Порождение корневых функционалов системы полиномов

Кореневий функціонал є лінійним функціоналом на кільці поліномів, що анулює ідеал поліномів. Поняття кореневого функціонала є узагальненням поняття кореня на випадок кратних коренів. Для системи (n - 1) поліномів від n змінних розглянуто білінійну операцію породження кореневих функціоналів, що дозво...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Сейфуллин, Т.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Кибернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71931
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Порождение корневых функционалов системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 22-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-71931
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-719312014-12-15T03:01:44Z Порождение корневых функционалов системы полиномов Сейфуллин, Т.Р. Кибернетика Кореневий функціонал є лінійним функціоналом на кільці поліномів, що анулює ідеал поліномів. Поняття кореневого функціонала є узагальненням поняття кореня на випадок кратних коренів. Для системи (n - 1) поліномів від n змінних розглянуто білінійну операцію породження кореневих функціоналів, що дозволяє за двома кореневими функціоналами будувати третій. 2008 Article Порождение корневых функционалов системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 22-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71931 512 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Кибернетика Кибернетика
spellingShingle	Кибернетика Кибернетика Сейфуллин, Т.Р. Порождение корневых функционалов системы полиномов Кибернетика и системный анализ
description	Кореневий функціонал є лінійним функціоналом на кільці поліномів, що анулює ідеал поліномів. Поняття кореневого функціонала є узагальненням поняття кореня на випадок кратних коренів. Для системи (n - 1) поліномів від n змінних розглянуто білінійну операцію породження кореневих функціоналів, що дозволяє за двома кореневими функціоналами будувати третій.
format	Article
author	Сейфуллин, Т.Р.
author_facet	Сейфуллин, Т.Р.
author_sort	Сейфуллин, Т.Р.
title	Порождение корневых функционалов системы полиномов
title_short	Порождение корневых функционалов системы полиномов
title_full	Порождение корневых функционалов системы полиномов
title_fullStr	Порождение корневых функционалов системы полиномов
title_full_unstemmed	Порождение корневых функционалов системы полиномов
title_sort	порождение корневых функционалов системы полиномов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Кибернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71931
citation_txt	Порождение корневых функционалов системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 1. — С. 22-46. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT sejfullintr poroždeniekornevyhfunkcionalovsistemypolinomov
first_indexed	2025-07-05T20:49:53Z
last_indexed	2025-07-05T20:49:53Z
_version_	1836841533255450624
fulltext	ÓÄÊ 512 Ò.Ð. ÑÅÉÔÓËËÈÍ ÏÎÐÎÆÄÅÍÈÅ ÊÎÐÍÅÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÎÂ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÎËÈÍÎÌÎÂ Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîðíåâîé ôóíêöèîíàë, ïîðîæäåíèå êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ, ïîëèíîìèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ïîíÿòèå êîðíåâîãî ôóíêöèîíàëà ó àâòîðà ïîÿâèëîñü â ñâÿçè ñ èçó÷åíèåì ëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé (ñèçèãèé) n �1 ïîëèíîìîâ îò n ïåðåìåííûõ â ðàáîòàõ [1, 2]. Îêàçàëîñü, ÷òî ñ êàæäûì îáùèì êîðíåì ñèñòåìû ïîëèíîìîâ ñâÿçàíî îïðåäåëåííîãî âèäà ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå íàçâàíî êîðíåâûì. Îäíàêî âîçíèêëà ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ñîîòíîøåíèé ïîëèíîìîâ, ñâÿçàííûõ ñ êðàòíûìè êîðíÿìè, è äëÿ ýòîãî ïðèøëîñü îáîáùèòü ïîíÿòèå êîðíÿ íà ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé. Ýòèì îáîáùåíèåì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå êîðíåâîãî ôóíêöèîíàëà. Ñ ïîìîùüþ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ÿâíî îïèñûâàþòñÿ âñå ëèíåéíûå ñîîòíîøåíèÿ n �1 ïîëèíîìîâ îò n ïåðåìåííûõ â ñëó÷àå, êîãäà èäåàë ñèñòåìû ïîëèíîìîâ 0-ìåðåí [2]. (Â äàëüíåéøåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áûëè îáîáùåíû íà âåñü êîìïëåêñ Êîøóëÿ â [3–5].) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîãî ðåçóëüòàòà ïîòðåáîâàëîñü èçó÷åíèå êîðíåâûõ ïîëèíîìîâ äëÿ ñèñòåìû n ïîëèíîìîâ îò n ïåðåìåííûõ [1]. Â ðàáîòå [1] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà èäåàë ñèñòåìû ïîëèíîìîâ 0-ìåðåí, ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðíåâîé ôóíêöèîíàë, íàçâàííûé åäèíè÷íûì. Â ðàáîòàõ [1, 6] ïîêàçàíî, ÷òî åñëè òàêîé ôóíêöèîíàë íàéäåí, òî ìîæíî ïðîñòî îïðåäåëèòü, ïðèíàäëåæèò ëè ïîëèíîì èäåàëó èëè íåò, íàéòè äëÿ ïîëèíîìà èç èäåàëà ÿâíî åãî ëèíåéíîå âûðàæåíèå ÷åðåç ïîëèíîìû ñèñòåìû ïîëèíîìîâ, íàéòè ÷èñëî îáùèõ êîðíåé ñèñòåìû ïîëèíîìîâ ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè, ïîñòðîèòü áàçèñ èäåàëà è ïðî÷åå. Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìà ïîèñêà êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ýòà ïðîáëåìà, â îòëè÷èå îò ïðîáëåìû ïîèñêà îáùèõ êîðíåé ñèñòåìû ïîëèíîìîâ, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ëèíåéíîé àëãåáðû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 22 © Ò.Ð. Ñåéôóëëèí, 2008 Ó àâòîðà îäíîé èç ðàííèõ èäåé íàõîæäåíèÿ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ n ïîëè- íîìîâ îò n ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ èäåÿ ïîèñêà êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ äëÿ n �1 ïåðâûõ ïîëèíîìîâ, à çàòåì ïîèñê ñðåäè íèõ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ äëÿ ïîñëåä- íåãî ïîëèíîìà. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ ñëó÷àÿ n �1 ïîëèíîìîâ îò n ïåðåìåííûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ áèëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ ïîðîæäåíèÿ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ, ïî- çâîëÿþùàÿ ïî äâóì êîðíåâûì ôóíêöèîíàëàì ïîñòðîèòü òðåòèé êîðíåâîé ôóíê- öèîíàë. Âïîñëåäñòâèè ïîñëå ïåðåõîäà îò n ïîëèíîìîâ îò n ïåðåìåííûõ ê n îäíî- ðîäíûì ïîëèíîìàì îò n �1 ïåðåìåííûõ áûëà ðàññìîòðåíà ýòà îïåðàöèÿ. Ïðè îáðàò- íîì æå ïåðåõîäå ê íåîäíîðîäíûì ïîëèíîìàì îäíîðîäíûå êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû ïåðåõîäÿò â îãðàíè÷åííûå êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû, à îïåðàöèÿ ïîðîæäåíèÿ ïåðåõî- äèò â îïåðàöèþ ðàñøèðåíèÿ. Íàðóøàÿ õðîíîëîãèþ âîçíèêíîâåíèÿ, îãðàíè÷åííûì êîðíåâûì ôóíêöèîíàëàì è îïåðàöèè ðàñøèðåíèÿ ïîñâÿùåíû áîëåå ðàííèå ðàáîòû [6–8], íî çà îñíîâó â íàïèñàíèè íàñòîÿùåé ñòàòüè âçÿòà ðàáîòà [7]. Äàëüíåéøèå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ îïåðàöèè ïîðîæäåíèÿ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ, èçëîæåíû â [9, 10]. 1. ÎÏÅÐÀÖÈß ÏÎÐÎÆÄÅÍÈß ÊÎÐÍÅÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÎÂ Ïóñòü R — êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, R[ ]x — êîëüöî ïîëèíîìîâ îò ïåðåìåííûõ x ñ êîýôôèöèåíòàìè èç R. Ñòåïåíüþ ìîíîìà x x xn n� � �� 1 1 ... íàçûâàåòñÿ \| \| ...� � �� 1 n , çäåñü � �Nn . Ñòåïåíüþ ïîëèíîìà F x( ) íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü ìîíîìà ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì, ñòåïåíü ïîëèíîìà F x( ) îáîçíà÷àåòñÿ deg( )F . Åñëè F x( ) � 0, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî deg( )F � � �. Ïîëèíîì íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ñòåïåíè d, åñëè ñòåïåíè âñåõ åãî ìîíîìîâ ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíû d. Äëÿ ìíîæåñòâà A îáîçíà÷èì A p q� ìíîæåñòâî ìàòðèö \| \| \| \| , ,a l k l q k p � � 1 1 , ãäå p q, �N, a A l k � . Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå. Îáîçíà÷èì R[ ]x d ìíîæåñòâî âñåõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè d. Çàìåòèì, ÷òî R R[ ] [ ]x x � � , è åñëè d 0, òî R[ ]x d � { }0 . Îáîçíà÷èì R[ ]x d� ìíîæåñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè d. Çàìåòèì, ÷òî åñëè d 0, òî R[ ]x d� � { }0 . Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, îáîçíà÷èì R[ ]x ñîâîêóïíîñòü âñåõ ëèíåéíûõ íàä R îòîáðàæåíèé R[ ]x â R, ýëåìåíòû èç R[ ]x áóäåì îáîçíà÷àòü l x( )* , ãäå x x xn * * * ( , ... , )� 1 , è íàçûâàòü ëèíåéíûìè ôóíêöèîíàëàìè, èëè ïðîñòî ôóíêöèîíàëàìè. Îáîçíà÷èì äåéñòâèå l x( )* íà F x x( ) [ ]�R ñëåäóþùèì îáðàçîì: l x F x( ). ( )* . Îáîçíà÷èì [ ( )]F x îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ïîëèíîì F x( ), òîãäà äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà G x( ) èìååò ìåñòî [ ( )]. ( ) ( ) ( )F x G x F x G x� � . Îáîçíà÷èì l x F x( ) ( )* � ôóíêöèîíàë l x F x( ).[ ( )]* , òîãäà äëÿ ëþáîãî ïîëè- íîìà G x( ) èìååò ìåñòî l x F x G x l x F x G x l x F x G x( ) ( ). ( ) ( ).[ ( )]. ( ) ( ). ( ) ( )* * � � � � . Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü A — êîììóòàòèâíîå êîëüöî, âêëþ÷àþùåå R è èìåþùåå åäèíèöó, ñîâïàäàþùóþ ñ åäèíèöåé êîëüöà R. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, � � �� ( , ... , )1 n nA , îáîçíà÷èì 1x ( )� � � 1( ,... , ) ( , ... , )x x nn1 1� � îòîáðàæåíèå R 1 A[ ] ( ) ( ). ( ) ( ) .x F x F x Fx�� Îïðåäåëåíèå 1.4. Ïóñòü f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xs — ïîëèíîìû èç R[ ]x , ãäå x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå. Äëÿ êîâåêòîðà ïîëèíîìîâ g x g x g xs( ) ( ( ), ... , ( ))� 1 T îáîçíà÷èì 23 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 f x g x( ) ( ) � � � i s i if x g x 1 ( ) ( ). Îáîçíà÷èì ( ( )) ( ) ( )\| , : ( ) [ ]f x f x g x i s g x xx d i s i i i d � �� { deg 1 1 R ( )fi }. Çàìåòèì, ÷òî ( ( )) [ ]f x xx d d � R . Îáîçíà÷èì ( ( )) ( ) ( )\| , : ( ) [ ]f x f x g x i s g x xx i s i i i� � � � �{ } 1 1 R . Çàìåòèì, ÷òî ( ( )) ( ( ))f x f xx x � � , è åñëè d 0, òî ( ( ))f x x d � { }0 . Ïóñòü ïîëèíîìû f x( ) — îäíîðîäíûå, îáîçíà÷èì ( ( )) ( ) ( )\| , : ( ) [ ]f x f x g x i s g x xx d i s i i i d� � � �� { deg 1 1 R ( )fi }. Çàìåòèì, ÷òî ( ( )) [ ]f x xx d d� �� R . Ôóíêöèîíàë èç R[ ]x , àííóëèðóþùèé ( ( ))f x x , íàçîâåì êîðíåâûì ôóíêöèîíàëîì ïîëèíîìîâ f x( ). Êîììåíòàðèé 1.1. Áóäåì èìåòü â âèäó òîëüêî òàêèå ôóíêöèîíàëû l x x( ) [ ]* �R , ÷òî l x x( ) [ ] � R êîíå÷íîïîðîæäåííûé êàê ìîäóëü íàä R, íî íå áó- äåì èñïîëüçîâàòü ýòî óñëîâèå â ñòàòüå. Íàçîâåì òàêèå ôóíêöèîíàëû òî÷å÷íûìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷å÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì íàä R[ ]x . Ïóñòü � � �� ( , ... , )1 n nR . Ëîêàëüíûì ôóíêöèîíàëîì â òî÷êå x � � íà- çîâåì ôóíêöèîíàë, êîòîðûé àííóëèðóåò íåêîòîðóþ ñòåïåíü èäåàëà ( ) ( , ... , )x x xx n n x� � � �� 1 1 ; â ÷àñòíîñòè, 1x ( )� àííóëèðóåò ( )x x� � , ò.å. ÿâ- ëÿåòñÿ ëîêàëüíûì â òî÷êå x � �. Î÷åâèäíî, ÷òî ëîêàëüíûå ôóíêöèîíàëû ÿëÿþòñÿ òî÷å÷íûìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè R — àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, òî ëþáîé òî÷å÷íûé ôóíêöèîíàë åñòü ñóììà ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ òî÷å÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì. Åñëè � � �� ( , ... , )1 n nR — êîðåíü ïîëèíîìîâ f x( ), ò.å. �i s1, : f i ( )� � 0, òî 1x ( )� — êîðíåâîé ôóíêöèîíàë ïîëèíîìîâ f x( ). Åñëè R — ïîëå è L x( )* — íå- íóëåâîé ëîêàëüíûé êîðíåâîé ôóíêöèîíàë ïîëèíîìîâ f x( ) â òî÷êå x � �, òî x � � — êîðåíü ïîëèíîìîâ f x( ). Òîãäà äëÿ ïîèñêà ëîêàëüíûõ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ïîëèíîìîâ f x( ) íåîáõîäèìî íàõîäèòü êîðíè ïîëèíîìîâ f x( ), ò.å. ðåøàòü ñèñòåìó ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé, â òî âðåìÿ êàê äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷å÷- íûõ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ïîëèíîìîâ f x( ) íåîáõîäèìî ðåøàòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïîíÿòèå ëîêàëüíîãî êîðíåâîãî ôóíêöèîíàëà ïîëèíî- ìîâ f x( ) â òî÷êå x � � îáîáùàåò ïîíÿòèå êîðíÿ â òî÷êå x � � íà ñëó÷àé êðàò- íûõ êîðíåé. Îïðåäåëåíèå 1.5. Ìîäóëü M íàä R íàçîâåì ïîëóãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R, åñëè çàäàíî ñåìåéñòâî åãî ïîäìîäóëåé { }M �d d\| Z òàêîå, ÷òî � � �d d dZ: M M 1, è M M� � d d Z � . Åñëè m � M d , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî m èìååò ñòåïåíü d, èëè ãîâîðèòü, ÷òî m èìååò êîñòåïåíü � � d. Ïîëîæèì R R �d äëÿ d � 0 è R �d { }0 äëÿ d 0, òîãäà R ÿâëÿåòñÿ ïîëóãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïóñòü M è N — ïîëóãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R. Ëèíåéíîå íàä ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 24 R R îòîáðàæåíèå � : M N� íàçîâåì ïîëóîäíîðîäíûì ñòåïåíè �, åñëè � � �d d dZ : ( )� �M N . Îáîçíà÷èì Hom R ( , )M N � ìíîæåñòâî âñåõ ïîëóîäíîðîäíûõ îòîáðàæåíèé ñòåïåíè �, îíî ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì íàä R. Ïóñòü M è N — ïîëóãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, íàçîâåì èõ èçîìîðôíûìè ïîëóãðàäóèðîâàííûìè ìîäóëÿìè íàä R, åñëè ñóùåñòâóþò äâà âçàèìíî îáðàòíûõ îòîáðàæåíèÿ � � Hom R ( , )M N 0 , � � Hom R ( , )N M 0 . Ïóñòü M è N — ïîëóãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R òàêèå, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ � �� , Z èìååò ìåñòî ( : � � � �d d� M { }0 )& ( : � � � �d � N �� d { }0 ). Îáîçíà÷èì ( ) ( ), , M M N� � � � �� N d d d d d Z ãäå d d d� � � � � , d� � �� , d� � � � �� . Ýòà ñóììà ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå M N� ñ òàêîé ïîëóãðàäóèðîâêîé ÿâëÿåòñÿ ïîëóãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Îïðåäåëåíèå 1.6. Ìîäóëü M íàä R íàçûâàåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R, åñëè çàäàíî ñåìåéñòâî åãî ïîäìîäóëåé { }M � �d d\| Z òàêîå, ÷òî M M� � � � d d Z . Åñëè m � �M d , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî m èìååò ñòåïåíü � d, èëè ãîâîðèòü, ÷òî m èìååò êîñòåïåíü � � d. Ïîëîæèì R R� �d äëÿ d � 0 è R � �d { }0 äëÿ d � 0, òîãäà R ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïóñòü M è N — ãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R. Ëèíåéíîå íàä R îòîáðàæåíèå � : M N� íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ñòåïåíè � �, åñëè � �� d d dZ : ( )� �M N . Îáîçíà÷èì Hom R ( , )M N �� ìíîæåñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ îòîáðàæåíèé ñòåïåíè � �, îíî ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì íàä R. Ïóñòü M è N — ãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, îíè íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè ãðàäóèðîâàííûìè ìîäóëÿìè íàä R, åñëè ñóùåñòâóþò äâà âçàèìíî îáðàòíûõ îòîáðàæåíèÿ � � �Hom R ( , )M N 0 , � � �Hom R ( , )N M 0 . Ïóñòü M è N — ãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R òàêèå, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ � �� , Z èìååò ìåñòî ( : )& ( : ) � � � � � � � �� d dd d� �M N{ } { }0 0 . Îáîçíà÷èì ( ) ( ), , M N M� � � �� d d d d d Z N ãäå d d d� � � � � , d� � �� , d� � � � �� . Ýòà ñóììà ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå M N� ñ òàêîé ãðàäóèðîâêîé ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå. Ïóñòü � � �� ( , ... , )1 n nN , îáîçíà÷èì [ ]x � ôóíêöèîíàë òàêîé, ÷òî [ ] .x x� � �1, åñëè � �� , è [ ] .x x� � � 0, åñëè � �� , ãäå � � �� ( , ... , )1 n nN . Òàêèå ôóíêöèîíàëû íàçîâåì ìîíîìàìè, ïðè ýòîì \| \| ...� � �� 1 n ÿâëÿåòñÿ êîñòåïåíüþ ìîíîìà, �\| \|� ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ìîíîìà. Äîïîëíåíèå 1.1. Äëÿ ëþáîãî l x x( ) [ ] �R èìååò ìåñòî l x l x x x( ) ( ( ). ) [ ] * � �� , ãäå � �Nn . Ýòà ñóììà, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íà. Åñëè l x( ) — ôóíêöèîíàë êîñòåïåíè � �, òî âñå åãî ìîíîìû ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè èìåþò êîñòåïåíü � �, è íàîáîðîò. 25 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Åñëè l x( )* — îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë êîñòåïåíè � �, òî âñå åãî ìîíîìû ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè èìåþò êîñòåïåíü � �, è íàîáîðîò. Ñîãëàøåíèå 1.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå. Ïîëîæèì ( [ ]) [ ]R Rx xd d � äëÿ d �Z, òîãäà R[ ]x ÿâëÿåòñÿ ïîëóãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïðè ðàññìîòðåíèè íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ áóäåì ñ÷èòàòü R[ ]x ñíàáæåííûì ýòîé ïîësóãðàäóèðîâêîé. Ïóñòü f x f x f xs( ) ( ( ), ... , ( ))� 1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , ïîëîæèì (( ( )) ) ( ( ))f x f xx d x d � , òîãäà ( ( ))f x x ÿâëÿåòñÿ ïîëóãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïðè ðàññìîòðåíèè íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ áóäåì ñ÷èòàòü ( ( ))f x x ñíàáæåííûì ýòîé ïîëóãðàäóèðîâêîé. Ïîëîæèì ( [ ]) [ ]R Rx xd d� �� äëÿ d �Z, òîãäà R[ ]x ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ áóäåì ñ÷èòàòü R[ ]x ñíàáæåííûì ýòîé ãðàäóèðîâêîé. Ïóñòü f x f x f xs( ) ( ( ), ... , ( ))� 1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , ïîëîæèì (( ( )) ) ( ( ))f x f xx d x d� �� , òîãäà ( ( ))f x x ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ìîäóëåì íàä R. Ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ áóäåì ñ÷èòàòü ( ( ))f x x ñíàáæåííûì ýòîé ãðàäóèðîâêîé. Îïðåäåëåíèå 1.8. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 , � ( � , ... , � )u u un� 1 — ïåðåìåííûå. Ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ) èç R[ ]x íàçîâåì è îáîçíà÷èì �F x y( , ) êîâåêòîð èç R[ , ]x y n�1 òàêîé, ÷òî � ( , ) � ( , ) @ @ ( ) ( , )u F x y u F x y x y F x y k n k k� � � � � � � � 1 � � � � � � � k n k k kx y F x y F x F y 1 ( ) ( , ) ( ) ( ). Íàçîâåì ëèíåéíîå íàä R îòîáðàæåíèå R R[ ] [ , ]x x y n� �1, ñîïîñòàâëÿþùåå ïîëèíîìó F x( ) åãî ðàçíîñòíóþ ïðîèçâîäíóþ �F x y( , ), îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé è îáîçíà÷èì åãî � x x y( , ), òîãäà èìååò ìåñòî � ( , ) � ( , ) @ @ ( ) ( , )u x y u x y x y x yx k n k x k x� � � � � � � � 1 � � � � � � � k n k k x k x xx y x y x y 1 ( ) ( , ) ( ) ( ).1 1 Ïóñòü F x x d( ) [ ]� R , íàçîâåì ðàçíîñòíóþ ïðîèçâîäíóþ �F x y( , ) ïîëèíîìà F x( ) ïîëóîäíîðîäíîé, åñëè � k F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè �d 1 äëÿ k n�1, . Íàçîâåì îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé � x x y( , ) ïîëóîäíîðîäíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà F x x d( ) [ ]� R êîâåêòîð ïîëèíîìîâ � x x y F x( , ). ( ) ÿâëÿåòñÿ åãî ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Òîãäà � x k x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè �1 äëÿ k n�1, . Ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R , íàçîâåì ðàçíîñòíóþ ïðîèçâîäíóþ �F x y( , ) ïîëèíîìà F x( ) îäíîðîäíîé, åñëè � k F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè � �d 1 äëÿ k n�1, . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 26 Íàçîâåì îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé � x x y( , ) îäíîðîäíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà F x x d( ) [ ]� �R êîâåêòîð ïîëèíîìîâ � x x y F x( , ). ( ) ÿâëÿåòñÿ åãî îäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Òîãäà � x k x y( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �1 äëÿ k n�1, . Ëåììà 1.