Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения. Считается, что тело динам...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71593 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 199-209. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715932014-12-07T03:01:49Z Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения. Считается, что тело динамически несимметрично. Определены оптимальный закон управления для торможения вращений твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории. Дослiджено задачу про оптимальне за швидкодiєю гальмування обертань вiльного твердого тiла. Передбачається, що тiло мiстить сферичну порожнину, яка заповнена рiдиною великої в’язкостi. Крiм того, на тверде тiло дiє малий гальмуючий момент в’язкого тертя. Вважається, що тiло динамiчно несиметричне. Визначено оптимальний закон керування для гальмування обертань твердого тiла в формi синтезу, час швидкодiї та фазовi траєкторiї. The problem of time-optimal deceleration of rotation of a free solid body is studied. It is assumed that the body contains spherical cavity filled with highly viscous liquid. Low decelerating torque of viscous friction also acts on the solid body. The body is assumed to be dynamically asymmetric. The optimal control law for deceleration of rotation of the solid body in the form of synthesis, the optimal time, and the phase trajectories are determined. 2011 Article Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 199-209. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71593 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения. Считается, что тело динамически несимметрично. Определены оптимальный закон управления для торможения вращений твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории. |
| format |
Article |
| author |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. |
| spellingShingle |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением Механика твердого тела |
| author_facet |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. |
| author_sort |
Акуленко, Л.Д. |
| title |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| title_short |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| title_full |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| title_fullStr |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| title_sort |
оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71593 |
| citation_txt |
Оптимальное по быстродействию торможение вращений несимметричного квазитвердого тела в среде с сопротивлением / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 199-209. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT akulenkold optimalʹnoepobystrodejstviûtormoženievraŝenijnesimmetričnogokvazitverdogotelavsredessoprotivleniem AT leŝenkodd optimalʹnoepobystrodejstviûtormoženievraŝenijnesimmetričnogokvazitverdogotelavsredessoprotivleniem AT račinskaâal optimalʹnoepobystrodejstviûtormoženievraŝenijnesimmetričnogokvazitverdogotelavsredessoprotivleniem |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:24Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:24Z |
| _version_ |
1836840433912643584 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 62-50
c©2011. Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ТОРМОЖЕНИЕ
ВРАЩЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНОГО КВАЗИТВЕРДОГО ТЕЛА
В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободно-
го твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную
жидкостью большой вязкости. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий
момент сил вязкого трения. Считается, что тело динамически несимметрично. Определены
оптимальный закон управления для торможения вращений твердого тела в форме синтеза,
время быстродействия и фазовые траектории.
Ключевые слова: оптимальное торможение, вращение, твердое тело.
Введение. Анализ движения гибридных систем, т.е. объектов, содержа-
щих элементы с распределенными и сосредоточенными параметрами, пред-
ставляет интерес в теоретическом и прикладном аспектах. Он может быть
проведен в рамках теории сингулярно-возмущенных задач. Получены ва-
жные результаты для систем, содержащих квазитвердые тела. Предполага-
ется, что поступательно-вращательные движения таких систем близки (при
некоторых условиях) движению абсолютно твердых тел. Влияние неидеаль-
ностей сводится к эффектам типа “временных погранслоев” и к наличию до-
полнительных возмущающих моментов в уравнениях Эйлера углового дви-
жения некоторого фиктивного твердого тела после завершения переходных
процессов.
Анализу пассивных движений твердого тела с полостью, заполненной вяз-
кой жидкостью, в сопротивляющейся среде уделялось большое внимание [1–
6]. Проблема управления вращениями квазитвердых тел при помощи сосре-
доточенных (приложенных к корпусу) моментов сил менее исследована. Уда-
лось выделить класс систем, приводящих к гладким управляющим воздей-
ствиям и дающих возможность применения методов сингулярных возмуще-
ний без накопления погрешностей типа “погранслоев”, возникающих в случае
разрывных, в частности, релейных управлений [7–9].
Ниже исследуется задача оптимального по быстродействию торможения
вращений динамически несимметричного тела со сферической полостью, за-
полненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рейнольдса).
Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил ли-
нейного сопротивления среды. Управление вращениями производится с по-
мощью момента сил, ограниченного по модулю; он может быть реализован по-
средством верньерных реактивных двигателей [7]. Рассматриваемая модель
обобщает результаты, полученные ранее в [7–12]. В статье [8] изучена зада-
ча оптимального торможения вращений динамически симметричного тела,
содержащего вязкоупругий элемент и полость, заполненную жидкостью. В
199
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
работе [9] исследована задача об оптимальном по быстродействию тормо-
жении вращений динамически симметричного твердого тела со сферической
полостью, заполненной жидкостью большой вязкости, и подвижной массой,
соединенной с телом посредством упругой связи с квадратичной диссипа-
цией. В [10] рассмотрена задача оптимального по быстродействию тормо-
жения вращений динамически симметричного тела с полостью, заполненной
жидкостью большой вязкости. При этом на твердое тело действует малый
тормозящий момент сил вязкого трения внешней среды. В [11] исследована
задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамиче-
ски несимметричного тела в среде с сопротивлением. В статье [12] изучена
оптимальная стабилизация вращений гиростата с вязкоупругим элементом в
сопротивляющейся среде.
В монографии [7] получены приближенные решения возмущенных задач
оптимального по быстродействию торможения вращений твердых тел относи-
тельно центра масс, в том числе объектов с внутренними степенями свободы,
имеющих приложения в динамике космических и летательных аппаратов.
Изучено торможение тел, имеющих полость с вязкой жидкостью. Рассмотре-
ны случаи осесимметричного и несимметричного в невозмущенном состоянии
тел со сферической полостью, заполненной жидкостью большой вязкости.
Проведен анализ торможения возмущенных вращений твердого тела, близ-
кого к сферическо–симметричному, под действием момента сил линейного
сопротивления среды.
1. Постановка задачи. Рассматривается динамически несимметри-
чное твердое тело, моменты инерции которого для определенности удовле-
творяют неравенству A1 > A2 > A3. На основе подхода [7] уравнения управ-
ляемых вращений в проекциях на оси связанной с твердым телом системы
координат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [1, 4, 5, 7]
Jω̇ + [ω × Jω] = M
u +M
r +M
c. (1)
Здесь ω = (p, q, r) – вектор абсолютной угловой скорости; J = diag(A1, A2, A3)
– тензор инерции тела, Mu – вектор управляющего момента сил; Mr – мо-
мент сил диссипации; M
c – момент сил вязкой жидкости в полости тела.
Кинетический момент тела определяется стандартным образом
G = Jω, G = (G1, G2, G3) , G1 = A1p, G2 = A2q, G3 = A3r,
где G = |G| =
(
G2
1
+G2
2
+G2
3
) 1
2 – его величина.
Для упрощения задачи в систему (1) далее вносятся структурные ограни-
чения, в частности, предполагается, что допустимые значения момента управ-
ляющих сил M
u принадлежит шару [7]. Это допущение не противоречит рас-
пределению масс и форме твердого тела и часто применяется в исследованиях
задач управления ориентацией. Считается также, что диагональный тензор
момента сил внешнего сопротивления пропорционален тензору момента сил
200
Оптимальное по быстродействию торможение вращений
инерции, т.е. момент сил диссипации пропорционален кинетическому момен-
ту
M
r = −λJω. (2)
Здесь λ – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности, завися-
щий от свойств среды. Сопротивление, действующее на тело, представлено
парой приложенных сил. При этом проекции момента этой пары на глав-
ные оси инерции тела являются величинами λA1p, λA2q, λA3r [4, 5]. Такое
предположение не является противоречивым.
Далее предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз-
кости, т.е. ϑ ≫ 1
(
ϑ−1 ∼ ε≪ 1
)
. Форма полости считается близкой к сфери-
ческой, тогда, следуя [1], для тензора вязких сил P̃ имеем выражение
P̃ = Pdiag(1, 1, 1), P =
8πρa7
525ϑ
. (3)
Здесь ρ, ϑ – плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в
полости соответственно, a – радиус полости.
Тензор P̃ , зависящий только от формы полости, характеризует внутрен-
ний диссипативный момент сил в квазистатическом приближении, обуслов-
ленный вязкой жидкостью в полости. Для простоты в уравнениях (1) рас-
смотрен так называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной
величиной P > 0. Компоненты этого тензора имеют вид P̃ij = Pδij , где δij –
символы Кронекера (такой вид тензор P̃ имеет, например, в случае сфериче-
ской полости). Если форма полости существенно отличается от сферической,
то определение компонент тензора представляет значительные вычислитель-
ные трудности.
Предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил M
u
ограничены сферой
M
u = bu, |u| ≤ 1, b = b(t,G), 0 < b∗ ≤ b < b∗ <∞, (4)
где b – скалярная функция, ограниченная в рассматриваемой области измене-
ния аргументов t, G согласно условиям (4). Эта область определяется апри-
ори или может быть оценена через начальные данные для G, G(t0) = G
0.
Далее полагаем, что b = b(t,G) (либо b = b(t) или b = const).
Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений
ω(t0) = ω0, ω(T ) = 0, T → minu, |u| ≤ 1. (5)
Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u =
= u(t, ω), соответствующую ему траекторию ω(t, t0, ω
0) и время быстродей-
ствия T = T (t0, ω
0), а также функцию Беллмана W = T (t, ω).
На основе динамического программирования и неравенства Шварца при
упрощающем условии на коэффициент b (b (t,G) = b0 (t,G), нуль в индексе
201
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
далее опускается) строится синтез оптимального по быстродействию управ-
ления, которое имеет вид [7]
Mp = −b
A1p
G
, Mq = −b
A2q
G
, Mr = −b
A3r
G
, b = b(t,G). (6)
Момент сил вязкой жидкости в полости M
c с учетом внешних силовых
факторов согласно [1] определяется следующим образом:
M
c =
Pρ
ν
m1
m2
m3
,
m1 = p
(
λ2 +
b2
G2
)
+
2λb
G
p+ (7)
+
1
A1
(
λ+
b
G
)(
3qr (A3 −A2) +
Gα33
1− α2
33
q
(
α2
31 + α2
32
)
−Grα32
)
+
+
p
A1A2A3
[
q2A2(A1 −A2)(A2 −A3 +A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 +A1)
]
.
Выражения для m2, m3 получаются из m1 в (7) циклической переста-
новкой величин A1, A2, A3 и p, q, r. При этом коэффициенты, содержащие
λ, остаются неизменными. Направляющие косинусы αij выражаются через
углы Эйлера ϕ, ψ, θ по известным формулам [13].
Без учета влияния M
u и M
r на M
c с точностью до величины первого
порядка малости ε момент сил вязкой жидкости в полости имеет вид
M
c =
P
A1A2A3
×
×
p
[
q2A2(A1 −A2)(A2 −A3 +A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 +A1)
]
q
[
r2A3(A2 −A3)(A3 −A1 +A2)+ p2A1(A2 −A1)(A1 −A3 +A2)
]
r
[
p2A1(A3 −A1)(A1 −A2 +A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 +A3)
]
. (8)
Ограничимся указанным выражением в первом приближении. Упрощен-
ные на основе выражения (8) уравнения управляемого движения (1) в прое-
кциях на главные центральные оси инерции имеют вид
A1ṗ+ (A3 −A2) qr = −b
A1p
G
− λA1p+
P
A1A2A3
p
[
q2A2(A1 −A2)×
×(A2 −A3 +A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 +A1)
]
,
A2q̇ + (A1 −A3) pr = −b
A2q
G
− λA2q +
P
A1A2A3
q
[
r2A3(A2 −A3)×
×(A3 −A1 +A2) + p2A1(A2 −A1)(A1 −A3 +A2)
]
,
A3ṙ + (A2 −A1) pq = −b
A3r
G
− λA3r +
P
A1A2A3
r
[
p2A1(A3 −A1)×
×(A1 −A2 +A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 +A3)
]
.
(9)
202
Оптимальное по быстродействию торможение вращений
Кинематические соотношения не выписываем, так как уравнения (9) обра-
зуют замкнутую систему. Уравнения (9) подвергаются дальнейшему анализу.
2. Решение задачи оптимального торможения. Отметим, что мо-
мент сил, обусловленный вязкой жидкостью в полости, является внутренним,
а момент сил линейного сопротивления среды – внешним. Домножим первое
уравнение (9) на G1 , второе – на G2 , третье – на G3 и сложим (скалярное
умножение G ·G). Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрирова-
нию,
Ġ = −b (t,G)− λG, G(t0) = G0. (10)
После интегрирования задачи Коши (10) из условия остановки вращений
(5) имеем искомые выражения для времени быстродействия T = T
(
t0, G
0
)
и
функции Беллмана T = T (t,G). Напомним, что G = Jω.
