Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости
Построено решение задачи о растяжении естественно закрученного стержня силой, приложенной к свободному торцевому сечению. Определены компоненты вектора перемещений, тензора напряжений и моментных напряжений, удовлетворяющие граничным условиям на основаниях и боковой поверхности естественно закрученн...
Збережено в:
Дата: | 2011 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
Назва видання: | Механика твердого тела |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71591 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости / А.А. Илюхин, А.К. Попов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 175-186. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-71591 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-715912014-12-07T03:01:54Z Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости Илюхин, А.А. Попов, А.К. Построено решение задачи о растяжении естественно закрученного стержня силой, приложенной к свободному торцевому сечению. Определены компоненты вектора перемещений, тензора напряжений и моментных напряжений, удовлетворяющие граничным условиям на основаниях и боковой поверхности естественно закрученного стержня. У рамках роботи в перемiщеннях побудовано розв’язок задачi про розтягування природно закрученого стержня силою, яка прикладається до вiльного торцевого перерiзу. Визначено компоненти вектора перемiщень, тензора напружень i моментних напружень, що задовольняють граничним умовам на основах та боковiй поверхнi природно закрученого стержня. The paper presents a solution to Saint-Venant problem on a naturally twisted rod stretching by a force applied to the free end section. This solution is constructed in terms of displacements. The displacement vector, the stress tensor and the couple stress components that satisfy the boundary conditions on the basis and on the lateral surface are found. 2011 Article Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости / А.А. Илюхин, А.К. Попов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 175-186. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71591 539.9 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Построено решение задачи о растяжении естественно закрученного стержня силой, приложенной к свободному торцевому сечению. Определены компоненты вектора перемещений, тензора напряжений и моментных напряжений, удовлетворяющие граничным условиям на основаниях и боковой поверхности естественно закрученного стержня. |
format |
Article |
author |
Илюхин, А.А. Попов, А.К. |
spellingShingle |
Илюхин, А.А. Попов, А.К. Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости Механика твердого тела |
author_facet |
Илюхин, А.А. Попов, А.К. |
author_sort |
Илюхин, А.А. |
title |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
title_short |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
title_full |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
title_fullStr |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
title_full_unstemmed |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
title_sort |
задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2011 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71591 |
citation_txt |
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости / А.А. Илюхин, А.К. Попов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 175-186. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT ilûhinaa zadačarastâženiâsžatiâestestvennozakručennogosteržnâvramkahmomentnojteoriiuprugosti AT popovak zadačarastâženiâsžatiâestestvennozakručennogosteržnâvramkahmomentnojteoriiuprugosti |
first_indexed |
2025-07-05T20:32:18Z |
last_indexed |
2025-07-05T20:32:18Z |
_version_ |
1836840428354142208 |
fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 539.9
c©2011. А.А. Илюхин, А.К. Попов
ЗАДАЧА РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ
ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННОГО СТЕРЖНЯ
В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Построено решение задачи о растяжении естественно закрученного стержня силой, прило-
женной к свободному торцевому сечению. Определены компоненты вектора перемещений,
тензора напряжений и моментных напряжений, удовлетворяющие граничным условиям на
основаниях и боковой поверхности естественно закрученного стержня.
Ключевые слова: растяжение, естественно закрученный стержень, моментная тео-
рия упругости, псевдоконтинуум Коссера.
Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растя-
гивающих усилий, приложенных к торцевому сечению и статически эквива-
лентных силе P, параллельной оси стержня и приложенной в центре тяжести
свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень подвержен осево-
му растяжению. Массовыми силами пренебрегаем.
Задача об упругом равновесии стержня при указанных условиях сводится
к нахождению компонент тензора напряжений σij , удовлетворяющих в обла-
сти, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия при отсут-
ствии массовых сил и граничным условиям.
Начало координат выберем в центре тяжести одного из сечений, оси x и
y направим по главным осям инерции этого сечения, а за ось z примем ось
стержня. При описании деформации упругой микрополярной среды будем
использовать криволинейные координаты x1, x2, x3, связанные с декартовыми
координатами x, y, z соотношениями [1, 2]:
x1 = x + τ0yz, x2 = y− τ0xz, x3 = z,
x = x1 − τ0x
2x3, y = x2 + τ0x
1x3, z = x3 .
