Редуцированный наблюдатель механических систем
Рассматривается задача построения нелинейного наблюдателя пониженного порядка для механических систем, приведенных к виду, при котором правые части дифференциальных уравнений, описывающих их движение, являются линейными функциями относительно неизвестных компонент фазового вектора. Предложена схема...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71595 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Редуцированный наблюдатель механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 216-224. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71595 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-715952014-12-07T03:01:46Z Редуцированный наблюдатель механических систем Щербак, В.Ф. Рассматривается задача построения нелинейного наблюдателя пониженного порядка для механических систем, приведенных к виду, при котором правые части дифференциальных уравнений, описывающих их движение, являются линейными функциями относительно неизвестных компонент фазового вектора. Предложена схема построения нелинейного наблюдателя, порядок которого равен размерности ненаблюдаемых компонент. В качестве приложения рассмотрена задача определения вектора угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, по измерениям ее проекции на одну из связанных с телом осей. Розглянуто задачу побудови нелiнiйного спостерiгача зниженого порядку для механiчних систем, якi приведено до виду, при якому правi частини диференцiальних рiвнянь, що описують їх рух, є лiнiйними функцiями щодо невiдомих компонент фазового вектора. Запропонований у роботi спосiб засновано на синтезi iнварiантних спiввiдношень для розширеної системи диференцiальних рiвнянь, якi розглядаються як додатковi алгебраїчнi рiвняння для невiдомих компонент стану системи. Як додаток розглянуто задачу визначення вектора кутової швидкостi твердого тiла, що обертається навколо нерухомої точки, за вимiрюваннями її проекцiї на одну з пов’язаних з тiлом осей. The problem of nonlinear reduced order observer design for mechanical systems is considered. It is assumed that a system is represented in a linear form with respect to unobserved components of the phase vector. The method is based on a synthesis of invariant relations for the extended system of differential equations. This relations are considered as additional algebraic equations for unknown components of the state. As an application of this method the problem of determination of the angular velocity vector of rotating rigid body under measuring of its projection on one of the connected with the body axes is studied. 2011 Article Редуцированный наблюдатель механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 216-224. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71595 62-50:519.7 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается задача построения нелинейного наблюдателя пониженного порядка для механических систем, приведенных к виду, при котором правые части дифференциальных уравнений, описывающих их движение, являются линейными функциями относительно неизвестных компонент фазового вектора. Предложена схема построения нелинейного наблюдателя, порядок которого равен размерности ненаблюдаемых компонент. В качестве приложения рассмотрена задача определения вектора угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, по измерениям ее проекции на одну из связанных с телом осей. |
| format |
Article |
| author |
Щербак, В.Ф. |
| spellingShingle |
Щербак, В.Ф. Редуцированный наблюдатель механических систем Механика твердого тела |
| author_facet |
Щербак, В.Ф. |
| author_sort |
Щербак, В.Ф. |
| title |
Редуцированный наблюдатель механических систем |
| title_short |
Редуцированный наблюдатель механических систем |
| title_full |
Редуцированный наблюдатель механических систем |
| title_fullStr |
Редуцированный наблюдатель механических систем |
| title_full_unstemmed |
Редуцированный наблюдатель механических систем |
| title_sort |
редуцированный наблюдатель механических систем |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71595 |
| citation_txt |
Редуцированный наблюдатель механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2011. — Вип 41. — С. 216-224. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ŝerbakvf reducirovannyjnablûdatelʹmehaničeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-05T20:32:29Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:32:29Z |
| _version_ |
1836840438860873728 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 41
УДК 62-50:519.7
c©2011. В.Ф. Щербак
РЕДУЦИРОВАННЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматривается задача построения нелинейного наблюдателя пониженного порядка для
механических систем, приведенных к виду, при котором правые части дифференциаль-
ных уравнений, описывающих их движение, являются линейными функциями относитель-
но неизвестных компонент фазового вектора. Предложена схема построения нелинейного
наблюдателя, порядок которого равен размерности ненаблюдаемых компонент. В качестве
приложения рассмотрена задача определения вектора угловой скорости твердого тела, вра-
щающегося вокруг неподвижной точки, по измерениям ее проекции на одну из связанных
с телом осей.
