Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней
Исследуется устойчивость по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет q пар чисто мнимых корней и (n − 2q) корней с отрицательными вещественными частями. С...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 149-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71588 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715882014-12-07T03:01:58Z Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней Амбарцумян, С.Р. Исследуется устойчивость по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет q пар чисто мнимых корней и (n − 2q) корней с отрицательными вещественными частями. С помощью построения функции Ляпунова доказана теорема об асимптотической устойчивости по действующей силе тривиального решения рассматриваемой системы. Приведен пример, подтверждающий достоверность полученных результатов. Дослiджується стiйкiсть за дiючою силою системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь n-го порядку в критичному випадку, коли характеристичне рiвняння вiдповiдного лiнiйного наближення системи має q пар чисто уявних коренiв i (n−2q) коренiв з вiд’ємними дiйсними частинами. За допомогою побудови функцiї Ляпунова доведено теорему про асимптотичну стiйкiсть за дiючою силою тривiального розв’язку розглядуваної системи. Наведено приклад, що пiдтверджує вiрогiднiсть отриманих результатiв. The stability by acting force of the zero solution of a n-th order nonlinear system in critical case of q pairs of imaginary roots is studied. Theorem of the asymptotic stability by acting force of the trivial solution is proved. The illustrative example is proposed. 2011 Article Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 149-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71588 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется устойчивость по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет q пар чисто мнимых корней и (n − 2q) корней с отрицательными вещественными частями. С помощью построения функции Ляпунова доказана теорема об асимптотической устойчивости по действующей силе тривиального решения рассматриваемой системы. Приведен пример, подтверждающий достоверность полученных результатов. |
| format |
Article |
| author |
Амбарцумян, С.Р. |
| spellingShingle |
Амбарцумян, С.Р. Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней Механика твердого тела |
| author_facet |
Амбарцумян, С.Р. |
| author_sort |
Амбарцумян, С.Р. |
| title |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| title_short |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| title_full |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| title_fullStr |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| title_sort |
об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71588 |
| citation_txt |
Об устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 149-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ambarcumânsr obustojčivostisistemynelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvkritičeskomslučaeqparčistomnimyhkornej |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:11Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:11Z |
| _version_ |
1836840420590485504 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.36
c©2011. С.Р. Амбарцумян
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ q ПАР
ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Исследуется устойчивость по действующей силе системы нелинейных дифференциальных
уравнений n-го порядка в критическом случае, когда характеристическое уравнение со-
ответствующего линейного приближения системы имеет q пар чисто мнимых корней и
(n− 2q) корней с отрицательными вещественными частями. С помощью построения фун-
кции Ляпунова доказана теорема об асимптотической устойчивости по действующей силе
тривиального решения рассматриваемой системы. Приведен пример, подтверждающий до-
стоверность полученных результатов.
Ключевые слова: устойчивость, критический случай, функция Ляпунова.
1. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
ẏi = Φi(y1, ..., yn) (i = 1, ..., n), (1)
где Φi(y1, ..., yn) : Rn → R1 – аналитические функции в Rn и Φi(0, ..., 0) =
= 0 (i = 1, ..., n). Известно [1, с. 57], что в этом случае систему (1) можно
привести к виду
ẏi =
n
∑
k=1
pikyk + Yi(y1, ..., yn) (i = 1, ..., n), (2)
линейным приближением которой будет система
ẏi =
n
∑
k=1
pikyk (i = 1, ..., n). (3)
Пусть корни характеристического уравнения системы (3) удовлетворяют
условиям
λi = iαi, λq+i = −iαi, Reλk < 0 (i = 1, ..., q; k = 2q + 1, ..., n), (4)
где αi 6= 0 – действительные числа, i = 1, ..., q. Тогда имеем q пар чисто мни-
мых корней ±iαi и n−2q корней с отрицательными вещественными частями.
В этом случае известно [1, с. 74], что только с помощью линейного прибли-
жения (3) невозможно решить задачу устойчивости системы (2), т.е. имеет
место критический случай.
Тогда при условии (4) с помощью неособого преобразования систему (3)
можно привести к виду [1, с. 118]:
ẋi = −αiyi (i = 1, ..., q),
ẏi = αixi,
żj = aj1z1 + ...+ aj(n−2q)zn−2q (j = 1, ..., n − 2q),
(5)
149
С.Р. Амбарцумян
а систему (2), следуя Ляпунову [1, с. 153] – к виду
ẋi = −αiyi +Xi(x1, ..., xq, y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q) (i = 1, ..., q),
ẏi = αixi + Yi(x1, ..., xq, y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q),
żj = aj1z1 + ...+ aj(n−2q)zn−2q + Zj(x1, ..., xq , y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q)
(j = 1, ..., n − 2q),
(6)
где вектор-функции Xi, Yi, Zi – аналитические функции в Rn и Xi(0, ..., 0) =
= Yi(0, ..., 0) = Zj(0, ..., 0) = 0 (i = 1, ..., q; j = 1, ..., n − 2q) содержат члены
не ниже второго порядка переменных x1, ..., xq, y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q [2, с. 102].