(1)
Величину τ0 назовем естественной круткой. В настоящем исследовании будем
считать величину τ0 малой.
Проекции вектора нормали n(n1, n2, n3) к боковой поверхности естествен-
но закрученного стержня с учетом взаимосвязи (1) определяются выражени-
ями [3]
n1 =
dx2
dl
, n2 = −
dx1
dl
, n3 = τ0(x
2n1 − x1n2) . (2)
Решение в перемещениях поставленной задачи будем искать в виде
u1 = A11x
1 +A12x
2 +A13x
3 + τ0
(
D11x
1 +D12x
2 +D13x
3+
+B11(x
1)2 +B12x
1x2 +B13x
1x3 +B22(x
2)2 +B23x
2x3 +B33(x
3)2
)
,
175
А.А. Илюхин, А.К. Попов
u2 = A21x
1 +A22x
2 +A23x
3 + τ0
(
C11(x
1)2 + C12x
1x2 +D21x
1+
+D22x
2 +D23x
3 + C13x
1x3 + C22(x
2)2 + C23x
2x3 + C33(x
3)2
)
,
u3 = A31x
1 +A32x
2 +A33x
3 + τ0
(
p1ϕ(x
1, x2) + E13x
1x3+
+E23x
2x3 + E33(x
3)2
)
,
(3)
где ϕ(x1, x2) – некоторая функция, подлежащая определению, p1 – константа,
зависящая от величины растягивающих усилий P.
Взаимосвязь компонент ковариантного тензора деформаций γij с компо-
нентами вектора перемещений ui и псевдовектора собственного микропово-
рота ωk имеет вид [4]
γij=ui,j−∈kijω
k . (4)
Псевдовектор микроповорота в рамках псевдоконтинуума Коссера связан с
вектором перемещений следующими равенствами:
ωk =
1
2
∈skt rt
(
∂uk
∂xs
− Γm
skum
)
, (5)
где rt – базисные векторы криволинейной системы координат x1, x2, x3.
Выпишем символы Кристоффеля Γm
sk второго рода
Γ1
11 = Γ1
12 = Γ1
13 = Γ1
22 = Γ1
33 = Γ2
11 = Γ2
12 = Γ2
22 = Γ2
23 = Γ2
33 = Γ3
11 = 0,
Γ3
12 = Γ3
13 = Γ3
22 = Γ3
23 = Γ3
33 = 0, Γ1
23 = −τ0, Γ2
13 = τ0 ,
(6)
а также ковариантные компоненты тензора деформаций
γ11 =
∂u1
∂x1
, γ22 =
∂u2
∂x2
, γ33 =
∂u3
∂x3
, γ12 = γ21 =
1
2
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
,
(7)
γ13 = γ31 =
1
2
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
− τ0u2, γ23 = γ32 =
1
2
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ τ0u1.
Если среда изотропная, то закон Гука принимает вид [5]
σij = λδijγkk + (µ− α) γji + (µ+ α) γij ,
µij = εδijκkk + (υ − β)κji + (υ + β)κij .
(8)
Учитывая значения компонент вектора перемещений (3), тензора деформа-
ций (7), первое равенство закона Гука (8), получим с точностью до первой
176
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня
степени параметра τ0 соответствующие значения компонент тензора напря-
жений
σ11 = (2B11 + C12 + E13)x
1 + (E23 + B12 + 2C22)x
2+
+(C23 + B13 + 2E33)x
3 +D11 +D22λτ0+
+2µ(D11 + 2B11x
1 + B12x
2 + B13x
3)τ0 + (A22 + A33)λ+ (λ+ 2µ)A11,
σ22 = (2B11 + C12 + E13)x
1 + (E23 + B12 + 2C22)x
2+
+ (C23 + B13 + 2E33)x
3 +D11 +D22λτ0+
+2µ(D22 + C12x
1 + 2C22x
2 + C23x3)τ0 + (A11 + A33 + A22)λ+ 2µA22,
σ33 = ((2B11 +C12 + E13)x1 + (E23 + B12 + 2C22)x2+
+ (C23 + B13 + 2E33)x3 +D11 +D22λ)τ0+ (9)
+2µ(E13x1 + E23x2 + 2E33x3)τ0 + (A11 + A22)λ+ (λ+ 2µ)A33,
σ13 = σ31 = (τ0p1 (
∂ϕ(x1, x2)
∂x1
) + A13)µ+ ((2B33 − 2A23 + E13)x
3+
+(B13 − 2A21)x
1 + (B23 − 2A22)x
2 +D13)τ0,
σ23 = σ32 = (τ0p1 (
∂ϕ(x1, x2)
∂x2
) + A23)µ+
+((2C33 + 2A13 + E23)x
3 + (C13 + 2A11)x
1 + (C23 + 2A12)x
2 +D23)τ0,
σ12 = σ21 = µ(A21 + A12)+((2C11 + B12)x
1 + (2B22 +C12)x
2+
+(B23 + C13)x
3 +D21 +D12)τ0 .
