Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова
Подано узагальнене поняття робастної дисипативності і сформульовано та доведено теореми з аналізу цієї властивості за допомогою методу функцій Ляпунова. Запропоновано застосування спеціально побудованої послідовності множин функцій Ляпунова, яка може дозволити покращити початкову оцінку межової множ...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71994 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова / М.М. Лычак // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-71994 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-719942014-12-16T03:02:13Z Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова Лычак, М.М. Кибернетика Подано узагальнене поняття робастної дисипативності і сформульовано та доведено теореми з аналізу цієї властивості за допомогою методу функцій Ляпунова. Запропоновано застосування спеціально побудованої послідовності множин функцій Ляпунова, яка може дозволити покращити початкову оцінку межової множини дисипативної системи аж до встановлення в межовому випадку властивості асимптотичної робастної стійкості. Наведено приклад дослідження дисипативності лінійної дискретної системи з невідомими параметрами та за адаптивного збурення. 2008 Article Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова / М.М. Лычак // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71994 519.71:510.22 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Лычак, М.М. Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова Кибернетика и системный анализ |
| description |
Подано узагальнене поняття робастної дисипативності і сформульовано та доведено теореми з аналізу цієї властивості за допомогою методу функцій Ляпунова. Запропоновано застосування спеціально побудованої послідовності множин функцій Ляпунова, яка може дозволити покращити початкову оцінку межової множини дисипативної системи аж до встановлення в межовому випадку властивості асимптотичної робастної стійкості. Наведено приклад дослідження дисипативності лінійної дискретної системи з невідомими параметрами та за адаптивного збурення. |
| format |
Article |
| author |
Лычак, М.М. |
| author_facet |
Лычак, М.М. |
| author_sort |
Лычак, М.М. |
| title |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова |
| title_short |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова |
| title_full |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова |
| title_fullStr |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова |
| title_full_unstemmed |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова |
| title_sort |
робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций ляпунова |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/71994 |
| citation_txt |
Робастная диссипативность дискретных систем и ее исследование с помощью последовательности множеств функций Ляпунова / М.М. Лычак // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT lyčakmm robastnaâdissipativnostʹdiskretnyhsistemieeissledovaniespomoŝʹûposledovatelʹnostimnožestvfunkcijlâpunova |
| first_indexed |
2025-07-05T20:52:24Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:52:24Z |
| _version_ |
1836841692215377920 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.71:510.22
Ì.Ì. ËÛ×ÀÊ
ÐÎÁÀÑÒÍÀß ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
È ÅÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ
ÌÍÎÆÅÑÒ ÔÓÍÊÖÈÉ ËßÏÓÍÎÂÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëèíåéíûå äèñêðåòíûå ñèñòåìû, äèíàìèêà, ðåøåíèÿ, ìå-
òîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, ñâîéñòâî äèññèïàòèâíîñòè, íåîïðåäåëåííîñòü ïàðà-
ìåòðîâ, âîçìóùåíèÿ, ðîáàñòíîñòü, ìíîæåñòâà, îáëàñòü, ìîìåíò âðåìåíè,
îöåíêà ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àñèìïòîòè÷åñêàÿ
ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ óñïåøíî
ïðèìåíÿåòñÿ äèñêðåòíûé àíàëîã ìåòîäà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà [1–4]. Îí èñïîëü-
çóåòñÿ òàêæå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâà äèññèïàòèâíîñòè [5]. Ïðè ýòîì ãëàâ-
íîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ âûáîð ñàìîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, ïîçâîëÿþùåé ïðî-
âåñòè ýòîò àíàëèç äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè íåîïðåäå-
ëåííîñòè çíà÷åíèé ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû [6], êîãäà ëèøü èçâåñòíî
ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò íåèçâåñòíîå èñ-
òèííîå çíà÷åíèå âåêòîðà ïàðàìåòðîâ, íåîáõîäèìî ìîäèôèöèðîâàòü ñàì ìåòîä
[7, 8]. Êðîìå òîãî, â [9] äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåïðåðûâíûõ íåëèíåéíûõ
ñèñòåì ñ èçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè ïðåäëîæåíà äðóãàÿ ñóùåñòâåííàÿ ìîäèôè-
êàöèÿ ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà. À èìåííî, âìåñòî ïîñòðîåíèÿ îäíîé ôóíê-
öèè Ëÿïóíîâà, ïîçâîëÿþùåé èññëåäîâàòü õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ôàçîâûõ òðàåê-
òîðèé ñèñòåìû âî âñåì åå ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ïðåäëàãàëîñü èñïîëüçîâàòü
íåñêîëüêî, ôàêòè÷åñêè öåëóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, êàæäàÿ
èç êîòîðûõ ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü èõ ïîâåäåíèå ëèøü â íåêîòîðîé ÷àñòè ýòîãî
ïðîñòðàíñòâà. Ñîâìåñòíîå èõ ðàññìîòðåíèå ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü îáùèå
äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì ðàññìàòðèâàëîñü ñâîéñòâî
äèññèïàòèâíîñòè [9] è ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ âûòåêàþùàÿ èç íåå
àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü äàííîé ñèñòåìû [10].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì äèñêðåòíûå ñèñòåìû, îïèñûâàåìûå âåêòîðíûì ðàçíîñòíûì
óðàâíåíèåì
Y Y L F n n n n n Y Yn n n n� � � � � �1 0 0 0
01 2
0
~
( , , , ), , , , ..., ,( )� (1)
ãäå Yn — m-ìåðíûé âåêòîð ôàçîâûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû,
~
( , , , )� Y L F nn n — çà-
äàííàÿ íåëèíåéíàÿ m-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, îãðàíè÷åííàÿ íà ëþáîì îãðàíè-
÷åííîì ìíîæåñòâå çíà÷åíèé Yn è n, L — s-ìåðíûé âåêòîð íåèçâåñòíûõ ÷èñëî-
âûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, à Fn — r-ìåðíûé âåêòîð âíåøíèõ íåîïðåäåëåííûõ
âîçìóùåíèé.
