Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением
Построена модель механической системы, которая состоит из твердого тела и тонкой упругой пластины, а также предложена схема сведения уравнений движения с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены условия управляемости модели в конечномерном фазовом...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71592 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 187-198. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71592 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715922017-04-20T17:32:52Z Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Построена модель механической системы, которая состоит из твердого тела и тонкой упругой пластины, а также предложена схема сведения уравнений движения с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены условия управляемости модели в конечномерном фазовом пространстве, а также условия спектральной управляемости. Побудовано модель механiчної системи, що складається з твердого тiла та тонкої пружної пластини, а також запропоновано схему зведення рiвнянь руху з частинними похiдними до нескiнченної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Одержано умови керованостi моделi у скiнченновимiрному фазовому просторi, а також умови спектральної керованостi. In this paper, a mechanical system model consisting of a rigid body and thin elastic plate is constructed. A reduction scheme that allows transforming the equations of motion with partial derivatives to an infinite system of ordinary differential equations is proposed. Controllability conditions are obtained for a model in a finite dimensional state space. Conditions of spectral controllability are studied as well. 2011 Article Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 187-198. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71592 531.39, 517.977 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построена модель механической системы, которая состоит из твердого тела и тонкой упругой пластины, а также предложена схема сведения уравнений движения с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены условия управляемости модели в конечномерном фазовом пространстве, а также условия спектральной управляемости. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| spellingShingle |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением Механика твердого тела |
| author_facet |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением |
| title_short |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением |
| title_full |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением |
| title_fullStr |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением |
| title_full_unstemmed |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением |
| title_sort |
малые колебания пластины кирхгофа с двумерным управлением |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71592 |
| citation_txt |
Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 187-198. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zueval malyekolebaniâplastinykirhgofasdvumernymupravleniem AT novikovaûv malyekolebaniâplastinykirhgofasdvumernymupravleniem |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:21Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:21Z |
| _version_ |
1836840430890647552 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 531.39, 517.977
c©2011. А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА
С ДВУМЕРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
Построена модель механической системы, которая состоит из твердого тела и тонкой упру-
гой пластины, а также предложена схема сведения уравнений движения с частными прои-
зводными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены
условия управляемости модели в конечномерном фазовом пространстве, а также условия
спектральной управляемости.
Ключевые слова: пластина Кирхгофа, метод Фурье, управляемость.
Введение. Разработке математических моделей движения космических
аппаратов с упругими элементами, исследованию их устойчивости и управ-
ляемости посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов.
Данная тематика остается актуальной и в настоящее время.
Для проектирования первых спутников предполагалось, что космический
аппарат является абсолютно твердым телом. Но по мере возрастания требо-
ваний к точности управления возникла необходимость учитывать упругость
в математической модели, которую используют для анализа и синтеза систем
управления.
В монографии Г.Л. Дегтярева и Т.К. Сиразетдинова [1] рассмотрен вопрос
математического моделирования и синтеза управления упругими космиче-
скими аппаратами, которые рассматриваются как объекты с разделенными
параметрами. В качестве одной из моделей такого аппарата представлена
механическая система, которая состоит из твердого тела и двух упругих па-
нелей солнечных батарей. Каждая из солнечных батарей жестко закреплена
между двумя кронштейнами. А вращение тела-носителя рассматривается во-
круг фиксированной оси.
В отличие от модели [1], в данной работе рассматривается более сложная
механическая система. Предполагается, что твердое тело-носитель выполняет
вращательные движения с тремя степенями свободы, а солнечные батареи
закреплены на границе области шарнирно.
1. Описание модели. Рассмотрим механическую систему, которая со-
стоит из твердого тела и присоединенной к нему тонкой упругой пластины
(рис. 1). С твердым телом, которое вращается вокруг неподвижной точки O1
с угловой скоростью ω(t), связана декартова система координат Ox1x2x3.
Рассматриваемая механическая система, представляет собой приближен-
ную модель спутника с панелями солнечных батарей [1, 2].
Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Украины для моло-
дых ученых (гос. рег. № 0111U007074) и проекта украинско-австрийского сотрудничества
(гос. рег. № 0111U007275).
187
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
x1
l1
Ω
O
x2l2
O1
x3
ω
B
Рис. 1. Твердое тело с тонкой упругой пластиной.