В общем случае для произвольной функции b = b(t,G) в (10) аналитиче-
ское интегрирование задачи Коши затруднительно: возможно ее численное
решение. Из уравнений (10) следует, что эволюция величины кинетического
момента G происходит под влиянием управляющего момента и сопротивле-
ния среды. Внутренний момент сил вязкой жидкости в полости влияния не
оказывает.
В предположении b = b (t), т.е. функция b (t) не зависит от модуля G,
приходим к решению краевой задачи (10), (5)
G(t) = G0 exp (−λ (t− t0))−
t
∫
t0
b(τ) exp (−λ(t− τ)) dτ, (11)
где G0 = exp (−λt0)
T
∫
t0
b(τ) exp (λτ) dτ.
Решение уравнения (11) относительно неизвестной T , согласно (4), все-
гда существует, что приводит к построению решения задачи оптимального
быстродействия в форме синтеза. Здесь t – текущее время процесса тормо-
жения, T – время быстродействия.
При b = const и t0 = 0 решения уравнения (10) и краевой задачи (11)
записываются следующим образом:
G(t) =
1
λ
[(
G0λ+ b
)
exp(−λt)− b
]
, T =
1
λ
ln(G0
λ
b
+ 1). (12)
Далее детально анализируется случай (12). Домножим первое уравнение
(9) на p, второе – на q, третье – на r и сложим. В результате имеем выражение
для производной от кинетической энергии H
Ḣ = −
2bH
G
− 2λH +
P
A1A2A3
[
p2q2 (A1 −A2)
2 (A3 −A1 −A2)+
+p2r2 (A1 −A3)
2 (A2 −A1 −A3) + q2r2 (A2 −A3)
2 (A1 −A2 −A3)
]
.
(13)
203
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Рассмотрим невозмущенное движение (b = λ = ε = 0). Напомним, что в
полости находится жидкость большой вязкости и ϑ−1 ∼ ε ≪ 1, где ϑ – ки-
нематический коэффициент вязкости. При отсутствии возмущений вращение
твердого тела является движением Эйлера–Пуансо. Переменные G, H стано-
вятся постоянными, а ϕ, ψ, θ – некоторые функции времени t. Медленными
переменными в возмущенном движении будут G, H, а быстрыми – углы Эй-
лера ϕ, ψ, θ.
Рассмотрим движение при условии 2HA1 ≥ G2 > 2HA2, соответствую-
щем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наи-
большего момента инерции Oz1. Введем величину
k2 =
(A2 −A3)
(
2HA1 −G2
)
(A1 −A2) (G2 − 2HA3)
(
0 ≤ k2 ≤ 1
)
, (14)
представляющую собой в невозмущенном движении постоянную: модуль эл-
липтических функций, описывающих это движение, однозначно связанный с
величиной кинетического момента G и кинетической энергии H.
Для построения усредненной системы первого приближения подставим
решение невозмущенного движения Эйлера–Пуансо в правую часть уравне-
ния (13) и проведем усреднение по переменной ψ, а затем по времени t с
учетом зависимости ϕ, θ от t. При этом для медленных переменных G, H
сохраняются прежние обозначения. В результате получим
dH
dt
= −
2bH
G
− 2λH −
4PH2(A1 −A3)(A1 −A2)(A2 −A3)
3A2
1
A2
2
A2
3
S2(k)
×
×
{
A2(A1 −A3)(A1 +A3 −A2)
[
k2V (k)− U(k)
]
+
+A1(A2 −A3)(A3 +A2 −A1)
[
(k2 − 2)U(k) + k2
]
+
+A3(A1 −A2)(A1 +A2 −A3)
[
(1− 2k2)U(k) + k2
]}
,
(15)
где U(k) = 1−
E(k)
K(k)
, S2(k) =
[
A2 −A3 + (A1 −A2) k
2
]2
, V (k) = 1+
E(k)
K(k)
.
Здесь K(k) и E(k) – полные эллиптические интегралы первого и второ-
го рода соответственно [14]. Из уравнения (15) следует, что под влиянием
сопротивления среды и момента сил вязкой жидкости в полости тела, а та-
кже управляющего момента происходит эволюция кинетической энергии те-
ла H. Выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части уравнения
(15) положительно (при A1 > A2 > A3 ), так как справедливы неравенства
(1 − k2)K ≤ E ≤ K [14]. Поэтому dH/dt < 0 поскольку H > 0, т.е. перемен-
ная H строго убывает для любых k2 ∈ [0, 1]. Заметим, что уравнение (15) при
G→ 0 обладает существенной особенностью.