Заметим, что полученные компоненты тензора напряжений симметричны.
Значения компонент ωk вектора собственного микроповорота (5), учитывая
значения компонент вектора перемещений (3), преобразуются к виду:
ω1=−
A23
2
+
τ0
2
(p1
∂ϕ(x 1, x 2)
∂x 2
− D23 − C13x1 − C23x2 + 2(E23 − C33)x3),
ω2=
A13
2
+
τ0
2
(−p1
∂ϕ(x 1, x 2)
∂x 1
+D13 + B13x1 + B23x2 + (2B33 − E13)x3),
ω3=
A21 − A12
2
+
τ0
2
(D21 −D12 + (2 C11 − B12)x1+
+(C12 − 2B22)x2 + (C13 − B23)x3) .
Компоненты псевдотензора изгиба-кручения и псевдовектора собственно-
го микроповорота связаны равенствами [4]
κji=
∂ωi
∂xj
−Γk
ijωk, (10)
177
А.А. Илюхин, А.К. Попов
где по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3. Тогда ко-
вариантные компоненты тензора изгиба-кручения (10) примут вид
κ11 =
τ0
2
(
p1
∂2ϕ
(
x1, x2
)
∂x2∂x1
− C13
)
, κ22 =
τ0
2
(
B23 − p1
∂2ϕ
(
x1, x2
)
∂x2∂x1
)
,
κ33 =
τ0
2
(C13 −B23) , κ12 =
τ0
2
(
B13 − p1
∂2ϕ
(
x1, x2
)
∂ (x1)2
+ A21 − A12
)
,
κ21 =
τ0
2
(
−C23 + p1
∂2ϕ
(
x1, x2
)
∂ (x2)2
+A12 − A21
)
,
κ13 = ((A12 − A21 − B13) x1 − B23x2 + (E13 − 2 B33) x3−
− D13 + p1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 1
)
τ20
2
+ (2 C11 − B12)
τ0
2
,
κ31 = ((A12 − A21 − B13) x1 − B23x2 + (E13 − 2 B33) x3−
− D13 + p1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 1
)
τ20
2
+ (E23 − 2C33 − A13)
τ0
2
,
κ23 = (− C13x1 + (A12 − C23 − A21) x2 + (E23 − 2 C33) x3+
+p1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2
− D23)
τ20
2
+ (C12 − 2 B22)
τ0
2
,
κ32 = (− C13x1 + (A12 − C23 − A21) x2 + (E23 − 2C33) x3+
+p1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2
−D23)
τ20
2
+ (2 B33 − E13 − A23)
τ0
2
.