Предположим, что пластина имеет толщину h > 0 и в недеформирован-
ном состоянии занимает замкнутую область вида (x1, x2) ∈ Ω = [0, l1]× [0, l2],
|x3| ≤ h/2. Будем считать, что в каждый момент времени t центральную
поверхность пластины можно задать уравнением x3 = w(x1, x2, t).
Чтобы описать поведение функции w = w(x1, x2, t), воспользуемся моде-
лью Кирхгофа колебаний тонкой пластины [1]:
ρh
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
+D△2w(x1, x2, t) = F̃ , x = (x1, x2) ∈ Ω, (1)
где ∆ =
∂2
∂x21
+
∂2
∂x22
– оператор Лапласа, ρ > 0 – плотность (масса на единицу
объема), D > 0 – жесткость пластины при изгибе, F̃ – поперечная компонента
силы, которая действует на пластину. Будем считать, что пластина шарнир-
но оперта на границе области Ω, т. е. компоненты вектора перемещения и
вектора граничных моментов равны нулю на ∂Ω:
w(x1, x2, t)|∂Ω = 0, (2)
∂2w(x1, x2, t)
∂x21
+ ν
∂2w(x1, x2, t)
∂x22
∣∣∣∣
x1=0, x1=l1
= 0, (3)
∂2w(x1, x2, t)
∂x22
+ ν
∂2w(x1, x2, t)
∂x21
∣∣∣∣
x2=0, x2=l2
= 0, (4)
где ν – коэффициент Пуассона.
188
Колебания пластины Кирхгофа с управлением
Для того, чтобы найти силу F̃ , воспользуемся принципом Д’Аламбера и
формулой сложения ускорений (см. [3]). Обозначим через e1,e2,e3 орты де-
картовой системы координат Ox1x2x3, связанной с твердым телом. Запишем
выражение для силы F̃ в подвижной системе координат Ox1x2x3.
Абсолютное ускорение точки М пластины с радиус-вектором
r
′
M = x1e1 + x2e2 + w(x1, x2, t)e3
имеет вид
wM = V0
∗ + ω × V0 + ω̇ × r
′
M + ω × (ω × r
′
M ) + 2ω × r
′∗
M + r
′∗∗
M ,
где V0 – абсолютная скорость точки O, ω = ω1e1+ω2e2+ω3e3 – угловая ско-
рость твердого тела B, а ω̇ – угловое ускорение; звездочкой обозначены отно-
сительные производные векторов в подвижной системе координат Ox1x2x3.
Согласно принципу Д’Аламбера, сила инерции, обусловленная перено-
сным движением тела B для точки M , такова:
F = −ρhwM ,
тогда F̃ = (F ,e3) в уравнении (1). Проводя необходимые выкладки, получаем
F̃ =− ρh[(x1 − a1)(ω1ω3 − ω̇2) + (x2 − a2)(ω2ω3 + ω̇1) + (ω2
1 + ω2
2)×
× (a3 − w(x1, x2, t)) + ẅ(x1, x2, t)].
(5)
Здесь (a1, a2, a3) – координаты точки O1 в системе координат Ox1x2x3.
Перепишем уравнение (1) с учетом формулы (5) следующим образом:
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
+ α2∆2w(x1, x2, t) = −1
2
(x1 − a1)(ω1ω3 − ω̇2)+
+ (x2 − a2)(ω2ω3 + ω̇1) + (ω2
1 + ω2
2)(a3 − w(x1, x2, t)) = f(x1, x2, t),
(6)
где α2 =
D
2ρh
> 0.
Таким образом, получена модель (6), (2)–(4) вращательного движения
механической системы, которая состоит из твердого тела и эластичной пла-
стины, шарнирно опертой на границе области Ω.
2. Сведение уравнения движения с частными производными
к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Решим краевую задачу (6), (2)–(4) методом Фурье. Пусть
w(x1, x2, t) = X1(x1)X2(x2)q(t).