Î ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû èçâåñòíî ëèøü, ÷òî èõ çíà÷åíèÿ ïðèíàäëå-
æàò íåêîòîðîìó çàäàííîìó ñòàöèîíàðíîìó çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó � L â ïðî-
ñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ E Ls � { }, ò.å.
L L�� , (2)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 13
© Ì.Ì. Ëû÷àê, 2008
à îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ âîçìóùåíèé — ëèøü òî, ÷òî èõ çíà÷åíèÿ â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó çàäàííîìó, â îáùåì ñëó÷àå íåñòà-
öèîíàðíîìó, çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó �
F
n( ) â ïðîñòðàíñòâå E Fr
n� { }, ò.å.
F n nn F
n� � �� ( )
0 . (3)
Ðàññìîòðèì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) â åâêëèäîâîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
E Ym
n� { }. Ïóñòü
~ ~
( , )Y Y L nn � — íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïðè âñåõ n
âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò çíà÷åíèé âåêòîðà ïàðàìåòðîâ, îòêëîíåíèÿ îò êî-
òîðîé ðåøåíèÿ (1) â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå (ñ óâåëè÷åíèåì n) ïðåäïîëàãàåòñÿ èñ-
ñëåäîâàòü. Îáîçíà÷èì îòêëîíåíèå ðåøåíèÿ Yn îò
~
Yn ÷åðåç X Y Yn n n�
~
. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
~
Yn íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1), ò.å.
~ ~
(
~
, , , )Y Y L F nn n n�
1 � , îäíàêî
| |
~ ~
(
~
, , , ) | | , ,
~ ~
Y Y L F n C L n n Y Yn n n L n� � � � � � �1 0 0
� �const ( )n0 ,
Fn F
n�� ( ) . (4)
Çàïèøåì óðàâíåíèå â îòêëîíåíèÿõ äëÿ ñèñòåìû (1)
X X L F n n n n n X Xn n n n� � � � � �1 0 0 0
01 2
0
� ( , , , ), , , , ..., ,( )
(5)
ãäå � �( , , , )
~
(
~
, , , )
~
X L F n X Y L F n Yn n n n n n� � � 1 — ìîäèôèöèðîâàííàÿ
m-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, îãðàíè÷åííàÿ íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå
çíà÷åíèé X n è n, ó÷èòûâàþùàÿ çàâèñèìîñòü îò çàäàííûõ
~
Yn è
~
Yn � 1. Äëÿ
÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà â (2) ìîæíî âçÿòü C � 0, ò.å. ôóíêöèÿ
~
Yn óäîâëåòâîðÿåò
(1), ÿâëÿåòñÿ çàäàííûì ÷àñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) (íåâîçìóùåííîå äâè-
æåíèå [5]), äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåêòîð-ôóíêöèÿ
� ( , , , )X L F nn n ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè X n � 0 � �n n0 ,
L L�� , Fn F
n�� ( ) .
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) â åå
ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî
X , ñîäåðæà-
ùåå òî÷êó X � 0 è íåêîòîðóþ åå çàìêíóòóþ îêðåñòíîñòü. Ïðè ýòîì äëÿ âñåõ L èç (2)
è Fn èç (3), à òàêæå äëÿ äàííîãî n0 è âñåõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé X ( )0 , ïðèíàäëåæà-
ùèõ áîëåå îáøèðíîìó çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó óêàçàííîãî ïðîñòðàíñòâà �
X X�
(ò.å. ñîäåðæàùåìó
X êàê ïîäìíîæåñòâî), ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè
N N nX L F
n� ( , , , )( )� � � 0 , äëÿ êîòîðîãî X n Nn X� � �
. Òîãäà ñèñòåìà (5)
íàçûâàåòñÿ ðîáàñòíî äèññèïàòèâíîé, ìíîæåñòâî � X íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ åå ðî-
áàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè, à ìíîæåñòâî
X — îöåíêîé åå ïðåäåëüíîãî ìíîæåñ-
òâà. Åñëè îáëàñòüþ ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè ÿâëÿåòñÿ âñå ôàçîâîå ïðîñòðà-
íñòâî ñèñòåìû (5) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3), òî îíà íàçûâàåòñÿ ðîáàñòíî
äèññèïàòèâíîé â öåëîì. Äëÿ ðîáàñòíî äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû ìîãóò áûòü ðàç-
ëè÷íûå îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
�
X
j
X j( ) ( , , ... )� �12 , îäíàêî ÷àñòî ñó-
ùåñòâóåò íåèçâåñòíàÿ èññëåäîâàòåëþ ìèíèìàëüíàÿ îöåíêà
X X
j( ) ( )� � ,
� �j 12, , ...êîòîðóþ è áóäåì íàçûâàòü ïðåäåëüíûì ìíîæåñòâîì ñèñòåìû (5).
Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè êàêàÿ-ëèáî j-ÿ ( j �12, , ...) îöåíêà ïðåäåëüíîãî ìíîæåñ-
òâà ðîáàñòíî äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû (5) ñîâïàäåò ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñ-
14 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
òüþ òî÷êè X � 0, à ñàìî ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî âûðîäèòñÿ â òî÷êó X � 0, òî òàêàÿ
ñèñòåìà áóäåò ðîáàñòíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé.
Êîãäà ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû (5) èçâåñòíû, à âíåøíèå âîçìóùåíèÿ
ÿâëÿþòñÿ çàäàííûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè, ò.å. ìíîæåñòâà â (2) è (3) îäíîòî÷å÷-
íûå, òî áóäåì ãîâîðèòü ïðîñòî î äèññèïàòèâíîñòè [6] è àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé-
÷èâîñòè. Åñëè æå õîòü îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ îäíîòî÷å÷íûì, çàäà÷à
àíàëèçà äèíàìèêè äèñêðåòíûõ ñèñòåì âèäà (5) ñòàâèòñÿ êàê çàäà÷à íàõîæäåíèÿ
óñëîâèé åå ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè, à òàêæå îïðåäåëåíèÿ òåõ ñëó÷àåâ, êîãäà
ýòè óñëîâèÿ ñòàíîâÿòñÿ óñëîâèÿìè ðîáàñòíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.
ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÁÙÈÕ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÎÂ
Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
äèñêðåòíîãî àíàëîãà ìåòîäà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà [6], êîòîðûé ñîñòîèò â ïîñòðî-
åíèè ôóíêöèè v X nn( , ) ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè è èçó÷åíèè ñâîéñòâ åå ïåð-
âîé ðàçíîñòè, âû÷èñëåííîé âäîëü òðàåêòîðèé ñèñòåìû (5),
� �� � �n n n n n nv X L F n n v X n� � � � 1 1[ ( , , , ), ] ( , ). (6)
Âíà÷àëå äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ðàçâèâàåìîãî ïîäõîäà ïðèìåì, ÷òî ïàðàìåò-
ðû ñèñòåìû (3) èçâåñòíû, à âíåøíèå âîçìóùåíèÿ çàäàíû êàê íåêîòîðûå ôóíêöèè
âðåìåíè, ò.å. áóäåì èññëåäîâàòü ñâîéñòâà äèññèïàòèâíîñòè è àñèìïòîòè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè òàêîé ñèñòåìû áåç ó÷åòà âîçìîæíîé íåîïðåäåëåííîñòè.
Òåîðåìà 1 (î äèññèïàòèâíîñòè). Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè èçâåñòíûõ çíà-
÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ è âíåøíèõ âîçìóùåíèÿõ êàê çàäàííûõ ôóíêöèé
âðåìåíè îïðåäåëåíà ñêàëÿðíàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà
�( )( , )0 X nn â íåêîòîðîé êîíå÷íîé îáëàñòè �
X
( )0
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâå
E Xm
n� { }, âûäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì
inf { }
n N
nX n
�
�
0
0 0� �( ) ( )( , ) , (7)
ãäå � ( )0 0� �const — íåêîòîðîå ÷èñëî, N 0 — íåêîòîðûé êîíå÷íûé ìîìåíò
âðåìåíè, ïðè÷åì ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
�� � � �n n nX n X n( ) ( )( , ) [ ( , ) ]0
0
0
0 0� � (8)
äëÿ âñåõ n N� 0 è ( ) ( )X n X
�0 0� , íåêîòîðîãî ÷èñëà 0 0
0� �� � ( ) è íåêîòîðîé
êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè 0 10� �� ( , )X nn �
�( ) ( )X n X
0 0� , n N� 0 ,
à ìíîæåñòâî
X
( )0 , âûäåëÿåìîå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íåðàâåíñòâîì
inf { }
n N
nX n
�
�
0
0
0� �( ) ( , ) , (9)
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó � X , âûäåëÿåìîìó íåðàâåíñòâîì
sup { }
n N
nX n
�
�
0
0 0� �( ) ( )( , ) . (10)
Òîãäà òàêàÿ ñèñòåìà (5) äèññèïàòèâíà â � X , à ìíîæåñòâî
X
( )0 ÿâëÿåòñÿ îöåí-
êîé åå ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà.
Òåîðåìà 2 (î äèññèïàòèâíîñòè â öåëîì).Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè èçâåñòíûõ
çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ è âíåøíèõ âîçìóùåíèÿõ êàê çàäàííûõ ôóíêöèé
âðåìåíè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå E Xm
n� { } îïðåäåëåíà ñêàëÿðíàÿ ïîëîæèòåëü-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 15
íî-îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà � ( ) ( , )0 X nn , êîòîðàÿ ïðè | | | |X n � � äîïóñêàåò
áåñêîíå÷íî áîëüøîé íèçøèé ïðåäåë. Ïðè÷åì âî âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå E m
âûïîëíÿëîñü áû íåðàâåíñòâî âèäà (8) äëÿ âñåõ n N� 0 (N 0 — íåêîòîðûé êîíå÷íûé
ìîìåíò âðåìåíè) è X n
0, íåêîòîðîãî ÷èñëà �0 0� è íåêîòîðîé êóñî÷íî-íåïðåðûâ-
íîé ôóíêöèè 0 10� �� ( , )X nn �
X n 0, n N� 0 . Òîãäà òàêàÿ ñèñòåìà (5) äèññèïà-
òèâíà â öåëîì, à ìíîæåñòâî
X
( )0 âèäà (9) ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé åå ïðåäåëüíîãî
ìíîæåñòâà.
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèé äàííûõ òåîðåì ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ [6].
Îòìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé äèññèïàòèâíîñòè ãàðàíòèðóåòñÿ äîñ-
òèæåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèåé çà êîíå÷íîå âðåìÿ íàéäåííîé îöåíêè ïðåäåëüíîãî
ìíîæåñòâà
X
( )0 , ïðè÷åì â äàëüíåéøåì îíà íå âûõîäèò çà ïðåäåëû ýòîãî ìíîæåñ-
òâà [6]. Ïîýòîìó ïðè ïîñëåäóþùèõ èññëåäîâàíèÿõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ôà-
çîâûõ òðàåêòîðèé äàííîé ñèñòåìû (5) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì èõ
ïîâåäåíèÿ ëèøü âíóòðè íàéäåííîé îöåíêè
X
( )0 .