Понятие устойчивости систем нелинейных дифференциальных уравнений
в критических случаях, когда на систему на конечном промежутке времени
действуют интегрально малые возмущающие силы (устойчивость по действу-
ющей силе) [3,4], имеет теоретическое и прикладное значение в разных обла-
стях современной науки и техники.
В работах [3,4] приведены необходимые и достаточные условия, при кото-
рых системы линейных дифференциальных уравнений неустойчивы по дей-
ствующей силе. В [5] получены необходимые и достаточные условия, при ко-
торых приводимая система линейных дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами устойчива, асимптотически устойчива и неустой-
чива по действующей силе.
В [6–10] найдены достаточные условия, при которых системы нелиней-
ных дифференциальных уравнений второго порядка и n-го порядка при паре
чисто мнимых корней, а также при k нулевых и q пар чисто мнимых кор-
ней будут устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми
по действующей силе. Отметим, что рассматриваемые случаи существенно
отличаются друг от друга и один из другого не следует.
Попытаемся определить достаточныe условия, накладываемые на фун-
кции Xi, Yi, Zj (i = 1, ..., q; j = 1, ..., n−2q), при которых тривиальное реше-
ние системы (6) будет асимптотически устойчивым по действующей силе [3].
Рассмотрим систему (6). Пусть функции Xi(x1, ..., xq , y1, ..., yq , z1, ..., zn−2q)
и Yi(x1, ..., xq , y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q) (i = 1, ..., q) удовлетворяют следующим
условиям:
∂Xi
∂xi
+
∂Yi
∂yi
= 0 (i = 1, ..., q). (7)
Тогда существуют некоторые аналитические функции Hi(xi, yi), разложение
которых по степеням переменных x1, ..., xq, y1, ..., yq начинается с членов не
ниже третьего порядка, такие, что
Xi = −
∂Hi
∂yi
,
(i = 1, ..., q),
Yi =
∂Hi
∂xi
(8)
150
Об устойчивости системы в критическом случае
Пусть для системы (6) существует определенно-положительная функция
V =
1
2
[
q
∑
i=1
(
x2i + y2i +
2
αi
Hi(xi, yi)
)
+
n−2q
∑
j=1
n−2q
∑
s=1
bjszjzs
]
, (9)
которая удовлетворяет следующим условиям:
1) lim
‖r‖→∞
V = ∞, (10)
где ‖r‖ – евклидова норма вектора r, а r = (x1, ..., xq , y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q) –
n-мерный вектор-столбец;
2) R =
n−2q
∑
j=1
n−2q
∑
s=1
bjszsZj (11)
является знакопостоянной отрицательной функцией, причем область R = 0
– многообразие точек, не содержащее целых полутраекторий системы (6)
при 0 ≤ t < ∞. Здесь неизвестные постоянные коэффициенты bjs при лю-
бой определенно-отрицательной квадратичной форме W (z1, ..., zn−2q) можно
определить из условия
d
dt
(
n−2q
∑
j=1
n−2q
∑
s=1
bjszjzs,
)∣
∣
∣
∣
∣
(12)
= W (z1, ..., zn−2q)
единственным образом, так как система
żj = aj1z1 + ...+ aj(n−2q)zj (n−2q) (j = 1, ..., n − 2q) (12)
асимптотически устойчива [11, с.107].
Тогда производная по времени функции V в силу системы (6) будет
V̇
∣
∣
∣
(6)
=
q
∑
i=1
[
−αixiyi + xiXi + αixiyi + yiYi +
1
αi
Yi(−αiyi +Xi)−
−
1
αi
Xi(αixi + Yi)
]
+
n−2q
∑
j=1
n−2q
∑
s=1
bjszsZj +W (z1, ..., zn−2q) =
= R(x1, ..., xq, y1, ..., yq, z1, ..., zn−2q) +W (z1, ..., zn−2q).
При условиях (7), (8), (10), (11) функция V̇
∣
∣
∣
(6)
является знакопостоянной
отрицательной функцией при ‖r‖ < ∞. Следовательно, для системы (6)
выполняются все условия теоремы Барбашина–Красовского об асимптоти-
ческой устойчивости в целом [1, с. 463]. Тогда тривиальное решение системы
151
С.Р. Амбарцумян
(6) асимптотически устойчиво в целом, а значит, и асимптотически устойчиво
по действующей силе [4]. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если для системы (6) выполнены условия (7), (8) и для нее
существует определенно-положительная функция V в виде (9) такая, что
имеют место условия (10) и (11), то тривиальное решение системы (6)
асимптотически устойчиво по действующей силе.
Отметим, что полученный результат совпадает с результатам теоремы 1,
доказанной в [9] при q = 1.