Подставим это выражение в задачу (6), (2)–(4) с f = 0 и разделим перемен-
ные. В результате получим уравнение
q̈(t) + α2λq(t) = 0, λ = (µ1 + µ2)
2,
189
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
где µ1 и µ2 – собственные значения следующих задач Штурма–Лиувилля:
{
X ′′
1 (x1) = µ1X1(x1),
X1(0) = X1(l1) = 0,
0 ≤ x1 ≤ l1, (7)
{
X ′′
2 (x2) = µ2X2(x2),
X2(0) = X2(l2) = 0,
0 ≤ x2 ≤ l2. (8)
Известно, что задачи (7) и (8) имеют дискретный спектр: µ1 = µ1k,
µ2 = µ2j , (k, j ∈ N), где
µ1k = −
(
πk
l1
)2
, µ2j = −
(
πj
l2
)2
. (9)
Собственным значениям задач Штурма–Лиувилля (7), (8) соответствуют
собственные функции {X1k}∞k=1 и {X2j}∞j=1. Пронормируем эти функции так,
чтобы они образовывали ортонормированные базисы в L2(0, l1) и L2(0, l2),
соответственно:
X1k(x1) =
√
2
l1
sin
(
πkx1
l1
)
, X2j(x2) =
√
2
l2
sin
(
πjx2
l2
)
. (10)
Решение краевой задачи (6), (2)–(4) будем искать в виде ряда Фурье
w(x1, x2, t) =
∞∑
k,j=1
Ckj(t)X1k(x1)X2j(x2),
в результате чего возникает следующая бесконечная система обыкновенных
дифференциальных уравнений:
C̈kj + α2λkjCkj = fkj, λkj = (µ1k + µ2j)
2, (k, j) ∈ N
2, (11)
где fkj – коэффициенты Фурье правой части уравнения (6) относительно
ортонормированной системы {X1k(x1)X2j(x2)}∞k,j=1 в L2(Ω):
fkj =
2√
l1l2
∫
Ω
f(x1, x2, t) sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
dx1dx2 =
=
√
l1l2
π2kj
(
−ω1ω3l1(−1)k
(
(−1)j − 1
)
+ ω̇2l1(−1)k
(
(−1)j − 1
)
−
−a1ω̇2
(
(−1)k − 1
) (
(−1)j − 1
)
+ a1ω1ω3
(
(−1)k − 1
) (
(−1)j − 1
)
−
−ω2ω3l2
(
(−1)k − 1
)
(−1)j − ω̇1l2
(
(−1)k − 1
)
(−1)j+
190
Колебания пластины Кирхгофа с управлением
+a2ω2ω3
(
(−1)k − 1
) (
(−1)j − 1
)
+ a2ω̇1
(
(−1)k − 1
) (
(−1)j − 1
)
−
−a3(ω
2
1 + ω2
2)
(
(−1)k − 1
) (
(−1)j − 1
)
+
(ω2
1 + ω2
2)√
l1l2
Ckj(t).
Рассмотрим далее случай медленных вращений тела-носителя, отбра-
сывая в выражении для fkj величины порядка o (|ωk|, |ω̇k|) при ωk → 0,
ω̇k → 0. В результате получим следующую систему:
C̈kj + Ckjα
2λkj =
=
0, k – четное, j – четное,
−2l1
√
l1l2ω̇2
π2kj
, k – четное, j – нечетное,
2l2
√
l1l2ω̇1
π2kj
, k – нечетное, j – четное,
2
√
l1l2
π2kj
(ω̇2l1 − 2a1ω̇2 − ω̇1l2 + 2a2ω̇1), k – нечетное, j – нечетное.
(12)
3. Решение задачи Коши для бесконечной системы дифферен-
циальных уравнений с управлением. Для исследования влияния дви-
жения тела-носителя на малые колебания пластины положим ω̇1(t) = u1(t),
ω̇2(t) = u2(t) и будем считать функции u1(t) и u2(t) управлениями в линейной
системе (12):
C̈kj + Ckjα
2λkj = φkju1(t) + gkju2(t), λ = (µ1k + µ2j)
2, (k, j) ∈ N
2.
Зададим для полученной бесконечной системы начальные условия при t = 0:
Ckj(0) = C0
kj, Ċkj(0) = V 0
kj.
Так как φkju1(t)+gkju2(t) = 0 при k = 2n, j = 2m, то компоненты решения
Ckj(t) с четными индексами не зависят от выбора управляющих функций, а
это означает, что система (12) является неуправляемой.
С помощью метода вариации произвольных постоянных найдем решение
уравнений (12), удовлетворяющее сформулированным начальным условиям.