(11)
Во второй формуле закона Гука (8) в рамках псевдоконтинуума Коссера пер-
вое слагаемое равно 0, так как κkk=
1
2
divrotu= 0, что и следует в нашем слу-
чае из равенств (11). В результате вторая формула закона Гука (8) примет
вид
µij=(υ−β)κji+(υ+β)κij. (12)
С учетом значения компонент псевдотензора изгиба-кручения компоненты
тензора моментных напряжений, получаемые из закона Гука (12), предста-
вимы в следующем виде:
µ11 = ντ0
(
p1
∂2φ
(
x1, x2
)
∂x2∂x1
− C13
)
, µ22 = ντ0
(
B23 − p1
∂2φ
(
x1, x2
)
∂x2∂x1
)
,
µ33 = ντ0 (C13 −B23),
µ12 = −
τ0
2
(p1 (ν + β)
∂2φ
(
x1, x2
)
∂ (x 1)2
− p1 (ν − β)
∂2φ
(
x1, x2
)
∂ (x 2)2
+
+(2(A12 − A21)− B13 − C23) β − ν (B13 − C23)),
178
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня
µ21 = −
τ0
2
(p1 (ν − β)
∂2φ
(
x1, x2
)
∂ (x 1)2
− p1 (ν + β)
∂2φ
(
x1, x2
)
∂ (x 2)2
+
+(2(A21 − A12) + C23 + B13) β − ν (B13 − C23)),
µ13 = (νp1
∂φ
(
x1, x2
)
∂x 1
+ ((−B13 − A21 + A12) x
1+
+(−2B33 + E13) x
3 −D13 − B23x
2)ν)τ20 + ((−2C33 − A13 − B12 + E23 + 2C11) ν+
+β (2C33 + 2C11 − B12 +A13 − E23))
τ0
2
, (13)
µ31 = (νp1
∂φ
(
x1, x2
)
∂x 1
+ ((−B13 − A21 + A12) x
1+
+(−2B33 + E13) x
3 −D13 − B23x
2)ν)τ20+
+((−2C33 − A13 − B12 + E23 + 2C11) ν − β (2C33 + 2C11 − B12 + A13 − E23))
τ0
2
,
µ23 = (νp
∂φ
(
x1, x2
)
∂x 2
+ ((−C23 − A21 + A12) x
2+
+(E23 − 2C33) x
3 − C13x
1 −D23)ν)τ
2
0+
+((−2B22 + C12 + 2B33 − A23 − E13) ν + β (A23 − 2B22 + C12 + E13 − 2B33))
τ0
2
,
µ32 = (νp
∂ϕ
(
x1, x2
)
∂x 2
+ ((−C23 − A21 + A12) x
2+
+(E23 − 2C33) x
3 − C13x
1 −D23)ν)τ
2
0 + ((−2B22 + C12+
+2B33 − A23 − E13)ν − β (A23 − 2B22 + C12 + E13 − 2B33))
τ0
2
.
Уравнения равновесия микрополярной среды при отсутствии массовых
сил и моментов запишем [4] при помощи тензора напряжений σij и моментных
напряжений µij:
σ
ji
,j = 0, µ
ji
,j+ ∈ijk σjk = 0,
где ,j означает ковариантное дифференцирование по соответствующей ком-
поненте.
Первая группа уравнений равновесия преобразуется к виду
[− (2 µ (C11 + 2 (C33 +A13)) + 2 (λ + 2µ) E23 + (µ+ 2λ) B12+
+4 (λ+ µ)C22)x
1 + (4 (λ+ µ)B11 + (µ+ 2 λ) C12 + 2 (λ + 2µ) E13+
+2 µ (B22 + 2 (B33 −A23)))x
2]τ20 + τ0µp1∆ϕ
(
x1, x2
)
+
+(2µ (A12 −A21) + (λ+ µ) (C23 + B13) + 2 (λ + 2 · µ) E33) τ0 = 0,
179
А.А. Илюхин, А.К. Попов
[− (2 (C33 +A13) + E23)µx
3 − µp1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2
+
+
(
2 ( A22 − A11)− 2 (B23 +C13)− p1
∂2ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2∂x 1
)
µx1+
+(µD23 − 2λ (C23 + B13)− 4µ (B13 −A21)− 4 (λ+ µ)E33−
− µ p1
(
2
∂2ϕ
(
x 1, x 2
)
∂(x 1)2
+
∂2ϕ
(
x 1, x 2
)
∂(x 2)2
)
)x 2]τ20+
+(2 (λ + 2µ)B11 + (λ+ µ) (C12 + E13) + µ (2 (B22 + B33)− 3A23)) τ0 = 0,
[− (2 λ (C23 +B13) + 4µ (C23 +A12) + 4 (λ+ µ)E33+
+ µp1
(
2
∂2ϕ(x1,x2)
∂(x2)2 +
∂2ϕ
(
x 1, x 2
)
∂(x 1)2
)
)x 1+
+
(
p1
(
∂2ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2∂x 1
)
+ 2 (A11 −A22) + 2 (B23 +C13)
)
µx2+
+(E13 + 2 (B33 −A23))µx
3]τ20 + (µp1
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 1
+ µ D13)τ
2
0+
+(2 (λ + 2µ)C22 + (λ+ µ) (B12 + E23) + µ (2 (C11 + C33) + 3 A13)) τ0 = 0.