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 è y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå. Ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà F x( ) èç R[ ]x ñóùåñòâóåò, íàïðèìåð, � � �� k k k k n kF x y F y y x x x F y y ( , ) ( , ... , , , , ... , ) ( , ... ,1 1 1 1 � � � 1 1, , , ... , )y x x x y k k n k k äëÿ k n�1, . Ïóñòü F x x d( ) [ ]� R , òîãäà � k F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè �d 1 äëÿ k n�1, , ò.å. äëÿ ïîëèíîìà F x( ) ñóùåñòâóåò ïîëóîäíîðîäíàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ �F x y( , ). Îòîáðàæåíèå R R[ ] [ , ]x x y n� �1, ñîïîñòàâëÿþùåå ïîëèíîìó F x( ) êîâåêòîð �F x y( , ), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì, ñëåäîâàòåëüíî, îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, ò.å. ñóùåñòâóåò ïîëóîäíîðîäíûé îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R , òîãäà � k F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè � �d 1 äëÿ k n�1, , ò.å. äëÿ îäíîðîäíîãî ïîëèíîìà F x( ) ñóùåñòâóåò îäíîðîäíàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ �F x y( , ). Îòîáðàæåíèå R R[ ] [ , ]x x y n� �1, ñîïîñòàâëÿþùåå îäíîðîäíîìó ïîëèíîìó F x( ) êîâåêòîð �F x y( , ), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì, ñëåäîâàòåëüíî, îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, ò.å. äëÿ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ ñóùåñòâóåò îäíîðîäíûé îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Ëåììà 1.2. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 , � ( � , ... , � )u u un� 1 — ïåðåìåííûå. 1. Åñëè �F x y( , ) — ïîëóîäíîðîäíàÿ (îäíîðîäíàÿ) ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (îäíîðîäíîãî) ïîëèíîìà F x( ), òî �� F x y F y x( , ) ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé (îäíîðîäíîé) ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ). Åñëè � x x y( , ) — ïîëóîäíîðîäíûé (îäíîðîäíûé) îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, òî � � � �x xx y y x( , ) ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì (îäíîðîäíûì) îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. 2. Ïóñòü V x F x G x( ) ( ) ( )� , òîãäà � � �F x y G x F y G x y( , ) ( ) ( ) ( , ) åñòü ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà V x( ). 3. Ïóñòü F x x d( ) [ ]� R , ïóñòü �� F x y( , ) è �� F x y( , ) — äâå ïîëóîäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå ïîëèíîìà F x( ), òîãäà � ( , ) � ( , ) (( ) � ( ) � ) , u F x y u F x y x y u x y u k l k k l l l k�� T x ykl ( , ), ãäå k l è deg( )T dkl � 2. 4. Ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R , ïóñòü �� F x y( , ) è �� F x y( , ) — äâå îäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå ïîëèíîìà F x( ), òîãäà � ( , ) � ( , ) (( ) � ( ) � ) , u F x y u F x y x y u x y u k l k k l l l k�� T x ykl ( , ), ãäå k l è T x ykl ( , ) — îäíîðîäíûé ïîëèíîì ñòåïåíè � �d 2. 27 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Äîêàçàòåëüñòâî.1. Èìååò ìåñòî ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ( x y F x y x y F y x y x F y x F y F � �� x F x F y)) ( ) ( ),� � ñëåäîâàòåëüíî, �� F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ). Åñëè F x x d( ) [ ]� R è �F x y( , ) — ïîëóîäíîðîäíàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî èìååò ìåñòî � � �k dF x y x y( , ) [ , ]R 1 äëÿ k n�1, , òîãäà �� k F x y( , ) � � � �k dF y x x y( , ) [ , ]R 1, ñëåäîâàòåëüíî, �� F x y F y x( , ) ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Åñëè F x x d( ) [ ]� �R è �F x y( , ) — îäíîðîäíàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî èìååò ìåñòî � � � �k dF x y x y( , ) [ , ]R 1 äëÿ k n�1, , òîãäà �� k k dF x y F y x x y( , ) ( , ) [ , ]R 1, ñëåäîâàòåëüíî, �� F x y F y x( , ) ( , ) ÿâëÿ- åòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Èç ïåðâîé ÷àñòè óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî � � � �x xx y y x( , ) ( , ) ñîïîñòàâëÿåò ëþáîìó ïîëèíîìó F x x( ) [ ]�R åãî ïîëóîäíîðîäíóþ (îäíîðîäíóþ) ðàçíîñòíóþ ïðîèçâîäíóþ. Èç ëèíåéíîñòè íàä R îòîáðàæåíèÿ � x x y( , ) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü íàä R îòîáðàæåíèÿ � � � �x xx y y x( , ) ( , ). Òàêèì îáðàçîì, � �x x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì (îäíîðîäíûì) îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. 2. Èìååò ìåñòî � �( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )x y F x y G x F y G x y� � � � � � � � � � � �(( ) ( , )) ( ) ( )(( ) ( , ))x y F x y G x F y x y G x y � � � � �( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( ))F x F y G x F y G x G y � � � �F x G x F y G y V x V y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. 3, 4. Îáîçíà÷èì W x y F x y F x yk k k( , ) ( , ) ( , )� �� , ïîëîæèì T x y x y W x ykl x k l( , ) ( , ). ( , )� � � � � � � � 1 x y W y x x y W y y x y k k l k k k l k k k( ( , , , ) ( , , , )). Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà 3 è 4 ëåììû (ñì. òàêæå êîíåö ñòð. 45 — íà÷àëî ñòð. 46 [3]). Â óòâåðæäåíèè 3 ñòåïåíè ïîëèíîìîâ �� l F x y( , ) è �� l F x y( , ) ÿâëÿþòñÿ �d 1, ïîýòîìó deg( )W dl �1, òîãäà deg deg( ) ( )T W dkl l � �1 2. Â óòâåðæäåíèè 4 �� l F x y( , ) è �� l F x y( , ) ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè ïîëèíîìàìè ñòåïåíè � �d 1, ïîýòîìó W x yl ( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè � �d 1, òîãäà T x ykl ( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè � �d 2. Ñîãëàøåíèå 1.2. Â äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîãî, äëÿ íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëóîäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå è ïîëóîäíîðîäíûå îïåðàòîðû ðàçíîñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, à äëÿ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ — òîëüêî îäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå è îäíîðîäíûå îïåðàòîðû ðàçíîñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Îïðåäåëåíèå 1.9. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 è y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 28 f x f x f xn( ) ( ( ), ... , ( ))� �1 1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x . 1. Îáîçíà÷èì J x y f x y x yx x( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| .� � �det 2. Äëÿ ôóíêöèîíàëà L x( )* îáîçíà÷èì [ ( )]L x îïåðàòîð L y J x y L y f x y x yx x( ). ( , ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| . � � �det 3. Äëÿ ôóíêöèîíàëà L x( ) è ïîëèíîìà F x( ) îáîçíà÷èì L x F x( ) * ( )* � � [ ( )]. ( )L x F x , òîãäà L x F x L y f x y F x y( ) ( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| .* � � �det 4. Äëÿ ôóíêöèîíàëîâ l x( ) è L x( )* îáîçíà÷èì l x L x( ) * ( )* * � � l x L x( ).[ ( )]* * , òîãäà l x L x l x L y J x y l x L yx( ) * ( ) ( ). ( ). ( , ) ( ). ( ). \| \|* * * * * � � �det f x y x yx( , ) ( , )\| \| .� Óêàçàííîå îòîáðàæåíèå íàçîâåì îïåðàöèåé ïîðîæäåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê � x x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì, òî îòîáðàæåíèÿ J x yx ( , ) è [ ( )]L x ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íàä R, à îòîáðàæåíèÿ â ïï. 3 è 4 îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ áèëèíåéíûìè íàä R. Êîììåíòàðèé 1.2. (Ê îïðåäåëåíèþ 1.9.) Ïóñòü x n� �� R — êîðåíü ïîëèíîìîâ f x( ), òîãäà 1x ( )� ÿâëÿåòñÿ êîðíåâûì ôóíêöèîíàëîì ïîëèíîìîâ f x( ). Ïóñòü ìàòðèöà � � � � � � � �� f x x ( ) ( )� èìååò ðàíã n � 1, òîãäà âåêòîð � �x x k k k * * � �� det det f x x x f x x xi k k( ) ( ) ( ) ( )* * � � � � �� i n k n 1 1 1 , , ÿâëÿåòñÿ íåíóëåâûì êàñàòåëüíûì âåêòîðîì ê ìíîãîîáðàçèþ êîðíåé ïîëèíîìîâ f x( ) â òî÷êå x � �, à L x( )* � � � � � � � � � � � � � � � � �� x x f x x xk k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det � � ÿâëÿåòñÿ êîðíåâûì ôóíê- öèîíàëîì ïîëèíîìîâ f x( ). Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî L x L x L y f x y x y f x( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , ) \| \| \| \| * * � � � � � � 1 2 det det ( , ) ( , )\| \| ( ) ( ) ( ) ,� � � � � �� x f x x x det ãäå L x x1 ( ) ( ) � 1 � , L x x2 ( ) ( )* � 1 � , ýòè ôóíêöèîíàëû ÿâëÿþòñÿ êîðíåâûìè ôóíêöèîíàëàìè ïîëèíîìîâ f x( ). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, òàê êàê � � � � F F x x ( , ) ( ) ( )� � � äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà F x( ) è � � � �x x ( , ) ( )� � � . Â ï. 3 òå- îðåì 2.3 è 3.3 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî åñëè L x1 ( )* è L x2 ( )* — ëþáûå äâà êîðíå- âûõ ôóíêöèîíàëà ïîëèíîìîâ f x( ), òî L x( )* ÿâëÿåòñÿ êîðíåâûì ôóíêöèîíà- ëîì ïîëèíîìîâ f x( ). Îïåðàöèÿ ïîðîæäåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ ÿâëÿåòñÿ îáîá- ùåíèåì ïðîöåäóðû ïîëó÷åíèÿ êîðíåâîãî ôóíêöèîíàëà det � � � � � � � � � �� f x x x ( ) ( ) ( )� � ïîëèíîìîâ f x( ) ïî êîðíþ x � � (êîðíåâîìó ôóíêöèîíàëó 1x ( )� ). Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — (îäíîðîäíûå) ïîëèíîìû èç R[ ]x , 29 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü F x( ) — (îäíîðîäíûé) ïîëèíîì. Ïóñòü �f x yi ( , ) — ïîëóîäíîðîäíàÿ (îäíîðîäíàÿ) ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà f xi ( ) äëÿ i n� �1 1, , �F x y( , ) — ïîëóîäíîðîäíàÿ (îäíîðîäíàÿ) ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà F x( ), � x x y( , ) — ïîëóîäíîðîäíûé (îäíîðîäíûé) îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü �� f x y f y xi i( , ) ( , ) äëÿ i n� �1 1, , �� F x y F y x( , ) ( , ), � � � �x xx y y x( , ) ( , ). Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ï. 1 ëåììû 1.2 �� f x yi ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé (îäíîðîäíîé) ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà f xi ( ) äëÿ i n� �1 1, , �� F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé (îäíîðîäíîé) ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ), � �x x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì (îäíîðîäíûì) îïåðàòîðîì ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. 1. Ïóñòü R x y f x y F x y R x y f x y( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| , ( , ) \| \| ( , )� � � � � ��det det �� F x y J x y f x y x y J x yx x x ( , )\| \| , ( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| , ( , )det det\| \| ( , ) ( , )\| \| ,�� f x y x yx òîãäà R y x f y x F y x f x y F x y( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| \| \| ( , ) ( , )� � � � �� det det \| \| ( , ), ( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| \| \| ( � � � � � � �� R x y J y x f y x y x fx xdet det x y x y J x yx x, ) ( , )\| \| ( , ).�� 2. Ïóñòü L x( )* — (îäíîðîäíûé) ôóíêöèîíàë, ïîëîæèì H y L x f x y F x y H xl r( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| , ( )� � � � �det � �� L y f x y F x y( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| , det òîãäà H x L y f y x F y xl ( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � � �det � �� L y f x y F x y H xr( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| ( ). det Ïîëîæèì [ ( )] ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| ,* L y L x f x y x yl y� � �det [ ( )] ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| , L x L y f x y x yr x� � �� det òîãäà [ ( )] ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| L x L y f y x y xl x� � � �det � �� L y f x y x y L xx r( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| [ ( )] . det 3. Ïóñòü L x1 ( ) è L x2 ( )* — (îäíîðîäíûå) ôóíêöèîíàëû, òîãäà L x L y f x y x yx2 1( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det � � � � �� L x L y f x y x yx1 2( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det . Äîêàçàòåëüñòâî. 1, 2. Î÷åâèäíî. 3. Èìååò ìåñòî L x L y f x y x yx2 1( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det � � � � � � �L y L x f x y x yx1 2( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det � � � �L x L y f y x y xx1 2( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 30 � �� L x L y f x y x yx1 2( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| .* * det Êîììåíòàðèé 1.3. Îòëè÷èå R y x( , ) îò R x y( , ) è îòëè÷èå J y xx ( , ) îò J x yx ( , ) â ï. 1 òåîðåìû 1.1 îïèñûâàþòñÿ â ï. 2 òåîðåìû 2.1 äëÿ íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ è â ï. 2 òåîðåìû 3.1 äëÿ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ. Ïðè óñëîâèÿõ ï. 2 òåîðåìû 1.1 ïîëîæèì H x L y f x y F x yr ( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det , [ ( )] ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| . L x L y f x y x yr x� � �det Îòëè÷èå H x H xl r( ) ( )� � îò H xr ( ) è îòëè÷èå [ ( )] [ ( )] L x L xl r� � îò [ ( )]L x r â ï. 2 òåîðåìû 1.1 îïèñûâàþòñÿ â ï. 2 òåîðåì 2.2 è 2.4 äëÿ íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ è â ï. 2 òåîðåì 3.2 è 3.4 äëÿ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ. Îòëè÷èå ôóíêöèîíàëà L x L y f x y x yx2 1( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * det � � îò ôóíêöèîíàëà L x L y1 2( ). ( ).* * det \| \| ( , ) ( , )\| \|� �f x y x yx â ï. 2 òåîðåìû 1.1 îïèñûâàþòñÿ â ï. 2 òåîðåì 2.3 è 2.5 äëÿ íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ è â ï. 2 òåîðåì 3.3 è 3.5 äëÿ îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ. Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåì 2.5 è 3.5 èìååòñÿ òî÷íàÿ êîììóòàòèâíîñòü îïåðàöèè ïîðîæäåíèÿ. Êîììåíòàðèé 1.4. Èç ï. 2 òåîðåìû 1.1 âèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü òîëüêî îäíî ïðîèçâåäåíèå L x F x L y f x y F x y r ( )* ( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �det , îïðåäåëåííîå â ï. 3 îïðåäåëåíèÿ 1.9, äðóãîå ïðîèçâåäåíèå L y F y L x f x y F x y r ( )* ( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �det ÷åðåç íåãî âûðàæàåòñÿ; äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü òîëüêî îäèí îïåðàòîð [ ( )]L x r � L y f x y x yx( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| det � � , îïðåäåëåííûé â ï. 2 îïðåäåëåíèÿ 1.9, äðóãîé îïåðàòîð [ ( )] ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* L y L x f x y x yl y� � �det ÷åðåç íåãî âûðàæàåòñÿ. 2. ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ Ïóñòü R — êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Ëåììà 2.1. Ïóñòü M — ïîëóãðàäóèðîâàííûé ìîäóëü íàä R, òîãäà l RR� �Hom ( , )M � ýêâèâàëåíòíî l RR�Hom ( , )M è l àííóëèðóåò M d äëÿ âñåõ d �. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå l àííóëèðóåò M d äëÿ âñåõ d � ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ l àííóëèðóåò M �� 1. Äîêàçàòåëüñòâî. ( � ) Ïóñòü l RR� �Hom ( , )M � . Åñëè d �, òî l R( )M �� d d � { }0 , ïîñêîëüêó d � � 0, ñëåäîâàòåëüíî, l àííóëèðóåò M d . ( � ) Ïóñòü l àííóëèðóåò M d äëÿ âñåõ d �. Åñëè d � �, òî l R R( )M �� d d � , ïîñêîëüêó d � �� 0. Åñëè d �, òî l R( )M �� d d{ }0 � , ïîñêîëüêó d � � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, l ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �. Ëåììà 2.2. Ïóñòü M è N — ïîëóãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, l RR� �Hom ( , )N � . Òîãäà îòîáðàæåíèå : ( )M M� �� N m n m l n� ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �. Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì. Ëþáîé ýëåìåíò èç ( )M N� d åñòü ñóììà ýëåìåíòîâ âèäà m n� , ãäå m � �M d � , n � N � . Òîãäà l n R( ) � �� è : m n� � m l n� �( ) � � � � � �M Md d� �R � � . Ïîêàæåì, ÷òî èìååò ìåñòî ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå. Åñëè � � �, òî M M M M � � � � �� d d d d� � � �R R� � , ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó R R � �� , çäåñü � � �� 0; ïîñëåäíåå 31 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 âêëþ÷åíèå èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó d d� �� . Åñëè � �, òî M M � � �� d d� � �R � { }0 { }0 � �M d � , ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó R � �� { }0 , çäåñü � � � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �. Ëåììà 2.3. Ïóñòü M è N — ïîëóãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, l RR� �Hom N( , ) � . Ïóñòü � : M N� — ïîëóîäíîðîäíîå ëèíåéíîå íàä R îòîáðàæåíèå ñòåïåíè �, òîãäà l RR. ( , )� �� Hom M � . Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååò ìåñòî ( . )( ) ( ( ))l l� �M M � �d d l( )N � �d � � � �R d � � . Ïåðâîå âêëþ÷åíèå èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó � �( )M N ��d d , òàê êàê � : M N� ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè �; âòîðîå âêëþ÷åíèå èìååò ìåñòî, òàê êàê l ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî l RR. ( , )� �� Hom M � . Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü F x x d( ) [ ]� R . Ïîëîæèì R x y f x y F x y( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det , òîãäà: 1) ïîëèíîì R x y x y f d ( , ) [ , ]� � R � , ò.å. îòîáðàæåíèå J x yx ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � f ; 2) ïîëèíîì R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( )f x � � f y x y df( )) , � íåçàâèñèìî îò âûáîðà �F x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� �� è ñëàãàåìîãî ( ( ) ( )) ( , )F x F y x y� �� íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ), ãäå �( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ); 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� , òî R x y f x f y x y d f( , ) ( ( ), ( )) ,� � � , ò.å. îòîáðàæåíèå J x yx ( , ) èíäóöèðóåò ïîëóîäíîðîäíîå îòîáðàæåíèå ( ( )) ( ( ), ( )) ,f x f x f yx x y� ñòåïåíè � f ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî R x y f x x y d f( , ) ( ( )) ,� � � , ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî R x y f y x y d f( , ) ( ( )) ,� � � . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîñêîëüêó âñå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå — ïîëóîäíîðîäíûå, òî �F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ êîâåêòîðîì ïîëèíîìîâ ñòåïåíè �d 1, �f x yi ( , ) ÿâëÿåòñÿ êîâåêòîðîì ïîëèíîìîâ ñòåïåíè �deg( )fi 1 äëÿ i n� �1 1, , òîãäà R x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè � � � � � i n if 1 1 1( ( ) )deg � � � � � � � � �( ( ) ) ( ( ) ) ( )deg deg degF f n F d i n i f1 1 1 � . 2. Ïîñêîëüêó F x x d( ) [ ]� R è �F x y( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, òî â ñèëó ï. 3 ëåììû 1.2 íåîäíîçíà÷íîñòü �F x y( , ) èìååò âèä � ( , ) � ( , ) (( ) � ( ) � ) , u F x y u F x y x y u x y u T k l k k l l l k�� kl x y( , ), ãäå k l , T x y x ykl d( , ) [ , ]� �R 2 . Òîãäà R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 32 k l k l k l l l k k f x y f x y x y f x y x y, , ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( � � � � � � � � � det 0 ) ( , ) � � � �� T x ykl � � � � � � � � � � k l k l k k k l l l f x y x y f x y x y f x y, , ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , det ) ( , ) � � � � � � � � � � � �� T x ykl � � � � � � � � � � � � � � � �� k l k l klf x y f x f y T x y , , ( , ) ( ) ( ) ( , )det � �� i i i if x f y x y( ( ) ( )) ( , ). Òðåòèé îïðåäåëèòåëü ðàâåí âòîðîìó îïðåäåëèòåëþ, òàê êàê ìàòðèöà òðåòüåãî îïðåäåëèòåëÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû âòîðîãî îïðåäåëèòåëÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ ê ïîñëåäíåé ñòðîêå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îñòàëüíûõ ñòðîê, ò.