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1 (èëè òåîðå-
ìû 2), ò.å. óñòàíîâëåíî ñâîéñòâî äèññèïàòèâíîñòè (â íåêîòîðîé êîíå÷íîé îáëàñ-
òè � X ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâå E m èëè â öåëîì) è ïîëó÷åíà îöåíêà ïðåäåëüíîãî
ìíîæåñòâà
�
X X
( )0 � äëÿ èçâåñòíûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû
è âíåøíèõ âîçìóùåíèÿõ êàê çàäàííûõ ôóíêöèé âðåìåíè. Êðîìå òîãî, îïðåäåëå-
íà âíóòðè ìíîæåñòâà
X
( )0 òàêàÿ íîâàÿ ñêàëÿðíàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ
ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà � ( ) ( , )1 X nn , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
�
� � � �n n n n X
X n X n n N X( ) ( ) ( )( , ) [ ( , ) ] , ( )1
1
1
1 0
00 0� � � �
� , (11)
äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà �1 0� è íåêîòîðîé êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
0 1 01
0
0� � �
� �� ( , ) ( ) ,( )X n X n Nn n X
, êîòîðûå çàäàþò äîïîëíèòåëüíóþ
îöåíêó ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà � ( )
X
1 , âûäåëÿåìóþ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
íåðàâåíñòâîì
inf { }
n N
nX n
�
�
0
1
1� �( ) ( , ) . (12)
Òîãäà íîâîé îöåíêîé ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû (5)
ÿâëÿåòñÿ
X X X
( ) ( ) ( )�1 1 0� � . (13)
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
X X
( ) ( )�0 1� (14)
íîâàÿ îöåíêà áóäåò áîëåå òî÷íîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé
X
( )0 .
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ëåììû 1 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ñâîéñòâà
äèññèïàòèâíîñòè è òåîðåìû 1 (èëè òåîðåìû 2 äëÿ ñëó÷àÿ äèññèïàòèâíîñòè â
öåëîì).
Åñòåñòâåííî, ïðîöåññ óòî÷íåíèÿ îöåíîê âèäà (13) ìîæíî ïðîäîëæèòü.
Òåîðåìà 3 (î ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îöåíîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññè-
ïàòèâíîé ñèñòåìû). Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) îïðåäåëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
� ( ) ( , ) ( , , , ..., , )k
nX n k K K� �012 const ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé òèïà Ëÿïóíîâà òàêèõ,
÷òî ôóíêöèÿ � ( ) ( , )0 X nn óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1 (èëè òåîðåìû 2), ôóíê-
16 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
öèÿ � ( ) ( , )1 X nn — óñëîâèÿì ëåììû 1, à ôóíêöèè � ( ) ( , )k
nX n ïðè k �1 ïîçâîëÿþò
ïîëó÷àòü íîâûå îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
X
k( ) àíàëîãè÷íî ëåììå 1 ïî
ôîðìóëå âèäà (13), íî ñ çàìåíîé1 íà k è 0 íà k 1. Òîãäà ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü íåóõóäøàþùèõñÿ îöåíîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû
(5)
X
k( ) (k � 0), çàäàâàåìûõ âûðàæåíèÿìè âèäà (12), (13), íî ñ çàìåíîé 1 íà k è 0
íà k 1. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî
X
K( ) áóäåò íàèìåíüøåé ïîëó÷åííîé îöåíêîé.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 3 åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñëåäóåò èç ëåììû 1 è
ñâîéñòâ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îöåíîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïà-
òèâíîé ñèñòåìû (5), êîòîðûå íå ìîãóò óõóäøàòüñÿ â ñèëó ïðîöåäóðû ïåðåñå÷å-
íèÿ ìíîæåñòâ âèäà (13) (ñ çàìåíîé 1 íà k è 0 íà k 1).
Òåîðåìà 4 (îá óñëîâèÿõ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äèññèïàòèâíîé
ñèñòåìû). Ïóñòü â ñèñòåìå (5) âåêòîð-ôóíêöèÿ � ( , , , )X L F nn n ðàâíîìåðíî íå-
ïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè X n Nn � � �0 0 (N n0 0� — íåêîòîðîå öåëîå
÷èñëî) ïðè èçâåñòíûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ è âíåøíèõ âîçìóùåíè-
ÿõ êàê çàäàííûõ ôóíêöèé âðåìåíè. Êðîìå òîãî, âûïîëíåíû óñëîâèÿõ òåîðåìû 3
è, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî k K� �0 const, ôóíêöèè � ( ) ( , )k
nX n è
�k nX n( , ) äëÿ âñåõ k K� 0 ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè
X n Nn � � �0 0 , à òàêæå ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
X
k( ) 1
è
X
k( ) , îïðåäåëÿåìûõ ñî-
ãëàñíî íåðàâåíñòâó âèäà (12) (ñ çàìåíîé 1 íà k), ïðè ýòîì íå ÿâëÿåòñÿ
ìíîæåñòâîì ìåðû íóëü è ñóùåñòâóåò
lim
k
k
� �
�� 0. (15)
Òîãäà ñèñòåìà (5) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà â êîíå÷íîé îáëàñòè � X èëè â
öåëîì, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîãî âèäà ñâîéñòâî äèññèïàòèâíîñòè óñòàíîâ-
ëåíî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1 èëè òåîðåìû 2 äëÿ äàííîé ñèñòåìû.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 4 ñëåäóåò èç óñòàíîâëåíèÿ ñâîéñòâà äèññèïàòèâ-
íîñòè ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3 è ïðåäïîëàãàåìîãî ìîíîòîííîãî óëó÷øåíèÿ îöåíîê
ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
X
k( ) ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ (15). Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè
ýòîì òðåáóåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé â îêðåñ-
òíîñòè òî÷êè X n Nn � � �0 0 .
Îáîáùèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íà ñëó÷àé íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ
ñèñòåìû è íåòî÷íî èçâåñòíûõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé.
