1− δ1 + δ1c2) 4σ2 0 + 3b1σ0 + 2[b2 1 δ1(1− δ1)(1− δ2 2 ) + g2 1 ] , где соответствующее значение σ0 берется из формулы (6). Таким образом, с учетом замены (5) в качестве искомых оценок для СЗ получаем λ1,2 ≈ − b[c1(1− δ1) + c2δ1]±R b2δ1(1− δ1)(1− δ2 2 ) + g2 , λ3,4 ≈ −(b± r √ D1) + r−1(σ2)3,4 , (7) R = √ b2c2 1 (1− δ1)2 − 2c1c2[b2δ1(1− δ1)(1− 2δ2 2 ) + 2g2] + b2c2 2 δ2 1 . Как следует из формул (7), максимальный характеристический показатель для системы (1) (при p = 0) не превосходит выражения −b[c1(1− δ1) + c2δ1]/[b 2δ1(1− δ1)(1− δ22) + g2], которое при b ≥ g имеет порядок b−1, а в противном случае – порядок b/g2. Это означает, что при заданных ПС системы добавление больших ДС и ГС хотя и гарантирует асимптотическую устойчивость, но обеспечивает слабую скорость стремления возмущенных движений к нулю, тем меньшую, чем больше max(b, g). 3. Учет влияния циркуляционной силы. Случай p ≫ 1 . Цирку- ляционные силы могут оказывать на движение системы как дестабилизиру- ющее влияние [9,10], так и стабилизирующее [2,13]. Запишем выражение для ∆3 = F (p, b, g): F = −4p2(b2+g2)+4bgp[4b2δ1(1−δ1)(1−δ22)+g2+(c1−c2)(2δ1−1)]+∆0 3. (8) Если движение в отсутствие ЦС асимптотически устойчиво, то F = ∆0 3 > 0, и устойчивость, очевидно, сохранится при достаточно малых по модулю значениях p. В то же время из (8) следует, что F < 0 при до- статочно больших по модулю значениях p, что гарантирует существование 135 В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий хотя бы одного положительного характеристического показателя, при этом движение неустойчиво. Эта ситуация представляется наиболее интересной с прикладной точки зрения, и мы рассмотрим ее подробнее. Из (8) можно видеть, что скомпенсировать дестабилизирующее влияние ЦС можно либо большой величиной ГС, либо ДС (либо совместно ГС и ДС). Ограничимся здесь случаем p > 0, g ≫ 1, а b, c1, c2 будем считать вели- чинами порядка единицы. А) Предположим вначале, что величина g не превосходит порядка p1/2. Тогда можно положить p = 1/ε2, g = γ/ε (γ > 0). Характеристическое урав- нение (2) имеет четыре различных комплексных корня порядка 1/ε. В самом деле, аналогично п. 2 положим λ = λ̃/ε (“тильду” опускаем). Порождающее уравнение f0(λ) = λ4 + γ2λ2 + 2γλ+ 1 = 0 имеет корни λ01 = −1 r + 1 2 i(γ − r), λ02 = 1 r + 1 2 i(γ + r), λ03 = λ01, λ04 = λ02, (9) r = √ γ2 + √ γ4 + 16. Последующие коэффициенты λsj (s = 1, 2, · · · ) разложений λj(ε) (j = 1, 4) в ряды Тейлора находятся как решения линейных уравнений, коэффициен- ты которых являются целыми функциями от λ0j , · · · , λs−1j . В частности, λ1j = −b λ3 0j/ρ, где ρ = 2λ3 0j + γ2 λ0j + γ. Отметим, что ρ 6= 0. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой в ρ(λ) выражений из (9), но значительно проще вычислить результант многочленов f0(ξ) и ρ(ξ). Он равен γ4+16 > 0, следовательно, ни один из корней f0(ξ) не может являться корнем ρ(ξ). Таким образом, для корней уравнения (2) получаем λj = λ0jp 1/2 + λ1j +O(p−1/2). (10) Из (9) и (10) видно, что при сделанных предположениях система (1) имеет два больших положительных характеристических показателя порядка p1/2/r = p (g2 + √ g4 + 16p2)−1/2, что гарантирует быстрый рост возмущенных решений (независимо от вида диссипативной и потенциальной сил). Б) Пусть теперь преобладающей является ГС 3, т.