å. äëÿ ëþáîãî i n� �1 1, (( ) ( , ) ( ) ( , )) ( ) : , x y f x y x y f x y x yk k k i l l l i m k l m m� � � � � � � � � � �m if x y( , ) � � � � �� m m m m i i ix y f x y f x f y( ) ( , ) ( ) ( ). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàñïèñûâàíèè îïðåäåëèòåëÿ ïî ïîñëåäíåé ñòðîêå. Òðåòüå âûðàæåíèå åñòü ïîëèíîì � � � � � �( ( ) ( )) [ , ],f x f y x yx y df� 2 2R � � � ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� , ñëåäîâàòåëüíî, �i d f x y x y f i( , ) [ , ] ( ) � � � R deg , ïðè ýòîì i x y( , ) íå çàâèñèò îò f xi ( ). Çäåñü T x y x ykl d( , ) [ , ]� �R 2 ; òðåòèé îïðåäåëèòåëü ïðèíàäëåæèò ( ( ) ( )) ,f x f y x y f� �� 2 , ïîñêîëüêó â íåì êîýôôèöèåíòîì ïðè ( ( ) ( ))f x f yi i� ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü � �� det k l i D f x y x y i, ( , ) [ , ]R , ãäå D f f fi j i j j n j i� � � � � � � � � � � : ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )deg deg deg1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � j n j i f if n f f 1 1 2 2deg deg deg( ) ( ) ( ) ( )� . Òàêèì îáðàçîì, ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ) ïîëèíîì R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� �� . Ìåíÿÿ ìåñòàìè f xj ( ) è F x( ) â äîêàçàííîì âûøå óòâåðæäåíèè, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x yj ( , ) ïîëèíîì R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà ( ( ) ( )) ( , ) ( ( ) ( )) ( , ) : f x f y x y F x F y x yi i j i i � � � � � � , ãäå �i d f x y x y f i( , ) [ , ] ( ) � � � R deg , � ( , ) [ , ] [ , ]x y x y x yf fd d � � � � R R � � , ïðè ýòîì � ( , )x y íå çàâèñèò îò F x( ). Ïåðâîå ñëàãàåìîå � � � ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� . Òàêèì 33 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 îáðàçîì, ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ) ïîëèíîì R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� �� è ñëàãàåìîãî âèäà ( ( ) ( )) ( , )F x F y x y� � , ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). 3. Ïóñòü F x f x g x f x x d( ) ( ) ( ) ( ( ))� � , òîãäà â ñèëó ï. 2 ëåììû 1.2 ïîëèíîì F x( ) îáëàäàåò òàêæå ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé �� F x y( , ) � �f x y g x( , ) ( ) � �f y g x y( ) ( , ), îíà ÿâëÿåòñÿ êîâåêòîðîì ïîëèíîìîâ ñòåïåíè �d 1, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ). Çàìåòèì, ÷òî åñëè deg( )F d , òî ýòà ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò, òåì íå ìåíåå, áûòü êîâåêòîðîì ïîëèíîìîâ, ñðåäè êîòîðûõ èìåþòñÿ ïîëèíîìû ñòåïåíè d F� � �1 1deg( ) . Òîãäà R x y f x y F x y� � � �� ( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \|det � � � � � �det \| \| ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )\| \|f x y f x y g x f y g x y � � � � � ��det det\| \| ( , ) ( ) ( , )\| \| ( ) \| \| ( , ) (f x y f y g x y f y f x y g i i i x y, )\| \| . Òàê êàê f x g x f x x d( ) ( ) ( ( ))� , òî g x xi d fi( ) [ ] ( )� �R deg , òîãäà â ñèëó ï. 1 òåîðåìû èìååò ìåñòî det deg \| \| ( , ) ( , )\| \| [ , ] ( ) � � � � � f x y g x y x yi d ff iR � , ñëåäîâàòåëüíî, R x y f y x y d f� � � ( , ) ( ( )) , � . Èìååò ìåñòî R x y R x y f x f y x y d f( , ) ( , ) ( ( ) ( )) ,� � � � � � â ñèëó ï. 2 òåîðåìû îá îäíîçíà÷íîñòè R x y( , ) ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ), ñëåäîâàòåëüíî, R x y f x f y x y d f( , ) ( ( ), ( )) ,� � � . Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî �� F x y f x y g y f x g x y( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ) è R x y f x y F x y f x x y d f� � � � �� ( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \| ( ( )) ,det � . Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x f xn( ) ( ( ), ... , ( ))� �1 1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( ) àííóëèðóåò R[ ]x �� 1, ò.å. èìååò êîñòåïåíü � �, ïóñòü F x x d( ) [ ]� R . Ïîëîæèì H x L y f x y F x y( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det . Òîãäà: 1) H x x d f( ) [ ]� � � R � � , ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �( )� � f . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( )* òàêæå àííóëèðóåò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f � �� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f � �� è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x( ). ( ( )* � F y x y( )) ( , )� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ); 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� , òî H x f x x d f( ) ( ( ))� � �� , ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x îòîáðàæàåò ( ( ))f x x â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ íà íåì ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �( )� � f ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî H x( ) � 0. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 34 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì R x y f x y F x y( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det . 1. Â ñèëó ï. 1 òåîðåìû 2.1 � �R x y x y x yf fd d ( , ) [ , ] [ ] [ ]� ! � � � R R RR � � , à ïîñêîëüêó L y( ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ñòåïåíè � �, òî â ñèëó ëåììû 2.2 ïîëèíîì H x L y R x y( ) ( ). ( , )� èìååò ñòåïåíü � � � � � �( ) ( )� �f fd d� � . Ïîëó÷àåì, ÷òî H x x d f( ) [ ]� � � R � � . 2. Ïóñòü ïîëèíîì W x y f x f yx y d x y df f( , ) ( ( )) ( ( )), ,� � � �� . Òîãäà ïîëèíîì L y W x y( ). ( , ) � L y( ).* ( ( )) ,f x x y df �� L y f y L y f xx y d x y df f( ). ( ( )) ( ). ( ( ))* , * , � � , ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, òàê êàê ôóíêöèîíàë L y( )* àííóëèðóåò ( ( ))f y y . Ïîñêîëüêó ( ( )) (( ( )),f x f xx y d x f � ! � � � R R[ ])y f d� è L y( )* ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ñòåïåíè � �, òî â ñèëó ëåììû 2.2 èìååò ìåñòî L y f x f xx y d x df f( ). ( ( )) ( ( ))* , � � � � � �� . Òîãäà L y W x y f x x d f( ). ( , ) ( ( ))* � � �� . Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.1 R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )), , ,f x f y f x f yx y d x y d x y df f f� � � � � �� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ). Òîãäà H x L y R x y( ) ( ). ( , )� îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f � �� . Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.1 R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )), , ,f x f y f x f yx y d x y d x y df f f� � � � � �� è ñëàãàåìîãî âèäà ( ( ) ( )) ( , )F x F y x y� �� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). Òîãäà H x L y R x y( ) ( ). ( , )� îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f � �� è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x F y x y( ). ( ( ) ( )) ( , )* � � ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). 3. Ïîñêîëüêó F x f x x d( ) ( ( ))� , òî â ñèëó ï.3 òåîðåìû 2.1 R x y( , ) �( ( )) ,f y x y df �� ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ), òîãäà H x L y R x y( ) ( ). ( , )� � 0, òàê êàê L y( ) àííóëèðóåò ( ( ))f y y . Ïîñêîëüêó â ñèëó ï. 2 òåîðåìû H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f � �� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ), òî èìååò ìåñòî H x f x x d f( ) ( ( ))� � �� ïðè ëþáîì âûáîðå �F x y( , ). Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x1 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 1 1 , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � 1, ïóñòü ôóíêöèîíàë L x2 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 2 1 , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � 2 . Ïîëîæèì L x L x L y f x y x yx( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �1 2 det . Òîãäà: 1) L x( ) àííóëèðóåò R[ ]x f � � �� 1 2 1� , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � �� 1 2 � f . Ïóñòü ôóíêöèîíàëû L x1 ( )* è L x2 ( )* òàêæå àííóëèðóþò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà L x L y x y L x L y y x1 2 2 1( )( ( ). ( , )) ( )( ( ). ( , ))* * * � �� 35 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � ; 3) L x( ) àííóëèðóåò ( ( ))f x x . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F x x( ) [ ]�R , ïîëîæèì H x L y f x y x y F x L yx( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| . ( ) ( ). \|* � � � �2 2det det \| ( , ) ( , )\| \| .� �f x y F x y 2. Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.2 ïîëèíîì H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x , íåçàâèñèìî îò âûáîðà �F x y( , ). Ñëåäîâàòåëüíî, L x F x L x H x( ). ( ) ( ). ( ) � 1 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó L x1 ( ) àííóëèðóåò ( ( ))f x x . Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè F x x( ) [ ]�R ôóíêöèîíàë L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ). Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.2 ïîëèíîì H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x F y x y2 ( ). ( ( ) ( )) ( , )* � � ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). Òîãäà L x F x L x H x( ). ( ) ( ). ( )* � 1 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç L x f x x( ). ( ( )) , ðàâíîãî íóëþ, ïîñêîëüêó L x( )* àííóëèðóåò ( ( ))f x x , è ñëàãàåìîãî âèäà L x L y F x F y x y1 2( ). ( ). ( ( ) ( )) ( , )* * � �� L x L y x y F x L y L x x y1 2 2 1( )( ( ). ( , )). ( ) ( )( ( ). ( , )).* * * � � F y( ) � � �L x L y x y F x L x L y y x1 2 2 1( )( ( ). ( , )). ( ) ( )( ( ). ( , )). * * � � F x( ) � � �( ( )( ( ). ( , )) ( )( ( ). ( , ))). ( * * L x L y x y L x L y y x F x1 2 2 1� � ). Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè F x x( ) [ ]�R ôóíêöèîíàë L x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà L x L y x y1 2( )( ( ). ( , ))* * � � � L x L y y x2 1( )( ( ). ( , ))* * � . 3. Ïóñòü F x f x x( ) ( ( ))� , òîãäà â ñèëó ï. 3 òåîðåìû 2.2 H x f x x( ) ( ( ))� , à ïîñêîëüêó L x1 ( )* àííóëèðóåò ( ( ))f x x , òî L x F x L x H x( ). ( ) ( ). ( )� �1 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè F x f x x( ) ( ( ))� ôóíêöèîíàë L x( ) àííóëèðóåò ( ( ))f x x . 1. Èìååò ìåñòî L x L x L x( ) ( ).[ ( )]* * � 1 2 . Ôóíêöèîíàë L x1 ( ) èìååò ñòåïåíü � � 1, â ñèëó ï. 1 òåîðåìû 2.2 [ ( )]L x2 ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �( )� 2 � f , ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ëåììû 2.3 L x( ) � � L x L x1 2( ).[ ( )]* * ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ñòåïåíè � � � � �( ) ( )� �1 2 � f � � � �( )� �1 2 � f . Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( )* àííóëèðóåò R[ ]x f �� , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )1 , ãäå � � 0, ïóñòü F x x d( ) [ ]� R . Ïîëîæèì H x L y f x y F x y( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det . Òîãäà: 1) H x x d( ) [ ]� � �R � 1, ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x ÿâëÿåòñÿ ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �( )� 1 . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( )* òàêæå àííóëèðóåò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà � �L y F y x y( ). ( ) ( , )* � R[ ] min( , ) x f d � � � � � 1 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 36 � R[ ]x f� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ); 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� , òî H x f x x d( ) ( ( ))� � �� 1, ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x îòîáðàæàåò ( ( ))f x x â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ íà íåì ïîëóîäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �( )� 1 ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî H x( ) � 0. Äîêàçàòåëüñòâî.1, 3. Ïóíêòû 1 è 3 òåîðåìû ïîëó÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èç ïï. 1 è 3 òåîðåìû 2.2 ïóòåì ïîäñòàíîâêè � @ @ � �f � �1. Ïðè ýòîì � � �� f @ @ 1, d df� � � �� @ @ 1. 2. Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.2 H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( )) @ @ ( ( ))f x f xx d x df � � � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ). Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.2 ïîëèíîì H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( )) @ @ ( ( ))f x f xx d x df � � � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x F y x y F x L y x y L y F( ). ( ( ) ( )) ( , ) ( ) ( ). ( , ) ( ). * � � � � �� ( ) ( , )y x y�� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). Â ñèëó ëåììû 2.1 ôóíêöèîíàë L y( ) àííóëèðóåò R[ ]y f � , ïîñêîëüêó èìååò êîñòåïåíü � � � �� f f1 , ñëåäîâàòåëüíî, L y x y( ). ( , )* � � 0, ïîñêîëüêó � ( , )x y èìååò ïî y ñòåïåíü � f . Òîãäà F x L y x y F x( ) ( ( ). ( , )) ( )� � � �� 0 0. Ïîëó÷àåì, ÷òî H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà � L y F y x y( ). ( ) ( , ) � ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � è íå çàâèñèò îò F x( ). Ïîñêîëüêó F y x y x y x yf fd d ( ) ( , ) [ , ] ( [ ] [ ])� � ! � � � R R RR � � è L y( )* ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì ñòåïåíè � � �( )� �f 1 , òî â ñèëó ëåììû 2.2 L y F y x y x xf fd d( ). ( ) ( , ) [ ] [ ]* ( ) ( ) � � � � � � � � �R R � � � �1 1. Â òî æå âðåìÿ L y F y x y x f( ). ( ) ( , ) [ ]* � � R � , ïîñêîëüêó � ( , )x y ïî x èìååò ñòåïåíü � f . Ñëåäîâàòåëüíî, � � � � L y F y x y x f d ( ). ( ) ( , ) [ ]* min( , ) � R � � 1 . Òåîðåìà 2.5. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x1 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x f �� 1 , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )1 1 , ãäå �1 0� , ïóñòü ôóíêöèîíàë L x2 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x f �� 2 , ò.å. èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )2 1 , ãäå �2 0� . Ïîëîæèì L x L x L y f x y x yx( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �1 2 det . Òîãäà: 1) L x( ) àííóëèðóåò R[ ]x f � � �� 1 2 1 , ò .å . èìååò êîñòåïåíü � � � � �� f ( ) ( )1 21 1 . Ïóñòü ôóíêöèîíàëû L x1 ( )* è L x2 ( )* òàêæå àííóëèðóþò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è âûáîðà �f x y( , ); 3) L x( )* àííóëèðóåò ( ( ))f x x . Äîêàçàòåëüñòâî.1. Åñëè â ï. 1 òåîðåìû 2.3 ïîäñòàâèòü � 1 1 1� � �f � � , � 2 2 1� � �f � � , òî ïîëó÷èì, ÷òî L x( )* èìååò êîñòåïåíü � � �� 1 2 � f � @ @ ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �f f f f� � � � � � � � � � �1 2 1 21 1 1 1 . 37 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 2. Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 2.3 L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà L x L y x y L x L y y x1 2 2 1( )( ( ). ( , )) ( )( ( ). ( , ))* * * � �� íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f� R � . Â ñèëó ëåììû 2.1 L yp ( ) àííóëèðóåò R[ ]y f � , òàê êàê ÿâëÿåòñÿ ôóí- êöèîíàëîì êîñòåïåíè � � � �� f p f1 , ãäå p �1 2, . Ñëåäîâàòåëüíî, L y x y2 0( ). ( , )* � � , ïîñêîëüêó � ( , )x y èìååò ïî y ñòåïåíü � f ; è L y y x1 0( ). ( , )* � � , ïîñêîëüêó � ( , )y x èìååò ïî y ñòåïåíü � f . Ïîëó÷àåì, ÷òî îáà ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ). 3. Óòâåðæäåíèå åñòü ñëåäñòâèå ï. 3 òåîðåìû 2.3. Òåîðåìà 2.6. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü L x( )* è L x� ( )* — ôóíêöèîíàëû òàêèå, ÷òî L x L x( ) ( )* � � íà R[ ]x �� 1, ãäå �� d f� 1, è F x x d( ) [ ]� R , òîãäà L x F x( ) ( )* � � �L x F x( ) * ( )* . Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèîíàë l x L x L x( ) ( ) ( )* * � � � àííóëèðóåò R[ ]x �� 1, òàê êàê L x L x( ) ( ) � � íà R[ ]x �� 1. Òîãäà â ñèëó ï. 1 òåîðåìû 2.2 èìååò ìåñòî l x F x x d f( ) ( ) [ ]* � � � �� R � � { }0 ; çäåñü d f� � � �� 1, òàê êàê �� d f� 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ( ( ) ( )) * ( ) ( ) * ( )* * L x L x F x l x F x� � � � 0, à çíà÷èò, L x F x L x F x( ) ( ) ( ) * ( )* � � . Òåîðåìà 2.7. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü L x1 ( ) , L x2 ( )* , L x�1 ( )* , L x� 2 ( )* — ôóíêöèîíàëû òàêèå, ÷òî L x1 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 1 1 , L x2 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 2 1 , L x L x� �1 1( ) ( )* * íà R[ ] , ( ) ( )* x L x L x �� 1 1 2 2 íà R[ ] ,x � �� 2 1 ãäå � �1 1 � è � �2 2 � . Òîãäà èìååò ìåñòî L x L x L x L x1 2 1 2( ) ( ) ( ) * ( )* * * � � � íà R[ ]x �� 1, ãäå � � � � �� min( , )1 2 1 2 � f . Ïðè ýòîì L x L x1 2( ) ( )* * àííóëèðóåò R[ ]x �� 1, ãäå � � �� 1 2 � f , è èìååò ìåñòî � � �, � �� min( , )� � � �1 1 2 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååò ìåñòî L x L x L x L x1 2 1 2( ) * ( ) ( ) * ( )* * * � � � � � � � � � � �( ( ) ( )) ( ) ( ) * ( ( ) ( )).* * * * * L x L x L x L x L x L x1 1 2 1 2 2 Ïðè ýòîì L x L x1 1( ) ( ) � � àííóëèðóåò R[ ]x � �� 1 1 , L x2 ( ) àííóëèðóåò R[ ]x �� 2 1 , L x1� ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 1 1 , L x L x2 2( ) ( )* � � àííóëèðóåò ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 38 R[ ]x � �� 2 1 . Òîãäà â ñèëó ï. 1 òåîðåìû 2.3 ïåðâîå ñëàãàåìîå àííóëèðóåò R[ ]x f � � � �� 1 2 1� , âòîðîå ñëàãàåìîå àííóëèðóåò R[ ]x f � � � �� 1 2 1� , ñëåäîâàòåëü- íî, èõ ñóììà àííóëèðóåò R[ ]x �� 1 . Òîãäà L x L x1 2( ) ( )* * � � � �L x L x1 2( ) * ( )* * íà R[ ]x �� 1. Ôóíêöèîíàë L x L x1 2( ) * ( )* * àííóëèðóåò R[ ]x f � � �� 1 2 1� â ñèëó ï. 1 òå- îðåìû 2.3, òàê êàê L x1 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 1 1 , L x2 ( )* àííóëèðóåò R[ ]x �� 2 1 . 3. ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ Ïóñòü R — êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Ëåììà 3.1. Ïóñòü M — ãðàäóèðîâàííûé ìîäóëü íàä R, òîãäà l RR� ��Hom ( , )M � ýêâèâàëåíòíî l RR�Hom ( , )M è l àííóëèðóåò M �d äëÿ âñåõ d � �. Äîêàçàòåëüñòâî. ( � ) Ïóñòü l RR� ��Hom ( , )M � . Åñëè d � �, òî l R( )M � � �� d d � { }0 , ïîñêîëüêó d � �� 0, ñëåäîâàòåëüíî, l àííóëèðóåò M �d . ( � ) Ïóñòü l àííóëèðóåò M �d äëÿ âñåõ d � �. Åñëè d � �, òî l R R( )M � � �� d d � , ïîñêîëüêó d � �� 0. Åñëè d � �, òî l R( )M � � �� d d{ }0 � , ïîñêîëüêó d � �� 0. Ñëåäîâàòåëüíî, l ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �. Ëåììà 3.2. Ïóñòü M è N — ãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, l RR� ��Hom ( , )N � . Òîãäà îòîáðàæåíèå : ( )M N M� �� m n m l n� ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �. Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì. Ëþáîé ýëåìåíò èç ( )M N� �d åñòü ñóììà ýëåìåíòîâ âèäà m n� , ãäå m � � �M d � , n � �N � . Òîãäà l n R( ) � � �� è : ( )m n m l n� � �� M Md d� �R � � . Ïîêàæåì, ÷òî èìååò ìåñòî ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå. Åñëè � � �, òî M M M M� � � � � � � � � �� d d d d� � � �R R� � , ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó R R� � �� , çäåñü � � �� 0; ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó d d� � �� . Åñëè � � �, òî M M M� � � � � � � �� d d d� � �R � �{ } { }0 0 , ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó R � � �� { }0 , çäåñü � � �� 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ëèíåéíûì íàä R îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �. Ëåììà 3.3. Ïóñòü M è N — ãðàäóèðîâàííûå ìîäóëè íàä R, l RR� ��Hom N( , ) � . Ïóñòü � : M N� — îäíîðîäíîå ëèíåéíîå íàä R îòîáðàæåíèå ñòåïåíè � �, òîãäà l RR. ( , )� �� Hom M � . Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååò ìåñòî ( . )( ) ( ( ))l l� �M M� ��d d � �� l( )N d � � � � �R d � � . Ïåðâîå âêëþ÷åíèå èìååò ìåñòî, ïîñêîëüêó � �( )M N� � ��d d , òàê êàê � : M N� ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � �; âòîðîå âêëþ÷åíèå èìååò ìåñòî, òàê êàê l ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �. Ñëåäîâàòåëüíî, l RR. ( , )� �� Hom M � . 39 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R . Ïîëîæèì R x y f x y F x y( , ) \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det , òîãäà: 1) ïîëèíîì R x y x y f d ( , ) [ , ]� � � R � , ò.å. îòîáðàæåíèå J x yx ( , ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � f ; 2) ïîëèíîì R x y( , ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� � �� íåçàâèñèìî îò âûáîðà �F x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷- íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ) ( )) ,f x f y x y df� � �� è ñëàãàåìîãî ( ( ) ( )) ( , )F x F y x y� �� í å ç à â è ñ è ì î î ò â û á î ð à �f x y( , ), ã ä å � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � è íå çàâèñèò îò F x( ); 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� � , òî R x y f x f y x y d f( , ) ( ( ), ( )) ,� � � � , ò.å. îòîáðàæåíèå J x yx ( , ) èíäóöèðóåò îäíîðîäíîå îòîáðàæåíèå ( ( )) ( ( ), ( )) ,f x f x f yx x y� ñòåïåíè � � f ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî R x y f x x y d f( , ) ( ( )) ,� � � � , ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî R x y f y x y d f( , ) ( ( )) ,� � � � . Äîêàçàòåëüñòâî.1, 2. Äîêàçàòåëüñòâî ïï. 1 è 2 òåîðåìû ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ïï. 1 è 2 òåîðåìû 2.1 ñîîòâåòñòâåííî, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñëîâî «ïîëèíîì» çàìåíÿåòñÿ íà ôðàçó «îäíîðîäíûé ïîëèíîì», ñëîâî «ïîëóîäíîðîäíàÿ», îòíîñÿùååñÿ ê ôðàçå «ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ», — íà ñëîâî «îäíîðîäíàÿ», çíàê íåðàâåíñòâà ïåðåä ñòåïåíÿìè — íà çíàê ðàâåíñòâà � è â ï. 2 òåîðåìû âìåñòî ï. 3 ëåììû 1.2 èñïîëüçóåòñÿ ï. 4 ëåììû 1.2. 3. Ïóñòü F x f x g x f x x d( ) ( ) ( ) ( ( ))� � � , òîãäà â ñèëó ï. 2 ëåììû 1.2 F x( ) îáëàäàåò òàêæå ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé � � �f x y g x f y g x y( , ) ( ) ( ) ( , ), îíà ÿâëÿåòñÿ êîâåêòîðîì îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè � �d 1, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà F x( ). Äàëåå, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî àáçàöà äîêàçàòåëüñòâî ï. 3 òåîðåìû ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ï. 3 òåîðåìû 2.1, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî çíàê íåðàâåíñòâà ïåðåä ñòåïåíÿìè çàìåíÿåòñÿ íà çíàê ðàâåíñòâà � . Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë L x( )* èìååò êîñòåïåíü � �, ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R . Ïîëîæèì H x L y f x y F x y( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det . Òîãäà: 1) H x x d f( ) [ ]� � � � R � � , ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �( )� � f . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( )* òàêæå àííóëèðóåò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f� � �� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ), è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d f� � �� è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x( ). ( ( )* � F y x y( )) ( , )� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � è íå çàâèñèò îò F x( ); ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 40 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� � , òî H x f x x d f( ) ( ( ))� � � �� , ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x îòîáðàæàåò ( ( ))f x x â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ íà íåì îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �( )� � f ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî H x( ) � 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñëîâî «ïîëèíîì» çàìåíÿåòñÿ íà ôðàçó «îäíîðîäíûé ïîëèíîì», ñëîâî «ôóíêöèîíàë» — íà ôðàçó «îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë», çíàê íåðàâåíñòâà ïåðåä ñòåïåíÿìè — íà çíàê ðàâåíñòâà �, âìåñòî ïï. 1, 2, 3 òåîðåìû 2.1 èñïîëüçóþòñÿ ïï. 1, 2, 3 òåîðåìû 3.1 ñîîòâåòñòâåííî, âìåñòî ëåììû 2.2 èñïîëüçóåòñÿ ëåììà 3.2. Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü x x xn� ( , ... , )1 , y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü L x1 ( ) — îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë êîñòåïåíè � � 1, L x2 ( )* — îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë êîñòåïåíè � � 2 . Ïîëîæèì L x L x L y f x y x yx( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �1 2 det . Òîãäà: 1) L x( ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì êîñòåïåíè � � �� 1 2 � f . Ïóñòü ôóíêöèîíàëû L x1 ( )* è L x2 ( )* òàêæå àííóëèðóþò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà L x L y x y L x L y y x1 2 2 1( )( ( ). ( , )) ( )( ( ). ( , ))* * * � �� íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � ; 3) L x( ) àííóëèðóåò ( ( ))f x x . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.3, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñëîâî «ôóíêöèîíàë» çàìåíÿåòñÿ íà ôðàçó «îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë», ôðàçà «ïîëóîäíîðîäíîå îòîáðàæåíèå» — íà ôðàçó «îäíîðîäíîå îòîáðàæåíèå», çíàê íåðàâåíñòâà ïåðåä ñòåïåíÿìè — íà çíàê ðàâåíñòâà �, âìåñòî ïï. 1, 2, 3 òåîðåìû 2.2 èñïîëüçóþòñÿ ïï. 1, 2, 3, òåîðåìû 3.2 ñîîòâåòñòâåííî, âìåñòî ëåììû 2.3 èñïîëüçóåòñÿ ëåììà 3.3. Òåîðåìà 3.4. Ïóñòü x x x y y yn n� �( , ... , ), ( , ... , )1 1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë L x( )* èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )1 , ãäå � � 0, ïóñòü F x x d( ) [ ]� �R . Ïîëîæèì H x L y f x y F x y( ) ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|� � �det . Òîãäà: 1) H x x d( ) [ ]� � � �R � 1, ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �( )� 1 . Ïóñòü ôóíêöèîíàë L x( )* òàêæå àííóëèðóåò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d� � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d� � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà � �L y F y x y( ). ( ) ( , )* � � "� � � R R[ ] [ ]x xd f� �1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � ; åñëè d f� � �� 1, òî H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d� � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ); 3) åñëè F x f x x d( ) ( ( ))� � , òî H x f x x d( ) ( ( ))� � � �� 1, ò.å. îòîáðàæåíèå [ ( )]L x îòî- 41 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 áðàæàåò ( ( ))f x x â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ íà íåì îäíîðîäíûì îòîáðàæåíèåì ñòåïåíè � � �( )� 1 ; ïðè íåêîòîðîì âûáîðå �F x y( , ) èìååò ìåñòî H x( ) � 0. Äîêàçàòåëüñòâî.1, 3. Ïóíêòû 1 è 3 òåîðåìû ïîëó÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èç ïï. 1 è 3 òåîðåìû 3.2 ïóòåì ïîäñòàíîâêè � @ @ � �f � �1. Ïðè ýòîì � � �� f � 1, d df� � � �� @ @ 1. 2. Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 3.2 H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãà- åìîãî èç ( ( )) @ @ ( ( ))f x f xx d x df� � � � � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �F x y( , ). Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 3.2 ïîëèíîì H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( )) ( ( ))f x f xx d x df� � � � � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà L y F x F y x y F x L y x y L y F( ). ( ( ) ( )) ( , ) ( ) ( ). ( , ) ( ). * � � � � �� ( ) ( , )y x y�� ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � è íå çàâèñèò îò F x( ). Â ñèëó ëåììû 3.1 L y( ) àííóëèðóåò R[ ]y f � , ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì êîñòåïåíè � � � �� f f1 , ñëåäîâàòåëüíî, L y x y( ). ( , )* � � 0, ïîñêîëüêó � ( , )x y èìååò ïî y ñòåïåíü � f . Òîãäà F x L y x y F x( ) ( ( ). ( , )) ( )� � � �� 0 0. Ïîëó÷àåì, ÷òî H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d� � �� 1 è ñëàãàåìîãî âèäà �L y F y x y( ). ( ) ( , ) � ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � . Ïîñêîëüêó F y x y x y x yf fd d ( ) ( , ) [ , ] ( [ ] [ ])� � ! � � � � � R R RR � � è L y( )* ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì ñòåïåíè � � � �( )� �f 1 , òî â ñèëó ëåììû 3.2 L y F y x y x xf fd d( ). ( ) ( , ) [ ] [ ]* ( ) ( ) � � � � � � � � � � �R R � � � �1 1. Â òî æå âðåìÿ L y F y x y x f( ). ( ) ( , ) [ ]* � � R � , ïîñêîëüêó � ( , )x y èìååò ïî x ñòåïåíü � f . Ñëåäîâàòåëüíî, � � "� � � L y F y x y x xd f( ). ( ) ( , ) [ ] [ ]* � R R� �1 . Åñëè d f� � �� 1 , ÷òî ýêâèâàëåíòíî d f� � �� 1, òî R[ ]x d� � � "� 1 " � R[ ]x f� { }0 , òîãäà � �L y F y x y( ). ( ) ( , )* � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, H x( ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî èç ( ( ))f x x d � �� 1 ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè �f x y( , ). Òåîðåìà 3.5. Ïóñòü x x x y y yn n� �( , ... , ), ( , ... , )1 1 — ïåðåìåííûå, f x f x( ) ( ( ),� 1 � , ( ))f xn�1 — îäíîðîäíûå ïîëèíîìû èç R[ ]x , � f i n if n� � � � � 1 1 deg( ) . Ïóñòü îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë L x1 ( )* èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )1 1 , ãäå �1 0� , îäíîðîäíûé ôóíêöèîíàë L x2 ( )* èìååò êîñòåïåíü � � �� f ( )2 1 , ãäå �2 0� . Ïîëîæèì L x L x L y f x y x yx( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \|* * � � �1 2 det . Òîãäà: 1) L x( ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì êîñòåïåíè � � � �� f ( )1 1 � �( )�2 1 . Ïóñòü ôóíêöèîíàëû L x1 ( )* è L x2 ( )* òàêæå àííóëèðóþò ( ( ))f x x , òîãäà: 2) L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è âûáîðà �f x y( , ); 3) L x( )* àííóëèðóåò ( ( ))f x x . Äîêàçàòåëüñòâî.1. Åñëè â ï. 1 òåîðåìû 3.3 ïîäñòàâèòü � 1 1 1@ @ � �f � � , � 2 2 1@ @ � �f � � , òî ïîëó÷èì, ÷òî L x( )* ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 42 ê î ñ ò å ï å í è � � � � � � � � � �� 1 2 1 21 1� � � � � �f f f f@ @ ( ) ( ) � f � ( )�1 1� � � �( )�2 1 . 