В результате запишем формальное решение задачи (6), (2)–(4):
1) при k = 2n, j = 2m, где n,m ∈ N, w(x1, x2, t) =
=
2√
l1l2
∞∑
k,j=1
(
C0
kj cosα
√
λkjt+
V 0
kj
α
√
λkj
sinα
√
λkj
)
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
;
2) при k = 2n, j = 2m+ 1, где n,m ∈ N, w(x1, x2, t) =
=
−4l1
απ2
∞∑
k,j=1
1
kj
√
λkj
t∫
0
u2(τ) sinα
√
λkj(t− τ)dτ
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
+
191
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
+
2√
l1l2
∞∑
k,j=1
(
C0
kj cosα
√
λkjt+
V 0
kj
α
√
λkj
sinα
√
λkj
)
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
;
3) при k = 2n + 1, j = 2m, где n,m ∈ N, w(x1, x2, t) =
=
4l2
απ2
∞∑
k,j=1
1
kj
√
λkj
t∫
0
u1(τ) sinα
√
λkj(t− τ)dτ
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
+
+
2√
l1l2
∞∑
k,j=1
(
C0
kj cosα
√
λkjt+
V 0
kj
α
√
λkj
sinα
√
λkj
)
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
;
4) при k = 2n + 1, j = 2m+ 1, где n,m ∈ N, w(x1, x2, t) =
=
1
απ2
∞∑
k,j=1
4(l1 − 2a1)
kj
√
λkj
t∫
0
u2(τ) sinα
√
λkj(t− τ)dτ
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
+
+
4(2a2 − l2)
απ2
∞∑
k,j=1
1
kj
√
λkj
t∫
0
u1(τ) sinα
√
λkj(t− τ)dτ
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
+
+
2√
l1l2
∞∑
k,j=1
(
C0
kj cosα
√
λkjt+
V 0
kj
α
√
λkj
sinα
√
λkj
)
sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
.
(13)
4. Условия управляемости модели колебаний пластины c беско-
нечным числом модальных координат. Рассмотрим двумерную под-
систему системы (12) для фиксированных индексов (k, j) и сделаем в ней
следующую замену:
{
α
√
λkjCkj = ξkj(t);
Ċkj(t) = ηkj(t),
βkj = α
√
λkj > 0.
Тогда {
ξ̇kj = βkjηkj,
η̇kj = −βkjξkj + φkju1 + gkju2,
(14)
где u1 = ω̇1(t), u2 = ω̇2(t).
Перепишем бесконечную систему (14) в матричном виде
(
ξ̇kj
η̇kj
)
= Akj
(
ξkj
ηkj
)
+Bkj
(
u1
u2
)
, (k, j) ∈ N
2, (15)
192
Колебания пластины Кирхгофа с управлением
где Akj =
(
0 βkj
−βkj 0
)
, Bkj =
(
0 0
φkj gkj
)
.
Утверждение 1. Система (15) является управляемой для фиксирован-
ных индексов (k, j) ∈ N
2 тогда и только тогда, когда φkj 6= 0 или gkj 6= 0.
Справедливость этого утверждения следует из критерия Калмана [4].
Зафиксируем число m и рассмотрим для (15) конечномерную подсистему
с m блоками, которые соответствуют индексам (k1, j1), (k2, j2), ..., (km, jm):
(
ξ̇kpjp
η̇kpjp
)
= Akpjp
(
ξkpjp
ηkpjp
)
+Bkpjp
(
u1
u2
)
, p = 1,m. (16)
Утверждение 2. Система (17) является управляемой только тогда,
когда βk1j1βk2j2 . . . βkmjm 6= 0, и при некотором p: 0 ≤ p ≤ m, выполняется
условие
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φk1j1 φk2j2 . . . φkmjm
β2
k1j1
φk1j1 β2
k2j2
φk2j2 . . . β2
kmjm
φkmjm
...
...
. . .
...
β
2(p−1)
k1j1
φk1j1 β
2(p−1)
k2j2
φk2j2 . . . β
2(p−1)
kmjm
φkmjm
gk1j1 gk2j2 . . . gkmjm
β2
k1j1
gk1j1 β2
k2j2
gk2j2 . . . β2
kmjm
gkmjm
...
...
. . .
...
β
2(q−1)
k1j1
gk1j1 β
2(q−1)
k2j2
gk2j2 . . . β
2(q−1)
kmjm
gkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0, p+ q = m.
Доказательство. Для доказательства данного утверждения восполь-
зуемся критерием Калмана, т.е. проверим, что rank(B,AB, ..., A2m−1B) =
= 2m. Матрицы A и B имеют следующий вид:
A =
Ak1j1 0 . . . 0
0 Ak2j2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . Akmjm
∈ mat(2m×2m), Akpjp =
(
0 βkpjp
−βkpjp 0
)
,
B =
Bk1j1
Bk2j2
...