е. g ≫ max(b, p, c1, c2). Вводя обозначения b = gb̃ε, p = g2p̃ε, c1 = g2c̃1ε, c2 = g2c̃2ε, λ = gλ̃, (11) получим многочлен λ̃4 + 2b̃ελ̃3 + [1 + ε(c̃1 + c̃2) + 4ε2b̃2δ1(1− δ1)(1 − δ22)]λ̃ 2+ +2ε[p̃ + ε̃b(c̃1 − c̃1δ1 + c̃2δ1)]λ̃+ ε2(p̃2 + c̃1c̃2), 3В случаях, когда преобладающей является ПС, ДС или две какие-либо силы, техника расчета такая же. 136 Оценка собственных значений линейной механической системы который имеет пару чисто мнимых корней (λ̃0)1,2 = ±i и двойной нулевой корень (λ̃0)3,4 = 0. Аналогично тому, как это делалось выше, подставляем λ̃ = λ0 + λ1ε + λ2ε 2 и находим выражения для λ1, λ2. Выполняя переход к первоначальным параметрам согласно (11), получаем для СЗ следующие приближения: λ1,2 ≈ ±i[g + 1 2g (c1 + c2)]− b+ 1 g p+ 1 g2 b[c1(1− δ1) + c2δ1], λ3,4 ≈ 1 g {−p ±R1 − 1 g b[c1(1− δ1) + c2δ1]− 1 2g2 (c1 + c2)(p ∓R1) 2}, где R1 = √−c1c2. 4. Пример. Тяжелый гироскоп. Рассмотрим уравнения движения тяжелого твердого тела под действием демпфирующего момента M = = −k(ω −ω0) : Jω̇ +ω × Jω + Ps× ν = M , ν̇ + ω × ν = 0. (12) Выберем в качестве невозмущенного движения равномерные вращения тела вокруг главной оси, несущей центр масс ω = ω0 = (0, 0, ω0) ⋆, ν = (0, 0, 1)⋆, (13) и запишем уравнения в вариациях:   ˙̃ω1 ˙̃ω2 ˙̃ω3 ˙̃ν1 ˙̃ν2 ˙̃ν3   =   −k/J1 ω0(J2 − J3)/J1 0 0 P/J1 0 ω0(J3 − J1)/J2 −k/J2 0 −P/J2 0 0 0 0 −k/J3 0 0 0 0 −1 0 0 ω0 0 1 0 0 −ω0 0 0 0 0 0 0 0 0     ω̃1 ω̃2 ω̃3 ν̃1 ν̃2 ν̃3   , (14) значком “тильда” обозначены возмущения. Очевидно, без ограничения об- щности, можно считать ω0 > 0. Вводя безразмерные параметры и время по формулам α = J2/J1, β = J3/J1, µ = P/(J1ω 2 0), κ = k/J1ω0, τ = ω0t (15) и, выражая из четвертого и пятого уравнений (14) переменные ω̃1, ω̃2, по- лучаем ν̃ ′′2 + κν̃ ′2 + (α− β + 1)ν̃ ′1 + (β − β − µ)ν̃2 + κν̃1 = 0, αν̃ ′′1 + κν̃ ′1 − (α− β + 1)ν̃ ′2 + (β − 1− µ)ν̃1 − κν̃2 = 0, т.е. систему вида (1) при 137 В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий x = (ν̃2, √ αν̃1) ∗, A = diag(1, 1), B = diag(κ, κ α ), G = gJ , C = diag(β − α− µ, (β − 1− µ)/α), P = κJ , g = α+ 1− β√ α . Характеристическое уравнение таково αλ4 + κ(α+ 1)λ3 + [κ2 + 2α+ β2 − (α+ 1)(β + µ)]λ2+ +κ(α+ 1− 2µ)λ+ (β − 1− µ)(β − α− µ) + κ 2 = 0. (16) Запишем условия асимптотической устойчивости изучаемого движения (13) системы (12). Критерий Рауса–Гурвица для уравнения (16) дает следу- ющие условия: κ 2 + 2α + β2 − (α+ 1)(β + µ) > 0, (α+ 1− 2µ) > 0; (17) (β − 1− µ)(β − α− µ) + κ 2 > 0; (18) ∆3 = −µκ2[−µ(α− 1)2 + 2(α+ 1)(κ2 + (α+ 1− β)2)] > 0. (19) Анализ неравенств (17)–(19) не представляется сложным с алгебраиче- ской точки зрения 4. Вместе с тем он достаточно громоздкий из-за большого числа различных возможных случаев. Поэтому здесь мы ограничимся кон- статацией следующего факта. В отсутствие демпфирующего момента ( k = 0) 5, если свободный член характеристического уравнения отрицателен (неравенство (18) имеет проти- воположный знак), то решение (13) неустойчиво: имеется одно положитель- ное (вещественное) СЗ. Покажем, что можно подобрать такое значение κ, что все корни уравнения (16), будут иметь отрицательные вещественные части. Так, при α < β < 1 (вращение вокруг средней оси) и β− 1 < µ < β−α (при этом µ < 0 − “висящий” гироскоп [19]) неравенства (17)–(19) выполнены в том и только в том случае, если κ 2 > κ 2 0 = max(κ1, κ2), (20) где κ1 = α(β+µ−2)−β2+β+µ, κ2 = (1−β+µ)(β−µ−α). Например, при α = 0.5, β = 0.7, µ = −0.25 имеем κ1 = −0.815, κ2 = 0.0225, κ0 = 0.15. В частности, при κ = 0.14 условия (17)–(19) не выполнены и корни уравнения (16) суть λ12 ≈ −0.0398 ± 1.2822i, λ3 ≈ −0.3505, λ4 ≈ 0.0101 > 0. При κ = 0.16 эти условия выполнены; корни характеристического уравнения (16) равны λ12 ≈ −0.0452 ± 1.2807i, λ3 ≈ −0.3796, λ4 ≈ −0.0099. Найдем асимптотические оценки СЗ в случае быстрых вращений (ω0 ≫ 1). Положим µ = δε2, (δ = sgnP ), κ = κε. (21) 4Пример подобного анализа можно найти, например, в [18]. 5Анализ необходимых условий устойчивости содержится в [19]. 138 Оценка собственных значений линейной механической системы При ε = 0 характеристический многочлен имеет корни (λ0)1,2 = ±i, (λ0)3,4 = ± √ (β − 1)(α − β)/α. Заметим, что подкоренное выражение для второй пары корней не равно −1, поскольку иначе было бы α−β+1 = 0 − нарушение неравенства треугольни- ка для моментов инерции. Поэтому, независимо от того, положительно оно – вращение тела вокруг средней оси и (λ0)3,4 вещественны, или отрицательно (все корни чисто мнимые) – корни порождающего уравнения для (16) разли- чны. Решения (16) ищутся согласно стандартной процедуре в виде степенных рядов относительно ε. Если же (β−1)(α−β) = 0, то порождающее уравнение имеет кратные корни, и эти два случая ( α = β, β = 1) требуют отдельного рассмотрения. Для первой пары корней уравнения (16) имеем (λ)1,2 = ( δκ β2 ε3 +O(ε4))± i(1− δ β ε2 +O(ε3)), или, с учетом обозначений (21), (λ⋆)1,2 = 1 β2 [κµ± iβ(β − µ)]. (22) Звездочка означает приближенное значение СЗ. Для второй пары корней получаем (λ⋆)3,4 = ± 1 α √ α(β − 1)(α − β)− α+ 1 2α κ+ (23) + 1 8αβ √ α(β − 1)(α − β) [βκ(α− 1)2 + 4αµ(αβ + β − 2α)]. Из формул (22), (23) можно видеть, в частности, что для висящего гироско- па (µ < 0), в случае вращения вокруг большей или меньшей главной оси инерции, первое слагаемое в правой части (23) является чисто мнимым, по- этому наибольшему характеристическому показателю соответствует значе- ние κµ/β2. С учетом (15) это означает, что изучаемое движение является асимптотически устойчивым, но скорость затухания имеет порядок ω−2 0 . 1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. – М.: Изд- во АН СССР, 1962. – 536 с. 2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1976. – 320 с. 3. Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных дви- жений механических систем с частичной диссипацией // Прикл. математика и меха- ника. – 1961. – 25, № 4. – С. 657 – 667. 4. Кошляков В.Н. О структурних преобразованиях неконсервативных систем// Там же. – 2000. – 64, вып. 6. – С. 933–941. 5. Agafonov S.A. Stability and motion stabilization of nonconservative mechanical systems// J. Math. Sci. Dynamical systems II. – 2002. – 112, № 5. – P. 4419–4497. 6. Пузырев В.Е. Влияние сил вязкого трения на устойчивость стационарных движе- ний механических систем при наличии частичной диссипации энергии // Докл. НАН Украины. – 2004. – N 8. – С. 61–65. 7. Косов А.А. Об экспоненциальной устойчивости и стабилизации неавтономных меха- нических систем с неконсервативными силами // Прикл. математика и механика. – 2007. – 71, вып. 3. – С. 411–426. 