Ключевые слова: нелинейный наблюдатель, инвариантные многообразия, твердое тело
с неподвижной точкой.
1. Редуцированный наблюдатель. Задача наблюдения для динами-
ческих систем возникает во многих практических приложениях теории управ-
ления, когда состояние исследуемого объекта известно не полностью и дол-
жно быть восстановлено по имеющейся информации о его движении. Одним
из способов ее решения является построение для динамической системы,
моделирующей движение реального объекта, наблюдателя – вспомогатель-
ной системы дифференциальных уравнений, все решения которой стремя-
тся к неизвестному решению исходной системы. Для линейных систем ме-
тоды построения асимптотических наблюдателей, а также редуцированных
наблюдателей пониженного порядка были предложены в [1]. Для нелиней-
ных систем проблема построения асимптотического наблюдателя остается
открытой. Классический подход к построению нелинейных наблюдателей со-
стоит в нахождении преобразования координат, приводящего систему к виду,
в котором нелинейность в правой части дифференциальных уравнений пред-
ставлена в виде функции известного выхода системы [2, 3] и не зависит от
неизвестных координат.
В работе рассматривается более общий класс систем, а именно, системы
линейные относительно неизвестных компонент фазового вектора. Предлага-
емый способ определения неизвестных компонент фазового вектора основан
на построении дополнительных алгебраических уравнений, которые получе-
ны в результате синтеза инвариантных соотношений для специальным обра-
зом расширенной системы дифференциальных уравнений.
Предположим, что поведение исследуемого объекта при измерениях, про-
водимых во время его движения, может быть описано в виде
ẋ = f(x), x ∈ Rn, (1)
y = h(x), y ∈ Rk. (2)
216
Редуцированный наблюдатель механических систем
Здесь x(t) – решение дифференциальных уравнений (1), начальное значе-
ние x0 = x(0) которого считается неизвестным, что не позволяет определить
состояние объекта в результате решения задачи Коши. Требуется оценить
значения x(t) по информации о выходе системы – функции y(t), которая счи-
тается известной для любого момента времени t > 0.
Предположим, что система (1), (2) с помощью невырожденной замены
переменных приведена к виду, при котором измеряются первые k координат
x1(t) = (x1, x2, . . . , xk)T . Остальные m = n − k компонент вектора состояния
обозначим x2 = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T и, таким образом, x = (x1, x2)
T . Кроме
того, будем считать, что в результате этой замены правые части уравнений
линейны относительно неизвестных переменных x2(t):
ẋ1 = f1(x1) + g1(x1)x2,
ẋ2 = f2(x1) + g2(x1)x2,
y = x1,
(3)
где g1(x1), g2(x1) – соответственно матрицы размерностей k ×m и m×m.
Целью решения задачи наблюдения для системы (3) является определе-
ние вектора x2(t) по известным значениям x1(t). В работах [4, 5] предложен
метод построения нелинейных наблюдателей, основанный на использовании
нескольких траекторий в обратных задачах управления [6]. В соответствии
с этим методом в уравнения для второй траектории системы (3) вводится
управление, которое подбирается из условия, что исходная система (3) и ее
управляемый прототип имеют заданное инвариантное многообразие. Соотно-
шения, описывающие это многообразие, могут быть использованы как вспо-
могательные алгебраические уравнения, связывающие вектор x2(t) и изве-
стные величины. В данной статье предложено обобщение указанного подхо-
да: в качестве наблюдателя пониженного порядка формируется система ин-
вариантных соотношений [7] для расширенной системы дифференциальных
уравнений без использования вспомогательных траекторий.