Òåîðåìà 5 (î ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè). Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) îïðåäåëåíî ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ ïîëîæèòåëü-
íî-îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà � ( ) ( , , )0 X L nn (ò.å. êàæäîìó ýëåìåíòó L
ìíîæåñòâà � L ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíò ìíîæåñòâà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà [6, 7]) â íå-
êîòîðîé êîíå÷íîé îáëàñòè �
X
( )0 ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà E Xm
n� { }, ÿâëÿþùåéñÿ
îáúåäèíåíèåì ïî L ïîäìíîæåñòâ, âûäåëÿåìûõ íåðàâåíñòâàìè âèäà (7)
L
n N
n
L
X L n L
�
�
�
�
� { inf }
0
0 0[ ( , , )] ( )( ) ( )� � , (16)
ãäå � ( ) ( )0 0L L L� �� �� — íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, N 0 — íåêîòîðûé
êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè, ïðè÷åì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà
òàêîâû, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
max max ( , , ) [ ( , , )
( )
( ) ( )
F L
n n n
n F
n
L
X L n X L n
� �
�
� �
�{ � � �0
0
0 �0 00( )]L n N}� � � (17)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 17
äëÿ âñåõ ( ) ( )X n X
�0 0� , äëÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé 0 1 00
0� � �
�� ( , , ) ( ) ,( )X L n Xn n X
� L L�� , n N� 0 , è íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ 0 0
0� �� �( ) ( )( )L L , à ìíîæåñòâî
X
( )0 , çàäà-
âàåìîå îáúåäèíåíèåì ïî L ïîäìíîæåñòâ, âûäåëÿåìûõ íåðàâåíñòâàìè âèäà (9)
L
n N
n
L
X L n L
�
�
�
�
� { inf }
0
0
0� �( ) ( , , ) ( ) , (18)
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó � X , âûäåëÿåìîìó ïåðåñå÷åíèåì ïî L ïîäìíîæåñòâ,
çàäàâàåìûõ íåðàâåíñòâàìè âèäà (10)
L n N
n
L
X L n L
� �
�
�
� { sup }
0
0 0[ ( , , )] ( )( ) ( )� � . (19)
Òîãäà ñèñòåìà (5) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) ðîáàñòíî äèññèïàòèâíà â
� X , à ìíîæåñòâî
X
( )0 ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé åå ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà.
Òåîðåìà 6 (î ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè â öåëîì). Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) îïðåäåëåíî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå E Xm
n� { }
ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà
� ( ) ( , , )0 X L nn , êîòîðûå äëÿ âñåõ L èç (2) ïðè | | | |X n � � äîïóñêàþò áåñêîíå÷íî
áîëüøîé íèçøèé ïðåäåë. Ïðè÷åì âî âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå E m âûïîëíÿëîñü
áû íåðàâåíñòâî âèäà (17) äëÿ âñåõ n N� 0 (N 0 — íåêîòîðûé êîíå÷íûé ìîìåíò âðå-
ìåíè) è X n
0, íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ÷èñåë �0 0( )L � è íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà êó-
ñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé 0 1 00� � �
� ( , , )X L n Xn n , n N� 0 . Òîãäà òàêàÿ
ñèñòåìà (5) äèññèïàòèâíà â öåëîì, à ìíîæåñòâî
X
( )0 âèäà (18) ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé åå
ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà.
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèé òåîðåìû 5 è òåîðåìû 6 ïðåæäå âñåãî ñëåäóþò
èç òîãî ôàêòà, ÷òî âûïîëíåíèå óñëîâèé ñîîòâåòñòâåííî òåîðåìû 1 è òåîðåìû 2
ïðè êàæäîì ýëåìåíòå L èç (2) è âñåõ Fn èç (3) äëÿ âñåãî îáúåäèíåíèÿ ñîîòâå-
òñòâóþùèõ ïîäìíîæåñòâ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû ãàðàíòèðóåò èõ âû-
ïîëíåíèå äëÿ êàæäîãî òàêîãî ïîäìíîæåñòâà îòäåëüíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè
ãàðàíòèðóåòñÿ, ÷òî ôàçîâûå òðàåêòîðèè äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû äëÿ êàæäîãî
ýëåìåíòà L èç (2) è äëÿ âñåõ Fn èç (3) ïîïàäàþò çà êîíå÷íîå âðåìÿ è îñòàþòñÿ â
äàëüíåéøåì â íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, òî ýòî îáåñïå÷èâàåò
ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ìàêñèìàëüíîãî ïî L èç (2), íî êîíå÷íîãî ìîìåíòà âðåìåíè, ÷òî
äëÿ ëþáîãî L èç (2) è äëÿ âñåõ Fn èç (3) ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïîïàäóò â îáúåäèíå-
íèå òàêèõ ïîäìíîæåñòâ è â äàëüíåéøåì áóäóò åìó ïðèíàäëåæàòü. Åñòåñòâåííî,
ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîãî îáúåäèíåííîãî ìíîæåñ-
òâà âûïîëíÿëèñü äëÿ ëþáîãî L èç (2) è äëÿ âñåõ Fn èç (3) óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Ïîñ-
ëåäíåå äëÿ ñëó÷àÿ ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè â îáëàñòè îáåñïå÷èâàåòñÿ, åñëè
ìíîæåñòâî
X
( )0 âèäà (18) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó � X âèäà (19).
Ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòè òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ âîçìîæíîñòü óòî÷íåíèÿ
ïåðâîíà÷àëüíî ïîëó÷åííîé îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïàòèâíîé ñèñ-
òåìû, èñïîëüçóÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé Ëÿïóíîâà.
Ëåììà 2.Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 5 èëè òåîðåìû
6, ò.å. óñòàíîâëåíî ñâîéñòâî ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè (â íåêîòîðîé êîíå÷íîé
îáëàñòè � X ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâå E m èëè â öåëîì) è ïîëó÷åíà îöåíêà ïðåä-
åëüíîãî ìíîæåñòâà
�
X X
( )0 � . Êðîìå òîãî, íà ìíîæåñòâå
X
( )0 îïðåäåëåíî òà-
18 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
êîå íîâîå ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé Ëÿïóíî-
âà � ( ) ( , , )1 X L nn , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
max max ( , , ) [ ( , , )
( )
( ) ( )
F L
n n n
n F
n
L
X L n X L n
� �
�
� �
�{ � � �1
1
1 �1 0( )]L }� � �n N 0 (20)
äëÿ âñåõ ( ) ,( )X n X
�0 0
íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ïàðàìåòðà 0 1� �� ( )L
� � ( ) ( )0 L è íåêîòîðîé êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè 0 11� �� ( , , )X L nn
�
�( ) ( )X n X
0 0
, n N� 0 . Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (20) ïîëó÷èì (àíàëîãè÷íî
(18)) äîïîëíèòåëüíóþ àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
� ( )
�
X X
1 � , ÷òî çàäàåòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå êàê îáúåäèíåíèå ïî L
ïîäìíîæåñòâ
L
n N
n
L
X L n L
�
�
�
�
� { inf }
0
1
1[ ( , , )] ( )( )� � , (21)
à ðåçóëüòèðóþùåé îöåíêîé ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïàòèâíîé ñèñòå-
ìû (5) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî � ( )
X
1 , îïðåäåëÿåìîå ñîãëàñíî (21) è (13). Ýòà îöåí-
êà áóäåò óëó÷øåííîé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (14).