Bkmjm
∈ mat(2m× 2), Bkpjp =
(
0 0
φkpjp gkpjp
)
.
Обозначим K = (B,AB, ..., A2m−1B). Найдем элементы матрицы K. Для
этого сначала вычислим произведения AB,A2B, ..., A2m−1B:
193
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
AB =
βk1j1φk1j1 βk1j1gk1j1
0 0
βk2j2φk2j2 βk2j2gk2j2
0 0
...
...
...
...
βkmjmφkmjm βkmjmgkmjm
0 0
, A2B =
0 0
−β2
k1j1
φk1j1 −β2
k1j1
gk1j1
0 0
−β2
k2j2
φk2j2 −β2
k2j2
gk2j2
...
...
...
...
0 0
−β2
kmjm
φkmjm −β2
kmjm
gkmjm
,
A2m−1B =
(−1)m−1β2m−1
k1j1
φk1j1 (−1)m−1β2m−1
k1j1
gk1j1
0 0
(−1)m−1β2m−1
k2j2
φk2j2 (−1)m−1β2m−1
k2j2
gk2j2
0 0
...
...
...
...
(−1)m−1β2m−1
kmjm
φkmjm (−1)m−1β2m−1
kmjm
gkmjm
0 0
.
Подставим полученные значения в матрицу K = (B,AB, ..., A2m−1B):
K =
0 0 . . . . . . (−1)m−1β2m−1
k1j1
φk1j1 (−1)m−1β2m−1
k1j1
gk1j1
φk1j1 gk1j1 . . . . . . 0 0
0 0 . . . . . . (−1)m−1β2m−1
k2j2
φk2j2 (−1)m−1β2m−1
k2j2
gk2j2
φk2j2 gk2j2 . . . . . . 0 0
...
...
. . . . . .
...
...
...
... . . .
. . .
...
...
0 0 . . . . . . (−1)m−1β2m−1
kmjm
φkmjm (−1)m−1β2m−1
kmjm
gkmjm
φkmjm gkmjm . . . . . . 0 0
.
1) Для начала рассмотрим случай, когда φk1j1 = 0,..., φkmjm = 0, а gk1j1 6=
6= 0, ..., gkmjm 6= 0, тогда матрица, образованная ненулевыми столбцами ма-
трицы К , будет иметь следующий вид:
K∗ =
0 βk1j1gk1j1 0 . . . (−1)m−1β2m−1
k1j1
gk1j1
gk1j1 0 −β2
k1j1
gk1j1 . . . 0
0 βk2j2gk2j2 0 . . . (−1)m−1β2m−1
k2j2
gk2j2
...
...
...
. . .
...
gkmjm 0 −β2
kmjm
gkmjm . . . 0
.
Полученная матрица K∗ имеет размерность (2m×2m). Найдем ранг этой
матрицы. Для этого рассмотрим ее определитель и приведем его к блочному
194
Колебания пластины Кирхгофа с управлением
виду с помощью перестановок рядов и столбцов. В результате получим
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 βk1j1gk1j1 0 . . . (−1)m−1β2m−1
k1j1
gk1j1
gk1j1 0 −β2
k1j1
gk1j1 . . . 0
0 βk2j2gk2j2 0 . . . (−1)m−1β2m−1
k2j2
gk2j2
...
...
...
. . .
...
gkmjm 0 −β2
kmjm
gkmjm . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
m∏
p=1
(g2kpjpβkpjp)×
×
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 . . . 0 1 −β2
k1j1
. . . (−1)m−1β2m−1
k1j1
...
...
. . .
... 1 −β2
k2j2
. . . (−1)m−1β2m−1
k2j2
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0 1 −β2
kmjm
. . . (−1)m−1β2m−1
kmjm
1 −β2
k1j1
. . . (−1)m−1β2m−1
k1j1
0 0 . . . 0
1 −β2
k2j2
. . . (−1)m−1β2m−1
k2j2
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
1 −β2
kmjm
. . . (−1)m−1β2m−1
kmjm
0 0 . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
m∏
p=1
(
g2kpjpβkpjp
) ∏
1≤l<n≤m
(
β2
kljl
− β2
knjn
)2 6= 0,
так как
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 . . . 1
β2
k1j1
β2
k2j2
. . . β2
kmjm
...