В качестве редуцированного наблюдателя, в дополнение к системе (3),
рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений
ζ̇ = α(x1(t), ζ), (4)
где ζ ∈ Rm, α(x1, ζ) – неопределенная пока функция, относительно которой
будем предполагать, что она обеспечивает выполнение условий существова-
ния и единственности решений системы (4) для всех t > 0. Поскольку зна-
чения x1(t) – известны, то функция ζ(t) может быть найдена в результате
решения задачи Коши для системы (4) при заданной α(x1, ζ) и некотором на-
чальном значении ζ(0) = ζ0. Таким образом, ζ(t) зависит лишь от известных
величин и будет рассматриваться далее как известная функция времени.
Традиционное понятие редуцированного наблюдателя состоит в следую-
щем. Если функцию α(x1, ζ) можно подобрать таким образом, что решения
системы (4) с любыми начальными условиями ζ0 асимптотически стремятся
217
В.Ф. Щербак
к ненаблюдаемым компонентам x2(t), то система (4) будет редуцированным
наблюдателем порядка m для системы (3). Более общее понятие редуциро-
ванного наблюдателя будет таким.
Определение. Система (4) является редуцированным наблюдателем для
системы (3), если существует функция Φ(x1, ζ) такая, что для любого ζ0 зна-
чения
lim
t→∞
[x2(t)− Φ(x1(t), ζ(t))] = 0.
С учетом такого обобщения для построения редуцированного наблюда-
теля порядка m в нашем распоряжении имеются 2m свободных функций
αi(x1, ζ) и Φi(x1, ζ), i = 1, ...,m.
Кроме того, введем в рассмотрение множество
M = {(x, ζ) : x2 − Φ(x1, ζ) = 0}, (5)
где M является многообразием в (n +m)-мерном пространстве переменных
x, ζ размерности n. В случае построения искомого наблюдателя M будет ин-
вариантным многообразием для расширенной системы дифференциальных
уравнений (3),(4).
2. Схема построения редуцированного наблюдателя. Основная
идея излагаемого подхода (выразить неизвестные величины x2 как некото-
рые функции от известных x1, ζ) может быть переформулирована следующим
образом. Будем подбирать имеющиеся свободные функции α(x1, ζ) и Φ(x1, ζ)
такими, чтобы траектории расширенной системы (3),(4) допускали инвари-
антное многообразие M . Тогда, если начальные условия выбраны так, что
траектория, на которой производятся измерения, принадлежит этому много-
образию и функция Φ(x1, ζ) известна, то значения x2(t) могут быть найдены
непосредственно. В общем случае начальное состояние не принадлежит M ,
но если указанное многообразие будет обладать свойством глобального асим-
птотического притяжения для всех траекторий расширенной системы (3),(4),
то с помощью функции Φ(x1, ζ) можно определить асимптотическую оценку
x2(t).
Покажем, что выбором функций α(x1, ζ) любое многообразие вида (5) мо-
жно сделать инвариантным для некоторых траекторий расширенной системы
(3),(4). Обозначим отклонение траекторий от M через
e(t) = x2(t)− Φ(x1(t), ζ(t)).
Потребуем, чтобы отклонения e(t) удовлетворяли линейной системе диффе-
ренциальных уравнений
ė = G(x1, ζ)e, (6)
где матрица G(x1, ζ) зависит только лишь от известных величин. Так как
система (6) допускает тривиальное решение, то выполнения этого требования
будет достаточно для инвариантности M .
218
Редуцированный наблюдатель механических систем
Действительно, дифференцируя e(t) в силу системы (3),(4), получаем
ė = f2(x1) + g2(x1)(Φ + e)− Φx1
[f1(x1) + g1(x1)(Φ + e)]− Φζα(x1, ζ), (7)
где через Φx1
,Φζ обозначены якобиевы матрицы
Φx1
=
∂Φ(x1, ζ)
∂x1
, Φζ =
∂Φ(x1, ζ)
∂ζ
.