Дифференцируя выражение (14) для k2 с учетом (15), получим диффе-
204
Оптимальное по быстродействию торможение вращений
ренциальное уравнение следующего вида
dk2
dt
=
PG2 (A1 −A3) [A2 (A1 +A3 −A2) + 2A1A3]
3A2
1
A2
2
A2
3
×
×
{
(1− χ)(1− k2)− [(1 − χ) + (1 + χ)k2]
E(k)
K(k)
}
,
(16)
χ =
3A2[(A
2
1
+A2
3
)−A2(A1 +A3)]
(A1 −A3)[A2(A1 +A3 −A2) + 2A1A3]
.
Уравнения (15), (16) получены методом усреднения [1, 2, 15]. Это соо-
тветствует тому, что кинетическая энергия вращения тела много больше ве-
личины управляющего вектора, сопротивление среды предполагается слабым
порядка малости ε, полость заполнена жидкостью большой вязкости.
Значению k2 = 1 отвечает равенство 2HA2 = G2, что соответствует сепа-
ратрисе для движения Эйлера–Пуансо. Уравнение (16) описывает усреднен-
ное движение конца вектора кинетического момента G на сфере радиуса G.
Отметим, что на эволюцию k2 оказывает влияние только момент сил вязкой
жидкости в полости и в силу того, что это уравнение интегрируется само-
стоятельно, происходит частичное разделение влияния момента сил вязкой
жидкости в полости, а также управляющего момента и момента сопротив-
ления. Анализ уравнения (16) свидетельствует об отсутствии стационарных
значений k, кроме k = 0 и k = 1.
3. Численный расчет. Проведем обезразмеривание уравнений (15),
(16) и дифференциального уравнения изменения кинетического момента при
b = const. В качестве характерных параметров задачи возьмем значение ки-
нетического момента в начальный момент времени G0 = G(t0), время быстро-
действия T из (12) и обозначим G̃ = G/G0, t̃ = t/T. Значение безразмерной
кинетической энергии вводится согласно [1]: H̃ = 2HA1/G
2
0
.
Получим безразмерную систему следующего вида:
dG̃
dt̃
= −
( b
G0
+ λG̃
)
T,
dk2
dt̃
=
PTG̃2G2
0
(A1 −A3)[A2(A1 +A3 −A2) + 2A1A3]
3A3
1
A2
2
A2
3
×
×
{
(1− χ)(1− k2)− [(1 − χ) + (1 + χ)k2]
E(k)
K(k)
}
,
dH̃
dt̃
= −T
(
2bH̃
G̃G0
+ 2λH̃ +
4PG2
0
H̃2(A1 −A3)(A1 −A2)(A2 −A3)
3A3
1
A2
2
A2
3
S2(k)
×
×
{
A2(A1 −A3)(A1 +A3 −A2)
[
k2V (k)− U(k)
]
+
+A1(A2 −A3)(A3 +A2 −A1)
[
(k2 − 2)U(k) + k2
]
+
+A3(A1 −A2)(A1 +A2 −A3)
[
(1− 2k2)U(k) + k2
]}
)
.
(17)
205
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Выше проведено усреднение, так как из выражений (13), (14) следует, что
H и k2 являются медленными переменными.
Проведем численное интегрирование системы (17) на промежутке време-
ни [0, 1], который соответствует полному торможению тела. Расчет соответ-
ствует начальным значениям функций G̃(0) = G0 = 1, H̃(0) = 1 и k2(0) ≈ 1.
Для моментов инерции задаются значения [1]: A1 = 8, A2 = 6, A3 = 4. Ин-
тегрирование проводится при различных значениях λ, b, P , что позволяет
провести исследование влияния различных силовых факторов на характер
торможения твердого тела. Для каждого расчетного случая первоначально
определялось время быстродействия, затем в соответствующем временном
диапазоне проводился расчет характеристик движения твердого тела.