Вторая группа уравнений равновесия с учетом значений компонент тензора
напряжений (9) и моментных напряжений (13) имеет вид
(
(3 ν + β)
2
(E13 − 2B33) +
(ν + β)A23
2
−
(ν − β)
2
(C12 − B22)
)
τ20+
+
(ν + β) p1
2
∂
∂x 2
(
∆ϕ
(
x 1, x 2
))
τ0 = 0,
(
(3 ν + β)
2
(E23 − 2 C33) −
(ν + β)A13
2
−
(ν − β)
2
(B12 − C11)
)
τ20+
+
(ν + β) p1
2
∂
∂x1
(
∆ϕ
(
x 1, x 2
))
τ0 = 0,
((2C33 − E23) x1 + 2 ( E13 − 2 B33) x2) ντ
3
0+
+(ν + β) (
1
2
(
x1
∂
∂x1
(
∆ϕ
(
x 1, x 2
))
+ x2
∂
∂x2
(
∆ϕ
(
x 1, x 2
))
)
+
+2 (A12 −A21)− (B13 + C23) + p1∆ϕ
(
x 1, x 2
)
)τ 20 = 0.
Так как уравнения равновесия представлены в виде разложения в ряд
по степеням параметра τ0, то коэффициенты, стоящие при соответствующих
степенях параметра τ0, должны равняться нулю. Учитывая независимость
компонент x1, x2, x3 друг от друга, константы, стоящие при соответствующих
180
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня
независимых переменных, также приравняем нулю:
2 (λ + 2µ)B11 + (λ+ µ) (C12 + E13) + µ (2 (B22 + B33)− 3A23) = 0,
2 (C33 +A13) + E23 = 0, E13 + 2 (B33 −A23) = 0,
2 (λ + 2µ)C22 + (λ+ µ) (B12 + E23) + µ (2 (C11 + C33) + 3 A13) = 0, (14)
2 µ (C11 + 2 (C33 +A13)) + 2 (λ + 2µ) E23 + (µ+ 2λ) B12 + 4 (λ+ µ) C22 = 0,
4 (λ+ µ) B11 + (µ+ 2 λ) C12 + 2 (λ + 2µ) E13 + 2 µ (B22 + 2 (B33 −A23)) = 0,
2C33 − E23 = 0, E13 − 2 B33 = 0,
(3 ν + β) (E13 − 2B33) + (ν + β)A23 − (ν − β) (C12 − B22) = 0,
(3 ν + β) (E23 − 2 C33) − (ν + β)A13 − (ν − β) (B12 − C11) = 0.
Граничные условия на основаниях естественно закрученного стержня
V1= 0, V2= 0, V3= P, M1=M2=M3= 0. (15)
Из формул (15) две группы граничных условий на основаниях естественно
закрученного стержня представимы следующим образом:
(((C23 + B13)λ+ 2 (λ+ 2µ)E33) ℓ+ (D11 +D22)λ) τ0+
+(A11 + A22)λ+ (λ+ 2µ)A33 =
P
S
= p,
2((λ (B12 + 2C22) + (λ+ 2µ)E23) I11+
+νSτ0 (− (2 (B33 − A23) ℓ)− 2D13 − 2B33ℓ)+
+S (ν ((E23 − A13 − B12) + 2(C11 − C33))−
−β (2 (C11 +C33) + A13 − B12 − E23)− νA13)) = 0,
2(− (λ (C12 + 2B11) + (λ+ 2µ)E13) I22+
+νSτ0 (− (2 (C33 + A13) ℓ)− 2D23 − 2C33ℓ)+
+S (ν (C12 + 2B33 − A23 − 2B22 − E13)−
−β (−2 (B22 + B33) + A23 + C12 + E13)− νA23)) = 0;
p1T + µ ((C13 + 2A11) I22 + (−B23 + 2A22) I11) + S (C13 − B23) = 0,
τ0
∫
S
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2
dS = − (((2 (C33 + A13) + E23) ℓ+D23) τ0 +A23)
S
p1
,
τ0
∫
S
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 1
dS = − (((2 (B33 − A23) + E13) ℓ+D13) τ0 + A13)
S
p1
,
T = µ
∫
S
(
x 1∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 2
− x 2 ∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂x 1
+
(
x 1
)2
+
(
x 2
)2
)
dS.