Для того, чтобы система (7) стала линейной относительно отклонений e(t)
достаточно выполнения равенств
f2(x1) + g2(x1)Φ− Φx1
[f1(x1) + g1(x1)Φ]− Φζα(x1, ζ) = 0. (8)
Отсюда получаем вид правых частей системы дифференциальных уравнений
(4) в предположении, что матрица Φζ(x1, ζ) является невырожденной и для
всех значений ее аргументов существует обратная матрица Φζ
−1(x1, ζ). Тогда
ζ̇ = Φζ
−1[f2(x1) + g2(x1)Φ− Φx1
(f1(x1) + g1(x1)Φ)]. (9)
В результате система (7) приводится к виду (6) с матрицей G(x1, ζ) равной
G(x, ζ) = g2(x1)− Φx1
g1(x1). (10)
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1. Для любой дифференцируемой функции Φ(x1, ζ) такой, что
матрица Φζ(x1, ζ) является невырожденной, существует функция α(x1, ζ) та-
кая, что M становится инвариантным многообразием для траекторий систе-
мы дифференциальных уравнений (3),(4).
Замечание. Отметим, что требование невырожденности Φζ(x1, ζ) не
ограничевает общности, поскольку в силу имеющейся свободы на выбор фун-
кций, Φ(x1, ζ) можно представить, например, в виде Φ(x1, ζ) = ζ + Φ0(x1) и
тогда Φζ(x1, ζ) – единичная матрица.
Для того чтобы обеспечить свойство глобального притяжения траекторий
к инвариантному многообразию M , в нашем распоряжении остается выбор
функции Φ(x1, ζ). Как известно, нахождение условий асимптотической устой-
чивости тривиального решения неавтономной системы дифференциальных
уравнений (6) является сложной проблемой. Излагаемая в работе схема по-
строения наблюдателя подразумевает отдельное ее рассмотрение для каждой
конкретной динамической системы.
3. Определение угловой скорости твердого тела. Сведение урав-
нений Эйлера к системе, линейной относительно неизмеряемых
компонент. Рассмотрим уравнения, описывающие вращение по инерции
твердого тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести
тела. Обозначим a1 =
A2 −A3
A1
, a2 =
A3 −A1
A2
, a3 =
A1 −A2
A3
, где A1, A2, A3 –
219
В.Ф. Щербак
моменты инерции тела относительно главных осей. Запишем динамические
уравнения Эйлера
ω̇1 = a1ω2ω3, ω̇2 = a2ω1ω3, ω̇3 = a3ω1ω2. (11)
Предположим, что выходом системы (11), известным в любой момент вре-
мени, является первая компонента ω1(t) вектора угловой скорости ω(t). На-
шей задачей является определение по этой информации значений ω2(t), ω3(t).
Вначале приведем систему (11) к виду (3), для которого применима опи-
санная выше схема решения задачи наблюдения. Выполним замену перемен-
ных по формулам:
x1 = ω1, x2 = a1ω2ω3, x3 = a1(a2ω
2
3 + a3ω
2
2). (12)
Определитель якобиевой матрицы преобразования (12)
det
∂(x1, x2, x3)
∂(ω1, ω2, ω3)
= 2a21(a2ω3
2 − a3ω2
2).
Далее будем считать, что рассматриваются такие траектории системы (11),
для которых выполнено следующее
Предположение. Наблюдаемый объект не является осесимметричным
A2 6= A3, т.е. a1 6= 0 и в течении всего процесса наблюдения выражение
a2ω3
2 − a3ω2
2 отлично от нуля.
В частности, для несимметричных тел с распределением масс, удовлетво-
ряющих неравенствам A1 < A2, A1 < A3 либо A1 > A2, A1 > A3 знаки a2, a3
различны и указанное предположение выполнено при ω2
2 + ω2
3 6= 0, т.е. когда
выход ω1(t) не равен тождественно константе.