На рис. 1, 2 представлен численный анализ при P = 10−1, b = 10−1 и
λ = 0.5, 10−1, 10−2 (кривые 1–3). Видно, что при уменьшении момента сил
G̃
1.2
0.8
0.4
0
0 0.4 0.8 1.2 t̃
H̃
1.2
0.8
0.4
0
0 0.4 0.8 1.2 t̃
Рис. 1 Рис. 2
сопротивления среды, торможение твердого тела происходит с меньшим гра-
диентом, а изменение модуля кинетического момента имеет почти прямоли-
нейный характер (кривая 3, рис. 1). На рис. 3, 4 представлены результаты
G̃
1.2
0.8
0.4
0
0 0.4 0.8 1.2 t̃
H̃
1.2
0.8
0.4
0
0 0.4 0.8 1.2 t̃
Рис. 3 Рис. 4
206
Оптимальное по быстродействию торможение вращений
расчета при P = 10−1, λ = 10−1 и b = 10−2, 5 · 10−2, 5 · 10−1 (кривые 1–
3). Видно, что при увеличении момента управляющих сил (кривая 3, рис. 4),
торможение твердого тела происходит быстрее, а изменение модуля кинетиче-
ского момента носит почти прямолинейный характер при большем значении
b (кривая 3, рис. 3). Изменение величины P от 1 до 10−2 не приводит к изме-
нению характера функций G̃ = G̃(t̃) и H̃ = H̃(t̃), так как момент сил вязкой
жидкости в полости не входит в первое уравнение системы (17), а его влия-
ние на изменение кинетической энергии мало по сравнению с воздействием
момента сил сопротивления и управляющего момента.
Следует отметить, что, согласно численному расчету для указанных зна-
чений величин λ, b, P , значение модуля эллиптических функций k2 убывает
незначительно от величины порядка 1 до 0.9996.
4. Решение задачи оптимального торможения в предположении
b = b0+βt. Время торможения твердого тела может быть определено согла-
сно (10) и зависит от значений коэффициентов β, b0 и λ, характеризующих
управляющий момент и момент сил сопротивления соответственно.
Результаты проведенного численного интегрирования показали характер
зависимости времени торможения от этих параметров (см. рис. 5). Кривая 1
– зависимость времени торможения от параметра β, кривая 2 – от параме-
тра b0, 3 – от параметра λ. Расчет времени торможения для каждой кривой
проводился в диапазоне от 0.01 до 0.5 для соответствующей величины, при
этом значения остальных параметров были равны 0.1. Видно, что для всех
кривых время торможения минимальное для наибольших значений параме-
тров из допустимого диапазона. Кривые 2 и 3 имеют линейный характер, а
кривая 1 – экспоненциальный. Наименьшее время торможения твердого тела
получено для параметра b0, который характеризует значение управляющего
момента в начальный момент времени.
Система уравнений движения (17) была численно проинтегрирована для
различных значений параметров P , λ, b0 и β с учетом закономерности
b = b0 + βt.
Рис. 3 (кривые 4–5) соответствует численному расчету для постоянных
параметров момента сил сопротивления и момента сил вязкой жидкости в
полости P = 0.1, λ = 0.1 при различных значениях параметров управляю-
щего момента. Кривая 4: b0 = 0.1, β = 0.1. Кривая 5: b0 = 0.01, β = 0.1.
Характер поведения функции G̃ = G̃(t̃) при данном законе изменения управ-
ляющего момента существенно отличается от характера поведения функции
кинетического момента при b = const.
Проводилось численное интегрирование для постоянных параметров
управляющего момента для закона b = b0 + βt при различных значениях
параметра момента сил сопротивления. Для P = 0.1, β = 0.1 и b0 = 0.1 ре-
зультаты численного расчета представлены на рис. 1, где кривая 4: λ = 0.1,
кривая 5: λ = 0.01. Видно, что тело тормозится быстрее для больших зна-
чений коэффициента момента сил сопротивления среды. Характер убывания
функции кинетического момента отличается от вида функции, представлен-
ного на рис. 3. Согласно численному анализу, можно сделать вывод о том,
207
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
T
5
3
1
0 0.2 0.4 β, b0, λ
H̃
1.2
0.8
0.4
0
0 0.4 0.8 1.2 t̃
Рис. 5 Рис. 6
что торможение тела при b = const происходит быстрее в первой половине
безразмерного времени t̃, а при b = b0 + βt – во второй.