(16)
181
А.А. Илюхин, А.К. Попов
Первая группа граничных условий на боковой поверхности естественно за-
крученного стержня имеет вид
(σ1k + τ0x
2σ3k)n1 + (σ2k − τ0x
1σ3k)n2 = 0, k = 1, 2, 3, (17)
при этом третье уравнение граничных условий (17) сводится к условию Не-
ймана
∂ϕ
(
x 1, x 2
)
∂n
=
1
µp1
[
((− (2A11 + C13)µ+ 3 λ A11 + (3 λ+ 2 µ)A22−
− (4 µ+ 3 λ)A33)x
1 − (C23 + 3A12 +A21)µx
2 − (2 C33 + E23)µx
3 −D23µ)
dx 1
dl
+
+((B13 + 3A21 +A12)µx
1 + (µ (2 A22 − B23)− (3λ+ 2µ)A11 − 3 λ A22−
− (4µ+ 3λ)A33)x
2 − µ (2 B33 + E13) x
3 − µD13)
dx 2
dl
]
. (18)
Задача определения функции ϕ
(
x1, x2
)
есть, таким образом, задача Неймана
(18) для уравнения Пуассона
∆ϕ =
1
µp1
(2µ (A21 −A12)− (λ+ µ) (C23 + B13)− 2 (λ + 2µ) E33). (19)
С учетом взаимосвязей между константами (14), (16) равенство (19) преобра-
зуется к виду
∆ϕ = 0 . (20)
Вторая группа граничных условий на боковой поверхности естественно
закрученного стержня имеет вид
(µ1k + τ0x
2µ3k)n1 + (µ2k − τ0x
1µ3k)n2 = 0 , (21)
где k = 1, 2, 3. Первое и второе равенства (21), с учетом значений компонент
тензора напряжений (9) и интегрирования от точки к точке контура ℓ примут
вид:
∂ϕ
(
x1, x2
)
∂x1
=
1
νp1
[
C1 + [−((2 (C11 −C33) + E23 − B12 − A13)
3ν
2
+
+ (−2 (C33 +C11)B12 + E23 − A13)
β
2
)
(
x2
)2
2
+
+((2 (C33 − C11) + B12 − E23 +A13) ν+ (22)
+ β (2 (C33 +C11)− E23 − B12 +A13))
(
x1
)2
2
]τ0+
+ νC13x2 + x1(−
(ν + β)
2
(
1
µp1
[2 µ (A12 −A21) + (λ+ µ) (C23 + B13)+
+2 (λ+ 2 µ) E23])+(B13 − C23)
ν
2
+ (2 (A12 −A21)− ( B13 +C23))
β
2
)
]
;
182
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня
∂ϕ(x1, x2)
∂x2
=
1
νp1
[
C2 + [((2(B22 − B33) + A23 + E13 − C12)
3ν
2
+
+(−2(B22 + B33) + A23 +C12 + E13)
β
2
)
(x1)2
2
+
+((A23 − 2B33 + 2B22 + E13 − C12)ν+
+(−2B22 +C12 − 2B33 +A23 + E13)β)
(x2)2
2
]τ0 + p1νB23x
1−
−x2[(B13 − C23)
ν
2
+ (2(A21 −A12t) + B13 +C23)
β
2
+
+
(ν + β)
2
(
1
µp1
[2 µ(A12 −A21) + (λ+ µ)(C23 + B13) + 2(λ+ 2 µ)E33])]
]
.
(23)
Для разрешимости граничной задачи Неймана (18) и (22), (23) должно
выполняться соотношение
B13 − C23 = 2 (A12 − A21) . (24)
Таким образом, каждая из двух групп граничных условий на боковой поверх-
ности естественно закрученного стержня приводит к одинаковой для каждой
из групп задаче Неймана для уравнения Лапласа (20).