В случае когда a1 = 0, выход ω1(t) постоянен и система (11) очевидно
ненаблюдаема. Отметим также, что для симметричных тел, когда a2 = 0 или
a3 = 0, уравнения (11) становятся линейными и решение задачи наблюде-
ния может быть найдено путем построения соответствующего наблюдателя
Луенбергера [1].
В новых переменных система (11) приобретает вид, линейный относитель-
но неизвестных переменных x2, x3
ẋ1 = x2, ẋ2 = x1x3, ẋ3 = ax1x2, (13)
где a = 4a2a3. Так как при этом x1(t) ≡ ω1(t), то выход системы (13) известен.
Таким образом, задача получения значений компонент ω2(t), ω3(t) фазового
вектора системы (11) сводится к нахождению переменных x2(t), x3(t) системы
(13) и последующему решению алгебраических уравнений (12).
4. Дополнительные алгебраические соотношения для оценки
неизвестных компонент. Для определения x2(t), x3(t) cоставим уравне-
ния редуцированного наблюдателя с неопределенными пока правыми частя-
ми
ζ̇2 = α2(x1, ζ2, ζ3), ζ̇3 = α3(x1, ζ2, ζ3). (14)
220
Редуцированный наблюдатель механических систем
В соответствии с замечанием к теореме 1 будем искать такие дифферен-
цируемые фукции α2(x1, ζ2, ζ3), α3(x1, ζ2, ζ3),Φ2(x1),Φ3(x1) чтобы равенства
x2 = ζ2 +Φ2(x1), x3 = ζ3 +Φ3(x1) (15)
стали инвариантными соотношениями [7] для системы (13), (14), а соответ-
ствующее многообразие
M = {(x, ζ) : x2 − ζ2 − Φ2(x1) = 0, x3 − ζ3 −Φ3(x1) = 0} (16)
было инвариантным. Составим уравнения ошибок, обозначив отклонения
траекторий от многообразия M через ei = xi − ζi − Φi(x1), i = 2, 3.
Выберем правые части вспомогательной системы (14) согласно (9). Полу-
чаем
α2 = x1(ζ3 +Φ3)− Φ́2(ζ2 +Φ2), α3 = (ax1 − Φ́3)(ζ2 +Φ2). (17)
Здесь Φ́i – производная функции Φi(x1), i = 2, 3. В результате система диф-
ференциальных уравнений в отклонениях (7) становится линейной и одноро-
дной относительно e2, e3:
ė2 = −Φ́2e2 + x1e3, ė3 = (ax1 − Φ́3)e2. (18)
Получили, что e2 = 0, e3 = 0 являются решением системы (18), а значит,
для любых дифференцируемых функций Φ2(x1),Φ3(x1) алгебраические связи
(15) становятся инвариантными соотношениями системы дифференциальных
уравнений (13), (14), а соответствующее им M – инвариантным многообра-
зием. Так как x2(0), x3(0) неизвестны, то в общем случае траектории систем
(13), (14) не принадлежат указанному многообразию. В то же время, если
M будет обладать свойством глобального притяжения, тогда формулы (15)
позволят находить асимптотические оценки для переменных x2(t), x3(t).
5. Стабилизация отклонений от инвариантного многообразия.
Выбор правых частей редуцированного наблюдателя в виде (17) позволяет
синтезировать семейство инвариантных многообразий M для системы (13),
(14). Рассмотрим задачу подбора имеющихся свободных функций с целью
обеспечения условий притяжения всех траекторий этой системы к одному
из этих многообразий. Так как правые части вспомогательной системы уже
зафиксированы равенствами (17), то для обеспечения свойства глобальной
асимптотической устойчивости для тривиального решения системы (18) в
нашем распоряжении остается выбор функций Φ2(x1),Φ3(x1). Введем обо-
значения
v2(x1) = −Φ́2, v3(x1) = ax1 − Φ́3, (19)
с учетом которых система (18) примет вид
ė2 = v2(x1)e2 + x1e3, ė3 = v3(x1)e2. (20)
В силу имеющегося произвола в выборе Φ2(x1),Φ3(x1) можем рассматри-
вать функции v2, v3 как управления. Выберем эти управления такими, чтобы
нулевое решение системы (20) стало глобально асимптотически устойчивым.