2. Â ñèëó ï. 2 òåîðåìû 3.3 L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà � x x y( , ) è îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà L x L y x y L x L y y x1 2 2 1( )( ( ). ( , )) ( )( ( ). ( , ))* * * � �� íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ), ãäå � ( , ) [ , ]x y x y f d � � � R � . Â ñèëó ëåììû 3.1 L yp ( ) àííóëèðóåò R[ ]y f � , ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ôóíêöèîíàëîì êîñòåïåíè � � � �� f p f1 , ãäå p �1 2, . Ñëåäîâàòåëüíî, L y x y2 0( ). ( , )* � � , ïîñêîëüêó � ( , )x y èìååò ïî y ñòåïåíü � f ; è L y y x1 0( ). ( , )* � � , ïîñêîëüêó � ( , )y x èìååò ïî y ñòåïåíü � f . Ïîëó÷àåì, ÷òî îáà ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, L x( )* îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íåçàâèñèìî îò âûáîðà �f x y( , ). 3. Óòâåðæäåíèå åñòü ñëåäñòâèå ï. 3 òåîðåìû 3.3. 4. ÏÐÈÌÅÐÛ Ïóñòü R — êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, x x xn� ( , ... , )1 è y y yn� ( , ... , )1 — ïåðåìåííûå, f x f x f xn( ) ( ( ), ... , ( ))� �1 1 — ïîëèíîìû èç R[ ]x ; ïóñòü ôóíêöèîíàëû l x( )* è L x( )* àííóëèðóþò ( ( ))f x x . Ïîëîæèì # 0 ( ) ( )* x l x� , äëÿ p � 1 # #p p xx x L y f x y x y� � � �1 ( ) ( ). ( ). \| \| ( , ) ( , )\| \| , * * det ãäå ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå �f x yi ( , ) è îïåðàòîð ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé � x x y( , ) îïðåäåëåíû, êàê â ëåììå 1.1. Ïóñòü #( )x — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ( ), ( ), ... ) # #1 2x x , � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ( ), ( ), ... )codeg codeg# #1 2 . Â ñèëó ï. 3 òåîðåìû 2.3 (3.3) ôóíêöèîíàë # p x( ) àííóëèðóåò ( ( ))f x x äëÿ âñåõ p � 1. Ïóñòü � �R n è f ( )� � 0. Åñëè ðàíã ìàòðèöû � � � � � � � �� f x x ( ) ( )� ðàâåí n �1, òî òî÷êà x � � ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé òî÷êîé êðèâîé f x( ) � 0; åñëè ðàíã ýòîé ìàòðèöû �n 1, òî òî÷êà x � � ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ýòîé êðèâîé. Ïðèìåð 4.1. Ïóñòü n �1, f x( ) ()� , l x x L x x( ) [ ] , ( ) [ ]* * * � � 1 0 1 0 ; òîãäà � f � �1, codeg( )l f� � �0 1� , codeg( )L f� � �0 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ([ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , ... ) * * * * x x x x x x� 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 , � =( , , , , , ... )1 2 3 4 5 . Ïðèìåð 4.2. Ïóñòü n � 2, f x x( ) ( )� 2 , l x x x L x x x( ) [ ] , ( ) [ ] * * � � 1 0 2 0 1 0 2 0 ; òîãäà � f � �1, codeg( )l f� � �0 1� , codeg( )L f� � �0 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ( [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , . * * * x x x x x x x x x� � � 1 1 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 4 2 0 .. ), � = ( , , , , ... )1 2 3 4 . 43 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 Ïðèìåð 4.3. Ïóñòü n � 2, f x x( ) ( )� 2 2 , l x x x L x x x( ) [ ] , ( ) [ ] * * � � 1 0 2 1 1 0 2 1 ; òîãäà � f � 0, codeg( )l f� � �1 1� , codeg( )L f� � �1 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ( [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , . * * * x x x x x x x x x� � � 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1 4 2 1 .. ), � = ( , , , , ... )2 3 4 5 . Ïðèìåð 4.4. Ïóñòü n � 2, f x x( ) ( )� 2 2 , l x x x L x x x( ) [ ] , ( ) [ ] * * � � 1 0 2 1 1 0 2 0 ; òîãäà � f � 0, codeg( )l f� � �1 1� , codeg( )L f� �0 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ( [ ] , , , , ... ) * * * x x x� � 1 1 2 0 0 0 0 , � = ( , , , , ... )1 � � � . Ïðèìåð 4.5. Ïóñòü n � 2, f x x x x x( ) ( )( )� � �1 2 1 2 , l x x x( ) [ ] , � 1 0 2 1 L x x x( ) [ ] � 1 0 2 1 ; òîãäà � f � �1, codeg( )l f� � �1 1� , codeg( )L f� � �1 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ([ ] , [ ] [ ] , [ ] [ * * * x x x x x x x x x x� � � 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 2 3 1 3 2 1 1 1 2 3x ] , [ ] [ ] [ ] , ... )* * x x x x x x 1 4 2 1 1 2 2 3 1 0 2 5� � , � = ( , , , , ... )2 3 4 5 . Ïðèìåð 4.6. Ïóñòü n � 2, f x x x ax x( ) ( )� � �1 2 1 2 , l x x x( ) [ ] , � 1 0 2 0 L x x x( ) [ ] � 1 0 2 0 ; òîãäà � f � 0, codeg( )l f� �0 1� , codeg( )L f� �0 1� . Èìååò ìåñòî #( ) ( [ ] [ ] , [ ] * * x x x x x x x� � � � 1 1 2 0 1 0 2 1 1 2 2 0 [ ]x x 1 1 2 1 � � �[ ] [ ] ,* x x a x x 1 0 2 2 1 0 2 1 � � �[ ] [ ] x x x x 1 3 2 0 1 2 2 1 [ ]x x 1 1 2 2 � [ ]x x 1 0 2 3 � � �a x x[ ]1 1 2 1 2 1 0 2 2 2 1 0 1 1a x x a x x[ ] [ ] ,* � [ ]x x 1 4 2 0 � [ ]x x 1 3 2 1 � [ ]x x 1 2 2 2 � � � �[ ] [ ]* x x x x 1 1 2 3 1 0 2 4 a x x[ ]1 2 2 1 � 2 3 1 1 2 2 1 0 2 3a x x a x x[ ] [ ]* � � a x x2 1 1 1 1[ ] � � �3 2 1 0 2 2 3 1 0 2 1a x x a x x[ ] [ ] , ... )* * , � = ( , , , , ... )1 1 1 1 . Ïðèìåð 4.7. Ïóñòü n � 3, f x x x x x x( ) ( , ( ) )� � � �2 3 1 2 2 3 2 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 44 l x x x x( ) [ ]* � 1 3 2 0 3 0 � � �[ ] , ( ) [ ] [ ] * * x x x L x x x x x x x 1 1 2 1 3 0 1 3 2 0 3 0 1 1 2 1 3 0 ; òîãäà � f �1, codeg( )l f� � �2 1� , codeg( )L f� � �2 1� . Èìååò ìåñòî #( )x � � � � �( [ ] [ ] [ ] [* * x x x x x x x x x x x 1 3 2 1 3 0 1 3 2 0 3 1 1 1 2 2 3 0 1 1 2 12 x 3 1 ] , [ ]x x x 1 3 2 2 3 0 � [ ]x x x 1 3 2 1 3 1 � [ ] [ ] [ ]* * x x x x x x x x x 1 3 2 0 3 2 1 1 2 3 3 0 1 1 2 2 3 13 2� � � � �[ ] , ... ), ( , , ... )x x x 1 1 2 1 3 2 3 4� . Â ïðèìåðå 4.2 âñå òî÷êè êðèâîé f x( ) � 0 ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè. Â ïðèìåðàõ 4.4 è 4.5 êðèâàÿ f x( ) � 0 ÿâëÿåòñÿ êðàòíîé è âñå åå òî÷êè îñîáûå. Â ïðèìåðå 4.5 òî÷êà x � 0 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé îñîáîé òî÷êîé êðèâîé f x( ) � 0, â íåé ïåðåñåêàþòñÿ äâå âåòâè x x1 2 0� � è x x1 2 0� � ýòîé êðèâîé. Â ïðèìåðå 4.6 òî÷êà x � 0 ÿâëÿåòñÿ ïðî- ñòîé òî÷êîé êðèâîé f x( ) � 0. Â ïðèìåðå 4.7 âåòâü êðèâîé f x( ) � 0, ïðîõîäÿùàÿ ÷å- ðåç òî÷êó x � 0, ÿâëÿåòñÿ êðàòíîé è âñå åå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè, à èñõîäíûå è ïîëó÷åííûå êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû õàðàêòåðèçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó êðàòíîñòè ýòîé âåòâè. Ìîæíî óâèäåòü, ÷òî âî âñåõ ïðèìåðàõ èìååò ìåñòî ï. 1 òåîðåìû 2.3 (3.3), â ñèëó êîòîðîé codeg codeg codeg( ) ( ) ( )# #p p fL� � ��1 � äëÿ âñåõ p � 1. Òîãäà ïðè óñëîâèè codeg( )L f � êîñòåïåíü # p x( )* íå äîëæíà óâåëè÷èâàòüñÿ ñ ðîñòîì p. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â ñëó÷àå îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ, êàê ýòî âèäíî èç ïðè- ìåðà 4.4, íå ïîðîæäàåòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íàä R êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ; õîòÿ â ñëó÷àå íåîäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ, êàê ýòî âèäíî èç ïðèìåðà 4.6, òåì íå ìåíåå, ìîæåò áûòü ïîðîæäåíî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ëè- íåéíî íåçàâèñèìûõ íàä R êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû è êîðíåâûå ïîëèíîìû ñèñòåìû ïîëèíîìîâ // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 1995. — ¹ 5. — Ñ. 5–8. 2. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû è êîðíåâûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëèíîìîâ ñèñòåìû ïîëèíîìîâ // Òàì æå. — 1995. — ¹ 6. — Ñ. 7–10. 3. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Ãîìîëîãèè êîìïëåêñà Êîøóëÿ ñèñòåìû ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òàì æå. — 1997. — ¹ 9. — Ñ. 43–49. 4. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Êîìïëåêñû Êîøóëÿ ñèñòåì ïîëèíîìîâ, ñâÿçàííûõ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ // Íåêîòîðûå âîïðîñû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. — Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 1998. — Ñ. 326–349. 5. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Êîìïëåêñû Êîøóëÿ âëîæåííûõ ñèñòåì ïîëèíîìîâ è äâîéñòâåííîñòü // Äîï. ÍÀÍ ÓêðàÂíè. — 2000. — ¹ 6. — Ñ. 26–34. 6. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Ïðîäîëæåíèå êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ñèñòåìû ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé è ðåäóêöèÿ ïîëèíîìîâ ïî ìîäóëþ åå èäåàëà // Òàì æå. — 2003. — ¹ 7. — Ñ. 19–27. 7. S e i f u l l i n T . R . Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Òàì æå. — 2002. — ¹ 7. — Ñ. 35–42. 8. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Íàõîæäåíèå áàçèñà ïðîñòðàíñòâà âñåõ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ ñèñòåìû ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé è áàçèñà åå èäåàëà ïóòåì îïåðàöèè ðàñøèðåíèÿ 45 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 îãðàíè÷åííûõ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ // Òàì æå. — 2003. — ¹ 8. — Ñ. 29–36. 9. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Êîðíåâûå ôóíêöèîíàëû íà 1-ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè // Òàì æå. — 2007. — ¹ 7. — Ñ. 18–23. 10. Ñ å é ô ó ë ë è í Ò . Ð . Îïåðàöèÿ ïîðîæäåíèÿ êîðíåâûõ ôóíêöèîíàëîâ è êîðíåâûå ïîëèíîìû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 8. — Ñ. 25–31. Ïîñòóïèëà 15.02.2007 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 1 46

Порождение корневых функционалов системы полиномов

Institution

Ähnliche Einträge