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ëåììû 2 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ñâîéñòâà ðîáàñòíîé
äèññèïàòèâíîñòè è âûïîëíåíèÿ óñëîâèé òåîðåìû 5 èëè òåîðåìû 6, à òàêæå ïîëíîé àíà-
ëîãèè ìåæäó (18)–(21). Î÷åâèäíî, ÷òî ðåçóëüòèðóþùàÿ îöåíêà ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîëó÷åííûõ ðà-
íåå (ñîãëàñíî (13)), àíàëîãè÷íî êàê â ëåììå 1.
Ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è âîçìóùåíèé ïðîöåññ
ïîëó÷åíèÿ îöåíîê âèäà (21) è óòî÷íåíèÿ îöåíîê âèäà (13) òàêæå ìîæíî
ïðîäîëæèòü.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) ñóùåñòâó-
åò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé òèïà Ëÿïóíîâà � ( ) ( , , )k
nX L n
( , , , ..., , )k K K� �012 const òàêèõ, ÷òî ìíîæåñòâî ôóíêöèé � ( ) ( , , )0 X L nn óäîâëåò-
âîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 4, ìíîæåñòâî ôóíêöèé � ( ) ( , , )1 X L nn — óñëîâèÿì
ëåììû 2, à ìíîæåñòâî ôóíêöèé � ( ) ( , , )k
nX L n ïðè k �1 ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü íî-
âûå îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
X
k( ) àíàëîãè÷íî ëåììå 2, íî ñ çàìåíîé 1 íà
k è 0 íà k 1. Òîãäà ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåóõóäøàþùèõñÿ îöåíîê ïðåä-
åëüíîãî ìíîæåñòâà
X
k( ) (k � 0) ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû (5), ÷òî çàäà-
þòñÿ âûðàæåíèÿìè âèäà (21) è (13), íî ñ çàìåíîé 1 íà k è 0 íà k 1. Ïðè ýòîì
ìíîæåñòâî
X
K( ) áóäåò íàèìåíüøåé ïîëó÷åííîé îöåíêîé.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 7 åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñëåäóåò èç ëåììû 2 è
ñâîéñòâ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îöåíîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà ðîáàñòíîé
äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû (5), êîòîðûå íå ìîãóò óõóäøàòüñÿ â ñèëó ïðîöåäóðû ïå-
ðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ âèäà (13) (ñ çàìåíîé 1 íà k è 0 íà k 1). Õîòÿ íàëè÷èå àääè-
òèâíûõ íåîïðåäåëåííûõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé â îáùåì ñëó÷àå íå ïîçâîëÿåò îá-
åñïå÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (5), íî ïðè èõ îòñóòñòâèè
ëèøü äëÿ íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ è ìóëüòèïëèêàòèâíûõ âîçìóùåíèé òàêîå
âîçìîæíî.
Òåîðåìà 8 (îá óñëîâèÿõ àñèìïòîòè÷åñêîé ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ðî-
áàñòíîé äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû). Ïóñòü ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7, íà÷èíàÿ ñ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 19
íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî k K� 0 , âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ôóíêöèé � ( ) ( , , )k
nX L n è
�k nX L n( , , ) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2) è (3) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû â îêðåñ-
òíîñòè òî÷êè X � 0, à ðàçíîñòü ìíîæåñòâ
X
k( ) 1
è
X
k( ) íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì
ìåðû íóëü è âûïîëíÿåòñÿ (15). Òîãäà ñèñòåìà (5) àñèìïòîòè÷åñêè ðîáàñòíî
óñòîé÷èâà â êîíå÷íîé îáëàñòè � X èëè â öåëîì, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîãî
âèäà ñâîéñòâî ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè óñòàíîâëåíî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 7
äëÿ äàííîé ñèñòåìû.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 8 ñëåäóåò èç óñòàíîâëåíèÿ ñâîéñòâà ðîáàñòíîé äèññè-
ïàòèâíîñòè ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 7 è ïðåäïîëàãàåìîãî ìîíîòîííîãî óëó÷øåíèÿ îöå-
íîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
X
k( ) ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ (15). Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè
ýòîì òðåáóåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ
ôóíêöèé â îêðåñòíîñòè òî÷êè X n Nn � � �0 0 .
ÏÐÈÌÅÐ ÀÍÀËÈÇÀ ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÎÑÒÈ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ñèñòåìó âèäà
X AX Bf n X Xn n n� � � � �1 0
0012, , , , ... , ( ) , (22)
ãäå A — m m� -êâàäðàòíàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ ñî-
áñòâåííîå çíà÷åíèå êîòîðîé � max ( )A ëåæèò ñòðîãî âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà,
ò.å.
| ( ) |max� A � 1 , (23)
ïðè÷åì B — m-ìåðíûé ÷èñëîâîé âåêòîð, à f n — ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ äèñêðåò-
íîãî âðåìåíè, õàðàêòåðèçóþùàÿ äåéñòâèå âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ è óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ îãðàíè÷åíèþ
� �f nn � � � �� const 0. (24)
Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ, ÷òî ïàðàìåòðû ñèñòåìû —
êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû A è ÷èñëà-êîìïîíåíòû âåêòîðà B èçâåñòíû, à íåîïðåäå-
ëåíû ëèøü çíà÷åíèÿ âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå (24). Âûáåðåì
ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå
� ( ) ( )0 X X PXn n
T
n� . (25)
Îáîçíà÷èì
� � � � �( ) [ ( ) ]( ) ( )X Xn n n� � � 0
0
0
0 , (26)
ãäå 0 10� �� è �0 0� — íåêîòîðûå ÷èñëà.