...
. . .
...
β2m−1
k1j1
β2m−1
k2j2
. . . β2m−1
kmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∏
1≤l<n≤m
(
β2
kljl
− β2
knjn
)2 6= 0
является определителем Вандермонда, а βkpjp = a
√
λkpjp > 0 при p = 1,m.
Следовательно, из выше полученного результата можно сделать вывод,
что rank(K∗) = 2m. А это означает, что, согласно критерию Калмана, система
(16) является управляемой.
2) Рассмотрим более общий случай, когда ни одна из компонент матрицы
K не равна нулю. Покажем, что ранг такой матрицы тоже равен 2m. Выберем
из матрицы K определитель порядка 2m и покажем, что он не равен нулю.
Таким образом, при нечетных m мы получим, что
∆1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 0 βk1j1φk1j1 βk1j1gk1j1 . . . . . . 0 βm
k1j1
φk1j1
φk1j1 gk1j1 0 0 . . . . . . βm−1
k1j1
gk1j1 0
0 0 βk2j2φk2j2 βk2j2gk2j2 . . . . . . 0 βm
k2j2
φk2j2
...
...
...
...
. . . . . .
...
...
...
...
...
... . . .
. . .
...
...
0 0 βkmjmφkmjm βkmjmgkmjm . . . . . . 0 βm
kmjm
φkmjm
φkmjm gkmjm 0 0 . . . . . . βm−1
kmjm
gkmjm 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
195
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
а при четном m:
∆2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 βk1j1φk1j1 . . . . . . βm−1
k1j1
φk1j1 βm−1
k1j1
gk1j1
φk1j1 gk1j1 0 . . . . . . 0 0
0 0 βk2j2φk2j2 . . . . . . βm−1
k2j2
φk2j2 βm−1
k2j2
gk2j2
φk2j2 gk2j2 0 . . . . . . 0 0
...
...
...
. . . . . .
...
...
...
...
... . . .
. . .
...
...
0 0 βkmjmφkmjm . . . . . . βm−1
kmjm
φkmjm βm−1
kmjm
gkmjm
φkmjm gkmjm 0 . . . . . . 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
С помощью элементарных операций с определителями получим, что
∆1 = ±βk1j1βk2j2 ...βkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φk1j1 φk2j2 . . . φkmjm
gk1j1 gk2j2 . . . gkmjm
...
...
. . .
...
βm−1
k1j1
φk1j1 βm−1
k2j2
φk2j2 . . . βm−1
kmjm
φkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
.
Аналогично,
∆2 = ±βk1j1βk2j2 ...βkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φk1j1 φk2j2 . . . φkmjm
gk1j1 gk2j2 . . . gkmjm
...
...
. . .
...
βm−2
k1j1
gk1j1 βm−2
k2j2
gk2j2 . . . βm−2
kmjm
gkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
.
Определители будут отличны от нуля только в том случае, когда будут
выполняться следующие условия. Во-первых, βk1j1βk2j2 ...βkmjm 6= 0, это усло-
вие выполняется всегда, так как βkmjm = α
√
λkmjm > 0; во-вторых, при не-
котором p, таком, что 0 ≤ p ≤ m, определитель
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φk1j1 φk2j2 . . . φkmjm
β2
k1j1
φk1j1 β2
k2j2
φk2j2 . . . β2
kmjm
φkmjm
...
...
. . .
...
β
2(p−1)
k1j1
φk1j1 β
2(p−1)
k2j2
φk2j2 . . . β
2(p−1)
kmjm
φkmjm
gk1j1 gk2j2 . . . gkmjm
β2
k1j1
gk1j1 β2
k2j2
gk2j2 . . . β2
kmjm
gkmjm
...
...
. . .
...
β
2(q−1)
k1j1
gk1j1 β
2(q−1)
k2j2
gk2j2 . . . β
2(q−1)
kmjm
gkmjm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0. (17)
Таким образом доказано, что система (16) является управляемой, если
выполняется условие (17). �
196
Колебания пластины Кирхгофа с управлением
Рассмотрим систему для всяких пар индексов (k, j) таких, что k и j не
являются четными числами одновременно, т.е.
(
ξ̇kj
η̇kj
)
= Akj
(
ξkj
ηkj
)
+Bkj
(
u1
u2
)
, (k, j) ∈ L, (18)
где L = {(k, j) ∈ N
2 : j – нечетное или k – нечетное}.