Пример. В качестве примера рассмотрим систему дифферeнциальных
уравнений следующего вида:
ẋ1 = −α1x2 − c1x
3
2 − b1x
2
1x2x3x4, ẋ2 = α1x1 + a1x
3
1 + b1x1x
2
2x3x4,
ẋ3 = −α2x4 − c2x
3
4 − b2x1x2x
2
3x4, ẋ4 = α2x3 + a2x
3
3 + b2x1x2x3x
2
4, (13)
ẋ5 = −2x5 + x6 −
(
x5 +
1
3
x6
)3
−
1
27
(
4x5 + 5x6
)3
(x21 + x23 + x25 + x26)x
2
2x
2
4,
ẋ6 = −x6 −
1
27
(
x5 + 4x6
)3
−
1
27
(
4x5 + 5x6
)3
(x21 + x23 + x25 + x26)x
2
2x
2
4,
где α1, α2 6= 0 – действительные числа; a1, b1, c1, a2, b2, c2 – неотрицательные
постоянные числа.
Нетрудно проверить, что если для линейного приближения уравнений си-
стемы (13) возьмем функцию Ляпунова в виде
V =
1
2
(x21 + x22 + x23 + x24) +
1
4α1
(a1x
4
1 + 2b1x
2
1x
2
2 + c1x
4
2)+
+
1
4α2
(a2x
4
3 + 2b2x
2
3x
2
4 + c2x
4
4) +
1
6
(
3x25 + 2x5x6 + 4x26
)
,
(14)
то тогда функция R из условия (11) определится следующим образом:
R = −
(
x5 +
1
3
x6
)4
−
1
81
(
x5 + 4x6
)4
−
1
81
(
4x5 + 5x6
)4
(x21 + x23 + x25 + x26)x
2
2x
2
4
и будет являться знакопостоянной отрицательной функцией.
Очевидно, что функция V удовлетворяет также условия (10), (11). Следо-
вательно, для системы (13) все условия теоремы 1 об асимптотической устой-
чивости по действующей силе выполнены. Тогда тривиальное решение систе-
мы (13) асимптотически устойчиво по действующей силе.
1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука,1966. – 530 с.
2. Каменков Г.В. Избранные труды. – М.: Наука. – 1971. – Т. 1. – 260 с.
3. Габриелян М.С., Шагинян С.Г. О неустойчивости систем дифференциальных урав-
нений при интегрально малых возмущениях // Уч. записки ЕГУ. – 1989. – №1. –
С. 27–32.
4. Шагинян С.Г. Об одной задаче теории устойчивости // Там же. – 1986. – № 2. –
С. 39–45.
152
Об устойчивости системы в критическом случае
5. Шагинян С.Г. Об устойчивости по действующей силе системы линейных дифферен-
циальных уравнений с переменными коэффициентами// Там же. – 2002. – № 3. –
С. 31–34.
6. Амбарцумян С.Р. Об одном способе решения задачи устойчивости по действующей
силе при паре чисто мнимых корней для системы второго порядка // Естествен. и
техн. науки. – Москва, 2002. – № 3. – С. 8–10.
7. Амбарцумян С.Р. Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто
мнимых корней // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 117–120.
8. Амбарцумян С.Р. К задаче устойчивости по действующей силе в критическом случае
при k нулевых и q пар чисто мнимых корней // Актуальные проблемы соврем. науки.
– Москва, 2003. – № 4. – С. 115–118.
9. Амбарцумян С.Р. Асимптотическая устойчивость по действующей силе в критиче-
ском случае при паре чисто мнимых корней // XI междунар. конф. “Устойчивость и
колебания нелинейных систем управления” (Москва, 2010 г.): Тез. докл. – М., 2010. –
С. 14–15.
10. Амбарцумян С.Р. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости по действующей
силе в критическом случае при k нулевых и q пар чисто мнимых корней // Динами-
ческие системы. – Симферополь, 2010. – Вып. 28. – С. 171–176.
11. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.;Л.: Гостехиздат, 1950.
– 471 с.
S.R. Hambardzumyan
On the stability of a system of non-linear differential equations
in the critical case at q pairs of imaginary roots
The stability by acting force of the zero solution of a n-th order nonlinear system in critical case
of q pairs of imaginary roots is studied. Theorem of the asymptotic stability by acting force of
the trivial solution is proved. The illustrative example is proposed.
Keywords: stability, critical case, Liapounoff’s functions.
С.Р.Амбарцумян
Про стiйкiсть системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
у критичному випадку при q пар чисто уявних коренiв
Дослiджується стiйкiсть за дiючою силою системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь n-
го порядку в критичному випадку, коли характеристичне рiвняння вiдповiдного лiнiйного
наближення системи має q пар чисто уявних коренiв i (n−2q) коренiв з вiд’ємними дiйсними
частинами. За допомогою побудови функцiї Ляпунова доведено теорему про асимптотичну
стiйкiсть за дiючою силою тривiального розв’язку розглядуваної системи. Наведено при-
клад, що пiдтверджує вiрогiднiсть отриманих результатiв.
Ключовi слова: стiйкiсть, критичний випадок, функцiя Ляпунова.
Гос. аграрный ун-т, Ереван, Армения
samvelham@yahoo.com
Получено 29.06.11
153
|