139 В.Е. Пузырев, Н.В. Топчий 8. Карапетян А.И., Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и постоянного момен- тов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 5. – С. 29 – 33. 9. Стороженко В.О. До дослiдження дiї неконсервативних позицiйних сил в системах з обертанням // Доп. НАНУ. Сер. Математ, природн., техн. науки. – 1998. – № 7. – С. 67–70. 10. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Влияние ориентации следящей силы на устойчивость верхнего положения перевернутого двухзвенного маятника// Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 83–89. 11. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Исследование устойчивости сло- жных механических систем. – М.: Наука, 2002. – 300 с. 12. Кириллов О.Н. Об устойчивости неконсервативных систем с малой диссипацией // Современная математика и ее приложения. – 2005. – 36. – С. 107–117. 13. Агафонов С.А. Об устойчивости и стабилизации движения неконсервативных меха- нических систем // Прикл. математика и механика. – 2010. – 74, вып. 4. – С.560–566. 14. Байков А.Е., Красильников П.С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механиче- ской системе // Там же. – 2010. – 74, вып. 1. – С. 74–88. 15. Kirillov O.N., Verhulst F. Paradoxes of dissipation-induced destabilization or who opened Whitney’s umbrella? // Z. angew. Math. Mech. – 2010. – 90, № 6. – P. 462–488. 16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – M.: Наука, 1966. – 576 с. 17. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с. 18. Пузырев В.Е. Анализ условий устойчивости равномерных вращений тяжелого гиро- скопа на упруго закрепленном основании// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 124–127. 19. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения: В 2-х т. – М.: Изд-во иностр. лит., 1952. – Т.1. – 351 с. V.E. Puzyrev, N.V. Topchiy The estimation of eigenvalues for linear mechanical 2-DOF system The problem of eigenvalues estimation and stability for linear mechanical system is consid- ered. The system is under influence of potential, gyroscopic, dissipative, and circulatory forces. Possible variants are described, when the spectrum of the system belongs to the left semi-plane – the conditions of Routh–Hurwitz criterion are fulfilled, but fading of perturbed motions is “too slowly”. As an example, the problem about permanent rotations of rigid body under the action of damping torque is considered. Keywords: structure of the forces, eigenvalues, rate of the oscillations fading. В.Є. Пузирьов, Н.В. Топчiй Оцiнка власних значень лiнiйної механiчної системи з двома степенями вiльностi Розглянуто задачу про оцiнку власних значень i стiйкостi лiнiйної механiчної системи, що перебуває пiд дiєю потенцiальних, гiроскопiчних, дисипативних i циркуляцiйних сил. Опи- сано можливi варiанти, коли спектр системи лежить в лiвiй напiвплощинi – виконується критерiй Рауса–Гурвiца, але згасання збурених рухiв вiдбувається “надто повiльно”. Як приклад розглянуто задачу про рiвномiрнi обертання важкого твердого тiла пiд дiєю дем- пфiруючого моменту. Ключовi слова: структура сил, власнi значення, швидкiсть згасання коливань. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк vpsr@iamm.ac.donetsk.ua Получено 14.03.11 140