Первые два граничных условия (17) и третье граничное условие (21) на
боковой поверхности естественно закрученного стержня удовлетворяются то-
ждественно выбором констант. В результате, учитывая равенства (14), (16),
(24), получаем следующие связи между константами:
A11 = −
λp1
2µ(3λ+ 2µ)
, A22 = −
λp1
2µ(3λ+ 2µ)
, A33 =
(λ+ µ)p1
µ(3λ+ 2µ)
,
D11 = −
p − p1
2µτ0
, D22 =
(p − p1)(λ+ 2µ)
2µτ0λ
,
B23 =
p1((3 λ+ 2 µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
, C13 = −B23.
Остальные константы равны нулю.
При совпадении p и p1 компоненты вектора перемещений и вектора соб-
ственного микроповорота примут вид
u1 = −
λp1
2µ(3λ+ 2µ)
x1 + τ0
p1((3 λ+ 2 µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
x2x3,
u2 = −
λp1
2µ (3λ+ 2µ)
x2 − τ0
p1 ((3 λ+ 2 µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
x2x3,
u3 =
(λ+ µ) p1
µ (3λ+ 2µ)
x3 + τ0p1ϕ
(
x1, x2
)
.
В результате получаем значения компонент тензора напряжений:
σ33 = p1, σ11 = σ22 = σ12 = σ21 = 0,
183
А.А. Илюхин, А.К. Попов
σ13 = σ31 = τ0µp1
(
∂ϕ
(
x1, x2
)
∂x1
+
((3 λ+ 2 µ)T − Ipλ
µIp + 2νS
+
λ
µ
) x2
(3λ+ 2µ)
)
,
(25)
σ23 = σ32 = τ0µp1
(
∂ϕ(x1, x2)
∂x2
−
((3 λ+ 2µ)T − Ipλ
µIp + 2νS
+
λ
µ
) x1
(3λ+ 2µ)
)
и значения компонент тензора моментных напряжений:
µ11 = p1ντ0
(
∂2ϕ(x1, x2)
∂x2∂x1
+
((3λ + 2µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
)
,
µ22 = p1ντ0
(
((3λ+ 2µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
−
∂2ϕ(x1, x2)
∂x2∂x1
)
,
µ33 =
2p1(λIp − (3λ+ 2µ)T )ντ0
(3λ + 2µ)(µIp + 2νS)
, (26)
µ12 = µ21 = −
τ0p1
2
(
(ν + β)
∂2ϕ(x1, x2)
∂(x 1)2
− (ν − β)
∂2ϕ(x1, x2)
∂(x2)2
)
,
µ13 = µ31 = νp1
(
∂ϕ(x1, x2)
∂x 1
−
((3λ+ 2µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
x 2
)
τ20 ,
µ23 = µ32 = νp1
(
∂ϕ(x1, x2)
∂x 2
+
((3 λ+ 2 µ)T − Ipλ)
(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
x 1
)
τ20 .
Следовательно, в каждой точке стержня мы получили чистый сдвиг, опреде-
ляемый компонентами тензора напряжений σ13, σ31, σ23, σ32.
Обратим внимание, что также возникают нормальные напряжения, дей-
ствующие между продольными волокнами стержня или в направлении са-
мих волокон. Также возникают искажения плоскостей поперечных сечений
(депланация поперечного сечения стержня), поскольку γ11, γ22, γ33, γ12, γ21
не обращаются в нуль.
В отличие от классической задачи растяжения естественно закрученно-
го стержня, без учета моментных напряжений, представленной, например, в
работах П.М. Риза [1], А.И.Лурье [3], формулы, определяющие компоненты
184
Задача растяжения-сжатия естественно закрученного стержня
тензора напряжений, имеют вид:
σ33 = p, σ11 = σ22 = σ12 = σ21 = 0,
σ13 = σ31 = pτ0
(
Ip
T
∂ϕ
(
x1, x2
)
∂x1
− x 2
(
Ip
T
− 1
)
)
,
σ23 = σ32 = pτ0
(
Ip
T
∂ϕ
(
x1, x2
)
∂x2
+ x 1
(
Ip
T
− 1
)
)
.