221
В.Ф. Щербак
Теорема 2. Пусть значения выхода x1(t) системы (13) в течение про-
цесса измерений принадлежат отрезку x1(t) ∈ [xmin
1 ;xmax
1 ], не содержащему
точку 0. Тогда существуют дифференцируемые функции Φ2(x1),Φ3(x1) та-
кие, что система (13), (14) имеет инвариантное многообразие M , обладающее
свойством глобального притяжения для всех своих траекторий.
Доказательство проведем в два этапа. На первом, в соответствии с пре-
дложенной в предыдущих разделах методикой, найдем семейство управлений
v2, v3, при которых отклонения e2, e3 связаны линейным однородным инва-
риантным соотношением. На втором этапе, устремив одну из переменных
ei, i = 2, 3, к нулю, автоматически обеспечиваем стремление к нулю другой
координаты.
Потребуем вначале, чтобы уравнения (20) имели линейное инвариантное
многообразие вида e3 = ke2, где k – константа, sign k = sign x1 (по условию
теоремы x1(t) не меняет знак). В общем случае, траектории не будут лежать
на этой прямой, поэтому введем переменную η – отклонение траекторий (20)
от этого многообразия: e3 = ke2 + η. Уравнение для η имеет вид
η̇ = −kηx1 + (v3 − kv2 − k2x1)e2. (21)
Чтобы уравнение стало однородным относительно η, накладываем ограни-
чение на управление v3, полагая v3 = kv2 + k2x1. Обозначим w = v2 + kx1,
рассматривая ее как функцию, на которую пока еще не наложено никаких
условий. Перепишем (20) в виде
ė2 = we2 + x1η, η̇ = −kx1η. (22)
Не ограничивая общности, предположим для определенности, что x1 > 0.
Рассмотрим функцию Ляпунова V =
1
2
(e2
2+η2) и вычислим ее производную:
V̇ = ε2(we2 + x1η) + η(−kηx1) = e2
2w + e2ηx1 − kη2x1.
Оценим последнее выражение
V̇ ≤ e22w +
e2
2 + η2
2
x1 − kη2x1 = (w +
x1
2
)e2
2 + (
x1
2
− kx1)η
2.
Требуя для k,w выполнения условий w+
x1
2
≤ −1 и k ≥
1
xmin
1
+
1
2
, получаем
V̇ ≤ −e2
2 − η2.
Таким образом показано, что при выборе управляющих функций, удовле-
творяющих приведенным ограничениям, переменные e2, η асимптотически
стремятся к нулю. Так как при этом выполнено равенство e3 = ke2 + η, то
переменная e3 также стремится к нулю. А это и означает, что инвариантное
многообразие M является притягивающим. Теорема доказана.
222
Редуцированный наблюдатель механических систем
В заключение выберем окончательный вид управлений из семейства фун-
кций, удовлетворяющих всем приведенным ограничениям. Чтобы произво-
дная от функции Ляпунова стала отрицательной, выберем k достаточно боль-
шим положительным числом и положим w = −2 −
x1
2
< −1 −
x1
2
. Тогда
v3 = −k, а v2 = −k − x1. В соответствии с (19) для определения вида инва-
риантных соотношений имеем уравнения
Φ́2 = 1 + x1, Φ́3 = (a− 1)x1 + k. (23)
В качестве частного решения выберем функции
Φ2(x1) = x1 +
x21
2
, Φ3(x1) = kx1 +
a− 1
2
x1
2. (24)
Тогда искомый наблюдатель (14) принимает вид
ζ̇2 = −(1 + x1)ζ2 + x1ζ3 + x1 + (
3
2
+ k)x1
2 +
a
2
x1
3,
ζ̇3 = (x1 + k)(ζ2 + x1 + x1
2).