Напомним [5], что система (18) является спектрально управляемой, если
для любого конечного числа m и различных пар индексов (kp, jp) ∈ L, где
p = 1,m, соответствующая система (16) управляема.
Таким образом, из Утверждения 2 следует результат о спектральной
управляемости системы (18).
Утверждение 3. Система (18) является спектрально управляемой
только тогда, когда для произвольного набора различных пар индексов
(k1, j1), (k2, j2), ... , (kR, jR) ∈ L выполняются следующие условия:
βk1j1βk2j2 . . . βkRjR 6= 0 и при некотором n: 0 ≤ n ≤ R
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φk1j1 φk2j2 . . . φkRjR
β2
k1j1
φk1j1 β2
k2j2
φk2j2 . . . β2
kRjR
φkRjR
...
...
. . .
...
β
2(p−1)
k1j1
φk1j1 β
2(p−1)
k2j2
φk2j2 . . . β
2(p−1)
kRjR
φkRjR
gk1j1 gk2j2 . . . gkRjR
β2
k1j1
gk1j1 β2
k2j2
gk2j2 . . . β2
kRjR
gkRjR
...
...
. . .
...
β
2(q−1)
k1j1
gk1j1 β
2(q−1)
k2j2
gk2j2 . . . β
2(q−1)
kRjR
gkRjR
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0.
Выводы. В работе предложена математическая модель управляемого
движения механической системы, которая состоит из твердого тела и упру-
гой пластины Кирхгофа. Отметим, что твердое тело вращается не вокруг
фиксированной оси, а выполняет вращательное движение с тремя степенями
свободы. Динамика этой системы описана с помощью уравнения в частных
производных (6) с граничными условиями (2)–(4). Специальная форма грани-
чных условий (2)–(4), которые отвечают шарнирно опертой пластине, позво-
ляет разделить переменные x1, x2, t и свести задачу о собственных значениях
бигармонического оператора ∆2 к паре задач Штурма–Лиувилля второго по-
рядка (7) и (8). Предлагается схема сведения уравнения движения с частными
производными к бесконечной системе дифференциальных уравнений (12), а
также получено в явном виде решение задачи Коши (13) для этой системы в
линейном приближении.
Основными результатами работы являются Утверждение 2 об управляе-
мости механической системы для произвольного конечного набора координат
и Утверждение 3 о спектральной управляемости.
197
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Представляет дальнейший интерес исследование точной управляемости
системы (12) на инвариантном многообразии с использованием метода мо-
ментов.
1. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления
упругими космическими аппаратами. – М.: Машиностроение, 1986. – 214 с.
2. Zuyev A.L. Approximate Controllability of a Rotating Kirchhoff Plate Model // Proc.
49th IEEE Conference on Decision and Control. – Atlanta (USA). – 2010. – P. 6944–6948.
3. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М: Физматгиз, 1961. – 824 с.
4. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Тр. I конгресса ИФАК. – 2. –
М.: Изд-во АН СССР, 1961. – С. 521–547.
5. Lagnese J.E., Leugering G. Controllability of Thin Elastic Beams and Plates // The control
handbook (W.S. Levine ed.). – Boca Raton: CRC Press – IEEE Press, 1996. – P. 1139–1156.
A.L. Zuyev, Yu.V. Novikova
Small oscillations of a Kirchhoff plate with two-dimensional control
In this paper, a mechanical system model consisting of a rigid body and thin elastic plate is
constructed. A reduction scheme that allows transforming the equations of motion with partial
derivatives to an infinite system of ordinary differential equations is proposed. Controllability
conditions are obtained for a model in a finite dimensional state space. Conditions of spectral
controllability are studied as well.
Keywords: Kirchhoff plate, Fourier method, controllability.
О.Л. Зуєв, Ю.В. Новiкова
Малi коливання пластини Кiрхгофа з двовимiрним керуванням
Побудовано модель механiчної системи, що складається з твердого тiла та тонкої пружної
пластини, а також запропоновано схему зведення рiвнянь руху з частинними похiдними до
нескiнченної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Одержано умови керованостi
моделi у скiнченновимiрному фазовому просторi, а також умови спектральної керованостi.
Ключовi слова: пластина Кiрхгофа, метод Фур’є, керованiсть.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины,
Донецкий национальный ун-т
al_zv@mail.ru, yuliya.novikova.88@mail.ru
Получено 09.09.11
198
|