Среднее значение кручения для всего поперечного сечения, обозначаемое
через τ , определяется формулой
τ =
1
S
∫
S
κx3x3
dS =
τ0
2S
∫
S
(C13 −B23) dS =
p1 (λIp − (3 λ+ 2 µ)T ) τ0
S(3λ+ 2µ)(µIp + 2νS)
.
Окончательные формулы (25)–(27), получившиеся с учетом моментных
напряжений, отличаются тем, что
1. Депланация поперечного сечения стержня определяется не только соо-
тветствующими классическому случаю компонентами силовых напря-
жений σ13, σ31, σ23, σ32, но и компонентами моментных напряжений
µ11, µ22, µ12, µ21
2. Первая и вторая компоненты вектора перемещений зависят не только
от величины растягивающих усилий р, но и от геометрии стержня.
3. Среднее значение кручения для всего поперечного сечения зависит не
только от полярного момента и величины T, но и от площади попере-
чного сечения S.
Следует заметить, что при равенстве нулю естественной крутки τ0 получен-
ные значения компонент тензора напряжений и моментных напряжений (25),
(26) переходят в компоненты тензора напряжений, которые получены в слу-
чае прямолинейного стержня в [6]. Т. е. при построении решений основных
дифференциальных уравнений в случае равенства нулю параметра τ0 выя-
снилось, что решение типа Сен-Венана приводит к отсутствию моментных
напряжений.
Сравнивая формулы (25) для компонент тензора напряжений с аналоги-
чными формулами, полученными в [1], обнаруживаем, что зависимости стру-
ктурно одинаковы, а отличаются лишь коэффициенты, стоящие при x2.
Если положить, что растягивающие усилия, приложенные к торцевому
сечению стержня, отсутствуют, т. е. положить p1 равным нулю, то постав-
ленное условие приводит к равенству нулю компонент тензора напряжений
(25) и моментных напряжений (26). Значит, исследуемое условие не приводит
к противоречию.
185
А.А. Илюхин, А.К. Попов
1. Риз П.М. Деформация естественно закрученных стержней // Докл. АН СССР. – 1939.
– 3, № 4. – С. 449–455.
2. Илюхин А.А., Щепин Н.Н. К моментной теории упругих стержней // Изв. вузов.
Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. – 2001. – С. 92–94.
3. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. – М.: Физматлит, 2003. –
128 с.
4. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. ма-
тематика и механика. – 1964. – 28, № 3. – С. 401–408.
5. Лурье А.И., Джанелидзе Г.Ю. Задача Сен-Венана для стержней, близких к призма-
тическим // Докл. АН СССР. – 1939. – XXIV, № 1–№ 3. – С. 1–8.
6. Попов А.К. Осевое растяжение стержня в рамках моментной теории упругости //
Вестн. Таганрог. гос. пед. ин-та. Физико-математ. и естеств. науки. – Таганрог: Изд.
отдел ГОУВПО “Таганрог. гос. пед. ин-та”, 2011. – № 1. – С. 43–50.
A.A. Ilyukhin, A.K. Popov
The stretching-compression problem for a naturally twisted rod in the frame-
work of the moment theory of elasticity
The paper presents a solution to Saint-Venant problem on a naturally twisted rod stretching by
a force applied to the free end section. This solution is constructed in terms of displacements.
The displacement vector, the stress tensor and the couple stress components that satisfy the
boundary conditions on the basis and on the lateral surface are found.
Keywords: stretching, naturally twisted rod, moment elasticity theory, Cosserat continuum.
О.О. Iлюхiн, О.К. Попов
Задача розтягування-стиску природно закрученого стержня
в рамках моментної теорiї пружностi
У рамках роботи в перемiщеннях побудовано розв’язок задачi про розтягування природно
закрученого стержня силою, яка прикладається до вiльного торцевого перерiзу. Визначено
компоненти вектора перемiщень, тензора напружень i моментних напружень, що задоволь-
няють граничним умовам на основах та боковiй поверхнi природно закрученого стержня.
Ключовi слова: розтягування, природно закручений стержень, моментна теорiя пру-
жностi, псевдоконтiнуум Коссера.
Таганрогский гос. пед. ин-т им. А.П. Чехова, Россия
aleilyukhin@yandex.ru , ASDAlexey@yandex.ru
Получено 07.11.11
186
|