(25)
Интегрируем систему (25) с произвольными начальными условиями. С уче-
том (15), асимптотические оценки неизвестных компонент системы (13) на-
ходим из равентсв
x2 = ζ2 +
x21
2
+ x1 + ε2, x3 = ζ3 + kx1 +
a− 1
2
x1
2 + ε3, (26)
где по теореме 2 переменные ε2, ε3 стремятся к нулю.
Заключение. В работе предлагается метод построения редуцированно-
го наблюдателя для динамических систем, правые части которых линейны по
неизвестным компонентам фазового вектора. Он основан на использовании
методов управляемой стабилизации нелинейных систем относительно части
переменных. Уравнения исходной системы дополняются уравнениями наблю-
дателя, порядок которого равен количеству ненаблюдаемых компонент векто-
ра состояния. Для полученной расширенной системы решается задача синте-
за уравнений наблюдателя, при которых многообразие, описываемое систе-
мой произвольных дополнительных соотношений, становится интегральным
многообразием. Вид дополнительных алгебраических соотношений выбирае-
тся так, чтобы полученное инвариантное многообразие стало глобально при-
тягивающим.
1. Luenberger D. Introduction to observers // IEEE Trans. Aut. Contr. – 1977. – 3. – P. 47–
52.
2. Krener A., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics // SIAM
J. Control Optim. – 1985. – 23, № 2. – P. 197–216.
223
В.Ф. Щербак
3. Hou M., Pugh A. Observer with linear error dynamics for nonlinear multi-output systems
// Systems and Control Letters. – 1999. – 37. – P. 1–9.
4. Щербак В.Ф. Синтез дополнительных соотношений в задаче наблюдения // Тр.
ИПММ НАНУ. – 2003. – 8. – С. 229–235.
5. Shcherbak V. F. Synthesis of virtual measurements in nonlinear observation problem //
Proc. Appl. Math. Mech. (PAMM). – 2004. – 4, Issue 1. – P. 139–140.
6. Ковалев А. М., Щербак В. Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость
динамических систем. – Киев: Наук. думка, 1993. – 285 с.
7. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы диференциальных уравне-
ний //Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
V.F. Shcherbak
Reduced observer for mechanical systems
The problem of nonlinear reduced order observer design for mechanical systems is considered. It
is assumed that a system is represented in a linear form with respect to unobserved components
of the phase vector. The method is based on a synthesis of invariant relations for the extended
system of differential equations. This relations are considered as additional algebraic equations
for unknown components of the state. As an application of this method the problem of deter-
mination of the angular velocity vector of rotating rigid body under measuring of its projection
on one of the connected with the body axes is studied.
Keywords: nonlinear observer, invariant manifolds, rigid body with a fixed point.
В.Ф.Щербак
Редукований спостерiгач механiчних систем
Розглянуто задачу побудови нелiнiйного спостерiгача зниженого порядку для механiчних
систем, якi приведено до виду, при якому правi частини диференцiальних рiвнянь, що
описують їх рух, є лiнiйними функцiями щодо невiдомих компонент фазового вектора.
Запропонований у роботi спосiб засновано на синтезi iнварiантних спiввiдношень для роз-
ширеної системи диференцiальних рiвнянь, якi розглядаються як додатковi алгебраїчнi
рiвняння для невiдомих компонент стану системи. Як додаток розглянуто задачу визначе-
ння вектора кутової швидкостi твердого тiла, що обертається навколо нерухомої точки, за
вимiрюваннями її проекцiї на одну з пов’язаних з тiлом осей.
Ключовi слова: нелiнiйний спостерiгач, iнварiантнi многовиди, тверде тiло з нерухо-
мою точкою.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 07.02.11
224
|