На рис. 6 представлены результаты численного расчета кинетической
энергии твердого тела при b = b0 + βt. Приняты следующие значения па-
раметров возмущающих моментов: P = 0.1, λ = 0.1. Параметры управляю-
щего момента имеют значения: кривая 1 – b0 = 0.01, β = 0.01, кривая 2 –
b0 = 0.1, β = 0.1, кривая 3 – b0 = 0.01, β = 0.1. Характер поведения функции
кинетической энергии не отличается от представленной на рис. 2. При этом
функция H̃ = H̃(t̃) при b = b0 + βt убывает с меньшими градиентами.
Заключение. Аналитически и численно исследована задача синтеза
оптимального по быстродействию торможения вращений динамически несим-
метричного квазитвердого тела в сопротивляющейся среде. В рамках асим-
птотического подхода определены управление, время быстродействия (фун-
кция Беллмана), эволюции модуля эллиптических функций k2, безразмерных
кинетической энергии и кинетического момента. Установлены качественные
свойства оптимального движения.
1. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жид-
костью при малых числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1965. –
5, вып.6. – С. 1049–1070.
2. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция вращений спутника с по-
лостью, заполненной вязкой жидкостью // Механика твердого тела. – 2007. – вып. 37.
– С. 126–139.
3. Акуленко Л. Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое вращение вокруг неподви-
жной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. – 1982. – № 3. – С. 5–13.
4. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов:
Аналитические методы. – М.: Наука, 1985. – 288 с.
5. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.II. – М.: Наука, 1983. – 544 с.
6. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция вращения спутника под
действием гравитационного момента в среде с сопротивлением // Изв. РАН. Механика
твердого тела. – 2008. – № 2. – С. 13–26.
7. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. – М.: Наука,
1987. – 368 с.
208
Оптимальное по быстродействию торможение вращений
8. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Оптимальное торможение вращений твердого тела с
внутренними степенями свободы // Изв РАН. Теория и системы управления. – 1995.
– № 2. – С. 115–122.
9. Лещенко Д.Д. Оптимальное по быстродействию торможение вращений твердого тела
с внутренними степенями свободы // Там же. – 1996. – № 1. – С. 80–85.
10. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Оптимальное торможение вращений
динамически симметричного тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в со-
противляющейся среде // Там же. – 2010. – №2. – С. 56–60.
11. Акуленко Л.Д., Зинкевич Я.С., Лещенко Д.Д. Оптимальное торможение вращений
динамически несимметричного тела в сопротивляющейся среде // Там же. – 2011. –
№ 1. – С. 16–21.
12. Зинкевич Я.С., Козаченко Т.С., Рачинская А.Л., Лещенко Д.Д. Оптимальное тор-
можение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротив-
лением // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 152–161.
13. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.:
Наука, 1965. – 416 с.
14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. –
М.: Наука, 1971. – 1108 с.
15. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных
систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 с.
L.D. Akulenko, D.D. Leshchenko, A.L. Rachinskaya
Optimal deceleration of rotation of asymmetric quasi-solid body
in a resistant medium
The problem of time-optimal deceleration of rotation of a free solid body is studied. It is as-
sumed that the body contains spherical cavity filled with highly viscous liquid. Low decelerating
torque of viscous friction also acts on the solid body. The body is assumed to be dynamically
asymmetric. The optimal control law for deceleration of rotation of the solid body in the form
of synthesis, the optimal time, and the phase trajectories are determined.
Keywords: optimal deceleration, rotation, solid body.
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинська
Оптимальне за швидкодiєю гальмування несиметричного
квазiтвердого тiла в середовищi з опором
Дослiджено задачу про оптимальне за швидкодiєю гальмування обертань вiльного твер-
дого тiла. Передбачається, що тiло мiстить сферичну порожнину, яка заповнена рiдиною
великої в’язкостi. Крiм того, на тверде тiло дiє малий гальмуючий момент в’язкого тертя.
Вважається, що тiло динамiчно несиметричне. Визначено оптимальний закон керування
для гальмування обертань твердого тiла в формi синтезу, час швидкодiї та фазовi траєкто-
рiї.
Ключовi слова: оптимальне гальмування, обертання, тверде тiло.
Ин-т проблем механики РАН им.А.Ю.Ишлинского, Москва, Россия
Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса, Украина
Одесский национальный ун-т им.И.И.Мечникова, Украина
leshchenko_d@ukr.net, rachinskaya@onu.edu.ua
Получено 14.09.11
209
|