Òîãäà ïîëó÷èì
� � � �( ) [ ( ) ] .X X A PA P X X A PB f B PB fn n
T T
n n
T T
n
T
n� � �1 20 0 0
2
(27)
Âûáåðåì ÷èñëî �0 èç óñëîâèÿ
0 10
2� � � �| ( ) |max A , (28)
÷òîáû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
~
/A A� 1 0� ëåæàëè ñòðîãî âíóòðè
åäèíè÷íîãî êðóãà, à ìàòðèöó P îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ òèïà Ëÿïóíîâà
A PA P QT � ( )1 0� , (29)
ãäå Q QT� � 0 — íåêîòîðàÿ ñèììåòðè÷íàÿ êâàäðàòíàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäå-
ëåííàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, íîðìèðîâàííàÿ ê 1, ò.å. | | | |Q �1. Òîãäà P P T� � 0,
à çíà÷èò, ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà âèäà (25) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà âî âñåì ôà-
20 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
çîâîì ïðîñòðàíñòâå E m è äîïóñêàåò áåñêîíå÷íî áîëüøîé íèçøèé ïðåäåë ïðè
| | | |X n � �.
Âûáîð ìàòðèöû P èç (29) ïîçâîëÿåò âûðàæåíèå (27) ïåðåïèñàòü â âèäå
� � �( ) .X X QX X A PB f B PB fn n
T
n n
T T
n
T
n� � �2 0 0
2
Îòñþäà ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèÿ (24) è îöåíêè âèäà
X QX X A PB B PAQ A PBn
T
n n
T T T T� ( ) / ( )2 1
ñëåäóåò, ÷òî
� � � �( ) ( ) / ( ) | |X X A PB B PAQ A PB X A PB Bn n
T T T T
n
T T� � � 2 1
0 02 T PB �2 .
Âûáðàâ
� � �0 0
1 1 2� �
( ) ,B PB B PAQ A PBT T T
(30)
ïîëó÷èì, ÷òî �( )X Xn n� �
0 0 è äëÿ âñåõ çíà÷åíèé âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ
f n , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (24). Îòñþäà ñîãëàñíî òåîðåìe 6 ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü çàäàííàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà A êîýôôèöèåíòîâ ñèñòå-
ìû (22) òàêîâà, ÷òî åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëåæàò ñòðîãî âíóòðè åäèíè÷íîãî
êðóãà, ò.å. âûïîëíåíî (23), à çíà÷åíèÿ íåîïðåäåëåííîãî âîçìóùåíèÿ óäîâëåòâî-
ðÿþò îãðàíè÷åíèþ (24). Òîãäà ñèñòåìà (22) ðîáàñòíî äèññèïàòèâíà â öåëîì, à
îöåíêà åå ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà âèäà (19) âûäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì
X PXn
T
n � �0 , (31)
ãäå ÷èñëî �0 çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (30), â êîòîðîì Q QT� � 0 — íåêîòîðàÿ
ñèììåòðè÷íàÿ êâàäðàòíàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, íîð-
ìèðîâàííàÿ ê 1, ò.å. | | | |Q �1, ÷èñëî 0 10
2� � � �| ( )|max A , ò.å. òàêîå, ÷òî ñî-
áñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
~
/A A� 1 0� ëåæàò ñòðîãî âíóòðè åäèíè÷íîãî
êðóãà, à ìàòðèöà P îïðåäåëåíà èç óðàâíåíèÿ òèïà Ëÿïóíîâà (29).
Åñòåñòâåííî, ÷òî ñâîáîäà âûáîðà äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû Q è ÷èñëà
�0 ïîçâîëÿåò óòî÷íèòü îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà. Ñîãëàñíî òåîðåìå 7 ñïðà-
âåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè äëÿ ñèñòåìû (22) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (23) è (24)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå 1, òî íàèìåíüøàÿ îöåíêà ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà ýòîé
ñèñòåìû, ïîëó÷àåìàÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà âèäà (25), îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
X
Q Q Q A
n
T
T
X P Q(min)
|| || , | ( )|max
( ,�
� � � � �
� �
1 0 0 10
2� �
�{ 0 0 0) ( , ) .X Qn � � � } (32)
Äåéñòâèòåëüíî, áóäåì âûáèðàòü ôóíêöèè Ëÿïóíîâà âèäà (25), íî ñ ðàçëè÷-
íûìè ìàòðèöàìè P, îïðåäåëÿåìûìè èç óðàâíåíèé òèïà Ëÿïóíîâà (29), ñ äîïóñ-
òèìûìè ðàçíûìè ìàòðèöàìè Q QT� � 0 è ÷èñëàìè �0 . Òîãäà äëÿ ðàçíûõ ìàòðèö
P è ÷èñåë �0 ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îöåíîê ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà ñèñòå-
ìû (22) âèäà (31). Êàæäàÿ èç ýòèõ îöåíîê ãàðàíòèðîâàíà, ò.å. ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ çà êîíå÷íîå âðåìÿ ïîïàäàþò â ïðåäåëû òàêîé
îöåíêè è â äàëüíåéøåì íå ïîêèäàþò èõ. Çíà÷èò, îíè äîëæíû îñòàâàòüñÿ â îáùåé
÷àñòè âñåõ ýòèõ îöåíîê, çàäàâàåìîé âûðàæåíèåì (32).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 21
Ðàññìîòðèì òåïåðü òîò îáùèé ñëó÷àé, êîãäà î âåêòîðå ïàðàìåòðîâ L ñèñòåìû
(22), ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû A è êîìïîíåíò âåêòîðà B, èçâåñ-
òíî ëèøü, ÷òî åãî çíà÷åíèÿ ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ñòàöèîíàðíîìó çàìêíóòîìó
ìíîæåñòâó � L â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ E Ls � { }, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ (2). Ïðè
ýòîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ ñîãëàñíî (2)
âîçìîæíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (23). Òîã-
äà âûáîð ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â âèäå (25) ñ ìàòðèöåé P, óäîâëåòâîðÿþùåé ìàòðè÷-
íîìó óðàâíåíèþ òèïà Ëÿïóíîâà (29), ãäå ÷èñëî �0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (28), äå-
ëàåò åå çàâèñÿùåé îò íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé âåêòîðà ïàðàìåòðîâ L, ò. å. íåîïðåäå-
ëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû A è êîìïîíåíò âåêòîðà B ñèñòåìû (22).
 ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíåíèå òåîðåìû 6 ïîçâîëÿåò äîêàçàòü ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü î ÷èñëîâîé ìàòðèöå A è ÷èñëîâîì âåêòîðå B ñèñòåìû
(22) èçâåñòíî ëèøü, ÷òî ñîñòàâëåííûé èç èõ êîýôôèöèåíòîâ è êîìïîíåíò âåêòîð
ïàðàìåòðîâ L ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó ñòàöèîíàðíîìó çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó
� L â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ E Ls � { }, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ (2). Ïðè ýòîì âûïîëíÿ-
þòñÿ óñëîâèÿ (23) è (24). Òîãäà ñèñòåìà (22) ðîáàñòíî äèññèïàòèâíà â öåëîì, à
îöåíêà åå ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà âèäà (21) çàäàåòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå êàê
îáúåäèíåíèå ïî L ïîäìíîæåñòâ
L
n
T
n
L
X P A B Q X A B Q
�
�
�
� { }( , , , ) ( , , , ) ,� � �0 0 0 (33)
ãäå ÷èñëîâîé ïàðàìåòð � �0 0( , , , )A B Q çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (30), â êîòîðîì
Q QT� � 0 — íåêîòîðàÿ ñèììåòðè÷íàÿ êâàäðàòíàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ
÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, íîðìèðîâàííàÿ ê 1, ò.å. | | | |Q �1, ÷èñëî 0 10
2� � � �| ( ) |max A
òàêîå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
~
/A A� 1 0� ëåæàò ñòðîãî âíóòðè
åäèíè÷íîãî êðóãà, à ìàòðèöà P îïðåäåëåíà èç óðàâíåíèÿ òèïà Ëÿïóíîâà (29).
Åñòåñòâåííî, ÷òî è ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (22)
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì òåîðåìû 7 è óòâåðæäåíèÿ 2 äëÿ óëó÷øåíèÿ
îöåíêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû, ïîëó÷åííîé â ðàìêàõ
óòâåðæäåíèÿ 3.
Óòâåðæäåíèå 4.Åñëè äëÿ ñèñòåìû (22) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (23) è (24)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå 3, òî íàèìåíüøàÿ îöåíêà ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà ýòîé
ñèñòåìû, ïîëó÷àåìàÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà âèäà (25), îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�
X
Q Q Q A L
n
T
T
L
X(min)
|| || , | ( )|max
�
� � � � � �1 0 0 10
2
� � �
� �
{ P A B Q X n( , , , )�0 �
� � �0 0( , , , )A B Q }.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äàíî îáîáùåííîå ïîíÿòèå ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè â îáëàñòè ôàçîâîãî ïðî-
ñòðàíñòâà èññëåäóåìîé äèñêðåòíîé ñèñòåìû è â öåëîì, ò.å. âî âñåì ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå. Ñîîòâåòñòâåííî ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû òåîðåìû àíàëèçà
ýòîãî ñâîéñòâà ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíå-
íèå ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà
(êîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó L ìíîæåñòâà � L ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíò ìíîæåñòâà
22 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2
ôóíêöèé Ëÿïóíîâà) ìîæåò óëó÷øèòü èñõîäíóþ îöåíêó ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà
äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû. Äîêàçàíà âîçìîæíîñòü óñòàíîâëåíèÿ â ïðåäåëüíîì
ñëó÷àå ñâîéñòâà àñèìïòîòè÷åñêîé ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè.
Ðàññìîòðåí ñîäåðæàòåëüíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ïðèâåäåííûõ òåîðåì äëÿ àíà-
ëèçà ðîáàñòíîé äèññèïàòèâíîñòè äèñêðåòíîé ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòè
êàê âíåøíåãî àääèòèâíîãî âîçìóùåíèÿ, òàê è åå ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ð î ì á å ð ã Ï .  . Óñòîé÷èâîñòü è àâòîêîëåáàíèÿ èìïóëüñíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ. —
Ì.: Oáîðîíãèç. — 1953. — 384 ñ.
2. K a l m a n R . E . , B e r t r a m J . E . Control systems analysis and design via the Second Nethod
of Liapunov. II, Discrete-time systems // Transactions of the ASME, ser. D. Journ. of Basic
Engineer. — 1960. — 82, N 2.
3. Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . , × å õ î â î é Þ . Í . Íåëèíåéíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñ ÷àñòîòíî- è øè-
ðîòíî-èìïóëüñíîé ìîäóëÿöèåé. — Êèåâ: Òåõíiêà. — 1970. — 340 ñ.
4. Ì å ò î ä û èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ / Ïîä ðåä. Ð.À. Íå-
ëåïèíà. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 448 ñ.
5. Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . , Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Ñèíòåç ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ñ ïî-
ìîùüþ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 400 ñ.
6. Ç å ë û ê ß . È . , Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Êîìïüþòåðíàÿ òåõíîëîãèÿ èíòåðâàëüíî-ìíîæåñòâåííîãî
àíàëèçà â MATLAB // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 1. — Ñ. 122–139.
7. Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . , Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Ýëåìåíòû òåîðèè ýâîëþöèè ìíîæåñòâ è óñòîé÷èâîñòü
ýòèõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà. — 1983. — ¹ 1. — Ñ. 105–111.
8. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ è àäàïòèâíûõ ñèñòåì óïðàâëå-
íèÿ. Èãðîâîé ïîäõîä. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1985. — 248 ñ.
9. Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Íîâûé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì // Àâòîìàòèêà. — 1980. — ¹ 1. — Ñ. 38–45.
10. Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè, îñíîâàííûå íà îöåíêàõ äèññèïàòèâíîñòè // Ïðîáëå-
ìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1997. — ¹ 5. — Ñ. 61–68.
Ïîñòóïèëà 14.08.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 23
|